第五章 静定平面桁架
§ 5-1 概 述桁架是由若干直杆组成且全为铰结点的结构计算简图形式。
一、理想桁架的概念理想桁架假定：
１、桁架中的铰为绝对光滑而无磨擦的理想铰；
２、桁架中的各杆件轴线绝对平直，且通过它两端铰中心；
３、桁架上的荷载和支座都在结点上。
理想桁架桁架的各部分名称理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是二力杆件 （由以上假定提供的可能性及二力平衡原理）。
工程中按理想桁架简化的结构从构造上与理想桁架的假定均相差很大。例如，轴线绝对平直的杆件和理想铰接在实际中均做不到，尤其是后者。
理想桁架的假定是基于反应了一类结构的主要承载和受力特点。例如，各类屋架、钢结构构架及高压线塔架等，均是由一些截面和长度都较小的直杆构成，杆件自重轻，且主要承受结点荷载，因此在杆件中的弯矩较小。由于这类杆件的长细比较大，
受压时会失稳，因此只能承受较小的弯矩，主要以承受轴力为主。
利用理想桁架计算简图计算杆件轴力（主内力）
。杆件上的弯矩、剪力（次内力）另由其他方法计算。
以下提及的桁架均为理想桁架，桁架中的杆件叫桁架杆或二力杆，桁架内力及内力计算均指桁架杆轴力计算。
一,桁架的分类桁架也有不同的分类方法 。 如按外围上,下弦杆组成的几何形状分；按在竖向荷载作用下支座有无水平推力分及按桁架的几何组成特点分 。
桁架按其几何组成特点分,
１、简单桁架：由基础或由一个基本三角形依次加二元体组成。
２,联合桁架：由若干简单桁架依次按两刚片或
（ 和 ） 三刚片规则组成 。
３,复杂桁架：除上述两类桁架以外的桁架 。
简单桁架复杂桁架联合桁架
§ 5-2 结 点 法结点法是计算桁架内力的基本方法之一 。
一,结点法依次取桁架中的单个结点为隔离体,由结点的平衡条件计算桁架内力的方法叫结点法 。
由于理想桁架的上述假设,汇交于结点的各杆轴力 （ 包括荷载和支座反力 ） 均过铰结点中心 。
所以,以单个结点为隔离体的受力图是平面汇交力系,只有两个独立的平衡方程 。
一般情况下截取结点的原则是：一个结点只能截断两根待求杆件 。
例 5-2-1 用结点法求图示桁架内力 。
解：（ 1）求支座反力
(2）结点法求内力关于桁架杆轴力的规定：
轴力以使杆件受拉为正，受压为负。
截开截面上的未知轴力应以规定的正向画出，与截面的外法线方向一致的箭线即表示正向拉力。表示轴力的箭线均应画在相应截面的外法线一侧。
对结点来说（与结点相连一侧杆端截面），杆件正向轴力箭线应画在与杆件同侧,并使箭头指出结点，
杆件负向轴力箭线也应画在与杆轴同侧，并使箭头指向结点。
结点１：由 ∑ Fx=0 ∑ Fy=0 得：
FN12= -20kN FN16=0
（图中未示出坐标的，默认水平方向为Ｘ轴。以下均遵守此约定）
结点２,由于杆 12的轴力已求出，取该结点可求得另两个杆力。在受力图中，已知力（结点上的荷载，
已求出的杆轴力）一般按实际方向画出，并注意同一杆轴力对杆两端结点的作用与反作用关系。
由 Fy= 0 得,FN26× sinα+10–20=0
已知 sinα=1/√5,cosα=2 /√5 代入上式,得
FN26 = 10√5 kN
由 ∑ Fx= 0 得,FN23＋ FN26× cosα=０
FN23=－ 20kN
注意：当有斜杆（与坐标轴不平行）时，斜杆长度Ｌ和它的两个投影长度 lx,ly组成的直角三角形与斜杆轴力 FN和它的两个投影 FNＸ,FNＹ 组成的三角形是相似三角形。因此有两三角形对应边成比例关系，可叫作力和杆长比例关系：
FN/l = FNx/lx= FNy/ly
l,lx,ly是已知的，只要求出 FN,FNx,FNy中任一个就可由该式计算出另两个。
所以对于斜杆轴力可按坐标轴分解，先求分力再求合力。如此，结点２的受力图和计算如下：
∑Fy= 0 F26y+10－ 20=0
F26y=10kN
由比例关系：
FN26=( F26y/l26y)× l26=10√5 kN
F26x= ( F26y/l26y)× l26x =20 kN
∑Fx＝０ FN23+F26x=0
FN23=－ 20kN
结点６：
∑ Fx= 0 FN65 = 20 kN
∑ Fy= 0 FN63 =－ 10 kN
结点３,∑Fy＝０ F35y＝－ 10 kN
FN35 = ( F35y/l35y)× l35 =－ 10√5 kN
F35x = ( F35y/l35y)× l35x =－ 20 kN
∑Fx= 0 FN34 = 0
结点５：
∑Fy=０ FN45+20－ 10=0 F26y = － 10 kN
由结点４校核,满足 。
各杆轴力见图 。
注明：本例是一个简单桁架。在计算中，按照拆二元体（由最外层开始）的顺序依次截取结点为隔离体，则每个结点只有两个待求轴力杆件。所以，
简单桁架的内力可全部用结点法计算。
一、结点汇交力系平衡的特殊情况结点单杆的概念：若一结点上,除一根杆件外,
其它杆件均共线,则这根独立的杆叫该结点上的结点单杆 。
结点单杆的轴力：一般情况下,结点单杆的轴力可以由该结点的平衡条件唯一确定,而不受结点法对所截待求杆件数的限制；当结点上无荷载作用时
,该结点上的结点单杆轴力等于零 （ 称为零杆 ） 。
零杆是结点单杆的特殊情况 。
在桁架的内力计算中,利用结点单杆的特点可事先判定其内力 （ 或判定零杆 ）,显然能加快计算速度,减少出错；有时,是一条必经的关键解题路徑 。
§ 5-1 概 述桁架是由若干直杆组成且全为铰结点的结构计算简图形式。
一、理想桁架的概念理想桁架假定：
１、桁架中的铰为绝对光滑而无磨擦的理想铰；
２、桁架中的各杆件轴线绝对平直，且通过它两端铰中心；
３、桁架上的荷载和支座都在结点上。
理想桁架桁架的各部分名称理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是二力杆件 （由以上假定提供的可能性及二力平衡原理）。
工程中按理想桁架简化的结构从构造上与理想桁架的假定均相差很大。例如，轴线绝对平直的杆件和理想铰接在实际中均做不到，尤其是后者。
理想桁架的假定是基于反应了一类结构的主要承载和受力特点。例如，各类屋架、钢结构构架及高压线塔架等，均是由一些截面和长度都较小的直杆构成，杆件自重轻，且主要承受结点荷载，因此在杆件中的弯矩较小。由于这类杆件的长细比较大，
受压时会失稳，因此只能承受较小的弯矩，主要以承受轴力为主。
利用理想桁架计算简图计算杆件轴力（主内力）
。杆件上的弯矩、剪力（次内力）另由其他方法计算。
以下提及的桁架均为理想桁架，桁架中的杆件叫桁架杆或二力杆，桁架内力及内力计算均指桁架杆轴力计算。
一,桁架的分类桁架也有不同的分类方法 。 如按外围上,下弦杆组成的几何形状分；按在竖向荷载作用下支座有无水平推力分及按桁架的几何组成特点分 。
桁架按其几何组成特点分,
１、简单桁架：由基础或由一个基本三角形依次加二元体组成。
２,联合桁架：由若干简单桁架依次按两刚片或
（ 和 ） 三刚片规则组成 。
３,复杂桁架：除上述两类桁架以外的桁架 。
简单桁架复杂桁架联合桁架
§ 5-2 结 点 法结点法是计算桁架内力的基本方法之一 。
一,结点法依次取桁架中的单个结点为隔离体,由结点的平衡条件计算桁架内力的方法叫结点法 。
由于理想桁架的上述假设,汇交于结点的各杆轴力 （ 包括荷载和支座反力 ） 均过铰结点中心 。
所以,以单个结点为隔离体的受力图是平面汇交力系,只有两个独立的平衡方程 。
一般情况下截取结点的原则是：一个结点只能截断两根待求杆件 。
例 5-2-1 用结点法求图示桁架内力 。
解：（ 1）求支座反力
(2）结点法求内力关于桁架杆轴力的规定：
轴力以使杆件受拉为正，受压为负。
截开截面上的未知轴力应以规定的正向画出，与截面的外法线方向一致的箭线即表示正向拉力。表示轴力的箭线均应画在相应截面的外法线一侧。
对结点来说（与结点相连一侧杆端截面），杆件正向轴力箭线应画在与杆件同侧,并使箭头指出结点，
杆件负向轴力箭线也应画在与杆轴同侧，并使箭头指向结点。
结点１：由 ∑ Fx=0 ∑ Fy=0 得：
FN12= -20kN FN16=0
（图中未示出坐标的，默认水平方向为Ｘ轴。以下均遵守此约定）
结点２,由于杆 12的轴力已求出，取该结点可求得另两个杆力。在受力图中，已知力（结点上的荷载，
已求出的杆轴力）一般按实际方向画出，并注意同一杆轴力对杆两端结点的作用与反作用关系。
由 Fy= 0 得,FN26× sinα+10–20=0
已知 sinα=1/√5,cosα=2 /√5 代入上式,得
FN26 = 10√5 kN
由 ∑ Fx= 0 得,FN23＋ FN26× cosα=０
FN23=－ 20kN
注意：当有斜杆（与坐标轴不平行）时，斜杆长度Ｌ和它的两个投影长度 lx,ly组成的直角三角形与斜杆轴力 FN和它的两个投影 FNＸ,FNＹ 组成的三角形是相似三角形。因此有两三角形对应边成比例关系，可叫作力和杆长比例关系：
FN/l = FNx/lx= FNy/ly
l,lx,ly是已知的，只要求出 FN,FNx,FNy中任一个就可由该式计算出另两个。
所以对于斜杆轴力可按坐标轴分解，先求分力再求合力。如此，结点２的受力图和计算如下：
∑Fy= 0 F26y+10－ 20=0
F26y=10kN
由比例关系：
FN26=( F26y/l26y)× l26=10√5 kN
F26x= ( F26y/l26y)× l26x =20 kN
∑Fx＝０ FN23+F26x=0
FN23=－ 20kN
结点６：
∑ Fx= 0 FN65 = 20 kN
∑ Fy= 0 FN63 =－ 10 kN
结点３,∑Fy＝０ F35y＝－ 10 kN
FN35 = ( F35y/l35y)× l35 =－ 10√5 kN
F35x = ( F35y/l35y)× l35x =－ 20 kN
∑Fx= 0 FN34 = 0
结点５：
∑Fy=０ FN45+20－ 10=0 F26y = － 10 kN
由结点４校核,满足 。
各杆轴力见图 。
注明：本例是一个简单桁架。在计算中，按照拆二元体（由最外层开始）的顺序依次截取结点为隔离体，则每个结点只有两个待求轴力杆件。所以，
简单桁架的内力可全部用结点法计算。
一、结点汇交力系平衡的特殊情况结点单杆的概念：若一结点上,除一根杆件外,
其它杆件均共线,则这根独立的杆叫该结点上的结点单杆 。
结点单杆的轴力：一般情况下,结点单杆的轴力可以由该结点的平衡条件唯一确定,而不受结点法对所截待求杆件数的限制；当结点上无荷载作用时
,该结点上的结点单杆轴力等于零 （ 称为零杆 ） 。
零杆是结点单杆的特殊情况 。
在桁架的内力计算中,利用结点单杆的特点可事先判定其内力 （ 或判定零杆 ）,显然能加快计算速度,减少出错；有时,是一条必经的关键解题路徑 。
