第八章 模糊模式识别
§ 8-1、模糊集的基本概念
1965年美国加利福尼亚大学 L.A,Zadeh.”教授首次发表
,Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前
“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中。
模糊性,“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老”
一、模糊集的定义：假设论域 E={x}（讨论的区间），模糊集 A是由隶属函数 μA(x)描述。
μA(x)是定义在 E上在闭区间 {0,1}中取值的一个函数，反映 x对模糊集的隶属程度。
则 μA(x)描述了 E中的一个模糊子集 A。
二、模糊集 A 的台：是 E中能使 μA(x)>0的元素集合。
模糊独点集：它的台只含元素 x1，而 μ(x1)=μ1，
则记为,A＝ μ1/x1（独点集）
若 A是有限的台 (x1,x2,……,xn)而 μ(xi)=μi
则 A= μ1/x1+μ2/x2+…… μn/xn=,
μi为隶属函数,xi为元素
若 A是无限的台则有无限元素
则
n
i i
i
x1
E
A
x
xA?
例：在论域 E中确定一个模糊子集 A，它表示“园块”这一模糊概念。（如右图）
E=(a,b,c,d,e,f）
μ(a)=1,μ(b)=0.9,μ(c)=0.4,μ(d)=0.2,μ(e)=
μ(f)=0
dcbaAA
2.04.09.01 共有四个台，可得
a
b
c
d
e
f
E
三、用 α水平集来划分模糊集
设,A为 E=（ x）中的模糊集
则 A={x| μA(x)≥α}称为模糊集 A的 α水平集,α
为阈值在（ 0,1）间取值（一个模糊集可利用其水平集来划分）
A为有限个台时，水平集为
A为无限个台时，水平集为
例：关于“年青”的模糊集为 E={A50,A45,
A40,A35,A30,A25}
E中模糊集,A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 +
0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25;
AA
E AA
α =0.1水平集,A=0.1 / A45 + 0.1/ A40 + 0.1/
A35 + 0.1/ A30 +0.1 / A25
α =0.3水平集,A=0.3/ A40 + 0.3/ A35 + 0.3/
A30 +0.3 / A25
α =0.5水平集,A=0.5/ A35 + 0.5/ A30 +0.5 /
A25
∴ 不同的 α有不同的模糊集
A0.1 ={A45,A40,A35,A30,A25}
A0.3 ={A40,A35,A30,A25}
A0.5 ={A35,A30,A25}
A0.9 ={A30,A25}
§ 8-2、模糊集的简单运算及模糊关系
一、并集、交集、补集
设,A,B为 E=（ x）上的两个模糊集，则它们的并集 A∪ B、交集 A∩B、及 A的补集 仍为模糊集，则它们的隶属函数为：
并集,μA∪ B(x)＝ max(μA(x),μB(x))
交集,μA∩ B(x)＝ min(μA(x),μB(x))
补集,=1- μB(x),μA(x),μB(x) 分别为 A,B的隶属函数
)(xA?
A
例、模糊集
A=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5
B=0.4 / x1 + 0.8/ x2 + 0/ x3 + 0.6/ x4 +1 / x5
则 =0.7 / x1+ 0.4/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4 +0.5 / x5
=0.6 / x1+ 0.2/ x2 + 1/ x3 + 0.4/ x4 +0/ x5
=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 0/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5
=0.4 / x1+ 0.8/ x2 + 1/ x3 + 0.6/ x4 +0.5 / x5
A
B
BA?
BA?
二、距离的定义：
若 A,B为 E=（ x）上的模糊集,E中有 n个元素
则 A,B的线性距离为,
A,B的欧氏距离为
我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行分类和聚类。
n
i
iBiA xxnBAd
1
)()(1),(
n
i
iBiA xxnBAR
1
2)()(1),(
三、模糊关系：
设 U,V为两个模糊集,则 u,v的笛卡儿乘积集记为：
U× V={(u,v)|u∈ U,v∈ V},(u,v)是 U,V元素间的一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制，
U,V间的这种特殊关系叫模糊关系 R。
（ ∴ 模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无约束的）
隶属度 R(u,v)表示 u,v具有关系 R的程度
例,u为身高,v为体重
u=（ 1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位 m）
v = (40,50,60,70,80) （单位 kg）
40 50 60 70 80
1.4 1 0.8 0.2 0 0
1.5 0.8 1 0.8 0.2 0
1.6 0.2 0.8 1 0.8 0.2
1.7 0 0.2 0.8 1 0.8
1.8 0 0 0.2 0.8 1
模糊矩阵（模糊关系）
v
u ),( vuR
模糊关系为：
18.02.000
8.018.02.00
2.08.018.02.0
02.08.018.0
002.08.01
~
R
这样的矩阵（元素介于 0,1之间）称为模糊矩阵,即模糊关系。
四、复合矩阵
设：
例：
维模糊矩阵是＝
维模糊矩阵是＝
rmsS
mnrR
ik
ij
~
~
”表示求最小值”表示求最大值，“式中“
令
),.,,,2,1;,.,,,2,1(,
1
rknisrt jkij
m
iik
~~~
~~~
SRT
SRtT ik
记作的复合矩阵，对为＝
3.04.0108.0
12.005.03.0
7.0102.01.0
~
＝R
。的最大－最小合成关系与上式表示 SR
解：仿矩阵相乘
8.0010
03.02.04.0
17.008.0
08.012.0
4.03.009.0
~
＝S
17.03.08.0
8.05.013.0
7.03.07.04.0
~~~
SRT?
相乘时取最小，相加时取最大。
五、模糊关系的性质
1、自反性：对 E× E中的模糊关系,为 内的元素,若 成立，则 有自反性。
2、对称性：若对 (x,y)∈ E× E都有
则 有对称性。矩阵对角线元素对称,μij= μji。
1000
0100
0010
0001
~
＝即 R
~R ~R? ~R
~R1),(~?xxR?
成立),(),(
~~
xyyx RR
~R
具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系（或类似关系）
3、传递性,若矩阵 中
有,
具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系。
~R ),(
~
yxR?
.,
,,
~~
~
2
~
2
~~~
2
~
具有传递性称矩阵内的元素为元素为其中
R
RRRR
RRRR
§ 8-3、模糊识别方法
－、隶属原则识别法
设,A1,A2,….,A n是 E中的 n个模糊子集,x0为
E中的一个元素，若有隶属函数
μi(xo) =max(μ1(xo),μ2(xo),….,μ n(xo)),则 xo∈ μi。
则 xo∈ Ai
若有了隶属函数 μ(x)，我们把隶属函数作为判别函数使用即可。
此法的关键是求隶属函数
二、择近原则识别法
1、定义：两个模糊子集间的贴近度
设,A,B为 E上的两个模糊集。则它的贴近度为：
”表示求最小。”表示求最大，“符号“
的内积和外积。与分别称为
⊙式中
~~
~~~~~~~~
))()(() ),()((,
BA
xBxABAxBxABA
ExEx
)]1[
2
1)(
~~~~~~
BABABA ⊙（
例,E=(a,b,c,d,e,f)
6.0)]6.01(8.0[
2
1
)(
6.0)6.04.0()8.06.0()18.0(
)8.01()6.08.0()4.06.0(
8.0)6.04.0()8.06.0()18.0(
)8.01()6.08.0()4.06.0(
6.08.018.06.04.0
4.06.08.018.06.0
~~
~~
~~
~
~
BA
BA
BA
fedcba
B
fedcba
A
贴近度
＝
⊙
＝
2、设,E上有 n个模糊子集 及另一模糊子集 。若贴近度 ~~ 2~ 1
,......,,nAAA
~B
法。这就是择近原则识别方类则最贴近与则称
＝
..
)(m a x)(
~~
~
~1~~
ii
j
nj
i
ABAB
ABAB
三、模糊聚类分析：
基于模糊等价关系的聚类方法
设,是 E上一个模糊关系，若满足：
（ a）、自反性,μij＝ 1
（ b）、对称性,μij＝ μji
（ c）、传递性：
则称 是 E上一个模糊等价关系。
~R
~~~ RRR
~R
定理：若 是 E上的一个等价关系。则对任意阈值 α(0≤ α≤1)则模糊水平集 Rα也是 E
上的一个等价关系。
α水平集,Rα =[x| μA(x)≥α]
例：利用 α水平集可以聚类
设 X＝ {x1,x2,x3,x4,x5 }
~R
16.05.04.05.0
6.015.04.05.0
5.05.014.08.0
4.04.04.014.0
5.05.08.04.01
~
R
1x 2x 3x 4x 5x
1x
2x
3x
4x
5x
可以证明 是一个模糊等价关系
∴ α水平集为：
把 x聚为一类
x聚为二类即 {x1,x3,x4,x5 } {x2}
~R
11111
11111
11111
11111
11111
4.0
R
11101
11101
11101
00010
11101
5.0
R
x分为三类即 {x1,x3} {x2,} {x4,x5 }
x分为四类即 {x1,x3} {x2} {x4 } {x5 }
11000
11000
00101
00010
00101
6.0
R
10000
01000
00101
00010
00101
8.0
R
x分为五类即 {x1} {x2} {x3 } {x4 } {x5 }
聚类图,α x1 x2 x3 x4 x5
10000
01000
00100
00010
00001
1
R
1
8.0
6.0
5.0
4.0
模糊聚类算法：
㈠设 x是要分类的对象全体，建立 x上的模糊关系 。它满足自反性、对称性，即,μij＝ 1，
μij＝ μji 此模糊关系为相似关系。
㈡把相似关系（相似矩阵） 变成等价关系方法为：
取 的乘幂为
（三）选择适当 α值，取等价关系 R的 α水平集，
根据水平集确定样本的类别。
~R
~R
~R
.,,,,,,,8~4~2~ RRR
4
~
4
~
8
~
2
~
2
~
4
~
~~
2
~~
~
2k
~
k
~
,
.
RRRRRR
RRRR
RRR
＝＝
＝就是模糊等价关系。且则
＝＝若在某一步有
例：设 X＝ {x1,x2,……,x5}五个人的集合。 x1为父亲，
x2为儿子,x3为女儿,x4为叔叔,x5为母亲,x上的模糊关系 表示他们间的相象关系。
~R
11.09.085.02.0
1.0102.01.0
9.0018.06.0
85.02.08.018.0
2.01.06.08.01
~
R
1x 2x
1x
2x
3x
4x
5x
3x 4x 5x
其中 μij表示第 i个人 xi与第 j个人 xj的面貌相似程度。
它满足自反性 μii＝ 1,、对称性 μij＝ μji,但是不满足传递性。
∴ 是相似关系，利用以上方法改造成等价关系。
为模糊关系。
＝＝可以证明：
利用公式：
2
~
2
~
4
~
2
~
2
~
~~~~
2
~~~
][
12.09.085.08.0
2.012.02.02.0
9.02.0185.08.0
85.02.085.018.0
8.02.08.08.01
R
RRRR
BABA
RRR
分成若干等价类。上的等价关系，据此把此为
（＝
水平集。的取函数矩阵内的元素作为隶属为设
xx
XyxyxyxR
R
R
R
R
)10(,,,),(),
22
~
2
~
2
~
2
~
~
10100
01000
10100
00010
00001
2
9.0
R
应分类为,{x1},{x2},{ x3,x5 },{x4 }
10110
01000
10110
10110
00001
2
85.0
R
应分类为,{x1},{x2,x3,x5 },{x4 }
10111
01000
10111
10111
10111
2
8.0
R
应分类为,{x1,x2,x3,x5 },{x4 }
聚类图
1
9.0
85.0
8.0
2.0
1x 2x 5x4x3x?
求模糊等价关系的算法
设,为相似关系，
~R
nnnjnn
inijii
nj
R
......
..................
......
..................
......
21
21
111211
~
222
1
222
1
2
1
2
1
2
11
......
...............
......
...............
......
2
~~~
nnnjn
iniji
nj
RRR
RRR
RRR
RRR
13
32
21
2
2
2
k
j
i
ijRij
ijRij
R
ij
ij
ij
）、置初值
），，否则转到列最大元素，则是第）、若
），，否则转到行最大元素，则是第）、若的算法如下：计算
）、结束。
）、
比较行下一元素与取第转否则令转若）、问
），否则转则令若比较与列上相应元素，）、第转若取下一元素转若比较行上元素与）、第
8
m a x7
)41)7?6
.6),m i n (
,5
)5.
),6,4
2
k
k
R
ij
kjikk
ijkjijkj
ijik
ijikik
b
i
kknknk
b
j
i
ij
§ 8-1、模糊集的基本概念
1965年美国加利福尼亚大学 L.A,Zadeh.”教授首次发表
,Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前
“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中。
模糊性,“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老”
一、模糊集的定义：假设论域 E={x}（讨论的区间），模糊集 A是由隶属函数 μA(x)描述。
μA(x)是定义在 E上在闭区间 {0,1}中取值的一个函数，反映 x对模糊集的隶属程度。
则 μA(x)描述了 E中的一个模糊子集 A。
二、模糊集 A 的台：是 E中能使 μA(x)>0的元素集合。
模糊独点集：它的台只含元素 x1，而 μ(x1)=μ1，
则记为,A＝ μ1/x1（独点集）
若 A是有限的台 (x1,x2,……,xn)而 μ(xi)=μi
则 A= μ1/x1+μ2/x2+…… μn/xn=,
μi为隶属函数,xi为元素
若 A是无限的台则有无限元素
则
n
i i
i
x1
E
A
x
xA?
例：在论域 E中确定一个模糊子集 A，它表示“园块”这一模糊概念。（如右图）
E=(a,b,c,d,e,f）
μ(a)=1,μ(b)=0.9,μ(c)=0.4,μ(d)=0.2,μ(e)=
μ(f)=0
dcbaAA
2.04.09.01 共有四个台，可得
a
b
c
d
e
f
E
三、用 α水平集来划分模糊集
设,A为 E=（ x）中的模糊集
则 A={x| μA(x)≥α}称为模糊集 A的 α水平集,α
为阈值在（ 0,1）间取值（一个模糊集可利用其水平集来划分）
A为有限个台时，水平集为
A为无限个台时，水平集为
例：关于“年青”的模糊集为 E={A50,A45,
A40,A35,A30,A25}
E中模糊集,A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 +
0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25;
AA
E AA
α =0.1水平集,A=0.1 / A45 + 0.1/ A40 + 0.1/
A35 + 0.1/ A30 +0.1 / A25
α =0.3水平集,A=0.3/ A40 + 0.3/ A35 + 0.3/
A30 +0.3 / A25
α =0.5水平集,A=0.5/ A35 + 0.5/ A30 +0.5 /
A25
∴ 不同的 α有不同的模糊集
A0.1 ={A45,A40,A35,A30,A25}
A0.3 ={A40,A35,A30,A25}
A0.5 ={A35,A30,A25}
A0.9 ={A30,A25}
§ 8-2、模糊集的简单运算及模糊关系
一、并集、交集、补集
设,A,B为 E=（ x）上的两个模糊集，则它们的并集 A∪ B、交集 A∩B、及 A的补集 仍为模糊集，则它们的隶属函数为：
并集,μA∪ B(x)＝ max(μA(x),μB(x))
交集,μA∩ B(x)＝ min(μA(x),μB(x))
补集,=1- μB(x),μA(x),μB(x) 分别为 A,B的隶属函数
)(xA?
A
例、模糊集
A=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5
B=0.4 / x1 + 0.8/ x2 + 0/ x3 + 0.6/ x4 +1 / x5
则 =0.7 / x1+ 0.4/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4 +0.5 / x5
=0.6 / x1+ 0.2/ x2 + 1/ x3 + 0.4/ x4 +0/ x5
=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 0/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5
=0.4 / x1+ 0.8/ x2 + 1/ x3 + 0.6/ x4 +0.5 / x5
A
B
BA?
BA?
二、距离的定义：
若 A,B为 E=（ x）上的模糊集,E中有 n个元素
则 A,B的线性距离为,
A,B的欧氏距离为
我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行分类和聚类。
n
i
iBiA xxnBAd
1
)()(1),(
n
i
iBiA xxnBAR
1
2)()(1),(
三、模糊关系：
设 U,V为两个模糊集,则 u,v的笛卡儿乘积集记为：
U× V={(u,v)|u∈ U,v∈ V},(u,v)是 U,V元素间的一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制，
U,V间的这种特殊关系叫模糊关系 R。
（ ∴ 模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无约束的）
隶属度 R(u,v)表示 u,v具有关系 R的程度
例,u为身高,v为体重
u=（ 1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位 m）
v = (40,50,60,70,80) （单位 kg）
40 50 60 70 80
1.4 1 0.8 0.2 0 0
1.5 0.8 1 0.8 0.2 0
1.6 0.2 0.8 1 0.8 0.2
1.7 0 0.2 0.8 1 0.8
1.8 0 0 0.2 0.8 1
模糊矩阵（模糊关系）
v
u ),( vuR
模糊关系为：
18.02.000
8.018.02.00
2.08.018.02.0
02.08.018.0
002.08.01
~
R
这样的矩阵（元素介于 0,1之间）称为模糊矩阵,即模糊关系。
四、复合矩阵
设：
例：
维模糊矩阵是＝
维模糊矩阵是＝
rmsS
mnrR
ik
ij
~
~
”表示求最小值”表示求最大值，“式中“
令
),.,,,2,1;,.,,,2,1(,
1
rknisrt jkij
m
iik
~~~
~~~
SRT
SRtT ik
记作的复合矩阵，对为＝
3.04.0108.0
12.005.03.0
7.0102.01.0
~
＝R
。的最大－最小合成关系与上式表示 SR
解：仿矩阵相乘
8.0010
03.02.04.0
17.008.0
08.012.0
4.03.009.0
~
＝S
17.03.08.0
8.05.013.0
7.03.07.04.0
~~~
SRT?
相乘时取最小，相加时取最大。
五、模糊关系的性质
1、自反性：对 E× E中的模糊关系,为 内的元素,若 成立，则 有自反性。
2、对称性：若对 (x,y)∈ E× E都有
则 有对称性。矩阵对角线元素对称,μij= μji。
1000
0100
0010
0001
~
＝即 R
~R ~R? ~R
~R1),(~?xxR?
成立),(),(
~~
xyyx RR
~R
具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系（或类似关系）
3、传递性,若矩阵 中
有,
具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系。
~R ),(
~
yxR?
.,
,,
~~
~
2
~
2
~~~
2
~
具有传递性称矩阵内的元素为元素为其中
R
RRRR
RRRR
§ 8-3、模糊识别方法
－、隶属原则识别法
设,A1,A2,….,A n是 E中的 n个模糊子集,x0为
E中的一个元素，若有隶属函数
μi(xo) =max(μ1(xo),μ2(xo),….,μ n(xo)),则 xo∈ μi。
则 xo∈ Ai
若有了隶属函数 μ(x)，我们把隶属函数作为判别函数使用即可。
此法的关键是求隶属函数
二、择近原则识别法
1、定义：两个模糊子集间的贴近度
设,A,B为 E上的两个模糊集。则它的贴近度为：
”表示求最小。”表示求最大，“符号“
的内积和外积。与分别称为
⊙式中
~~
~~~~~~~~
))()(() ),()((,
BA
xBxABAxBxABA
ExEx
)]1[
2
1)(
~~~~~~
BABABA ⊙（
例,E=(a,b,c,d,e,f)
6.0)]6.01(8.0[
2
1
)(
6.0)6.04.0()8.06.0()18.0(
)8.01()6.08.0()4.06.0(
8.0)6.04.0()8.06.0()18.0(
)8.01()6.08.0()4.06.0(
6.08.018.06.04.0
4.06.08.018.06.0
~~
~~
~~
~
~
BA
BA
BA
fedcba
B
fedcba
A
贴近度
＝
⊙
＝
2、设,E上有 n个模糊子集 及另一模糊子集 。若贴近度 ~~ 2~ 1
,......,,nAAA
~B
法。这就是择近原则识别方类则最贴近与则称
＝
..
)(m a x)(
~~
~
~1~~
ii
j
nj
i
ABAB
ABAB
三、模糊聚类分析：
基于模糊等价关系的聚类方法
设,是 E上一个模糊关系，若满足：
（ a）、自反性,μij＝ 1
（ b）、对称性,μij＝ μji
（ c）、传递性：
则称 是 E上一个模糊等价关系。
~R
~~~ RRR
~R
定理：若 是 E上的一个等价关系。则对任意阈值 α(0≤ α≤1)则模糊水平集 Rα也是 E
上的一个等价关系。
α水平集,Rα =[x| μA(x)≥α]
例：利用 α水平集可以聚类
设 X＝ {x1,x2,x3,x4,x5 }
~R
16.05.04.05.0
6.015.04.05.0
5.05.014.08.0
4.04.04.014.0
5.05.08.04.01
~
R
1x 2x 3x 4x 5x
1x
2x
3x
4x
5x
可以证明 是一个模糊等价关系
∴ α水平集为：
把 x聚为一类
x聚为二类即 {x1,x3,x4,x5 } {x2}
~R
11111
11111
11111
11111
11111
4.0
R
11101
11101
11101
00010
11101
5.0
R
x分为三类即 {x1,x3} {x2,} {x4,x5 }
x分为四类即 {x1,x3} {x2} {x4 } {x5 }
11000
11000
00101
00010
00101
6.0
R
10000
01000
00101
00010
00101
8.0
R
x分为五类即 {x1} {x2} {x3 } {x4 } {x5 }
聚类图,α x1 x2 x3 x4 x5
10000
01000
00100
00010
00001
1
R
1
8.0
6.0
5.0
4.0
模糊聚类算法：
㈠设 x是要分类的对象全体，建立 x上的模糊关系 。它满足自反性、对称性，即,μij＝ 1，
μij＝ μji 此模糊关系为相似关系。
㈡把相似关系（相似矩阵） 变成等价关系方法为：
取 的乘幂为
（三）选择适当 α值，取等价关系 R的 α水平集，
根据水平集确定样本的类别。
~R
~R
~R
.,,,,,,,8~4~2~ RRR
4
~
4
~
8
~
2
~
2
~
4
~
~~
2
~~
~
2k
~
k
~
,
.
RRRRRR
RRRR
RRR
＝＝
＝就是模糊等价关系。且则
＝＝若在某一步有
例：设 X＝ {x1,x2,……,x5}五个人的集合。 x1为父亲，
x2为儿子,x3为女儿,x4为叔叔,x5为母亲,x上的模糊关系 表示他们间的相象关系。
~R
11.09.085.02.0
1.0102.01.0
9.0018.06.0
85.02.08.018.0
2.01.06.08.01
~
R
1x 2x
1x
2x
3x
4x
5x
3x 4x 5x
其中 μij表示第 i个人 xi与第 j个人 xj的面貌相似程度。
它满足自反性 μii＝ 1,、对称性 μij＝ μji,但是不满足传递性。
∴ 是相似关系，利用以上方法改造成等价关系。
为模糊关系。
＝＝可以证明：
利用公式：
2
~
2
~
4
~
2
~
2
~
~~~~
2
~~~
][
12.09.085.08.0
2.012.02.02.0
9.02.0185.08.0
85.02.085.018.0
8.02.08.08.01
R
RRRR
BABA
RRR
分成若干等价类。上的等价关系，据此把此为
（＝
水平集。的取函数矩阵内的元素作为隶属为设
xx
XyxyxyxR
R
R
R
R
)10(,,,),(),
22
~
2
~
2
~
2
~
~
10100
01000
10100
00010
00001
2
9.0
R
应分类为,{x1},{x2},{ x3,x5 },{x4 }
10110
01000
10110
10110
00001
2
85.0
R
应分类为,{x1},{x2,x3,x5 },{x4 }
10111
01000
10111
10111
10111
2
8.0
R
应分类为,{x1,x2,x3,x5 },{x4 }
聚类图
1
9.0
85.0
8.0
2.0
1x 2x 5x4x3x?
求模糊等价关系的算法
设,为相似关系，
~R
nnnjnn
inijii
nj
R
......
..................
......
..................
......
21
21
111211
~
222
1
222
1
2
1
2
1
2
11
......
...............
......
...............
......
2
~~~
nnnjn
iniji
nj
RRR
RRR
RRR
RRR
13
32
21
2
2
2
k
j
i
ijRij
ijRij
R
ij
ij
ij
）、置初值
），，否则转到列最大元素，则是第）、若
），，否则转到行最大元素，则是第）、若的算法如下：计算
）、结束。
）、
比较行下一元素与取第转否则令转若）、问
），否则转则令若比较与列上相应元素，）、第转若取下一元素转若比较行上元素与）、第
8
m a x7
)41)7?6
.6),m i n (
,5
)5.
),6,4
2
k
k
R
ij
kjikk
ijkjijkj
ijik
ijikik
b
i
kknknk
b
j
i
ij
