第五章 齿轮机构及其设计哈尔滨工业大学机械设计教研室陈 明
2004年 2月修改典型的齿轮传动
§ 5-1 齿轮机构的类型与功能齿轮机构是现代机械中应用最广泛的一种传动机构,与其它传动机构相比,齿轮机构的优点是：结构紧凑,工作可靠,效率高,寿命长,能保证恒定的传动比,而且其传递的功率与适用的速度范围大 。 但是其制造安装费用较高,低精度齿轮传动的振动噪声较大 。
齿轮机构是通过一对对齿面的依次啮合来传递两轴之间的运动和动力的，根据一对齿轮实现传动比的情况，它可以分为定传动比和变传动比齿轮机构。
本章仅讨论实现定传动比的圆形齿轮机构。
齿轮机构是依靠轮齿直接接触构成高副来传递两轴之间的运动和动力的。
齿轮机构有以下类型：
1,平行轴之间传递运动一,齿轮机构的类型与功能
（ 1）直齿圆柱齿轮机构轮齿分布在圆柱体外部且与其轴线平行,啮合的两外齿轮转向相反。应用广泛。
（ 2）斜齿圆柱齿轮机构轮齿与其轴线倾斜，两轮转向相反，传动平稳,适合于高速传动,但有轴向力。
（ 3）人字齿圆柱齿轮机构由两排旋向相反的斜齿轮对称组成，
其轴向力被相互抵消。适合高速和重载传动，但制造成本较高。
（ 4）直齿内啮合圆柱齿轮机构轮齿与其轴线平行且分布在空心圆柱体的内部，
它与外齿轮啮合时两轮的转向相同。
（ 5）斜齿内啮合圆柱齿轮机构轮 齿 与 其轴 线倾 斜 的 内齿 轮加工困难,它与 斜 齿 外齿 轮啮 合 时 两轮 转向相同 。 有轴向力 。
应用较少 。
（ 6）直齿齿轮齿条机构齿数趋于无穷多的外齿轮演变成齿条，它与外齿轮啮合时，齿轮转动，齿条直线移动。
（ 7）斜齿齿轮齿条机构斜齿轮斜齿条啮合传动应用较少。
（ 8）非圆齿轮机构轮齿分布在非圆柱体上，可实现一对齿轮的变传动比。需要专用机床加工，加工成本较高，
设计难度较大。
这是利用非圆齿轮变传动比的工作原理，设计的一种容积泵。现已获得实用新型专利。
2、相交轴之间传递运动
(1) 直齿圆锥齿轮机构轮齿沿圆锥母线排列于截锥表面，是相交轴齿轮传动的基本形式。制造较为简单。
（ 2）斜齿圆锥齿轮机构轮齿倾斜于圆锥母线，
制造困难，应用较少。
（ 3）曲齿圆锥齿轮机构轮齿是曲线形，有圆弧齿、螺旋齿等，传动平稳，适用于高速、
重载传动，但制造成本较高。
现在汽车后桥都采用这种齿轮。
3、交错轴之间传递运动
（ 1）交错轴斜齿圆柱齿轮机构两螺旋角数值不等的斜齿轮啮合时，
可组成两轴线任意交错传动，两轮齿为点接触，且滑动速度较大，主要用于传递运动或轻载传动。
（ 2）蜗杆蜗轮传动蜗杆蜗轮传动多用于两轴交错角为 90?的传动，其传动比大，传动平稳，具有自锁性，但效率较低。
（ 3）准双曲线齿轮传动其节曲面为单叶双曲线回转体的一部分。它能实现两轴线中心距较小的交错轴传动，但制造困难。
4、特种齿轮这是一种同向传动齿轮机构。
二、齿轮机构的机构运动简图齿轮用于传递（变换）运动和力
（ 1）转速大小的变换
z1
z2
1?
2?
4
1
2
1?
z
z注意：,与 应互为质数1z 2z
1
2
1
2 z
z?
三,齿轮机构的功能齿数比
2
1
z
z 决定转速变换量
(2) 转速方向的变换平行轴外啮合齿轮传动改变齿轮的回转方向平行轴内啮合齿轮传动不改变齿轮的回转方向
(3) 改变运动的传递方向相交轴外啮合齿轮传动不仅改变齿轮的回转方向还改变运动的传递方向交错轴外啮合齿轮传动不仅改变齿轮的回转方向还改变运动的传递方向
(4) 改变运动特性齿轮齿条传动可以把一个转动变换为移动，或者把一个移动变换为转动非圆齿轮传动可以把一个匀速转动变换为非匀速转动，或者把一个非匀速转动变换为匀速转动
§ 5-2 瞬时传动比与齿廓曲线一、齿廓啮合基本定律任意齿廓的两齿轮啮合时，其瞬时角速度的比值等于齿廓接触点公法线将其中心距分成两段长度的反比。
PO
POi
1
2
2
1
12
节点与节圆的概念在齿轮机构中，相对速度瞬心 P
称为啮合节点，简称节点。
两齿轮啮合传动时，节点 P在两轮各自运动平面内的轨迹分别称为齿轮 1和齿轮 2的节曲线。
当该节曲线为圆时，称其为齿轮的节圆。
节曲线是齿轮的动瞬心线，齿轮的啮合传动相当于其两节曲线作无滑动的纯滚动。
点 P为节点分析：
PO
POi
1
2
2
1
12
（ 2）节点 P在中心线上按一定规律移动的情况
P
O1 O2
K
K1
K2
（ 1）节点 P为中心线上的一个固定点的情况二、共轭齿廓的形成共轭齿廓可以用包络线法、齿廓法线法或动瞬心线法等方法求得。
凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓。
共轭齿廓啮合时，两齿廓在啮合点相切，其啮合点的公法线通过节点 P。理论上，只要给定一齿轮的齿廓曲线，并给定中心距和传动比 i12，就可以求出与之共轭的另一齿轮的齿廓曲线。
自己通过阅读 124~127页掌握 齿廓法线法 求解共轭齿廓的方法。
§ 5-3 渐开线与渐开线齿廓啮合传动的特点一、渐开线与渐开线方程
1.渐开线的形成当直线 x-x沿半径为 rb的圆作纯滚动时，该直线上任一点 K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线 x-x
称为渐开线的发生线，角 θK
称为渐开线 AK段的展角。
2.渐开线的性质
2) 渐开线上任一点的法线切于基圆。
3) 基圆以内没有渐开线。
1) 发生线在基圆上滚过的线段长度 等于基圆上被滚过的圆弧长度,即 。
KN
AN ANKN?
4) 渐开线的形状仅取决于其基圆的大小。基圆越小，渐开线越弯曲，基圆越大，渐开线越平直，
当基圆半径为无穷大时，渐开线就变成一条直线。
如右图所示，以 OA为极坐标轴，
渐开线上的任一点 K可用向径 rK和展角 θK来确定。根据渐开线的性质，有
3.渐开线方程
Kt a n===)+( bKKb rKNNAr
展角 θK称为压力角?K的渐开线函数，工程上常用 inv?K表示。
K K= tan －?K故式中?K称为渐开线在 K点的压力角，它是 K点作用力 F的方向 (K点渐开线的法线方向 )与该点速度 VK方向的夹角。
综上所述，可得渐开线的极坐标参数方程为
KKK
KbK rr
t a n=i n v
c o s/=
k
为使用方便,有些书将不同压力角的渐开线函数
inv?K=tan?K-?K 以表格的形式给出,?K以度为单位,
而 θK=inv?K 的单位为弧度 。
二、渐开线齿廓啮合传动的特点
3.啮合线是过节点的直线
i O PO P rr12 1
2
2
1
2
1
= = =
1
2
1
2
1
2
2
1
12 ====
b
b
r
r
r
r
PO
POi
1.传动比恒定不变
2.中心距变动不影响传动比
（可分性）
§ 5-4 渐开线圆柱齿轮及其基本齿廓一、齿轮的各部分名称齿顶圆,过各轮齿顶端的圆，其直径用 da,半径用 ra表示。
齿根圆,与齿轮各轮齿齿槽底部相切的圆，直径用 df,半径用
rf 表示。
外齿轮齿槽宽,相邻两齿间的空间称为齿槽，任意圆周上齿槽两侧齿廓间的弧线长度称为该圆上的齿槽宽，用 ei表示。
齿距 (周节 ),任意圆周上相邻两齿同侧齿廓间的弧线长度称为齿距 (或称周节 )，用 pi表示。
齿厚,任意圆周上一个轮齿的两侧齿廓间的弧线长度称为该圆上的齿厚，用 si表示。
分度圆,为设计和制造的方便而规定的一个基准圆，其直径用
d、半径用 r表示。规定标准齿轮分度圆上的齿厚 s与齿槽宽 e相等。
齿顶高,位于齿顶圆与分度圆之间的轮齿部分称为齿顶。齿顶部分的径向高度称为齿顶高，
用 ha表示。
齿根高,位于齿根圆与分度圆之间的轮齿部分称为齿根。
齿根部分的径向高度称为齿根高，用 hf 表示。
全齿高,齿顶圆与齿根圆之间的径向距离，用 h表示。
显然
fa hhh +=
齿顶圆,
齿根圆,
内齿轮齿厚,
齿槽宽,
齿距 (周节 )：
分度圆,
齿顶高,
齿根高,
fa hhh +=
全齿高：
二、渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
1．渐开线齿轮的基本参数与基本齿廓
（ 1） 齿数 在齿轮的整圆周上轮齿总数,用 z表示,
显然 z应为整数 。
齿轮的齿数是根据设计需要确定的,如：传动比,
中心距要求,接触强度等 。
（ 2）模数 m
齿轮分度圆的周长为,
分度圆直径为：
pzd
p
zd?
为了设计、制造和测量方便
p
m?
令：
第 一系 列
0.1 0.1 2 0,1 5 0,2 0,2 5 0,3 0,4 0.5 0,6
0.8 1 1,25 1,5 2 2.5 3 4 5 6
8 10 12 16 20 25 32 4 0 50
第 二系 列
0.3 5 0,7 0,9 1.7 5 2,2 5 2,75 ( 3,25 ) 3.5 ( 3,75 ) 4.5 5,5
( 6.5 ) 7 9 ( 1 1) 14 18 22 28 （ 30 ） 3 6 45
模数系列
◆ 模数的量纲 mm
◆,确定模数 m实际上就是确定周节 p,也就是确定齿厚和齿槽宽 e。 模数 m越大,周节 p越大,
齿厚 s和齿槽宽 e也越大 。
进而推论,模数越大,轮齿的抗弯强度越大 。
pm?
这是一组齿数相同，
模数不同的齿轮。
确定模数的依据
根据轮齿的抗弯强度选择齿轮的模数模数的意义
（ 3）分度圆压力角 (齿形角 )?
若为提高齿轮的综合强度而增大分度圆压力角时，推荐为 25?。
为什么？
国家标准（ GB1356-88）中规定分度圆压力角为标准值为 20?。
（ 4） 齿顶高系数 齿顶高 ha与模数成正比,即
mhh aa *= 称 为齿顶高系数*ah
（ 5） 径向间隙系数 齿根高 hf与模数成正比,即
h h c mf a= ( + )* * *c
称 为径向间隙系数或顶隙系数轮齿间的径向间隙,。mcc *=
齿顶高系数 和径向间隙系数 均为标准值 。
*ah *c
正常齿标准 25.0c,1
**ah
短齿标准 3.0c,8.0
**ah
（ 6）渐开线圆柱齿轮的基本（基准）齿廓（齿形）
（ 1）齿条同侧齿廓为平行的直线，齿廓上各点具有相同的压力角，即为其齿形角，它等于齿轮分度圆压力角。
（ 3）与齿顶线平行且齿厚 s等于齿槽宽 e的直线称为分度线，它是计算齿条尺寸的基准线。
（ 2）与齿顶线平行的任一直线上具有相同的齿距 。mp
2．渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸表 5 -5 渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸公式表名称 代 号 公 式分 度 圆 直 径 d d
1
= mz
1
d
2
= mz
2
基圆直径 d
b
d
b1
= mz
1 c o s
,d
b2
= mz
2 c o s
齿 顶 高 h
a
h h m
a a
=
*
齿 根 高 h
f
h h c m
f a
= ( + )
* *
齿 顶 圆 直 径 d
a
d d h
a
m z h
aa 1 1 1
2 2(
*
)
d d h m z h
a a a2 2 2
2 2( )
*
齿 根 圆 直 径 d
f
d
f
d h
f
m z h
a
c
1 1
2
1
2 2(
* *
)
d d h m z h c
f f a2 2 2
2 2 2( )
* *
分 度 圆 齿 距 p p =? m
分 度 圆 齿 厚 s
s m?
1
2
基圆齿距 p
b
p
b
=? m c o s?
中 心 距 a
a m z z
1
2
2 1
( )
注：上面符号用于外齿轮或外啮合传动，下面符号用于内齿轮或内啮合传动。
§ 5-5 渐开线齿廓的加工原理最常用的为切削法 。 切削法加工也有多种方法,但从加工原理看,可概括为范成法和仿形法两大类 。
齿轮的加工方法很多，有：
铸 造热 轧冲 压模 锻粉末冶金切削法齿轮加工实例冲压齿轮拉刀拉齿铣齿齿条插刀插齿齿轮插刀插外齿 齿轮插刀插内齿磨 齿齿轮的一般加工工艺路线：
滚齿（插齿） 剃 齿 热处理 珩 齿滚齿（插齿） 热处理 磨 齿剃 齿滚直齿轮 滚斜齿轮概括上述的齿轮加工方法：
A、整体制造一次把齿轮上的轮齿全部制出，如：铸造、模锻、冲压、粉末冶金、拉刀拉齿。
B、整齿制造每次把齿轮上的一个轮齿全部制出，如：铣齿、刨齿。
C、包络法制造一次切削只能切制出轮齿上的一点或一线，如：插齿、滚齿、
磨齿。
A,B两种方法称为 仿形法,C称为 范成法 。
根据包络法形成共轭齿廓的原理,当刀具的瞬心线 C1与齿轮的瞬心线 C2相切作纯滚动时,与 C1固结的刀具齿廓 K1可以包络齿轮的齿廓 K2。 这种加工方法称为范成法 。
一、范成法范成法演示
（ 1）齿条型刀具的齿形
1.刀具及其齿形用 范成法切削齿轮时，常用的刀具有：齿轮插刀、齿条插刀 (梳刀 )和滚刀。
（ 2）齿轮型刀具的齿形盘形插齿刀碗形插齿刀 套筒形插齿刀锥柄插齿刀直齿 斜齿
2.切削过程中的运动
（ 1）范成运动齿轮插刀的节圆与被加工齿轮的节圆相切并作纯滚动，这种运动称为范成运动。
插齿机床的传动系统使插齿刀与被加工齿轮保持范成运动。
什么是范成运动？
用齿轮插刀加工齿轮时齿条刀具的节线与被加工齿轮的分度圆相切并作纯滚动，这种运动称为范成运动。
机床传动链应使齿条插刀与被加工齿轮保持范成运动。
用齿条刀具加工齿轮时注意：范成运动是在完成一次切削运动后进行的。
（ 2） 切削运动及其它运动几个问题：
● 切削运动的作用是什么？
● 让刀运动的作用是什么？
● 进给运动的作用是什么？
切削运动（进）
让刀运动（退）
切削运动（退）
让刀运动（进）
范 成 运 动
3.滚齿加工的特点齿条刀具插齿过程
（ 1）齿条刀插齿的缺点
● 齿条刀 (梳刀 )插齿时，由于梳刀的长度有限，在加工几个齿廓之后必须退回到原来位置，这就造成机床结构复杂且难以保证分齿精度。
● 插齿过程中切削不连续，
生产率低。
滚 刀
（ 2）滚齿原理这样就可以加工出渐开线齿轮，
并且可以实现连续切削提高生产效率。
● 把滚刀做成蜗杆形状
● 该蜗杆的轴截面为直线齿形
● 滚刀旋转时，相当于直线齿廓的齿条沿其轴线方向连续不断地移动这是一个了不起的创造！
设想：
实际结果：
● 把滚刀做成阿基米德蜗杆，
其轴截面为直线齿形，加工渐开线齿轮有误差。
● 把滚刀做成延伸渐开线蜗杆，
其法截面为直线齿形，加工渐开线齿轮也有误差。
● 把滚刀做成渐开线蜗杆，其法截面为直线齿形，加工渐开线齿轮没有误差。
结果的讨论：
● 原来的设想很好，但是，
比较粗造，理论上不够精确。
● 用渐开线蜗杆作为滚刀，
之所以能够加工出精确的渐开线齿轮，是因为，渐开线蜗杆与渐开线齿轮啮合，正好符合齿轮啮合基本定律。
● 阿基米德蜗杆、延伸渐开线蜗杆滚刀与渐开线齿轮啮合，均不符合齿轮啮合基本定律。
实际生产中所用滚刀的情况：
● 渐开线蜗杆 应用较少，因为磨齿较困难
● 阿基米德蜗杆修形 应用较多，因为比较容易磨齿和修形
4.标准齿轮及变位齿轮的加工加 工 过 程齿条刀具为例这种齿轮称为标准齿轮。
1）标准齿轮加工条件：
● 齿条刀具的分度线与齿轮毛坯的分度圆相切
● 刀具移动的线速度 v等于轮坯分度圆的线速度 ωr，
即 v =ωr，亦即作纯滚动。
加工结果：
● 分度圆压力角等于刀具的齿形角? （为什么？）
● 分度圆齿厚 s等于刀具分度线上的齿槽宽 e （为什么？）
● 刀具的齿顶高等于齿轮的齿根高 （为什么？）
加 工 过 程
2）变位齿轮加工条件：
● 齿条刀具的分度线不与齿轮毛坯的分度圆相切，相离或相割
● 刀具移动的线速度 v等于轮坯分度圆的线速度 ωr，即 v =ωr。
xm
xm
相割相切相离称 x为变位系数相割时 x为负值相离时 x为正值相切时 x为零称 xm为变位量加工结果：
● 分度圆压力角等于刀具的齿形角? （为什么？）
● 齿轮的齿根高 hf=m(h*a+c*－ x) （为什么？）
)( ** chm a?
)( ** chm a?
xm
)( ** xchm a
● 齿轮的分度圆齿厚
)t a n22( xms
（为什么？）
)t a n22( xme
● 齿轮分度圆上的齿槽宽 （为什么？）
)( ** chm a?
)( ** chm a?
xm
)( ** xchm a
)ta n22( xms
2
m?
xm
二、仿形法仿形法是利用与齿轮的齿槽形状相同的刀具直接加工出齿轮齿廓的。盘状铣刀加工齿轮时，铣刀绕自身轴线回转，轮坯沿本身轴线移动，当铣完一个齿槽后，
轮坯退回原处，再用分度头将轮坯转过 360?/z。
用同样方法铣第二个齿槽，重复进行，直至铣出全部轮齿。
仿形法加工表 5-6 一 组 8 把模数铣刀与加工齿数范围刀号 1 2 3 4 5 6 7 8
加工齿数范围 12 ～ 13 14 ～ 16 17 - 20 21 ～ 25 26 ～ 34 35 ～ 54 55 ～ 134 135 以上各号铣刀的齿形都是按该组内齿数最少的齿轮齿形制作的，以便加工出的齿轮啮合时不致卡住。
§ 5-6 渐开线齿轮加工中的几个问题一、公法线长度为什么要计算齿厚？
)i n vi n v(2 aarrrss iiii
齿顶厚 sa：
)in vin v(2 aaaa rrrss
)in vin v( aaa mzsds
基圆齿厚 sb,)in vin v(2
bbbb rrrss
in vc o sc o s mzss b
任意圆周上的弧齿厚：
1．齿厚的计算
2,公法线长度的计算与测量当跨 k个齿时，其公法线长度 Wk为：
Wk=(k-1)pb+sb
● 公法线长度计算所谓公法线长度，是指齿轮上不在同一轮齿上的某两条反向渐开线齿廓间的法线距离。
公法线的长度与跨齿数有关变位齿轮公法线长度,Wk=mcos?[(k-0.5)π+z inv?]+2xmsin?
基圆齿厚 sb=scos?+mzcos?inv?
Wk=mcos?[(k-1)π+zinv?]+scos?
Wk=(k-1)pb+sb
基圆齿距 pb=πmcos?
ms?21?
标准齿轮分度圆齿厚标准齿轮公法线长度,Wk=mcos?[(k-0,5)π+z inv?]
变位齿轮分度圆齿厚 t a nxmms 2
2
1
公法线长度测量测量方法在齿轮制造时，通过检验公法线长度来控制齿轮加工质量。
● 跨齿数的确定无论是公法线长度的计算还是测量，都涉及跨几个齿的问题。
确定跨齿数的原则是：
使卡尺的卡爪与齿廓中部的渐开线接触。
501 80, zk?
标准齿轮跨齿数：
变位齿轮跨齿数：
5021 8 0,c o sa r c c o s xzzzk?
为什么？
二、根切现象及其避免方法用范成法加工渐开线齿轮过程中，有时刀具齿顶会把被加工齿轮根部的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。 根切现象根切将削弱齿根强度，甚至可能降低传动的重合度，影响传动质量。
根切的危害：
根切现象是如何产生的？
1,根切现象及产生原因根切现象是因为刀具齿顶线 (齿条型刀具 )
或齿顶圆 (齿轮插刀 )
超过了极限啮合点
（啮合线与被切齿轮基圆的切点） N1而产生的。
◆ 分析切齿过程切齿从点 B1开始到点 N1切出了轮齿的渐开线部分。
111 NNrrsKN b c o sc o s
2,避免根切的方法
① 提高啮合极限点 N1
◆ 加大压力角?
◆ 增加齿数 Z
② 降低刀具齿顶线
◆ 减小齿顶高系数 *
ah
◆ 正变位 x>0
MmhMN a*?1
211 s ins in rPNMN
mhmz a*s in22
2
2
s in
*
ahz?
不根切的最小齿数：
2
2
s in
*
m i n
ahz?
xmmahMN *1
通过正变位，使得：
xmmhmz a *s in?22
221 s in* zhx a
221 s in*m i n zhx a
不根切的最小变位系数：
§ 5-7 渐开线齿轮啮合传动计算一、一对渐开线齿轮的正确啮合条件
21 nn pp?
若能正确啮合，必须有：
即,21 bb pp?
2211 c o sc o s mm?
mmm 21
21
一对渐开线齿轮的正确啮合条件二、齿轮传动的啮合角?'──无侧隙啮合方程式一对齿轮的啮合情况标准齿轮啮合
● 中心距 )(
212
1 zzma
● 中心距 )(
212
1 zzma
● 中心距 )(
212
1 zzma
无侧隙啮合有侧隙啮合卡死机械设计中“侧隙”的处理方法孔的公称直径：
30?
轴的公称直径：
30?
040030, 030 05030,.
齿轮在设计中的参数均按无侧隙啮合计算，实际啮合的侧隙由公法线长度公差给定。
1e?
2s?
1s?
2e?
为保证无齿侧间隙啮合，应该有：
变位齿轮啮合
21 se
12 se
222111 pesesp
2121 ssppp
节圆周上的弧齿厚：
)(2 1
1
1
11 aarr
rss in vin v
)(2 2
2
2
22 aarr
rss in vin v
)c o s(c o sc o s kkb rrrrrr
2
2
1
1
11 2
1 zmr?
22 2
1 zmr?
mp
c o s
c o s
/
/
r
r
zr
zr
p
p
2
2
)t a n( 11 22 xms
)t a n( 22 22 xms
代入
2121 ssppp
t a n)(
21
212
zz
xxi nvi nv
三、中心距及中心距变动系数 y
c o s/c o s)(c o s/)( 212121 rrrrrra bb
变位齿轮传动的实际中心距为 a'
c o sc o s /)+(21= 21 zzma
当 00
21 xx,
时
)+(21= 21 zzma?
此时为标准齿轮传动，此中心矩称为标准中心距 a，即
)+(21= 21 zzma
变位齿轮传动时，其实际中心距与标准中心距不相等，即
aa
也就是说两齿轮的分度圆不相切
)c o sc o s( 1aymaa
ym为两齿轮的分度圆分离距离。或称中心距变动量，系数 y
称为中心距变动系数
121 21c o sc o s)( zzy
m
aay )(或这个系数在变位齿轮的尺寸计算中非常重要四、渐开线齿轮连续传动条件
1．重合度的基本概念
1B
观察轮齿的啮合过程实际啮合线与基圆齿距 Pb的比值称为重合度,用 ε表示：
121
bP
BB?
重合度 ε值越大，表明齿轮传动的连续性和平稳性越好，一般机械制造业中，齿轮传动的许用重合度
[ε]=1.3～ 1.4，即要求 ε≥[ε]。
2.重合度的计算
t a nt a nt a nt a n 22112 1 aa zz
bb P
PBPB
P
BB 2121
3,重合度的物理意义及影响因素物理意义影响重合度的因素
1)齿顶高系数 h*a
增大 h*a 可使实际啮合线加长,从而增大 ε。
t a nt a nt a nt a n 22112 1 aa zz
2)齿数 z1,z2
齿数增多，也可使实际啮合线加长，从而增大 ε
t a nt a nt a nt a n 22112 1 aa zz
当 z1一定,z2增至无穷多即变为齿条时，其重合度为：
c o ss i n/t a nt a n *aa hz 22 1 11
若设想将 z1,z2都增大成齿条时,则重合度 ε将趋向于某极限值 εmax
24 s in/*m a x ah?
当 h*a =1,?=20° 时
εmax=1.981
3） 啮合角?'
正传动的角度变位齿轮，其啮合角?'>?，亦即正传动齿轮随其变位系数 x1,x2和啮合角?'的增大而使重合度 ε减小，因此重合度就成为选择变位系数的一个限制条件。
ε将随啮合角?'的增大而减小。
当其它条件不变时，若增大安装的中心距会使啮合角?'
增大，重合度 ε减小。因而渐开线齿轮传动的可分性受到传动连续性的制约，必须保证 ε>1。
*五、渐开线齿轮传动的滑动系数六、变位齿轮传动的几何尺寸计算
§ 5-8 变位齿轮传动的类型、应用与变位系数的选择一、渐开线齿轮传动类型变位齿轮传动的特性与变位系数和 x?=(x1+x2)的大小及变位系数 x1,x2分配有关。根据 x?,x1,x2的数值，可把齿轮传动分为三种基本类型
1.标准齿轮传动（ x?=x1=x2 =0)
这是变位齿轮传动的特例，其啮合角等于分度圆压力 角?，中心距 a'等于标准中心距 a。为避免根切，要求
z>zmin。这类齿轮传动设计简单，使用方便，可以保持标准中心距，但小齿轮的齿根较弱，易磨损。
2.高度变位齿轮传动（ x?=x1+x2 =0,x1=－ x2)
又称为等移距变位齿轮传动 。 由于它与标准齿轮传动一样,x?=0,x1=－ x2,因此,?'=?,a'=a,y=0,Δy=0
这种齿轮传动与标准齿轮相比,其啮合角?'=?不变,仅仅齿顶高和齿根高发生了变化,即 ha1=(h*a+x1)m
hf1=(h*a+c*－ x1)m 故称之为高度变位齿轮传动 。
为避免根切,一般要求 z1+z2≥2zmin,
这时,小齿轮 z1可以小于 zmin而采用正变位,因而这类齿轮传动可以减小机构尺寸,并且还可以提高承载能力,改善磨损情况 。
3.角度变位齿轮传动（ x?=x1+x2≠0)
由于 x?=x1+x2≠0,因而其啮合角?'不再等于标准齿轮的啮合角?，故称为角度变位齿轮传动。它又可分为两种情况：
1)正传动,x? =x1+x2 > 0
由于 x1+x2>0,因此
'>?,a'> a,y> 0,Δy> 0
这种齿轮传动的两分度圆不再相切而是分离 ym。 为保证标准径向间隙和无侧隙啮合,其全齿高应比标准齿轮缩短 △ ym。
正传动的主要优点是：可以减小机构尺寸，减轻轮齿的磨损，提高承载能力，
还可以配凑并满足不同中心距的要求。
2)负传动,x?=x1+x2< 0
此时?'<?,a'< a,y< 0，但
Δy> 0；这种齿轮传动的两分度圆相交，它的主要优点是可以配凑不同的中心距，但是其承载能力和强度都有所下降。一般只在配凑中心距或在不得已的情况下，
才采用负传动。
二、变位齿轮的应用只要合理地选择变位系数,变位齿轮的承载能力可比标准齿轮提高 20％以上，而制造变位齿轮又不需要特殊的机床、刀具和工艺方法，因此，在齿轮传动设计中，应尽量扩大变位齿轮的应用。变位齿轮的应用主要在以下几个方面：
1.避免轮齿根切为使齿轮传动的结构紧凑，应尽量减少小齿轮的齿数，当
z<zmin时，可用正变位以避免根切。
2.配凑中心距变位齿轮传动设计中，当齿数 z1,z2一定的情况下，若改变变位系数 x1,x2值，可改变齿轮传动中心距，从而满足不同中心距的要求。
3.提高齿轮的承载能力当采用?'>?的正传动时，可以提高齿轮的接触强度和弯曲强度，
若适当选择变位系数 x1,x2，还能大幅度降低滑动系数，提高齿轮的耐磨损和抗胶合能力。
4.修复已磨损的旧齿轮齿轮传动中，一般小齿轮磨损较严重，大齿轮磨损较轻，若利用负变位修复磨损较轻的大齿轮齿面，重新配制一个正变位的小齿轮，就可以节省一个大齿轮的制造费用，还能改善其传动性能。
§ 5-9 斜齿圆柱齿轮传动斜齿圆柱齿轮传动直齿圆柱齿轮传动一、斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成端面的渐开线齿廓在基圆柱上作螺旋运动形成了斜齿轮的齿廓曲面斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成端面的渐开线齿廓在基圆柱上作螺旋运动形成了斜齿轮的齿廓曲面基圆柱上的螺旋角 βb为：
Ld bb /t a n
分度圆柱基圆柱
L
式中,L为螺旋线的导程，即为螺旋线绕基圆柱一周后上升的高度； db为基圆柱直径。
分度圆螺旋角 β为
Ld /t a n
dd bb /t a n/t a n
二、斜齿轮的基本参数如何经济的加工出斜齿轮？
● 滚齿滚切直齿轮剖面 轴线在滚刀轴剖面的分度线上刀刀 me?2
1?
在直齿轮的端截面上齿齿 ms?2
1?
刀齿 es?
刀齿 mm?
注意：滚刀的齿向要与齿轮的齿向一致为了使滚刀的齿向与齿轮的齿向一致，必须是滚刀相对于齿轮有一个倾斜角?
剖面滚切斜齿轮剖面轴线为了使滚刀的齿向与齿轮的齿向一致，必须是滚刀相对于齿轮有一个倾斜角?
剖面轴线
剖面在滚刀剖面的分度线上刀刀 me?2
1?
在齿轮的法剖面的分度圆上刀刀齿 mes n?2
1
ns齿
—— 称为齿轮的法面齿厚令
nn ms?2
1?
齿则刀mm n?
nm
—— 称为齿轮的法面模数
● 铣齿铣直齿铣斜齿
● 插齿
1,法面模数 mn与端面模数 mt
由于斜齿轮可以与斜齿条正确啮合，故可以通过斜齿条来研究其法面模数与端面模数间的关系。
np
tp
c o stn pp?
已知：
tt mp
令：
nn mp
则,?c o s
tn mm?
式中 β为斜齿条的倾斜角即为斜齿轮分度圆柱上的螺旋角。
在设计斜齿轮时，应该选 mn
为标准值还是 mt为标准值?
请思考
2,法面齿顶高系数 h*an与端面齿顶高系数 h*at
法面齿顶高与端面齿顶高是相同的
tatnana mhmhh **
则：
c o s/ *** antnanat hmmhh
同理,?c o s**
nt cc?
请思考在设计斜齿轮时，应该选,为标准值还是,为标准值?
*ath
*anh
*tc
*nc
np
tp
齿顶面分度面
3.法面压力角?n与端面压力角?t
c o sCAAC
hCBhhBC tn
hCAt /t a n
hACn /t a n
c o st a nt a n tn?
请思考在设计斜齿轮时，应该选为标准值还是 为标准值?
n? t?
4.法面变位系数 xn 与端面变位系数 xt
斜齿轮的变位距离不论是从法面看还是从端面看均应相同
ttnn mxmx?
c o snt xx?
5.分度圆柱螺旋角 与基圆柱螺旋角?
b?
斜齿轮的分度圆直径 zmd
t?
斜齿轮的基圆直径 ttb zmd?c o s?
tb c o st a nt a n?
请思考为什么分度圆柱的螺旋角与基圆柱的螺旋角不相等？
三、斜齿轮传动的几何尺寸计算计算斜齿轮的几何尺寸时，应先根据法面参数求出对应的端面参数，然后，在端面上计算斜齿轮的尺寸。
设计斜齿轮时，法面参数选标准值（主要是从加工考虑）
因为，变位斜齿轮比标准斜齿轮的承载能力提高不显著，
再者，斜齿轮传动中心距的配凑可以通过改变螺旋角?
来实现，而不需通过变位实现。
生产中变位斜齿轮较少应用四、斜齿轮的正确啮合条件
1.模数相等
2121 ttnn mmmm 或
2.压力角相等 2121 ttnn 或
3.螺旋角大小相等，外啮合时应旋向相反，
内啮合时应旋向相同
”号用于外啮合）”号用于内啮合，“, (21
右旋 左旋右旋五、斜齿轮传动的重合度
从端面看，斜齿轮的啮合与直齿轮完全一样，因此，用端面啮合角 和端面齿顶压力角?at1,?at2可求得斜齿轮的端面重合度,
t
tattat zz t a nt a nt a nt a n 22112 1
当一对轮齿在前端面啮合结束时，
在其齿宽上的其他截面内仍在啮合，这就形成了斜齿轮的轴面重合度
btbbt pBpL /t a n/
btbbt pBpL /t a n/
tb c o st a nt a n c o s/c o s tnbt mp?
nmB /s in?
斜齿轮传动的总重合度
ntattat mBzz /s i nt a nt a nt a nt a n 22112 1
齿宽 B 和螺旋角 β增大时都可使斜齿轮传动的重合度增大。
β增大后会使轴向力增大，造成轴承结构复杂化，因此,β角不宜过大斜齿轮, 158 ~
人字齿轮, 4015 ~
六、斜齿轮的法面齿形及当量齿数分度圆柱基圆柱
L
从理论上讲：
斜齿轮的端面齿廓是准确的渐开线齿廓斜齿轮的法面齿廓不是渐开线齿廓研究法面齿廓的意义：
● 铣齿加工时，要根据法面齿廓选择盘形刀具
● 强度计算时，齿面的受力是作用在法面上斜齿轮的法面齿廓形状很复杂，为了研究和应用方便，往往把法面齿廓近似地看作是一条渐开线。
法截面过斜齿轮分度圆柱螺旋线上的 P点一法面，该法面将分度圆柱剖开，
其剖面为一椭圆,P点附近的齿形可看作斜齿轮的法面齿形，椭圆的长半径 a和短半径 b分别为：
rbc o s/ra?
式中,r为斜齿轮的分度圆半径
zmr t21?
椭圆上节点 P处的曲率半径?为：
2
2
c o s
r
b
a
定义一个齿轮分度圆半径,?
模数：
nm
压力角：
n?
法截面这个齿轮的齿廓与斜齿轮的法面齿廓非常近似。
把这个齿轮叫做 当量齿轮把这个齿轮的齿数叫做当量齿数
322
22
c o sc o sc o s
z
m
zm
m
r
mz n
t
nn
v
在斜齿轮强度计算时，要用当量齿数 zv决定其齿形系数；在用仿形法加工斜齿轮时，也要用当量齿数来决定铣刀的号数。
一般情况下，当量齿数不是整数。
322
22
c o sc o sc o s
z
m
zm
m
r
mz n
t
nn
v
七、斜齿轮传动的优缺点
1.啮合性能好，承载能力大。
斜齿轮齿面接触线与其轴线不平行,传动时,轮齿一端先进入啮合,接触线逐渐增长,又逐渐缩短直至脱离啮合 。 而且啮合时,轮齿总刚度变化小,扭转振动小,故传动平稳,冲击和噪音小 。 另一方面由于重合度较大,总接触线长度大,
因而其承载能力也比直齿轮为高 。
2.结构尺寸紧凑。
因不根切的最少齿数 zmin＝ 2h*ancosβ／ sin2?t，故斜齿轮不根切的最少齿数比直齿轮少，可得到更为紧凑的结构尺寸。
3.有轴向力由于斜齿轮的轮齿倾斜 β角,产生轴向力,增大摩擦损失,
这是斜齿轮传动的主要缺点 。 为克服这一缺点,,人字齿轮,,以便抵消轴向力 。 当然,人字齿轮制造较麻烦 。
§ 5-11 蜗杆传动机构一、蜗杆、蜗轮的形成蜗杆传动是用来传递空间两交错轴间的运动和动力的，它由蜗杆和蜗轮组成。一般其轴交错角 ∑等于 90° 。
蜗杆上只有一条螺旋线，即端面上只有一个齿的蜗杆称为单头蜗杆。有两条螺旋线者，称为双头蜗杆，蜗杆螺纹的头数即是蜗杆齿数，用 z1表示，一般可取 z1=1～ 10，
推荐取 z1=1,2,4,6。
蜗杆与螺旋相似，有右旋和左旋之分，一般都用右旋蜗杆。
蜗杆螺旋齿的导程角（螺旋升角）
=90?－ β1。
蜗杆传动的传动比为：
1
2
2
1
z
z?
蜗杆的加工蜗杆多在车床上粗加工而后经磨制而成。
采用“对偶法”加工蜗轮轮齿，即是采用与蜗杆形状相同的滚刀（为加工出顶隙，蜗杆滚刀的外圆直径要略大于标准蜗杆外径），并保持蜗杆蜗轮啮合时的中心距与啮合传动关系去加工蜗轮。
蜗轮的加工法向剖面：凸形曲线齿廓三种常用圆柱蜗杆
1,阿基米德蜗杆这种蜗杆可在车床上加工不需要特殊设备，因此应用较为广泛。
缺点是传动效率低通常为 50~80%,蜗轮副齿部磨损较快，因此，一般用于不重要，载荷小，转速低的传动。
阿基米德蜗杆又称为轴向直廓蜗杆端面齿廓：阿基米德螺旋线轴向剖面：直线齿廓端截面轴截面车刀法截面轴截面
a?
va?
v
o
p
A
B
点 A沿射线 OB作匀速运动，射线
OB作匀速转动，
此时，点 A的轨迹为阿基米德螺旋线。
阿基米德螺旋线端截面轴截面车刀
2,延伸渐开线蜗杆延长渐开线和渐开线蜗杆一样，可以用砂轮端面来加工，也就可能制造更精密的啮合和耐磨的蜗轮副，传动效率也高，
而加工过程比渐开线蜗杆简单，滚齿机，磨齿机上的精密蜗轮副一股都采用这种蜗秆。
端面齿廓：延伸渐开线轴向剖面：凸形曲线齿廓法向剖面：直齿廓延伸渐开线蜗杆又称为法向直廓蜗杆端截面轴截面法截面车刀延伸渐开线又称为长幅渐开线延伸渐开线
A
C
BO
线段 AC与 BC固联,AC与圆 O
相切，并且在圆 O上作纯滚动，
此时，点 B的轨迹称为延伸渐开线。
这种蜗杆传动效率可高达
90%，但加工过程复杂，制造成本高。这种蜗杆一般少见，通常应用在载荷大，转速高的场合。
3,渐开线蜗杆端面齿廓：渐开线轴向剖面：凸形曲线齿廓法向剖面：凸形曲线齿廓与基圆柱相切的剖面：直线齿廓车刀端截面轴截面与基圆柱相切的剖面二、蜗杆蜗轮的正确啮合条件过蜗杆轴线并垂直于蜗轮轴线的平面称为蜗杆传动的中间平面。
在中间平面内蜗轮与蜗杆的啮合就相当于齿轮与齿条啮合，因此蜗杆蜗轮的正确啮合条件为：
12
12
12
xt
xt mmm
在中间平面内其模数和压力角应分别相等。
三、蜗杆传动的基本参数圆柱蜗杆的基本齿廓由 GB10087-88作出规定,其基本参数有：
1,模数 m和压力角?
蜗杆的轴面模数 mx1和蜗轮的端面模数 mt2应相等,均应取标准值，以 m表示。
m d
1
m d
1
m d
1
m d
1
1 18 (2 8 ) (6 3 ) (1 1 2 )
20 3 5,5 80 140
(4 5 ) (1 0 0 ) (1 8 0 )1,2 5
2,4
3,1 5
56
8
140
16
250
(3 1,5 ) (7 1 ) (1 4 0 )
20
40 90 160
(5 0 ) (1 1 2 ) (2 2 4 )
1,6
28
4
71
10
160
20
(3 1 5 )
(1 8 ) (4 0 )
2 2,4 50
(9 0 ) (1 8 0 )
(2 8 ) (6 3 )
2
3 5,5
5
90
112 200
(2 2,4 ) (5 0 )
28 63
(1 4 0 ) (2 8 0 )
(3 5,5 ) (8 0 )
2,5
45
6,3
112
1 2,5
200
25
400
压力角?也应取标准值延伸渐开线蜗杆渐开线蜗杆阿基米德蜗杆取轴向压力角为标准值：
20?x?
20?n?
取法向压力角为标准值：
2,齿顶高系数 h*a和径向间隙系数 c*
一般采用 h*a=1,c*=0.2
3,蜗杆头数 z1、蜗轮齿数 z2与传动比 i12
1
2
2
1
12 z
zi
为获得大传动比 i12,应采用单头蜗杆,即 z1=1,但其传动效率低 。 为了提高效率应增加蜗杆的头数,但这又会造成蜗杆加工的困难 。 一般取 z1=1,2,4,6。 动力传动中,为提高效率,
常用多头蜗杆 。 单头蜗杆传动不仅可以得到大传动比 i12,而且其传动具有自锁性,常用于起重装置中 。
蜗杆头数 z1确定后,按传动比 i12的大小确定蜗轮齿数 z2，
z2=i12z1。 当 z1=1时,要求蜗轮齿数 z2≥17；当 z1=2时,要求
z2>27；一般动力传动中,z2<80。
4,蜗杆直径 d1与蜗杆导程角?
1
1
1
11
1 d
mz
d
Pz
d
l x
t a n
设蜗杆的分度圆直径为 d1，螺旋导程为 l，轴向齿距（螺距）
为,导程角为?，则有：
1xp
ta n
1
1
zmd?
蜗杆的分度圆直径为 d1必须按国家标准取值。
当 m一定时，增大 d1值，可以提高蜗杆轴的强度和刚度。
增大?值，可提高蜗杆传动的效率。对于要求高效率的传动，
常采用?=15° ~30°,此时应采用多头蜗杆，即取 z1>1。
当要求蜗杆传动具有自锁性能时，应取?≤3?30'。此时应取
z1=1。
四、蜗杆传动的几何尺寸计算蜗轮分度圆直径 d2
22 zmd?
蜗杆、蜗轮的齿顶高、齿根高、齿顶圆直径和齿根圆直径等尺寸，可参照圆柱齿轮相应公式计算，必须注意蜗杆传动的
c*=0.2。
蜗杆蜗轮的齿顶圆直径
mxhmzhdd
mhdhdd
aaa
aaa
)( *
*
22
22
2222
1111
式中,x为蜗轮的变位系数蜗杆传动的中心距 a
xzqmxmaaaa 2?
)( 2121 dda
（无变位）
m
dq 1?
五、蜗杆传动的优缺点优点：
1,可实现空间交错轴间的很大传动比,其结构比交错轴斜齿轮机构紧凑 。 一般传动比可达,i12=10～ 80,在一些手动或分度机构中,i12可大于 300。
2,蜗杆传动为线接触,传动平稳,噪音小 。
3,当蜗杆导程角?很小时,传动具有自锁性,即只能由蜗杆带动蜗轮,而蜗轮不能带动蜗杆,故它常用于起重或其它需要自锁的场合 。
缺点：
1,机械效率较低,一般效率 η=0.7～ 0.8,具有自锁性的蜗杆传动的效率 η≤0.5。
2,齿面的螺旋线方向有很大的滑动速度,易引起发热和磨损,
常用贵重的耐磨材料 (如青铜合金 )作蜗轮,而且还要有良好的润滑和散热条件 。
3,蜗杆的导程角小,故其螺旋角大,因此所受轴向力大,故其轴承结构也较复杂 。
2004年 2月修改典型的齿轮传动
§ 5-1 齿轮机构的类型与功能齿轮机构是现代机械中应用最广泛的一种传动机构,与其它传动机构相比,齿轮机构的优点是：结构紧凑,工作可靠,效率高,寿命长,能保证恒定的传动比,而且其传递的功率与适用的速度范围大 。 但是其制造安装费用较高,低精度齿轮传动的振动噪声较大 。
齿轮机构是通过一对对齿面的依次啮合来传递两轴之间的运动和动力的，根据一对齿轮实现传动比的情况，它可以分为定传动比和变传动比齿轮机构。
本章仅讨论实现定传动比的圆形齿轮机构。
齿轮机构是依靠轮齿直接接触构成高副来传递两轴之间的运动和动力的。
齿轮机构有以下类型：
1,平行轴之间传递运动一,齿轮机构的类型与功能
（ 1）直齿圆柱齿轮机构轮齿分布在圆柱体外部且与其轴线平行,啮合的两外齿轮转向相反。应用广泛。
（ 2）斜齿圆柱齿轮机构轮齿与其轴线倾斜，两轮转向相反，传动平稳,适合于高速传动,但有轴向力。
（ 3）人字齿圆柱齿轮机构由两排旋向相反的斜齿轮对称组成，
其轴向力被相互抵消。适合高速和重载传动，但制造成本较高。
（ 4）直齿内啮合圆柱齿轮机构轮齿与其轴线平行且分布在空心圆柱体的内部，
它与外齿轮啮合时两轮的转向相同。
（ 5）斜齿内啮合圆柱齿轮机构轮 齿 与 其轴 线倾 斜 的 内齿 轮加工困难,它与 斜 齿 外齿 轮啮 合 时 两轮 转向相同 。 有轴向力 。
应用较少 。
（ 6）直齿齿轮齿条机构齿数趋于无穷多的外齿轮演变成齿条，它与外齿轮啮合时，齿轮转动，齿条直线移动。
（ 7）斜齿齿轮齿条机构斜齿轮斜齿条啮合传动应用较少。
（ 8）非圆齿轮机构轮齿分布在非圆柱体上，可实现一对齿轮的变传动比。需要专用机床加工，加工成本较高，
设计难度较大。
这是利用非圆齿轮变传动比的工作原理，设计的一种容积泵。现已获得实用新型专利。
2、相交轴之间传递运动
(1) 直齿圆锥齿轮机构轮齿沿圆锥母线排列于截锥表面，是相交轴齿轮传动的基本形式。制造较为简单。
（ 2）斜齿圆锥齿轮机构轮齿倾斜于圆锥母线，
制造困难，应用较少。
（ 3）曲齿圆锥齿轮机构轮齿是曲线形，有圆弧齿、螺旋齿等，传动平稳，适用于高速、
重载传动，但制造成本较高。
现在汽车后桥都采用这种齿轮。
3、交错轴之间传递运动
（ 1）交错轴斜齿圆柱齿轮机构两螺旋角数值不等的斜齿轮啮合时，
可组成两轴线任意交错传动，两轮齿为点接触，且滑动速度较大，主要用于传递运动或轻载传动。
（ 2）蜗杆蜗轮传动蜗杆蜗轮传动多用于两轴交错角为 90?的传动，其传动比大，传动平稳，具有自锁性，但效率较低。
（ 3）准双曲线齿轮传动其节曲面为单叶双曲线回转体的一部分。它能实现两轴线中心距较小的交错轴传动，但制造困难。
4、特种齿轮这是一种同向传动齿轮机构。
二、齿轮机构的机构运动简图齿轮用于传递（变换）运动和力
（ 1）转速大小的变换
z1
z2
1?
2?
4
1
2
1?
z
z注意：,与 应互为质数1z 2z
1
2
1
2 z
z?
三,齿轮机构的功能齿数比
2
1
z
z 决定转速变换量
(2) 转速方向的变换平行轴外啮合齿轮传动改变齿轮的回转方向平行轴内啮合齿轮传动不改变齿轮的回转方向
(3) 改变运动的传递方向相交轴外啮合齿轮传动不仅改变齿轮的回转方向还改变运动的传递方向交错轴外啮合齿轮传动不仅改变齿轮的回转方向还改变运动的传递方向
(4) 改变运动特性齿轮齿条传动可以把一个转动变换为移动，或者把一个移动变换为转动非圆齿轮传动可以把一个匀速转动变换为非匀速转动，或者把一个非匀速转动变换为匀速转动
§ 5-2 瞬时传动比与齿廓曲线一、齿廓啮合基本定律任意齿廓的两齿轮啮合时，其瞬时角速度的比值等于齿廓接触点公法线将其中心距分成两段长度的反比。
PO
POi
1
2
2
1
12
节点与节圆的概念在齿轮机构中，相对速度瞬心 P
称为啮合节点，简称节点。
两齿轮啮合传动时，节点 P在两轮各自运动平面内的轨迹分别称为齿轮 1和齿轮 2的节曲线。
当该节曲线为圆时，称其为齿轮的节圆。
节曲线是齿轮的动瞬心线，齿轮的啮合传动相当于其两节曲线作无滑动的纯滚动。
点 P为节点分析：
PO
POi
1
2
2
1
12
（ 2）节点 P在中心线上按一定规律移动的情况
P
O1 O2
K
K1
K2
（ 1）节点 P为中心线上的一个固定点的情况二、共轭齿廓的形成共轭齿廓可以用包络线法、齿廓法线法或动瞬心线法等方法求得。
凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓。
共轭齿廓啮合时，两齿廓在啮合点相切，其啮合点的公法线通过节点 P。理论上，只要给定一齿轮的齿廓曲线，并给定中心距和传动比 i12，就可以求出与之共轭的另一齿轮的齿廓曲线。
自己通过阅读 124~127页掌握 齿廓法线法 求解共轭齿廓的方法。
§ 5-3 渐开线与渐开线齿廓啮合传动的特点一、渐开线与渐开线方程
1.渐开线的形成当直线 x-x沿半径为 rb的圆作纯滚动时，该直线上任一点 K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线 x-x
称为渐开线的发生线，角 θK
称为渐开线 AK段的展角。
2.渐开线的性质
2) 渐开线上任一点的法线切于基圆。
3) 基圆以内没有渐开线。
1) 发生线在基圆上滚过的线段长度 等于基圆上被滚过的圆弧长度,即 。
KN
AN ANKN?
4) 渐开线的形状仅取决于其基圆的大小。基圆越小，渐开线越弯曲，基圆越大，渐开线越平直，
当基圆半径为无穷大时，渐开线就变成一条直线。
如右图所示，以 OA为极坐标轴，
渐开线上的任一点 K可用向径 rK和展角 θK来确定。根据渐开线的性质，有
3.渐开线方程
Kt a n===)+( bKKb rKNNAr
展角 θK称为压力角?K的渐开线函数，工程上常用 inv?K表示。
K K= tan －?K故式中?K称为渐开线在 K点的压力角，它是 K点作用力 F的方向 (K点渐开线的法线方向 )与该点速度 VK方向的夹角。
综上所述，可得渐开线的极坐标参数方程为
KKK
KbK rr
t a n=i n v
c o s/=
k
为使用方便,有些书将不同压力角的渐开线函数
inv?K=tan?K-?K 以表格的形式给出,?K以度为单位,
而 θK=inv?K 的单位为弧度 。
二、渐开线齿廓啮合传动的特点
3.啮合线是过节点的直线
i O PO P rr12 1
2
2
1
2
1
= = =
1
2
1
2
1
2
2
1
12 ====
b
b
r
r
r
r
PO
POi
1.传动比恒定不变
2.中心距变动不影响传动比
（可分性）
§ 5-4 渐开线圆柱齿轮及其基本齿廓一、齿轮的各部分名称齿顶圆,过各轮齿顶端的圆，其直径用 da,半径用 ra表示。
齿根圆,与齿轮各轮齿齿槽底部相切的圆，直径用 df,半径用
rf 表示。
外齿轮齿槽宽,相邻两齿间的空间称为齿槽，任意圆周上齿槽两侧齿廓间的弧线长度称为该圆上的齿槽宽，用 ei表示。
齿距 (周节 ),任意圆周上相邻两齿同侧齿廓间的弧线长度称为齿距 (或称周节 )，用 pi表示。
齿厚,任意圆周上一个轮齿的两侧齿廓间的弧线长度称为该圆上的齿厚，用 si表示。
分度圆,为设计和制造的方便而规定的一个基准圆，其直径用
d、半径用 r表示。规定标准齿轮分度圆上的齿厚 s与齿槽宽 e相等。
齿顶高,位于齿顶圆与分度圆之间的轮齿部分称为齿顶。齿顶部分的径向高度称为齿顶高，
用 ha表示。
齿根高,位于齿根圆与分度圆之间的轮齿部分称为齿根。
齿根部分的径向高度称为齿根高，用 hf 表示。
全齿高,齿顶圆与齿根圆之间的径向距离，用 h表示。
显然
fa hhh +=
齿顶圆,
齿根圆,
内齿轮齿厚,
齿槽宽,
齿距 (周节 )：
分度圆,
齿顶高,
齿根高,
fa hhh +=
全齿高：
二、渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
1．渐开线齿轮的基本参数与基本齿廓
（ 1） 齿数 在齿轮的整圆周上轮齿总数,用 z表示,
显然 z应为整数 。
齿轮的齿数是根据设计需要确定的,如：传动比,
中心距要求,接触强度等 。
（ 2）模数 m
齿轮分度圆的周长为,
分度圆直径为：
pzd
p
zd?
为了设计、制造和测量方便
p
m?
令：
第 一系 列
0.1 0.1 2 0,1 5 0,2 0,2 5 0,3 0,4 0.5 0,6
0.8 1 1,25 1,5 2 2.5 3 4 5 6
8 10 12 16 20 25 32 4 0 50
第 二系 列
0.3 5 0,7 0,9 1.7 5 2,2 5 2,75 ( 3,25 ) 3.5 ( 3,75 ) 4.5 5,5
( 6.5 ) 7 9 ( 1 1) 14 18 22 28 （ 30 ） 3 6 45
模数系列
◆ 模数的量纲 mm
◆,确定模数 m实际上就是确定周节 p,也就是确定齿厚和齿槽宽 e。 模数 m越大,周节 p越大,
齿厚 s和齿槽宽 e也越大 。
进而推论,模数越大,轮齿的抗弯强度越大 。
pm?
这是一组齿数相同，
模数不同的齿轮。
确定模数的依据
根据轮齿的抗弯强度选择齿轮的模数模数的意义
（ 3）分度圆压力角 (齿形角 )?
若为提高齿轮的综合强度而增大分度圆压力角时，推荐为 25?。
为什么？
国家标准（ GB1356-88）中规定分度圆压力角为标准值为 20?。
（ 4） 齿顶高系数 齿顶高 ha与模数成正比,即
mhh aa *= 称 为齿顶高系数*ah
（ 5） 径向间隙系数 齿根高 hf与模数成正比,即
h h c mf a= ( + )* * *c
称 为径向间隙系数或顶隙系数轮齿间的径向间隙,。mcc *=
齿顶高系数 和径向间隙系数 均为标准值 。
*ah *c
正常齿标准 25.0c,1
**ah
短齿标准 3.0c,8.0
**ah
（ 6）渐开线圆柱齿轮的基本（基准）齿廓（齿形）
（ 1）齿条同侧齿廓为平行的直线，齿廓上各点具有相同的压力角，即为其齿形角，它等于齿轮分度圆压力角。
（ 3）与齿顶线平行且齿厚 s等于齿槽宽 e的直线称为分度线，它是计算齿条尺寸的基准线。
（ 2）与齿顶线平行的任一直线上具有相同的齿距 。mp
2．渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸表 5 -5 渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸公式表名称 代 号 公 式分 度 圆 直 径 d d
1
= mz
1
d
2
= mz
2
基圆直径 d
b
d
b1
= mz
1 c o s
,d
b2
= mz
2 c o s
齿 顶 高 h
a
h h m
a a
=
*
齿 根 高 h
f
h h c m
f a
= ( + )
* *
齿 顶 圆 直 径 d
a
d d h
a
m z h
aa 1 1 1
2 2(
*
)
d d h m z h
a a a2 2 2
2 2( )
*
齿 根 圆 直 径 d
f
d
f
d h
f
m z h
a
c
1 1
2
1
2 2(
* *
)
d d h m z h c
f f a2 2 2
2 2 2( )
* *
分 度 圆 齿 距 p p =? m
分 度 圆 齿 厚 s
s m?
1
2
基圆齿距 p
b
p
b
=? m c o s?
中 心 距 a
a m z z
1
2
2 1
( )
注：上面符号用于外齿轮或外啮合传动，下面符号用于内齿轮或内啮合传动。
§ 5-5 渐开线齿廓的加工原理最常用的为切削法 。 切削法加工也有多种方法,但从加工原理看,可概括为范成法和仿形法两大类 。
齿轮的加工方法很多，有：
铸 造热 轧冲 压模 锻粉末冶金切削法齿轮加工实例冲压齿轮拉刀拉齿铣齿齿条插刀插齿齿轮插刀插外齿 齿轮插刀插内齿磨 齿齿轮的一般加工工艺路线：
滚齿（插齿） 剃 齿 热处理 珩 齿滚齿（插齿） 热处理 磨 齿剃 齿滚直齿轮 滚斜齿轮概括上述的齿轮加工方法：
A、整体制造一次把齿轮上的轮齿全部制出，如：铸造、模锻、冲压、粉末冶金、拉刀拉齿。
B、整齿制造每次把齿轮上的一个轮齿全部制出，如：铣齿、刨齿。
C、包络法制造一次切削只能切制出轮齿上的一点或一线，如：插齿、滚齿、
磨齿。
A,B两种方法称为 仿形法,C称为 范成法 。
根据包络法形成共轭齿廓的原理,当刀具的瞬心线 C1与齿轮的瞬心线 C2相切作纯滚动时,与 C1固结的刀具齿廓 K1可以包络齿轮的齿廓 K2。 这种加工方法称为范成法 。
一、范成法范成法演示
（ 1）齿条型刀具的齿形
1.刀具及其齿形用 范成法切削齿轮时，常用的刀具有：齿轮插刀、齿条插刀 (梳刀 )和滚刀。
（ 2）齿轮型刀具的齿形盘形插齿刀碗形插齿刀 套筒形插齿刀锥柄插齿刀直齿 斜齿
2.切削过程中的运动
（ 1）范成运动齿轮插刀的节圆与被加工齿轮的节圆相切并作纯滚动，这种运动称为范成运动。
插齿机床的传动系统使插齿刀与被加工齿轮保持范成运动。
什么是范成运动？
用齿轮插刀加工齿轮时齿条刀具的节线与被加工齿轮的分度圆相切并作纯滚动，这种运动称为范成运动。
机床传动链应使齿条插刀与被加工齿轮保持范成运动。
用齿条刀具加工齿轮时注意：范成运动是在完成一次切削运动后进行的。
（ 2） 切削运动及其它运动几个问题：
● 切削运动的作用是什么？
● 让刀运动的作用是什么？
● 进给运动的作用是什么？
切削运动（进）
让刀运动（退）
切削运动（退）
让刀运动（进）
范 成 运 动
3.滚齿加工的特点齿条刀具插齿过程
（ 1）齿条刀插齿的缺点
● 齿条刀 (梳刀 )插齿时，由于梳刀的长度有限，在加工几个齿廓之后必须退回到原来位置，这就造成机床结构复杂且难以保证分齿精度。
● 插齿过程中切削不连续，
生产率低。
滚 刀
（ 2）滚齿原理这样就可以加工出渐开线齿轮，
并且可以实现连续切削提高生产效率。
● 把滚刀做成蜗杆形状
● 该蜗杆的轴截面为直线齿形
● 滚刀旋转时，相当于直线齿廓的齿条沿其轴线方向连续不断地移动这是一个了不起的创造！
设想：
实际结果：
● 把滚刀做成阿基米德蜗杆，
其轴截面为直线齿形，加工渐开线齿轮有误差。
● 把滚刀做成延伸渐开线蜗杆，
其法截面为直线齿形，加工渐开线齿轮也有误差。
● 把滚刀做成渐开线蜗杆，其法截面为直线齿形，加工渐开线齿轮没有误差。
结果的讨论：
● 原来的设想很好，但是，
比较粗造，理论上不够精确。
● 用渐开线蜗杆作为滚刀，
之所以能够加工出精确的渐开线齿轮，是因为，渐开线蜗杆与渐开线齿轮啮合，正好符合齿轮啮合基本定律。
● 阿基米德蜗杆、延伸渐开线蜗杆滚刀与渐开线齿轮啮合，均不符合齿轮啮合基本定律。
实际生产中所用滚刀的情况：
● 渐开线蜗杆 应用较少，因为磨齿较困难
● 阿基米德蜗杆修形 应用较多，因为比较容易磨齿和修形
4.标准齿轮及变位齿轮的加工加 工 过 程齿条刀具为例这种齿轮称为标准齿轮。
1）标准齿轮加工条件：
● 齿条刀具的分度线与齿轮毛坯的分度圆相切
● 刀具移动的线速度 v等于轮坯分度圆的线速度 ωr，
即 v =ωr，亦即作纯滚动。
加工结果：
● 分度圆压力角等于刀具的齿形角? （为什么？）
● 分度圆齿厚 s等于刀具分度线上的齿槽宽 e （为什么？）
● 刀具的齿顶高等于齿轮的齿根高 （为什么？）
加 工 过 程
2）变位齿轮加工条件：
● 齿条刀具的分度线不与齿轮毛坯的分度圆相切，相离或相割
● 刀具移动的线速度 v等于轮坯分度圆的线速度 ωr，即 v =ωr。
xm
xm
相割相切相离称 x为变位系数相割时 x为负值相离时 x为正值相切时 x为零称 xm为变位量加工结果：
● 分度圆压力角等于刀具的齿形角? （为什么？）
● 齿轮的齿根高 hf=m(h*a+c*－ x) （为什么？）
)( ** chm a?
)( ** chm a?
xm
)( ** xchm a
● 齿轮的分度圆齿厚
)t a n22( xms
（为什么？）
)t a n22( xme
● 齿轮分度圆上的齿槽宽 （为什么？）
)( ** chm a?
)( ** chm a?
xm
)( ** xchm a
)ta n22( xms
2
m?
xm
二、仿形法仿形法是利用与齿轮的齿槽形状相同的刀具直接加工出齿轮齿廓的。盘状铣刀加工齿轮时，铣刀绕自身轴线回转，轮坯沿本身轴线移动，当铣完一个齿槽后，
轮坯退回原处，再用分度头将轮坯转过 360?/z。
用同样方法铣第二个齿槽，重复进行，直至铣出全部轮齿。
仿形法加工表 5-6 一 组 8 把模数铣刀与加工齿数范围刀号 1 2 3 4 5 6 7 8
加工齿数范围 12 ～ 13 14 ～ 16 17 - 20 21 ～ 25 26 ～ 34 35 ～ 54 55 ～ 134 135 以上各号铣刀的齿形都是按该组内齿数最少的齿轮齿形制作的，以便加工出的齿轮啮合时不致卡住。
§ 5-6 渐开线齿轮加工中的几个问题一、公法线长度为什么要计算齿厚？
)i n vi n v(2 aarrrss iiii
齿顶厚 sa：
)in vin v(2 aaaa rrrss
)in vin v( aaa mzsds
基圆齿厚 sb,)in vin v(2
bbbb rrrss
in vc o sc o s mzss b
任意圆周上的弧齿厚：
1．齿厚的计算
2,公法线长度的计算与测量当跨 k个齿时，其公法线长度 Wk为：
Wk=(k-1)pb+sb
● 公法线长度计算所谓公法线长度，是指齿轮上不在同一轮齿上的某两条反向渐开线齿廓间的法线距离。
公法线的长度与跨齿数有关变位齿轮公法线长度,Wk=mcos?[(k-0.5)π+z inv?]+2xmsin?
基圆齿厚 sb=scos?+mzcos?inv?
Wk=mcos?[(k-1)π+zinv?]+scos?
Wk=(k-1)pb+sb
基圆齿距 pb=πmcos?
ms?21?
标准齿轮分度圆齿厚标准齿轮公法线长度,Wk=mcos?[(k-0,5)π+z inv?]
变位齿轮分度圆齿厚 t a nxmms 2
2
1
公法线长度测量测量方法在齿轮制造时，通过检验公法线长度来控制齿轮加工质量。
● 跨齿数的确定无论是公法线长度的计算还是测量，都涉及跨几个齿的问题。
确定跨齿数的原则是：
使卡尺的卡爪与齿廓中部的渐开线接触。
501 80, zk?
标准齿轮跨齿数：
变位齿轮跨齿数：
5021 8 0,c o sa r c c o s xzzzk?
为什么？
二、根切现象及其避免方法用范成法加工渐开线齿轮过程中，有时刀具齿顶会把被加工齿轮根部的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。 根切现象根切将削弱齿根强度，甚至可能降低传动的重合度，影响传动质量。
根切的危害：
根切现象是如何产生的？
1,根切现象及产生原因根切现象是因为刀具齿顶线 (齿条型刀具 )
或齿顶圆 (齿轮插刀 )
超过了极限啮合点
（啮合线与被切齿轮基圆的切点） N1而产生的。
◆ 分析切齿过程切齿从点 B1开始到点 N1切出了轮齿的渐开线部分。
111 NNrrsKN b c o sc o s
2,避免根切的方法
① 提高啮合极限点 N1
◆ 加大压力角?
◆ 增加齿数 Z
② 降低刀具齿顶线
◆ 减小齿顶高系数 *
ah
◆ 正变位 x>0
MmhMN a*?1
211 s ins in rPNMN
mhmz a*s in22
2
2
s in
*
ahz?
不根切的最小齿数：
2
2
s in
*
m i n
ahz?
xmmahMN *1
通过正变位，使得：
xmmhmz a *s in?22
221 s in* zhx a
221 s in*m i n zhx a
不根切的最小变位系数：
§ 5-7 渐开线齿轮啮合传动计算一、一对渐开线齿轮的正确啮合条件
21 nn pp?
若能正确啮合，必须有：
即,21 bb pp?
2211 c o sc o s mm?
mmm 21
21
一对渐开线齿轮的正确啮合条件二、齿轮传动的啮合角?'──无侧隙啮合方程式一对齿轮的啮合情况标准齿轮啮合
● 中心距 )(
212
1 zzma
● 中心距 )(
212
1 zzma
● 中心距 )(
212
1 zzma
无侧隙啮合有侧隙啮合卡死机械设计中“侧隙”的处理方法孔的公称直径：
30?
轴的公称直径：
30?
040030, 030 05030,.
齿轮在设计中的参数均按无侧隙啮合计算，实际啮合的侧隙由公法线长度公差给定。
1e?
2s?
1s?
2e?
为保证无齿侧间隙啮合，应该有：
变位齿轮啮合
21 se
12 se
222111 pesesp
2121 ssppp
节圆周上的弧齿厚：
)(2 1
1
1
11 aarr
rss in vin v
)(2 2
2
2
22 aarr
rss in vin v
)c o s(c o sc o s kkb rrrrrr
2
2
1
1
11 2
1 zmr?
22 2
1 zmr?
mp
c o s
c o s
/
/
r
r
zr
zr
p
p
2
2
)t a n( 11 22 xms
)t a n( 22 22 xms
代入
2121 ssppp
t a n)(
21
212
zz
xxi nvi nv
三、中心距及中心距变动系数 y
c o s/c o s)(c o s/)( 212121 rrrrrra bb
变位齿轮传动的实际中心距为 a'
c o sc o s /)+(21= 21 zzma
当 00
21 xx,
时
)+(21= 21 zzma?
此时为标准齿轮传动，此中心矩称为标准中心距 a，即
)+(21= 21 zzma
变位齿轮传动时，其实际中心距与标准中心距不相等，即
aa
也就是说两齿轮的分度圆不相切
)c o sc o s( 1aymaa
ym为两齿轮的分度圆分离距离。或称中心距变动量，系数 y
称为中心距变动系数
121 21c o sc o s)( zzy
m
aay )(或这个系数在变位齿轮的尺寸计算中非常重要四、渐开线齿轮连续传动条件
1．重合度的基本概念
1B
观察轮齿的啮合过程实际啮合线与基圆齿距 Pb的比值称为重合度,用 ε表示：
121
bP
BB?
重合度 ε值越大，表明齿轮传动的连续性和平稳性越好，一般机械制造业中，齿轮传动的许用重合度
[ε]=1.3～ 1.4，即要求 ε≥[ε]。
2.重合度的计算
t a nt a nt a nt a n 22112 1 aa zz
bb P
PBPB
P
BB 2121
3,重合度的物理意义及影响因素物理意义影响重合度的因素
1)齿顶高系数 h*a
增大 h*a 可使实际啮合线加长,从而增大 ε。
t a nt a nt a nt a n 22112 1 aa zz
2)齿数 z1,z2
齿数增多，也可使实际啮合线加长，从而增大 ε
t a nt a nt a nt a n 22112 1 aa zz
当 z1一定,z2增至无穷多即变为齿条时，其重合度为：
c o ss i n/t a nt a n *aa hz 22 1 11
若设想将 z1,z2都增大成齿条时,则重合度 ε将趋向于某极限值 εmax
24 s in/*m a x ah?
当 h*a =1,?=20° 时
εmax=1.981
3） 啮合角?'
正传动的角度变位齿轮，其啮合角?'>?，亦即正传动齿轮随其变位系数 x1,x2和啮合角?'的增大而使重合度 ε减小，因此重合度就成为选择变位系数的一个限制条件。
ε将随啮合角?'的增大而减小。
当其它条件不变时，若增大安装的中心距会使啮合角?'
增大，重合度 ε减小。因而渐开线齿轮传动的可分性受到传动连续性的制约，必须保证 ε>1。
*五、渐开线齿轮传动的滑动系数六、变位齿轮传动的几何尺寸计算
§ 5-8 变位齿轮传动的类型、应用与变位系数的选择一、渐开线齿轮传动类型变位齿轮传动的特性与变位系数和 x?=(x1+x2)的大小及变位系数 x1,x2分配有关。根据 x?,x1,x2的数值，可把齿轮传动分为三种基本类型
1.标准齿轮传动（ x?=x1=x2 =0)
这是变位齿轮传动的特例，其啮合角等于分度圆压力 角?，中心距 a'等于标准中心距 a。为避免根切，要求
z>zmin。这类齿轮传动设计简单，使用方便，可以保持标准中心距，但小齿轮的齿根较弱，易磨损。
2.高度变位齿轮传动（ x?=x1+x2 =0,x1=－ x2)
又称为等移距变位齿轮传动 。 由于它与标准齿轮传动一样,x?=0,x1=－ x2,因此,?'=?,a'=a,y=0,Δy=0
这种齿轮传动与标准齿轮相比,其啮合角?'=?不变,仅仅齿顶高和齿根高发生了变化,即 ha1=(h*a+x1)m
hf1=(h*a+c*－ x1)m 故称之为高度变位齿轮传动 。
为避免根切,一般要求 z1+z2≥2zmin,
这时,小齿轮 z1可以小于 zmin而采用正变位,因而这类齿轮传动可以减小机构尺寸,并且还可以提高承载能力,改善磨损情况 。
3.角度变位齿轮传动（ x?=x1+x2≠0)
由于 x?=x1+x2≠0,因而其啮合角?'不再等于标准齿轮的啮合角?，故称为角度变位齿轮传动。它又可分为两种情况：
1)正传动,x? =x1+x2 > 0
由于 x1+x2>0,因此
'>?,a'> a,y> 0,Δy> 0
这种齿轮传动的两分度圆不再相切而是分离 ym。 为保证标准径向间隙和无侧隙啮合,其全齿高应比标准齿轮缩短 △ ym。
正传动的主要优点是：可以减小机构尺寸，减轻轮齿的磨损，提高承载能力，
还可以配凑并满足不同中心距的要求。
2)负传动,x?=x1+x2< 0
此时?'<?,a'< a,y< 0，但
Δy> 0；这种齿轮传动的两分度圆相交，它的主要优点是可以配凑不同的中心距，但是其承载能力和强度都有所下降。一般只在配凑中心距或在不得已的情况下，
才采用负传动。
二、变位齿轮的应用只要合理地选择变位系数,变位齿轮的承载能力可比标准齿轮提高 20％以上，而制造变位齿轮又不需要特殊的机床、刀具和工艺方法，因此，在齿轮传动设计中，应尽量扩大变位齿轮的应用。变位齿轮的应用主要在以下几个方面：
1.避免轮齿根切为使齿轮传动的结构紧凑，应尽量减少小齿轮的齿数，当
z<zmin时，可用正变位以避免根切。
2.配凑中心距变位齿轮传动设计中，当齿数 z1,z2一定的情况下，若改变变位系数 x1,x2值，可改变齿轮传动中心距，从而满足不同中心距的要求。
3.提高齿轮的承载能力当采用?'>?的正传动时，可以提高齿轮的接触强度和弯曲强度，
若适当选择变位系数 x1,x2，还能大幅度降低滑动系数，提高齿轮的耐磨损和抗胶合能力。
4.修复已磨损的旧齿轮齿轮传动中，一般小齿轮磨损较严重，大齿轮磨损较轻，若利用负变位修复磨损较轻的大齿轮齿面，重新配制一个正变位的小齿轮，就可以节省一个大齿轮的制造费用，还能改善其传动性能。
§ 5-9 斜齿圆柱齿轮传动斜齿圆柱齿轮传动直齿圆柱齿轮传动一、斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成端面的渐开线齿廓在基圆柱上作螺旋运动形成了斜齿轮的齿廓曲面斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成端面的渐开线齿廓在基圆柱上作螺旋运动形成了斜齿轮的齿廓曲面基圆柱上的螺旋角 βb为：
Ld bb /t a n
分度圆柱基圆柱
L
式中,L为螺旋线的导程，即为螺旋线绕基圆柱一周后上升的高度； db为基圆柱直径。
分度圆螺旋角 β为
Ld /t a n
dd bb /t a n/t a n
二、斜齿轮的基本参数如何经济的加工出斜齿轮？
● 滚齿滚切直齿轮剖面 轴线在滚刀轴剖面的分度线上刀刀 me?2
1?
在直齿轮的端截面上齿齿 ms?2
1?
刀齿 es?
刀齿 mm?
注意：滚刀的齿向要与齿轮的齿向一致为了使滚刀的齿向与齿轮的齿向一致，必须是滚刀相对于齿轮有一个倾斜角?
剖面滚切斜齿轮剖面轴线为了使滚刀的齿向与齿轮的齿向一致，必须是滚刀相对于齿轮有一个倾斜角?
剖面轴线
剖面在滚刀剖面的分度线上刀刀 me?2
1?
在齿轮的法剖面的分度圆上刀刀齿 mes n?2
1
ns齿
—— 称为齿轮的法面齿厚令
nn ms?2
1?
齿则刀mm n?
nm
—— 称为齿轮的法面模数
● 铣齿铣直齿铣斜齿
● 插齿
1,法面模数 mn与端面模数 mt
由于斜齿轮可以与斜齿条正确啮合，故可以通过斜齿条来研究其法面模数与端面模数间的关系。
np
tp
c o stn pp?
已知：
tt mp
令：
nn mp
则,?c o s
tn mm?
式中 β为斜齿条的倾斜角即为斜齿轮分度圆柱上的螺旋角。
在设计斜齿轮时，应该选 mn
为标准值还是 mt为标准值?
请思考
2,法面齿顶高系数 h*an与端面齿顶高系数 h*at
法面齿顶高与端面齿顶高是相同的
tatnana mhmhh **
则：
c o s/ *** antnanat hmmhh
同理,?c o s**
nt cc?
请思考在设计斜齿轮时，应该选,为标准值还是,为标准值?
*ath
*anh
*tc
*nc
np
tp
齿顶面分度面
3.法面压力角?n与端面压力角?t
c o sCAAC
hCBhhBC tn
hCAt /t a n
hACn /t a n
c o st a nt a n tn?
请思考在设计斜齿轮时，应该选为标准值还是 为标准值?
n? t?
4.法面变位系数 xn 与端面变位系数 xt
斜齿轮的变位距离不论是从法面看还是从端面看均应相同
ttnn mxmx?
c o snt xx?
5.分度圆柱螺旋角 与基圆柱螺旋角?
b?
斜齿轮的分度圆直径 zmd
t?
斜齿轮的基圆直径 ttb zmd?c o s?
tb c o st a nt a n?
请思考为什么分度圆柱的螺旋角与基圆柱的螺旋角不相等？
三、斜齿轮传动的几何尺寸计算计算斜齿轮的几何尺寸时，应先根据法面参数求出对应的端面参数，然后，在端面上计算斜齿轮的尺寸。
设计斜齿轮时，法面参数选标准值（主要是从加工考虑）
因为，变位斜齿轮比标准斜齿轮的承载能力提高不显著，
再者，斜齿轮传动中心距的配凑可以通过改变螺旋角?
来实现，而不需通过变位实现。
生产中变位斜齿轮较少应用四、斜齿轮的正确啮合条件
1.模数相等
2121 ttnn mmmm 或
2.压力角相等 2121 ttnn 或
3.螺旋角大小相等，外啮合时应旋向相反，
内啮合时应旋向相同
”号用于外啮合）”号用于内啮合，“, (21
右旋 左旋右旋五、斜齿轮传动的重合度
从端面看，斜齿轮的啮合与直齿轮完全一样，因此，用端面啮合角 和端面齿顶压力角?at1,?at2可求得斜齿轮的端面重合度,
t
tattat zz t a nt a nt a nt a n 22112 1
当一对轮齿在前端面啮合结束时，
在其齿宽上的其他截面内仍在啮合，这就形成了斜齿轮的轴面重合度
btbbt pBpL /t a n/
btbbt pBpL /t a n/
tb c o st a nt a n c o s/c o s tnbt mp?
nmB /s in?
斜齿轮传动的总重合度
ntattat mBzz /s i nt a nt a nt a nt a n 22112 1
齿宽 B 和螺旋角 β增大时都可使斜齿轮传动的重合度增大。
β增大后会使轴向力增大，造成轴承结构复杂化，因此,β角不宜过大斜齿轮, 158 ~
人字齿轮, 4015 ~
六、斜齿轮的法面齿形及当量齿数分度圆柱基圆柱
L
从理论上讲：
斜齿轮的端面齿廓是准确的渐开线齿廓斜齿轮的法面齿廓不是渐开线齿廓研究法面齿廓的意义：
● 铣齿加工时，要根据法面齿廓选择盘形刀具
● 强度计算时，齿面的受力是作用在法面上斜齿轮的法面齿廓形状很复杂，为了研究和应用方便，往往把法面齿廓近似地看作是一条渐开线。
法截面过斜齿轮分度圆柱螺旋线上的 P点一法面，该法面将分度圆柱剖开，
其剖面为一椭圆,P点附近的齿形可看作斜齿轮的法面齿形，椭圆的长半径 a和短半径 b分别为：
rbc o s/ra?
式中,r为斜齿轮的分度圆半径
zmr t21?
椭圆上节点 P处的曲率半径?为：
2
2
c o s
r
b
a
定义一个齿轮分度圆半径,?
模数：
nm
压力角：
n?
法截面这个齿轮的齿廓与斜齿轮的法面齿廓非常近似。
把这个齿轮叫做 当量齿轮把这个齿轮的齿数叫做当量齿数
322
22
c o sc o sc o s
z
m
zm
m
r
mz n
t
nn
v
在斜齿轮强度计算时，要用当量齿数 zv决定其齿形系数；在用仿形法加工斜齿轮时，也要用当量齿数来决定铣刀的号数。
一般情况下，当量齿数不是整数。
322
22
c o sc o sc o s
z
m
zm
m
r
mz n
t
nn
v
七、斜齿轮传动的优缺点
1.啮合性能好，承载能力大。
斜齿轮齿面接触线与其轴线不平行,传动时,轮齿一端先进入啮合,接触线逐渐增长,又逐渐缩短直至脱离啮合 。 而且啮合时,轮齿总刚度变化小,扭转振动小,故传动平稳,冲击和噪音小 。 另一方面由于重合度较大,总接触线长度大,
因而其承载能力也比直齿轮为高 。
2.结构尺寸紧凑。
因不根切的最少齿数 zmin＝ 2h*ancosβ／ sin2?t，故斜齿轮不根切的最少齿数比直齿轮少，可得到更为紧凑的结构尺寸。
3.有轴向力由于斜齿轮的轮齿倾斜 β角,产生轴向力,增大摩擦损失,
这是斜齿轮传动的主要缺点 。 为克服这一缺点,,人字齿轮,,以便抵消轴向力 。 当然,人字齿轮制造较麻烦 。
§ 5-11 蜗杆传动机构一、蜗杆、蜗轮的形成蜗杆传动是用来传递空间两交错轴间的运动和动力的，它由蜗杆和蜗轮组成。一般其轴交错角 ∑等于 90° 。
蜗杆上只有一条螺旋线，即端面上只有一个齿的蜗杆称为单头蜗杆。有两条螺旋线者，称为双头蜗杆，蜗杆螺纹的头数即是蜗杆齿数，用 z1表示，一般可取 z1=1～ 10，
推荐取 z1=1,2,4,6。
蜗杆与螺旋相似，有右旋和左旋之分，一般都用右旋蜗杆。
蜗杆螺旋齿的导程角（螺旋升角）
=90?－ β1。
蜗杆传动的传动比为：
1
2
2
1
z
z?
蜗杆的加工蜗杆多在车床上粗加工而后经磨制而成。
采用“对偶法”加工蜗轮轮齿，即是采用与蜗杆形状相同的滚刀（为加工出顶隙，蜗杆滚刀的外圆直径要略大于标准蜗杆外径），并保持蜗杆蜗轮啮合时的中心距与啮合传动关系去加工蜗轮。
蜗轮的加工法向剖面：凸形曲线齿廓三种常用圆柱蜗杆
1,阿基米德蜗杆这种蜗杆可在车床上加工不需要特殊设备，因此应用较为广泛。
缺点是传动效率低通常为 50~80%,蜗轮副齿部磨损较快，因此，一般用于不重要，载荷小，转速低的传动。
阿基米德蜗杆又称为轴向直廓蜗杆端面齿廓：阿基米德螺旋线轴向剖面：直线齿廓端截面轴截面车刀法截面轴截面
a?
va?
v
o
p
A
B
点 A沿射线 OB作匀速运动，射线
OB作匀速转动，
此时，点 A的轨迹为阿基米德螺旋线。
阿基米德螺旋线端截面轴截面车刀
2,延伸渐开线蜗杆延长渐开线和渐开线蜗杆一样，可以用砂轮端面来加工，也就可能制造更精密的啮合和耐磨的蜗轮副，传动效率也高，
而加工过程比渐开线蜗杆简单，滚齿机，磨齿机上的精密蜗轮副一股都采用这种蜗秆。
端面齿廓：延伸渐开线轴向剖面：凸形曲线齿廓法向剖面：直齿廓延伸渐开线蜗杆又称为法向直廓蜗杆端截面轴截面法截面车刀延伸渐开线又称为长幅渐开线延伸渐开线
A
C
BO
线段 AC与 BC固联,AC与圆 O
相切，并且在圆 O上作纯滚动，
此时，点 B的轨迹称为延伸渐开线。
这种蜗杆传动效率可高达
90%，但加工过程复杂，制造成本高。这种蜗杆一般少见，通常应用在载荷大，转速高的场合。
3,渐开线蜗杆端面齿廓：渐开线轴向剖面：凸形曲线齿廓法向剖面：凸形曲线齿廓与基圆柱相切的剖面：直线齿廓车刀端截面轴截面与基圆柱相切的剖面二、蜗杆蜗轮的正确啮合条件过蜗杆轴线并垂直于蜗轮轴线的平面称为蜗杆传动的中间平面。
在中间平面内蜗轮与蜗杆的啮合就相当于齿轮与齿条啮合，因此蜗杆蜗轮的正确啮合条件为：
12
12
12
xt
xt mmm
在中间平面内其模数和压力角应分别相等。
三、蜗杆传动的基本参数圆柱蜗杆的基本齿廓由 GB10087-88作出规定,其基本参数有：
1,模数 m和压力角?
蜗杆的轴面模数 mx1和蜗轮的端面模数 mt2应相等,均应取标准值，以 m表示。
m d
1
m d
1
m d
1
m d
1
1 18 (2 8 ) (6 3 ) (1 1 2 )
20 3 5,5 80 140
(4 5 ) (1 0 0 ) (1 8 0 )1,2 5
2,4
3,1 5
56
8
140
16
250
(3 1,5 ) (7 1 ) (1 4 0 )
20
40 90 160
(5 0 ) (1 1 2 ) (2 2 4 )
1,6
28
4
71
10
160
20
(3 1 5 )
(1 8 ) (4 0 )
2 2,4 50
(9 0 ) (1 8 0 )
(2 8 ) (6 3 )
2
3 5,5
5
90
112 200
(2 2,4 ) (5 0 )
28 63
(1 4 0 ) (2 8 0 )
(3 5,5 ) (8 0 )
2,5
45
6,3
112
1 2,5
200
25
400
压力角?也应取标准值延伸渐开线蜗杆渐开线蜗杆阿基米德蜗杆取轴向压力角为标准值：
20?x?
20?n?
取法向压力角为标准值：
2,齿顶高系数 h*a和径向间隙系数 c*
一般采用 h*a=1,c*=0.2
3,蜗杆头数 z1、蜗轮齿数 z2与传动比 i12
1
2
2
1
12 z
zi
为获得大传动比 i12,应采用单头蜗杆,即 z1=1,但其传动效率低 。 为了提高效率应增加蜗杆的头数,但这又会造成蜗杆加工的困难 。 一般取 z1=1,2,4,6。 动力传动中,为提高效率,
常用多头蜗杆 。 单头蜗杆传动不仅可以得到大传动比 i12,而且其传动具有自锁性,常用于起重装置中 。
蜗杆头数 z1确定后,按传动比 i12的大小确定蜗轮齿数 z2，
z2=i12z1。 当 z1=1时,要求蜗轮齿数 z2≥17；当 z1=2时,要求
z2>27；一般动力传动中,z2<80。
4,蜗杆直径 d1与蜗杆导程角?
1
1
1
11
1 d
mz
d
Pz
d
l x
t a n
设蜗杆的分度圆直径为 d1，螺旋导程为 l，轴向齿距（螺距）
为,导程角为?，则有：
1xp
ta n
1
1
zmd?
蜗杆的分度圆直径为 d1必须按国家标准取值。
当 m一定时，增大 d1值，可以提高蜗杆轴的强度和刚度。
增大?值，可提高蜗杆传动的效率。对于要求高效率的传动，
常采用?=15° ~30°,此时应采用多头蜗杆，即取 z1>1。
当要求蜗杆传动具有自锁性能时，应取?≤3?30'。此时应取
z1=1。
四、蜗杆传动的几何尺寸计算蜗轮分度圆直径 d2
22 zmd?
蜗杆、蜗轮的齿顶高、齿根高、齿顶圆直径和齿根圆直径等尺寸，可参照圆柱齿轮相应公式计算，必须注意蜗杆传动的
c*=0.2。
蜗杆蜗轮的齿顶圆直径
mxhmzhdd
mhdhdd
aaa
aaa
)( *
*
22
22
2222
1111
式中,x为蜗轮的变位系数蜗杆传动的中心距 a
xzqmxmaaaa 2?
)( 2121 dda
（无变位）
m
dq 1?
五、蜗杆传动的优缺点优点：
1,可实现空间交错轴间的很大传动比,其结构比交错轴斜齿轮机构紧凑 。 一般传动比可达,i12=10～ 80,在一些手动或分度机构中,i12可大于 300。
2,蜗杆传动为线接触,传动平稳,噪音小 。
3,当蜗杆导程角?很小时,传动具有自锁性,即只能由蜗杆带动蜗轮,而蜗轮不能带动蜗杆,故它常用于起重或其它需要自锁的场合 。
缺点：
1,机械效率较低,一般效率 η=0.7～ 0.8,具有自锁性的蜗杆传动的效率 η≤0.5。
2,齿面的螺旋线方向有很大的滑动速度,易引起发热和磨损,
常用贵重的耐磨材料 (如青铜合金 )作蜗轮,而且还要有良好的润滑和散热条件 。
3,蜗杆的导程角小,故其螺旋角大,因此所受轴向力大,故其轴承结构也较复杂 。
