设 ),( 000 yxP 是 x o y 平面上的一个点,? 是某一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
（ 1）邻域
0P
),( 0?PU || 0PPP
,)()(|),( 2020 yyxxyx
一、多元函数的概念
（ 2）区域
.
)(
的内点为则称
，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设
EP
EPUP
PE
.EE 的内点属于
E
P?,为开集则称的点都是内点，如果点集
E
E
}41),{( 221 yxyxE例如，
即为开集．
的边界点．为），则称可以不属于
，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点
EPE
EPE
EP
E
P? 的边界．的边界点的全体称为 EE
是连通的．开集
，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设
D
D
DD
连通的开集称为区域或开区域．
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
}0|),{( yxyx
有界闭区域；
无界开区域．
x
y
o
例如，则称为无界点集．
为有界点集，否成立，则称对一切即
，不超过间的距离与某一定点
，使一切点如果存在正数对于点集
EEP
KAP
KAPAEP
KE
}41|),{( 22 yxyx
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
内点一定是聚点；
说明：
边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 yxyx例
(0,0)既是 边界点也是聚点．
点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 yxyx例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
}1|),{( 22 yxyx例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（ 4） n维空间设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ),,,( 21 nxxx? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第
i 个坐标,
n维空间的记号为说明：;nR
n维空间中两点间距离公式
),,,,( 21 nxxxP? ),,,,( 21 nyyyQ?
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ
n维空间中邻域、区域等概念
nRPPPPPU,||),( 00
特殊地当 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
3,2,1?n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
邻域：
设两点为设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
DyxP?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，记为
),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
（ 5）二元函数的定义当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、
因变量等概念,
类似地可定义三元及三元以上函数．
例 1 求 的定义域,2
22 )3a rc s i n (
),(
yx
yxyxf
解
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
（ 6） 二元函数 的图形 ),( yxfz?
设函数 ),( yxfz? 的定义域为 D,对于任意取定的 DyxP?),(,对应的函数值为
),( yxfz?,这样，以 x 为横坐标,y 为纵坐标,z 为竖坐标在空间就确定一点 ),,( zyxM,
当 x 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集
}),(),,(|),,{( Dyxyxfzzyx,这个点集称为二元函数的图形,
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面,
x
y
z
o
xyz s in?
例如,
图形如右图,
2222 azyx
例如,
左图球面,
}.),{( 222 ayxyxD
222 yxaz
.222 yxaz
单值分支,
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
（ 1）邻域
0P
),( 0?PU || 0PPP
,)()(|),( 2020 yyxxyx
一、多元函数的概念
（ 2）区域
.
)(
的内点为则称
，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设
EP
EPUP
PE
.EE 的内点属于
E
P?,为开集则称的点都是内点，如果点集
E
E
}41),{( 221 yxyxE例如，
即为开集．
的边界点．为），则称可以不属于
，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点
EPE
EPE
EP
E
P? 的边界．的边界点的全体称为 EE
是连通的．开集
，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设
D
D
DD
连通的开集称为区域或开区域．
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
}0|),{( yxyx
有界闭区域；
无界开区域．
x
y
o
例如，则称为无界点集．
为有界点集，否成立，则称对一切即
，不超过间的距离与某一定点
，使一切点如果存在正数对于点集
EEP
KAP
KAPAEP
KE
}41|),{( 22 yxyx
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
内点一定是聚点；
说明：
边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 yxyx例
(0,0)既是 边界点也是聚点．
点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 yxyx例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
}1|),{( 22 yxyx例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（ 4） n维空间设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ),,,( 21 nxxx? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第
i 个坐标,
n维空间的记号为说明：;nR
n维空间中两点间距离公式
),,,,( 21 nxxxP? ),,,,( 21 nyyyQ?
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ
n维空间中邻域、区域等概念
nRPPPPPU,||),( 00
特殊地当 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
3,2,1?n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
邻域：
设两点为设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
DyxP?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，记为
),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
（ 5）二元函数的定义当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、
因变量等概念,
类似地可定义三元及三元以上函数．
例 1 求 的定义域,2
22 )3a rc s i n (
),(
yx
yxyxf
解
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
（ 6） 二元函数 的图形 ),( yxfz?
设函数 ),( yxfz? 的定义域为 D,对于任意取定的 DyxP?),(,对应的函数值为
),( yxfz?,这样，以 x 为横坐标,y 为纵坐标,z 为竖坐标在空间就确定一点 ),,( zyxM,
当 x 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集
}),(),,(|),,{( Dyxyxfzzyx,这个点集称为二元函数的图形,
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面,
x
y
z
o
xyz s in?
例如,
图形如右图,
2222 azyx
例如,
左图球面,
}.),{( 222 ayxyxD
222 yxaz
.222 yxaz
单值分支,
