1
第 3章 直线与平面、
平面与平面的相对位置
3.1 平行问题3.1 平行问题
3.2 相交问题
3.3 垂直问题
3.4 综合问题分析
2
3.1 平行问题
3.1.1 直线与平面平行
3.1.2 平面与平面平行
3
3.1.1 直线与平面平行若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
P
C
D B
A
4
例 1 试判断直线 AB是否平行于平面 CDE。
f
g?
f?
g
b?
a?
a
b
c?
e?
d?
e
d
c
结论：直线 AB不平行于定平面
X O
5
例 2 过点 K作一水平线 AB平行于已知平面 ΔCDE。
b? a?
a
f?
f
b
c?
e?
d?
e
d
k?
k
c
X O
6
3.1.2 平面与平面平行若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。
P S
E
F
D
A
C
B
7
f?
e?
d?
e
d
f
c?
a?
a
c
b?
b
m?
n?
m
n
r?
r
s
s?
结论：两平面平行
X O
例 3 试判断两平面是否平行
8
例 4 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
d?
d
c?
a?
a
c
b?
b
k?
k
X O
9
例 5 试判断两平面是否平行结论：两平面平行
e
f?e?
f
s
r?
s?
d?
d
c?
a?
a
c
b?
br P
H
SH
X O
10
3.2 相交问题
3.2.1 积聚性法
3.2.2 辅助平面法
11
交点与交线的性质直线与平面,平面与平面不平行则必相交 。 直线与平面相交有 交点,交点既在直线上又在平面上,因而交点是直线与平面的共有点 。 两平面的 交线 是直线,它是两个平面的共有线 。 求线与面交点,面与面交线的实质是求共有点,共有线的投影 。
P A
B
K
D
B
C
A
L
K
E
F
12
3.2.1 积聚性法当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。
V
H
PH
P
A
B
Ca
c
b k
N
K
M
13
直线可见性的判别
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n?
k?
n
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性 --观察法
V
H
PH
P
A
B
Ca
c
b k
N
K
M
k
在平面之前
14
X O
a’
a(b)
b’
c’
e’
d’
c
e f
d
f’
k
k’
例 6 铅垂线 AB与一般位置平面 ΔCDE相交，求交点并判别可见性。
15
（ 2） 两平面相交
f?
k?
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
由于 特殊位置 平面的某些投影有积聚性,交线可直接求出。
V
H
M
m
n
l
P
B
C
a
c
b
PH
k
f
F
K
N
L
n
l
m
m?
l?
n?
b a
c
c?
a?
b?
X O
f
k
16
平面可见性的判别
V
H
M
m
n
l
B
C
a
c
k
f
F
K
N
L
b?
b a
c
n
l
m
c?
m?
a?
l?
n?
f
k
f?
k?
X O
17
平面可见性的判别
V
H
M
m
n
l
B
C
a
c
k
f
F
K
N
L X O
b?
b a
c
n
l
m
c?
m?
a?
l?
n?
f
k
f?
k?
18
过 AB作 平面 P垂直于 H投影面
3.2.2 辅助平面法
D
E
C
1
2K
B
A
19
2
PH
1?
作题步骤：
1,过 AB作铅垂平面 P。
2、求 P平面与
ΔCDE的交线
ⅠⅡ 。
3、求交线
ⅠⅡ 与 AB的交点 K。
X O
a?
b?
b
a
c
d?
e?
e
d
c?
1
2?
k
k?
20
直线 AB与平面 Δ CDE相交，判别可见性。
( )
a?
b?
b
a
c
e?
e
d
c?
d?
1
2
4?
（ ）k
k?
X O
3?
3 4
2? 1?
21
以正垂面为辅助平面求线面交点
1?
2?
QV
2
1
步骤：
1,过 EF作正垂平面 Q。
2、求 Q平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3、求交线
ⅠⅡ 与 EF的交点 K。
f?
e?
e
f
b
a?
a
c
b?
c?
k?
k
22
利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。
F
B
C
A
L
K
E
D
两一般位置平面相交求交线的方法
23
1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点 K、
L。
b
a
c
c?
b?
a?
d
d?
e
f
f?
e?PV
QV
2
1
k?
k
l?
l
2、连接两个共有点，画出交线 KL。
X O
作题步骤
1?
2?
24
利用重影点判别可见性
b
a
c
c?
b?
a?
l
l?
n
m
m?
n?
k
e
e?
k?
3?
4?
( )3
4
2
1
( )1?
2?
X O
两平面相交，判别可见性
25
例 7 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交 。
a
c?
b
a?
c
b?
f?
e?
e
f
k?
k
X O
26
分析
F
C
A
B
E
K
H
过已知点 K作平面 P平行 于? ABC；直线 EF与平面 P交于
H；连接 KH,KH即为所求。
27
作图步骤
m?
n? h?
h
n
m
f
f?
a
c?
b
a?
c
b?
e?
e
k?
k
PV
1?
1
2?
2
1、过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2、过直线 EF作正垂平面 P。
3、求平面 P与平面
KMN的交线 ⅠⅡ 。
4、求交线 ⅠⅡ 与
EF的交点 H。
5、连接 KH,KH即为所求。
28
3,3 垂直问题
3.3.1 直线与平面垂直
3.3.2 平面与平面垂直
29
3.3.1 直线与平面垂直
V
A
D
C
B
E
几何条件,若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
30
定理 1,若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。
V
A
D
C
B
E
a?
a
d?
c?
b?
d
c
b
e?
ek
n
k?
n?
X O
31
定理 2（逆）,若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、
则直线必垂直于该平面。
a?
ca
c?
n?
n
k
f?
d?
b?
d
b
f
k?
V
A
D
C
B
E
X O
32
a?
ca
c?
n
n?
m
f?
d?
b?
d
b
f
m?
例 8 平面由? BDF给定，试过定点 M作平面的垂线。
33
h?
h
h?
h
h?
h k
k?
SV
k?
k
PV k?
k
QH
例 9 试过定点 K作特殊位置平面的法线。
34
e? f?
e
m?
n
m
n?
c?a?
a
d?b?
cd
b
f
X O
例 10 平面由两平行线 AB,CD给定，试判断直线 MN是否垂直于定平面。
35
例 11 试过点 N作一平面，使该平面与 V面的夹角为 60 °,与 H
面的夹角为 45 ° 。
n?
n
X O
36
平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角
A
D
C
BE
分析
37
直径任取
NM
|yM-yN|
|zM-zN|
m?
h?
m n
m
k
|zM-zN|
|yM-yN|
30°
45°m n
m?n?k?
h
n?
n
X O
作图过程
38
3.3.2 两平面垂直几何条件,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。
P
A
B
39
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
A
B
Ⅰ
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
Ⅱ
Ⅰ
A
B
40
g?
h
a?
c
a
c?
h?
k
k?
f?
d?
b?
d
b
f
g
X O
例 12 平面由? BDF给定，试过定点 K作已知平面的垂面
41
g?
h?
a?
c
c?
k
k? b?
b
g
f?
f
d?
d
结论：两平面不平行。
X O
例 13 试判断? ABC与相交两直线 KG和 KH所给定的平面是否垂直。
42
3.4 综合问题分析及解法
3.4.1 空间几何元素定位问题
3.4.2 空间几何元素度量问题
43
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。
求解综合问题主要包括：空间几何元素的 定位问题 （交点、交线）和空间几何元素的 度量问题 （
如距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤：
1,分析题意
2,明确所求结果，找出解题方法
3,拟定解题步骤
44
例 14 已知三条直线 CD,EF和 GH，求作一直线 AB与 CD
平行，并且与 EF,GH均相交。
c? g?
h?
e?
f?
d?
c
e
f
g
h
d
X O
3.4.1 空间几何元素定位问题
45
分析所求得直线 AB一定在平行于 CD的平面上，并且与交叉直线 EF,GH相交。
A
B
C
D
H
G
E
F
46
作图过程
k?
k
c? g?
h?
e?
f?
d?
c
e
f
g
h
d
X O
PV
1
1?
2?
2
a
a?
b
b?
47
例 15 试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
a?
e
f
a
f?
e?
X O
48
分析
E
F
A
K
过已知点 A作平面与已知直线 EF交于点 K，连接 AK,AK即为所求。
49
作图过程 2?
1
a?
e
f
a
f?
e?
1?
2
2?
PV
a?
e
f
a
f?
e?
1?
k?
k
2
1
50
例 16 求点 C到直线 AB的距离。
c?
a?
b?
c
a
b
X O
51
分析
P
A
B
C
K
过 C点作直线 AB的垂线 CK一定在过 C点并且与 AB垂直的平面 P内，过 C点作一平面与直线 AB垂直，求出该平面与
AB的交点 K，最后求出垂线 CK的实长即为所求。
52
作图过程
c?
a?
b?
c
a
b
X O
e?
d?
e
d
1?
2?
1
2
k
k?
所求距离
53
例 17 求交叉直线 AB和 CD的公垂线。
c
c? a?
b?
a b
X O
d
d?
3.4.1 空间几何元素度量问题
54
分析
L
K
A
B
D
C
G
H
E
F
P
过一条直线 CD作平面 P平行于另一条直线 AB，在过点 A作平面 P的垂线 AH，求出垂足点 E；在平面 P上过点 E作直线 EF∥ AB与直线 CD交于点 K；过点 K作直线 KL ∥ AH交 AB于 L点,KL即为所求的公垂线。
55
作图过程
c
c? a?
b?
a b
X O
d
d?
g?
g
1?
1
2
2?
h?
h
3
4
3?
4?
e?
e
f?k?
k
l
f
l?
56
本章小结
1,平行问题
（ 1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；
（ 2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
2,相交问题
（ 1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
（ 2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面
、面相交求交线的作图方法。
（ 3 ）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
3,垂直问题掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
4,综合问题分析及解法
（ 1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；
（ 2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。
第 3章 直线与平面、
平面与平面的相对位置
3.1 平行问题3.1 平行问题
3.2 相交问题
3.3 垂直问题
3.4 综合问题分析
2
3.1 平行问题
3.1.1 直线与平面平行
3.1.2 平面与平面平行
3
3.1.1 直线与平面平行若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
P
C
D B
A
4
例 1 试判断直线 AB是否平行于平面 CDE。
f
g?
f?
g
b?
a?
a
b
c?
e?
d?
e
d
c
结论：直线 AB不平行于定平面
X O
5
例 2 过点 K作一水平线 AB平行于已知平面 ΔCDE。
b? a?
a
f?
f
b
c?
e?
d?
e
d
k?
k
c
X O
6
3.1.2 平面与平面平行若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。
P S
E
F
D
A
C
B
7
f?
e?
d?
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d
f
c?
a?
a
c
b?
b
m?
n?
m
n
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r
s
s?
结论：两平面平行
X O
例 3 试判断两平面是否平行
8
例 4 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
d?
d
c?
a?
a
c
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b
k?
k
X O
9
例 5 试判断两平面是否平行结论：两平面平行
e
f?e?
f
s
r?
s?
d?
d
c?
a?
a
c
b?
br P
H
SH
X O
10
3.2 相交问题
3.2.1 积聚性法
3.2.2 辅助平面法
11
交点与交线的性质直线与平面,平面与平面不平行则必相交 。 直线与平面相交有 交点,交点既在直线上又在平面上,因而交点是直线与平面的共有点 。 两平面的 交线 是直线,它是两个平面的共有线 。 求线与面交点,面与面交线的实质是求共有点,共有线的投影 。
P A
B
K
D
B
C
A
L
K
E
F
12
3.2.1 积聚性法当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。
V
H
PH
P
A
B
Ca
c
b k
N
K
M
13
直线可见性的判别
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n?
k?
n
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性 --观察法
V
H
PH
P
A
B
Ca
c
b k
N
K
M
k
在平面之前
14
X O
a’
a(b)
b’
c’
e’
d’
c
e f
d
f’
k
k’
例 6 铅垂线 AB与一般位置平面 ΔCDE相交，求交点并判别可见性。
15
（ 2） 两平面相交
f?
k?
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
由于 特殊位置 平面的某些投影有积聚性,交线可直接求出。
V
H
M
m
n
l
P
B
C
a
c
b
PH
k
f
F
K
N
L
n
l
m
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l?
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b a
c
c?
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b?
X O
f
k
16
平面可见性的判别
V
H
M
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n
l
B
C
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c
k
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K
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L
b?
b a
c
n
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c?
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l?
n?
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k
f?
k?
X O
17
平面可见性的判别
V
H
M
m
n
l
B
C
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c
k
f
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K
N
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l?
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k
f?
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18
过 AB作 平面 P垂直于 H投影面
3.2.2 辅助平面法
D
E
C
1
2K
B
A
19
2
PH
1?
作题步骤：
1,过 AB作铅垂平面 P。
2、求 P平面与
ΔCDE的交线
ⅠⅡ 。
3、求交线
ⅠⅡ 与 AB的交点 K。
X O
a?
b?
b
a
c
d?
e?
e
d
c?
1
2?
k
k?
20
直线 AB与平面 Δ CDE相交，判别可见性。
( )
a?
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b
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c
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c?
d?
1
2
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（ ）k
k?
X O
3?
3 4
2? 1?
21
以正垂面为辅助平面求线面交点
1?
2?
QV
2
1
步骤：
1,过 EF作正垂平面 Q。
2、求 Q平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3、求交线
ⅠⅡ 与 EF的交点 K。
f?
e?
e
f
b
a?
a
c
b?
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k
22
利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。
F
B
C
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K
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D
两一般位置平面相交求交线的方法
23
1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点 K、
L。
b
a
c
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a?
d
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QV
2
1
k?
k
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l
2、连接两个共有点，画出交线 KL。
X O
作题步骤
1?
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24
利用重影点判别可见性
b
a
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b?
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l
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n
m
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n?
k
e
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3?
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X O
两平面相交，判别可见性
25
例 7 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交 。
a
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b
a?
c
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f
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k
X O
26
分析
F
C
A
B
E
K
H
过已知点 K作平面 P平行 于? ABC；直线 EF与平面 P交于
H；连接 KH,KH即为所求。
27
作图步骤
m?
n? h?
h
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m
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f?
a
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b
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c
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PV
1?
1
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2
1、过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2、过直线 EF作正垂平面 P。
3、求平面 P与平面
KMN的交线 ⅠⅡ 。
4、求交线 ⅠⅡ 与
EF的交点 H。
5、连接 KH,KH即为所求。
28
3,3 垂直问题
3.3.1 直线与平面垂直
3.3.2 平面与平面垂直
29
3.3.1 直线与平面垂直
V
A
D
C
B
E
几何条件,若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
30
定理 1,若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。
V
A
D
C
B
E
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c?
b?
d
c
b
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ek
n
k?
n?
X O
31
定理 2（逆）,若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、
则直线必垂直于该平面。
a?
ca
c?
n?
n
k
f?
d?
b?
d
b
f
k?
V
A
D
C
B
E
X O
32
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ca
c?
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m
f?
d?
b?
d
b
f
m?
例 8 平面由? BDF给定，试过定点 M作平面的垂线。
33
h?
h
h?
h
h?
h k
k?
SV
k?
k
PV k?
k
QH
例 9 试过定点 K作特殊位置平面的法线。
34
e? f?
e
m?
n
m
n?
c?a?
a
d?b?
cd
b
f
X O
例 10 平面由两平行线 AB,CD给定，试判断直线 MN是否垂直于定平面。
35
例 11 试过点 N作一平面，使该平面与 V面的夹角为 60 °,与 H
面的夹角为 45 ° 。
n?
n
X O
36
平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角
A
D
C
BE
分析
37
直径任取
NM
|yM-yN|
|zM-zN|
m?
h?
m n
m
k
|zM-zN|
|yM-yN|
30°
45°m n
m?n?k?
h
n?
n
X O
作图过程
38
3.3.2 两平面垂直几何条件,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。
P
A
B
39
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
A
B
Ⅰ
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
Ⅱ
Ⅰ
A
B
40
g?
h
a?
c
a
c?
h?
k
k?
f?
d?
b?
d
b
f
g
X O
例 12 平面由? BDF给定，试过定点 K作已知平面的垂面
41
g?
h?
a?
c
c?
k
k? b?
b
g
f?
f
d?
d
结论：两平面不平行。
X O
例 13 试判断? ABC与相交两直线 KG和 KH所给定的平面是否垂直。
42
3.4 综合问题分析及解法
3.4.1 空间几何元素定位问题
3.4.2 空间几何元素度量问题
43
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。
求解综合问题主要包括：空间几何元素的 定位问题 （交点、交线）和空间几何元素的 度量问题 （
如距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤：
1,分析题意
2,明确所求结果，找出解题方法
3,拟定解题步骤
44
例 14 已知三条直线 CD,EF和 GH，求作一直线 AB与 CD
平行，并且与 EF,GH均相交。
c? g?
h?
e?
f?
d?
c
e
f
g
h
d
X O
3.4.1 空间几何元素定位问题
45
分析所求得直线 AB一定在平行于 CD的平面上，并且与交叉直线 EF,GH相交。
A
B
C
D
H
G
E
F
46
作图过程
k?
k
c? g?
h?
e?
f?
d?
c
e
f
g
h
d
X O
PV
1
1?
2?
2
a
a?
b
b?
47
例 15 试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
a?
e
f
a
f?
e?
X O
48
分析
E
F
A
K
过已知点 A作平面与已知直线 EF交于点 K，连接 AK,AK即为所求。
49
作图过程 2?
1
a?
e
f
a
f?
e?
1?
2
2?
PV
a?
e
f
a
f?
e?
1?
k?
k
2
1
50
例 16 求点 C到直线 AB的距离。
c?
a?
b?
c
a
b
X O
51
分析
P
A
B
C
K
过 C点作直线 AB的垂线 CK一定在过 C点并且与 AB垂直的平面 P内，过 C点作一平面与直线 AB垂直，求出该平面与
AB的交点 K，最后求出垂线 CK的实长即为所求。
52
作图过程
c?
a?
b?
c
a
b
X O
e?
d?
e
d
1?
2?
1
2
k
k?
所求距离
53
例 17 求交叉直线 AB和 CD的公垂线。
c
c? a?
b?
a b
X O
d
d?
3.4.1 空间几何元素度量问题
54
分析
L
K
A
B
D
C
G
H
E
F
P
过一条直线 CD作平面 P平行于另一条直线 AB，在过点 A作平面 P的垂线 AH，求出垂足点 E；在平面 P上过点 E作直线 EF∥ AB与直线 CD交于点 K；过点 K作直线 KL ∥ AH交 AB于 L点,KL即为所求的公垂线。
55
作图过程
c
c? a?
b?
a b
X O
d
d?
g?
g
1?
1
2
2?
h?
h
3
4
3?
4?
e?
e
f?k?
k
l
f
l?
56
本章小结
1,平行问题
（ 1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；
（ 2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
2,相交问题
（ 1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
（ 2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面
、面相交求交线的作图方法。
（ 3 ）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
3,垂直问题掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
4,综合问题分析及解法
（ 1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；
（ 2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。
