第 2章 关系模型和关系运算理论本章重要概念（一）
（ 1） 基本概念关系模型,关键码 （ 主键和外键 ）,关系的定义和性质,三类完整性规则,ER模型到关系模型的转换规则,过程性语言与非过程性语言 。
（ 2） 关系代数五个基本操作，四个组合操作，七个扩充操作。
本章重要概念（二）
（ 3） 关系演算元组关系演算和域关系演算的原子公式,公式的定义 。 关系演算的安全性和等价性 。
（ 4） 关系代数表达式的优化关系代数表达式的等价及等价转换规则,启化式优化算法 。
（ 5） 关系逻辑谓词、原子、规则和查询，规则的安全性，用规则模拟关系代数表达式。
本章概要
本章先介绍关系模型的基本概念；然后介绍关系运算的三种理论：关系代数、关系演算和关系逻辑。
关系模型和关系运算理
2.1 关系模型的基本概念
2.2 关系代数
2.3 关系演算
2.4 关系代数表达式的优化
2.5 关系逻辑
2.1 关系模型的基本概念
2.1.1 基本术语
2.1.2 关系的定义和性质
2.1.3 关系模型的三类完整性规则
2.1.4 ER模型向关系模型的转换规则
2.1.5 关系模型的三级体系结构
2.1.6 关系模型的形式定义和优点
2.1.7 关系查询语言和关系运算返回基本术语 (1)
定义 2.1 用二维表格表示实体集，用关键码进行数据导航的数据模型称为关系模型（ relational Model）。这里数据导航 (data navigation)是指从已知数据查找未知数据的过程和方法。 工号 姓名 年龄 性别 工资
4001 zhang 50 M 2000
4 002 li 40 F 1500
4124 liu 35 M 2000
5018 wang 25 M 1000
图 2.1 职工登记表基本术语 (2)
在关系模型中,字段称为属性,字段值称为属性值,
记录类型称为关系模式 。 在图 2.2中,关系模式名是 R。
记录称为元组 （ tuple）,元组的集合称为关系
（ relation） 或实例 （ instance） 。 一般用大写字母 A、
B,C,… 表示单个属性,用大写字母 …,X,Y,Z表示属性集,用小写字母表示属性值,有时也习惯称呼关系为表或表格,元组为行 (row),属性为列 (column)。
关系中属性个数称为,元数,（ arity），元组个数为
,基数,(cardinality)。
基本术语 (3)
关系元数为 5，基数为 4 R A B C D E
a 1 b 1 c 1 d 1 e 1
a 2 b 2 c 2 d 2 e 2
a 3 b 3 c 3 d 3 e 3
a 4 b 4 c 4 d 4 e 4
一般术语 关系模型术语字段,数据项 属性记录类型 关系模式记录 1 元组 1
记录 2 元组 2
记录 3 元组 3
记录 4 元组 4
字段值 属性值图 2.2 关系模型的术语基本术语 (4)
关键码 (key,简称键 )由一个或多个属性组成 。 在实际使用中,有下列几种键 。
（ 1） 超建 （ super Key）
（ 2） 候选键 （ candidate Key）
（ 3） 主键 (primary Key) 在图 2.1中,（ 工号,姓名 ）
是模式的一个超键,但不是候选键,而 （ 工号 ） 是候选键 。 在实际使用中,如果选择 （ 工号 ） 作为删除或查找元组的标志,那么称 （ 工号 ） 是主键 。
（ 4） 外键 （ foreign Key）
返回关系的定义和性质
定义 2.2 关系是一个属性数目相同的元组的集合。
在关系模型中,对关系作了下列规范性限制：
（ 1） 关系中每一个属性值都是不可分解的；
（ 2） 关系中不允许出现重复元组 （ 即不允许出现相同的元组 ） ；
（ 3） 由于关系是一个集合,因此不考虑元组间的顺序,
即没有行序；
（ 4） 元组中的属性在理论上也是无序的,但使用时按习惯考虑列的顺序 。
返回关系模型的三类完整性规则 (1)
实体完整性规则 （ entity integrity rule）
要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值 。 如果出现空值,那么主键值就起不了惟一标织元组的作用 。
关系模型的三类完整性规则 (2)
参照完整性规则 （ reference integrity rule）
定义 2.3 参照完整性规则的形式定义如下：
如果属性集 K是关系模式 R1的主键,K也是关系模式 R2
的外键,那么在 R2的关系中,K的取值只允许两种可能,
或者为空值,或者等于 R1关系中某个主键值 。
这条规则的实质是“不允许引用不存在的实体”。
在上述形式定义中,关系模式 R1的关系称为,参照关系,,关系模式 R2的关系称为,依赖关系,。,主表,
和,副表,,,父表,和,子表,。
关系模型的三类完整性规则 (3)
例 2.1 下面各种情况说明了参照完整性规则在关系中如何实现的 。
① 在关系数据库中有下列两个关系模式：
S（ S#,SNAME,AGE,SEX）
SC（ S#,C#,GRADE）
这里带下划线者为主键,带波浪线者为外键 。 据规则要求关系 SC中的 S# 值应该在关系 S中出现 。 如果关系 SC
中有一个元组 （ S7,C4,80）,而学号 S7却在关系 S中找不到,那么我们就认为在关系 SC中引用了一个不存在的学生实体,这就违反了参照完整性规则 。
另外,在关系 SC中 S# 不仅是外键,也是主键的一部分,
因此这里 S# 值不允许空 。
关系模型的三类完整性规则 (4)
② 设工厂数据库中有两个关系模式：
DEPT(D#,DNAME)
EMP(E#,ENAME,SALARY,D# )
车间模式 DEPT的属性为车间编号,车间名,职工模式
EMP的属性为工号,姓名,工资,所在车间的编号 。 每个模式的主键与外键已标出 。 在 EMP中,由于 D# 不在主键中,因此 D# 值允许空 。
关系模型的三类完整性规则 (5)
③ 设课程之间有先修,后继联系 。 模式如下：
R(C#,CNAME,PC# )
其属性表示课程号、课程名、先修课的课程号。如果规定，每门课程的直接先修课只有一门，那么模式 R的主键是 C#，外键是 PC#.。这里参照完整性在一个模式中实现。即每门课程的直接先修课必须在关系中出现。
关系模型的三类完整性规则 (6)
用户定义的完整性规则在建立关系模式时,对属性定义了数据类型,即使这样可能还满足不了用户的需求 。 此时,用户可以针对具体的数据约束,设置完整性规则,由系统来检验实施,
以使用统一的方法处理它们,不再由应用程序承担这项工作 。 例如学生的年龄定义为两位整数,范围还太大,
我们可以写如下规则把年龄限制在 15～ 30岁之间：
CHECK（ AGE BETWEEN 15 AND 30）
返回
ER模型向关系模型的转换规则 (1)
ER模型向关系模型的转换,实际上就是把 ER图转换成关系模式的集合 。
规则 2.1（ 实体类型的转换 ）,将每个实体类型转换成一个关系模式,实体的属性即为关系模式的属性,实体标识符即为关系模式的键 。
规则 2.2（ 二元联系类型的转换 ）
① 若实体间联系是 1:1。
② 若实体间联系是 1:N。
③ 若实体间联系是 M:N。
ER模型向关系模型的转换规则 (2)
校名 地址校长任职学校电话任职年月姓名 性别 年龄
1
1
职称图 2.3 一对一联系
ER模型向关系模型的转换规则 (3)
系号 系名教师聘用系电话聘期工号 姓名 性别 年龄
1
N
图 2.4 一对多联系
ER模型向关系模型的转换规则 (4)
学号 姓名课程学生年龄成绩课程号 课程名 教师名选课性别
M
N
图 2.5 多对多联系 返回关系模型的三级体系结构 -- 关系模式
在关系模型中，记录类型称为关系模式，而关系模式的集合就是数据库的概念模式。在系统实现时，关系模式和属性的命名一般都用英文单词。譬如图 2.5的 ER
图转换成的关系模式集可用图 2.6表示。而图 2.7是这个关系模型的三个具体关系。
学生关系模式 S( S #,SN AM E,
AGE,SEX)
选 课 关系模式 SC ( S#,C#,
GRADE)
课程关系模式 C( C#,CN AM E,
TEACHER)
关系模型的三级体系结构 --子模式
子模式是用户所用到的那部分数据的描述。除此之外，
还应指出数据与关系模式中相应数据的联系。例如，用户需要用到子模式 G（图 2.8）。
成绩子模式 G (S #,SNAME,C#,
GRADE)
关系模型的三级体系结构 --存储模式
SC PTR S# C# GRADE
S S# SNAME AGE SEX PTR · S1 C1 80
S1 Wang 20 M · · S3 C1 90
S2 Liu 21 F · · S1 C2 70
S3 Chen 22 M · · S3 C2 85
· S3 C3 95
图 2.10 关系 S和 SC的环结构
在有些 DBMS中，关系存储是作为文件看待的，每个元组就是一个记录。由于关系模式有键，因此存储一个关系可用散列方法或索引方法实现。如果关系的元组数目较少（ 100个以内），那么也可以用,堆文件,方式实现
（即没有特定的次序）。此外，还可对任意的属性集建立辅助索引。
关系模型的形式定义
关系模型有三个重要组成部分：数据结构,数据操纵,
数据完整性规则 。
（ 1） 数据结构：数据库中全部数据及其相互联系都被组织成,关系,（ 二维表格 ） 的形式 。 关系模型基本的数据结构是关系 。
（ 2） 数据操纵：关系模型提供一组完备的高级关系运算,
以支持对数据库的各种操作 。 关系运算分成关系代数,
关系演算和关系逻辑等三类 。
（ 3）数据完整性规则：数据库中数据必须满足实体完整性，参照完整性和用户定义的完整性等三类完整性规则。
关系模型的优点
与其它数据模型相比,关系模型突出的优点如下：
（ 1） 关系模型提供单一的数据结构形式,具有高度的简明性和精确性 。
（ 2） 关系模型的逻辑结构和相应的操作完全独立于数据存储方式,具有高度的数据独立性 。
（ 3） 关系模型使数据库的研究建立在比较坚实的数学基础上 。
（ 4） 关系数据库语言与一阶谓词逻辑的固有内在联系,
为以关系数据库为基础的推理系统和知识库系统的研究提供了方便 。 返回关系查询语言和关系运算
关系数据库的数据操纵语言 （ DML） 的语句分成查询语句和更新语句两大类 。 查询语句用于描述用户的各种检索要求；更新语句用于描述用户进行插入,删除,修改等操作 。 关于查询的理论称为,关系运算理论,。
关系查询语言根据其理论基础的不同分成三类：
（ 1） 关系代数语言 。
（ 2） 关系演算语言 。
（ 3）关系逻辑语言。
返回
2.2 关系代数
2.2.1 关系代数的五个基本操作
2.2.2 关系代数的四个组合操作
2.2.3 关系代数运算的应用实例
2.2.4 关系代数的七个扩充操作返回关系代数的五个基本操作 (1)
并 （ Union）
设关系 R和 S具有相同的关系模式,R和 S的并是由属于 R
或属于 S的元组构成的集合,记为 R∪ S。 形式定义如下：
R∪ S≡{t | t∈ R ∨ t∈ S},t是元组变量,R和 S的元数相同 。
差 （ Difference）
设关系 R和 S具有相同的关系模式,R和 S的差是由属于 R
但不属于 S的元组构成的集合,记为 R－ S。 形式定义如下：
R－ S≡{ t | t∈ R ∧ t∈ S},R和 S的元数相同 。
关系代数的五个基本操作 (2)
投影 （ Projection）
这个操作是对一个关系进行垂直分割,消去某些列,并重新安排列的顺序 。
设关系 R是 k元关系,R在其分量 Ai1,…,Aim（ m≤k,
i1,…,im为 1到 k间的整数 ） 上的投影用 π i1,…,im（ R）
表示,它是一个 m元元组集合,形式定义如下：
π i1,…,im（ R） ≡ { t | t＝ 〈 ti1,…,tim〉 ∧ 〈 t1,…,tk〉 ∈R }
例如,π 3,1（ R） 表示关系 R中取第 1,3列,组成新的关系,新关系中第 1列为 R的第 3列,新关系的第 2列为 R
的第 1列 。 如果 R的每列标上属性名,那么操作符 π 的下标处也可以用属性名表示 。 例如,关系 R（ A,B,C）,
那么 π C,A（ R） 与 π 3,1（ R） 是等价的 。
关系代数的五个基本操作 (3)
选择 （ Selection）
选择操作是根据某些条件对关系做水平分割,即选取符合条件的元组 。 条件可用命题公式 （ 即计算机语言中的条件表达式 ） F表示 。 F中有两种成分：
关系 R关于公式 F的选择操作用 σ F（ R） 表示,形式定义如下：
σ F（ R） ＝ { t | t∈R ∧ F（ t） = true }
σ 为选择运算符,σ F（ R） 表示从 R中挑选满足公式 F为真的元组所构成的关系 。
例如,σ 2＞ ˊ 3ˊ （ R） 表示从 R中挑选第 2个分量值大于 3的元组所构成的关系 。 书写时,为了与属性序号区别起见,
常量用引号括起来,而属性序号或属性名不要用引号括起来 。
关系代数的五个基本操作 (例 )
例 2.3 图 2.12有两个关系 R和 S,图 2.13的 （ a）,（ b）
表示 R∪S 和 R－ S。 （ c） 表示 R× S,此处 R和 S的属性名相同,就应在属性名前注上相应的关系名,例如 R.A、
S.A等 。 图 2.13的 （ d） 表示 π C,A（ R）,即 π 3,1（ R） 。
（ e） 表示 σ B=ˊbˊ （ R） 。
A B C A B C
a b C b g a
d a F d a f
c b d
（ a）关系 R （ b）关系 S
图 2.12 两个关系关系代数的五个基本操作 (例 )A B C A B C R.A R.B R.C S,A S.B S.C C A A B C
a b c a b c a b c b g a c a a b c
d a f c d b a b c d a f f d c b d
c b d d a f b g a d c
b g a d a f d a f
c b d b g a
c b d d a f
（ a） R∪ S （ b） R－ S （ c） R× S （ d） πC,A（ R） （ e） σB='b'（ R）
图 2.13 关系代数操作的结果返回关系代数的四个组合操作 (1)
交 （ intersection）
关系 R和 S的交是由属于 R又属于 S的元组构成的集合,记为 R∩S,这里要求 R和 S定义在相同的关系模式上 。 形式定义如下：
R∩S≡{t︱ t∈ R ∧ t∈ S},R和 S的元数相同 。
由于 R∩S = R-（ R-S）,或 R∩S = S-（ S-R）,因此交操作不是一个独立的操作 。
在图 2.12中,R∩S的结果是只有一个元组（ d,a,f）。
关系代数的四个组合操作 (2)
联接 （ join）
联接有两种,θ 联接和 F联接 （ 这里 θ 是算术比较符,F是公式 ） 。
① θ 联接
R? S≡{t ︱ t=<tr,ts> ∧ t r∈R ∧ t s∈S ∧tr i θ ts j }
② F联接
F联接是从关系 R和 S的笛卡尔积中选取属性间满足某一公式 F的元组,这里 F是形为 F1∧F 2∧ … ∧F n的公式，
每个 FP是形为 iθ j的式子，而 i和 j分别为关系 R和 S的第
i、第 j个分量的序号。
关系代数的四个组合操作 (3)
自然联接 （ natural join）
两个关系 R和 S的自然联接操作具体计算过程如下：
① 计算 R× S ；
② 设 R和 S的公共属性是 A1,…,AK,挑选 R× S中满足
R.A1=S.A1,…,R.AK=S.AK
的那些元组；
③ 去掉 S.A1,…,S.AK这些列 。
定义：
π i1,…,im (σ R.A1=S.A1∧..,∧R.A K=S.AK(R× S)),其中
i1,…,im为 R和 S的全部属性，但公共属性只出现一次。
关系代数的四个组合操作 (4)
除法（ division）
设关系 R和 S的元数分别为 r和 s（设 r>s>0），那么 R÷ S
是一个（ r-s）元的元组的集合。（ R÷ S）是满足下列条件的最大关系：其中每个元组 t与 S中每个元组 u组成的新元组 <t,u>必在关系 R中。
R÷ S≡ π 1,2,…,r-s（ R） -π 1,2,…,r-s
（（ π 1,2,…,r-s（ R） × S） -R）
返回关系代数运算的应用实例
在关系代数运算中,把由五个基本操作经过有限次复合的式子称为关系代数表达式 。 这种表达式的运算结果仍是一个关系 。 我们可以用关系代数表达式表示各种数据查询操作 。
例 2.7
返回关系代数的七个扩充操作
改名
广义投影
赋值
外联接（ outer join）
外部并（ outer union）
半联接（ semijoin）
聚集操作返回
2.3 关系演算
把数理逻辑的谓词演算引入到关系运算中，就可得到以关系演算为基础的运算。关系演算又可分为元组关系演算和域关系演算，前者以元组为变量，后者以属性（域）
为变量。
2.3.1 元组关系演算
2.3.2 域关系演算
2.3.3 关系运算的安全约束和等价性返回元组关系演算 (1)
在元组关系演算 （ Tuple Relational Calculus） 中,
元组关系演算表达式简称为元组表达式,其一般形式为
{ t | P（ t） }
其中,t是元组变量，表示一个元数固定的元组； P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表达式。 { t | P（ t） }表示满足公式 P的所有元组
t的集合。
元组关系演算 (2)
在元组表达式中,公式由原子公式组成 。
定义 2.4 原子公式 （ Atoms） 有下列三种形式：
① R（ s）
② s[i]θ u[j]
③ s[i]θ a或 aθ u[j]。
在定义关系演算操作时，要用到,自由,（ Free）和
,约束,（ Bound）变量概念。在一个公式中，如果元组变量未用存在量词?或全称量词?符号定义，那么称为自由元组变量，否则称为约束元组变量。
元组关系演算 (3)
定义 2.5 公式 （ Formulas） 的递归定义如下：
① 每个原子是一个公式 。 其中的元组变量是自由变量 。
② 如果 P1和 P2是公式，那么 ┐ P1,P1∨P 2,P1∧P 2和
P1?P2也都是公式。
③ 如果 P1是公式，那么（?s）（ P1）和（?s）（ P1）
也都是公式。
④ 公式中各种运算符的优先级从高到低依次为,θ,
和?,┐,∧ 和 ∨,?。在公式外还可以加括号，以改变上述优先顺序。
⑤ 公式只能由上述四种形式构成，除此之外构成的都不是公式。
元组关系演算 (4)
例 2.16
图 2.20的（ a）、（ b）是关系 R和 S，（ c）～（ g）分别是下面五个元组表达式的值
A B C A B C A B C A B C
1 2 3 1 2 3 3 4 6 4 5 6
4 5 6 3 4 6 5 6 9 7 8 9
7 8 9 5 6 9
（ a ）关系 R （ b ）关系 S （ c ） R1 （ d ） R2
A B C A B C R.B S,C R.A
1 2 3 4 5 6 5 3 4
3 4 6 7 8 9 8 3 7
8 6 7
8 9 7
（ e ） R3 （ f ） R4 （ g ） R5
图 2.20 元组关系演算的例子
R1 = { t | S（ t） ∧ t[1]>2 }
R2 = { t | R（ t） ∧┐ S（ t） }
R3 = { t |（?u） （ S（ t） ∧ R（ u） ∧ t[3]<u[2]}}
R4 = { t |（?u） （ R（ t） ∧ S（ u） ∧ t[3]>u[1]） }
R5 = { t |（?u）（?v）（ R
（ u） ∧ S（ v）
∧ u[1]>v[2]∧t[1]=u[2]∧t
[2]=v[3]∧t[3]=u[1] ） }
元组关系演算 (5)
在元组关系演算的公式中,有下列三个等价的转换规则：
① P1∧ P2等价于 ┐(┐P1∨ ┐P2)；
P1∨ P2等价于 ┐（ ┐P1∧ ┐P2） 。
② （?s） （ P1（ s）） 等价于 ┐(?s)（ ┐P1（ s）） ；
（?s） （ P1（ s）） 等价于 ┐(?s） （ ┐P1（ s）） 。
③ P1?P2等价于 ┐P1∨ P2。
元组关系演算 (6)
关系代数表达式到元组表达式的转换例 2.17
R∪ S可用 { t | R（ t） ∨ S（ t） }表示；
R-S可用 { t | R（ t） ∧ ┐S（ t） }表示；
R× S 可用 { t | （? u ） （? v ） （ R （ u ） ∧ S(V) ∧ t[1]=u[1]
∧ t[2]=u[2]∧ t[3]=u[3]∧ t[4]=v[1]∧ t[5]=v[2] ∧ t[6]=v[3]） }表示 。
设投影操作是 π2,3（ R）,那么元组表达式可写成：
{ t |(?u)（ R（ u） ∧ t[l]=u[2]∧ t[2]=u[3]） }
σF（ R）可用 { t |R(t)∧ F'}表示,F'是 F的等价表示形式。譬如 σ2='d'
（ R）可写成 { t |（ R（ t） ∧ t[2]='d'）。
返回域关系演算 (1)
原子公式有两种形式：
⑴ R（ x1… xk） ；
⑵ xθ y。
公式中也可使用 ∧,∨,┐ 和?等逻辑运算符,(?x)和
（?x）,但变量 x是域变量,不是元组变量 。
自由域变量,约束域变量等概念和元组演算中一样 。
域演算表达式是形为
｛ t1… tk∣P （ t1,…,tk）｝
的表达式,其中 P（ t1,…,tk） 是关于自由域变量
t1,…,tk 的公式 。
域关系演算 (2)
例 2.20 图 2.21的 （ a）,（ b）,（ c） 是三个关系 R,S,W，
（ d）,（ e）,（ f） 分别表示下面三个域表达式的值 。
（ a） 关系 R （ b） 关系 S （ c） 关系 W （ d） R1 （ e） R2 （ f） R3
图 2.21 域关系演算的例子
A B C A B C D E A B C A B C B D A
1 2 3 1 2 3 7 5 4 5 6 1 2 3 5 7 4
4 5 6 3 4 6 4 8 4 5 6 8 7 7
7 8 9 5 6 9 7 8 9 8 4 7
3 4 6
R1={ xyz| R（ xyz） ∧ x<5 ∧ y>3 }
R2={ xyz| R（ xyz） ∨ （ S（ xyz） ∧ y = 4）
}
R3={ xyz|（?u）（?v）（ R（ zxu） ∧ w（ yv
） ∧ u>v ） }
域关系演算 (3)
元组表达式到域表达式的转换
我们可以很容易地把元组表达式转换成域表达式,转换规则如下：
⑴ 对于 k元的元组变量 t,可引入 k个域变量 t1? tk,在公式中 t用 t1? tk替换,元组分量 t[i]用 ti替换 。
⑵ 对于每个量词（?u）或（?u），若 u是 m元的元组变量，则引入 m个新的域变量 u1… um。在量词的辖域内,u
用 u1… um替换,u[i]用 ui替换，（?u）用（?u1） … （?um）
替换，（?u）用（?u1） … （?um）替换。
返回关系运算的安全约束和等价性
定义 2.6 在数据库技术中,不产生无限关系和无穷验证的运算称为安全运算,相应的表达式称为安全表达式,
所采取的措施称为安全约束 。
并、差、笛尔卡积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最小完备集。已经证明，
在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能力上是完全等价的。
返回
2.4 关系代数表达式的优化
2.4.1 关系代数表达式的优化问题
2.4.2 关系代数表达式的等价变换规则
2.4.3 关系代数表达式的优化算法返回关系代数表达式的优化 (1)
在关系代数表达式中需要指出若干关系的操作步骤 。 那么,系统应该以什么样的操作顺序,才能做到既省时间,
又省空间,而且效率也比较高呢？ 这个问题称为查询优化问题 。
在关系代数运算中，笛卡儿积和联接运算是最费时间的。
关系代数表达式的优化 (2)
例 2.23 设关系 R和 S都是二元关系,属性名分别为 A,B和 C,D。 设有一个查询可用关系代数表达式表示：
E1=π A（ σ B=C∧D=' 99'（ R× S））
也可以把选择条件 D=‘99’移到笛卡儿积中的关系 S前面：
E2=π A（ σ B=C（ R× σ D='99'（ S））
还可以把选择条件 B＝ C与笛卡儿积结合成等值联接形式：
B=C E3=π A（ R σ D='99'（ S））
这三个关系代数表达式是等价的，但执行的效率大不一样。显然，
求 El,E2,E3的大部分时间是花在联接操作上的。
返回关系代数表达式的等价变换规则
(1)
联接和笛卡尔积的交换律
联接和笛卡尔积的结合律
投影的级联
选择的级联
选择和投影操作的交换
选择对笛卡尔积的分配律
选择对并的分配律关系代数表达式的等价变换规则
(2)
选择对集合差的分配律
选择对自然联接的分配律
投影对笛卡尔积的分配律
投影对并的分配律
选择与联接操作的结合
并和交的交换律
并和交的结合律返回关系代数表达式的优化算法 (1)
在关系代数表达式中,最花费时间和空间的运算是笛卡尔积和联接操作,为此,引出三条启发式规则,用于对表达式进行转换,以减少中间关系的大小 。
·尽可能早地执行选择操作；
·尽可能早地执行投影操作；
·避免直接做笛卡尔积，把笛卡尔积操作之前和之后的一连串选择和投影合并起来一起 做。
关系代数表达式的优化算法 (2)
算法 2.1 关系代数表达式的启发式优化算法 。
输入：一个关系代数表达式的语法树输出：计算表达式的一个优化序列
例 2.24
返回
2.5 关系逻辑 (自学 )
2.5.1 关系运算的成分
2.5.2 规则的安全性
2.5.3 从关系代数到关系逻辑的转换
2.5.4 递归过程
2.5.5 关系逻辑与关系代数的差异小 结
在 2.3.3节中提到关系代数和关系演算在表达功能上是等价的 。 那么关系代数和关系逻辑在表达功能上是否等价？ 已有文献证明,这两者之间相差甚大 。 在规则中没有否定时,关系代数与关系逻辑在表达功能方面已不相适应,每个都能表达另一个不能表达的内容 。 在规则中带有否定时,关系逻辑比关系代数更富于表现力 。 只有在规则被约束为安全的,非递归的,在带有某些否定的情况下,关系代数才与关系逻辑等价 。 由于关系逻辑中引进了基于逻辑的规则概念,使得关系逻辑比关系代数在模拟现实世界能力方面更强 。 关系逻辑一般是用在知识库的知识表达中 。
本章的重点篇幅
（ 1） 教材中 P56的例 2.7（ 关系代数表达式的应用实例 ） 。
（ 2） 教材中 P63的例 2.19（ 元组表达式的应用实例 ） 。
（ 3）教材中 P81的例 2.36（关系逻辑的规则表示）。
重要内容分析（一）
（ 1） 一般规则
·对于只涉及到选择,投影,联接的查询可用下列表达式表示：
π… （ σ… （ R× S）） 或者 π… （ σ…
（ R?S））
·对于否定的操作,一般要用差操作表示,例如
,检索不学 C2课的学生姓名,。
·对于检索具有“全部”特征的操作，一般要用除法操作表示，例如,检索学习全部课程的学生姓名”。
重要内容分析（二）
（ 2）,检索不学 C2课的学生姓名,,决不能用下式表示：
πSNAME,AGE（ σC#≠'C2'（ S?SC））
一定要用,差,的形式：
πSNAME,AGE （ S ） － πSNAME,AGE （ σC#='C2'
（ S?SC））
（ 3）,检索学习全部课程的学生学号,,要用 πS#，
C#（ SC） ÷ πC#（ C） 表示,
而不能写成 πS# （ SC÷ πC#（ C）） 形式。这是因为一个学生学的课程的成绩可能是不一样的。
重要内容分析（三）
2,非过程性语言与过程性语言的区别编程时必须指出,干什么,及,怎么干,的语言,称为过程性语言；编程时只须指出
,干什么,,不必指出,怎么干,的语言,
称为非过程性语言 。
（ 1） 基本概念关系模型,关键码 （ 主键和外键 ）,关系的定义和性质,三类完整性规则,ER模型到关系模型的转换规则,过程性语言与非过程性语言 。
（ 2） 关系代数五个基本操作，四个组合操作，七个扩充操作。
本章重要概念（二）
（ 3） 关系演算元组关系演算和域关系演算的原子公式,公式的定义 。 关系演算的安全性和等价性 。
（ 4） 关系代数表达式的优化关系代数表达式的等价及等价转换规则,启化式优化算法 。
（ 5） 关系逻辑谓词、原子、规则和查询，规则的安全性，用规则模拟关系代数表达式。
本章概要
本章先介绍关系模型的基本概念；然后介绍关系运算的三种理论：关系代数、关系演算和关系逻辑。
关系模型和关系运算理
2.1 关系模型的基本概念
2.2 关系代数
2.3 关系演算
2.4 关系代数表达式的优化
2.5 关系逻辑
2.1 关系模型的基本概念
2.1.1 基本术语
2.1.2 关系的定义和性质
2.1.3 关系模型的三类完整性规则
2.1.4 ER模型向关系模型的转换规则
2.1.5 关系模型的三级体系结构
2.1.6 关系模型的形式定义和优点
2.1.7 关系查询语言和关系运算返回基本术语 (1)
定义 2.1 用二维表格表示实体集，用关键码进行数据导航的数据模型称为关系模型（ relational Model）。这里数据导航 (data navigation)是指从已知数据查找未知数据的过程和方法。 工号 姓名 年龄 性别 工资
4001 zhang 50 M 2000
4 002 li 40 F 1500
4124 liu 35 M 2000
5018 wang 25 M 1000
图 2.1 职工登记表基本术语 (2)
在关系模型中,字段称为属性,字段值称为属性值,
记录类型称为关系模式 。 在图 2.2中,关系模式名是 R。
记录称为元组 （ tuple）,元组的集合称为关系
（ relation） 或实例 （ instance） 。 一般用大写字母 A、
B,C,… 表示单个属性,用大写字母 …,X,Y,Z表示属性集,用小写字母表示属性值,有时也习惯称呼关系为表或表格,元组为行 (row),属性为列 (column)。
关系中属性个数称为,元数,（ arity），元组个数为
,基数,(cardinality)。
基本术语 (3)
关系元数为 5，基数为 4 R A B C D E
a 1 b 1 c 1 d 1 e 1
a 2 b 2 c 2 d 2 e 2
a 3 b 3 c 3 d 3 e 3
a 4 b 4 c 4 d 4 e 4
一般术语 关系模型术语字段,数据项 属性记录类型 关系模式记录 1 元组 1
记录 2 元组 2
记录 3 元组 3
记录 4 元组 4
字段值 属性值图 2.2 关系模型的术语基本术语 (4)
关键码 (key,简称键 )由一个或多个属性组成 。 在实际使用中,有下列几种键 。
（ 1） 超建 （ super Key）
（ 2） 候选键 （ candidate Key）
（ 3） 主键 (primary Key) 在图 2.1中,（ 工号,姓名 ）
是模式的一个超键,但不是候选键,而 （ 工号 ） 是候选键 。 在实际使用中,如果选择 （ 工号 ） 作为删除或查找元组的标志,那么称 （ 工号 ） 是主键 。
（ 4） 外键 （ foreign Key）
返回关系的定义和性质
定义 2.2 关系是一个属性数目相同的元组的集合。
在关系模型中,对关系作了下列规范性限制：
（ 1） 关系中每一个属性值都是不可分解的；
（ 2） 关系中不允许出现重复元组 （ 即不允许出现相同的元组 ） ；
（ 3） 由于关系是一个集合,因此不考虑元组间的顺序,
即没有行序；
（ 4） 元组中的属性在理论上也是无序的,但使用时按习惯考虑列的顺序 。
返回关系模型的三类完整性规则 (1)
实体完整性规则 （ entity integrity rule）
要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值 。 如果出现空值,那么主键值就起不了惟一标织元组的作用 。
关系模型的三类完整性规则 (2)
参照完整性规则 （ reference integrity rule）
定义 2.3 参照完整性规则的形式定义如下：
如果属性集 K是关系模式 R1的主键,K也是关系模式 R2
的外键,那么在 R2的关系中,K的取值只允许两种可能,
或者为空值,或者等于 R1关系中某个主键值 。
这条规则的实质是“不允许引用不存在的实体”。
在上述形式定义中,关系模式 R1的关系称为,参照关系,,关系模式 R2的关系称为,依赖关系,。,主表,
和,副表,,,父表,和,子表,。
关系模型的三类完整性规则 (3)
例 2.1 下面各种情况说明了参照完整性规则在关系中如何实现的 。
① 在关系数据库中有下列两个关系模式：
S（ S#,SNAME,AGE,SEX）
SC（ S#,C#,GRADE）
这里带下划线者为主键,带波浪线者为外键 。 据规则要求关系 SC中的 S# 值应该在关系 S中出现 。 如果关系 SC
中有一个元组 （ S7,C4,80）,而学号 S7却在关系 S中找不到,那么我们就认为在关系 SC中引用了一个不存在的学生实体,这就违反了参照完整性规则 。
另外,在关系 SC中 S# 不仅是外键,也是主键的一部分,
因此这里 S# 值不允许空 。
关系模型的三类完整性规则 (4)
② 设工厂数据库中有两个关系模式：
DEPT(D#,DNAME)
EMP(E#,ENAME,SALARY,D# )
车间模式 DEPT的属性为车间编号,车间名,职工模式
EMP的属性为工号,姓名,工资,所在车间的编号 。 每个模式的主键与外键已标出 。 在 EMP中,由于 D# 不在主键中,因此 D# 值允许空 。
关系模型的三类完整性规则 (5)
③ 设课程之间有先修,后继联系 。 模式如下：
R(C#,CNAME,PC# )
其属性表示课程号、课程名、先修课的课程号。如果规定，每门课程的直接先修课只有一门，那么模式 R的主键是 C#，外键是 PC#.。这里参照完整性在一个模式中实现。即每门课程的直接先修课必须在关系中出现。
关系模型的三类完整性规则 (6)
用户定义的完整性规则在建立关系模式时,对属性定义了数据类型,即使这样可能还满足不了用户的需求 。 此时,用户可以针对具体的数据约束,设置完整性规则,由系统来检验实施,
以使用统一的方法处理它们,不再由应用程序承担这项工作 。 例如学生的年龄定义为两位整数,范围还太大,
我们可以写如下规则把年龄限制在 15～ 30岁之间：
CHECK（ AGE BETWEEN 15 AND 30）
返回
ER模型向关系模型的转换规则 (1)
ER模型向关系模型的转换,实际上就是把 ER图转换成关系模式的集合 。
规则 2.1（ 实体类型的转换 ）,将每个实体类型转换成一个关系模式,实体的属性即为关系模式的属性,实体标识符即为关系模式的键 。
规则 2.2（ 二元联系类型的转换 ）
① 若实体间联系是 1:1。
② 若实体间联系是 1:N。
③ 若实体间联系是 M:N。
ER模型向关系模型的转换规则 (2)
校名 地址校长任职学校电话任职年月姓名 性别 年龄
1
1
职称图 2.3 一对一联系
ER模型向关系模型的转换规则 (3)
系号 系名教师聘用系电话聘期工号 姓名 性别 年龄
1
N
图 2.4 一对多联系
ER模型向关系模型的转换规则 (4)
学号 姓名课程学生年龄成绩课程号 课程名 教师名选课性别
M
N
图 2.5 多对多联系 返回关系模型的三级体系结构 -- 关系模式
在关系模型中，记录类型称为关系模式，而关系模式的集合就是数据库的概念模式。在系统实现时，关系模式和属性的命名一般都用英文单词。譬如图 2.5的 ER
图转换成的关系模式集可用图 2.6表示。而图 2.7是这个关系模型的三个具体关系。
学生关系模式 S( S #,SN AM E,
AGE,SEX)
选 课 关系模式 SC ( S#,C#,
GRADE)
课程关系模式 C( C#,CN AM E,
TEACHER)
关系模型的三级体系结构 --子模式
子模式是用户所用到的那部分数据的描述。除此之外，
还应指出数据与关系模式中相应数据的联系。例如，用户需要用到子模式 G（图 2.8）。
成绩子模式 G (S #,SNAME,C#,
GRADE)
关系模型的三级体系结构 --存储模式
SC PTR S# C# GRADE
S S# SNAME AGE SEX PTR · S1 C1 80
S1 Wang 20 M · · S3 C1 90
S2 Liu 21 F · · S1 C2 70
S3 Chen 22 M · · S3 C2 85
· S3 C3 95
图 2.10 关系 S和 SC的环结构
在有些 DBMS中，关系存储是作为文件看待的，每个元组就是一个记录。由于关系模式有键，因此存储一个关系可用散列方法或索引方法实现。如果关系的元组数目较少（ 100个以内），那么也可以用,堆文件,方式实现
（即没有特定的次序）。此外，还可对任意的属性集建立辅助索引。
关系模型的形式定义
关系模型有三个重要组成部分：数据结构,数据操纵,
数据完整性规则 。
（ 1） 数据结构：数据库中全部数据及其相互联系都被组织成,关系,（ 二维表格 ） 的形式 。 关系模型基本的数据结构是关系 。
（ 2） 数据操纵：关系模型提供一组完备的高级关系运算,
以支持对数据库的各种操作 。 关系运算分成关系代数,
关系演算和关系逻辑等三类 。
（ 3）数据完整性规则：数据库中数据必须满足实体完整性，参照完整性和用户定义的完整性等三类完整性规则。
关系模型的优点
与其它数据模型相比,关系模型突出的优点如下：
（ 1） 关系模型提供单一的数据结构形式,具有高度的简明性和精确性 。
（ 2） 关系模型的逻辑结构和相应的操作完全独立于数据存储方式,具有高度的数据独立性 。
（ 3） 关系模型使数据库的研究建立在比较坚实的数学基础上 。
（ 4） 关系数据库语言与一阶谓词逻辑的固有内在联系,
为以关系数据库为基础的推理系统和知识库系统的研究提供了方便 。 返回关系查询语言和关系运算
关系数据库的数据操纵语言 （ DML） 的语句分成查询语句和更新语句两大类 。 查询语句用于描述用户的各种检索要求；更新语句用于描述用户进行插入,删除,修改等操作 。 关于查询的理论称为,关系运算理论,。
关系查询语言根据其理论基础的不同分成三类：
（ 1） 关系代数语言 。
（ 2） 关系演算语言 。
（ 3）关系逻辑语言。
返回
2.2 关系代数
2.2.1 关系代数的五个基本操作
2.2.2 关系代数的四个组合操作
2.2.3 关系代数运算的应用实例
2.2.4 关系代数的七个扩充操作返回关系代数的五个基本操作 (1)
并 （ Union）
设关系 R和 S具有相同的关系模式,R和 S的并是由属于 R
或属于 S的元组构成的集合,记为 R∪ S。 形式定义如下：
R∪ S≡{t | t∈ R ∨ t∈ S},t是元组变量,R和 S的元数相同 。
差 （ Difference）
设关系 R和 S具有相同的关系模式,R和 S的差是由属于 R
但不属于 S的元组构成的集合,记为 R－ S。 形式定义如下：
R－ S≡{ t | t∈ R ∧ t∈ S},R和 S的元数相同 。
关系代数的五个基本操作 (2)
投影 （ Projection）
这个操作是对一个关系进行垂直分割,消去某些列,并重新安排列的顺序 。
设关系 R是 k元关系,R在其分量 Ai1,…,Aim（ m≤k,
i1,…,im为 1到 k间的整数 ） 上的投影用 π i1,…,im（ R）
表示,它是一个 m元元组集合,形式定义如下：
π i1,…,im（ R） ≡ { t | t＝ 〈 ti1,…,tim〉 ∧ 〈 t1,…,tk〉 ∈R }
例如,π 3,1（ R） 表示关系 R中取第 1,3列,组成新的关系,新关系中第 1列为 R的第 3列,新关系的第 2列为 R
的第 1列 。 如果 R的每列标上属性名,那么操作符 π 的下标处也可以用属性名表示 。 例如,关系 R（ A,B,C）,
那么 π C,A（ R） 与 π 3,1（ R） 是等价的 。
关系代数的五个基本操作 (3)
选择 （ Selection）
选择操作是根据某些条件对关系做水平分割,即选取符合条件的元组 。 条件可用命题公式 （ 即计算机语言中的条件表达式 ） F表示 。 F中有两种成分：
关系 R关于公式 F的选择操作用 σ F（ R） 表示,形式定义如下：
σ F（ R） ＝ { t | t∈R ∧ F（ t） = true }
σ 为选择运算符,σ F（ R） 表示从 R中挑选满足公式 F为真的元组所构成的关系 。
例如,σ 2＞ ˊ 3ˊ （ R） 表示从 R中挑选第 2个分量值大于 3的元组所构成的关系 。 书写时,为了与属性序号区别起见,
常量用引号括起来,而属性序号或属性名不要用引号括起来 。
关系代数的五个基本操作 (例 )
例 2.3 图 2.12有两个关系 R和 S,图 2.13的 （ a）,（ b）
表示 R∪S 和 R－ S。 （ c） 表示 R× S,此处 R和 S的属性名相同,就应在属性名前注上相应的关系名,例如 R.A、
S.A等 。 图 2.13的 （ d） 表示 π C,A（ R）,即 π 3,1（ R） 。
（ e） 表示 σ B=ˊbˊ （ R） 。
A B C A B C
a b C b g a
d a F d a f
c b d
（ a）关系 R （ b）关系 S
图 2.12 两个关系关系代数的五个基本操作 (例 )A B C A B C R.A R.B R.C S,A S.B S.C C A A B C
a b c a b c a b c b g a c a a b c
d a f c d b a b c d a f f d c b d
c b d d a f b g a d c
b g a d a f d a f
c b d b g a
c b d d a f
（ a） R∪ S （ b） R－ S （ c） R× S （ d） πC,A（ R） （ e） σB='b'（ R）
图 2.13 关系代数操作的结果返回关系代数的四个组合操作 (1)
交 （ intersection）
关系 R和 S的交是由属于 R又属于 S的元组构成的集合,记为 R∩S,这里要求 R和 S定义在相同的关系模式上 。 形式定义如下：
R∩S≡{t︱ t∈ R ∧ t∈ S},R和 S的元数相同 。
由于 R∩S = R-（ R-S）,或 R∩S = S-（ S-R）,因此交操作不是一个独立的操作 。
在图 2.12中,R∩S的结果是只有一个元组（ d,a,f）。
关系代数的四个组合操作 (2)
联接 （ join）
联接有两种,θ 联接和 F联接 （ 这里 θ 是算术比较符,F是公式 ） 。
① θ 联接
R? S≡{t ︱ t=<tr,ts> ∧ t r∈R ∧ t s∈S ∧tr i θ ts j }
② F联接
F联接是从关系 R和 S的笛卡尔积中选取属性间满足某一公式 F的元组,这里 F是形为 F1∧F 2∧ … ∧F n的公式，
每个 FP是形为 iθ j的式子，而 i和 j分别为关系 R和 S的第
i、第 j个分量的序号。
关系代数的四个组合操作 (3)
自然联接 （ natural join）
两个关系 R和 S的自然联接操作具体计算过程如下：
① 计算 R× S ；
② 设 R和 S的公共属性是 A1,…,AK,挑选 R× S中满足
R.A1=S.A1,…,R.AK=S.AK
的那些元组；
③ 去掉 S.A1,…,S.AK这些列 。
定义：
π i1,…,im (σ R.A1=S.A1∧..,∧R.A K=S.AK(R× S)),其中
i1,…,im为 R和 S的全部属性，但公共属性只出现一次。
关系代数的四个组合操作 (4)
除法（ division）
设关系 R和 S的元数分别为 r和 s（设 r>s>0），那么 R÷ S
是一个（ r-s）元的元组的集合。（ R÷ S）是满足下列条件的最大关系：其中每个元组 t与 S中每个元组 u组成的新元组 <t,u>必在关系 R中。
R÷ S≡ π 1,2,…,r-s（ R） -π 1,2,…,r-s
（（ π 1,2,…,r-s（ R） × S） -R）
返回关系代数运算的应用实例
在关系代数运算中,把由五个基本操作经过有限次复合的式子称为关系代数表达式 。 这种表达式的运算结果仍是一个关系 。 我们可以用关系代数表达式表示各种数据查询操作 。
例 2.7
返回关系代数的七个扩充操作
改名
广义投影
赋值
外联接（ outer join）
外部并（ outer union）
半联接（ semijoin）
聚集操作返回
2.3 关系演算
把数理逻辑的谓词演算引入到关系运算中，就可得到以关系演算为基础的运算。关系演算又可分为元组关系演算和域关系演算，前者以元组为变量，后者以属性（域）
为变量。
2.3.1 元组关系演算
2.3.2 域关系演算
2.3.3 关系运算的安全约束和等价性返回元组关系演算 (1)
在元组关系演算 （ Tuple Relational Calculus） 中,
元组关系演算表达式简称为元组表达式,其一般形式为
{ t | P（ t） }
其中,t是元组变量，表示一个元数固定的元组； P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表达式。 { t | P（ t） }表示满足公式 P的所有元组
t的集合。
元组关系演算 (2)
在元组表达式中,公式由原子公式组成 。
定义 2.4 原子公式 （ Atoms） 有下列三种形式：
① R（ s）
② s[i]θ u[j]
③ s[i]θ a或 aθ u[j]。
在定义关系演算操作时，要用到,自由,（ Free）和
,约束,（ Bound）变量概念。在一个公式中，如果元组变量未用存在量词?或全称量词?符号定义，那么称为自由元组变量，否则称为约束元组变量。
元组关系演算 (3)
定义 2.5 公式 （ Formulas） 的递归定义如下：
① 每个原子是一个公式 。 其中的元组变量是自由变量 。
② 如果 P1和 P2是公式，那么 ┐ P1,P1∨P 2,P1∧P 2和
P1?P2也都是公式。
③ 如果 P1是公式，那么（?s）（ P1）和（?s）（ P1）
也都是公式。
④ 公式中各种运算符的优先级从高到低依次为,θ,
和?,┐,∧ 和 ∨,?。在公式外还可以加括号，以改变上述优先顺序。
⑤ 公式只能由上述四种形式构成，除此之外构成的都不是公式。
元组关系演算 (4)
例 2.16
图 2.20的（ a）、（ b）是关系 R和 S，（ c）～（ g）分别是下面五个元组表达式的值
A B C A B C A B C A B C
1 2 3 1 2 3 3 4 6 4 5 6
4 5 6 3 4 6 5 6 9 7 8 9
7 8 9 5 6 9
（ a ）关系 R （ b ）关系 S （ c ） R1 （ d ） R2
A B C A B C R.B S,C R.A
1 2 3 4 5 6 5 3 4
3 4 6 7 8 9 8 3 7
8 6 7
8 9 7
（ e ） R3 （ f ） R4 （ g ） R5
图 2.20 元组关系演算的例子
R1 = { t | S（ t） ∧ t[1]>2 }
R2 = { t | R（ t） ∧┐ S（ t） }
R3 = { t |（?u） （ S（ t） ∧ R（ u） ∧ t[3]<u[2]}}
R4 = { t |（?u） （ R（ t） ∧ S（ u） ∧ t[3]>u[1]） }
R5 = { t |（?u）（?v）（ R
（ u） ∧ S（ v）
∧ u[1]>v[2]∧t[1]=u[2]∧t
[2]=v[3]∧t[3]=u[1] ） }
元组关系演算 (5)
在元组关系演算的公式中,有下列三个等价的转换规则：
① P1∧ P2等价于 ┐(┐P1∨ ┐P2)；
P1∨ P2等价于 ┐（ ┐P1∧ ┐P2） 。
② （?s） （ P1（ s）） 等价于 ┐(?s)（ ┐P1（ s）） ；
（?s） （ P1（ s）） 等价于 ┐(?s） （ ┐P1（ s）） 。
③ P1?P2等价于 ┐P1∨ P2。
元组关系演算 (6)
关系代数表达式到元组表达式的转换例 2.17
R∪ S可用 { t | R（ t） ∨ S（ t） }表示；
R-S可用 { t | R（ t） ∧ ┐S（ t） }表示；
R× S 可用 { t | （? u ） （? v ） （ R （ u ） ∧ S(V) ∧ t[1]=u[1]
∧ t[2]=u[2]∧ t[3]=u[3]∧ t[4]=v[1]∧ t[5]=v[2] ∧ t[6]=v[3]） }表示 。
设投影操作是 π2,3（ R）,那么元组表达式可写成：
{ t |(?u)（ R（ u） ∧ t[l]=u[2]∧ t[2]=u[3]） }
σF（ R）可用 { t |R(t)∧ F'}表示,F'是 F的等价表示形式。譬如 σ2='d'
（ R）可写成 { t |（ R（ t） ∧ t[2]='d'）。
返回域关系演算 (1)
原子公式有两种形式：
⑴ R（ x1… xk） ；
⑵ xθ y。
公式中也可使用 ∧,∨,┐ 和?等逻辑运算符,(?x)和
（?x）,但变量 x是域变量,不是元组变量 。
自由域变量,约束域变量等概念和元组演算中一样 。
域演算表达式是形为
｛ t1… tk∣P （ t1,…,tk）｝
的表达式,其中 P（ t1,…,tk） 是关于自由域变量
t1,…,tk 的公式 。
域关系演算 (2)
例 2.20 图 2.21的 （ a）,（ b）,（ c） 是三个关系 R,S,W，
（ d）,（ e）,（ f） 分别表示下面三个域表达式的值 。
（ a） 关系 R （ b） 关系 S （ c） 关系 W （ d） R1 （ e） R2 （ f） R3
图 2.21 域关系演算的例子
A B C A B C D E A B C A B C B D A
1 2 3 1 2 3 7 5 4 5 6 1 2 3 5 7 4
4 5 6 3 4 6 4 8 4 5 6 8 7 7
7 8 9 5 6 9 7 8 9 8 4 7
3 4 6
R1={ xyz| R（ xyz） ∧ x<5 ∧ y>3 }
R2={ xyz| R（ xyz） ∨ （ S（ xyz） ∧ y = 4）
}
R3={ xyz|（?u）（?v）（ R（ zxu） ∧ w（ yv
） ∧ u>v ） }
域关系演算 (3)
元组表达式到域表达式的转换
我们可以很容易地把元组表达式转换成域表达式,转换规则如下：
⑴ 对于 k元的元组变量 t,可引入 k个域变量 t1? tk,在公式中 t用 t1? tk替换,元组分量 t[i]用 ti替换 。
⑵ 对于每个量词（?u）或（?u），若 u是 m元的元组变量，则引入 m个新的域变量 u1… um。在量词的辖域内,u
用 u1… um替换,u[i]用 ui替换，（?u）用（?u1） … （?um）
替换，（?u）用（?u1） … （?um）替换。
返回关系运算的安全约束和等价性
定义 2.6 在数据库技术中,不产生无限关系和无穷验证的运算称为安全运算,相应的表达式称为安全表达式,
所采取的措施称为安全约束 。
并、差、笛尔卡积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最小完备集。已经证明，
在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能力上是完全等价的。
返回
2.4 关系代数表达式的优化
2.4.1 关系代数表达式的优化问题
2.4.2 关系代数表达式的等价变换规则
2.4.3 关系代数表达式的优化算法返回关系代数表达式的优化 (1)
在关系代数表达式中需要指出若干关系的操作步骤 。 那么,系统应该以什么样的操作顺序,才能做到既省时间,
又省空间,而且效率也比较高呢？ 这个问题称为查询优化问题 。
在关系代数运算中，笛卡儿积和联接运算是最费时间的。
关系代数表达式的优化 (2)
例 2.23 设关系 R和 S都是二元关系,属性名分别为 A,B和 C,D。 设有一个查询可用关系代数表达式表示：
E1=π A（ σ B=C∧D=' 99'（ R× S））
也可以把选择条件 D=‘99’移到笛卡儿积中的关系 S前面：
E2=π A（ σ B=C（ R× σ D='99'（ S））
还可以把选择条件 B＝ C与笛卡儿积结合成等值联接形式：
B=C E3=π A（ R σ D='99'（ S））
这三个关系代数表达式是等价的，但执行的效率大不一样。显然，
求 El,E2,E3的大部分时间是花在联接操作上的。
返回关系代数表达式的等价变换规则
(1)
联接和笛卡尔积的交换律
联接和笛卡尔积的结合律
投影的级联
选择的级联
选择和投影操作的交换
选择对笛卡尔积的分配律
选择对并的分配律关系代数表达式的等价变换规则
(2)
选择对集合差的分配律
选择对自然联接的分配律
投影对笛卡尔积的分配律
投影对并的分配律
选择与联接操作的结合
并和交的交换律
并和交的结合律返回关系代数表达式的优化算法 (1)
在关系代数表达式中,最花费时间和空间的运算是笛卡尔积和联接操作,为此,引出三条启发式规则,用于对表达式进行转换,以减少中间关系的大小 。
·尽可能早地执行选择操作；
·尽可能早地执行投影操作；
·避免直接做笛卡尔积，把笛卡尔积操作之前和之后的一连串选择和投影合并起来一起 做。
关系代数表达式的优化算法 (2)
算法 2.1 关系代数表达式的启发式优化算法 。
输入：一个关系代数表达式的语法树输出：计算表达式的一个优化序列
例 2.24
返回
2.5 关系逻辑 (自学 )
2.5.1 关系运算的成分
2.5.2 规则的安全性
2.5.3 从关系代数到关系逻辑的转换
2.5.4 递归过程
2.5.5 关系逻辑与关系代数的差异小 结
在 2.3.3节中提到关系代数和关系演算在表达功能上是等价的 。 那么关系代数和关系逻辑在表达功能上是否等价？ 已有文献证明,这两者之间相差甚大 。 在规则中没有否定时,关系代数与关系逻辑在表达功能方面已不相适应,每个都能表达另一个不能表达的内容 。 在规则中带有否定时,关系逻辑比关系代数更富于表现力 。 只有在规则被约束为安全的,非递归的,在带有某些否定的情况下,关系代数才与关系逻辑等价 。 由于关系逻辑中引进了基于逻辑的规则概念,使得关系逻辑比关系代数在模拟现实世界能力方面更强 。 关系逻辑一般是用在知识库的知识表达中 。
本章的重点篇幅
（ 1） 教材中 P56的例 2.7（ 关系代数表达式的应用实例 ） 。
（ 2） 教材中 P63的例 2.19（ 元组表达式的应用实例 ） 。
（ 3）教材中 P81的例 2.36（关系逻辑的规则表示）。
重要内容分析（一）
（ 1） 一般规则
·对于只涉及到选择,投影,联接的查询可用下列表达式表示：
π… （ σ… （ R× S）） 或者 π… （ σ…
（ R?S））
·对于否定的操作,一般要用差操作表示,例如
,检索不学 C2课的学生姓名,。
·对于检索具有“全部”特征的操作，一般要用除法操作表示，例如,检索学习全部课程的学生姓名”。
重要内容分析（二）
（ 2）,检索不学 C2课的学生姓名,,决不能用下式表示：
πSNAME,AGE（ σC#≠'C2'（ S?SC））
一定要用,差,的形式：
πSNAME,AGE （ S ） － πSNAME,AGE （ σC#='C2'
（ S?SC））
（ 3）,检索学习全部课程的学生学号,,要用 πS#，
C#（ SC） ÷ πC#（ C） 表示,
而不能写成 πS# （ SC÷ πC#（ C）） 形式。这是因为一个学生学的课程的成绩可能是不一样的。
重要内容分析（三）
2,非过程性语言与过程性语言的区别编程时必须指出,干什么,及,怎么干,的语言,称为过程性语言；编程时只须指出
,干什么,,不必指出,怎么干,的语言,
称为非过程性语言 。
