2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料考研数学学习班组织委员会 第 1 页高等数学学习手记文登数学复习指南二李数学复习全书配套参考资料策 划Kj1234cn Yacyin大头林南天云顾 问陈文灯黄先开李永乐李正元范培华袁荫棠曹显宾施明存编 委Chenkebin Dandan Kj1234cn Nbspace Potato Sodme Yacyin Yyjjnn
指定站点www.kaoyan.com考研加油站考研论坛数学版下载站点ftp://shuxue:shuxue@61.129.81.16/
高数主编Chenkebin
第 一 章函数极限连续含初等数学主 编Yacyin
第 二 章一元函数微分学主 编第 三 章一元函数积分学主 编第 四 章向量代数和空间解析几何主 编第 五 章多元函数微分学主 编第 六 章多元函数积分学主 编第 七 章无穷级数主 编第 八 章常微分方程含差分方程主 编线代主编Yacyin
第 一 章行列式主 编第 二 章矩阵主 编第 三 章向量主 编第 四 章线性方程组主 编第 五 章矩阵的特征值和特征向量主 编第 六 章二次型主 编概统主编Dandan
第 一 章随机事件和概率主 编第 二 章随机变量及其概率分布主 编第 三 章二维随机变量及其概率分布主 编第 四 章随机变量的数字特征主 编第 五 章大数定律和中心极限定理主 编第 六 章数理统计的基本概念主 编第 七 章参数估计主 编第 八 章假设检验主 编
2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料考研数学学习班组织委员会 第 2 页第章初等数学常用公式一初等函数
1常值函数
值域是只含一个元素的集合的函数叫做常值函数通常记为()yfxa==a为常数
2一次函数
自变量为一次的整式所表示的函数叫做一次函数他的一般形式为ykxb=+其中k
b为常数且0k ≠
在满足上述条件下若0b=就称函数为正比例函数定义域实数集R
值 域实数集R
0b≠ 0b=正比例函数
0k null 0k? 0k null 0k?增减性增函数减函数增函数减函数过()0,b,0
b
k
的直线过()0,0 ()1,k的直线特 点
k斜率a倾角tanka=
3反比例函数
函数
k
y
x
=叫做反比例函数其中k叫做比例系数定义域{}
0,Dxx xR=≠∈
0k null 0k?
增减性减函数增函数在象限在象限特 点等轴双曲线坐标轴为渐近线
4二次函数
由二次多项式表示的函数即
2
yax bxc=++ 0a ≠叫做x的二次函数定义域实数集R
0a null 0a?
2
b
x
a
2
b
x
a
null
2
b
x
a
2
b
x
a
null
增减性减函数增函数增函数减函数极 值
2
b
x
a
=?
2
min
4
4
ac b
y
a
=
2
b
x
a
=?
2
max
4
4
ac b
y
a
=
开口向上开口向下特 点顶点
2
4
,
24
bacb
aa
对称轴直线
2
b
x
a
=?
5幂函数
形如
a
yx=的函数叫做幂函数式中a为任意实常数定义域使
a
x有意义的实数集合高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 3 页
0a null 0a?
a为偶数a为奇数a为负偶数a为负奇数奇偶性偶函数奇函数偶函数奇函数
(),0?∞中为减(),0?∞中为增增减性
()0,∞中为增增函数
()0,∞中为减减函数特 点曲线都通过点()0,0和()1,1曲线都通过点()1,1
6指数函数
形如
x
ya= 0,1,aa x≠?∞ ∞null的函数叫做指数函数定义域xR∈ 0,1aa≠null
值 域yR
+
∈
1a null 01a
()
()
()
10
10
10
x
x
ax
x
==
nullnull
()
()
()
10
10
10
x
x
ax
x
==
null
null?
性 质增函数减函数特点曲线与y轴相交于点()0,1A渐近线为x轴0y =
7对数函数
在函数关系式
y
xa=中0,1,0aa x≠∞null若把x视为自变量y视作因变量则称y是以a为底的x的对数函数x称为真数记作log
a
yx=
指数函数和对数函数互为反函数定义域xR
+
∈ 0,1aa≠null
值 域
yR∈
1a null 01a
()
()
()
01
log 0 1
00 1
a
x
xx
x
==
nullnull
()
()
()
01
log 0 1
00 1
a
x
xx
x
==
null
null
性 质增函数减函数特 点曲线与x轴相交于点()1,0A渐近线为y轴0x =
8三角函数详见第二节
9反三角函数详见第二节二三角函数及反三角函数
1同角三角函数的基本关系式倒数关系
sin csc 1aa?=
cos sec 1aa?=
tan cot 1aa?=
商数关系考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 4 页 考研数学学习班组织委员会
sin
tan
cos
a
a
a
=
cos
cot
sin
a
a
a
=
平方关系
22
sin cos 1aa+=
22
1tan secaa+=
22
1 cot cscaa+=
2诱导公式略
3两角和与差的三角函数
()cos cos cos sin sinαβ α β α β+=?
()cos cos cos sin sinαβ α β α β?= +
()sin sin cos cos sinαβ α β α β+= +
()sin sin cos cos sinαβ α β α β?=?
()
tan tan
tan
1tan tan
αβ
αβ
αβ
+
+=
()
tan tan
tan
1tan tan
αβ
αβ
αβ
=
+?
4二倍角公式含部分三倍角公式
sin 2 2sin cosααα=
22 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinaa a aα =? =?=?
2
2tan
tan 2
1tan
α
α
α
=
3
sin 3 3sin 4sinθθ θ=?
3
cos3 4cos 3cosθθθ=?
5半角公式
1cos
sin
22
αα?
=±
1cos
cos
22
αα+
=±
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 5 页
1 cos sin 1 cos
tan
21cos1cos sin
αααα
αα
=± = =
++
万能公式
2
2tan
2
sin
1tan
2
α
α
α
=
+
2
2
1tan
2
cos
1tan
2
α
α
α
=
+
2
2tan
2
tan
1tan
2
α
α
α
=
万能代换
令tan
2
t
α
=则
2
2
sin
1
t
t
α =
+
2
2
1
cos
1
t
t
α
=
+
2
2
tan
1
t
t
α =
6积化和差与和差化积公式积化和差公式
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
αβ αβ αβ=++?
1
cos sin [sin( ) sin( )]
2
αβ αβ αβ=+
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
αβ αβ αβ=++?
1
sin cos [cos( ) cos( )]
2
αβ αβ αβ=? +
和差化积公式
()()
sin sin 2sin cos
22
θ? θ?
θ?
+?
+=
()()
sin sin 2cos sin
22
θ? θ?
θ?
+?
=
()()
cos cos 2cos cos
22
θ? θ?
θ?
+?
+=
()()
cos cos 2sin sin
22
θ? θ?
θ?
+?
=?
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 6 页 考研数学学习班组织委员会
()
22
sin cos sinab abθ? θ?+=+ +
其中?角所在象限由,ab的符号确定?角的值由tan
b
a
=确定
7三角函数的性质函数式
siny α=
cosy α= tany α= coty α=
定义域RR
,,
2
xx Rx k k Z
π
π
∈≠+∈
{}
,,xxRxkkZπ∈≠ ∈
值 域
[]
1,1?
最大值为1
最小值为-1
[]
1,1?
最大值为1
最小值为-1
R
函数无最大值函数无最小值
R
函数无最大值函数无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π
奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数单调性在
2,2
22
kk
ππ
ππ
+ +
上都是增函数在
3
2,2
22
kk
ππ
ππ
++
上都是减函数
()kZ∈
在
()21,2kkππ
上都是增函数在
()2,2 1kkππ+
上都是减函数
()kZ∈
在
2,2
22
kk
ππ
ππ
+ +
内都是增函数
()kZ∈
在
()(),1kkππ+
内都是增函数
()kZ∈
8反三角函数的性质函数式
arcsiny α=
arccosy α= arctany α= arccoty α=
定义域[]
1,1?
[]
1,1? (),?∞ +∞ (),?∞ +∞
值 域
,
22
ππ
[]
0,π,
22
ππ
()0,π
单调性在区间
[]
1,1?上是增函数在区间
[]
1,1?上是减函数在区间
(),?∞ +∞
上是增函数在区间
(),?∞ +∞
上是减函数奇偶性奇函数非奇非偶奇函数非奇非偶三排列组合二项式定理
1排列数公式
()()( )12 1
m
n
Pnn n nm=+null
2组合数公式
()()( )
()
12 1
!
!!
m
m n
n m
m
nn n n mP
n
C
Pmmm
+
== =
null
3组合数的性质
mnm
nn
CC
=
1
1
mmm
nnn
CCC
+
=+
4排列数和组合数的关系
!
mm
nn
PCm=?
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 7 页第一章函数极限连续一考试内容
函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义以及它们的性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
1
lim 1
x
x
e
x
→∞
+=
函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质有界性最大值和最小值定理介值定理二考试要求
1理解函数的概念掌握函数的表示方法并会建立简单应用问题中的函数关系式
2了解函数的奇偶性单调性周期性和有界性
3理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念
4掌握基本初等函数的性质及其图形
5理解极限的概念理解函数左极限与右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系
6掌握极限的性质及四则运算法则
7掌握极限存在的两个准则并会利用它们求极限掌握利用两个重要极限求极限的方法
8理解无穷小无穷大以及阶的概念掌握无穷小的比较方法会用等价无穷小求极限
9理解函数连续性的概念含左连续与右连续会判别函数间断点的类型
10了解连续函数的性质和初等函数的连续性了解闭区间上连续函数的性质有界性最大值和最小值定理介值定理并会应用这些性质三典型例题分析本小节由Chenkebin编写
本章主要题型有复合分段函数的求值直接计算给定的极限或根据给定的极限反过来确定式子中的常数这个里面包含了很多数列收敛的问题讨论函数的连续性判断间断点的类型无穷小阶的比较讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间有无实根
1复合分段函数问题例题1设函数()
1,1,
0,1,
1,1,
x
fx x
x
==
null
()
x
gx e=求f[g(x)]与g[f(x)].
分析这是函数记号的运算基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系解因为()
x
gx e=故考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 8 页 考研数学学习班组织委员会当x<0时() 1gx < f[g(x)] 1
当x=0时() 1gx= f[g(x)] 0
当x>0时() 1gx> f[g(x)] 1
总之有()
1,0,
0,0,
1,0,
x
fgx x
x
==
null
而()
()fx
gfx e=
所以()
1
e,x 1
1,x 1
e,1
gfx
x
<
==
>
例题2设()
2,0
2,0
xx
gx
xx
≤
=
+>
()
2
,0
,0
xx
fx
xx
<
=
≥
求g[f(x)]
分析函数的复合本质上是对应关系的乘积并非简单的代入要注意f(x)的值域与g(x)
的定义域之交非空集合以及g[f(x)]定义域的变化解我们可以这样做
g[f(x)]
2(),()0
() 2,() 0
fx fx
fx fx
≤
+>
2
2,0
2,0
xx
xx
+≥?
<
之间要注意定义域和值域相互之间的关系
2求极限的方法重点内容请注意第四部分的极限专项方法综述例题1求
2
sin sin
sin
lim
11
1
2
x
nn
n
nn
n
ππ
π
→∞
++?+
+
++
解本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目由于
sin sin sin
1
iii
nnn
i
nn
n
n
πππ
<<
+
+
所以
11 1
sin
sin sin
1
nn n
ii i
i
n
i
nn nn
n
n
π
ππ
== =
<<
+
+
∑∑ ∑
而且
1
0
1
12
lim sin sin
n
n
i
i
xdx
nn
π
π
π
→∞
=
==
∑
∫
11
2
lim sin lim( sin )
nn
nn
ii
in
nn
ππ
π
→∞ →∞
==
=× =
++
∑∑
所以利用夹逼定理可以得到原式答案为
2
π
在极限中还有一种题型就是已知极限反过来求极限中的参数的题目这类题一般是求极限思路的逆分析90需要考虑等价无穷小和罗必塔法则例题2确定常数a b c的值使
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
c c
≠
0
分析当x
→
0时ax sinx
→
0且
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
存在而且不为零所以高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 9 页
3
0
ln(1 )
lim
x
bx
t
dt
t
→
+
∫
0 *因此b必定为零因为若b>0则在0 b内
3
ln(1 )
0
t
t
+
>
若b<0则在[b 0]内
3
ln(1 )
0
t
t
+
> *均不成立确定了b之后可再由罗必塔法则确定
a c
解由于当x
→
0时ax sinx
→
0且
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
c
≠
0故b 0再用罗必塔法则
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
3
0
cos
lim
ln(1 )
x
ax
x
x
→
+
2
0
cos
lim
x
ax
x
→
若a
≠
1则上式为
∞
与条件不复合故
a 1从而再用罗必塔法则或等价无穷小代换得c
1
2
总结我们认为求极限的主要方法是罗必塔法则两个重要极限两边夹法则单调有界法则等价无穷小替换泰勒级数展开上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述综合历年的考试题目使用的主要方法就是以上五种求极限的方法是灵活的有的题目要几种方法一起用所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习只有自己有了很多的感性认识以上方法理性认识才能转化为自己的东西否则光知道这些方法是解决不了问题的
3讨论函数的连续性判断间断点的类型
这部分内容定义我们不重复了大家自己看书我感觉主要内容是两部分一是函数的连续问题二是判断间断点类型对于间断点类型数学二可能要出大题数学一基本上只会以小题形式出现连续问题综合历年考察的特点主要是考察左右连续的问题左右极限间断点的判断时间上也是考察的左右连续的问题连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极限问题例题1设f(x)
2
1
lim
nn
nn
n
xx
xx
+?
→∞
+
试讨论此函数的连续性解f(x)
2
,0 1
0,1
,1
xx
x
xx
<<
=
>
显然f(x)在
∞
-1 0 1 -1 0以及1 +
∞
内连续只要讨论在1 0 1三个点的连续性由
11
lim ( ) 1,lim ( ) 1
xx
fx fx
+?
→? →?
==
1
lim ( ) 1
x
fx
+
→
=
01
lim ( ) 1,lim ( ) 0
xx
fx fx
→→
=? =所以x 0
±
1是f(x)的三个间断点其中x 0和-1是可去间断点x 1是第一类间断点跳跃间断点例题2当x
→
1时求函数
12
1
1
1
x
x
e
x
的极限考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 10 页 考研数学学习班组织委员会解对于这类题一定要分析左右极限我把这题作为典型题是想提醒大家
x
e
是非常容易出左右极限的问题的大家一定要关注
x
e
的问题
11
11 11
lim ( ) lim 2 lim ( ) lim 2 0
xx
xx xx
fx e fx e
++
→→ →→
==+∞==所有极限不存在但是也不等于+
∞
4无穷小阶的问题首先要明确高阶低阶同阶等价的基本概念自己看书这里不再重复其实这个问题是结合在求极限问题里面的如果要你分析f(x)和g(x)两者阶的问题你就是要得到
()
lim
()
fx
gx
的值0
∞
实数1
根据这些来判断两者阶的关系当然熟练者可以充分利用等价无穷小的替换把f(x)和G(x)分别用某些等价无穷小替换成很容易观察的式子然后一眼就可以看出来下面举两个例题来说明问题例题1设函数f(x)
1cos
2
0
sin,
x
tdt
∫
g(x)
56
,
56
xx
+则当x
→
0时f(x)是g(x)的
A低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但是不等价无穷小答案 [B]
分析本题就是利用罗必塔法则求极限
0
()
lim
()
x
fx
gx
→
并利用极限
0
sin
lim
x
x
x
→
1
解
0
()
lim
()
x
fx
gx
→
22 2
45 34 2 3
000
sin sin(1 cos ) sin(1 cos ) 2sin (1 cos ) cos(1 cos )
lim lim lim
34
xxx
xx x xx x
xx xx x x
→→→
× ×? ×?
==
++ +
2
00
2(1 cos ) 2sin
lim lim
34 38
xx
xx x
→→
=
++
0所以f(x)是g(x)的高阶无穷小也就是说f(x)变化趋向小的快例题2设f(x)有连续导数且f(0) 0
'2
0
() 0,() ( ) (),
x
fx Fx x tftdt≠=?
∫
当x
→
0时
'
()Fx 与
k
x是同阶无穷小则k等于多少k 2
解本题当然可以直接用求极限的方法得到但是本题我想突出无穷小阶的运算性质可以想如下方式考虑直接得到结果由题意可知x
→
0是f(x)是x的1阶无穷小又f(x)连续
0
()
x
fxdt?
∫
是x的2阶无穷小
0
()
x
tf t dt
∫
是x的3阶无穷小
2
0
()
x
xftdt
∫
是x的四阶无穷小于是F(x)是x的3阶无穷小因此当x
→
0是F(x)是x的2阶无穷小
(注意本题是想让大家明白无穷小的一些运算性质大家可以理解以下一些结论
1.设x
→
0 f(x) g(x)分别为x的n阶和m阶无穷小n<m?f(x) g(x)是x的n阶无穷小
2.设f(x)连续x
→
0时f(x)是x的n阶无穷小
0
()
x
fxdt?
∫
是x的n+1阶无穷小高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 11 页
3.设f(x)有连续的导数x
→
0时f(x)是x的n阶n>1无穷小
'
()fx是x的k阶无穷小则k n-1 )
5讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间有无实根
这个知识点的问题我们个人认为主要是介值定理的应用一般不会单独出题它会综合在其他章节的知识点中主要应用于说明存在性问题下面提一个例题简单说明一下这个问题例题1证明方程x
x
2
1至少有一个小于1的正根证明命f(x) x
x
2
1则f(x)处处连续由题目要求小于1的正根故所讨论的区间为[0 1]又f(0) -1<0 f(1)=1>0所有由连续函数的介值定理可以得到在[0 1]之间至少存在一个根
0
x
使f(
0
x
) 0所有至少存在一个正根
0
x满足x
x
2
1
6个人的一些看法本章和导数是密切联系的以上的东西没有过多的很导数概念结合导数我们在第二章将具体阐述但是大家要注意联系和导数概念结合的各方面极限问题本章中还可能出现的一些问题我只考虑到渐进线其他的希望大家集思广益不过要注意是在本章中出现的问题涉及其他章节过多的就算了
1渐进线lim( ( ) ) 0
x
f x ax b
→∞
=就表明y ax+b是y f(x)的渐进线一般用泰勒公式和级数展开来求解但是在函数和极限这一章中是可以用一些初等方法来解决的例题1求f(x)
2
1
x
x+
的斜渐进线水平和铅直渐进线很简单大家可以自己解决方法1
2
1
x
x+
1
111
(1 ) 1 ( ) 1 (1)xxoxo
xxx
+=?+ =?+
所以斜渐进线是y x-1
方法2
2
1
x
x+
x-1
1
1x+
斜渐进线的求法多半用方法1展开比较简单四典型概念典型方法本章典型概念本小节由Yyjjnn编写第一节极限
A泰乐公式及迈克劳林公式的灵活运用
'''2()
000 00 0
0
()()()()()(),()()
(,)
nn
fx fx f x x x f x x x f x x
xx
θ
θ
=+?+?++?
∈
'''2()
( ) (0) (0) (0),.,( )
(0,)
nn
fx f f x f x f x
x
θ
θ
=+ + ++
∈
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 12 页 考研数学学习班组织委员会求极限时常用的几个公式,即以下的4个公式(等价无穷小的运用)
35
24
35
23
sin,..
3! 5!
cos 1,..
2! 4!
tan,..
35
(1) (1)(2)
(1 ) 1,..
2! 3!
am a a a
xx
xx
xx
x
xx
xx
mm mm m
xmx x x
=? + +
=? + +
=? + +
+=++ + +
(这个公式一定要记住 很有用许多公式可以由此推出例如
35
'2(1) '
(tan ) (1 ) (,..)
35
xx
xxx
=+ =? + +
积分得
35
...
35
xx
x?++
23
ln(1 ),..
23
xx
xx+=?++
也可利用上述方法推出此公式
0
!
nn
x
x
e
n
=
∑
利用上述公式举一个例子
23
33
00
(1 ) * ( ) (1 )
*sin (1 ) 1
23!
lim lim
3
x
xx
xx
xxxx
exxx
xx
→→
++ +
+
==
这种题型97 99年出现过填空题还有几个值得注意的公式
23 1
1 (1 )(1,.,)
nn
xxxxxx
=? +++++
222 2
(1)(21)
1 2 3,..
6
nn n
n
++
++++=
333 3 2
(1)
1 2 3,.,[ ]
2
nn
n
+
++++=
1
()()
0
1
lim[1 ( )] lim[1 ]
()
oxox
xx
ox e
ox
→→∞
+=+=
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
上述公式也很有用例如(利用1的公式)
2 2
22 3 (1)
00 0
1 cos 1 cos 1 cos
lim lim lim
*2
(1 cos )(1 cos )...(1 cos )
n
n
xx x
nnn
n
nn n
θθθ
θθθ θ
→→ →
===
++ +
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 13 页
B利用施笃兹定理设lim,
n
n
y
→∞
=+∞且某项N开始单调增加
1
1
!
lim lim
nn
nnn
nn
nnn
yy
xxx
yyy
+
+
→∞ →∞
+
>
=
即有:
这个公式书上没提 但做题时十分有用例如
12
lim,0
lim * *...
nn
n
n
n
n
xax
yxxx
→∞
→∞
=>
=求取常用对数
!
!111
ln ln ln
ln
ln lim lim lim ln
11
nnn
iii
n
nn n
xxx
x
ya
nnn
ya
+
+
→∞ →∞ →∞
== ==
+?
> =
∑∑∑
C利用积分定义
1
0
1
1
()* ()
n
k
k
ffxd
nn
=
=
∑
∫
见以下两个例子
1
1
0
1 2,.,1
lim
1
pp p
p
p
n
n
xdx
np
+
→∞
+++
==
+
∫
1
0
1
sin( )
cos cos( )
lim sin( )
n
n
k
bk
a
aab
n
abxdx
nb
→∞
=
+
+
=+=
∑
∫
D利用导数定义这类题目对基本概念的理解要求特别高需要考虑连续可导极限的存在性等等
(注意 并未告诉一阶可导)
00 0 0
0
0 0
0
()() ()()()()
lim lim
() () () ( )
'( ) lim '( )
hh
h
f x ah f x bh f x ah f ah f ah f x bh
ch ch
f ah f bh f bh f x bhaa
fx fx
ccc
→→
→
+ +? +
=
+ +
=+ =
历年出现次数都很多解题的技巧性较强一般出现在选择及综合题中
E数列的单调有界性这类题目的技巧性也很强特别是找出通项的递增递减的特性不容易找到可以先猜测答案 运用数学归纳法等有时需要利用涵数的特性解题97年出现过大题目已知
2
01
1
1
0,*( _ )
2
nn
n
a
uu u
u
<=求证考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 14 页 考研数学学习班组织委员会
n
ua<?
当1n>时
n
u是非减的 且lim
n
n
ua
→∞
=?
此题目可用上述方法解决过程略
F夹逼定理罗比塔法则等各种参考书上将得都很多
G中直定理在后面的学习中会逐渐用到
H利用定积分可变上限的导数求极限只讲述一下这个定理设f(x)在[a,b]上连续()tφ在[,]αβ上可导且
()
[,] [,],,() (())'()
t
a
d
a b so f x dx f t t
dt
φ
αβ φ φ =
∫
此定理运用也相当广泛第二节函数的连续性及其应用函数的连续性的定义大家都很清楚其主要应用的定理为介值零值定理即连续闭区间上的两端点值积为负值时 至少有一零点最大最小值定理即连续闭区间上的函数段必有最大最小值
1 绘制函数图象根据单调性奇偶性周期性 渐进线零极值点及最大最小值点绘图不在举例
2 证明题举一个例子设f(x)在[a,b]连续a<x1<x2<b求证对
12 1 1 2 2 1 2
,0,(,),() ()( )()tt abtfx tfx t t fξξ?>?∈ + =+
证明:
11 2 2 12
11 2 2
12 12
() () ( )()
() ()
()
(,),
tf x tf x t t f
tf x tf x
f
tt tt
xab
ξ
ξ
+=+
∴ +=
++
∈
∵
f(x)在[a,b]连续 所以f(x)∈ m,M即为这段上的最大最小值
11 1 1
12 1212
22 2 2
12 1212
11 2 2
12 12
()
(,)
()
(,)
() ()
(,)
tf x tm tM
tt tttt
tfx tm tM
tt tttt
tf x tf x
mM
tt tt
∈
+++
∈
+++
∴ +∈
++
即得证明本章典型方法本小节由Yacyin编写求极限的方法通项分解法
通项分解法是指将数列通项或者数列通项中的通项或者作因式分解经相约而化简或者由积化和差经相消而化简高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 15 页例求
22 2
11 1
lim 1 1 1
23
n
n
→∞
null
解
()()
22
11
1
1
nn
nn
+
=
原式
()()
22 2
11
1324
lim
23
n
nn
n
→∞
+
××
null
111
lim
22
n
n
n
→∞
+
=
通项归一法
通项归一法是将数列通项乘除同一个适当因式使其化为一个简单的式子或用其他方法化通项为一个简单式子例求()
()()
()
24 2
lim 1 1 1 1
n
n
xx x x
→∞
++ + +null其中1x?
解()()
()()
( )
24 2
1
111 1 1
1
n
xxx x x
x
++ + +
null
()()()
()
224 2
1
111 1
1
n
xxx x
x
++ +
null
()()
()
44 2
1
11 1
1
n
xx x
x
+ +
null
null
()
1
2
1
1
1
n
x
x
+
原式()
()()
()
24 2
lim 1 1 1 1
n
n
xx x x
→∞
++ + +null
()
1
2
1
1
1
n
x
x
+
1
1 x?
1x?
有理化方法
有理化方法是指对被求极限的算式乘除同一个适当的因式以达到消去无穷小因式或者不定型的目的例求
0
0
lim
24
x
y
xy
xy
→
→
+
解分母有理化原式
( )
0
0
24
lim
x
y
xy xy
xy
→
→
++
()
0
0
lim 2 4
x
y
xy xy
→
→
++
4?
等价无穷小无穷大代换法
在求极限时分子或分母中的无穷小或无穷大因式可用与之等价的无穷小或无穷大代替考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 16 页 考研数学学习班组织委员会
说明当0x→时
()sin tan ln 1 1 arcsin arctan
x
xxx xe x x+?～～～ ～～ ～
2
1
1cos
2
xx? ～ 1lnax x a? ～ ()11
u
xux++～
当x→∞时
12
12 1
nn n n
nn
xxax ax axa
+++++～null
例求
()
3
0
1sin1tansin
lim
sin
x
xxx xx
x
→
+?+?
解原式
()
32
0
1sin1
1cos
lim
sin cos sin
x
xxx
x
xx
→
+?
+
()
32
00
1sin1
1cos
lim lim
sin cos sin
xx
xxx
x
xx
→→
+?
+
2
32
00
1
sin
22
lim lim
cos
xx
x
xxx
xxx
→→
+
11
22
+ 1
两边夹法则优界法
两边夹法则即为大家所熟悉的夹逼准则但请注意能用夹逼准则的题目一般都能用其他的方法解决而且夹逼准则并不是绝对可行的所以大家在做题时不必在一棵树上吊死例求
12
lim
nn n
n
k
n
aa a
→∞
+++null 0
i
a null 1,2,,ik= null
解记{}
12
max,,,
k
aaaa= null则
12
nnnnn n nn
n
k
aa aa a kaak=++≤=?null
1
lim 1
n
n
k
→∞
=
lim
n
n
ak a
→∞
=由两边夹法则原式a
利用两个重要极限求极限
若在自变量x的某确定趋向下()xα为无穷小量()xβ为无穷大量则
()
()
()
0
sin
lim 1
x
x
x
α
α
α
→
=
()
()
()
1
lim sin 1
x
x
x
β
β
β
→∞
=它们分别属于
0
0
型和0∞?型
()
()
()
1
0
lim 1
x
x
xe
α
α
α
→
+=
()
()
()
1
lim 1
x
x
e
x
β
β
β
→∞
+=
它们属1
∞
型高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 17 页例求
2
1
0
1
lim
1
x
x
x
x
xa
xb
→
+
+
0a null 0b null
解原式
()
()
()
1
1
0
lim 1
1
xx
x
x
xx
ab
xb
xxb
xx
xa b
x
x
xa b
xb
+
+
→
+
+
()
0
lim
1
xx
x
x
ab
xxb
→
+
00
111
lim lim
1
xx
x
xx
ab
xb x x
→→
+
00
11
1lim lim
xx
xx
ab
xx
→→
00
lim ln lim ln
xx
xx
aa bb
→→
ln
a
b
原式
ln
a
b
e
a
b
利用罗必塔法则求极限
在利用罗必塔法则求极限时首先应考虑被求极限的式子是否是
0
0
型或
∞
∞
型若不是此种类型首先考虑是否能化为
0
0
型或
∞
∞
型其次就是考查它是否满足罗必塔法则的使用条件例求
()
2
3
2
0
0
0
lim
sin
x
x
x
tdt
tt tdt
→
∫
∫
解原式
()
3
0
2
lim
sin
x
xx
xx x
→
3
0
2
lim
sin
x
x
xx
→
2
0
6
lim
1cos
x
x
x
→
0
12
lim
sin
x
x
x
→
12
利用函数的连续性求极限
在用函数的连续性求极限时首先要明确一点对初等函数一元或多元而言初等函数在其定义域上均是连续的其方法为
() ( )
0
0
lim
xx
fx fx
→
=其中
0
x为()fx的连续点
()( )
0
0
00
lim,,
xx
yy
fxy fxy
→
→
=其中
()
000
,Mxy为(),fxy的连续点例求
()
0
11
lim
x
x
x
β
α
→
+?
α β为常数解当α β中至少有一个为零时显然有考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 18 页 考研数学学习班组织委员会
原式0
当α β均不为零时令()11yx
β
α=+?于是有0x→ 0y →故
原式
0
lim
x
y
x
→
()
()
0
ln 1
lim
ln 1
x
x
y
yx
α
αβ
α
→
+
+
()
()
00
ln 1
lim lim
ln 1
yx
x
y
yx
α
αβ
α
→→
+
+
αβ
利用极限四则运算法则求极限
当()lim
x
fx
→?
()lim
x
gx
→?
lim
x→?
指x的某确定趋向均存在即()lim
x
fx a
→?
= ()lim
x
gx b
→?
=
则()fx与()gx的和的极限等于各极限的和积的极限等于各极限的积商的极限当0b≠时等于各极限的商例求
32
32
sin
lim
32 cos
x
xxx x
xxxx
→∞
+?
++
解注意本题不能用罗必塔法则
原式
2
2
11
1sin
lim
21
3cos
x
x
xx
x
xx
→∞
+?
++
100
lim
300
x→∞
+?
++
1
3
利用定理求极限
此处所说的定理是指有界函数与无穷小的积为无穷小例求
()
lim sin 1 sin
x
xx
→+∞
+?
解原式
11
2limcos sin
22
x
xxxx
→+∞
++ +?
()
11
2limcos sin
2
21
x
xx
xx
→+∞
++
++
()
1
lim sin
21
x
xx
→+∞
++
0
又
1
2cos
2
xx++
有界
原式0
利用变量替换法求极限高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 19 页
部分一元函数和多元函数求极限时用变量替换法问题往往迎刃而解例求
()
220
0
lim
x
y
yxx
xy
→
→
+
解作变换cosxr θ= sinyr x=
[ )
0,2θπ∈ 0r null则
原式
()
0
sin cos cos
lim
r
rrr
r
θθθ
→
()
2
0
lim sin cos cos
r
r θθ θ
→
2
sin cos cos 2θθ θ?≤
又0r →
原式0
利用微分中值定理和泰勒Taylor展开式求极限
利用泰勒公式求极限时n阶泰勒公式的余项用皮亚诺形式即() ( )
()0
n
n
Rx xxο=?或
() ()
n
n
Rx xο=较为简便事实上没有必要求出拉格朗日余项注意
() ( )
kn nk
xx xοο
+
=
() () ()
nnn
xmx xοοο+= m为常数例求
()
3
0
sin 1
lim
x
x
exxx
x
→
+
解由泰勒公式知当0x→时
()
233
11 1
1
1! 2! 3!
x
exxxxο=+ + + +
()
33
1
sin
3!
xx x xο=? +
可得()sin 1
x
exxx?+
()
23 3 2
1
3
xx x x xxο++ +
()
33
1
3
xxο+
故原式
()
33
3
0
1
3
lim
x
xx
x
ο
→
+
1
3
用定积分求极限
定积分的定义式为
() ()
0
1
lim
n
b
ii
a
i
fxdx f x
λ
ξ
→
=
=?
∑
∫
其中
{}
max
i
xλ =?
[]
1
,
iii
xxξ
+
∈
1ii i
xx x
+
=?
定积分的定义实质上是求无限项无穷小的和考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 20 页 考研数学学习班组织委员会
在求极限时将
[]
,ab区间等分为n等分取
ii
xξ =或
1i
x
+ i
ba
xa i
n
=+即是取
i
ξ为第
i个区间
[]
1
,
ii
xx
+
的端点例求
22 2
12
lim
n
n
nn n
→∞
+++
null
解原式
2
1
lim
n
n
i
i
n
→∞
=
∑
1
1
lim
n
n
i
i
nn
→∞
=
∑
1
0
xdx
∫
1
2
利用导数求极限
设()yfx=在
0
x处可导则
()
()()
00
0
00
'limlim
xx
fx x fx
y
fx
→?→
+
==
()()
00
0
lim
h
fx h fx
h
→
+?
=
由导数的定义知利用导数求极限常常是求自变量趋于零在此自变量为h或x?
的极限例设()'fa存在且() 0fa≠求
1
lim
1
n
n
fa
n
I
fa
n
→∞
+
=
其中n为正整数解原式
11
ln ln
lim
nfa fa
nn
n
e
+
→∞
11
lim ln ln
n
nfa fa
nn
→∞
+
() ()
11
ln ln ln ln
lim
n
fa fa fa fa
nn
n
→∞
+
+
()2ln '
xa
fx
=
()
()
'
2
fa
fa
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 21 页
( )
()
2'fa
fa
Ie=
利用级数收敛求极限
若级数
1
n
n
u
∞
=
∑
收敛则必有lim 0
n
n
u
→∞
=
例求lim
!
n
n
a
n
→∞
a为常数解由于
!
n
a
n
是级数lim
!
n
n
a
n
→∞
的通项而幂级数lim
!
n
n
a
n
→∞
处处收敛故在xa=处收敛由收敛级数的通项必趋向于零可知
lim 0
!
n
n
a
n
→∞
=
验证极限存在后用解方程的方法求其极限
数列单调有界必有极限有两种情形单调上升下降上有下有界数列必有极限
利用此准则解题的过程是验证数列的单调性找出其单调上升下降的上下界设数列极限为x求解关于x的方程的根例设
1
3x =
1
3
nn
xx
+
= n 1 2研究lim
n
n
x
→∞
解
1
3x =
2
33x =
3
333x =显然
1
1
nn
xx
+
即{}
n
x是单调递增的
又
2
11
1
3
33
n
nnn
n
x
xxx
x
++
+
=?=?
{}
n
x有上界故lim
n
n
x
→∞
存在设lim
n
n
xa
→∞
=于是
2
1
lim lim 3
nn
nn
xx
+
→∞ →∞
=
即
2
3aa=解得3a =或0a =不合题意舍去所以
lim 3
n
n
x
→∞
=
分析验算法求极限
在求极限时首先要对被求极限的式子进行适当的分析然后根据表达式的具体情况再采取相应的算法例已知
()
lim 1997
1
n
n
nn
α
β
β
→∞
=
求常数α β的值解原式lim
1
11
n
n
n
αβ
β
→∞
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 22 页 考研数学学习班组织委员会
lim
n
n
n
α β
β
→∞
因
1
11
nn
β
β
～
1
lim
n
n
αβ
β
+
→∞
若上式极限存在必须
10αβ?+=
原式
1
β
1997
β
1
1997
α 1β?
1996
1997
利用极限存在的充分必要条件求极限
某点出极限存在的充分必要条件是在该点处左极限与右极限均存在且相等
分段函数的衔接点处的极限是否存在就必须用极限存在的充要条件来验证例求函数()fx在0x =和1x =处的极限其中()
()
()
1
1
5
2
2
2
1
1
1
,0
1
,0 1
,1
x
x
x
x
x
ex
e
fx
ex
x
x
xx
+
=
+
null
解()00f?
()
1
1
5
2
0
1
lim
x
x
x
x
e
e
→
+
令
()
1
1
1
x
x
x
y
e
+
=
则
()
2
ln 1
ln
xx
y
x
+?
=
从而
()
2
00
ln 1
lim ln lim
xx
xx
y
x
→→
+?
=
0
1
1
1
lim
2
x
x
x
→
+
1
2
所以
1
2
0
lim
x
ye
→
= ()
51
2
22
00feee
= =
另一方面
()
()
2
2
0
1
00 lim
x
x
ex
f
x
+
→
+
+=
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 23 页
()
'
2
ln 1
0
0
lim
1
x
x
x
e
+
+
→
()
()()
()
2
ln 1
2
0
1ln1
lim 2
1
x
x
x
xx x
e
xx
+
+
→
+ +
+
() ()()
()
2
ln 1
2
00
1ln1
2
lim lim
11
x
x
xx
xx x
e
++
+
→→
+ +
()
2
0
1ln1 1
2lim
2
x
x
e
x
+
→
+?
2
0
2lim
2
x
x
e
x
+
→
2
e
()()
2
00 00ffe+=?=
()
2
0
lim
x
fx e
→
=
()
()
2
2
1
1
10 lim
x
x
ex
f
x
→
+
=
22
2
2
4
1
e
e
=?
() ()
1
1
1
1
11
10 lim lim1 1
x
x
xx
fx xe
++
→→
+= = +? =
()()10 10ff?≠ +
()
1
lim
x
fx
→
不存在通项估算求极限
在求极限时通过对通项的分析放大或缩小所求极限的式子进行适当的分析然后根据表达式的具体情况再采取相应的算法例求
()
3
1
lim 1 2 3
n
n
n
n
→∞
++++null
解由lim 1
n
n
n
→∞
=可知0ε? null N?当nNnull时恒有
11
n
nεε?+
()
3
1
112
n
n
n
++++?null
()
1
12
N
N
n
+++null
()
1
1
1
Nn
n
+
++ +null
()
()()
11
12 1
N
NnN
nn
ε+++ +? +?null
01
n
ε
→∞
→++
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 24 页 考研数学学习班组织委员会
由ε的任意性可知原极限为1
海涅Heine定理
()
()
0
lim
xx
x
fx A
→
→∞
=存在的充分必要条件是对任选数列{}
n
x当n→∞时
0n
xx→或
n
x →∞
有
()lim
n
n
fx A
→∞
=
例求
11
2
lim 2
nn
n
na a
→∞
+?
()0,1aa≠null
解原式
1
2
0
2
lim
yy
y
x
y
aa
y
=
→
+?
→
0
ln ln
lim
2
yy
y
aaa a
y
→
22
0
ln ln
lim
2
yy
y
aaa a
→
+
2
ln a
11
2
lim 2
nn
n
na a
→∞
+?
2
ln a
注除上述的20种方法外还有很多求极限的方法比如施笃兹Stolz法则斯特林Stirling
公式等由于余下的这几种方法在考研中几乎不可能出现故省去有兴趣的朋友可以自行查阅相关资料五本章习题参考答案待补充六本章公式表待补充七本章勘误表待补充高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 25 页八精华帖子目录待补充九疑难问题解答待补充十本章习题待补充参考资料
1陈文灯黄先开数学复习指南世界图书出版公司2003年3月版
2李正元李永乐袁荫棠数学复习全书国家行政学院出版社2003年3月版
3朱有清贺才兴高等数学复习十五讲上海交通大学出版社1985年11月版
4同济大学数学教研室高等数学高等教育出版社第四版
5同济大学数学教研室线性代数高等教育出版社第三版
6居于马胡金德等线性代数清华大学出版社1995年1月版
7盛骤等概率论与数理统计高等教育出版社第二版
指定站点www.kaoyan.com考研加油站考研论坛数学版下载站点ftp://shuxue:shuxue@61.129.81.16/
高数主编Chenkebin
第 一 章函数极限连续含初等数学主 编Yacyin
第 二 章一元函数微分学主 编第 三 章一元函数积分学主 编第 四 章向量代数和空间解析几何主 编第 五 章多元函数微分学主 编第 六 章多元函数积分学主 编第 七 章无穷级数主 编第 八 章常微分方程含差分方程主 编线代主编Yacyin
第 一 章行列式主 编第 二 章矩阵主 编第 三 章向量主 编第 四 章线性方程组主 编第 五 章矩阵的特征值和特征向量主 编第 六 章二次型主 编概统主编Dandan
第 一 章随机事件和概率主 编第 二 章随机变量及其概率分布主 编第 三 章二维随机变量及其概率分布主 编第 四 章随机变量的数字特征主 编第 五 章大数定律和中心极限定理主 编第 六 章数理统计的基本概念主 编第 七 章参数估计主 编第 八 章假设检验主 编
2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料考研数学学习班组织委员会 第 2 页第章初等数学常用公式一初等函数
1常值函数
值域是只含一个元素的集合的函数叫做常值函数通常记为()yfxa==a为常数
2一次函数
自变量为一次的整式所表示的函数叫做一次函数他的一般形式为ykxb=+其中k
b为常数且0k ≠
在满足上述条件下若0b=就称函数为正比例函数定义域实数集R
值 域实数集R
0b≠ 0b=正比例函数
0k null 0k? 0k null 0k?增减性增函数减函数增函数减函数过()0,b,0
b
k
的直线过()0,0 ()1,k的直线特 点
k斜率a倾角tanka=
3反比例函数
函数
k
y
x
=叫做反比例函数其中k叫做比例系数定义域{}
0,Dxx xR=≠∈
0k null 0k?
增减性减函数增函数在象限在象限特 点等轴双曲线坐标轴为渐近线
4二次函数
由二次多项式表示的函数即
2
yax bxc=++ 0a ≠叫做x的二次函数定义域实数集R
0a null 0a?
2
b
x
a
2
b
x
a
null
2
b
x
a
2
b
x
a
null
增减性减函数增函数增函数减函数极 值
2
b
x
a
=?
2
min
4
4
ac b
y
a
=
2
b
x
a
=?
2
max
4
4
ac b
y
a
=
开口向上开口向下特 点顶点
2
4
,
24
bacb
aa
对称轴直线
2
b
x
a
=?
5幂函数
形如
a
yx=的函数叫做幂函数式中a为任意实常数定义域使
a
x有意义的实数集合高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 3 页
0a null 0a?
a为偶数a为奇数a为负偶数a为负奇数奇偶性偶函数奇函数偶函数奇函数
(),0?∞中为减(),0?∞中为增增减性
()0,∞中为增增函数
()0,∞中为减减函数特 点曲线都通过点()0,0和()1,1曲线都通过点()1,1
6指数函数
形如
x
ya= 0,1,aa x≠?∞ ∞null的函数叫做指数函数定义域xR∈ 0,1aa≠null
值 域yR
+
∈
1a null 01a
()
()
()
10
10
10
x
x
ax
x
==
nullnull
()
()
()
10
10
10
x
x
ax
x
==
null
null?
性 质增函数减函数特点曲线与y轴相交于点()0,1A渐近线为x轴0y =
7对数函数
在函数关系式
y
xa=中0,1,0aa x≠∞null若把x视为自变量y视作因变量则称y是以a为底的x的对数函数x称为真数记作log
a
yx=
指数函数和对数函数互为反函数定义域xR
+
∈ 0,1aa≠null
值 域
yR∈
1a null 01a
()
()
()
01
log 0 1
00 1
a
x
xx
x
==
nullnull
()
()
()
01
log 0 1
00 1
a
x
xx
x
==
null
null
性 质增函数减函数特 点曲线与x轴相交于点()1,0A渐近线为y轴0x =
8三角函数详见第二节
9反三角函数详见第二节二三角函数及反三角函数
1同角三角函数的基本关系式倒数关系
sin csc 1aa?=
cos sec 1aa?=
tan cot 1aa?=
商数关系考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 4 页 考研数学学习班组织委员会
sin
tan
cos
a
a
a
=
cos
cot
sin
a
a
a
=
平方关系
22
sin cos 1aa+=
22
1tan secaa+=
22
1 cot cscaa+=
2诱导公式略
3两角和与差的三角函数
()cos cos cos sin sinαβ α β α β+=?
()cos cos cos sin sinαβ α β α β?= +
()sin sin cos cos sinαβ α β α β+= +
()sin sin cos cos sinαβ α β α β?=?
()
tan tan
tan
1tan tan
αβ
αβ
αβ
+
+=
()
tan tan
tan
1tan tan
αβ
αβ
αβ
=
+?
4二倍角公式含部分三倍角公式
sin 2 2sin cosααα=
22 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinaa a aα =? =?=?
2
2tan
tan 2
1tan
α
α
α
=
3
sin 3 3sin 4sinθθ θ=?
3
cos3 4cos 3cosθθθ=?
5半角公式
1cos
sin
22
αα?
=±
1cos
cos
22
αα+
=±
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 5 页
1 cos sin 1 cos
tan
21cos1cos sin
αααα
αα
=± = =
++
万能公式
2
2tan
2
sin
1tan
2
α
α
α
=
+
2
2
1tan
2
cos
1tan
2
α
α
α
=
+
2
2tan
2
tan
1tan
2
α
α
α
=
万能代换
令tan
2
t
α
=则
2
2
sin
1
t
t
α =
+
2
2
1
cos
1
t
t
α
=
+
2
2
tan
1
t
t
α =
6积化和差与和差化积公式积化和差公式
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
αβ αβ αβ=++?
1
cos sin [sin( ) sin( )]
2
αβ αβ αβ=+
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
αβ αβ αβ=++?
1
sin cos [cos( ) cos( )]
2
αβ αβ αβ=? +
和差化积公式
()()
sin sin 2sin cos
22
θ? θ?
θ?
+?
+=
()()
sin sin 2cos sin
22
θ? θ?
θ?
+?
=
()()
cos cos 2cos cos
22
θ? θ?
θ?
+?
+=
()()
cos cos 2sin sin
22
θ? θ?
θ?
+?
=?
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 6 页 考研数学学习班组织委员会
()
22
sin cos sinab abθ? θ?+=+ +
其中?角所在象限由,ab的符号确定?角的值由tan
b
a
=确定
7三角函数的性质函数式
siny α=
cosy α= tany α= coty α=
定义域RR
,,
2
xx Rx k k Z
π
π
∈≠+∈
{}
,,xxRxkkZπ∈≠ ∈
值 域
[]
1,1?
最大值为1
最小值为-1
[]
1,1?
最大值为1
最小值为-1
R
函数无最大值函数无最小值
R
函数无最大值函数无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π
奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数单调性在
2,2
22
kk
ππ
ππ
+ +
上都是增函数在
3
2,2
22
kk
ππ
ππ
++
上都是减函数
()kZ∈
在
()21,2kkππ
上都是增函数在
()2,2 1kkππ+
上都是减函数
()kZ∈
在
2,2
22
kk
ππ
ππ
+ +
内都是增函数
()kZ∈
在
()(),1kkππ+
内都是增函数
()kZ∈
8反三角函数的性质函数式
arcsiny α=
arccosy α= arctany α= arccoty α=
定义域[]
1,1?
[]
1,1? (),?∞ +∞ (),?∞ +∞
值 域
,
22
ππ
[]
0,π,
22
ππ
()0,π
单调性在区间
[]
1,1?上是增函数在区间
[]
1,1?上是减函数在区间
(),?∞ +∞
上是增函数在区间
(),?∞ +∞
上是减函数奇偶性奇函数非奇非偶奇函数非奇非偶三排列组合二项式定理
1排列数公式
()()( )12 1
m
n
Pnn n nm=+null
2组合数公式
()()( )
()
12 1
!
!!
m
m n
n m
m
nn n n mP
n
C
Pmmm
+
== =
null
3组合数的性质
mnm
nn
CC
=
1
1
mmm
nnn
CCC
+
=+
4排列数和组合数的关系
!
mm
nn
PCm=?
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 7 页第一章函数极限连续一考试内容
函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义以及它们的性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
1
lim 1
x
x
e
x
→∞
+=
函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质有界性最大值和最小值定理介值定理二考试要求
1理解函数的概念掌握函数的表示方法并会建立简单应用问题中的函数关系式
2了解函数的奇偶性单调性周期性和有界性
3理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念
4掌握基本初等函数的性质及其图形
5理解极限的概念理解函数左极限与右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系
6掌握极限的性质及四则运算法则
7掌握极限存在的两个准则并会利用它们求极限掌握利用两个重要极限求极限的方法
8理解无穷小无穷大以及阶的概念掌握无穷小的比较方法会用等价无穷小求极限
9理解函数连续性的概念含左连续与右连续会判别函数间断点的类型
10了解连续函数的性质和初等函数的连续性了解闭区间上连续函数的性质有界性最大值和最小值定理介值定理并会应用这些性质三典型例题分析本小节由Chenkebin编写
本章主要题型有复合分段函数的求值直接计算给定的极限或根据给定的极限反过来确定式子中的常数这个里面包含了很多数列收敛的问题讨论函数的连续性判断间断点的类型无穷小阶的比较讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间有无实根
1复合分段函数问题例题1设函数()
1,1,
0,1,
1,1,
x
fx x
x
==
null
()
x
gx e=求f[g(x)]与g[f(x)].
分析这是函数记号的运算基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系解因为()
x
gx e=故考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 8 页 考研数学学习班组织委员会当x<0时() 1gx < f[g(x)] 1
当x=0时() 1gx= f[g(x)] 0
当x>0时() 1gx> f[g(x)] 1
总之有()
1,0,
0,0,
1,0,
x
fgx x
x
==
null
而()
()fx
gfx e=
所以()
1
e,x 1
1,x 1
e,1
gfx
x
<
==
>
例题2设()
2,0
2,0
xx
gx
xx
≤
=
+>
()
2
,0
,0
xx
fx
xx
<
=
≥
求g[f(x)]
分析函数的复合本质上是对应关系的乘积并非简单的代入要注意f(x)的值域与g(x)
的定义域之交非空集合以及g[f(x)]定义域的变化解我们可以这样做
g[f(x)]
2(),()0
() 2,() 0
fx fx
fx fx
≤
+>
2
2,0
2,0
xx
xx
+≥?
<
之间要注意定义域和值域相互之间的关系
2求极限的方法重点内容请注意第四部分的极限专项方法综述例题1求
2
sin sin
sin
lim
11
1
2
x
nn
n
nn
n
ππ
π
→∞
++?+
+
++
解本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目由于
sin sin sin
1
iii
nnn
i
nn
n
n
πππ
<<
+
+
所以
11 1
sin
sin sin
1
nn n
ii i
i
n
i
nn nn
n
n
π
ππ
== =
<<
+
+
∑∑ ∑
而且
1
0
1
12
lim sin sin
n
n
i
i
xdx
nn
π
π
π
→∞
=
==
∑
∫
11
2
lim sin lim( sin )
nn
nn
ii
in
nn
ππ
π
→∞ →∞
==
=× =
++
∑∑
所以利用夹逼定理可以得到原式答案为
2
π
在极限中还有一种题型就是已知极限反过来求极限中的参数的题目这类题一般是求极限思路的逆分析90需要考虑等价无穷小和罗必塔法则例题2确定常数a b c的值使
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
c c
≠
0
分析当x
→
0时ax sinx
→
0且
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
存在而且不为零所以高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 9 页
3
0
ln(1 )
lim
x
bx
t
dt
t
→
+
∫
0 *因此b必定为零因为若b>0则在0 b内
3
ln(1 )
0
t
t
+
>
若b<0则在[b 0]内
3
ln(1 )
0
t
t
+
> *均不成立确定了b之后可再由罗必塔法则确定
a c
解由于当x
→
0时ax sinx
→
0且
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
c
≠
0故b 0再用罗必塔法则
3
0
sin
lim
ln(1 )
x x
b
ax x
t
dt
t
→
+
∫
3
0
cos
lim
ln(1 )
x
ax
x
x
→
+
2
0
cos
lim
x
ax
x
→
若a
≠
1则上式为
∞
与条件不复合故
a 1从而再用罗必塔法则或等价无穷小代换得c
1
2
总结我们认为求极限的主要方法是罗必塔法则两个重要极限两边夹法则单调有界法则等价无穷小替换泰勒级数展开上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述综合历年的考试题目使用的主要方法就是以上五种求极限的方法是灵活的有的题目要几种方法一起用所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习只有自己有了很多的感性认识以上方法理性认识才能转化为自己的东西否则光知道这些方法是解决不了问题的
3讨论函数的连续性判断间断点的类型
这部分内容定义我们不重复了大家自己看书我感觉主要内容是两部分一是函数的连续问题二是判断间断点类型对于间断点类型数学二可能要出大题数学一基本上只会以小题形式出现连续问题综合历年考察的特点主要是考察左右连续的问题左右极限间断点的判断时间上也是考察的左右连续的问题连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极限问题例题1设f(x)
2
1
lim
nn
nn
n
xx
xx
+?
→∞
+
试讨论此函数的连续性解f(x)
2
,0 1
0,1
,1
xx
x
xx
<<
=
>
显然f(x)在
∞
-1 0 1 -1 0以及1 +
∞
内连续只要讨论在1 0 1三个点的连续性由
11
lim ( ) 1,lim ( ) 1
xx
fx fx
+?
→? →?
==
1
lim ( ) 1
x
fx
+
→
=
01
lim ( ) 1,lim ( ) 0
xx
fx fx
→→
=? =所以x 0
±
1是f(x)的三个间断点其中x 0和-1是可去间断点x 1是第一类间断点跳跃间断点例题2当x
→
1时求函数
12
1
1
1
x
x
e
x
的极限考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 10 页 考研数学学习班组织委员会解对于这类题一定要分析左右极限我把这题作为典型题是想提醒大家
x
e
是非常容易出左右极限的问题的大家一定要关注
x
e
的问题
11
11 11
lim ( ) lim 2 lim ( ) lim 2 0
xx
xx xx
fx e fx e
++
→→ →→
==+∞==所有极限不存在但是也不等于+
∞
4无穷小阶的问题首先要明确高阶低阶同阶等价的基本概念自己看书这里不再重复其实这个问题是结合在求极限问题里面的如果要你分析f(x)和g(x)两者阶的问题你就是要得到
()
lim
()
fx
gx
的值0
∞
实数1
根据这些来判断两者阶的关系当然熟练者可以充分利用等价无穷小的替换把f(x)和G(x)分别用某些等价无穷小替换成很容易观察的式子然后一眼就可以看出来下面举两个例题来说明问题例题1设函数f(x)
1cos
2
0
sin,
x
tdt
∫
g(x)
56
,
56
xx
+则当x
→
0时f(x)是g(x)的
A低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但是不等价无穷小答案 [B]
分析本题就是利用罗必塔法则求极限
0
()
lim
()
x
fx
gx
→
并利用极限
0
sin
lim
x
x
x
→
1
解
0
()
lim
()
x
fx
gx
→
22 2
45 34 2 3
000
sin sin(1 cos ) sin(1 cos ) 2sin (1 cos ) cos(1 cos )
lim lim lim
34
xxx
xx x xx x
xx xx x x
→→→
× ×? ×?
==
++ +
2
00
2(1 cos ) 2sin
lim lim
34 38
xx
xx x
→→
=
++
0所以f(x)是g(x)的高阶无穷小也就是说f(x)变化趋向小的快例题2设f(x)有连续导数且f(0) 0
'2
0
() 0,() ( ) (),
x
fx Fx x tftdt≠=?
∫
当x
→
0时
'
()Fx 与
k
x是同阶无穷小则k等于多少k 2
解本题当然可以直接用求极限的方法得到但是本题我想突出无穷小阶的运算性质可以想如下方式考虑直接得到结果由题意可知x
→
0是f(x)是x的1阶无穷小又f(x)连续
0
()
x
fxdt?
∫
是x的2阶无穷小
0
()
x
tf t dt
∫
是x的3阶无穷小
2
0
()
x
xftdt
∫
是x的四阶无穷小于是F(x)是x的3阶无穷小因此当x
→
0是F(x)是x的2阶无穷小
(注意本题是想让大家明白无穷小的一些运算性质大家可以理解以下一些结论
1.设x
→
0 f(x) g(x)分别为x的n阶和m阶无穷小n<m?f(x) g(x)是x的n阶无穷小
2.设f(x)连续x
→
0时f(x)是x的n阶无穷小
0
()
x
fxdt?
∫
是x的n+1阶无穷小高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 11 页
3.设f(x)有连续的导数x
→
0时f(x)是x的n阶n>1无穷小
'
()fx是x的k阶无穷小则k n-1 )
5讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间有无实根
这个知识点的问题我们个人认为主要是介值定理的应用一般不会单独出题它会综合在其他章节的知识点中主要应用于说明存在性问题下面提一个例题简单说明一下这个问题例题1证明方程x
x
2
1至少有一个小于1的正根证明命f(x) x
x
2
1则f(x)处处连续由题目要求小于1的正根故所讨论的区间为[0 1]又f(0) -1<0 f(1)=1>0所有由连续函数的介值定理可以得到在[0 1]之间至少存在一个根
0
x
使f(
0
x
) 0所有至少存在一个正根
0
x满足x
x
2
1
6个人的一些看法本章和导数是密切联系的以上的东西没有过多的很导数概念结合导数我们在第二章将具体阐述但是大家要注意联系和导数概念结合的各方面极限问题本章中还可能出现的一些问题我只考虑到渐进线其他的希望大家集思广益不过要注意是在本章中出现的问题涉及其他章节过多的就算了
1渐进线lim( ( ) ) 0
x
f x ax b
→∞
=就表明y ax+b是y f(x)的渐进线一般用泰勒公式和级数展开来求解但是在函数和极限这一章中是可以用一些初等方法来解决的例题1求f(x)
2
1
x
x+
的斜渐进线水平和铅直渐进线很简单大家可以自己解决方法1
2
1
x
x+
1
111
(1 ) 1 ( ) 1 (1)xxoxo
xxx
+=?+ =?+
所以斜渐进线是y x-1
方法2
2
1
x
x+
x-1
1
1x+
斜渐进线的求法多半用方法1展开比较简单四典型概念典型方法本章典型概念本小节由Yyjjnn编写第一节极限
A泰乐公式及迈克劳林公式的灵活运用
'''2()
000 00 0
0
()()()()()(),()()
(,)
nn
fx fx f x x x f x x x f x x
xx
θ
θ
=+?+?++?
∈
'''2()
( ) (0) (0) (0),.,( )
(0,)
nn
fx f f x f x f x
x
θ
θ
=+ + ++
∈
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 12 页 考研数学学习班组织委员会求极限时常用的几个公式,即以下的4个公式(等价无穷小的运用)
35
24
35
23
sin,..
3! 5!
cos 1,..
2! 4!
tan,..
35
(1) (1)(2)
(1 ) 1,..
2! 3!
am a a a
xx
xx
xx
x
xx
xx
mm mm m
xmx x x
=? + +
=? + +
=? + +
+=++ + +
(这个公式一定要记住 很有用许多公式可以由此推出例如
35
'2(1) '
(tan ) (1 ) (,..)
35
xx
xxx
=+ =? + +
积分得
35
...
35
xx
x?++
23
ln(1 ),..
23
xx
xx+=?++
也可利用上述方法推出此公式
0
!
nn
x
x
e
n
=
∑
利用上述公式举一个例子
23
33
00
(1 ) * ( ) (1 )
*sin (1 ) 1
23!
lim lim
3
x
xx
xx
xxxx
exxx
xx
→→
++ +
+
==
这种题型97 99年出现过填空题还有几个值得注意的公式
23 1
1 (1 )(1,.,)
nn
xxxxxx
=? +++++
222 2
(1)(21)
1 2 3,..
6
nn n
n
++
++++=
333 3 2
(1)
1 2 3,.,[ ]
2
nn
n
+
++++=
1
()()
0
1
lim[1 ( )] lim[1 ]
()
oxox
xx
ox e
ox
→→∞
+=+=
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
上述公式也很有用例如(利用1的公式)
2 2
22 3 (1)
00 0
1 cos 1 cos 1 cos
lim lim lim
*2
(1 cos )(1 cos )...(1 cos )
n
n
xx x
nnn
n
nn n
θθθ
θθθ θ
→→ →
===
++ +
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 13 页
B利用施笃兹定理设lim,
n
n
y
→∞
=+∞且某项N开始单调增加
1
1
!
lim lim
nn
nnn
nn
nnn
yy
xxx
yyy
+
+
→∞ →∞
+
>
=
即有:
这个公式书上没提 但做题时十分有用例如
12
lim,0
lim * *...
nn
n
n
n
n
xax
yxxx
→∞
→∞
=>
=求取常用对数
!
!111
ln ln ln
ln
ln lim lim lim ln
11
nnn
iii
n
nn n
xxx
x
ya
nnn
ya
+
+
→∞ →∞ →∞
== ==
+?
> =
∑∑∑
C利用积分定义
1
0
1
1
()* ()
n
k
k
ffxd
nn
=
=
∑
∫
见以下两个例子
1
1
0
1 2,.,1
lim
1
pp p
p
p
n
n
xdx
np
+
→∞
+++
==
+
∫
1
0
1
sin( )
cos cos( )
lim sin( )
n
n
k
bk
a
aab
n
abxdx
nb
→∞
=
+
+
=+=
∑
∫
D利用导数定义这类题目对基本概念的理解要求特别高需要考虑连续可导极限的存在性等等
(注意 并未告诉一阶可导)
00 0 0
0
0 0
0
()() ()()()()
lim lim
() () () ( )
'( ) lim '( )
hh
h
f x ah f x bh f x ah f ah f ah f x bh
ch ch
f ah f bh f bh f x bhaa
fx fx
ccc
→→
→
+ +? +
=
+ +
=+ =
历年出现次数都很多解题的技巧性较强一般出现在选择及综合题中
E数列的单调有界性这类题目的技巧性也很强特别是找出通项的递增递减的特性不容易找到可以先猜测答案 运用数学归纳法等有时需要利用涵数的特性解题97年出现过大题目已知
2
01
1
1
0,*( _ )
2
nn
n
a
uu u
u
<=求证考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 14 页 考研数学学习班组织委员会
n
ua<?
当1n>时
n
u是非减的 且lim
n
n
ua
→∞
=?
此题目可用上述方法解决过程略
F夹逼定理罗比塔法则等各种参考书上将得都很多
G中直定理在后面的学习中会逐渐用到
H利用定积分可变上限的导数求极限只讲述一下这个定理设f(x)在[a,b]上连续()tφ在[,]αβ上可导且
()
[,] [,],,() (())'()
t
a
d
a b so f x dx f t t
dt
φ
αβ φ φ =
∫
此定理运用也相当广泛第二节函数的连续性及其应用函数的连续性的定义大家都很清楚其主要应用的定理为介值零值定理即连续闭区间上的两端点值积为负值时 至少有一零点最大最小值定理即连续闭区间上的函数段必有最大最小值
1 绘制函数图象根据单调性奇偶性周期性 渐进线零极值点及最大最小值点绘图不在举例
2 证明题举一个例子设f(x)在[a,b]连续a<x1<x2<b求证对
12 1 1 2 2 1 2
,0,(,),() ()( )()tt abtfx tfx t t fξξ?>?∈ + =+
证明:
11 2 2 12
11 2 2
12 12
() () ( )()
() ()
()
(,),
tf x tf x t t f
tf x tf x
f
tt tt
xab
ξ
ξ
+=+
∴ +=
++
∈
∵
f(x)在[a,b]连续 所以f(x)∈ m,M即为这段上的最大最小值
11 1 1
12 1212
22 2 2
12 1212
11 2 2
12 12
()
(,)
()
(,)
() ()
(,)
tf x tm tM
tt tttt
tfx tm tM
tt tttt
tf x tf x
mM
tt tt
∈
+++
∈
+++
∴ +∈
++
即得证明本章典型方法本小节由Yacyin编写求极限的方法通项分解法
通项分解法是指将数列通项或者数列通项中的通项或者作因式分解经相约而化简或者由积化和差经相消而化简高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 15 页例求
22 2
11 1
lim 1 1 1
23
n
n
→∞
null
解
()()
22
11
1
1
nn
nn
+
=
原式
()()
22 2
11
1324
lim
23
n
nn
n
→∞
+
××
null
111
lim
22
n
n
n
→∞
+
=
通项归一法
通项归一法是将数列通项乘除同一个适当因式使其化为一个简单的式子或用其他方法化通项为一个简单式子例求()
()()
()
24 2
lim 1 1 1 1
n
n
xx x x
→∞
++ + +null其中1x?
解()()
()()
( )
24 2
1
111 1 1
1
n
xxx x x
x
++ + +
null
()()()
()
224 2
1
111 1
1
n
xxx x
x
++ +
null
()()
()
44 2
1
11 1
1
n
xx x
x
+ +
null
null
()
1
2
1
1
1
n
x
x
+
原式()
()()
()
24 2
lim 1 1 1 1
n
n
xx x x
→∞
++ + +null
()
1
2
1
1
1
n
x
x
+
1
1 x?
1x?
有理化方法
有理化方法是指对被求极限的算式乘除同一个适当的因式以达到消去无穷小因式或者不定型的目的例求
0
0
lim
24
x
y
xy
xy
→
→
+
解分母有理化原式
( )
0
0
24
lim
x
y
xy xy
xy
→
→
++
()
0
0
lim 2 4
x
y
xy xy
→
→
++
4?
等价无穷小无穷大代换法
在求极限时分子或分母中的无穷小或无穷大因式可用与之等价的无穷小或无穷大代替考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 16 页 考研数学学习班组织委员会
说明当0x→时
()sin tan ln 1 1 arcsin arctan
x
xxx xe x x+?～～～ ～～ ～
2
1
1cos
2
xx? ～ 1lnax x a? ～ ()11
u
xux++～
当x→∞时
12
12 1
nn n n
nn
xxax ax axa
+++++～null
例求
()
3
0
1sin1tansin
lim
sin
x
xxx xx
x
→
+?+?
解原式
()
32
0
1sin1
1cos
lim
sin cos sin
x
xxx
x
xx
→
+?
+
()
32
00
1sin1
1cos
lim lim
sin cos sin
xx
xxx
x
xx
→→
+?
+
2
32
00
1
sin
22
lim lim
cos
xx
x
xxx
xxx
→→
+
11
22
+ 1
两边夹法则优界法
两边夹法则即为大家所熟悉的夹逼准则但请注意能用夹逼准则的题目一般都能用其他的方法解决而且夹逼准则并不是绝对可行的所以大家在做题时不必在一棵树上吊死例求
12
lim
nn n
n
k
n
aa a
→∞
+++null 0
i
a null 1,2,,ik= null
解记{}
12
max,,,
k
aaaa= null则
12
nnnnn n nn
n
k
aa aa a kaak=++≤=?null
1
lim 1
n
n
k
→∞
=
lim
n
n
ak a
→∞
=由两边夹法则原式a
利用两个重要极限求极限
若在自变量x的某确定趋向下()xα为无穷小量()xβ为无穷大量则
()
()
()
0
sin
lim 1
x
x
x
α
α
α
→
=
()
()
()
1
lim sin 1
x
x
x
β
β
β
→∞
=它们分别属于
0
0
型和0∞?型
()
()
()
1
0
lim 1
x
x
xe
α
α
α
→
+=
()
()
()
1
lim 1
x
x
e
x
β
β
β
→∞
+=
它们属1
∞
型高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 17 页例求
2
1
0
1
lim
1
x
x
x
x
xa
xb
→
+
+
0a null 0b null
解原式
()
()
()
1
1
0
lim 1
1
xx
x
x
xx
ab
xb
xxb
xx
xa b
x
x
xa b
xb
+
+
→
+
+
()
0
lim
1
xx
x
x
ab
xxb
→
+
00
111
lim lim
1
xx
x
xx
ab
xb x x
→→
+
00
11
1lim lim
xx
xx
ab
xx
→→
00
lim ln lim ln
xx
xx
aa bb
→→
ln
a
b
原式
ln
a
b
e
a
b
利用罗必塔法则求极限
在利用罗必塔法则求极限时首先应考虑被求极限的式子是否是
0
0
型或
∞
∞
型若不是此种类型首先考虑是否能化为
0
0
型或
∞
∞
型其次就是考查它是否满足罗必塔法则的使用条件例求
()
2
3
2
0
0
0
lim
sin
x
x
x
tdt
tt tdt
→
∫
∫
解原式
()
3
0
2
lim
sin
x
xx
xx x
→
3
0
2
lim
sin
x
x
xx
→
2
0
6
lim
1cos
x
x
x
→
0
12
lim
sin
x
x
x
→
12
利用函数的连续性求极限
在用函数的连续性求极限时首先要明确一点对初等函数一元或多元而言初等函数在其定义域上均是连续的其方法为
() ( )
0
0
lim
xx
fx fx
→
=其中
0
x为()fx的连续点
()( )
0
0
00
lim,,
xx
yy
fxy fxy
→
→
=其中
()
000
,Mxy为(),fxy的连续点例求
()
0
11
lim
x
x
x
β
α
→
+?
α β为常数解当α β中至少有一个为零时显然有考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 18 页 考研数学学习班组织委员会
原式0
当α β均不为零时令()11yx
β
α=+?于是有0x→ 0y →故
原式
0
lim
x
y
x
→
()
()
0
ln 1
lim
ln 1
x
x
y
yx
α
αβ
α
→
+
+
()
()
00
ln 1
lim lim
ln 1
yx
x
y
yx
α
αβ
α
→→
+
+
αβ
利用极限四则运算法则求极限
当()lim
x
fx
→?
()lim
x
gx
→?
lim
x→?
指x的某确定趋向均存在即()lim
x
fx a
→?
= ()lim
x
gx b
→?
=
则()fx与()gx的和的极限等于各极限的和积的极限等于各极限的积商的极限当0b≠时等于各极限的商例求
32
32
sin
lim
32 cos
x
xxx x
xxxx
→∞
+?
++
解注意本题不能用罗必塔法则
原式
2
2
11
1sin
lim
21
3cos
x
x
xx
x
xx
→∞
+?
++
100
lim
300
x→∞
+?
++
1
3
利用定理求极限
此处所说的定理是指有界函数与无穷小的积为无穷小例求
()
lim sin 1 sin
x
xx
→+∞
+?
解原式
11
2limcos sin
22
x
xxxx
→+∞
++ +?
()
11
2limcos sin
2
21
x
xx
xx
→+∞
++
++
()
1
lim sin
21
x
xx
→+∞
++
0
又
1
2cos
2
xx++
有界
原式0
利用变量替换法求极限高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 19 页
部分一元函数和多元函数求极限时用变量替换法问题往往迎刃而解例求
()
220
0
lim
x
y
yxx
xy
→
→
+
解作变换cosxr θ= sinyr x=
[ )
0,2θπ∈ 0r null则
原式
()
0
sin cos cos
lim
r
rrr
r
θθθ
→
()
2
0
lim sin cos cos
r
r θθ θ
→
2
sin cos cos 2θθ θ?≤
又0r →
原式0
利用微分中值定理和泰勒Taylor展开式求极限
利用泰勒公式求极限时n阶泰勒公式的余项用皮亚诺形式即() ( )
()0
n
n
Rx xxο=?或
() ()
n
n
Rx xο=较为简便事实上没有必要求出拉格朗日余项注意
() ( )
kn nk
xx xοο
+
=
() () ()
nnn
xmx xοοο+= m为常数例求
()
3
0
sin 1
lim
x
x
exxx
x
→
+
解由泰勒公式知当0x→时
()
233
11 1
1
1! 2! 3!
x
exxxxο=+ + + +
()
33
1
sin
3!
xx x xο=? +
可得()sin 1
x
exxx?+
()
23 3 2
1
3
xx x x xxο++ +
()
33
1
3
xxο+
故原式
()
33
3
0
1
3
lim
x
xx
x
ο
→
+
1
3
用定积分求极限
定积分的定义式为
() ()
0
1
lim
n
b
ii
a
i
fxdx f x
λ
ξ
→
=
=?
∑
∫
其中
{}
max
i
xλ =?
[]
1
,
iii
xxξ
+
∈
1ii i
xx x
+
=?
定积分的定义实质上是求无限项无穷小的和考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 20 页 考研数学学习班组织委员会
在求极限时将
[]
,ab区间等分为n等分取
ii
xξ =或
1i
x
+ i
ba
xa i
n
=+即是取
i
ξ为第
i个区间
[]
1
,
ii
xx
+
的端点例求
22 2
12
lim
n
n
nn n
→∞
+++
null
解原式
2
1
lim
n
n
i
i
n
→∞
=
∑
1
1
lim
n
n
i
i
nn
→∞
=
∑
1
0
xdx
∫
1
2
利用导数求极限
设()yfx=在
0
x处可导则
()
()()
00
0
00
'limlim
xx
fx x fx
y
fx
→?→
+
==
()()
00
0
lim
h
fx h fx
h
→
+?
=
由导数的定义知利用导数求极限常常是求自变量趋于零在此自变量为h或x?
的极限例设()'fa存在且() 0fa≠求
1
lim
1
n
n
fa
n
I
fa
n
→∞
+
=
其中n为正整数解原式
11
ln ln
lim
nfa fa
nn
n
e
+
→∞
11
lim ln ln
n
nfa fa
nn
→∞
+
() ()
11
ln ln ln ln
lim
n
fa fa fa fa
nn
n
→∞
+
+
()2ln '
xa
fx
=
()
()
'
2
fa
fa
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 21 页
( )
()
2'fa
fa
Ie=
利用级数收敛求极限
若级数
1
n
n
u
∞
=
∑
收敛则必有lim 0
n
n
u
→∞
=
例求lim
!
n
n
a
n
→∞
a为常数解由于
!
n
a
n
是级数lim
!
n
n
a
n
→∞
的通项而幂级数lim
!
n
n
a
n
→∞
处处收敛故在xa=处收敛由收敛级数的通项必趋向于零可知
lim 0
!
n
n
a
n
→∞
=
验证极限存在后用解方程的方法求其极限
数列单调有界必有极限有两种情形单调上升下降上有下有界数列必有极限
利用此准则解题的过程是验证数列的单调性找出其单调上升下降的上下界设数列极限为x求解关于x的方程的根例设
1
3x =
1
3
nn
xx
+
= n 1 2研究lim
n
n
x
→∞
解
1
3x =
2
33x =
3
333x =显然
1
1
nn
xx
+
即{}
n
x是单调递增的
又
2
11
1
3
33
n
nnn
n
x
xxx
x
++
+
=?=?
{}
n
x有上界故lim
n
n
x
→∞
存在设lim
n
n
xa
→∞
=于是
2
1
lim lim 3
nn
nn
xx
+
→∞ →∞
=
即
2
3aa=解得3a =或0a =不合题意舍去所以
lim 3
n
n
x
→∞
=
分析验算法求极限
在求极限时首先要对被求极限的式子进行适当的分析然后根据表达式的具体情况再采取相应的算法例已知
()
lim 1997
1
n
n
nn
α
β
β
→∞
=
求常数α β的值解原式lim
1
11
n
n
n
αβ
β
→∞
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 22 页 考研数学学习班组织委员会
lim
n
n
n
α β
β
→∞
因
1
11
nn
β
β
～
1
lim
n
n
αβ
β
+
→∞
若上式极限存在必须
10αβ?+=
原式
1
β
1997
β
1
1997
α 1β?
1996
1997
利用极限存在的充分必要条件求极限
某点出极限存在的充分必要条件是在该点处左极限与右极限均存在且相等
分段函数的衔接点处的极限是否存在就必须用极限存在的充要条件来验证例求函数()fx在0x =和1x =处的极限其中()
()
()
1
1
5
2
2
2
1
1
1
,0
1
,0 1
,1
x
x
x
x
x
ex
e
fx
ex
x
x
xx
+
=
+
null
解()00f?
()
1
1
5
2
0
1
lim
x
x
x
x
e
e
→
+
令
()
1
1
1
x
x
x
y
e
+
=
则
()
2
ln 1
ln
xx
y
x
+?
=
从而
()
2
00
ln 1
lim ln lim
xx
xx
y
x
→→
+?
=
0
1
1
1
lim
2
x
x
x
→
+
1
2
所以
1
2
0
lim
x
ye
→
= ()
51
2
22
00feee
= =
另一方面
()
()
2
2
0
1
00 lim
x
x
ex
f
x
+
→
+
+=
高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 23 页
()
'
2
ln 1
0
0
lim
1
x
x
x
e
+
+
→
()
()()
()
2
ln 1
2
0
1ln1
lim 2
1
x
x
x
xx x
e
xx
+
+
→
+ +
+
() ()()
()
2
ln 1
2
00
1ln1
2
lim lim
11
x
x
xx
xx x
e
++
+
→→
+ +
()
2
0
1ln1 1
2lim
2
x
x
e
x
+
→
+?
2
0
2lim
2
x
x
e
x
+
→
2
e
()()
2
00 00ffe+=?=
()
2
0
lim
x
fx e
→
=
()
()
2
2
1
1
10 lim
x
x
ex
f
x
→
+
=
22
2
2
4
1
e
e
=?
() ()
1
1
1
1
11
10 lim lim1 1
x
x
xx
fx xe
++
→→
+= = +? =
()()10 10ff?≠ +
()
1
lim
x
fx
→
不存在通项估算求极限
在求极限时通过对通项的分析放大或缩小所求极限的式子进行适当的分析然后根据表达式的具体情况再采取相应的算法例求
()
3
1
lim 1 2 3
n
n
n
n
→∞
++++null
解由lim 1
n
n
n
→∞
=可知0ε? null N?当nNnull时恒有
11
n
nεε?+
()
3
1
112
n
n
n
++++?null
()
1
12
N
N
n
+++null
()
1
1
1
Nn
n
+
++ +null
()
()()
11
12 1
N
NnN
nn
ε+++ +? +?null
01
n
ε
→∞
→++
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 24 页 考研数学学习班组织委员会
由ε的任意性可知原极限为1
海涅Heine定理
()
()
0
lim
xx
x
fx A
→
→∞
=存在的充分必要条件是对任选数列{}
n
x当n→∞时
0n
xx→或
n
x →∞
有
()lim
n
n
fx A
→∞
=
例求
11
2
lim 2
nn
n
na a
→∞
+?
()0,1aa≠null
解原式
1
2
0
2
lim
yy
y
x
y
aa
y
=
→
+?
→
0
ln ln
lim
2
yy
y
aaa a
y
→
22
0
ln ln
lim
2
yy
y
aaa a
→
+
2
ln a
11
2
lim 2
nn
n
na a
→∞
+?
2
ln a
注除上述的20种方法外还有很多求极限的方法比如施笃兹Stolz法则斯特林Stirling
公式等由于余下的这几种方法在考研中几乎不可能出现故省去有兴趣的朋友可以自行查阅相关资料五本章习题参考答案待补充六本章公式表待补充七本章勘误表待补充高 等 数 学 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 25 页八精华帖子目录待补充九疑难问题解答待补充十本章习题待补充参考资料
1陈文灯黄先开数学复习指南世界图书出版公司2003年3月版
2李正元李永乐袁荫棠数学复习全书国家行政学院出版社2003年3月版
3朱有清贺才兴高等数学复习十五讲上海交通大学出版社1985年11月版
4同济大学数学教研室高等数学高等教育出版社第四版
5同济大学数学教研室线性代数高等教育出版社第三版
6居于马胡金德等线性代数清华大学出版社1995年1月版
7盛骤等概率论与数理统计高等教育出版社第二版
