matlab工具：Chap10.DOC

第10章 多 项 式
10.1 根
找出多项式的根，即多项式为零的值，可能是许多学科共同的问题，。MATLAB求解这个问题，并提供其它的多项式操作工具。在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。例如，输入多项式x4－12x3＋0x2＋25x＋116
? p=[1 -12 0 25 116]
p =
1 -12 0 25 116
注意，必须包括具有零系数的项。除非特别地辨认，MATLAB无法知道哪一项为零。给出这种形式，用函数roots找出一个多项式的根。
? r=roots(p)
r =
11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i
因为在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。给出一个多项式的根，也可以构造相应的多项式。在MATLAB中，命令poly执行这个任务。
? pp=poly(r)
pp =
1.0e+002 *
Columns 1 through 4
0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500
Column 5
1.1600 + 0.0000i
? pp=real(pp) %throw away spurious imaginary part
pp =
1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000
因为MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，由于截断误差，则poly的结果有一些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数real抽取实部。
10.2 乘法
函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积)。考虑两个多项式a(x)=x3＋2x2＋3x＋4和b(x)= x3＋4x2＋9x＋16的乘积：
? a=[1 2 3 4] ; b=[1 4 9 16];
? c=conv(a,b)
c =
1 6 20 50 75 84 64
结果是c(x)=x6＋6x5＋20x4＋50x3＋75x2＋84x＋64。两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv。
10.3 加法
对多项式加法，MATLAB不提供一个直接的函数。如果两个多项式向量大小相同，标准的数组加法有效。把多项式a(x)与上面给出的b(x)相加。
? d=a+b
d =
2 6 12 20
结果是d(x)= 2x3＋6x2＋12x＋20。当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。考虑上面多项式c和d相加：
? e=c+[0 0 0 d]
e =
1 6 20 52 81 96 84
结果是e(x)= x6＋6x5＋20x4＋52x3＋81x2＋96x＋84。要求首零而不是尾零，是因为相关的系数象x幂次一样，必须整齐。
如果需要，可用一个文件编辑器创建一个函数M文件来执行一般的多项式加法。精通MATLAB工具箱包含下列实现：
function p=mmpadd(a,b)
% MMPADD Polynomial addition.
% MMPADD(A,B) adds the polynomial A and B
% Copyright (c) 1996 by Prentice Hall,Inc.
if nargin<2
error(' Not enough input arguments ')
end
a=a(:).' ; % make sure inputs are polynomial row vectors
b=b(:).' ;
na=length(a) ; % find lengths of a and b
nb=length(b) ;
p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b] ; % add zeros as necessary
现在，为了阐述mmpadd的使用，再考虑前一页的例子。
? f=mmpadd(c,d)
f =
1 6 20 52 81 96 84
它与上面的e相同。当然，mmpadd也用于减法。
?g=mmpadd(c,-d)
g =
1 6 20 48 69 72 44
结果是g(x)= x6＋6x5＋20x4＋48x3＋69x2＋72x＋44。
10.4 除法
在一些特殊情况，一个多项式需要除以另一个多项式。在MATLAB中，这由函数deconv完成。用上面的多项式b和c
? [q,r]=deconv(c,b)
q =
1 2 3 4
r =
0 0 0 0 0 0 0
这个结果是b被c除，给出商多项式q和余数r，在现在情况下r是零，因为b和q的乘积恰好是c。
10.5 导数
由于一个多项式的导数表示简单，MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。
? g
g =
1 6 20 48 69 72 44
? h=polyder(g)
h =
6 30 80 144 138 72
10.6 估值
根据多项式系数的行向量，可对多项式进行加，减，乘，除和求导，也应该能对它们进行估值。在MATLAB中，这由函数polyval来完成。
? x=linspace(-1,3) ; % choose 100 data points between -1and 3.
? p=[1 4 -7 -10] ; % uses polynomial p(x) = x3＋4x2－7x－10
? v=polyval(p,x) ;
计算x值上的p(x)，把结果存在v里。然后用函数plot绘出结果。
? plot(x,v),title(' x^3+4x^2-7x-10 '),xlabel(' x ')


图10.1 多项式估值
10.7 有理多项式
在许多应用中，例如富里哀(Fourier)，拉普拉斯(Laplace)和Z变换，出现有理多项式或两个多项式之比。在MATLAB中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。对有理多项式进行运算的两个函数是residue和polyder。函数residue执行部分分式展开。
? num=10*[1 2] ; % numerator polynomial
? den=poly([-1; -3; -4]) ; % denominator polynomial
? [res,poles,k]=residue(num,den)
res =
-6.6667
5.0000
1.6667
poles =
-4.0000
-3.0000
-1.0000
k =
[ ]
结果是余数、极点和部分分式展开的常数项。上面的结果说明了该问题：


这个函数也执行逆运算。
? [n,d]=residue(res,poles,k)
n =
0.0000 10.0000 20.0000
d =
1.0000 8.0000 19.0000 12.0000
? roots(d)
ans =
-4.0000
-3.0000
-1.0000
在截断误差内，这与我们开始时的分子和分母多项式一致。residue也能处理重极点的情况，尽管这里没有考虑。
正如前面所述，函数polyder，对多项式求导。除此之外，如果给出两个输入，则它对有理多项式求导。
? [b,a]=polyder(num,den)
b =
-20 -140 -320 -260
a =
1 16 102 328 553 456 144
该结果证实：


10.8 M文件举例
本章说明了在精通MATLAB工具箱 中两个函数。这些函数说明了本章所论述的多项式概念和如何写M文件函数。关于M文件的更多信息，参阅第8章。
在讨论M文件函数的内部结构之前，我们考虑这些函数做些什么。
? n % earlier data
n =
0.0000 10.0000 20.0000
? b % earlier data
b =
-20 -140 -320 -260
? mmpsim(n) % strip away negligible leading term
ans =
10.0000 20.0000
? mmp2str(b) % convert polynomial to string
ans =
-20s^3 - 140s^2 - 320s^1 - 260
? mmp2str(b,' x ')
ans =
-20x^3 - 140x^2 - 320x^1 - 260
? mmp2str(b,[ ],1)
ans =
-20*(s^3 + 7s^2 + 16s^1 + 13)
? mmp2str(b,' x ',1)
ans =
-20*(x^3 + 7x^2 + 16x^1 + 13)
这里函数mmpsim删除在多项式n中近似为零的第一个系数。函数mmp2str把数值多项式变换成等价形式的字符串表达式。该两个函数的主体是：
function y=mmpsim(x,tol)
% MMPSIM Polynomial Simplification,Strip Leading Zero Terms.
% MMPSIM(A) Delets leading zeros and small coefficients in the
% polynomial A(s),Coefficients are considered small if their
% magnitude is less than both one and norm(A)*1000*eps.
% MMPSIM(A,TOL) uses TOL for its smallness tolerance.
% Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc.
if nargin<2,tol=norm(x)*1000*eps; end
x=x(:).' ; % make sure input is a row
i=find(abs(x)<.99&abs(x)<tol) ; % find insignificant indices
x(i)=zeros(1,length(i)) ; % set them to zero
i=find(x~=0) ; % find significant indices
if isempty(i)
y=0 ; % extreme case,nothing left!
else
y=x(i(1),length(x)) ; % start with first term
end % and go to end of polynomial
function s=mmp2str(p,v,ff)
% MMP2STR Polynomial Vector to String Conversion.
% MMP2STR(P) converts the polynomial vector P into a string.
% For example,P = [2 3 4] becomes the string ' 2s^2 + 3s + 4 '
%
% MMP2STR(P,V) generates the string using the variable V
% instead of s,MMP2STR([2 3 4],' z ') becomes ' 2z^2 + 3z + 4 '
%
% MMP2STR(P,V,1) factors the polynomial into the product of a
% constant and a monic polynomial.
% MMP2STR([2 3 4],[ ],1) becomes ' 2(s^2 + 1.5s + 2) '
% Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc.
if nargin<3,ff=0; end % factored form is False
if nargin <2,v=' s ' ; end % default variable is ' s '
if isempty(v),v=' s ' ; end % default variable is ' s '
v=v(1) ; % variable must be scalar
p=mmpsim(p) ; % strip insignificant terms
n=length(p) ;
if ff % put in factored form
K=p(1) ; Ka=abs(K) ; p=p/K;
if abs(K-1)<1e-4
pp=[ ]; pe=[ ] ;
elseif abs(K+1)<1e-4
pp=' -(' ; pe= ') ' ;
elseif abs(Ka-round(Ka))<=1e-5*Ka
pp=[sprintf(' %.0f ',K) '*( ' ] ; pe= ') ' ;
else
pp=[sprintf(' %.4g ',K) '*(' ] ; pe= ') ' ;
end
else % not factored form
K=p(1);
pp=sprintf(' %.4g ',K) ;
pe=[ ];
end
if n==1 % polynomial is just a constant
s=sprintf(' %.4g ',K);
return
end
s=[pp v ' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-1)]; % begin string construction
for i=2:n-1 % catenate center terms in polynomial
if p(i)<0,pm= ' - ' ; else,if p(i)<0,pm= ' ; end
if p(i)= =1,pp=[ ] ; else,pp=sprintf(' %.4g ',abs(p(i))) ; end
if p(i)~ =0,s=[s pm pp v ' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-i)] ; end
end
if p(n)~ =0,pp=sprintf(' %.4g ',abs(p(n))); else,pp=[ ]; end
if p(n)<0,pm= ' - ' ; elseif p(n)>0,pm= ' + ' ; else,pm=[ ]; end
s=[s pm pp pe]; % add final terms
10.9 小结
下列表格概括了在本章所讨论的多项式操作特性。
表10.1
多 项 式 函 数
conv(a,b)
乘法
[q,r]=deconv(a,b)
除法
poly(r)
用根构造多项式
polyder(a)
对多项式或有理多项式求导
polyfit(x,y,n)
多项式数据拟合
polyval(p,x)
计算x点中多项式值
[r,p,k]=residue(a,b)
部分分式展开式
[a,b]=residue(r,p,k)
部分分式组合
roots(a)
求多项式的根
表10.2
精 通 MATLAB 多 项 式 操 作
mmp2str(a)
多项式向量到字符串变换，a(s)
mmp2str(a,' x ')
多项式向量到字符串变换，a(x)
mmp2str(a,' x ',1)
常数和符号多项式变换
mmpadd(a,b)
多项式加法
mmpsim(a)
多项式简化