动力学普遍定理的综合应用
1 动量定理
n
i
e
iFdt
dp
1
)(
微分形式的质点系动量定理：
n
i
e
iIpp
1
)(
0
质点系动量定理的积分形式：
n
i
e
iC Fma
1
)(
质心运动定理：
实际应用中，以上各式均可取投影式，并遵循守恒定理。
2 动量矩定理
)( )( eiOO FM
dt
dL质点系 (对固定点 )的动量矩定理：
质点系对任一固定轴的动量矩定理：
)(
)(
)(
)(
)(
)(
e
iz
z
e
iy
y
e
ix
x
FM
dt
dL
FM
dt
dL
FM
dt
dL
质点系的动量矩守恒定理,常矢量?OL
常数?OxL
iWdT
质点系动能定理的微分形式：
2 动能定理
iWTT 12
质点系的动能定理：
牛顿第二定理
iFma
刚体定轴转动微分方程
)( )( eizzz FMJJ
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法，
但在求解比较复杂的动力学问题时,往往不可能仅用一个定理解决全部问题,需要综合应用几个定理来求解。
动量定理 和 动量矩定理 是矢量形式，应用时常取投影式，并只需考虑质点系所受的外力作用 。
质心运动定理 常用于分析质点系受力与质心运动的关系。
动能定理 是标量形式，在许多实际问题中约束反力又不作功，因而应用动能定理分析系统的速度和加速度较为方便。
一般性原则：
(1) 求解 速度,角速度 问题往往首先考虑应用动能定理的积分形式,且尽可能以整个系统为研究对象,
避免拆开系统；
(2) 应用 动能定理的积分形式,如果末位置的速度或角速度是任意位置的函数,则可求时间导数来得到加速度或角加速度。仅求加速度 (角加速度 )的问题,
应用动能定理的微分形式也很方便；
(3) 对于既要求 运动 又要求 约束力 的问题,因为应用动能定理不能求出无功约束力,此时往往先求运动,
然后再应用质心运动定理或动量矩定理来求约束力；
(4) 当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后联立求解；
(5) 注意动量、动量矩守恒问题,特别是仅在某一方向上的守恒。
例 1,图示三棱柱 A沿三棱柱 B的光滑斜面滑动,A和
B的质量各为 m1和 m2，三棱柱 B的斜面与水平面成 θ
角。如开始时物系静止，忽略摩擦力，求运动时三棱柱 B的加速度。
A
BBv rv
ev
gm1
x
解,整体受力与运动分析如图，由 x
方向动量守衡可得,
Bvm 2? )c o s(1?rB vvm
0? (1)
A
BBv rv
ev
gm1
x
该系统动能为,
T
2221 Bvm )c o s2(21 221?rBrB vvvvm
2
2
1
2
12
21 c o s
s in
)(
2
1
Bvm
mm
mm
BB dvvm
mm
mmdT
2
1
2
12
21 c o s
s i n
)(
设此时三棱柱 A沿 B下滑的距离为 ds，则力的功为,
dsgmW s i n1?
A
BBv rv
ev
gm1
x
由动能定理微分形式,有
WdT
上式两边除以 dt，并注意,即可得rvdtds?/
s inc o ss in)( 12
1
2
12
21 rBB gvmavm
mmmm
A
BBa
gm1
x
(2)
由（ 1）、（ 2）两式解得,
)s in(2
2s in
2
12
1
mm
gma
B
Bvm 2? )c o s(1?rB vvm 0?
(1)
例 2,两轮小车如图，已知：车轮 C作纯滚动，车轮各重为 P、
半径为 r，车身重为 4P,A轮重为 2P，半径为 R，斜面倾角 。各轮均为均质轮,B轮质量不计，绳的两直线段分别与斜面和水平面平行。试求：（ 1）两轮小车车身的加速度；（ 2）支座 O的反力。
030
O
A
B
r
C
v
2?
1?
OXOY
P2
P6 NF
运动学关系：
v
1?r 2?R?
a
分）（ 1
2?
OX
O
A
B
r C
v
1?
OY
P2
P6 NF
a
解,以整个系统为研究对象，应用质点系动能定理，
作用于系统的所有力的元功总和为：
s in6 P d sW i
dh
ds
任意时刻系统的动能为
2
12
12?
CJT
24
2
1 v
g
P 2
2
22
2
1
2
1?R
g
P
分）（ 2
2
12
12?
CJT
24
2
1 v
g
P 2
2
22
2
1
2
1?R
g
P
2
1
22
2
1
2
12?)g/Prg/Pr( 24
2
1 v
g
P
2
2
22
2
1
2
1?R
g
P g/Pv 24?
由质点系动能定理：
dTW i
gP v d vP d s /4s i n3
分）（ 4
分）（ 1
分）（ 1
两边对除以 dt,834303 0 /g/s i nga
分）（ 2
2?
OX
O
A
B
r C
v
1?
OY
P2
P6 NF
a
对 A轮：
Ra /
TRJ O
0 TX O
02 PY O
分）（ 1
分）（ 1
分）（ 1
分）（ 1
T
PYPX OO 2,83 分）（ 2
A
C
B
M
例 3.图示机构中，已知：作纯滚动的匀质轮 A重为 Q、
半径为 R，其上作用一力偶矩为 M的常力偶；物 B重为 P，滑轮 C、绳子的质量及轴承处的摩擦不计，与轮 A相连绳段与水平面平行。试求：（ 1）重物 B上升的加速度 a；（ 2）地面作用于轮 A的摩擦力。
v
222
22
1
2 vg
PJv
g
QT
A
解：应用动能定理的微分形式,
v d vgPdJv d vgQdT A
Rv v d v
g
Pdv
R
vJv d v
g
QdT
A 2
dl
dlPRdlMW
WdT由
P d lRM d lv d vgPdvRvJv d vgQ A 2
两边除以 dt,可得：
RPQ
gPRMa
)23(
)(2
A
C
B
M
v
dl
T
P
T
f
agPPT
agQTf PRPQ PRMQPf )23( ))((2
O
060
例 4.均质杆 OA=L，质量为 m，由水平位置无初速地释放，试计算图示位置 OA杆的角速度、角加速度及
O处的约束反力。
A
解 （ 1） 应用动能定理的积分形式,
00?T 2221
6
1
2
1 mlJT
O
m g lW
4
3?
m glml
4
3
6
1 22
WTT 01
由
l
g
l
g 6.1
2
33
O
060
A
（ 2） 由刚体定轴转动微分方程,
MJ
4
60c o s
2
0 m g llmgJ
O
l
g
4
3
（ 3） 求约束反力?a
na
xF
yF
2/la 4/33/2 2 glva Cn
由质心运动定理：
)30c o s30s i n( 00 ny aamFmg
)30s i n30c os( 00 nx aamF
)30c o s30s i n( 00 ny aamFmg
)30s i n30c os( 00 nx aamF
解出：
mgFmgF yx
16
31,
16
39
O
060
A
a
na
xF
yF
例 3,图示系统中，已知：均质杆 AB重 100N、长
20cm，弹簧的刚性系数 k=20N/cm，杆与水平线的夹角为,时弹簧的长度为原长，滑块的重量及摩擦不计。试求：（ 1）杆在 处无初速地释放，弹簧伸长的最大距离；（ 2）将杆由时无初速地释放，到达 时，杆的角速度。
0
0
060
030
A
B
O
x
A
P
Av
Bv
解：（ 1） 建立如图坐标系。
设 x为弹簧最大伸长，
则由动能定理：
02121 2 kxxmg
)(5 cmkmgx
（ 2） 由动能定理：
22
2
1
2
1?
Cc JmvT
22
2
2
12
1
2
1
42
1 mllm
22
6
1?ml?
B
O
x
A
P
Av
Bv
])21()23[(21 22 llkW
)2123(2 lmg
WT 0
sr a d /55.1代入解出：
B
理论力学复习纲要静力学：
约束与约束反力 （ 三力平衡汇交定理,二力杆）
受力分析
力和力矩、力偶和力偶矩一、静力学基础二、力系的平衡（包括空间力系）
平面任意力系的平衡方程在单刚体平衡中的应用
刚体系平衡
平衡方程在刚体系平衡中的应用（平面）
考虑有摩擦时物体的平衡（静（动）滑动摩擦、摩擦角）
一次投影法，二次投影法
力对点之矩和力对轴之矩的计算运动学：
一,运动学基础
点的运动 运动方程（直角坐标法、自然法）、速度与加速度
刚体的基本运动 刚体的平动、刚体的定轴转动二、运动的合成
点的合成运动点的速度合成定理、动系为平动的加速度合成定理及其应用。
刚体的平面运动基点法 和 速度瞬心法 求刚体上各点的速度,速度投影定理的应用。
动力学：
质点系的动量定理
质心运动定理
组合体动量的求解一、动量定理
质点系对固定点和固定轴的动量矩定理；
刚体的定轴转动微分方程；
转动惯量（均质刚性杆、园盘、球的转动惯量，平行轴定理的应用、组合体转动惯量的计算）
二、动量矩定理
力的功；
组合体动能的计算；
质点系的动能定理的应用（微分形式、积分形式）；
普遍定理的综合应用。
三、动能定理
1 动量定理
n
i
e
iFdt
dp
1
)(
微分形式的质点系动量定理：
n
i
e
iIpp
1
)(
0
质点系动量定理的积分形式：
n
i
e
iC Fma
1
)(
质心运动定理：
实际应用中，以上各式均可取投影式，并遵循守恒定理。
2 动量矩定理
)( )( eiOO FM
dt
dL质点系 (对固定点 )的动量矩定理：
质点系对任一固定轴的动量矩定理：
)(
)(
)(
)(
)(
)(
e
iz
z
e
iy
y
e
ix
x
FM
dt
dL
FM
dt
dL
FM
dt
dL
质点系的动量矩守恒定理,常矢量?OL
常数?OxL
iWdT
质点系动能定理的微分形式：
2 动能定理
iWTT 12
质点系的动能定理：
牛顿第二定理
iFma
刚体定轴转动微分方程
)( )( eizzz FMJJ
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法，
但在求解比较复杂的动力学问题时,往往不可能仅用一个定理解决全部问题,需要综合应用几个定理来求解。
动量定理 和 动量矩定理 是矢量形式，应用时常取投影式，并只需考虑质点系所受的外力作用 。
质心运动定理 常用于分析质点系受力与质心运动的关系。
动能定理 是标量形式，在许多实际问题中约束反力又不作功，因而应用动能定理分析系统的速度和加速度较为方便。
一般性原则：
(1) 求解 速度,角速度 问题往往首先考虑应用动能定理的积分形式,且尽可能以整个系统为研究对象,
避免拆开系统；
(2) 应用 动能定理的积分形式,如果末位置的速度或角速度是任意位置的函数,则可求时间导数来得到加速度或角加速度。仅求加速度 (角加速度 )的问题,
应用动能定理的微分形式也很方便；
(3) 对于既要求 运动 又要求 约束力 的问题,因为应用动能定理不能求出无功约束力,此时往往先求运动,
然后再应用质心运动定理或动量矩定理来求约束力；
(4) 当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后联立求解；
(5) 注意动量、动量矩守恒问题,特别是仅在某一方向上的守恒。
例 1,图示三棱柱 A沿三棱柱 B的光滑斜面滑动,A和
B的质量各为 m1和 m2，三棱柱 B的斜面与水平面成 θ
角。如开始时物系静止，忽略摩擦力，求运动时三棱柱 B的加速度。
A
BBv rv
ev
gm1
x
解,整体受力与运动分析如图，由 x
方向动量守衡可得,
Bvm 2? )c o s(1?rB vvm
0? (1)
A
BBv rv
ev
gm1
x
该系统动能为,
T
2221 Bvm )c o s2(21 221?rBrB vvvvm
2
2
1
2
12
21 c o s
s in
)(
2
1
Bvm
mm
mm
BB dvvm
mm
mmdT
2
1
2
12
21 c o s
s i n
)(
设此时三棱柱 A沿 B下滑的距离为 ds，则力的功为,
dsgmW s i n1?
A
BBv rv
ev
gm1
x
由动能定理微分形式,有
WdT
上式两边除以 dt，并注意,即可得rvdtds?/
s inc o ss in)( 12
1
2
12
21 rBB gvmavm
mmmm
A
BBa
gm1
x
(2)
由（ 1）、（ 2）两式解得,
)s in(2
2s in
2
12
1
mm
gma
B
Bvm 2? )c o s(1?rB vvm 0?
(1)
例 2,两轮小车如图，已知：车轮 C作纯滚动，车轮各重为 P、
半径为 r，车身重为 4P,A轮重为 2P，半径为 R，斜面倾角 。各轮均为均质轮,B轮质量不计，绳的两直线段分别与斜面和水平面平行。试求：（ 1）两轮小车车身的加速度；（ 2）支座 O的反力。
030
O
A
B
r
C
v
2?
1?
OXOY
P2
P6 NF
运动学关系：
v
1?r 2?R?
a
分）（ 1
2?
OX
O
A
B
r C
v
1?
OY
P2
P6 NF
a
解,以整个系统为研究对象，应用质点系动能定理，
作用于系统的所有力的元功总和为：
s in6 P d sW i
dh
ds
任意时刻系统的动能为
2
12
12?
CJT
24
2
1 v
g
P 2
2
22
2
1
2
1?R
g
P
分）（ 2
2
12
12?
CJT
24
2
1 v
g
P 2
2
22
2
1
2
1?R
g
P
2
1
22
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1
2
12?)g/Prg/Pr( 24
2
1 v
g
P
2
2
22
2
1
2
1?R
g
P g/Pv 24?
由质点系动能定理：
dTW i
gP v d vP d s /4s i n3
分）（ 4
分）（ 1
分）（ 1
两边对除以 dt,834303 0 /g/s i nga
分）（ 2
2?
OX
O
A
B
r C
v
1?
OY
P2
P6 NF
a
对 A轮：
Ra /
TRJ O
0 TX O
02 PY O
分）（ 1
分）（ 1
分）（ 1
分）（ 1
T
PYPX OO 2,83 分）（ 2
A
C
B
M
例 3.图示机构中，已知：作纯滚动的匀质轮 A重为 Q、
半径为 R，其上作用一力偶矩为 M的常力偶；物 B重为 P，滑轮 C、绳子的质量及轴承处的摩擦不计，与轮 A相连绳段与水平面平行。试求：（ 1）重物 B上升的加速度 a；（ 2）地面作用于轮 A的摩擦力。
v
222
22
1
2 vg
PJv
g
QT
A
解：应用动能定理的微分形式,
v d vgPdJv d vgQdT A
Rv v d v
g
Pdv
R
vJv d v
g
QdT
A 2
dl
dlPRdlMW
WdT由
P d lRM d lv d vgPdvRvJv d vgQ A 2
两边除以 dt,可得：
RPQ
gPRMa
)23(
)(2
A
C
B
M
v
dl
T
P
T
f
agPPT
agQTf PRPQ PRMQPf )23( ))((2
O
060
例 4.均质杆 OA=L，质量为 m，由水平位置无初速地释放，试计算图示位置 OA杆的角速度、角加速度及
O处的约束反力。
A
解 （ 1） 应用动能定理的积分形式,
00?T 2221
6
1
2
1 mlJT
O
m g lW
4
3?
m glml
4
3
6
1 22
WTT 01
由
l
g
l
g 6.1
2
33
O
060
A
（ 2） 由刚体定轴转动微分方程,
MJ
4
60c o s
2
0 m g llmgJ
O
l
g
4
3
（ 3） 求约束反力?a
na
xF
yF
2/la 4/33/2 2 glva Cn
由质心运动定理：
)30c o s30s i n( 00 ny aamFmg
)30s i n30c os( 00 nx aamF
)30c o s30s i n( 00 ny aamFmg
)30s i n30c os( 00 nx aamF
解出：
mgFmgF yx
16
31,
16
39
O
060
A
a
na
xF
yF
例 3,图示系统中，已知：均质杆 AB重 100N、长
20cm，弹簧的刚性系数 k=20N/cm，杆与水平线的夹角为,时弹簧的长度为原长，滑块的重量及摩擦不计。试求：（ 1）杆在 处无初速地释放，弹簧伸长的最大距离；（ 2）将杆由时无初速地释放，到达 时，杆的角速度。
0
0
060
030
A
B
O
x
A
P
Av
Bv
解：（ 1） 建立如图坐标系。
设 x为弹簧最大伸长，
则由动能定理：
02121 2 kxxmg
)(5 cmkmgx
（ 2） 由动能定理：
22
2
1
2
1?
Cc JmvT
22
2
2
12
1
2
1
42
1 mllm
22
6
1?ml?
B
O
x
A
P
Av
Bv
])21()23[(21 22 llkW
)2123(2 lmg
WT 0
sr a d /55.1代入解出：
B
理论力学复习纲要静力学：
约束与约束反力 （ 三力平衡汇交定理,二力杆）
受力分析
力和力矩、力偶和力偶矩一、静力学基础二、力系的平衡（包括空间力系）
平面任意力系的平衡方程在单刚体平衡中的应用
刚体系平衡
平衡方程在刚体系平衡中的应用（平面）
考虑有摩擦时物体的平衡（静（动）滑动摩擦、摩擦角）
一次投影法，二次投影法
力对点之矩和力对轴之矩的计算运动学：
一,运动学基础
点的运动 运动方程（直角坐标法、自然法）、速度与加速度
刚体的基本运动 刚体的平动、刚体的定轴转动二、运动的合成
点的合成运动点的速度合成定理、动系为平动的加速度合成定理及其应用。
刚体的平面运动基点法 和 速度瞬心法 求刚体上各点的速度,速度投影定理的应用。
动力学：
质点系的动量定理
质心运动定理
组合体动量的求解一、动量定理
质点系对固定点和固定轴的动量矩定理；
刚体的定轴转动微分方程；
转动惯量（均质刚性杆、园盘、球的转动惯量，平行轴定理的应用、组合体转动惯量的计算）
二、动量矩定理
力的功；
组合体动能的计算；
质点系的动能定理的应用（微分形式、积分形式）；
普遍定理的综合应用。
三、动能定理
