1
1
数学实验
Experiments in Mathematics
清华大学数学科学系
2
为什么要开设数学实验课
既要学好“算数学”,更要培养“用数学”的能力
利用计算机技术提供的条件,培养分析、思考能力
感受“用数学”的酸甜苦辣,激发学好数学的愿望课程宗旨以学生动手为主，在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件，
分析、解决一些经过简化的实际问题
2
3
数学实验课的内容安排
介绍一些解决实际问题的常用数学方法：数值计算、
优化方法、数理统计和计算机模拟的基本原理和算法；
选用一个合适的数学软件——MATLAB，能方便地实现以上内 的主要算法；
数学 模 个,个内 实际问题
,问题的解决；
学生的实,上机和 实 的 要
4
14个数学实验的具体内容
实,MATLAB 用?
数学建模 实验1数学 模￠￡ 实验13数学 模?合数值计算实验2￥值?拟合 实验3数值§分?currency1分实验4常currency1分方 数值解实验5'“方?的解法 实验6?'“方?fi解优化方法 实验7fl –优化 实验8 –优化数理统计实验9数?的统计?·和分析实验10方 分析 实验11? 分析计算机模拟 实验12计算机模拟
3
5
实验报告格式的基本要求
、”、学?、…‰
计算题题,算法?计( `计算′?),?，
计算 ˉ(计算机? ),ˉ分析,˙
应用题题,问题分析，模¨?，模¨?，
算法?计( `计算′?),?，计算
ˉ(计算机? ),ˉ的数学分析,ˉ
的实际?,˙
实验目的收获与建议
6
数学实验
Experiments in Mathematics
实验1 数学建模初步
4
7
从我们常见的模型到数学模型玩具、照片、火箭模型…
~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机…
~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
8
你碰到过的数学模型——“航行问题”
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
75050)(
75030)(
=×?
=×+
yx
yx
求解得到 x=20,y=5,答：船速每小时20千米
ˇ地— 750,?到?
30,?到? 50
,问 的
5
9
航行问题建立数学模型的基本步骤
简化,为常数 ；
用ax,y 和 ；
用?理?o? 动的 以
数学 一?方 ；
解 到数学解x=20,y=5 ；
原问题? 20
10
数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)
数学模¨:? 一个现实，为?一个? 的 的 的，
内在 o o,必要的简化，
用适当的数学工具数学,到的一个数学 构数学
数学 模：数学 模,?数学模¨的全过
`分析,?,解、检
Motivation,Formulation,Solution,Verification
6
11
数学建模的重要意义
电 计算机的 现及飞 发展；
数学以空前的广 和深 向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，
越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；
在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；
数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
12
数学建模的具体应用
分析与设计
预报与决策
控制与优化 规划与管理数学建模 计算机技术知识经济如虎添翼
7
13
数学建模实 1
——录象机计数 的用
问题经试,一盘录?带 头走到尾,用?
183分30秒，计数器读数 0000变到6152
在一? 用中录?带已经转过大半，计数器读数为
4580，问剩下的一段还能否录下1 的节？
要求
问题,建 计数 数与
象 过 的 系。
计数器读数是均匀增长的吗？
14
问题分
录象机计数 的工 理
0000
左轮盘右轮盘磁头主动轮压轮计数器录?带录?带 动方向录?带 动 右轮盘半径增大右轮转 不 常数录?带 动 常数计数器读数增长变慢观
计数 数
8
15
模型
录象 的 是 数v ；
计数 数n与 数 m,m=kn；
录象?￠为 数w；
￡?￥ r ；
t=0? 数 n=0,
建模目的建立? t与 数n之 的§currency1
V，k,w,r 为已知参数
16
模型建
建立t与n的'数§currency1有多“
1,右轮盘转第i 圈的半径为r+wi,m圈的总长
录?带在 t内移动的长 vt,所以
knm =
vtwir
m
i
=+Ga6
=1
)(2π
n
v
rk
n
v
wk
t
ππ 2
2
2
+=
9
17
模型建
2,考察右轮盘面§的变化,录?带厚
以转过的长,即
wvtrwknr =?+ ])[(
22
π
n
v
rk
n
v
wk
t
ππ 2
2
2
+=
3,考察t到t+dt录?带在右轮盘缠绕的长,
vdtkdnwknr =+ π2)(
Ga0 Ga0
18
vtwir
m
i
=+Ga6
= 1
)(2 π
wvtrwknr =?+ ])[(
22
π
vdtkdnwknr =+ π2)(
n
v
rk
n
v
wk
t
ππ 2
2
2
+=
1,3“建模fifl一 –
·”有?…”有?…?…，‰?。
2.模型中有待定参数
,,,,kvwr
一种确定参数的办法是测量或调,计测量方法。
10
19
数 计
一“`′?数的——?ˉ分析
模型 作
,
2
bnant += 计,,ba
理,t=183.5,n=6152,有一 (t,n)数
实际,测 有,用 的数 作 。
一 数?
t 0 20 40 60 80
n 0000 1153 2045 2800 3466
t 100 120 140 160 183.5
n 4068 4621 5135 5619 6152
用˙¨可?
.1044.1
,1051.2
2
6
×=
×=
b
a
20
模型 验应该另外测试一批数?检 模¨：
bnant +=
2
)1044.1,1051.2(
26
×=×= ba
模型应用
1,提 的问题：由模¨算 n = 4580 t = 118.5分，
剩下的录?带能录183.5-118.5 = 65分钟的节
2,揭?“t?n 之 呈?函数”这一普遍 o，
当录?带的状态改变,只 重新估计a,b 即可
11
21
数学建模实 2
—— 计计计划划划的的的安安安排排问题配件厂为 配'生,轮 更?
要 生,?大 §压 要
已知 的?为100件，生 5000,
件1 试 该 的生 计,即
生 一生,,总 用
要
建立ˇ —与 求—ˇ ˇ
之 的§currency1。
22
问题分 与
这 一个优化问题,总 用
问? 用一个的 用 为 '数 为什么
目?数——￠￡?￥用的?§值
,?
长,?大
,
,
在˙ ˙ 的 —,用 之 ￠˙¨
问?为什么不 用 在什么 a 不?
12
23
模型
1,的?为常数r；
2,?生 为c
1
,件 为c
2；
3,T 生 一?( 为T),?生 Q件(?为Q)，
当? 到,Q件?即生
建模目的
r,c
,c
2
,求T,Q,每?￠￡用的?均￥ 小。
24
模型建
0t
q
为 的函数q(t)，
T
Q
r
t=0生 Q件,?q(0)=Q,q(t)
以 r的,?到q(T)=0.
一 的总 用为
)1(rTQ =
22
2
2121
rT
ccT
Q
ccC +=+=
￠￡?￥用?§值（目?数currency1
)2(
2
)(
21
rTc
T
c
T
C
TC +==
13
25
模型 '
Min
rTc
T
c
TC →+=
2
)(
21
T
0=
dT
dC
2
1
2
c
rc
rTQ ==
2
1
2
rc
c
T =
—o式式 EOQ￠模型分
↑G9f↑ QTc,
1
↓G9f↑ QTc,
2
↑↓G9f↑ QTr,
计算
“?
c
1
=5000( ),c
2
=1( / 件),r=100(件/
T=10( ),Q=1000(件
26
数学建模实 3
—— 的 模型问题供大
象
数—与 格的?在什么 a?′
不?′ 什么 预 段 之?′
￠￡下?
增 ￠￡上￥ 供不应
14
27
模型
g
f
y
0
x
0
P
0
x
y
0
x
k
~第k 段? 数?；y
k
~第k 段? ￠￡
消 的 求§currency1
)(
kk
xfy =
的供应§currency1
减'数
'数
)(
)(
1
1
+
+
=
=
kk
kk
xgy
yhx
G1f
供应函数
函数
f?g的§currency1P
0
(x
0
,y
0
) ~ '“currency1
一?x
k
=x
0
，?
y
k
=y
0
,x
n
=x
0
,y
n
=y
0
(n>k)
28
模型
x
y
0
f
g
y
0
x
0
P
0
x
1
x
0
x
1
x
2
P
2
y
1
P
1
y
2
P
3
P
4
x
3
y
3
G16G9fG9fG9fG9fG9f
32211
xyxyx
03210
PPPPP →→→→→ G16
00
,yyxx
kk
→→
P
0
fi?'“currency1
P
1
P
2
P
3
P
4
P
0
不fi?'“currency1
gf
KK <
gf
KK >
x
y
0
y
0
x
0
P
0
f
g
15
29
程模型
)(
kk
xfy =
)(
1 kk
yhx =
+
在P
0
currency1fl?用?'?fi '
)0()(
00
>=? αα xxyy
kk
)0()(
001
>?=?
+
ββ yyxx
kk
)(
001
xxxx
kk
=?
+
αβ
)()(
0101
xxxx
k
k
=?
+
αβ
1<αβ
1>αβ
)(
1
)(
gf
KK =<=
β
α
)(
1
)(
gf
KK =>=
β
α
P
0
′
P
0
不?′
模型
0
xx
k
→
∞→
k
x
30
模型
~),(
00
αα xxyy
kk
=?
数? 1–?,￠￡上￥?
~),(
001
ββ yyxx
kk
=?
+
￠￡上￥1–?,(下 段)供应的增?
βα,
考察 的·
消 对 求的敏感程 ~α
对 格的敏感程
~β
α,利 经济fi?
β
,利 经济fi?
1<G9f αβ?′
–?
16
31
模型
不?′的 预办?
1,α?,如
0=α
以行? 段控制 格不变
2,
β
,如
0=β
靠 实力控制数—不变
x
y
0
x
0
g
f
x
y
0
y
0
g
f
'变为 '
供应 '变为
32
数学建模实 4
——人口预报
fifl
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
(”) 5 10 20 30 40 50 60
…增长‰
中增长‰
1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995
(”) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12
研究人口变化规律 控制人口过快
17
33
数–?模型
用的计?o式
k
k
rxx )1(
0
+=
马尔萨斯 1788--1834￠提出的指数 模型
x(t) ~ t r ~(—?)增长 (常数)
ttrxtxttx?=+ )()()(
x
0
,?增长 r
k?`
0
)0(,xxrx
dt
dx
==
rt
extx
0
)( =
tr
extx )()(
0
=
t
rx )1(
0
+≈
34
数–?模型的应用?·?
19?′以前一些地ˉ统计数合
适用 19?′`˙¨? 大的移?`?
可用增长 测
不a合19?′` 数地ˉ增长 o
不能 测 长 的增长过
19世纪后人口数据 人口 率r不是 数(逐渐 降)
18
35
–?模型(Logistic模型)
增长到一?数?`，增长 下 的原,
、ˇ —增长的 用
用数?增? 变大
定?
)0,()( >?= srsxrxr
r~ (x )增长
x
m
~、ˇ能 的 大数?
)1()(
m
x
x
rxr?=
r x的 函数
m
x
r
s =
0)( =
m
xr
36
–?模型(Logistic模型)
rx
dt
dx
=
)1()(
m
x
x
rxxxr
dt
dx
==
dx/dt
x
0
x
m
x
m
/2
x
m
xt
x
x
x
e
m
m rt
()
()
=
+?
11
0
t
x
0
x(t)~S ',
x增? `慢
x
0
x
m
/2
19
37
模型的 数 计用指数增长模¨ 增长模¨,
必 估计模¨参数r r,x
m
利用统计数据用˙¨ 拟合
,数–?~
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980
3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
r=0.2072,x
m
=464
专家估计
38
模型 验用模¨ 1990，?实际数
]/)1980(1)[1980()1980()1980()1990(
m
xxrxxxxx?+=?+=
实际为251.4 ( )5.250)1990( =x
模型应用——人”?…
用?1790~1990数?重新估计参数
r=0.2083,x
m
=457.6
x(2000)=275.0
x(2010)=297.9
Logistic模型‰? `中的应用(′?用?￥ˉ的?˙)
20
39
数学建模的¨ 方法和步?
¨ 方法
机理分析
ˉ分析
a?,的 识，
内?机理的数? o
o,,,过测数?
的统计分析,?数?拟合 好的模¨
机理分析没有统一的，主要通过实例研究
(Case Studies) 学习。以 建模主要指机理分析
合机理分析?模¨ 构,测试分析?模¨参数
40
数学建模的一?步?
模¨ 模¨? 模¨构?
模¨ 解模¨分析模¨检
模¨应用模
¨
了 实际背景 明`建模 的搜集有§信息 掌握对象特征形 一个
较清晰的‘问题’
21
41
数学建模的一?步?
模
¨
针对问题特点 建模 的
出合理的ˇ简化的假设在合理与简化之 出折
模
¨
构
用数学的语言ˇ符号描述问题发挥想象力 用类?
尽— 用简单的数学工具
42
数学建模的一?步?
模¨
解
数学方法、数学软件和计算机技术如 ˉ的 分析、
模¨?数?的fi?“分析模¨
分析模¨
检
实际现?、数,
检 模¨的合理“、适用“
模¨应用
22
43
学?数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循 术fl法?普遍适用的?
力 察力?力
学?、分,ˇ—,进 人 过的模型
,实 题目
44
大学 数学建模?（CUMCMcurrency1
a部、中 与应用数学学 （CSIAMcurrency1
大学 中o模 大的 科技?
每年9月举行，连续3天 今年为26~29日￠
发,发 优 ˙
http://csiam.edu.cn/mcm
http://www.163.com a
一队，任合?大,,四,学校选拔
http://www.comap.com
23
45
实验?
目的学?￠￡的 模方法，培养 模?识
《数学实,第48页 4.2实 内
1 ；
4 ；
6
1
数学实验
Experiments in Mathematics
清华大学数学科学系
2
为什么要开设数学实验课
既要学好“算数学”,更要培养“用数学”的能力
利用计算机技术提供的条件,培养分析、思考能力
感受“用数学”的酸甜苦辣,激发学好数学的愿望课程宗旨以学生动手为主，在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件，
分析、解决一些经过简化的实际问题
2
3
数学实验课的内容安排
介绍一些解决实际问题的常用数学方法：数值计算、
优化方法、数理统计和计算机模拟的基本原理和算法；
选用一个合适的数学软件——MATLAB，能方便地实现以上内 的主要算法；
数学 模 个,个内 实际问题
,问题的解决；
学生的实,上机和 实 的 要
4
14个数学实验的具体内容
实,MATLAB 用?
数学建模 实验1数学 模￠￡ 实验13数学 模?合数值计算实验2￥值?拟合 实验3数值§分?currency1分实验4常currency1分方 数值解实验5'“方?的解法 实验6?'“方?fi解优化方法 实验7fl –优化 实验8 –优化数理统计实验9数?的统计?·和分析实验10方 分析 实验11? 分析计算机模拟 实验12计算机模拟
3
5
实验报告格式的基本要求
、”、学?、…‰
计算题题,算法?计( `计算′?),?，
计算 ˉ(计算机? ),ˉ分析,˙
应用题题,问题分析，模¨?，模¨?，
算法?计( `计算′?),?，计算
ˉ(计算机? ),ˉ的数学分析,ˉ
的实际?,˙
实验目的收获与建议
6
数学实验
Experiments in Mathematics
实验1 数学建模初步
4
7
从我们常见的模型到数学模型玩具、照片、火箭模型…
~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机…
~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
8
你碰到过的数学模型——“航行问题”
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
75050)(
75030)(
=×?
=×+
yx
yx
求解得到 x=20,y=5,答：船速每小时20千米
ˇ地— 750,?到?
30,?到? 50
,问 的
5
9
航行问题建立数学模型的基本步骤
简化,为常数 ；
用ax,y 和 ；
用?理?o? 动的 以
数学 一?方 ；
解 到数学解x=20,y=5 ；
原问题? 20
10
数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)
数学模¨:? 一个现实，为?一个? 的 的 的，
内在 o o,必要的简化，
用适当的数学工具数学,到的一个数学 构数学
数学 模：数学 模,?数学模¨的全过
`分析,?,解、检
Motivation,Formulation,Solution,Verification
6
11
数学建模的重要意义
电 计算机的 现及飞 发展；
数学以空前的广 和深 向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，
越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；
在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；
数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
12
数学建模的具体应用
分析与设计
预报与决策
控制与优化 规划与管理数学建模 计算机技术知识经济如虎添翼
7
13
数学建模实 1
——录象机计数 的用
问题经试,一盘录?带 头走到尾,用?
183分30秒，计数器读数 0000变到6152
在一? 用中录?带已经转过大半，计数器读数为
4580，问剩下的一段还能否录下1 的节？
要求
问题,建 计数 数与
象 过 的 系。
计数器读数是均匀增长的吗？
14
问题分
录象机计数 的工 理
0000
左轮盘右轮盘磁头主动轮压轮计数器录?带录?带 动方向录?带 动 右轮盘半径增大右轮转 不 常数录?带 动 常数计数器读数增长变慢观
计数 数
8
15
模型
录象 的 是 数v ；
计数 数n与 数 m,m=kn；
录象?￠为 数w；
￡?￥ r ；
t=0? 数 n=0,
建模目的建立? t与 数n之 的§currency1
V，k,w,r 为已知参数
16
模型建
建立t与n的'数§currency1有多“
1,右轮盘转第i 圈的半径为r+wi,m圈的总长
录?带在 t内移动的长 vt,所以
knm =
vtwir
m
i
=+Ga6
=1
)(2π
n
v
rk
n
v
wk
t
ππ 2
2
2
+=
9
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模型建
2,考察右轮盘面§的变化,录?带厚
以转过的长,即
wvtrwknr =?+ ])[(
22
π
n
v
rk
n
v
wk
t
ππ 2
2
2
+=
3,考察t到t+dt录?带在右轮盘缠绕的长,
vdtkdnwknr =+ π2)(
Ga0 Ga0
18
vtwir
m
i
=+Ga6
= 1
)(2 π
wvtrwknr =?+ ])[(
22
π
vdtkdnwknr =+ π2)(
n
v
rk
n
v
wk
t
ππ 2
2
2
+=
1,3“建模fifl一 –
·”有?…”有?…?…，‰?。
2.模型中有待定参数
,,,,kvwr
一种确定参数的办法是测量或调,计测量方法。
10
19
数 计
一“`′?数的——?ˉ分析
模型 作
,
2
bnant += 计,,ba
理,t=183.5,n=6152,有一 (t,n)数
实际,测 有,用 的数 作 。
一 数?
t 0 20 40 60 80
n 0000 1153 2045 2800 3466
t 100 120 140 160 183.5
n 4068 4621 5135 5619 6152
用˙¨可?
.1044.1
,1051.2
2
6
×=
×=
b
a
20
模型 验应该另外测试一批数?检 模¨：
bnant +=
2
)1044.1,1051.2(
26
×=×= ba
模型应用
1,提 的问题：由模¨算 n = 4580 t = 118.5分，
剩下的录?带能录183.5-118.5 = 65分钟的节
2,揭?“t?n 之 呈?函数”这一普遍 o，
当录?带的状态改变,只 重新估计a,b 即可
11
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数学建模实 2
—— 计计计划划划的的的安安安排排问题配件厂为 配'生,轮 更?
要 生,?大 §压 要
已知 的?为100件，生 5000,
件1 试 该 的生 计,即
生 一生,,总 用
要
建立ˇ —与 求—ˇ ˇ
之 的§currency1。
22
问题分 与
这 一个优化问题,总 用
问? 用一个的 用 为 '数 为什么
目?数——￠￡?￥用的?§值
,?
长,?大
,
,
在˙ ˙ 的 —,用 之 ￠˙¨
问?为什么不 用 在什么 a 不?
12
23
模型
1,的?为常数r；
2,?生 为c
1
,件 为c
2；
3,T 生 一?( 为T),?生 Q件(?为Q)，
当? 到,Q件?即生
建模目的
r,c
,c
2
,求T,Q,每?￠￡用的?均￥ 小。
24
模型建
0t
q
为 的函数q(t)，
T
Q
r
t=0生 Q件,?q(0)=Q,q(t)
以 r的,?到q(T)=0.
一 的总 用为
)1(rTQ =
22
2
2121
rT
ccT
Q
ccC +=+=
￠￡?￥用?§值（目?数currency1
)2(
2
)(
21
rTc
T
c
T
C
TC +==
13
25
模型 '
Min
rTc
T
c
TC →+=
2
)(
21
T
0=
dT
dC
2
1
2
c
rc
rTQ ==
2
1
2
rc
c
T =
—o式式 EOQ￠模型分
↑G9f↑ QTc,
1
↓G9f↑ QTc,
2
↑↓G9f↑ QTr,
计算
“?
c
1
=5000( ),c
2
=1( / 件),r=100(件/
T=10( ),Q=1000(件
26
数学建模实 3
—— 的 模型问题供大
象
数—与 格的?在什么 a?′
不?′ 什么 预 段 之?′
￠￡下?
增 ￠￡上￥ 供不应
14
27
模型
g
f
y
0
x
0
P
0
x
y
0
x
k
~第k 段? 数?；y
k
~第k 段? ￠￡
消 的 求§currency1
)(
kk
xfy =
的供应§currency1
减'数
'数
)(
)(
1
1
+
+
=
=
kk
kk
xgy
yhx
G1f
供应函数
函数
f?g的§currency1P
0
(x
0
,y
0
) ~ '“currency1
一?x
k
=x
0
，?
y
k
=y
0
,x
n
=x
0
,y
n
=y
0
(n>k)
28
模型
x
y
0
f
g
y
0
x
0
P
0
x
1
x
0
x
1
x
2
P
2
y
1
P
1
y
2
P
3
P
4
x
3
y
3
G16G9fG9fG9fG9fG9f
32211
xyxyx
03210
PPPPP →→→→→ G16
00
,yyxx
kk
→→
P
0
fi?'“currency1
P
1
P
2
P
3
P
4
P
0
不fi?'“currency1
gf
KK <
gf
KK >
x
y
0
y
0
x
0
P
0
f
g
15
29
程模型
)(
kk
xfy =
)(
1 kk
yhx =
+
在P
0
currency1fl?用?'?fi '
)0()(
00
>=? αα xxyy
kk
)0()(
001
>?=?
+
ββ yyxx
kk
)(
001
xxxx
kk
=?
+
αβ
)()(
0101
xxxx
k
k
=?
+
αβ
1<αβ
1>αβ
)(
1
)(
gf
KK =<=
β
α
)(
1
)(
gf
KK =>=
β
α
P
0
′
P
0
不?′
模型
0
xx
k
→
∞→
k
x
30
模型
~),(
00
αα xxyy
kk
=?
数? 1–?,￠￡上￥?
~),(
001
ββ yyxx
kk
=?
+
￠￡上￥1–?,(下 段)供应的增?
βα,
考察 的·
消 对 求的敏感程 ~α
对 格的敏感程
~β
α,利 经济fi?
β
,利 经济fi?
1<G9f αβ?′
–?
16
31
模型
不?′的 预办?
1,α?,如
0=α
以行? 段控制 格不变
2,
β
,如
0=β
靠 实力控制数—不变
x
y
0
x
0
g
f
x
y
0
y
0
g
f
'变为 '
供应 '变为
32
数学建模实 4
——人口预报
fifl
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
(”) 5 10 20 30 40 50 60
…增长‰
中增长‰
1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995
(”) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12
研究人口变化规律 控制人口过快
17
33
数–?模型
用的计?o式
k
k
rxx )1(
0
+=
马尔萨斯 1788--1834￠提出的指数 模型
x(t) ~ t r ~(—?)增长 (常数)
ttrxtxttx?=+ )()()(
x
0
,?增长 r
k?`
0
)0(,xxrx
dt
dx
==
rt
extx
0
)( =
tr
extx )()(
0
=
t
rx )1(
0
+≈
34
数–?模型的应用?·?
19?′以前一些地ˉ统计数合
适用 19?′`˙¨? 大的移?`?
可用增长 测
不a合19?′` 数地ˉ增长 o
不能 测 长 的增长过
19世纪后人口数据 人口 率r不是 数(逐渐 降)
18
35
–?模型(Logistic模型)
增长到一?数?`，增长 下 的原,
、ˇ —增长的 用
用数?增? 变大
定?
)0,()( >?= srsxrxr
r~ (x )增长
x
m
~、ˇ能 的 大数?
)1()(
m
x
x
rxr?=
r x的 函数
m
x
r
s =
0)( =
m
xr
36
–?模型(Logistic模型)
rx
dt
dx
=
)1()(
m
x
x
rxxxr
dt
dx
==
dx/dt
x
0
x
m
x
m
/2
x
m
xt
x
x
x
e
m
m rt
()
()
=
+?
11
0
t
x
0
x(t)~S ',
x增? `慢
x
0
x
m
/2
19
37
模型的 数 计用指数增长模¨ 增长模¨,
必 估计模¨参数r r,x
m
利用统计数据用˙¨ 拟合
,数–?~
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980
3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
r=0.2072,x
m
=464
专家估计
38
模型 验用模¨ 1990，?实际数
]/)1980(1)[1980()1980()1980()1990(
m
xxrxxxxx?+=?+=
实际为251.4 ( )5.250)1990( =x
模型应用——人”?…
用?1790~1990数?重新估计参数
r=0.2083,x
m
=457.6
x(2000)=275.0
x(2010)=297.9
Logistic模型‰? `中的应用(′?用?￥ˉ的?˙)
20
39
数学建模的¨ 方法和步?
¨ 方法
机理分析
ˉ分析
a?,的 识，
内?机理的数? o
o,,,过测数?
的统计分析,?数?拟合 好的模¨
机理分析没有统一的，主要通过实例研究
(Case Studies) 学习。以 建模主要指机理分析
合机理分析?模¨ 构,测试分析?模¨参数
40
数学建模的一?步?
模¨ 模¨? 模¨构?
模¨ 解模¨分析模¨检
模¨应用模
¨
了 实际背景 明`建模 的搜集有§信息 掌握对象特征形 一个
较清晰的‘问题’
21
41
数学建模的一?步?
模
¨
针对问题特点 建模 的
出合理的ˇ简化的假设在合理与简化之 出折
模
¨
构
用数学的语言ˇ符号描述问题发挥想象力 用类?
尽— 用简单的数学工具
42
数学建模的一?步?
模¨
解
数学方法、数学软件和计算机技术如 ˉ的 分析、
模¨?数?的fi?“分析模¨
分析模¨
检
实际现?、数,
检 模¨的合理“、适用“
模¨应用
22
43
学?数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循 术fl法?普遍适用的?
力 察力?力
学?、分,ˇ—,进 人 过的模型
,实 题目
44
大学 数学建模?（CUMCMcurrency1
a部、中 与应用数学学 （CSIAMcurrency1
大学 中o模 大的 科技?
每年9月举行，连续3天 今年为26~29日￠
发,发 优 ˙
http://csiam.edu.cn/mcm
http://www.163.com a
一队，任合?大,,四,学校选拔
http://www.comap.com
23
45
实验?
目的学?￠￡的 模方法，培养 模?识
《数学实,第48页 4.2实 内
1 ；
4 ；
6
