上页 下页 铃结束返回首页
§ 3.5 微 分一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分法则四、微分在近似计算中的应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、微分的定义
Dx
Dx
x
x y=x2
2xDx
(Dx)2
设有一个边长为 x的正方形? 其面积为 S? 显然 S=x2? 如果边长 x取得一个改 Dx?则面积 S也取得改变量
DS=(x?Dx)2?(x)2=2xDx?(Dx)2?
当 Dx?0时? (Dx)2是比 Dx高阶的无穷小量?即 (Dx)2=o(Dx)?
2xDx是 Dx的线性函数? 当 Dx
很小时? 可以用 2xDx近似地代替
DS? 其误差 DS?2xDx是一个比 Dx
高阶的无穷小量?
我们把 2xDx叫作正方形面积
S的微分?记作 dS=2xDx?
下页上页 下页 铃结束返回首页定义 3?3(函数的微分 )
对于自变量在点 x处的改变量 Dx? 如果函数 y=f(x)的相应改变量 Dy可以表示为
Dy=ADx?o(Dx) (Dx?0)?
其中 A与 Dx无关? 则称函数 y=f(x)在点 x处可微? 并称 ADx为函数
y=f(x)在点 x处的微分?记作 dy或 df(x)?即
dy=df(x)=ADx?
微分是自变量的改变量 Dx的线性函数? 通常称为函数改变量 Dy的线性主部?
当 Dx?0时? 微分与函数的改变量 Dy的差是一个比 Dx高阶的无穷小量 o(Dx)?
说明下页上页 下页 铃结束返回首页定义 3?3(函数的微分 )
对于自变量在点 x处的改变量 Dx? 如果函数 y=f(x)的相应改变量 Dy可以表示为
Dy=ADx?o(Dx) (Dx?0)?
其中 A与 Dx无关? 则称函数 y=f(x)在点 x处可微? 并称 ADx为函数
y=f(x)在点 x处的微分?记作 dy或 df(x)?即
dy=df(x)=ADx?
微分 dy=ADx与函数改变量 Dy是等价无穷小量?
说明
1)(l i ml i m 00 =D D?D=D?D?D xA xoxAdy y xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数可微的条件函数 f(x)在点 x可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x可导?
且当函数 f(x)在点 x可微时?其微分一定是
dy=f?(x)Dx?
简要证明? 一方面
AxfxyxxoAxyxoxAy x =?=DD?DD?=DD?D?D=D?D )(lim)()( 00?
另一方面
xxxfyxfxyxfxyx D?D?=D=DD=DD?D )()()(lim 0000?
xfxyxxoAxyxoxAy x?=DD?DD?=DD?D?D=D?D )(lim)()( 00 AxfxyxxoAxyxoxAy x =?=DD?DD?=DD?D?D=D?D )(lim)()( 00?
xxxfyfxyxfxyx D?D?=D=DD=DD?D )()(lim 000? xxxfyxfxyxfxyx D?D?D=DD=DD?D )()()(l i m 0000?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数可微的条件函数 f(x)在点 x可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x可导?
且当函数 f(x)在点 x可微时?其微分一定是
dy=f?(x)Dx?
自变量的微分?
如果将自变量 x当作自已的函数 y=x?则得
dy=x?Dx=Dx?
因此 dx=Dx?
即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之乘积?
dy=f?(x)dx?
于是函数 y=f(x)的微分又可记作导 数 )( xfdxdy?= 是 函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1? 求函数 y=x 2当 x由 1改变到 1?01时的微分?
函数的微分为
dy=(x2)?dx
当 x=1?dx=0?01时
dy=2?1?0?01=0?02?
=2xdx?
解?
例 2? 求函数 y=ln x的微分?
解? dxxdxxdy 1)(ln =?=? 解? dxxdxxdy 1)(ln =?=
首页上页 下页 铃结束返回首页二、微分的几何意义当 |Dx|很小时? |Dy?dy|比
|Dx|小得多?
因此? 在点 M的邻近?我们可以用切线段来近似代替曲线段?
Dy是曲线上点的纵坐标的增量?
dy是过点 (x0?f(x0))的切线上点的纵坐标的增量?
当 x从 x0变到 x0?Dx时?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、微分法则
d(xm)=mxm?1dx
d(sin x)=cos xdx
d(cos x)=?sin xdx
d(tan x)=sec2xdx
d(cot x)=?csc2xdx
d(sec x)=sec x tan xdx
d(csc x)=?csc x cot xdx
d(a x)=ax ln adx
d(e x)=exdx
微分公式?
(xm)?=mxm?1
(sin x)?=cos x
(cos x)?=?sin x
(tan x)?=sec2 x
(cot x)?=?csc2x
(sec x)?=sec x tan x
(csc x)?=?csc x cot x
(a x)?=ax ln a
(e x)=ex
导数公式?
1? 基本初等函数的微分公式下页上页 下页 铃结束返回首页
dxaxxd a ln1)( lo g =
dxxxd 1)( ln =
dxxxd 21 1)( a r c s i n?=
dxxxd 21 1)( a r c c o s=
dxxxd 21 1)( a r c ta n?=
dxxxd 21 1)c o ta r c(=
微分公式?
axxa ln
1)( lo g =?
xx
1)(ln =?
21
1)( a r c s in
xx?=?
21
1)( a r c c o s
xx=?
21
1)( a r c ta n
xx?=?
21
1)c o ta r c(
xx=?
导数公式?
下页上页 下页 铃结束返回首页
2? 函数和、差、积、商的微分法则公式 d(u?v)=vdu?udv 的证明?
因为
d(uv)=(u?v?uv?)dx=u?vdx?uv?dx?
而 u?dx=du? v?dx=dv?
所以 d(uv)=vdu?udv?
(u?v)?=uv?
(Cu)?=Cu?
(u?v)?=u?v?uv?
)0()( 2=? vv vuvuvu
求导法则
d(u?v)=du?dv
d(Cu)=Cdu
d(u?v)=vdu?udv
)0()( 2= vdxv u d vv d uvud
微分法则下页上页 下页 铃结束返回首页复合函数的微分法则设 y=f(u)及 u=?(x)都可导?则复合函数 y=f[?(x)]的微分为
dy=f?(u)du?或 dy=y?udu?
所以? 复合函数 y=f[?(x)]的微分公式也可以写成
dy=y?x dx证? 于由
(x)dx=du?
=f?(u)(x)dx?
dy=f?(u)du或 dy=y?udu?
下页上页 下页 铃结束返回首页复合函数的微分法则设 y=f(u)及 u=?(x)都可导?则复合函数 y=f[?(x)]的微分为
dy=f?(u)du?或 dy=y?udu?
微分形式不变性?
由复合函数的微分法则可见?无论 u是自变量还是另一个变量的可微函数?微分形式
dy=f?(u)du
保持不变?这一性质称为微分形式不变性?这性质表示? 当变换自变量时?微分形式 dy=f?(u)du并不改变?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 3? 设 2bxaxey?=? 求 dy?
利用 dy=y?dx得
dxedy bxax )( 2?=?
dxbxaxe bxax )( 22=?
dxebxa bxax 2)2(=?
解?
例 4? y=sin(2x?1)?求 dy?
把 2x?1看成中间变量 u?则
dy=d(sin u)
=cos(2x?1)2dx
=cos(2x?1)d(2x?1)=cos udu
=2cos(2x?1)dx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 5? )1l n ( 2xey?=? 求 dy?
解? )1(1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy=?=
xeexdee xxxx 21)(1 1 2
2
2
2
2?
=?=
dxexe xx 2
2
1
2
=?
解? )1(1 1)1ln ( 22 xx eeeddy=?=
xexdee xxxx 21)(1 1 2
2
2
2
2?
=?=
首页上页 下页 铃结束返回首页四、微分在近似计算中的应用如果函数 y=f(x)在点 x处导数 f?(x)?0? 那么当 Dx?0时? 函数微分 dy为函数改变量 Dy的线性主部? 因此? 当 |Dx|很小时? 忽略高阶无穷小量?可用 dy作为 Dy的近似值?即
Dy?dy=f?(x)Dx?
因为 Dy=f(x?Dx)?f(x)?
所以 f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
也就是 f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
近似公式下页上页 下页 铃结束返回首页
Dy=f(x?Dx)?f(x)?dy=f?(x)Dx? f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
近似公式解?
例 6? 一个外直径为 10 厘米的球? 球壳厚度为 16 1 厘米?
试求球壳体积的近似值?
半径为 r的球体积为
3 34)( rrfV?==?
球壳体积为 DV?用 dV作为其近似值
63.19)161(54 4)( 22==?= drrdrrfdV?
所求球壳体积为 |DV|的近似值 |dV|为 19?63立方厘米?
63.19)161(54 4)( 22==?= drrdrrfdV? 63.19)161(54 4)( 22==?= drrdrrfdV?
下页上页 下页 铃结束返回首页
Dy=f(x?Dx)?f(x)?dy=f?(x)Dx? f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
近似公式解?
例 7? 求 3 02.1 的近似值?
解? 将问题看作求函数 3)( xxf = 在点 x = 1? 02 处的函数值的近似值问题?
xxxxxfxfxxf D?=DD? 3 23 3 1)( )()(?
令 x=1?Dx=0?02?便有
0 0 6 7.102.013 1102.1 3 233
xxxxxfxfxxf D?=DD? 3 23 3 1( )()(? xxxxxfxfxxf D?=DD? 3 23 3 1)( )()(?
0 0 6 7.102.013 1102.1 3 233 0 0 6 7.102.013 1102.1 3 233
结束
§ 3.5 微 分一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分法则四、微分在近似计算中的应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、微分的定义
Dx
Dx
x
x y=x2
2xDx
(Dx)2
设有一个边长为 x的正方形? 其面积为 S? 显然 S=x2? 如果边长 x取得一个改 Dx?则面积 S也取得改变量
DS=(x?Dx)2?(x)2=2xDx?(Dx)2?
当 Dx?0时? (Dx)2是比 Dx高阶的无穷小量?即 (Dx)2=o(Dx)?
2xDx是 Dx的线性函数? 当 Dx
很小时? 可以用 2xDx近似地代替
DS? 其误差 DS?2xDx是一个比 Dx
高阶的无穷小量?
我们把 2xDx叫作正方形面积
S的微分?记作 dS=2xDx?
下页上页 下页 铃结束返回首页定义 3?3(函数的微分 )
对于自变量在点 x处的改变量 Dx? 如果函数 y=f(x)的相应改变量 Dy可以表示为
Dy=ADx?o(Dx) (Dx?0)?
其中 A与 Dx无关? 则称函数 y=f(x)在点 x处可微? 并称 ADx为函数
y=f(x)在点 x处的微分?记作 dy或 df(x)?即
dy=df(x)=ADx?
微分是自变量的改变量 Dx的线性函数? 通常称为函数改变量 Dy的线性主部?
当 Dx?0时? 微分与函数的改变量 Dy的差是一个比 Dx高阶的无穷小量 o(Dx)?
说明下页上页 下页 铃结束返回首页定义 3?3(函数的微分 )
对于自变量在点 x处的改变量 Dx? 如果函数 y=f(x)的相应改变量 Dy可以表示为
Dy=ADx?o(Dx) (Dx?0)?
其中 A与 Dx无关? 则称函数 y=f(x)在点 x处可微? 并称 ADx为函数
y=f(x)在点 x处的微分?记作 dy或 df(x)?即
dy=df(x)=ADx?
微分 dy=ADx与函数改变量 Dy是等价无穷小量?
说明
1)(l i ml i m 00 =D D?D=D?D?D xA xoxAdy y xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数可微的条件函数 f(x)在点 x可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x可导?
且当函数 f(x)在点 x可微时?其微分一定是
dy=f?(x)Dx?
简要证明? 一方面
AxfxyxxoAxyxoxAy x =?=DD?DD?=DD?D?D=D?D )(lim)()( 00?
另一方面
xxxfyxfxyxfxyx D?D?=D=DD=DD?D )()()(lim 0000?
xfxyxxoAxyxoxAy x?=DD?DD?=DD?D?D=D?D )(lim)()( 00 AxfxyxxoAxyxoxAy x =?=DD?DD?=DD?D?D=D?D )(lim)()( 00?
xxxfyfxyxfxyx D?D?=D=DD=DD?D )()(lim 000? xxxfyxfxyxfxyx D?D?D=DD=DD?D )()()(l i m 0000?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数可微的条件函数 f(x)在点 x可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x可导?
且当函数 f(x)在点 x可微时?其微分一定是
dy=f?(x)Dx?
自变量的微分?
如果将自变量 x当作自已的函数 y=x?则得
dy=x?Dx=Dx?
因此 dx=Dx?
即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之乘积?
dy=f?(x)dx?
于是函数 y=f(x)的微分又可记作导 数 )( xfdxdy?= 是 函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1? 求函数 y=x 2当 x由 1改变到 1?01时的微分?
函数的微分为
dy=(x2)?dx
当 x=1?dx=0?01时
dy=2?1?0?01=0?02?
=2xdx?
解?
例 2? 求函数 y=ln x的微分?
解? dxxdxxdy 1)(ln =?=? 解? dxxdxxdy 1)(ln =?=
首页上页 下页 铃结束返回首页二、微分的几何意义当 |Dx|很小时? |Dy?dy|比
|Dx|小得多?
因此? 在点 M的邻近?我们可以用切线段来近似代替曲线段?
Dy是曲线上点的纵坐标的增量?
dy是过点 (x0?f(x0))的切线上点的纵坐标的增量?
当 x从 x0变到 x0?Dx时?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、微分法则
d(xm)=mxm?1dx
d(sin x)=cos xdx
d(cos x)=?sin xdx
d(tan x)=sec2xdx
d(cot x)=?csc2xdx
d(sec x)=sec x tan xdx
d(csc x)=?csc x cot xdx
d(a x)=ax ln adx
d(e x)=exdx
微分公式?
(xm)?=mxm?1
(sin x)?=cos x
(cos x)?=?sin x
(tan x)?=sec2 x
(cot x)?=?csc2x
(sec x)?=sec x tan x
(csc x)?=?csc x cot x
(a x)?=ax ln a
(e x)=ex
导数公式?
1? 基本初等函数的微分公式下页上页 下页 铃结束返回首页
dxaxxd a ln1)( lo g =
dxxxd 1)( ln =
dxxxd 21 1)( a r c s i n?=
dxxxd 21 1)( a r c c o s=
dxxxd 21 1)( a r c ta n?=
dxxxd 21 1)c o ta r c(=
微分公式?
axxa ln
1)( lo g =?
xx
1)(ln =?
21
1)( a r c s in
xx?=?
21
1)( a r c c o s
xx=?
21
1)( a r c ta n
xx?=?
21
1)c o ta r c(
xx=?
导数公式?
下页上页 下页 铃结束返回首页
2? 函数和、差、积、商的微分法则公式 d(u?v)=vdu?udv 的证明?
因为
d(uv)=(u?v?uv?)dx=u?vdx?uv?dx?
而 u?dx=du? v?dx=dv?
所以 d(uv)=vdu?udv?
(u?v)?=uv?
(Cu)?=Cu?
(u?v)?=u?v?uv?
)0()( 2=? vv vuvuvu
求导法则
d(u?v)=du?dv
d(Cu)=Cdu
d(u?v)=vdu?udv
)0()( 2= vdxv u d vv d uvud
微分法则下页上页 下页 铃结束返回首页复合函数的微分法则设 y=f(u)及 u=?(x)都可导?则复合函数 y=f[?(x)]的微分为
dy=f?(u)du?或 dy=y?udu?
所以? 复合函数 y=f[?(x)]的微分公式也可以写成
dy=y?x dx证? 于由
(x)dx=du?
=f?(u)(x)dx?
dy=f?(u)du或 dy=y?udu?
下页上页 下页 铃结束返回首页复合函数的微分法则设 y=f(u)及 u=?(x)都可导?则复合函数 y=f[?(x)]的微分为
dy=f?(u)du?或 dy=y?udu?
微分形式不变性?
由复合函数的微分法则可见?无论 u是自变量还是另一个变量的可微函数?微分形式
dy=f?(u)du
保持不变?这一性质称为微分形式不变性?这性质表示? 当变换自变量时?微分形式 dy=f?(u)du并不改变?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 3? 设 2bxaxey?=? 求 dy?
利用 dy=y?dx得
dxedy bxax )( 2?=?
dxbxaxe bxax )( 22=?
dxebxa bxax 2)2(=?
解?
例 4? y=sin(2x?1)?求 dy?
把 2x?1看成中间变量 u?则
dy=d(sin u)
=cos(2x?1)2dx
=cos(2x?1)d(2x?1)=cos udu
=2cos(2x?1)dx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 5? )1l n ( 2xey?=? 求 dy?
解? )1(1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy=?=
xeexdee xxxx 21)(1 1 2
2
2
2
2?
=?=
dxexe xx 2
2
1
2
=?
解? )1(1 1)1ln ( 22 xx eeeddy=?=
xexdee xxxx 21)(1 1 2
2
2
2
2?
=?=
首页上页 下页 铃结束返回首页四、微分在近似计算中的应用如果函数 y=f(x)在点 x处导数 f?(x)?0? 那么当 Dx?0时? 函数微分 dy为函数改变量 Dy的线性主部? 因此? 当 |Dx|很小时? 忽略高阶无穷小量?可用 dy作为 Dy的近似值?即
Dy?dy=f?(x)Dx?
因为 Dy=f(x?Dx)?f(x)?
所以 f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
也就是 f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
近似公式下页上页 下页 铃结束返回首页
Dy=f(x?Dx)?f(x)?dy=f?(x)Dx? f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
近似公式解?
例 6? 一个外直径为 10 厘米的球? 球壳厚度为 16 1 厘米?
试求球壳体积的近似值?
半径为 r的球体积为
3 34)( rrfV?==?
球壳体积为 DV?用 dV作为其近似值
63.19)161(54 4)( 22==?= drrdrrfdV?
所求球壳体积为 |DV|的近似值 |dV|为 19?63立方厘米?
63.19)161(54 4)( 22==?= drrdrrfdV? 63.19)161(54 4)( 22==?= drrdrrfdV?
下页上页 下页 铃结束返回首页
Dy=f(x?Dx)?f(x)?dy=f?(x)Dx? f(x?Dx)?f(x)?f?(x)Dx?
近似公式解?
例 7? 求 3 02.1 的近似值?
解? 将问题看作求函数 3)( xxf = 在点 x = 1? 02 处的函数值的近似值问题?
xxxxxfxfxxf D?=DD? 3 23 3 1)( )()(?
令 x=1?Dx=0?02?便有
0 0 6 7.102.013 1102.1 3 233
xxxxxfxfxxf D?=DD? 3 23 3 1( )()(? xxxxxfxfxxf D?=DD? 3 23 3 1)( )()(?
0 0 6 7.102.013 1102.1 3 233 0 0 6 7.102.013 1102.1 3 233
结束
