学习,概率论与数理统计,的意义
1、重要的专业基础课：是计量经济学、抽样调查、市场调查、多元统计、统计预测与决策、
时间序列分析、国民经济核算、数据处理与数据分析等专业主干课的学习基础。
2、考研的重要内容：考研的数学试卷 150分，
其中概率论与数理统计内容约 40分。
3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处理。
课程结构概率论数理统计 随机过程概率论基本概念与古典概率一维随机变量 二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计数理统计基本概念参数估计 假设检验方差分析 回归分析 非参数检验第一章 概率论的基本概念第一节 随机试验随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，在大量重复试验或观察中又呈现某种固有的规律性 (统计规律性 )。
试验举例：
E1：掷一颗骰子，观察出现的点数。
E2：记录某电话交换台一分钟内接到的呼叫次数。
E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命。
以上试验共有的特点：
1、可以在相同的条件下重复进行 ;
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先确定试验的所有可能结果 ;
3、进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
具有上述特点的试验称为随机试验（试验）。
随机事件（事件）：在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情。一般用大写字母 A,B,C… 表示事件。
基本事件（样本点）,在一次随机试验中，它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件，我们称其为基本事件（样本点）。
第二节、样本空间、随机事件样本空间（基本事件空间）：试验的基本事件全体所组成的集合，记作 Ω。
E1,Ω=｛ 1,2,3,4,5,6｝
E2,Ω=｛ 0,1,2,3,… ｝
E3,Ω=｛ t ｜ ｝0?t
必然事件 Ω：在一定条件下必然会发生的事件。
不可能事件?：在一定条件下必定不会发生的事件。
一、样本空间、随机事件事件与基本事件的关系：
若事件 A发生，则 A所含的某个基本事件一定发生 ;
若 A所含的某个基本事件发生，便说 A发生。
二、事件的关系与运算
1,A B,若事件 A发生，必然导致事件 B发生。
若 A B,B A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A=B。?
2,A B,事件 A与事件 B至少有一个发生。
我们称其为事件 A与事件 B的并事件（或称和）。
,事件 至少有一个发生。
)A( n
1k
k21
nAAA nAAA?，,21
3,(AB),事件 A与事件 B同时发生。
我们称其为事件 A与事件 B的积事件（或称交）。
BA?
)(
1
21
n
k
kn AAAA
事件 同时发生。nAAA,，,?21
4,A-B,事件 A发生而事件 B不发生。
我们称其为事件 A与事件 B的差。
5,AB=?,事件 A与事件 B不能同时发生。
我们称事件 A与事件 B是互不相容的。
BA?6,= Ω 且 AB=?:事件 A与事件 B中必然有一个发生，
且只有一个发生。
我们称事件 A与事件 B互为对立事件，记为 B= 。A
显然，有 =A,=?,= Ω 。A?
事件的运算规律,事件的运算满足交换律、分配律、结合律、德莫根 (Demorgan)律。 (参见教材 P6)
若事件 称是两两互不相容的。,，，，，，,mjijiAA ji?21 m
AA,,?1
第三节,频率与概率一、频率定义 1.1 在相同条件下，重复进行 n次试验 E，随机事件 A
在 n次试验中出现的次数 m称为频数,m/n称为事件 A的频率，记为,即)(Af
n
)(Afn =m/n频率的性质设随机试验 E的样本空间为 Ω,A,B为 E的两个 随机事件，
则在 n次试验中，频率具有以下性质,
1)(0 Af n1、
2,1)(
nf
3,若 AB=?，则
)()()( BfAfBAf nnn
说明,
性质 3对随机试验 E中任意 m个两两互不相容的事件也成立，即
iA
mi,，,?21?
)()(
11
i
m
i
n
m
i
in AfAf?
二、概率的定义定义 1.2 (概率的定义 )
设 E是随机试验,Ω是 E的样本空间。对于 E的每一个事件 A，赋予一实数，记为 P(A)。若 P(A)满足以下条件,
1,对于任何事件 A，有 ；0)(?AP
2,对于两两互不相容的事件 有?，，,21?iA
i
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11
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i
i
i APAP?
3,1)(P
三、概率的性质性质 1 0)(P
性质 2 (概率的有限可加性 )
设 两两互不相容，则niA
i,，，,?21?
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11
n
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i APAP?
性质 3 设 是 A的对立事件，则A
)(1)( APAP
性质 4 设 A,B为二事件，则
)()()()( ABPBPAPBAP
推广,
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21
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AAPAPAP
特别，有
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A B CPBCPACP
ABPCPBPAPCBAP
性质 5 设 A,B为二事件，若,则有
1) P(B-A)=P(B)-P(A)
2)
BA?
)()( APBP?
性质 6 1)(?AP
笫四节、古典概型特点,
1) 试验的样本空间中的基本事件只有有限个，记为
｝，，，｛ n21
2) 每个基本事件发生的概率是相同的，即
)()()( 21 nPPP
具有以上特点的随机现象称为等可能概型，又称古典概型。
对古典概型，有
ninP i,，，,?211)(
古典概型计算需知,
1) 样本空间 Ω中包含的基本事件数 ;
2) 事件 A中包含的基本事件数。
一、古典概型加法原理,
设完成一件事有 m种方式，第 种方式有 种方法，
则完成这件事共有 种方法。
i in
m
i
in
1乘法原理,
设完成一件事有 m个步骤，第 个步骤有 种方法，则完成这件事共有 种方法。
i in
m
i
in
1排列公式,
1) 从 m个不同元素中不重复地选取 n个元素进行排列，则排列的种数为当 n=m时，称 为全排列公式。
！
！
)()( nm
mPA n
m
n
m
！mAP mmm
n
kAP?
中包含的基本事件数中包含的基本事件数A)(
2) 从 m个不同元素中可重复地选取 n个元素进行排列，共有 种方法。
nmmmm
2) 若从 m个不同元素中可重复地选取 n个元素，组成一组而不管其顺序，所有不同组合的总数为
！！
！
)1(
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1?
mn
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组合公式,
1) 若从 m个不同元素中不重复地选取 n个元素，组成一组而不管其顺序，称为从 m个不同元素中选取 n个元素的组合。所有不同组合的总数，记作 或 。n
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n
m
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公式：
!nCA nmnm?
例 2,(装箱问题 )
n个箱子按序编号 (彼此有区别 ),r个球按以下方式装入箱中,r<n:
1) 小球可辨，每箱容量不限；
2) 小球可辨，每箱不超过一球；
3) 小球不可辨，每箱不超过一球；
4) 小球不可辨，每箱容量不限。
设 A=｛某预先指定的 r个箱中各有一球｝，求 P(A)。
设事件 B=｛某 r个箱中各有一球｝，在第 1)种装箱中，求 P(B)
(生日问题 )：
，rrn
n
rCBP !)(? r
r
n
n
rCBP !1)(
当 n=365,r=40,P(B)=0.109。
0.9990.9970.9700.8910.7060.5070.411
100645040302320r
)(BP
古典概型的典型问题：分房问题、抽球问题、随机取数问题例 3(随机取数 ) 在 1~2000的整数中 随机地取一个数，求取到的数既不能被 6整除，又不能被 8整除的概率。
设 A=｛取到的数能被 6整除｝,B=｛取到的数能被 8整除｝。
欲求
)( BAP
例 4(分房问题 ) 将 15名新生随机地分配到三个班级中去，这
15名新生中有 3名是优秀生。
1) 设 A=｛每个班级分到一名优秀生｝，求 P(A)；
2) 设 B=｛ 3名优秀生分到同一班级｝，求 P(B)。
例 5(抽球问题 ) 设箱中有 a+b张奖券，其中 a张中奖,b张不中奖。现将奖券一张张摸出，求第 k次摸出中奖奖券的概率。
)1( bak
计算古典概型的解题步骤：
1,根据题目要求，确定基本事件和样本空间 Ω；
2,设出需求概率的事件 A，此时应注意 A是否确由某些基本事件所组成；
3,确定 Ω与 A中包含的基本事件数，计算 P(A)。
实际推断原理 (小概率原理 )：
概率很小的事件在一次试验中几乎不发生。
二、几何概型特点：
1、试验的可能结果有无数个，且能找到一个度量大于零的区域 G，使试验的所有可能结果与区域 G中的点一一对应。
2、试验的每个可能结果出现的可能性相同。
度量：长度、面积、体积等设事件 A所有可能结果与区域 G的某个子域 g中的点一一对应，则
P(A)=g的度量 /G的度量
1、重要的专业基础课：是计量经济学、抽样调查、市场调查、多元统计、统计预测与决策、
时间序列分析、国民经济核算、数据处理与数据分析等专业主干课的学习基础。
2、考研的重要内容：考研的数学试卷 150分，
其中概率论与数理统计内容约 40分。
3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处理。
课程结构概率论数理统计 随机过程概率论基本概念与古典概率一维随机变量 二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计数理统计基本概念参数估计 假设检验方差分析 回归分析 非参数检验第一章 概率论的基本概念第一节 随机试验随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，在大量重复试验或观察中又呈现某种固有的规律性 (统计规律性 )。
试验举例：
E1：掷一颗骰子，观察出现的点数。
E2：记录某电话交换台一分钟内接到的呼叫次数。
E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命。
以上试验共有的特点：
1、可以在相同的条件下重复进行 ;
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先确定试验的所有可能结果 ;
3、进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
具有上述特点的试验称为随机试验（试验）。
随机事件（事件）：在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情。一般用大写字母 A,B,C… 表示事件。
基本事件（样本点）,在一次随机试验中，它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件，我们称其为基本事件（样本点）。
第二节、样本空间、随机事件样本空间（基本事件空间）：试验的基本事件全体所组成的集合，记作 Ω。
E1,Ω=｛ 1,2,3,4,5,6｝
E2,Ω=｛ 0,1,2,3,… ｝
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必然事件 Ω：在一定条件下必然会发生的事件。
不可能事件?：在一定条件下必定不会发生的事件。
一、样本空间、随机事件事件与基本事件的关系：
若事件 A发生，则 A所含的某个基本事件一定发生 ;
若 A所含的某个基本事件发生，便说 A发生。
二、事件的关系与运算
1,A B,若事件 A发生，必然导致事件 B发生。
若 A B,B A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A=B。?
2,A B,事件 A与事件 B至少有一个发生。
我们称其为事件 A与事件 B的并事件（或称和）。
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我们称事件 A与事件 B是互不相容的。
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我们称事件 A与事件 B互为对立事件，记为 B= 。A
显然，有 =A,=?,= Ω 。A?
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第三节,频率与概率一、频率定义 1.1 在相同条件下，重复进行 n次试验 E，随机事件 A
在 n次试验中出现的次数 m称为频数,m/n称为事件 A的频率，记为,即)(Af
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1) 试验的样本空间中的基本事件只有有限个，记为
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具有以上特点的随机现象称为等可能概型，又称古典概型。
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古典概型计算需知,
1) 样本空间 Ω中包含的基本事件数 ;
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一、古典概型加法原理,
设完成一件事有 m种方式，第 种方式有 种方法，
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设完成一件事有 m个步骤，第 个步骤有 种方法，则完成这件事共有 种方法。
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中包含的基本事件数中包含的基本事件数A)(
2) 从 m个不同元素中可重复地选取 n个元素进行排列，共有 种方法。
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例 2,(装箱问题 )
n个箱子按序编号 (彼此有区别 ),r个球按以下方式装入箱中,r<n:
1) 小球可辨，每箱容量不限；
2) 小球可辨，每箱不超过一球；
3) 小球不可辨，每箱不超过一球；
4) 小球不可辨，每箱容量不限。
设 A=｛某预先指定的 r个箱中各有一球｝，求 P(A)。
设事件 B=｛某 r个箱中各有一球｝，在第 1)种装箱中，求 P(B)
(生日问题 )：
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古典概型的典型问题：分房问题、抽球问题、随机取数问题例 3(随机取数 ) 在 1~2000的整数中 随机地取一个数，求取到的数既不能被 6整除，又不能被 8整除的概率。
设 A=｛取到的数能被 6整除｝,B=｛取到的数能被 8整除｝。
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例 4(分房问题 ) 将 15名新生随机地分配到三个班级中去，这
15名新生中有 3名是优秀生。
1) 设 A=｛每个班级分到一名优秀生｝，求 P(A)；
2) 设 B=｛ 3名优秀生分到同一班级｝，求 P(B)。
例 5(抽球问题 ) 设箱中有 a+b张奖券，其中 a张中奖,b张不中奖。现将奖券一张张摸出，求第 k次摸出中奖奖券的概率。
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计算古典概型的解题步骤：
1,根据题目要求，确定基本事件和样本空间 Ω；
2,设出需求概率的事件 A，此时应注意 A是否确由某些基本事件所组成；
3,确定 Ω与 A中包含的基本事件数，计算 P(A)。
实际推断原理 (小概率原理 )：
概率很小的事件在一次试验中几乎不发生。
二、几何概型特点：
1、试验的可能结果有无数个，且能找到一个度量大于零的区域 G，使试验的所有可能结果与区域 G中的点一一对应。
2、试验的每个可能结果出现的可能性相同。
度量：长度、面积、体积等设事件 A所有可能结果与区域 G的某个子域 g中的点一一对应，则
P(A)=g的度量 /G的度量
