§ 1.2 随机变量的重要分布
1,一维离散型随机变量的重要分布
（ 1）零 -壹分布,如果一维离散型随机变量
X只取数值 0和 1，分布律为
P{X=0}=1-p,P{X=1}=p,式中的 0<p<1，
则称 X服从参数为 p的零 -壹分布，记作
X～ B (1,p)。
数字特征 E(X)=p,D(X)=p(1-p)。
注意,B (1,p)的分布律又可记作
P{X=x}= p x（ 1-p） 1-x,式中的 x=0或 1。
二项分布是 Bernoulli 研究重复独立试验所引出的一个很重要的分布 。
很显然,当 n=1时,参数为 p的二项分布便是参数为 p的零 -壹分布 。
数字特征 E(X)=np,D(X)=np(1-p)。
,)1(
)!(!
!}{ xnx pp
xnx
nxXPX
的分布律为
式中的 0<p<1,x=0,1,2,,n，则称 X服从参数为 p 的二项分布，记作 X～ B (n,p)。
（ 2）二项分布,如果一维离散型随机变量
1}|{|
pPmil nX
n
此定律说明了频率的稳定性,即 n充分大时,频率在概率 p的附近摆动,是用频率作为概率的理论根据 。
① Bernoulli大数定律,当 X是 n次重复独立试验中某事件出现的次数,p是该事件出现的概率时,X服从二项分布 B（ n,p） 。
对于任意给定的正数 ε,总有与二项分布有关的结论,
证明,用到 B (1,p)与 B (m,p)及 B (n,p) 的关系。
当 X1,X2、,Xm,Xm+1,Xm+2、,
Xm+n相互独立且都服从 B (1,p)时，
Y= X1+X2+ +Xm服从 B (m,p)，
Z= Xm+1+Xm+2+ +Xm+n服从 B (n,p)，
Y与 Z相互独立,Y+Z服从 B (m+n,p)。
② B (1,p)与 B (n,p),当 X1,X2、,Xn
相互独立且都服从 B (1,p)时,
Y=X1+X2+ +Xn服从 B (n,p)。
③ 可加性,当 Y 与 Z 相互独立且依次服从 B
(m,p)及 B (n,p)时,
Y+Z服从 B (m+n,p)。
0,}e x p {)( 2212 1 xxp
时，称 X服从参数为 的正态分布，
记作 X～ N ( ) 。
2 及
2,
2,一维连续型随机变量的重要分布正态分布,如果连续型随机变量 X的分布密度
1,0 2
,,)( 2
2
2
1 xexp
x
当 时称 X服从标准正态分布,记作
X～ N (0,1) 。 这时 X的分布密度
X的分布函数
,)( 2
2
2
1
1,0
x x dxexF
为应用方便起见，在统计用表中有 F 0,1 (x)
的数值表。
xo
)( xp分布密度
)( xF分布函数
x
当 X～ N (0,1)时，它的分布密度是偶函数，
曲线 y=p(x) 关于 y 轴对称 。
xo
)( xp分布密度
)( xF分布函数
x
在比较简 略 的统计用表中只有 x=0至
x=2.99所对应的 F 0,1 (x)的数值 。
当 x>2.99时,F 0,1 (x)≈1；
当 - x< 0时,F 0,1 (- x)=1- F 0,1 (x)。
2,
)1,0(~ NY
X
当 X～ N ( ) 时，
2,
当 X～ N ( 0,1 ) 时，数字特征;)(,)( 2 XDXE
1)(,0)( XDXE
计算如下：;0)()( 2
2
2
1
dxexdxxpxXE
x
dxexdxxpxXE
x
2
2
2
2
122 )()(
,10)( 2
2
2
12
2
2
1 dxeedx xx
101)()()( 222 EXXEXD
当 X～ N ( ) 时，数字特征
1） 背景,当某一随机变量取值的概率受到很多作用都比较微小的,独立的随机因素的影响时,它的分布或者是正态分布或者与正态分布相接近 。
2） 中心极限定理,当随机变量 X1,X2,独立同分布,
数学期望为有限数 E(X),方差为非零有限数 D(X)，
E( ) =nE(X),D( ) =nD(X),且 时,
～ N (nE(X),nD(X)),标准化随机变量
～ N (0,1)。
i iX?i iXn
)(
)(
XnD
XnEX
i
i
i iX
与正态分布有关的结论,
3） 中心极限定理,当随机变量 X1,X2,独立同分布,
数学期望为有限数 E(X),方差为非零有限数 D(X)，
E( ) =E(X),D( ) = D(X),且 时,
～ N (E(X),D(X)),标准化随机变量
～ N (0,1)。
i
iXn
1n
)(
1
)(
1
XD
n
XEX
n i
i
与正态分布有关的结论,
i
iXn
1
i
iXn
1
n
1
n
1
推论,当随机变量 X1,X2,相互独立且都服从 B(1,p)
分布,p 和 1-p 都不太接近于 0,E(X i )=p,D(X i )=
p(1-p ),E( ) = p,D( ) = p(1-p ),且时,～ N ( p,p(1-p ) ),标准化随机变量
～ N (0,1)。
i
iXn
1n
)1(
1
1
pp
n
pX
n i
i
与正态分布有关的结论,
i
iXn
1
i
iXn
1
n
1
n
1
1)二维零 -壹分布,当二维离散型随机变量 (X1,X2)取值 (0,0),(1,0) 和 (0,1) 且 0≤p1≤1,0≤p2≤1时,若
(X1,X2)的分布律为
(X1,X2) P
(0,0) 1-(p1+p2)
(1,0) p1
(0,1) p2
则称 (X1,X2)服从参数为 p1和 p2的零 -壹分布，记作
(X1,X2)～ B(1,p1,p2)。
3,二维离散型随机变量的重要分布
2）三项分布,当二维离散型随机变量 (X1,X2)=(k1,k2),
k1和 k2为非负整数且 k1+k2≤n,0≤p1≤1,0≤p2≤1时，
若 (X1,X2)的分布律为 P{(X1,X2)= (k1,k2)}
=,
式中的 = =,
则称 (X1,X2)服从参数为 p1和 p2的三项分布，记作
(X1,X2)～ B(n,p1,p2)。
可以推出结论：
)!(!!
!
2121 kknkk
n
)21()]
21(1[2211
kknppkpkp
)!(!!
!
2121 kknkk
n
2 11
k
knC
k
nC?
可以推出结论,① B (1,p1,p2)与 B (n,p1,p2):
当随机变量 (X11,X12),(X21,X22),…,(Xn1,Xn2)相互独立且都服从 B (1,p1,p2)时，
(X11,X12)+(X21,X22)+…+(Xn1,Xn2) ～ B (n,p1,p2)。
② 可加性,当随机变量 (Y1,Y2)与 (Z1,Z2)相互独立且依次服从 B (m,p1,p2)及 B (n,p1,p2)时,
(Y1,Y2)+(Z1,Z2) ～ B (m+n,p1,p2)。
4,多维离散型随机变量的重要分布
1）多维零 -壹分布：
当多维离散型随机变量 (X1,X2,…,Xm) 取值
(0,0,…,0),(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1)
且 0≤p1≤1,0≤p2≤1,…,0≤pm≤1 时，
若 (X1,X2,…,Xm) 的分布律为
(X1,X2,…,Xm) P
(0,0,…,0) 1 -(p1+p2+…+ p m)
(1,0,…,0) p 1
(0,1,…,0) p 2
(0,0,…,1) p m
则称 (X1,X2,…,Xm) 服从参数为 p1,p2,…,pm的零 -壹分布，记作 (X1,X2,…,Xm) ～ B(1,p1,p2,…,p m)。
当 n个 m维离散型随机变量 ( )相互独立且都服从 B(1,p1,p2,…,p m)时，称服从参数为 p1,p2,…,pm的多项分布，记作
～ B(n,p1,p2,…,p m)。
miii XXX,,,21?
i miii
XXX ),,,( 21?
i miii
XXX ),,,( 21?
因为 n个 m维离散型随机变量 ( )相互独立且都服从 B(1,p1,p2,…,p m)时，其中有
k 1个取 (1,0,…,0),k 2个取 (0,1,…,0),…,Km个取
(0,0,…,1),n-( k 1+ k 2+…+ k m)个取 (0,0,…,0)
的组合数为,
miii XXX,,,21?
mk
mkkkn
Ck knCknC )
121(
2
1
1
2） 多项分布：
=
式中的 k1,k2,…,km为非负整数且 k 1+ k 2+… + k m≤n。
i miii
XXX ),,,( 21?
i miii
XXX ),,,( 21?
,)21()]21(1[2211 mm kkknpppkpkp
mk
mkkkn
Ck knCknC )
121(
2
1
1
所以,的 分布律 为
P{ =( k 1,k 2,…,k m) }
,)!(!! !
2121 mkkknkk
n
mk
mkkkn
Ck knCknC )
121(
2
1
1
正态分布,当二维连续型随机变量 (X,Y)的分布密度 p(x,y) =
2
21 12
1
,2
)1(2
1e x p 2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2?
yyxx
时，称 (X,Y)服从参数为,
、,及 的正态分布，记作
(X,Y)～ N( ) 。
,0,,121,11,02
yx,1?
2 21
,,,,222121
5,二维连续型随机变量的重要分布
COV(X,Y)= CORR (X,Y)=
② X的分布密度 p1( x)=,
Y的分布密度 p2( y)= 。
这说明二维正态分布并不是两个一维正态分布的简单的合二而一。
,,,,222121
,2
221
21
2
1
可以推出结论,若 (X,Y)～ N( )，则
1
1
,21① cov (X,Y)=,(X,Y)=
2
1
1
1 2
1e x p
2
1
x
2
2
2
2 2
1e x p
2
1
y
6,多维连续型随机变量的重要分布正态分布,当多维连续型随机变量 X=(X1,X2,…,Xm)’
的分布密度 p(x)=
)(1)'(
2
1e x p)2(
2
1
2 xx
m
时，称 X服从 m维的正态分布
),(mN
212
1
2
2
2
2
1
1
2
1e x p
yx
③ X与 Y相互独立的充要条件是第五个参数 =0，
这时 (X,Y)的分布密度
p(x,y) =
= p1( x) p2( y)
)(1)'(
2
1e x p)2()( 21
2 xxxp
m
),,,(
,),,,(,),,,(
21
,
21
,
21
m
mm
XXXC OV
xxxx
式中的
}e x p {)( 221
2
1
xxp
2
21 12
1),(
yxp
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2 2)1(2
1e x p
yyxx
)(1)'(
2
1e x p)2()( 21
2 xxxp
m
,),(,),(,21,21 xxx式中的
,2
221
21
2
1 时
),(
21 XXC O V
,
)1(
1
,
2
1
)2(,2
22
2
2
1
2
1
2
m
m
2
2
22
2
22
1
11
2
1
11
2 2)1(
1
xxxx
)(1)'( xx
2
21
21
12
1),(,2
xxpm 时
2
2
22
2
22
1
11
2
1
11
2 2)1(2
1e x p
xxxx
)(1)'(
2
1e x p)2()( 21
2 xxxp
m
还可以证明,若 (X1,X2,…,X m)’ 服从正态分布，则
① 每一个 X i ( i=1至 m)都服从一维正态分布；
② 任意 k个 ( k=1至 m-1)所组成的 k维随机变量
(X1,X2,…,X k)’ 都服从 k 维正态分布。
当随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立,其分布函数依次为 F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)时,Y= 的分布函数 iXni1 m a x；
i
in yFyFyFyFyF )()()()()( 21m a x?
Z= 的分布函数
iXni1 m in
)](1[)](1) ] [(1[1)( 21mi n zFzFzFzF n
论述如下,根据题意,=P{Y<y}
=P{X1<y,X2<y,…,Xn< y }=P{X1<y} P{X2<y}…P{Xn< y }
)(max yF?
7,max分布与 min分布
i
i zF?)](1[1
论述如下,根据题意,=P{Y<y}
=P{X1<y,X2<y,…,Xn< y }=P{X1<y} P{X2<y}…P{Xn< y }
)(max yF?；
i
in yFyFyFyF )()()()( 21?
)(mi n zF? =P{Z<z}=1-P{Z≥z}
=1- P{ X1≥z,X2≥z,…,Xn≥z}
=1- P{ X1≥z} P{ X2≥z}… P{Xn≥z}
=1-[1- P{ X1<z}] [1- P{ X2<z}]… [1- P{Xn<z}]
= 1-[ 1-F1(z)] ·[ 1-F2(z)]·…·[ 1 -Fn(z)]
i
i zF?)](1[1
特殊地,当随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立,
)(max yF?
)(mi n zF?
其分布函数同为 F ( )时,=[ F ( y)]n,
= 1-[ 1-F (z)] n。；
i
in yFyFyFyFyF )()()()()( 21m a x?
)](1[)](1) ] [(1[1)( 21mi n zFzFzFzF n
i
i zF?)](1[1
因此，求 与 的关键是：
由分布密度求分布函数。
)(max yF? )(mi n zF?
1,一维离散型随机变量的重要分布
（ 1）零 -壹分布,如果一维离散型随机变量
X只取数值 0和 1，分布律为
P{X=0}=1-p,P{X=1}=p,式中的 0<p<1，
则称 X服从参数为 p的零 -壹分布，记作
X～ B (1,p)。
数字特征 E(X)=p,D(X)=p(1-p)。
注意,B (1,p)的分布律又可记作
P{X=x}= p x（ 1-p） 1-x,式中的 x=0或 1。
二项分布是 Bernoulli 研究重复独立试验所引出的一个很重要的分布 。
很显然,当 n=1时,参数为 p的二项分布便是参数为 p的零 -壹分布 。
数字特征 E(X)=np,D(X)=np(1-p)。
,)1(
)!(!
!}{ xnx pp
xnx
nxXPX
的分布律为
式中的 0<p<1,x=0,1,2,,n，则称 X服从参数为 p 的二项分布，记作 X～ B (n,p)。
（ 2）二项分布,如果一维离散型随机变量
1}|{|
pPmil nX
n
此定律说明了频率的稳定性,即 n充分大时,频率在概率 p的附近摆动,是用频率作为概率的理论根据 。
① Bernoulli大数定律,当 X是 n次重复独立试验中某事件出现的次数,p是该事件出现的概率时,X服从二项分布 B（ n,p） 。
对于任意给定的正数 ε,总有与二项分布有关的结论,
证明,用到 B (1,p)与 B (m,p)及 B (n,p) 的关系。
当 X1,X2、,Xm,Xm+1,Xm+2、,
Xm+n相互独立且都服从 B (1,p)时，
Y= X1+X2+ +Xm服从 B (m,p)，
Z= Xm+1+Xm+2+ +Xm+n服从 B (n,p)，
Y与 Z相互独立,Y+Z服从 B (m+n,p)。
② B (1,p)与 B (n,p),当 X1,X2、,Xn
相互独立且都服从 B (1,p)时,
Y=X1+X2+ +Xn服从 B (n,p)。
③ 可加性,当 Y 与 Z 相互独立且依次服从 B
(m,p)及 B (n,p)时,
Y+Z服从 B (m+n,p)。
0,}e x p {)( 2212 1 xxp
时，称 X服从参数为 的正态分布，
记作 X～ N ( ) 。
2 及
2,
2,一维连续型随机变量的重要分布正态分布,如果连续型随机变量 X的分布密度
1,0 2
,,)( 2
2
2
1 xexp
x
当 时称 X服从标准正态分布,记作
X～ N (0,1) 。 这时 X的分布密度
X的分布函数
,)( 2
2
2
1
1,0
x x dxexF
为应用方便起见，在统计用表中有 F 0,1 (x)
的数值表。
xo
)( xp分布密度
)( xF分布函数
x
当 X～ N (0,1)时，它的分布密度是偶函数，
曲线 y=p(x) 关于 y 轴对称 。
xo
)( xp分布密度
)( xF分布函数
x
在比较简 略 的统计用表中只有 x=0至
x=2.99所对应的 F 0,1 (x)的数值 。
当 x>2.99时,F 0,1 (x)≈1；
当 - x< 0时,F 0,1 (- x)=1- F 0,1 (x)。
2,
)1,0(~ NY
X
当 X～ N ( ) 时，
2,
当 X～ N ( 0,1 ) 时，数字特征;)(,)( 2 XDXE
1)(,0)( XDXE
计算如下：;0)()( 2
2
2
1
dxexdxxpxXE
x
dxexdxxpxXE
x
2
2
2
2
122 )()(
,10)( 2
2
2
12
2
2
1 dxeedx xx
101)()()( 222 EXXEXD
当 X～ N ( ) 时，数字特征
1） 背景,当某一随机变量取值的概率受到很多作用都比较微小的,独立的随机因素的影响时,它的分布或者是正态分布或者与正态分布相接近 。
2） 中心极限定理,当随机变量 X1,X2,独立同分布,
数学期望为有限数 E(X),方差为非零有限数 D(X)，
E( ) =nE(X),D( ) =nD(X),且 时,
～ N (nE(X),nD(X)),标准化随机变量
～ N (0,1)。
i iX?i iXn
)(
)(
XnD
XnEX
i
i
i iX
与正态分布有关的结论,
3） 中心极限定理,当随机变量 X1,X2,独立同分布,
数学期望为有限数 E(X),方差为非零有限数 D(X)，
E( ) =E(X),D( ) = D(X),且 时,
～ N (E(X),D(X)),标准化随机变量
～ N (0,1)。
i
iXn
1n
)(
1
)(
1
XD
n
XEX
n i
i
与正态分布有关的结论,
i
iXn
1
i
iXn
1
n
1
n
1
推论,当随机变量 X1,X2,相互独立且都服从 B(1,p)
分布,p 和 1-p 都不太接近于 0,E(X i )=p,D(X i )=
p(1-p ),E( ) = p,D( ) = p(1-p ),且时,～ N ( p,p(1-p ) ),标准化随机变量
～ N (0,1)。
i
iXn
1n
)1(
1
1
pp
n
pX
n i
i
与正态分布有关的结论,
i
iXn
1
i
iXn
1
n
1
n
1
1)二维零 -壹分布,当二维离散型随机变量 (X1,X2)取值 (0,0),(1,0) 和 (0,1) 且 0≤p1≤1,0≤p2≤1时,若
(X1,X2)的分布律为
(X1,X2) P
(0,0) 1-(p1+p2)
(1,0) p1
(0,1) p2
则称 (X1,X2)服从参数为 p1和 p2的零 -壹分布，记作
(X1,X2)～ B(1,p1,p2)。
3,二维离散型随机变量的重要分布
2）三项分布,当二维离散型随机变量 (X1,X2)=(k1,k2),
k1和 k2为非负整数且 k1+k2≤n,0≤p1≤1,0≤p2≤1时，
若 (X1,X2)的分布律为 P{(X1,X2)= (k1,k2)}
=,
式中的 = =,
则称 (X1,X2)服从参数为 p1和 p2的三项分布，记作
(X1,X2)～ B(n,p1,p2)。
可以推出结论：
)!(!!
!
2121 kknkk
n
)21()]
21(1[2211
kknppkpkp
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n
2 11
k
knC
k
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可以推出结论,① B (1,p1,p2)与 B (n,p1,p2):
当随机变量 (X11,X12),(X21,X22),…,(Xn1,Xn2)相互独立且都服从 B (1,p1,p2)时，
(X11,X12)+(X21,X22)+…+(Xn1,Xn2) ～ B (n,p1,p2)。
② 可加性,当随机变量 (Y1,Y2)与 (Z1,Z2)相互独立且依次服从 B (m,p1,p2)及 B (n,p1,p2)时,
(Y1,Y2)+(Z1,Z2) ～ B (m+n,p1,p2)。
4,多维离散型随机变量的重要分布
1）多维零 -壹分布：
当多维离散型随机变量 (X1,X2,…,Xm) 取值
(0,0,…,0),(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1)
且 0≤p1≤1,0≤p2≤1,…,0≤pm≤1 时，
若 (X1,X2,…,Xm) 的分布律为
(X1,X2,…,Xm) P
(0,0,…,0) 1 -(p1+p2+…+ p m)
(1,0,…,0) p 1
(0,1,…,0) p 2
(0,0,…,1) p m
则称 (X1,X2,…,Xm) 服从参数为 p1,p2,…,pm的零 -壹分布，记作 (X1,X2,…,Xm) ～ B(1,p1,p2,…,p m)。
当 n个 m维离散型随机变量 ( )相互独立且都服从 B(1,p1,p2,…,p m)时，称服从参数为 p1,p2,…,pm的多项分布，记作
～ B(n,p1,p2,…,p m)。
miii XXX,,,21?
i miii
XXX ),,,( 21?
i miii
XXX ),,,( 21?
因为 n个 m维离散型随机变量 ( )相互独立且都服从 B(1,p1,p2,…,p m)时，其中有
k 1个取 (1,0,…,0),k 2个取 (0,1,…,0),…,Km个取
(0,0,…,1),n-( k 1+ k 2+…+ k m)个取 (0,0,…,0)
的组合数为,
miii XXX,,,21?
mk
mkkkn
Ck knCknC )
121(
2
1
1
2） 多项分布：
=
式中的 k1,k2,…,km为非负整数且 k 1+ k 2+… + k m≤n。
i miii
XXX ),,,( 21?
i miii
XXX ),,,( 21?
,)21()]21(1[2211 mm kkknpppkpkp
mk
mkkkn
Ck knCknC )
121(
2
1
1
所以,的 分布律 为
P{ =( k 1,k 2,…,k m) }
,)!(!! !
2121 mkkknkk
n
mk
mkkkn
Ck knCknC )
121(
2
1
1
正态分布,当二维连续型随机变量 (X,Y)的分布密度 p(x,y) =
2
21 12
1
,2
)1(2
1e x p 2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2?
yyxx
时，称 (X,Y)服从参数为,
、,及 的正态分布，记作
(X,Y)～ N( ) 。
,0,,121,11,02
yx,1?
2 21
,,,,222121
5,二维连续型随机变量的重要分布
COV(X,Y)= CORR (X,Y)=
② X的分布密度 p1( x)=,
Y的分布密度 p2( y)= 。
这说明二维正态分布并不是两个一维正态分布的简单的合二而一。
,,,,222121
,2
221
21
2
1
可以推出结论,若 (X,Y)～ N( )，则
1
1
,21① cov (X,Y)=,(X,Y)=
2
1
1
1 2
1e x p
2
1
x
2
2
2
2 2
1e x p
2
1
y
6,多维连续型随机变量的重要分布正态分布,当多维连续型随机变量 X=(X1,X2,…,Xm)’
的分布密度 p(x)=
)(1)'(
2
1e x p)2(
2
1
2 xx
m
时，称 X服从 m维的正态分布
),(mN
212
1
2
2
2
2
1
1
2
1e x p
yx
③ X与 Y相互独立的充要条件是第五个参数 =0，
这时 (X,Y)的分布密度
p(x,y) =
= p1( x) p2( y)
)(1)'(
2
1e x p)2()( 21
2 xxxp
m
),,,(
,),,,(,),,,(
21
,
21
,
21
m
mm
XXXC OV
xxxx
式中的
}e x p {)( 221
2
1
xxp
2
21 12
1),(
yxp
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2 2)1(2
1e x p
yyxx
)(1)'(
2
1e x p)2()( 21
2 xxxp
m
,),(,),(,21,21 xxx式中的
,2
221
21
2
1 时
),(
21 XXC O V
,
)1(
1
,
2
1
)2(,2
22
2
2
1
2
1
2
m
m
2
2
22
2
22
1
11
2
1
11
2 2)1(
1
xxxx
)(1)'( xx
2
21
21
12
1),(,2
xxpm 时
2
2
22
2
22
1
11
2
1
11
2 2)1(2
1e x p
xxxx
)(1)'(
2
1e x p)2()( 21
2 xxxp
m
还可以证明,若 (X1,X2,…,X m)’ 服从正态分布，则
① 每一个 X i ( i=1至 m)都服从一维正态分布；
② 任意 k个 ( k=1至 m-1)所组成的 k维随机变量
(X1,X2,…,X k)’ 都服从 k 维正态分布。
当随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立,其分布函数依次为 F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)时,Y= 的分布函数 iXni1 m a x；
i
in yFyFyFyFyF )()()()()( 21m a x?
Z= 的分布函数
iXni1 m in
)](1[)](1) ] [(1[1)( 21mi n zFzFzFzF n
论述如下,根据题意,=P{Y<y}
=P{X1<y,X2<y,…,Xn< y }=P{X1<y} P{X2<y}…P{Xn< y }
)(max yF?
7,max分布与 min分布
i
i zF?)](1[1
论述如下,根据题意,=P{Y<y}
=P{X1<y,X2<y,…,Xn< y }=P{X1<y} P{X2<y}…P{Xn< y }
)(max yF?；
i
in yFyFyFyF )()()()( 21?
)(mi n zF? =P{Z<z}=1-P{Z≥z}
=1- P{ X1≥z,X2≥z,…,Xn≥z}
=1- P{ X1≥z} P{ X2≥z}… P{Xn≥z}
=1-[1- P{ X1<z}] [1- P{ X2<z}]… [1- P{Xn<z}]
= 1-[ 1-F1(z)] ·[ 1-F2(z)]·…·[ 1 -Fn(z)]
i
i zF?)](1[1
特殊地,当随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立,
)(max yF?
)(mi n zF?
其分布函数同为 F ( )时,=[ F ( y)]n,
= 1-[ 1-F (z)] n。；
i
in yFyFyFyFyF )()()()()( 21m a x?
)](1[)](1) ] [(1[1)( 21mi n zFzFzFzF n
i
i zF?)](1[1
因此，求 与 的关键是：
由分布密度求分布函数。
)(max yF? )(mi n zF?
