2002~2003第一学期建筑力学课程电子教案主要内容第七章 平面体系的几何组成分析 第十三章 静定结构的位移计算第八章 静定结构的内力分析 第十四章 用力法计算超静定结构第九章 梁的应力 第十五章 位移法和力矩分配法第十章 梁的变形 第十六章 影响线及其应用第十一章 杆件在组合变形下的强度计算 附录 1 平面图形的几何性质第十二章 压杆稳定第七章 平面体系的几何组成分析实际工程结构中,杆件结 构是由 若干杆件互相连接所组成 的 体 系,并 与 基 础 连 接 成 整 体,本 章 的 目 的 就 是 要 判 断 体 系的 几 何 不 变 性,只 有 几 何 不 变 体 系 才 能 作 为 结 构 来 用 。 同 时 也要 为 区 分 静 定 结 构 和 超 静 定 结 构 以 及 进 行 结 构 的 内 力 计 算 打下必要的基础。
7.1 基本概念
1.几何不变体系：不考虑材料的变形，在任意荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系。
2,几何可变体系：不考虑材料的变形，在微小荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系。
3,刚片：刚片为平面体系中不考虑材料本身变形的几何不变部分。
如一根梁、一根连杆、一个铰结三角形等。
4.自由度：体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标数。
5.约束：限制体系运动的装置。约束的类型有连杆、单铰、复铰、
支杆。
6.瞬变体系：在某一瞬时可以产生微小运动的体系，由几何不变体系转变为几何可变体系，在荷载作用下，其内力趋于无限大，所以，在工程实际中不能作为结构来用。
7.1 基本概念
7,瞬铰 ( 虚铰 ),用 两 根 不 共 线 的 连 杆 联 结 两 个 刚 片 时,其 作 用 相 当 于 一 个铰。该个位于两杆交点的铰的作用。
8,单铰：联结两个刚片的铰，一个单铰相当于两个约束。
9,复 铰,联 结 两 个 以 上 刚 片 的 铰 。联 结 n 个 刚 片 的 复 铰 相 当 于 n - 1 个 单 铰 。
10,多余约束：不能使体系自由度减少的约束。
11,静 定 结 构,从 几 何 组 成 分 析 来 讲,体 系 为 无 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体 系 ；
从 静 力 分 析 来 讲,结 构 的 反 力 和 内 力 都 由 静 力 平 衡 条 件 即 可 求 得 且 为 确 定值，这类结构称为静定结构。
12,超 静 定 结 构,从 几 何 组 成 分 析 来 讲,体 系 为 有 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体系； 从 静 力 分 析 来 讲,结 构 的 反 力 和 内 力 不 能 由 静 力 平 衡 条 件 全 部 求 出 需运用其他条件才能求出所有反力和内力，这类结构称为超静定结构。
7.2 几何组成分析要点
1,几何不变体系的组成规则两刚片规则,两个刚片用不交于一点也不相互平行的三根链杆相联或用一个铰和不通过此铰的一根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。否则就是瞬变体系或常变体系。
三刚片规则,三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，组成无多余约束的几何不变体系。否则就是瞬变体系。
二元体规则,一个刚片和一个点用不在同一直线上的两根链杆联，
组成无多余约束的几何不变体系。
2,当上部体系与基础由三根支座连杆相 联时,可先撤去这些支杆,分析上部几何不变性。
3,对易于观察出的几何不变部分可通过增加二元体组装扩大 为组合刚片或通过撤去二元体的方法简化分析。
4,可通过等效代换的方法方法简化分析 ( 直杆约束代替折杆约束,铰约束代替两连杆约束 ) 。
7.3 举例例 7 - 1 试分析图示体系的几何组成 。
解 将 ABC 和 GHJ 分别合成刚片 I,II,然后依次增加二元体组成刚片
A D C B F,J H D F G,此 两 刚 片 由 铰 F 和链杆 CD 相联组成一大刚片 III,再 与基础由 三支杆相联组成几何不变体系且无多余约束。
7.4 注意点
几何不变体系的基本组成规则可用于分析常见的大体系对于较为复杂的体系，有时需用 其他 方法，如零载法等，
此不做教学内容。
作 组 成 分 析 时,体 系 中 的 每 一 部 分 或 约 束 都 不 可 以 遗 漏 或重复使用。
对于同一体系，可有多种分析途径，但结论是一致的。
只有几何不变体系才能做为结构来用。
7.5 重点和难点
记住几何不变体系的三个几何组成规则，
灵活运用其来分析体系的几何不变性。
体系分无多余约束的几何不变体系；有多余约束的几何不变体系；几何可变体系 (包括常变体系和瞬变体系 )。
7.6 基本要求
理解上面提到的几个概念，记住几何不变体系的组成规则，会分析体系的几何不变性并指出有无多余约束，若有，有几个。
掌握静定结构和超静定结构的概念。
7.7 本章学时分配表授课章节 总学时学时分配授课内容
2
§ 7 - 1 几 何 组 成 分 析 的 目 的
( 已讲 )
§ 7 - 2 组 成 几 何 不 变 体 系 的基本规则
§ 7 - 3 体 系 几 何 组 成 分 析 的举例第七章 平面体系的几何组成分析
3
1
§ 7 - 3 续
§ 7 - 4 静定结构和超静定结构进第八章 静定结构的内力分析静定结构的反力和内力用静力平衡条件就可唯一求出。 因 此,静 定 结 构 内 力 的 分 析 方 法 主 要 是 选 取 脱 离 体,
应 用 平 衡 条 件 计 算 支 座 反 力 和 内 力 。 静 定 结 构 在 实 际 工程中得到广泛应用,又是超静定 结构 分析的基础。 因此，
熟 练 掌 握 静 定 结 构 的 受 力 分 析 方 法,了 解 其 力 学 性 能,
对结构设计或选择 结构形式时 的定 性分析是极其重要的。 本 章 主 要 讨 论 静 定 梁,刚 架,拱,桁 架 和 组 合 结 构的内力。
8.1 基本概念 (1)
1,静定结构的基本特性
( 1 ) 静定结构和超静定结构都是几何不变体系，二者的主要差别是：在几何 构 造 方 面,静 定 结 构 无 多 余 约 束,而 超 静 定 结 构 则 具 有 多 余 约 束 ； 在 静力 方 面,静 定 结 构 的 全 部 内 力 和 支 座 反 力 由 平 衡 条 件 就 能 确 定,且 解 答 是唯 一 的,而 超 静 定 结 构 则 不 能,必 须 借 助 变 形 条 件 才 能 求 得 全 部 反 力 和 内力。
( 2 ) 静定结构的反力和内力与结构所用材料的性质、截面的大小和形状都没有关系。
( 3 ) 静定结构在温度变化,支座移动,材料伸缩和制造误差等因素影响 下，
都不产生反力和内力。
( 4 ) 如果一组平衡力系作用在静定结构上某一几何不变部分,则只有该部分产生内力外，其余部分不会产生内力。
8.1 基本概念 (2)
2,杆系结构的分类
( 1 ) 按 空 间 观 点,结 构 可 分 为 平 面 结 构 和 空 间 结 构 。 组 成 结 构 的 所 有 杆 件 的 轴 线 和 作 用 在 结 构 上 的 荷载 都 在 同 一 平 面 内,则 此 结 构 称 为 平 面 结 构 ； 反 之 如 果 组 成 结 构 的 所 有 杆 件 的 轴 线 或 荷 载 不 在 同 一平 面 内 的 结 构 称 为 空 间 结 构 。 实 际 工 程 中 结 构 都 是 空 间 结 构,但 大 多 数 结 构 在 设 计 中 是 被 分 解 为 平面结构来计算的。不过在有些情况下，必须考虑结构的空间作用。
( 2 ) 按 照 几 何 观 点,结 构 可 分 为 杆 件 结 构,薄 壁 结 构,实 体 结 构 。 杆 件 的 几 何 特 征 是 杆 件 的 长 度 远 远大于某截面的宽度和厚度，杆件结构便是由细长的 杆 件 或 若 干 根 细 长 的 杆 件 所 组成的结构，或称杆系结构；薄壁结构是厚度远远小于其他两个尺度的 结 构 ； 实 体 结 构 是 指 三 个 方 向 的 尺 度 大 约 为 同 量级的结构 。
( 3 ) 本书只研究平面杆系结构,常见的形式有下列几种
①静定梁：梁是一种常见的结构,其轴线常为直线，是受弯杆件，有单跨梁和多跨梁的形式。
单跨梁：由单根杆与基础组成的静定梁。
多 跨 梁,若 干 根 梁 由 中 间 铰 两 两 相 联,然 后 与 基 础 组 成 的 静 定 结 构,分 析 时 要 找 出 哪 是 基 本 部 分？
哪 是 附 属 部 分? 几 何 组 成 分 析 是 从 基 本 部 分 开 始 后 附 属 部 分,而 内 力 计 算 是 先 从 附 属 部 分 开 始 后 基本部分。
8.1 基本概念 (3)
②静定刚架：由直杆组成，各杆主要受弯曲变形，结点大多是刚性 结 点,也 可 以 有 部 分 铰 结 点 的 静 定结构，在刚结点处各杆之间的夹角不因任何原因而有所改变，这是刚架的特点之一。
③静定桁架：由直杆组成，结点全部假设为理想铰结点，荷载作用 在 结 点 上,各 杆 只 产 生 轴 力 的 静 定结 构,桁 架 杆 有 上 弦 杆,下 弦 杆,竖 杆 和 斜 杆 。 这 种 结 构 形 式 在 桥 梁 和 房 屋 建 筑 中 应 用 也 是 较 广 泛 的 。
④ 组 合 结 构,一 部 分 是 桁 架 杆 件,只 产 生 轴 力,另 一 部 分 是 梁 或 刚 架 杆 件,即 受 弯 杆 件,任 一 截 面 有 三个内力分量。由这两部分杆件组成的结构便是组合结构。
⑤拱：杆轴为曲线且在竖向荷 载作用下能产生水平推力的结构。在 一 定 条 件 下 可 以 使 拱 以 压 缩 变 形 为处，使拱的各截面主要产生轴力。
拱各部分的名称：拱轴线 — 拱身各横截面形心的连线。
拱顶 ---- 拱结构的最高一点。
拱趾 ( 拱脚 ) ---- 拱的两端与支座连接处。
跨度 ---- 两个拱脚之间的水平距离。
拱高 ---- 拱顶到拱脚连线的竖向距离。
矢跨比 ---- 拱高与跨度之比。
⑥三铰拱：两曲杆与基础由不在同一直线上 的三个铰两两相联组成 的
8.1 基本概念 (4)
3,平面弯曲的概念,在外力作用下梁的轴线变为一条平面曲线,称为梁的挠曲线,此挠曲线必在此纵向对称平面内,这种弯曲变形称为平面弯曲。 平面弯曲是弯曲问题中最简单的情形，也是建筑工程中经常遇到的情形。
4,静定梁的内力
( 1 ) 内 力 的 概 念,用 假 想 的 截 面 将 拟 求 杆 的 截 面 切 开,横 截 面 上 必 有 两 个 内 力 分 量,平 行 于横截面的竖向内力 Q 和位于荷载作用平面内的内力偶矩 M 。 Q 称 剪 力,因 为 它 使 梁 发 生 相对错动，而产生剪切的效果； M 称为弯矩，它使梁发生弯曲变形。
( 2 ) 剪力方程和弯矩方程：梁内各横截面上的剪力和弯矩一般是随着横截面的位置不同 而变化的。横截面位置若沿梁轴线的坐标 X 来表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标 X 的函数,Q ( x ) 和 M ( x ) 分别叫做剪力方程和弯矩方程。
5,截面法的应用
( 1) 内力符号规定,轴力以拉力为正，反之为负；剪力以绕隔离体顺时针转为正，反之为负；
弯矩不作正、负规定，但弯矩图应绘于杆件的受拉侧。
( 2 ) 内力计算法则,轴力等于截面一侧所有外力沿截面法线 方 向 的 投 影 代 数 和 ； 剪 力 等 于 截面一侧所有外力沿截面切线方向的投影代数和 ；弯矩等于截面一 侧 所 有 外 力 对 截 面 形 心取矩的代数和 。
8.1 基本概念 (5)
6,梁、刚架的内力图绘制
( 1 ) 荷载与内力之间的微分关系 ( 直杆 )
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
上式表明剪力对 X 的一阶导数等于梁上相应截面分布荷载的集度； 弯矩对 X 的一阶导数等于梁上相应截面的剪力；弯矩对 X 的二阶导数等于梁上分布荷载的集度。
( 2 ) 由上微分关系推出任一直段梁内力图的特点
① 杆上无荷载区段,Q 图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
②集中力作用点处，剪力图有突变，突变量等于该集中力。弯矩图有尖角。
③杆上有均布荷载区段,Q 图为斜直线，弯矩图为一抛物线。
④集中力偶作用处，剪力图 无 变 化 。 弯 矩 图 在 力 偶 作 用 处 的 两 侧 截 面 有 突 变,突 变 量为该力偶值。
( 3 ) 分段叠加法作任一直段梁的弯矩图,先求端弯矩值引起的弯矩图
,然 后 叠 加 相 应简支梁在杆上荷载作用下的弯矩
0
，即得任一直段梁的弯矩图 M 。 即：
0
8.1 基本概念 (6)
7,桁架的基本假定,
( 1 ) 各杆均为直杆；
( 2 ) 各杆的结点均为理想的铰结点；
( 3 ) 各杆轴线绝对平直且在同一平面内通过铰的中心；
( 4 ) 荷载和支座反力都作用在结点上，只产生轴力并且都位于桁架的平面内。
8,桁架的主内力与次内力
( 1 ) 主内力,按理想桁架算得的应力。
( 2 ) 次内力,实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲产生的应力 。
9,桁架的组成,( 1 ) 简单桁架,从 基 础 或 一 个 基 本 铰 结 三 角 形 开 始,依 次 增 加 二 元 体 形 成 。
( 2 ) 联合桁架,由几个简单桁架按几何不变体系的组成规则形成。
( 3 ) 复杂桁架,不属于 前两类的桁架。
10,结点法取 桁 架 的 一 个 结 点 为 隔 离 体,由 投 影 方 程
0
0
求解 ( 只能列两个独立的平衡方程，
求解两个未知量 ) 。
8.1 基本概念 (7)
11,截面法用一个假想的截面截断待求未知力杆,将桁架分为两部分,取其中任一部分为隔离体,由 平 衡 方 程
0
0
0
或
0
0
0
或
0
0
0
求解 ( 只能列三个独立的平衡方程,求解三个未知量 ) 。
12,结点平衡的特殊情况
( 1 ) 两杆交于一结点。结点 上无荷载时，两杆内力为零。
( 2 ) 三杆交于一结点,其中两杆在一直线上。 结点上无荷载时,不在此直线上的杆件内力为零，在此直线上的两杆内力同号等值。
( 3 ) 四杆交于一结点,其中四杆两两在一直线 上。结点旧无荷载时，在同一直线上的两杆内力同号等值。
( 4 ) 四杆交于一结点，成对称 K 形。结点上无荷载时，两斜杆异号等值。
8.1 基本概念 (8)
13,拱的受力特点
( 1 ) 杆轴为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平推力；
( 2 ) 在三铰拱截面的弯矩比相应简支梁的弯矩小；
( 3 ) 在竖向荷载作用下，拱截面上轴力较大，且一般为压力，一般用于抗压性能强抗拉性能弱的材料如砖、石、砼等材料。
14,合理拱轴线使拱内所有截面弯矩为零的轴线,便 是合理拱轴线。 由
0
求得 。 其 中
0
表示相应简支梁铰 C 点 的 弯 矩,H 表示三铰拱的水平推力。
8.2 内力计算要点 (1)
( 1 ) 求 内 力 的 方 法,截 面 法 即 用 假 想 的 截 面 将 拟 求 杆 件 截 断,此 时 截 面 上 暴 露 出 内 力,利 用平衡条件可求出其内力。
( 2 ) 正确选取隔离体和绘制受力图，建立平衡方程求约束力、杆件内力。
( 3 ) 绘制梁的内力图的步骤建立坐标系 X,X 以 向 右 为 正,Q 以向上为正,M 以向下为正；写出剪力、弯矩与 X 之间的关系式即剪力、弯矩方程；根据方程作图。
( 4 ) 由荷载和内力间的微分关系快速地绘制梁的内力图的步骤第一步：绘制弯矩图的步骤分段：在有集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载起、终点、支座处分段。
定点：由内力计算法则计算控制截面 的弯矩值。
联线：由内力图特点及叠加法绘弯矩图，即,当 杆 上 无 荷 载 作 用 时,用 直 线 直 接 相 联两端点的弯矩值；当杆上有荷载作用时，先用 虚 线 相 联 两 端 点 的 弯 矩 值,然 后 叠 加 相 应 简支梁在杆上荷载作用时的弯矩图。
第二步,由微分关系绘制剪力图。
8.2 内力计算要点 (2)
( 5 ) 绘刚架内力图的步骤,先绘弯矩图 ( 分 段,定 点,联 线 ) — 同 梁,然 后 由 弯 矩 图根据微分关系绘制剪力图，最后由剪力图根据刚结点平衡绘制轴力图。
( 6 ) 三铰拱支座反力及内力计算公式
0
0
0
υc o sυs i n
υs i nυc o s
0
0
0
( 7 ) 桁架内力计算的方法：结点法、截面法及联合应用结 点 法 时 所 截 断 的 未 知 力 杆 不 应 多 于 两 根,用 截 面 法 时 所 截 断 的 未 知 力 杆 不 应 多于三根；列力矩方程或 投 影 方 程 时 应 合 理 选 择 投 影 轴 和 矩 心 的 位 置,力 求 一 个 方程求解一 个 未 知 量,避 免 求 解 联 立 方 程 组 ； 若 所 选 截 面 截 断 的 杆 件 数 多 于 三 根,
则应满足两个条件，即 除 了 拟 求 的 一 个 未 知 力 外,其 他 各 未 知 力 都 汇 交 于 一 点 或都相互平行。根据计算 需 要,还 可 选 择 闭 合 截 面 。 计 算 之 前 先 判 断 零 杆 以 简 化 计算。对简单桁架，内力 计 算 次 序 与 组 成 次 序 相 反 ； 对 联 合 桁 架,应 先 计 算 连 接 杆的内力，再计算其他杆的内力 。
8.3 举例例 8 - 1 求图 1 多跨静定梁的 M 图,Q 图。
解 （ 1 ）作 M 图：先作 34 杆后作 23 杆再作 12 （ 2 ）作 Q 图：据 M 图作 Q 图图 1 M 图
Q 图例 8 - 2 试作图 2 静定刚架的内力图。 已知,DC 杆的均布荷载为 30KN/M,AD 杆 的 集 中 荷 载为 10KN,各杆长度均为 2 米。
30
10
A B
CD
2,0 0 2,0 0
2,0 0
图 2
（ 1）先求出 B支座的支反力为 10KN，据此可作出 M图 (例 8-2)
M 图（ KN - m ）
y
x
A B
CD
- 1 0,0 0
2 0,0 0
2 0,0 0
1 0,0 0
- 0,4 0
（ 2）由 M图据微分关系作 Q图 (例 8-2)
Q 图（ KN ）
（ 3）由 Q图据刚结点平衡作出 N图
N 图 （ K N ）
8.4 注意点
1,尽量不求或少求支反力，尽可能利 用 中 间 铰 的 特 性,刚 结 点 平 衡 的 特 点 快 速 地 绘 制 梁,
刚架的内力图。
2,M 图不标正负号，可画在受拉侧； Q 图,N 图必须标明正负号，可画在任一侧。
3,计算桁架内力之前先判断零杆和特殊杆,可减少计算量和简化计算。
4,桁架杆杆长与力间的比例关系为
其中：
,,
为杆件的轴力和
x,y 方向的轴力分量；
,,
为 杆 件 和 杆 长 在 x,y 方向的投影长度,所以求桁架斜 杆的内力时不要用三角函数，而用此比例关系求内力 。
5,对称性的利用应 先 考 虑 能 否 利 用 对 称 条 件 减 少 未 知 量 个 数 。 在 对 称 荷 载 作 用 下,内 力 对 称 分 布 ；
在反对称荷载作用下，内 力 为 反 对 称 分 布 。 利 用 这 一 性 质,可以增加桁架杆的零杆数目、
减少其他结构的未知量数目，以简化计算。
6,对三铰刚架或带拉杆的三铰拱的水平推力可以利用三铰拱水平推力公式来求以简化计算。
8.5 重点和难点 (1)
1,分 段 叠 加 法 作 任 一 直 杆 的 弯 矩 图 。 即 先 求 端 弯 矩 值 引 起 的 弯 矩 图
,然后叠加相应简支梁在杆上荷载作用下的弯矩图
0
,即得任一直段梁的弯矩图
M 。
即：
0
2,利用荷载和内力间的微分关系推出内力图的特点，即,
① 杆上无荷载区段，剪力 Q 图为一水平直线，弯矩 M 图为一斜直线。
②集中力作用点处，剪力 Q 图有突变，突变量等于该集中力，弯矩 M 图有尖角。
③杆上有均布荷载区段,剪 力 Q 图为斜直线,当均布荷载方向向下时,此剪力图为一右下方斜的斜直线；弯矩 M 图为一抛物线，当均布荷载方向向下 时,弯 矩 图 为 凹 口 向 上 的 二次抛物线，当剪力等于零时，弯矩有极值。
④集中力偶作用处，剪力 Q 图 无 变 化 ； 弯 矩 M 图在力偶作用处的两侧截面有突变，突变量为该力偶值，在该点两侧弯矩图的斜率相等。
利用内力图的特点可快速作出内力图，特别是由弯矩图作剪力图，反过来由剪力图作弯矩图。
3,中间铰的特性，刚结点的特性中间铰的特性：各杆绕该结点可以自由转动，但不能相对移动，各杆端有相互作用力，
但没有弯矩，当结点上无集中荷载作用时，铰两侧 杆弯矩图的斜率相等。
8.5 重点和难点 (2)
刚结点的特性：当刚结点由两杆 组 成 时,而 结 点 上 无 集 中 力 偶 作 用,则 此 两 杆 端 弯 矩数 值 相 等,方 向 一 致 ( 即一杆为外侧受拉,另一杆也外侧受拉； 一杆为内侧受拉,另一杆也内侧受拉 ) ； 当 刚 结 点 由 两 杆 以 上 的 杆 组 成 时,可 以 画 出 该 刚 结 点 利 用 刚 结 点 的 平 衡 由 已 知杆的杆端弯矩求最后一杆杆端弯矩。
4,多练习绘制静定梁的弯矩图,剪力图,绘制静定刚架的弯矩图,剪力图,轴力图,求桁架杆的轴力，求三铰拱的任一截面的内力。
5,三铰拱的性能
( 1 ) 在 竖 向 荷 载 作 用 下 梁 没 有 水 平 反 力,而 拱 有 水 平 推 力 。 因 此,必 须 有 竖 向 的 基 础 以 承受此水平推力，故三铰拱的 基础比梁的基础要大。
( 2 ) 由 于 水 平 推 力 的 存 在,从 而 减 小 了 拱 的 弯 矩,故 三 铰 拱 的 截 面 尺 寸 要 比 其 对 应 的 简 支梁为小。就这点而言，三铰拱比简支梁较为经济，并能跨越较大的跨度。
( 3 ) 在 竖 向 荷 载 作 用 下,梁 的 截 面 没 有 轴 力,而 拱 的 截 面 内 轴 力 较 大 。 在选择恰当的拱轴的条件下，拱的截面主要受压,因 此,拱 式 结 构 可 利 用 砖,石,砼 等 抗 压 性 能 较 好 的 材 料制作，充分发挥这些材料的作用 。 总 之,由 于 拱 式 结 构 不 仅 受 力 性 能 较 好,而 且 形 式 多 种多样，尤其适用于较大跨度的建 筑 。 另 外,拱 结 构 的 形 式 有 利 于 丰 富 建 筑 的 形 象,因 此,
也是建筑师比较欢迎的一种结构形 式。
6,结点法、截面法及其联合应用求桁架杆的内力。
8.5 基本要求
明确平面弯曲的概念。
掌握用弯矩方程和剪力方程法用静定梁的内力图，深刻理解荷载和内力间的微分关系，并由此推出内力图的特点，能熟练、迅速、正确地绘制静定梁、刚架的内力图。
熟练掌握桁架内力计算的方法，并会求静定桁架的内力 。
了解三铰拱的受力特点及合理拱轴线的概念，会求其内力。
知道静定结构的一般性质。
8.6 本章讲课学时分配表
2
§ 8 - 1 梁的内力
§ 8 - 2 绘 制 梁 的 内 力 图 - - - 剪力图和弯矩图
2
§ 8 - 3 弯 矩,剪 力 和 分 布 荷 载集度之间关系
§ 8 - 4 多跨静定梁的内力
2
§ 8 - 4 续
§ 8 - 5 静定平面刚架的内力
2 § 8 - 5
续
2
§ 8 - 6 三铰拱的内力
§ 8 - 7 静定平面桁架的内力
2
§ 8 - 7 续
§ 8 - 9 静定结构的基本特性第八章 静定结构的内力分析
14
学时
2
习题讨论课第九章 梁的应力上章讨论了梁的内 力，本 章主要解决 梁 在 外 力 作 用 下 截 面 上 任 一 点 的 应 力及强度计算。
9.1 基本概念 (1)
1,平面弯曲的外力特点外力作用线通过弯曲中心,并垂直于梁轴 ；外力作用平面与形心主惯性平面重合或平行。
2,纯弯曲和横力弯曲在杆件横截面上仅有内力弯矩,无剪力,杆件的这种受力状态称纯弯曲,纯弯曲时,梁的横截面上剪力为零，弯矩为常数。
在杆件横截面上的内力除弯矩外，尚有剪力，杆件的这种受力状态称横力弯曲。
3,平面假定假设整个横截面在变形后仍是平面称为平面假定
4,中性层和中性轴当杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层称中性轴。
中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线，称为中性 轴。
当 平 面 弯 曲 时,直 梁 的 中 性 轴 通 过 横 截 面 的 形 心 且 垂 直 于 载 荷 作 用 面 。 曲 杆 的 中 性 轴 不通过横截面的形心，而是向曲杆中心移动但垂直于载荷作用面。
9.1 基本概念（ 2）
5,梁的合理截面为 了 减 轻 梁 的 自 重 和 节 省 用 料,应 该 在 满 足 所 需 要 的 W
Z
前提下，为横截面选择适当的形 状,使 得 W
Z
与横截面面积 A 的比值尽可能地大。 在面积 A 相 同 的 情 况 下,用 工 字 形 截 面比矩形截面合理； 矩形截面竖放比平放合理； 环形截面比圆形截面合理。 对塑性材料制成的梁应该选择对称的截面形状，对脆性材料制成的梁宜做成不对称截面。
6,一点的应力状态过点 A 的所有各方位上的应力情况。
7,梁的主应力和主平面最大正应力和最小正应力作用面为主平面，主平面上的正应力为主应力。
主应力
σ
τ
α
τ
σσ
σ
σ
2
2t a n
22
0
2
2
m i n
m a x
8,梁的最大剪应力和作用平面
τ2
σ
β2t a n
τ
2
σ
τ
τ
0
2
2
m i n
m a x
9.1 基本概念（ 3）
9,惯性矩
2
是横截面对中性轴的惯性矩。
其中 矩形截面
12
3
圆形截面
64
4
π
10,抗弯截面模量
m a x
其中 矩形截面
6
2
12
2
2
3
圆形截面 32
2
64
2
3
4
π
π
如果是型钢，可查型钢表。
1 1,梁的曲率公式
ρ
1
其中
称为抗弯刚度。
圆形截面
32
2
64
2
3
4
π
π
如果是型钢，可查型钢表。
9.2 解题要点
1,求静定梁的支反力；
2,画静定梁的 Q,M 图；
3,判断危险截面和危险点；
4,截面图形几何性质的计算；
5,强度计算。强度计算可解决三方面的问题,
一是强度校核，二是设计截面，三是求许用荷载。
9.3 注意点
对 受 弯 曲 的 梁 来 说,一 般 弯 矩 是主 要 的,所 以 无 论 强 度 校 核 还 是设 计 截 面,首 先 按 正 应 力 强 度 条件 进 行,然 后 进 行 剪 应 力 校 核 。
正确判断危险截面和危险点。
注意各公式的适用条件。
9.4 重点与难点（ 1）
1,梁横截面上的正应力推导
( 1 ) 矩形截面等直梁的实验观察纵向线变成了相互平行的圆弧线；横向线倾斜了一 个 角 度,但 仍 保 持 为 直 线,且 处 处 与 弯曲后的纵向线垂直。
( 2 ) 假设和推导平面假设；假设各纵向纤维之间是纯弯曲而无挤压 作 用 ； 在 横 截 面 的 同 一 高 度 上 所 有 纤 维的变形是相同的。
( 3 ) 应变分布规律应变与中性层曲率半径成反比，与该纤维到中性层的距 离 成 正 比,与 Z 方向的位置无关。
( 4 ) 应力分布规律正应力沿梁高度线性分布，中性轴上等于零，外边缘上最大。
( 5 ) 正应力公式的推导 ( 略 )
直梁的正应力公式
σ
9.4 重点和难点（ 2）
正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力。另一侧为压应力。
横截面上最大正应力
m a x
σ
直梁的正应力公式只能在满足以下三个条件时才能使用,
( a ) 平面弯曲； ( b ) 纯弯曲或
5?
的剪切弯曲，这儿 h 为 梁 的 高 度,l 为跨度； ( c ) 应力小于比例极限。
( 2 ) 梁截面上的剪应力
① 矩形截面的剪应力公式?
*
m ax
τ?
剪应力的大小沿梁高度呈抛物线分布，最大剪应力发生在截面中性轴处。剪应力方向和截面 上剪力方向一致。
横截面上最大剪 应力
*
m a x
m a x
τ
对矩形截面
2
3
m a x
τ
应 当 指 出,矩 形 截 面 的 剪 应 力 公 式 的 应 用 条 件 除 和 弯 曲 正 应 力 相 同 外,还 要 另 加 矩形截面高度大于宽度这一条件。
9.4 重点和难点（ 3）
②其它截面的最大剪应力对工字形截面
m a x
τ
（这是近似公式）
圆形截面
3
4
m a x
τ
( 3 ) 强度条件弯曲正应力强度条件
στ
m a x
其中 M --- 所求横截面上的弯矩；
--- 梁的抗弯截面模量；
σ
---- 材料的许用应力。
弯曲剪应力强度条件
ττ
*
m a x
m a x
9.4 重点和难点（ 4）
其中 Q --- 所求横截面上的剪力；
---- 横截面对中性轴的惯性矩；
*
---- 距中性轴 y 处 的 横 线 以 下 ( 或以上 ) 的面积
*
对中性轴的静矩 ( 有正有负 ) ；
b ----- 横截面的面积；
τ
---- 材料的许用剪应力。
矩形截面上的剪应力最大值是平均剪应力的 1,5 倍即,
5.1
m a x
τ
圆形截面上的剪应力最大值是平均剪应力的 1,3 3 倍即,
3
m a x
3
4
π
τ
工字形截面上的剪应力最大值由剪应力公式来求。
( 4 ) 二向应力状态
①二向应力状态时任一斜截面上的应力、主应力和主平面方位,
任一斜截面上的应力
α2c o sτα2s i nσσ
2
1
τ
α2s i nτα2c o sσσ
2
1
σσ
2
1
σ
α
α
9.4 重点和难点（ 5）
主应力大小
2
2
2
2
2
1
42
1
42
1
τ
σσ
σσσ
τ
σσ
σσσ
主平面方位
σσ
τ
α
2
2
其中
αα
τσ,
---- 斜截面上的正应力和剪应力；
ττσσ,..
---- 单元体 x,y 面上的正应力和剪应力；
)(..
321321
σσσσσσ
----- 应力单元体上的主应力。
②二向应力状态下的强度条件 ---- 强度理论第一强度理论 强度条件是
σσ?
1
第二强度理论 强度条件是
σσσμσ
321
第三强度理论 强度条件是
σσσ
31
第四强度理论 强度条件是
σσσσσ
31
2
3
2
1
9.5 基本要求
1,明确纯弯曲和横力弯曲和概念,了 解推导梁弯曲正应力公式的方法。
2,熟练掌握弯曲正应力的计算，弯 曲 正应力强度条件及应用。
3,理解矩形截面梁弯曲剪应力公式 的 推导过程，掌握相应的剪应力分布规律。
4,掌握常见截面梁横截面上最大剪 应 力的计算 和强度校核方法。
5,知道弯曲中心的概念。
6,了解提高梁刚度的一些主要措施。
7,了解一点应力状态、主应力和主平面,单 元 体 等 基 本 概 念,知 道 四 个 强 度 理 论 。
9.6 本章讲课学时分配表
2
§ 9 - 1 梁 内 正 应 力,正应力强度条件
2
§ 9 - 2 梁 内 剪 应 力,剪应力强度条件
§ 9 - 3 梁的合理截面和变截面梁第九章梁的应力
6
学时
2
§ 9 - 4 梁 的 主 应力,主 应力 迹 线
§ 9 - 5 二 向 应力 状 态 下的 强 度 条 件 — 强 度 理 论第十章 梁的变形梁在外力作用下除了限制其应力，使使其满足强度条件外，还必须限制它的变形，即必须具有足够的刚度，满足刚度条件。
10.1 基本概念
1,挠曲线 挠曲线方程弯曲后的梁轴线称为梁的挠曲线（弹性曲线）,有时也 称为梁的挠曲线轴或梁的弹性曲线。当梁发生平面弯曲时，梁的挠曲线可用方程
)(
来表示 。
2,挠度和转角弯曲变形时的位移有两种,一 种是横 截面形心在变形后轴线垂直方向的位移叫挠度 。 另一 种是横截面转动的角度叫转角。挠度的正负号规定,以向 下为正，向上为负；
转角的正负号规定为顺时针转为正，反之为负。
梁的变形可用挠度和转角两个量 来度 量,在建筑工程中梁的挠度是度量梁的变形的主要指 标，要求将 其限制在一定的范围之内
10.2 重点和难点
1,挠曲线近似微分方程在小变形条件下
)(
2
2
积分后得梁的挠度（积分常数由边界条件求得） 。
2,用叠加法求梁的转角和挠度在 多 个 载 荷 作 用 下,梁 的 任 一 截 面 的 转 角 和 挠 度 等 于 各 个 载 荷 情 况 下 的 等 截 面 转 角,挠 度 方 程 。
3,梁的刚度条件
θθ?
m a x
m a x
4,提高梁刚度的主要措施
( 1 ) 增大梁的抗弯刚度即增大 E I
增 大 截 面 惯 性 矩 I 可 增 加 截 面 尺 寸,也 可 改 变 截 面 形 状 。 如 果 将 圆 形 改 为 工 字 形,槽 形 或 箱 形,
可 使 得 截 面 面 积 A 较 小 而 截 面 惯 性 矩 I 较 大 。 另 外,还 可 提 高 材 料 的 弹 性 模 量 E,对 钢 材 来 讲,
高 强 度 钢 与 普 通 低 碳 钢 的 弹 性 模 量 E 值 是 很 接 近 的,因 此,改 用 高 强 度 钢 虽 然 增 加 强 度,
但不能增加刚度。
( 2 ) 调整梁的跨长和改变结构形式
10.4 基本要求
1.明确挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立过程 。
2.掌握计算梁变形的积分法和叠加法。
3.了解梁的刚度条件和提高梁刚度的主要措施。
10.5 本章讲课学时分配表第十章梁的变形
2
学时
§ 10 - 1 梁 挠 曲 线 的近似微分方程
§ 10 - 2 用 积 分 法 求梁的变形
§ 10 - 3 叠加法求梁的变形
§ 10 - 4 梁 的 刚 度 计算 和 提 高 梁 的 刚 度 的措施第十一章 杆件在组合变形下的强度计算前面各章分别叙述了 拉伸、剪切,扭 转 和 弯 曲 等 基 本 变 形 的 杆 件 的强度和刚度计算。 实际工程中,有许多 杆 件 往 往 同 时 存 在 着 几 种 基 本 变形,这 类 杆 件 称 为 组 合 变 形 杆 件 。 本章主要讨论组合杆件的强度计算。
11.1 基本概念
1,组合变形,杆件在外力作用下，同时发生两种以上的基本变形。
2,斜弯曲相互垂直的两个形心 主轴平面内的两个平面弯曲的组合。 外力的作用平面或作用线虽然通过弯曲中心,但是它并不通过 也不平行于杆件横截面的任一形心主轴。 所以解决斜弯曲问题的基本方法就是首先将斜 弯 曲 分 解 为 两 个 形 心 主 轴 平 面 内 的 平 面 弯 曲,然 后 再 将 这两个平面弯曲所产生的内力、应力、变形等分别叠加。
3,拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的组合变形作用在杆件上的外力即有轴向拉伸 ( 压 ) 力 又 有 横 向 力,则 杆 件 将 发 生 拉 伸 ( 压缩 ) 与弯曲的组合变形。杆件承受通过 形 心,即不平行于也不垂直于轴线的外力作用时，杆件将同时承受拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的联合作用。 当杆件承受与轴线平行的偏心力作用时,杆件也承受拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的联合作用。
4,偏心压缩,压力作用线不通过杆件截面的形心的情形。
5,组合变形时杆件横截面上应力计算的方法 --- 叠加法。
11.2 解题要点
1,外力的简化和分解首先将作用在杆件上的任意力系进行简化，使简化后的各外力 ( 力偶 ) 分量只分别产生一种基本变形。通过对外力的分析，可帮助我们确定组合变形的类型。
2,内力分析根 据 外 力 的 作 用 情 况,进 行 内 力 分 析 。 对 于 每 种 基 本 变 形 形 式,要 分 别 作 出 杆 件 的 内 力 图 。 在综 合 分 析 各 种 基 本 变 形 形 式 的 内 力 图 后,再 进 一 步 确 定 危 险 截 面 的 可 能 位 置,并 求 出 危 险 截 面 上 的各内力值。一般来说，弯矩是控制因素，因此要特别注意最大 弯矩所在的截面。
3,应力分析根 据 危 险 截 面 上 的 内 力 值,再 进 一 步 分 析 危 险 截 面 上 的 应 力 分 布 规 律,明 确 危 险 点 所 在 的 位 置 。
一般正应力为控制因素，因此要特别注意绝对值最大的正应力所在的点。 1
4,取单元体计算主应力利 用 基 本 变 形 时 应 力 计 算 式,分 别 算 出 每 一 种 基 本 变 形 形 式 下 危 险 点 处 横 截 面 上 的 正 应 力 和 剪应力，然后分别叠加，取出危险点处的应力状态单元体，计算出各个主应力值。
5,选择适当的强度理论进行强度计算。
11.3 重点和难点理解并掌握以下三个公式,
1,二个平面弯曲的组合 ( 斜弯曲 )
σσ
m a x
( 矩形截面 )
2,拉伸 ( 压缩 ) 和弯曲的组合
σσ
m a x
3,偏心压缩杆件
α
α
σσ
m a x
m a x
其中 e 为偏心距
11.4 注意点
由 于 剪 力 的 影 响 较 小,所 以 在 组 合 变 形 问 题 的 计 算 中,
一般不考虑剪力的作用。
斜弯曲时，危险点处为单向应力状态。
二个平面弯曲的组合和拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的组合这二种情形在危险截面的危险点处均为单向应力状 态。
11.5 基本要求
了解组合变形杆件强度计算的基本方法。
掌 握 斜 弯 曲,拉 弯 组 合 变 形 杆 和 偏 心 压 缩 杆 的 应力和强度计算。
了解圆轴在弯扭组合变形时的应力和强度计算
11.6 本章讲课学时分配表
2
§ 11 - 1 斜弯曲
§ 11 - 2 拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲组合变形的强度计算第十一章杆件在组合变形下的强度计算
4
学时
2
§ 11 - 2 续
§ 11 - 3 偏 心 压 缩 杆 件的强度计算、截面核心第十二章 压杆稳定工 程 上 经 常 遇 到 的 中 心 受 压 杆 有 桁 架 中 的 压杆,中 心 受 压 柱 等,它 们 除 了 必 须 满 足 强 度 条 件 外,主 要是考虑稳定问题，因为往往会由于“失稳”而破坏。
12.1 基本概念
1,稳定平衡和不稳定平衡如果由于某种原因，有干扰力作用于该构件使其偏离原平衡位置，
在干扰力除去后,构件仍能回到原来的平衡位 置,构件原来的平衡是稳定平衡，否则为不稳定平衡。
2,临界力：当
(
2
2
μ
π
) 时，压杆处于临界平衡状态。工 程中把与临界平衡状态相对应的临界值
称为临界力。
3,临界载荷和临界应力能保持压杆稳定平衡时杆件所能承受的最大外力称临界载荷,或者说使压杆丧失稳定的最小 外力。临界应力是临界载荷除以横截面面积。
12.2 重点和难点
1,临界应力的计算公式细 长 杆 ( 大 柔 度 杆 ) 的 临 界 应 力
μ
μ
λ
λ
π
σ
2
2
称 长 度 系 数,它 与 杆 端 约 束 有 关,两 端固 定,0,5 ； 一 端 固 定,另 一 端 铰 支,0,7 ； 两 端 铰 支,1 ； 一 端 固 定,另 一 端 自 由,2 。 i 是 横 截 面 的惯性半径,
。 称柔度或长细比
μ
λ?
。
2,压杆的稳定条件、稳定的实用计算 ----? 系数法稳定条件的基本公式
σσ
用? 系 数 法 的 稳 定 条 件
σσ υ
其 中,
σ
,
σ
分 别 表 示 稳 定 许 用 应 力 和 压 杆的许用应力；
P,N,A,? 分别表示外力、中心压杆的 轴 力,杆 件的毛截面积、折减系数
3,临界力计算的一般步骤,( 1 ) 确定长度系数； ( 2 ) 计算柔度系数； ( 3 ) 确定临界 力的计算公式。
12.3 基本要求本 章 为 自 学 内 容,主 要 了 解 稳 定 的 几 个概念和压杆的稳定计算。
第十三章 静定结构的位移计算工程结构设计中,不仅要考虑结构的 强度,还要考虑结构的变形,进行刚度验算,本 章主要讲静定结构的位移计算。
13.1 基本概念 (1)
1,位移：由于结构变形，其上各点或截面位置发生改变。
2,广义力：单个力、单个力偶、一组力、一组力偶的统称。
3,广义位移：与广义力作功 相 应 的 位 移 因 素 。 即 线 位 移 ( 截面形心位置移动的距离 ),角位移 ( 横截面转动的角度 ),相对线位移，相对角位移以及某一组位移。
4,虚功力在其他原因引起的位移上所作之功。 虚功可正可负,强调了作功的力与相应的位移之间没有因果关系。
5,变形体的虚功原理变形体处于平衡的必要和充分条件是,对于任何虚位移,外力所作虚功之和等于变形体系各微段的内力在其变形上所作虚功之和。
刚体虚功原 理是变形体虚功原理的特例即外力所作虚功总和等于零。
虚功原理所讨论的是同一变形体上力系与变形这两套彼此无关的状态 ( 作用于结构的平衡力系 ) 和位移状态 ( 符合结构的约束条件的微小连续变形 ) 则可写出平面杆系结构的虚功方程,
13.1 基本概念 (2)
ηθμ Δ
6,线弹性体系的互等定理
( 1 ) 功的互等定理,第一状态的外力在第二状态 的位移上所作之功等于第二状态 的的外力在第一状态的位移上所作之功,即,2112
。
( 2 ) 位移互等定理,在 第 一 单 位 力 的 方 向 上 由 第 二 个 单 位 力 引 起 的 位 移 等 于 在 第 二个单位力的方向上由第一个单位力引的位移,即,
2112
δδ?
。
( 3 ) 反力互等定理,支座 1 由支座 2 的单位位移引起的反力等于支座 2 由于 1 支座的单位位移引起的反力,即,2112
。
7,结构位移计算的目的
( 1 ) 确定结构的刚度；
( 2 ) 为计算超静定 结构打基础。
13.2 计算要点
建立正确的虚设力状态。若求某点的线 位 移,可 沿 位 移 方 向 虚 设 一 单 位 力 ； 若 求 角 位移，可沿角位移方向虚设一单位力偶； 若 求 相 对 线 位 移,可 沿 位 移 方 向 虚 设 一 对 方 向相反的单位力；若求相对角位移，可沿角位移方向虚设一对方向相反的单位力偶。
正确理解位移公式，知道公式中的每一顶均为功，正确写出位移计算公式。
正确使用图乘公式
( 1 ) 应用条件：等截面直杆；两个图形中至少有一 个 是 直 线 图 形 ； y
o
从直线图上取得。
( 2 ) 正负号规则：相乘两图同侧受拉时，
0
ω
乘积为正，否则为负。
( 3 ) 对图形相 乘时特殊情况的处理：图 形 的 面 积 或 形 心 位 置 不 易 确 定 时,应 分 成 几 个 简单图形 ( 直 角 三 角 形,矩 形,二 次 抛 物 线 ) 再 叠 加,即,分 块 ； y
0
所属图形不是一段直线而是由若干段直线组成或杆件中各杆段的截面不相等应分段图乘后叠加，即：分段。
( 4 ) 梁、刚架的图乘公式为：
ω
Δ
13.3 重点与难点 (1)
位移计算公式在不同外因对不同结构类型的适用范围。
( 1 ) 一般公式：
ηθμΔ1
适用范围：可用于弹性、非弹性、线性、非线性体系 。
,,
--- 虚设单位荷载引起的轴力，弯矩和剪力；
ηθμ,,
---- 实际状态中与微段相应的轴向变形、弯曲变形、剪切变形；
--- 虚设单位力引起的反力；
C ---- 实际状态中已知的支座位移值。
( 2 ) 结构不同类型的位移计算公式梁和 刚架 ( 荷载 )
Δ
拱 ( 荷载 )
Δ
桁架 ( 荷载 )
Δ
支座移动
Δ
组合结构 ( 荷载 )
Δ
13.3 重点和难点 (2)
温度变化
Δ
Δ
α
α
0
N
P
,M
P
,Q
P
---- 实际荷载引起的轴力，弯矩和剪力；
--- 材料的线膨胀系数；
0
-- 杆件轴线的温度变化值；
Δ
--- 截面两侧温度变化的差值；
--- 杆件截面的高度。
正负号规定：当实际温度变形与虚设内力变形方向一致时取正值，反之，取负值。
用图乘法求静定梁、刚架的位移公式为
ω
Δ
其中
..ω
分别为单位力弯矩图或实际荷载弯矩图的面积和此面积的形心位置对应的另一图形的纵距以及抗弯刚度,注意分子两项必须取自不同的弯矩图形 ( 具体见下面的计算要点 ) 。要求能熟练应用这个公式。
13.4 举例例 13 - 1 试求图示桁架结点 C 的 竖 向 位 移 。 已 知,各 杆 的 EA 都相同且为常数，图中荷载单位为 KN,长度单位为 M 。
解 （ 1 ） 虚 设 单 位 力 ；（ 2 ）求位移状态和虚设状态各杆的轴力； （ 3 ）
将各杆轴力代入公式求解
Δ
= 6 8,3 / E A ( 方向向下 )
13.5 注意点
计算不同结构的位移公式的适用条件。
图乘法的适用条件不能用于曲杆。
注意用图乘法和代位移一般公式 时每 一项的正负号。
复杂图形的面积或形心位置不易 确定 时可分段,分块图乘。
13,6 基本要求
( 1) 了 解 刚 体,变 形 体 虚 功 原 理,知 道 位 移 计 算 的 一 般公式及各种类型静定结构的位移公式。
( 2 ) 能正确虚设单位力，熟练掌 握用图 乘法求静定梁、
刚架在荷载作用下的位移。
( 3 ) 会求静定桁架由荷载引起的位移。
( 4 ) 了 解 由 支 座 移 动,温 度 变 化 引 起 的 静 定 结 构 的 位 移计算。
( 5 ) 了解线弹性体系的三个互等定理。
13.7 本章学时分讲课表
2
§ 13 - 1 计算结构位移的目 的
§ 13 - 2 质点及质点系的可能位移原理
§ 13 - 3 刚体的可能位移原理及静定结构由于支座移动所引起的位移计算
2
§ 13 - 4 变形体的虚功原理
§ 13 - 5 静 定 结 构 由 于 荷 载作用下所引起的位移计算
2
§ 13 - 5 续
§ 13 - 6 用图乘法计算梁及刚架的位移
§ 13 - 8 线弹性体系的互等定理第十三章静定结构的位移计算
8 学时
2 习题讨论课第十四章 用力法计算超静定结构我 们 知 道,超 静 定 结 构 的 反 力 和 内 力 由 平衡条件不能唯一求出，还必须借助于变形条件,本 章 主 要 介 绍 超 静 定 结 构 的 内 力 和 位 移 计算 。
14.2 基本概念 (1)
1,超静定结构的主要特性
( 1 ) 超静定结构的内力状态不能由静力平衡条件唯一确定，必须考虑变形条件。
( 2 ) 支座移动、温度变化、制造误差,材料收缩等非荷载因素均引起内力。
( 3 ) 超 静 定 结 构 由 荷 载 引 起 的 内 力 与 各 杆 的 相 对 刚 度 有 关,与 各 杆 绝 对 刚 度 无 关 ；
而非荷载引起的内力则与各杆的绝对刚度有关。
2,确定超静定次数的方法结构的超静定次数为其多余约束的个数。 确定超静定次数的方法是解除多余约束，
使原超静定结构成为几何不变的静定结构。所去 除 的 多 余 约 束 数 目 即 为 超 静 定 交 数 。
3,解除多余约束的方式
( 1 ) 去除支座处的一根连 杆，相当于解除一个约束；
( 2 ) 切开一根连杆，相当于解除一个约束；
( 3 ) 拆开一个单铰，相当于解除两个约束；
( 4 ) 切开受弯杆，相当于解除三个约束；
( 5 ) 受弯杆加铰，相当于解除一个约束
( 6 ) 一个无铰闭合框有三个多余约束，超静定次数为 3 。
14.2 基本概念 (2)
4,选取基本结构的原则
( 1 ) 基本结构一般为静定结构 ；
( 2 ) 选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便，并尽量使较多的副系数和自由项为零；
( 3 ) 较易于绘制
图和?
图 。
5,对称结构的特点
( 1 ) 结构的几何形状和支承情况对称于某轴；
( 2 ) 各杆的刚度对称于某轴；
( 3 ) 正对称荷载作用时,受力与变形均为对称； 反对称荷载作用时，
受力与变形均为反对称。
14.2 计算要点
1,在计算之前先检查基本结构 是 否 几 何 不 变 ；
2,求系数和自由项时，先校核内力图；
3,求 解 方 程 后,将 解 代 回 原 方 程 检 查 正 确 与 否 ；
4,校核最后内力图。
5,掌握简化方法，用它来简化计算 。
14.3 基本理论与公式 (1)
1,力法原理超静定结构的计算方法很多,一 是 力 法,一 是 位 移 法,是 以 结 点 位 移 为 基 本 未 知量，其他方法大多是从这两种方法演变而来。
力法求解超静定结构是以多余 未 知 力 作 为 基 本 未 知 量,按 照 超 静 定 结 构 上 去 除 的多余约束性质确定基本未知量 和 基 本 结 构 。 根 据 基 本 结 构 沿 多 余 约 束 的 方 向 的 位 移 和原结构相应位移相同建立变形条件得到力法方程，称为力法。
力法方程的建立表明基本 结 构 与 原 结 构 具 有 相 同 的 变 形 状 态 和 受 力 状 态 。 由 力 法 方 程求得多余未知力后，反力 和 内 力 均 为 静 定 问 题,可 按 叠 加 法 或 基 本 结 构 的 平 衡 条 件 计算内力。
2,力法的典型方程
111212111
ΔΔδ...δδ
222222121
Δδ.,,δδ Δ
……
n2211
ΔΔδ.,,δδ
右端项
Δ ---- 原结构的已知位移条件，为零或非零。
14.3 基本理论及公式 (2)
主系数 ii
δ
---- 基本结构上多余未知力
1?
在其自身方向产生的位移，恒为正值；
副系数 ij
δ
( i ≠ j ) - - - - 基本结构上多余未知力
1?
在第 j 个多余未知力方向产生的位移，可为正、负或零,
δδ?；
自由项
ΔΔΔΔ,,
---- 基本结构上外因 ( 荷 载、温度变化、支座移动等 ) 在第 i 个多余未知力方向产生的位移，可为正、负或零；
其中
Δ
ω
αΔ
ωαΔ
μΔ
μδδ
μδ
222
14.3 基本理论公式及要求 (3)
3,内力叠加公式梁、刚架 由?
,,,
2211 作 M 图；
Q 图和 N 图可由 M 图求得。
桁架?
,..
2211
4,位移计算公式 ( 忽略轴力和剪力的影响 )
( 1 ) 荷载作用
Δ
( 2 ) 温度变化
ΔΔ
( 3 ) 支座位移
ΔΔ
式中
---- 任取的静定基本结构在虚拟单位力作 用下的弯矩分布；
---- 超静定结构在荷载作用下的弯矩分布；
---- 超静定结构发生温度时的弯矩分布；
---- 超静定结构发生支座位移时的弯矩分布；
14.3 基本理论及公式 (4)
Δ.Δ
` ---- 温度变化时或支座位移时在任取的基本结构上指定截面 K 的位移值。
Δ.Δ
` ---- 温度变化时或支座位移时在任取的基本结构上指定截面 K 的位移值。
5,内力图校核公式
( 1 ) 平衡条件校核,截取结构中的刚结点,杆件或某一部分，检验是否满足下式,
( 2 ) 变形条件校核
ΔΔ?
其中
Δ
表示基本结构 K 点的 相应位移；
y
Δ
表示原结构 K 点的相应位移。
若检查闭合框结构某一截面相对转角是否为零，即：
0
1
Δ
0
0
0
14.3 基本理论及公式 (5)
6,力法的解题步骤
( 1 ) 判断超静定次数,超静定次数等 于 多余约束的个数等于超静定结构变成静定结构 所拆掉的约束数；
( 2 ) 列力法典型方程,基本体系沿多 余 约束处的位移等于原结构沿多余约束处的位移；
( 3 ) 求系数和自由顶；
( 4 ) 代方程多余未知力；
( 5 ) 由叠加原理画弯矩图，再由弯矩图画剪力图和轴力图。
14.4 解题要点
1,在计算之前先检查基本结构 是否几何不变；
2,求系数和自由项时，先校核内力图；
3,求解方程后，将解代回原方程检查正确与否；
4,校核最后内力图。
5,掌握简化方法，用它来简化计算 。
14.5 注意点
1,正确判断超静定次数；
2,力法的基本结构不是唯一的，但一般是静定结构；
3,力法方程的右端不一定是零，与所受外因有关；
4,简化计算的方法
( 1 ) 选取对称的基本结构，以简化计算；
选取对称的基本结构且基本未知量全是对称或反对称未知力，这时可将未知力分组，
一组只念对称的未知力，一组只念反对称的未知力。
( 2) 对称性的利用对称结构在对称荷载作用下在对称位置只有对称的未知力,在反对称荷载作用下只有反对称的未知力。
5,注意基本结构和基本体系的区别基本结构为原结构去掉多余约束后的 静 定 结 构 ； 而 基 本 体 系 为 原 结构去掉多余约束后的静定结构，再加上所受的外因。
14.6 基本要求
( 1 ) 熟练判断超静定次数,画出力法基 本结构,写出力法方程；
( 2 ) 知道力法方程、系数和自由项的含义；
( 3 ) 用力法熟练计算超静定梁,刚架在 荷载作用下的内力，
会画弯矩图；会写超静定结构由支座移动引起的力法方程式。
( 4 ) 了解对称性的利用。
14.7 本章讲课学时分表
2
§ 14 - 1 超静定结构概述
§ 14 - 2 力法的基本原理
2
§ 14 - 3 力法的基本结构和超静定次数
§ 14 - 4 力法的典型方程
2 § 14 - 4
续
2
§ 14 - 7 力法计算其他类型的超静定结构
2
§ 14 - 5 对称性的利用
§ 14 - 9 超静定结构的特性第十四章用力法计算超静定结构
12
学时
2
习题讨论课第十五章 位移法与力矩分配法上 章 讨 论 了 力 法 计 算 超 静 定 结 构,当 超 静 定 次 数 较 多时,用 力 法 计 算 将 十 分 困 难,于 是 人 们 又 提 出 了 位 移 法,是以结点位移为基本未知量 。 进而又发 展了力矩分配法,它不需要建立方程组，就可求得杆端内力，特别适合手算。
15.1 基本概念 (1)
1,位移法的基本思路位移法以结构 中的某些结点位移为基本未知量,可按两 思路求解结点位移和内力。
主要用于超静定结构 。
第一种思路是把结构 分离成单根杆件,建立杆端位移与杆端力之间的物理关系,利用 杆件隔离处的杆端力应满足的平衡条件形成位移法方程。 求出杆端位移后,再求杆端力。
第二种思路是对结点施加约束，阻止位移，形成基本结构，然后放松结点，消除附加 约 束,恢 复 原 有 位 移 。 通 过 这 一 过 程,建 立 位 移 法 方 程,求 出 结 点 位 移 和 杆 端 力 。 ( 本思路了解即可 )
2,基本未知量位移法基本未知量取为独立的结点位移和结点线位移,结点角位移指刚结点的数目；
结 点 线 位 移 指 在 全 部 固 定 端 和 刚 结 点 上 加 铰 后,使 该 铰 结 图 形 保 持 几 何 不 变 所 需 添 加 的最少链杆方向的位移 。
15.1 基本概念 (2)
确定结点线位移所作的假设为,
( 1 ) 弯曲变形微小，受弯直杆弯曲后两端之间距离不改变；
( 2 ) 受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形。
3,转动刚度 S
当杆端 AB 的 A 端发生单位转角时,于 A 端产生的弯矩值。 转动刚度与杆件的弯曲和 B 端 ( 远端 ) 的支承条件有关。
远端固定,4i 远端铰支,3i 远端滑动,i 远端自由,0
4,传递系数 C
杆端发生单位转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值，视远端的支承条件而异。
远端固定,0,5 远端铰支,0 远端滑动,- 1
15.1 基本概念 (3)
5,分配系数表示将结点的外力矩分配到各杆近端的分配比率。按下式计算,
)(
μ
且
1
)(
μ
6,分配弯矩将结点外力矩 M 按分配系数分配给 各 杆 近 端,近 端 得 分 配 弯 矩 为,
μ?
。
当结点力矩为正 ( 顺时针方向 ),分配弯矩也为
7,传 递弯矩按传递系数将近端的分配弯矩传递到远端，远端得传递弯矩 为,
15.2 计算要点 (1)
1,判 断 位 移 法 基 本 未 知 量 。 独 立 结 点 角 位 移 未 知 量 等 于 刚 结 点 的 数 目 ； 独 立 结 点 线位移未知量等于附加链杆的数目。
2,位移法的计算步骤
( 1 ) 确定位移法基本未知量；
( 2 ) 写等截面直杆的转角位移方程即杆端弯矩方程；
3) 用结点法或截面法列位移法基本方程对刚结点：
0?
对结点线位移：
0)(
( 4 ) 联立求解位移法方程组求出结点位移；
( 5 ) 将结点位移代回第二步得杆端弯矩，画弯矩图。
15.2 计算要点 (2)
3,等截面直杆的转角位移方程两端固定
6
υ4υ2
Δ
6
υ2υ4
A 端固定,B 端铰支
0
3
3
Δυ
A 端固定,B 端定向支座
υυ
υυ
其中 i --- 杆件的线刚度,?
将结点外力矩 M 分配系数分配给各杆近端,近端得分配弯矩：
μ?
。 当结点力矩为正 ( 顺时针方向 ),分配弯矩也为正。
15.2 计算要点 (3)
,
---- 杆端弯矩，以顺时针转为正，反时针转动为负；
,
---- 固端弯矩，为梁在荷载、温度变化、支座沉陷作用下产 生 和 杆 端 弯矩，绕杆端顺时针转为，逆时针转为负。
Δ,,
υυ
--- 杆端转角 ( 以顺时针转为正 ),杆 端 相 对 线 位 移 ( 以使杆件顺时针转动为正 ) 。
4,力矩分配法用于无侧移结构，其计算目的为杆端弯矩。计算思路为,
( 1 ) 先 锁,求 刚 臂 内 的 不 平 衡 力 矩 。 某 结 点 K 的不平衡力矩为交于 K 点的各杆固 端弯矩代数和。
( 2 ) 后 松,在 结 点 处 加 入 反 号 的 不 平 衡 力 矩,放 松 结 点,按 基 本 运 算 求 杆 端 弯 矩,按 一 定顺序，重复前两步，直到传递弯矩可略去不计。
( 3 ) 再 叠 加,求 最 终 杆 端 弯 矩 。 杆 端 弯 矩 由 该 杆 端 的 固 端 弯 矩,分 配 弯 矩 和 传 递 弯 矩 相 加而得。
15.2 计算要点 (4)
5,力矩分配法的基本运算
( 1 ) 分配结点外力矩将结点外力矩 M 分配系数分配给各杆近端，近端 得 分 配 弯 矩,
μ?
。
当结点力矩为正 ( 顺时针方向 ),分配弯矩也为正。
( 2 ) 进行弯矩传递按传递系数将近端的分配弯矩传递到远端，远端得传递弯矩,
C?
。
6,可利用对称性简化计算对称结构在对称荷载作用下产生对称的变形和位移,在 反 对 称 荷 载 作 用 下 产 生反对称的变形和位移。在位移法中可以利用位移的 对 称 性 和 反 对 称 性 以 求 简 化 。 一般取半结构计算。
15.3 重点和难点
1,理解位移法的基本思路，重点是用刚度方程法求杆端内力和结点位移。
2,会写单杆的转角位移方程。
3,会 求 分 配 系 数,知 道 力 矩 分 配 法 的 计 算 步 骤,能 计 算 无侧移刚架和连续梁在荷载作用下的内力。
15.4 注意点
1,关于确定结点线位移的两个假定只适用于受 弯 直 杆,不 能 用 于 受 弯 曲 杆 以 及 桁 架 和组合结构中需要考虑轴向变形的轴力杆；
2,角位移以顺时针转为正，相对线位移以绕杆 件 顺 时 针 转 为 正 ； 杆 端 弯 矩 绕 杆 端 顺 时针转为正，杆端剪力、轴力同上。
3,对具有无限刚性横梁的结构，横梁与柱子的结点角位移为零。
4,对单结点，力矩分配法求得精确解。
5,力矩分配法适用于无侧移刚架和连续梁。
6,力矩分配法一般沿一定格式在图上运算。
7,可利用对称性简化计算对称结构在对称荷 载 作 用 下 产 生 对 称 的 变 形 和 位 移,在 反 对 称 荷 载 作 用 下 产 生 反对称的变形和位移 。 在 位 移 法 中 可 以 利 用 位 移 的 对 称 性 和 反 对 称 性 以 求 简 化 。 一 般 取半结构计算。
15.5 基本要求
熟练判断位移法的基本未知量，会写位移法刚度方程。
理解位移法的基本思路，能正确用刚度方程法求梁、刚架在荷载作用下的内力和位移并画出弯矩图。
对常用的形常数和载常数要记住，并能熟练应用。
理解转动刚度、传递系数、分配系数、固端弯矩的概念，记住转动刚度、传递系数的数值并能熟练计算分配系数。
理解力矩分配法的基本思路并能熟练掌握用它计算无侧移刚架和连续梁在荷 载作用下的内力。
15.6 本章讲课学时分配表
2
§ 15 - 1 位移法的基本概念
§ 15 - 3 单跨静定梁的形常数和载常数
2
§ 15 - 2 位移法的基本未知数
§ 15 - 5 等截面直杆的转角位移方程
2
§ 15 - 6 应用转角位移方程计算超静定结构
§ 15 - 7 力矩分配法的基本概念
2
§ 15 - 8 用力矩分配法计算连续梁和结点无线位移的刚架第十五章位移法和力矩分配法
10
学时
2 习题讨论课第十六章 影响线及其应用前 面 各 章 分 别 叙 述 了 固 定 荷 载 作 用 下 结 构 的 内 力 和 反 力的 计 算,此 时 荷 载 的 作 用 位 置 是 固 定 不 变 的,如,在 桥 梁 上行 驶 的 汽 车,火 车 荷 载,房 屋 内 的 人 群 荷 载 ； 工 业 厂 房 中 的吊车荷载等均为移动荷载。 截面上内力 随移动荷载的位置是变 化 的,设 计 时 我 们 要 求 出 内 力 最 大 值 作 为 设 计 的 依 据,同时求出最不利荷载位置。 为解 决这一 问题,引出了影响线的概念。
16.1 基本概念
1,影响线表示某量值 ( 内力、反力、位移 ) 在一个单位竖向集中力作用下变化规律的图形。
2,最不利荷载位置在移动荷载作用下，使某量值取得最大值或最小值的荷载位置。
3,内力包络图表示各个截面最大或最小内力的图形。
4,绝对最大弯矩结构各截面中的最大弯矩值，即弯矩包络图中最大竖标表示的弯矩值。
5,正负号规定反力以向上为正；剪力以绕隔离体顺 时 针 转 为 正 ； 弯 矩 以 使 梁 下 侧 受 拉 为 正 。 正 值 纵 距绘于基线上方。
16.2 分析要点 (1)
作影响线的方法静力法和机动法。我们主要讲静力法作简支梁和外伸梁的内力和反力影响线。
静力法作影响线的步骤,( 1 ) 建立坐标系 x,将 P = 1 置于任意处；
( 2 ) 写静力平衡方程，即影响线方程；
( 3 ) 根据方程作影响线；
( 4 ) 标正负号。
最不利荷载位置的判断
( 1 ) 单个集中荷载：单个荷载的最不利荷载位置为荷载作用于影响线的最大竖标处。
( 2 ) 多 个 集 中 荷 载,计 算 各 临 界 位 置 的 极 值,确 定 其 中 的 最 大 值,与 最 大 值 对 应 的 临界位置即为最不利荷载位置。
16.2 分析要点 (2)
绘制内力包络图的步骤
( 1 ) 绘出各等分点截面的内力影响线，确定相应的最不利荷载位置；
( 2 ) 求出各等分点截面在恒载和活载共同作用下内力的最大值；
( 3 ) 将各等分点截面的最大 ( 小 ) 内力值按同一比例绘于图上，连成曲线即得内力包络图。
求绝对最大弯矩
( 1 ) 确定使梁中点截面发生最大弯矩的荷载 P
K；
( 2 ) 移动荷载组，使 P
K
与梁上荷载的合力对称于梁的中点；
( 3 ) 计算此时 P
K
作用点截面的弯矩，即得绝对最大弯矩。
2
m a x
2
式中
---
以左梁上荷载对
作用点的力矩总和；
R ---- 梁上实有荷载的合力；设 R 位于
的右侧；
a - --- 合力 R 与
之间的距离； l ---- 梁长,
16.3 重点和难点 (1)
1,静力法作静定梁的影响线先 选 定 坐 标 系,将 P = 1 置于任意处，以 x 表示单位竖向荷载作用点的位置。由静力平衡条件求出指定量值 与 x 之间的函数关系，即影响线方程。然后再根据静力平衡条件求指定量值的影响线。作影响线的步骤
( 1 ) 建立坐标系 x,将 P = 1 置于任意处；
( 2 ) 写静力平衡方程；
( 3 ) 据方程作图；
( 4) 标正负号。
2,间接荷载作用下影响线的作图方法绘制间接荷载作用下某 量 值 的 影 响 线,可 以 通 过 修 正 直 接 荷 载 作 用 下 相 应 量 值 影 响线的方法来得到。具体作法是,( 1 ) 作出直接荷载作用下所求量值的影响线；
( 2 ) 将各结点 向影响线作投影点；
( 3 ) 以直线联结各相邻投影点。
16.3 重点和难点 (2)
3,影响线的应用
( 1 ) 利用影响线求静力荷载作用下的内力值根据影响线和叠加原理,当若干集中荷载或分布荷载作用位置确定时,利用某量值的影响线可以求得该量值的值。
集中荷载荷载作用：
1
2211
...
分布荷载作用：
ω
其中
,,,,
21
为集中荷载组
,,,,
21
作用点处 S 影响线的纵标。
ω
为荷载分布范围以内影响线的面 积 。 如 果 在 该 范 围 内,影 响 线 包括正、负两部分，则
ω
为面积的代数和。
( 2 ) 确定最不利荷载位置，求内力最大值。
单个集中荷载的最不利荷载位置为荷载作用于影响线的最大竖标处。
多个集中荷载的最不利荷载位置可用试算法确定,原则为在最不利荷载位置一定有一个集中荷载作用在影响线的顶点。
16.4 注意点
简支梁的反力和内力影响线是最基本的和经常使用的影响线，应熟练掌握
静定结构的影响线都是由直线段 组成 。 超静定结构影响线则是曲线。
正的竖距标在基线的上方,负的竖距标 在基线的下方，
并标明正负号
理解影响线任一竖标的念义。
16.5 基本要求
1,熟练掌握用静力法作简支梁,外伸梁 的反力和内力影响线。
2,会用影响线求简支梁在移动荷载作用下内力最大值或最小值。
3,了解简支梁的绝对最大弯矩和包络图的概念。
16.6 本章讲课学时分配表
2
§ 16 - 1 影响线的概念
§ 16 - 2 用静力法作简支梁的内力影响线
2 § 16 - 3 影响线的应用第十六章影响线及其应用
6 学时
2
§ 16 - 4 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
§ 16 - 5 连续梁的内力包络图机动
2 学时
2
总结本学期总计
65
学时
65
7.1 基本概念
1.几何不变体系：不考虑材料的变形，在任意荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系。
2,几何可变体系：不考虑材料的变形，在微小荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系。
3,刚片：刚片为平面体系中不考虑材料本身变形的几何不变部分。
如一根梁、一根连杆、一个铰结三角形等。
4.自由度：体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标数。
5.约束：限制体系运动的装置。约束的类型有连杆、单铰、复铰、
支杆。
6.瞬变体系：在某一瞬时可以产生微小运动的体系，由几何不变体系转变为几何可变体系，在荷载作用下，其内力趋于无限大，所以，在工程实际中不能作为结构来用。
7.1 基本概念
7,瞬铰 ( 虚铰 ),用 两 根 不 共 线 的 连 杆 联 结 两 个 刚 片 时,其 作 用 相 当 于 一 个铰。该个位于两杆交点的铰的作用。
8,单铰：联结两个刚片的铰，一个单铰相当于两个约束。
9,复 铰,联 结 两 个 以 上 刚 片 的 铰 。联 结 n 个 刚 片 的 复 铰 相 当 于 n - 1 个 单 铰 。
10,多余约束：不能使体系自由度减少的约束。
11,静 定 结 构,从 几 何 组 成 分 析 来 讲,体 系 为 无 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体 系 ；
从 静 力 分 析 来 讲,结 构 的 反 力 和 内 力 都 由 静 力 平 衡 条 件 即 可 求 得 且 为 确 定值，这类结构称为静定结构。
12,超 静 定 结 构,从 几 何 组 成 分 析 来 讲,体 系 为 有 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体系； 从 静 力 分 析 来 讲,结 构 的 反 力 和 内 力 不 能 由 静 力 平 衡 条 件 全 部 求 出 需运用其他条件才能求出所有反力和内力，这类结构称为超静定结构。
7.2 几何组成分析要点
1,几何不变体系的组成规则两刚片规则,两个刚片用不交于一点也不相互平行的三根链杆相联或用一个铰和不通过此铰的一根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。否则就是瞬变体系或常变体系。
三刚片规则,三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，组成无多余约束的几何不变体系。否则就是瞬变体系。
二元体规则,一个刚片和一个点用不在同一直线上的两根链杆联，
组成无多余约束的几何不变体系。
2,当上部体系与基础由三根支座连杆相 联时,可先撤去这些支杆,分析上部几何不变性。
3,对易于观察出的几何不变部分可通过增加二元体组装扩大 为组合刚片或通过撤去二元体的方法简化分析。
4,可通过等效代换的方法方法简化分析 ( 直杆约束代替折杆约束,铰约束代替两连杆约束 ) 。
7.3 举例例 7 - 1 试分析图示体系的几何组成 。
解 将 ABC 和 GHJ 分别合成刚片 I,II,然后依次增加二元体组成刚片
A D C B F,J H D F G,此 两 刚 片 由 铰 F 和链杆 CD 相联组成一大刚片 III,再 与基础由 三支杆相联组成几何不变体系且无多余约束。
7.4 注意点
几何不变体系的基本组成规则可用于分析常见的大体系对于较为复杂的体系，有时需用 其他 方法，如零载法等，
此不做教学内容。
作 组 成 分 析 时,体 系 中 的 每 一 部 分 或 约 束 都 不 可 以 遗 漏 或重复使用。
对于同一体系，可有多种分析途径，但结论是一致的。
只有几何不变体系才能做为结构来用。
7.5 重点和难点
记住几何不变体系的三个几何组成规则，
灵活运用其来分析体系的几何不变性。
体系分无多余约束的几何不变体系；有多余约束的几何不变体系；几何可变体系 (包括常变体系和瞬变体系 )。
7.6 基本要求
理解上面提到的几个概念，记住几何不变体系的组成规则，会分析体系的几何不变性并指出有无多余约束，若有，有几个。
掌握静定结构和超静定结构的概念。
7.7 本章学时分配表授课章节 总学时学时分配授课内容
2
§ 7 - 1 几 何 组 成 分 析 的 目 的
( 已讲 )
§ 7 - 2 组 成 几 何 不 变 体 系 的基本规则
§ 7 - 3 体 系 几 何 组 成 分 析 的举例第七章 平面体系的几何组成分析
3
1
§ 7 - 3 续
§ 7 - 4 静定结构和超静定结构进第八章 静定结构的内力分析静定结构的反力和内力用静力平衡条件就可唯一求出。 因 此,静 定 结 构 内 力 的 分 析 方 法 主 要 是 选 取 脱 离 体,
应 用 平 衡 条 件 计 算 支 座 反 力 和 内 力 。 静 定 结 构 在 实 际 工程中得到广泛应用,又是超静定 结构 分析的基础。 因此，
熟 练 掌 握 静 定 结 构 的 受 力 分 析 方 法,了 解 其 力 学 性 能,
对结构设计或选择 结构形式时 的定 性分析是极其重要的。 本 章 主 要 讨 论 静 定 梁,刚 架,拱,桁 架 和 组 合 结 构的内力。
8.1 基本概念 (1)
1,静定结构的基本特性
( 1 ) 静定结构和超静定结构都是几何不变体系，二者的主要差别是：在几何 构 造 方 面,静 定 结 构 无 多 余 约 束,而 超 静 定 结 构 则 具 有 多 余 约 束 ； 在 静力 方 面,静 定 结 构 的 全 部 内 力 和 支 座 反 力 由 平 衡 条 件 就 能 确 定,且 解 答 是唯 一 的,而 超 静 定 结 构 则 不 能,必 须 借 助 变 形 条 件 才 能 求 得 全 部 反 力 和 内力。
( 2 ) 静定结构的反力和内力与结构所用材料的性质、截面的大小和形状都没有关系。
( 3 ) 静定结构在温度变化,支座移动,材料伸缩和制造误差等因素影响 下，
都不产生反力和内力。
( 4 ) 如果一组平衡力系作用在静定结构上某一几何不变部分,则只有该部分产生内力外，其余部分不会产生内力。
8.1 基本概念 (2)
2,杆系结构的分类
( 1 ) 按 空 间 观 点,结 构 可 分 为 平 面 结 构 和 空 间 结 构 。 组 成 结 构 的 所 有 杆 件 的 轴 线 和 作 用 在 结 构 上 的 荷载 都 在 同 一 平 面 内,则 此 结 构 称 为 平 面 结 构 ； 反 之 如 果 组 成 结 构 的 所 有 杆 件 的 轴 线 或 荷 载 不 在 同 一平 面 内 的 结 构 称 为 空 间 结 构 。 实 际 工 程 中 结 构 都 是 空 间 结 构,但 大 多 数 结 构 在 设 计 中 是 被 分 解 为 平面结构来计算的。不过在有些情况下，必须考虑结构的空间作用。
( 2 ) 按 照 几 何 观 点,结 构 可 分 为 杆 件 结 构,薄 壁 结 构,实 体 结 构 。 杆 件 的 几 何 特 征 是 杆 件 的 长 度 远 远大于某截面的宽度和厚度，杆件结构便是由细长的 杆 件 或 若 干 根 细 长 的 杆 件 所 组成的结构，或称杆系结构；薄壁结构是厚度远远小于其他两个尺度的 结 构 ； 实 体 结 构 是 指 三 个 方 向 的 尺 度 大 约 为 同 量级的结构 。
( 3 ) 本书只研究平面杆系结构,常见的形式有下列几种
①静定梁：梁是一种常见的结构,其轴线常为直线，是受弯杆件，有单跨梁和多跨梁的形式。
单跨梁：由单根杆与基础组成的静定梁。
多 跨 梁,若 干 根 梁 由 中 间 铰 两 两 相 联,然 后 与 基 础 组 成 的 静 定 结 构,分 析 时 要 找 出 哪 是 基 本 部 分？
哪 是 附 属 部 分? 几 何 组 成 分 析 是 从 基 本 部 分 开 始 后 附 属 部 分,而 内 力 计 算 是 先 从 附 属 部 分 开 始 后 基本部分。
8.1 基本概念 (3)
②静定刚架：由直杆组成，各杆主要受弯曲变形，结点大多是刚性 结 点,也 可 以 有 部 分 铰 结 点 的 静 定结构，在刚结点处各杆之间的夹角不因任何原因而有所改变，这是刚架的特点之一。
③静定桁架：由直杆组成，结点全部假设为理想铰结点，荷载作用 在 结 点 上,各 杆 只 产 生 轴 力 的 静 定结 构,桁 架 杆 有 上 弦 杆,下 弦 杆,竖 杆 和 斜 杆 。 这 种 结 构 形 式 在 桥 梁 和 房 屋 建 筑 中 应 用 也 是 较 广 泛 的 。
④ 组 合 结 构,一 部 分 是 桁 架 杆 件,只 产 生 轴 力,另 一 部 分 是 梁 或 刚 架 杆 件,即 受 弯 杆 件,任 一 截 面 有 三个内力分量。由这两部分杆件组成的结构便是组合结构。
⑤拱：杆轴为曲线且在竖向荷 载作用下能产生水平推力的结构。在 一 定 条 件 下 可 以 使 拱 以 压 缩 变 形 为处，使拱的各截面主要产生轴力。
拱各部分的名称：拱轴线 — 拱身各横截面形心的连线。
拱顶 ---- 拱结构的最高一点。
拱趾 ( 拱脚 ) ---- 拱的两端与支座连接处。
跨度 ---- 两个拱脚之间的水平距离。
拱高 ---- 拱顶到拱脚连线的竖向距离。
矢跨比 ---- 拱高与跨度之比。
⑥三铰拱：两曲杆与基础由不在同一直线上 的三个铰两两相联组成 的
8.1 基本概念 (4)
3,平面弯曲的概念,在外力作用下梁的轴线变为一条平面曲线,称为梁的挠曲线,此挠曲线必在此纵向对称平面内,这种弯曲变形称为平面弯曲。 平面弯曲是弯曲问题中最简单的情形，也是建筑工程中经常遇到的情形。
4,静定梁的内力
( 1 ) 内 力 的 概 念,用 假 想 的 截 面 将 拟 求 杆 的 截 面 切 开,横 截 面 上 必 有 两 个 内 力 分 量,平 行 于横截面的竖向内力 Q 和位于荷载作用平面内的内力偶矩 M 。 Q 称 剪 力,因 为 它 使 梁 发 生 相对错动，而产生剪切的效果； M 称为弯矩，它使梁发生弯曲变形。
( 2 ) 剪力方程和弯矩方程：梁内各横截面上的剪力和弯矩一般是随着横截面的位置不同 而变化的。横截面位置若沿梁轴线的坐标 X 来表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标 X 的函数,Q ( x ) 和 M ( x ) 分别叫做剪力方程和弯矩方程。
5,截面法的应用
( 1) 内力符号规定,轴力以拉力为正，反之为负；剪力以绕隔离体顺时针转为正，反之为负；
弯矩不作正、负规定，但弯矩图应绘于杆件的受拉侧。
( 2 ) 内力计算法则,轴力等于截面一侧所有外力沿截面法线 方 向 的 投 影 代 数 和 ； 剪 力 等 于 截面一侧所有外力沿截面切线方向的投影代数和 ；弯矩等于截面一 侧 所 有 外 力 对 截 面 形 心取矩的代数和 。
8.1 基本概念 (5)
6,梁、刚架的内力图绘制
( 1 ) 荷载与内力之间的微分关系 ( 直杆 )
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
上式表明剪力对 X 的一阶导数等于梁上相应截面分布荷载的集度； 弯矩对 X 的一阶导数等于梁上相应截面的剪力；弯矩对 X 的二阶导数等于梁上分布荷载的集度。
( 2 ) 由上微分关系推出任一直段梁内力图的特点
① 杆上无荷载区段,Q 图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
②集中力作用点处，剪力图有突变，突变量等于该集中力。弯矩图有尖角。
③杆上有均布荷载区段,Q 图为斜直线，弯矩图为一抛物线。
④集中力偶作用处，剪力图 无 变 化 。 弯 矩 图 在 力 偶 作 用 处 的 两 侧 截 面 有 突 变,突 变 量为该力偶值。
( 3 ) 分段叠加法作任一直段梁的弯矩图,先求端弯矩值引起的弯矩图
,然 后 叠 加 相 应简支梁在杆上荷载作用下的弯矩
0
，即得任一直段梁的弯矩图 M 。 即：
0
8.1 基本概念 (6)
7,桁架的基本假定,
( 1 ) 各杆均为直杆；
( 2 ) 各杆的结点均为理想的铰结点；
( 3 ) 各杆轴线绝对平直且在同一平面内通过铰的中心；
( 4 ) 荷载和支座反力都作用在结点上，只产生轴力并且都位于桁架的平面内。
8,桁架的主内力与次内力
( 1 ) 主内力,按理想桁架算得的应力。
( 2 ) 次内力,实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲产生的应力 。
9,桁架的组成,( 1 ) 简单桁架,从 基 础 或 一 个 基 本 铰 结 三 角 形 开 始,依 次 增 加 二 元 体 形 成 。
( 2 ) 联合桁架,由几个简单桁架按几何不变体系的组成规则形成。
( 3 ) 复杂桁架,不属于 前两类的桁架。
10,结点法取 桁 架 的 一 个 结 点 为 隔 离 体,由 投 影 方 程
0
0
求解 ( 只能列两个独立的平衡方程，
求解两个未知量 ) 。
8.1 基本概念 (7)
11,截面法用一个假想的截面截断待求未知力杆,将桁架分为两部分,取其中任一部分为隔离体,由 平 衡 方 程
0
0
0
或
0
0
0
或
0
0
0
求解 ( 只能列三个独立的平衡方程,求解三个未知量 ) 。
12,结点平衡的特殊情况
( 1 ) 两杆交于一结点。结点 上无荷载时，两杆内力为零。
( 2 ) 三杆交于一结点,其中两杆在一直线上。 结点上无荷载时,不在此直线上的杆件内力为零，在此直线上的两杆内力同号等值。
( 3 ) 四杆交于一结点,其中四杆两两在一直线 上。结点旧无荷载时，在同一直线上的两杆内力同号等值。
( 4 ) 四杆交于一结点，成对称 K 形。结点上无荷载时，两斜杆异号等值。
8.1 基本概念 (8)
13,拱的受力特点
( 1 ) 杆轴为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平推力；
( 2 ) 在三铰拱截面的弯矩比相应简支梁的弯矩小；
( 3 ) 在竖向荷载作用下，拱截面上轴力较大，且一般为压力，一般用于抗压性能强抗拉性能弱的材料如砖、石、砼等材料。
14,合理拱轴线使拱内所有截面弯矩为零的轴线,便 是合理拱轴线。 由
0
求得 。 其 中
0
表示相应简支梁铰 C 点 的 弯 矩,H 表示三铰拱的水平推力。
8.2 内力计算要点 (1)
( 1 ) 求 内 力 的 方 法,截 面 法 即 用 假 想 的 截 面 将 拟 求 杆 件 截 断,此 时 截 面 上 暴 露 出 内 力,利 用平衡条件可求出其内力。
( 2 ) 正确选取隔离体和绘制受力图，建立平衡方程求约束力、杆件内力。
( 3 ) 绘制梁的内力图的步骤建立坐标系 X,X 以 向 右 为 正,Q 以向上为正,M 以向下为正；写出剪力、弯矩与 X 之间的关系式即剪力、弯矩方程；根据方程作图。
( 4 ) 由荷载和内力间的微分关系快速地绘制梁的内力图的步骤第一步：绘制弯矩图的步骤分段：在有集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载起、终点、支座处分段。
定点：由内力计算法则计算控制截面 的弯矩值。
联线：由内力图特点及叠加法绘弯矩图，即,当 杆 上 无 荷 载 作 用 时,用 直 线 直 接 相 联两端点的弯矩值；当杆上有荷载作用时，先用 虚 线 相 联 两 端 点 的 弯 矩 值,然 后 叠 加 相 应 简支梁在杆上荷载作用时的弯矩图。
第二步,由微分关系绘制剪力图。
8.2 内力计算要点 (2)
( 5 ) 绘刚架内力图的步骤,先绘弯矩图 ( 分 段,定 点,联 线 ) — 同 梁,然 后 由 弯 矩 图根据微分关系绘制剪力图，最后由剪力图根据刚结点平衡绘制轴力图。
( 6 ) 三铰拱支座反力及内力计算公式
0
0
0
υc o sυs i n
υs i nυc o s
0
0
0
( 7 ) 桁架内力计算的方法：结点法、截面法及联合应用结 点 法 时 所 截 断 的 未 知 力 杆 不 应 多 于 两 根,用 截 面 法 时 所 截 断 的 未 知 力 杆 不 应 多于三根；列力矩方程或 投 影 方 程 时 应 合 理 选 择 投 影 轴 和 矩 心 的 位 置,力 求 一 个 方程求解一 个 未 知 量,避 免 求 解 联 立 方 程 组 ； 若 所 选 截 面 截 断 的 杆 件 数 多 于 三 根,
则应满足两个条件，即 除 了 拟 求 的 一 个 未 知 力 外,其 他 各 未 知 力 都 汇 交 于 一 点 或都相互平行。根据计算 需 要,还 可 选 择 闭 合 截 面 。 计 算 之 前 先 判 断 零 杆 以 简 化 计算。对简单桁架，内力 计 算 次 序 与 组 成 次 序 相 反 ； 对 联 合 桁 架,应 先 计 算 连 接 杆的内力，再计算其他杆的内力 。
8.3 举例例 8 - 1 求图 1 多跨静定梁的 M 图,Q 图。
解 （ 1 ）作 M 图：先作 34 杆后作 23 杆再作 12 （ 2 ）作 Q 图：据 M 图作 Q 图图 1 M 图
Q 图例 8 - 2 试作图 2 静定刚架的内力图。 已知,DC 杆的均布荷载为 30KN/M,AD 杆 的 集 中 荷 载为 10KN,各杆长度均为 2 米。
30
10
A B
CD
2,0 0 2,0 0
2,0 0
图 2
（ 1）先求出 B支座的支反力为 10KN，据此可作出 M图 (例 8-2)
M 图（ KN - m ）
y
x
A B
CD
- 1 0,0 0
2 0,0 0
2 0,0 0
1 0,0 0
- 0,4 0
（ 2）由 M图据微分关系作 Q图 (例 8-2)
Q 图（ KN ）
（ 3）由 Q图据刚结点平衡作出 N图
N 图 （ K N ）
8.4 注意点
1,尽量不求或少求支反力，尽可能利 用 中 间 铰 的 特 性,刚 结 点 平 衡 的 特 点 快 速 地 绘 制 梁,
刚架的内力图。
2,M 图不标正负号，可画在受拉侧； Q 图,N 图必须标明正负号，可画在任一侧。
3,计算桁架内力之前先判断零杆和特殊杆,可减少计算量和简化计算。
4,桁架杆杆长与力间的比例关系为
其中：
,,
为杆件的轴力和
x,y 方向的轴力分量；
,,
为 杆 件 和 杆 长 在 x,y 方向的投影长度,所以求桁架斜 杆的内力时不要用三角函数，而用此比例关系求内力 。
5,对称性的利用应 先 考 虑 能 否 利 用 对 称 条 件 减 少 未 知 量 个 数 。 在 对 称 荷 载 作 用 下,内 力 对 称 分 布 ；
在反对称荷载作用下，内 力 为 反 对 称 分 布 。 利 用 这 一 性 质,可以增加桁架杆的零杆数目、
减少其他结构的未知量数目，以简化计算。
6,对三铰刚架或带拉杆的三铰拱的水平推力可以利用三铰拱水平推力公式来求以简化计算。
8.5 重点和难点 (1)
1,分 段 叠 加 法 作 任 一 直 杆 的 弯 矩 图 。 即 先 求 端 弯 矩 值 引 起 的 弯 矩 图
,然后叠加相应简支梁在杆上荷载作用下的弯矩图
0
,即得任一直段梁的弯矩图
M 。
即：
0
2,利用荷载和内力间的微分关系推出内力图的特点，即,
① 杆上无荷载区段，剪力 Q 图为一水平直线，弯矩 M 图为一斜直线。
②集中力作用点处，剪力 Q 图有突变，突变量等于该集中力，弯矩 M 图有尖角。
③杆上有均布荷载区段,剪 力 Q 图为斜直线,当均布荷载方向向下时,此剪力图为一右下方斜的斜直线；弯矩 M 图为一抛物线，当均布荷载方向向下 时,弯 矩 图 为 凹 口 向 上 的 二次抛物线，当剪力等于零时，弯矩有极值。
④集中力偶作用处，剪力 Q 图 无 变 化 ； 弯 矩 M 图在力偶作用处的两侧截面有突变，突变量为该力偶值，在该点两侧弯矩图的斜率相等。
利用内力图的特点可快速作出内力图，特别是由弯矩图作剪力图，反过来由剪力图作弯矩图。
3,中间铰的特性，刚结点的特性中间铰的特性：各杆绕该结点可以自由转动，但不能相对移动，各杆端有相互作用力，
但没有弯矩，当结点上无集中荷载作用时，铰两侧 杆弯矩图的斜率相等。
8.5 重点和难点 (2)
刚结点的特性：当刚结点由两杆 组 成 时,而 结 点 上 无 集 中 力 偶 作 用,则 此 两 杆 端 弯 矩数 值 相 等,方 向 一 致 ( 即一杆为外侧受拉,另一杆也外侧受拉； 一杆为内侧受拉,另一杆也内侧受拉 ) ； 当 刚 结 点 由 两 杆 以 上 的 杆 组 成 时,可 以 画 出 该 刚 结 点 利 用 刚 结 点 的 平 衡 由 已 知杆的杆端弯矩求最后一杆杆端弯矩。
4,多练习绘制静定梁的弯矩图,剪力图,绘制静定刚架的弯矩图,剪力图,轴力图,求桁架杆的轴力，求三铰拱的任一截面的内力。
5,三铰拱的性能
( 1 ) 在 竖 向 荷 载 作 用 下 梁 没 有 水 平 反 力,而 拱 有 水 平 推 力 。 因 此,必 须 有 竖 向 的 基 础 以 承受此水平推力，故三铰拱的 基础比梁的基础要大。
( 2 ) 由 于 水 平 推 力 的 存 在,从 而 减 小 了 拱 的 弯 矩,故 三 铰 拱 的 截 面 尺 寸 要 比 其 对 应 的 简 支梁为小。就这点而言，三铰拱比简支梁较为经济，并能跨越较大的跨度。
( 3 ) 在 竖 向 荷 载 作 用 下,梁 的 截 面 没 有 轴 力,而 拱 的 截 面 内 轴 力 较 大 。 在选择恰当的拱轴的条件下，拱的截面主要受压,因 此,拱 式 结 构 可 利 用 砖,石,砼 等 抗 压 性 能 较 好 的 材 料制作，充分发挥这些材料的作用 。 总 之,由 于 拱 式 结 构 不 仅 受 力 性 能 较 好,而 且 形 式 多 种多样，尤其适用于较大跨度的建 筑 。 另 外,拱 结 构 的 形 式 有 利 于 丰 富 建 筑 的 形 象,因 此,
也是建筑师比较欢迎的一种结构形 式。
6,结点法、截面法及其联合应用求桁架杆的内力。
8.5 基本要求
明确平面弯曲的概念。
掌握用弯矩方程和剪力方程法用静定梁的内力图，深刻理解荷载和内力间的微分关系，并由此推出内力图的特点，能熟练、迅速、正确地绘制静定梁、刚架的内力图。
熟练掌握桁架内力计算的方法，并会求静定桁架的内力 。
了解三铰拱的受力特点及合理拱轴线的概念，会求其内力。
知道静定结构的一般性质。
8.6 本章讲课学时分配表
2
§ 8 - 1 梁的内力
§ 8 - 2 绘 制 梁 的 内 力 图 - - - 剪力图和弯矩图
2
§ 8 - 3 弯 矩,剪 力 和 分 布 荷 载集度之间关系
§ 8 - 4 多跨静定梁的内力
2
§ 8 - 4 续
§ 8 - 5 静定平面刚架的内力
2 § 8 - 5
续
2
§ 8 - 6 三铰拱的内力
§ 8 - 7 静定平面桁架的内力
2
§ 8 - 7 续
§ 8 - 9 静定结构的基本特性第八章 静定结构的内力分析
14
学时
2
习题讨论课第九章 梁的应力上章讨论了梁的内 力，本 章主要解决 梁 在 外 力 作 用 下 截 面 上 任 一 点 的 应 力及强度计算。
9.1 基本概念 (1)
1,平面弯曲的外力特点外力作用线通过弯曲中心,并垂直于梁轴 ；外力作用平面与形心主惯性平面重合或平行。
2,纯弯曲和横力弯曲在杆件横截面上仅有内力弯矩,无剪力,杆件的这种受力状态称纯弯曲,纯弯曲时,梁的横截面上剪力为零，弯矩为常数。
在杆件横截面上的内力除弯矩外，尚有剪力，杆件的这种受力状态称横力弯曲。
3,平面假定假设整个横截面在变形后仍是平面称为平面假定
4,中性层和中性轴当杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层称中性轴。
中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线，称为中性 轴。
当 平 面 弯 曲 时,直 梁 的 中 性 轴 通 过 横 截 面 的 形 心 且 垂 直 于 载 荷 作 用 面 。 曲 杆 的 中 性 轴 不通过横截面的形心，而是向曲杆中心移动但垂直于载荷作用面。
9.1 基本概念（ 2）
5,梁的合理截面为 了 减 轻 梁 的 自 重 和 节 省 用 料,应 该 在 满 足 所 需 要 的 W
Z
前提下，为横截面选择适当的形 状,使 得 W
Z
与横截面面积 A 的比值尽可能地大。 在面积 A 相 同 的 情 况 下,用 工 字 形 截 面比矩形截面合理； 矩形截面竖放比平放合理； 环形截面比圆形截面合理。 对塑性材料制成的梁应该选择对称的截面形状，对脆性材料制成的梁宜做成不对称截面。
6,一点的应力状态过点 A 的所有各方位上的应力情况。
7,梁的主应力和主平面最大正应力和最小正应力作用面为主平面，主平面上的正应力为主应力。
主应力
σ
τ
α
τ
σσ
σ
σ
2
2t a n
22
0
2
2
m i n
m a x
8,梁的最大剪应力和作用平面
τ2
σ
β2t a n
τ
2
σ
τ
τ
0
2
2
m i n
m a x
9.1 基本概念（ 3）
9,惯性矩
2
是横截面对中性轴的惯性矩。
其中 矩形截面
12
3
圆形截面
64
4
π
10,抗弯截面模量
m a x
其中 矩形截面
6
2
12
2
2
3
圆形截面 32
2
64
2
3
4
π
π
如果是型钢，可查型钢表。
1 1,梁的曲率公式
ρ
1
其中
称为抗弯刚度。
圆形截面
32
2
64
2
3
4
π
π
如果是型钢，可查型钢表。
9.2 解题要点
1,求静定梁的支反力；
2,画静定梁的 Q,M 图；
3,判断危险截面和危险点；
4,截面图形几何性质的计算；
5,强度计算。强度计算可解决三方面的问题,
一是强度校核，二是设计截面，三是求许用荷载。
9.3 注意点
对 受 弯 曲 的 梁 来 说,一 般 弯 矩 是主 要 的,所 以 无 论 强 度 校 核 还 是设 计 截 面,首 先 按 正 应 力 强 度 条件 进 行,然 后 进 行 剪 应 力 校 核 。
正确判断危险截面和危险点。
注意各公式的适用条件。
9.4 重点与难点（ 1）
1,梁横截面上的正应力推导
( 1 ) 矩形截面等直梁的实验观察纵向线变成了相互平行的圆弧线；横向线倾斜了一 个 角 度,但 仍 保 持 为 直 线,且 处 处 与 弯曲后的纵向线垂直。
( 2 ) 假设和推导平面假设；假设各纵向纤维之间是纯弯曲而无挤压 作 用 ； 在 横 截 面 的 同 一 高 度 上 所 有 纤 维的变形是相同的。
( 3 ) 应变分布规律应变与中性层曲率半径成反比，与该纤维到中性层的距 离 成 正 比,与 Z 方向的位置无关。
( 4 ) 应力分布规律正应力沿梁高度线性分布，中性轴上等于零，外边缘上最大。
( 5 ) 正应力公式的推导 ( 略 )
直梁的正应力公式
σ
9.4 重点和难点（ 2）
正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力。另一侧为压应力。
横截面上最大正应力
m a x
σ
直梁的正应力公式只能在满足以下三个条件时才能使用,
( a ) 平面弯曲； ( b ) 纯弯曲或
5?
的剪切弯曲，这儿 h 为 梁 的 高 度,l 为跨度； ( c ) 应力小于比例极限。
( 2 ) 梁截面上的剪应力
① 矩形截面的剪应力公式?
*
m ax
τ?
剪应力的大小沿梁高度呈抛物线分布，最大剪应力发生在截面中性轴处。剪应力方向和截面 上剪力方向一致。
横截面上最大剪 应力
*
m a x
m a x
τ
对矩形截面
2
3
m a x
τ
应 当 指 出,矩 形 截 面 的 剪 应 力 公 式 的 应 用 条 件 除 和 弯 曲 正 应 力 相 同 外,还 要 另 加 矩形截面高度大于宽度这一条件。
9.4 重点和难点（ 3）
②其它截面的最大剪应力对工字形截面
m a x
τ
（这是近似公式）
圆形截面
3
4
m a x
τ
( 3 ) 强度条件弯曲正应力强度条件
στ
m a x
其中 M --- 所求横截面上的弯矩；
--- 梁的抗弯截面模量；
σ
---- 材料的许用应力。
弯曲剪应力强度条件
ττ
*
m a x
m a x
9.4 重点和难点（ 4）
其中 Q --- 所求横截面上的剪力；
---- 横截面对中性轴的惯性矩；
*
---- 距中性轴 y 处 的 横 线 以 下 ( 或以上 ) 的面积
*
对中性轴的静矩 ( 有正有负 ) ；
b ----- 横截面的面积；
τ
---- 材料的许用剪应力。
矩形截面上的剪应力最大值是平均剪应力的 1,5 倍即,
5.1
m a x
τ
圆形截面上的剪应力最大值是平均剪应力的 1,3 3 倍即,
3
m a x
3
4
π
τ
工字形截面上的剪应力最大值由剪应力公式来求。
( 4 ) 二向应力状态
①二向应力状态时任一斜截面上的应力、主应力和主平面方位,
任一斜截面上的应力
α2c o sτα2s i nσσ
2
1
τ
α2s i nτα2c o sσσ
2
1
σσ
2
1
σ
α
α
9.4 重点和难点（ 5）
主应力大小
2
2
2
2
2
1
42
1
42
1
τ
σσ
σσσ
τ
σσ
σσσ
主平面方位
σσ
τ
α
2
2
其中
αα
τσ,
---- 斜截面上的正应力和剪应力；
ττσσ,..
---- 单元体 x,y 面上的正应力和剪应力；
)(..
321321
σσσσσσ
----- 应力单元体上的主应力。
②二向应力状态下的强度条件 ---- 强度理论第一强度理论 强度条件是
σσ?
1
第二强度理论 强度条件是
σσσμσ
321
第三强度理论 强度条件是
σσσ
31
第四强度理论 强度条件是
σσσσσ
31
2
3
2
1
9.5 基本要求
1,明确纯弯曲和横力弯曲和概念,了 解推导梁弯曲正应力公式的方法。
2,熟练掌握弯曲正应力的计算，弯 曲 正应力强度条件及应用。
3,理解矩形截面梁弯曲剪应力公式 的 推导过程，掌握相应的剪应力分布规律。
4,掌握常见截面梁横截面上最大剪 应 力的计算 和强度校核方法。
5,知道弯曲中心的概念。
6,了解提高梁刚度的一些主要措施。
7,了解一点应力状态、主应力和主平面,单 元 体 等 基 本 概 念,知 道 四 个 强 度 理 论 。
9.6 本章讲课学时分配表
2
§ 9 - 1 梁 内 正 应 力,正应力强度条件
2
§ 9 - 2 梁 内 剪 应 力,剪应力强度条件
§ 9 - 3 梁的合理截面和变截面梁第九章梁的应力
6
学时
2
§ 9 - 4 梁 的 主 应力,主 应力 迹 线
§ 9 - 5 二 向 应力 状 态 下的 强 度 条 件 — 强 度 理 论第十章 梁的变形梁在外力作用下除了限制其应力，使使其满足强度条件外，还必须限制它的变形，即必须具有足够的刚度，满足刚度条件。
10.1 基本概念
1,挠曲线 挠曲线方程弯曲后的梁轴线称为梁的挠曲线（弹性曲线）,有时也 称为梁的挠曲线轴或梁的弹性曲线。当梁发生平面弯曲时，梁的挠曲线可用方程
)(
来表示 。
2,挠度和转角弯曲变形时的位移有两种,一 种是横 截面形心在变形后轴线垂直方向的位移叫挠度 。 另一 种是横截面转动的角度叫转角。挠度的正负号规定,以向 下为正，向上为负；
转角的正负号规定为顺时针转为正，反之为负。
梁的变形可用挠度和转角两个量 来度 量,在建筑工程中梁的挠度是度量梁的变形的主要指 标，要求将 其限制在一定的范围之内
10.2 重点和难点
1,挠曲线近似微分方程在小变形条件下
)(
2
2
积分后得梁的挠度（积分常数由边界条件求得） 。
2,用叠加法求梁的转角和挠度在 多 个 载 荷 作 用 下,梁 的 任 一 截 面 的 转 角 和 挠 度 等 于 各 个 载 荷 情 况 下 的 等 截 面 转 角,挠 度 方 程 。
3,梁的刚度条件
θθ?
m a x
m a x
4,提高梁刚度的主要措施
( 1 ) 增大梁的抗弯刚度即增大 E I
增 大 截 面 惯 性 矩 I 可 增 加 截 面 尺 寸,也 可 改 变 截 面 形 状 。 如 果 将 圆 形 改 为 工 字 形,槽 形 或 箱 形,
可 使 得 截 面 面 积 A 较 小 而 截 面 惯 性 矩 I 较 大 。 另 外,还 可 提 高 材 料 的 弹 性 模 量 E,对 钢 材 来 讲,
高 强 度 钢 与 普 通 低 碳 钢 的 弹 性 模 量 E 值 是 很 接 近 的,因 此,改 用 高 强 度 钢 虽 然 增 加 强 度,
但不能增加刚度。
( 2 ) 调整梁的跨长和改变结构形式
10.4 基本要求
1.明确挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立过程 。
2.掌握计算梁变形的积分法和叠加法。
3.了解梁的刚度条件和提高梁刚度的主要措施。
10.5 本章讲课学时分配表第十章梁的变形
2
学时
§ 10 - 1 梁 挠 曲 线 的近似微分方程
§ 10 - 2 用 积 分 法 求梁的变形
§ 10 - 3 叠加法求梁的变形
§ 10 - 4 梁 的 刚 度 计算 和 提 高 梁 的 刚 度 的措施第十一章 杆件在组合变形下的强度计算前面各章分别叙述了 拉伸、剪切,扭 转 和 弯 曲 等 基 本 变 形 的 杆 件 的强度和刚度计算。 实际工程中,有许多 杆 件 往 往 同 时 存 在 着 几 种 基 本 变形,这 类 杆 件 称 为 组 合 变 形 杆 件 。 本章主要讨论组合杆件的强度计算。
11.1 基本概念
1,组合变形,杆件在外力作用下，同时发生两种以上的基本变形。
2,斜弯曲相互垂直的两个形心 主轴平面内的两个平面弯曲的组合。 外力的作用平面或作用线虽然通过弯曲中心,但是它并不通过 也不平行于杆件横截面的任一形心主轴。 所以解决斜弯曲问题的基本方法就是首先将斜 弯 曲 分 解 为 两 个 形 心 主 轴 平 面 内 的 平 面 弯 曲,然 后 再 将 这两个平面弯曲所产生的内力、应力、变形等分别叠加。
3,拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的组合变形作用在杆件上的外力即有轴向拉伸 ( 压 ) 力 又 有 横 向 力,则 杆 件 将 发 生 拉 伸 ( 压缩 ) 与弯曲的组合变形。杆件承受通过 形 心,即不平行于也不垂直于轴线的外力作用时，杆件将同时承受拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的联合作用。 当杆件承受与轴线平行的偏心力作用时,杆件也承受拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的联合作用。
4,偏心压缩,压力作用线不通过杆件截面的形心的情形。
5,组合变形时杆件横截面上应力计算的方法 --- 叠加法。
11.2 解题要点
1,外力的简化和分解首先将作用在杆件上的任意力系进行简化，使简化后的各外力 ( 力偶 ) 分量只分别产生一种基本变形。通过对外力的分析，可帮助我们确定组合变形的类型。
2,内力分析根 据 外 力 的 作 用 情 况,进 行 内 力 分 析 。 对 于 每 种 基 本 变 形 形 式,要 分 别 作 出 杆 件 的 内 力 图 。 在综 合 分 析 各 种 基 本 变 形 形 式 的 内 力 图 后,再 进 一 步 确 定 危 险 截 面 的 可 能 位 置,并 求 出 危 险 截 面 上 的各内力值。一般来说，弯矩是控制因素，因此要特别注意最大 弯矩所在的截面。
3,应力分析根 据 危 险 截 面 上 的 内 力 值,再 进 一 步 分 析 危 险 截 面 上 的 应 力 分 布 规 律,明 确 危 险 点 所 在 的 位 置 。
一般正应力为控制因素，因此要特别注意绝对值最大的正应力所在的点。 1
4,取单元体计算主应力利 用 基 本 变 形 时 应 力 计 算 式,分 别 算 出 每 一 种 基 本 变 形 形 式 下 危 险 点 处 横 截 面 上 的 正 应 力 和 剪应力，然后分别叠加，取出危险点处的应力状态单元体，计算出各个主应力值。
5,选择适当的强度理论进行强度计算。
11.3 重点和难点理解并掌握以下三个公式,
1,二个平面弯曲的组合 ( 斜弯曲 )
σσ
m a x
( 矩形截面 )
2,拉伸 ( 压缩 ) 和弯曲的组合
σσ
m a x
3,偏心压缩杆件
α
α
σσ
m a x
m a x
其中 e 为偏心距
11.4 注意点
由 于 剪 力 的 影 响 较 小,所 以 在 组 合 变 形 问 题 的 计 算 中,
一般不考虑剪力的作用。
斜弯曲时，危险点处为单向应力状态。
二个平面弯曲的组合和拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲的组合这二种情形在危险截面的危险点处均为单向应力状 态。
11.5 基本要求
了解组合变形杆件强度计算的基本方法。
掌 握 斜 弯 曲,拉 弯 组 合 变 形 杆 和 偏 心 压 缩 杆 的 应力和强度计算。
了解圆轴在弯扭组合变形时的应力和强度计算
11.6 本章讲课学时分配表
2
§ 11 - 1 斜弯曲
§ 11 - 2 拉伸 ( 压缩 ) 与弯曲组合变形的强度计算第十一章杆件在组合变形下的强度计算
4
学时
2
§ 11 - 2 续
§ 11 - 3 偏 心 压 缩 杆 件的强度计算、截面核心第十二章 压杆稳定工 程 上 经 常 遇 到 的 中 心 受 压 杆 有 桁 架 中 的 压杆,中 心 受 压 柱 等,它 们 除 了 必 须 满 足 强 度 条 件 外,主 要是考虑稳定问题，因为往往会由于“失稳”而破坏。
12.1 基本概念
1,稳定平衡和不稳定平衡如果由于某种原因，有干扰力作用于该构件使其偏离原平衡位置，
在干扰力除去后,构件仍能回到原来的平衡位 置,构件原来的平衡是稳定平衡，否则为不稳定平衡。
2,临界力：当
(
2
2
μ
π
) 时，压杆处于临界平衡状态。工 程中把与临界平衡状态相对应的临界值
称为临界力。
3,临界载荷和临界应力能保持压杆稳定平衡时杆件所能承受的最大外力称临界载荷,或者说使压杆丧失稳定的最小 外力。临界应力是临界载荷除以横截面面积。
12.2 重点和难点
1,临界应力的计算公式细 长 杆 ( 大 柔 度 杆 ) 的 临 界 应 力
μ
μ
λ
λ
π
σ
2
2
称 长 度 系 数,它 与 杆 端 约 束 有 关,两 端固 定,0,5 ； 一 端 固 定,另 一 端 铰 支,0,7 ； 两 端 铰 支,1 ； 一 端 固 定,另 一 端 自 由,2 。 i 是 横 截 面 的惯性半径,
。 称柔度或长细比
μ
λ?
。
2,压杆的稳定条件、稳定的实用计算 ----? 系数法稳定条件的基本公式
σσ
用? 系 数 法 的 稳 定 条 件
σσ υ
其 中,
σ
,
σ
分 别 表 示 稳 定 许 用 应 力 和 压 杆的许用应力；
P,N,A,? 分别表示外力、中心压杆的 轴 力,杆 件的毛截面积、折减系数
3,临界力计算的一般步骤,( 1 ) 确定长度系数； ( 2 ) 计算柔度系数； ( 3 ) 确定临界 力的计算公式。
12.3 基本要求本 章 为 自 学 内 容,主 要 了 解 稳 定 的 几 个概念和压杆的稳定计算。
第十三章 静定结构的位移计算工程结构设计中,不仅要考虑结构的 强度,还要考虑结构的变形,进行刚度验算,本 章主要讲静定结构的位移计算。
13.1 基本概念 (1)
1,位移：由于结构变形，其上各点或截面位置发生改变。
2,广义力：单个力、单个力偶、一组力、一组力偶的统称。
3,广义位移：与广义力作功 相 应 的 位 移 因 素 。 即 线 位 移 ( 截面形心位置移动的距离 ),角位移 ( 横截面转动的角度 ),相对线位移，相对角位移以及某一组位移。
4,虚功力在其他原因引起的位移上所作之功。 虚功可正可负,强调了作功的力与相应的位移之间没有因果关系。
5,变形体的虚功原理变形体处于平衡的必要和充分条件是,对于任何虚位移,外力所作虚功之和等于变形体系各微段的内力在其变形上所作虚功之和。
刚体虚功原 理是变形体虚功原理的特例即外力所作虚功总和等于零。
虚功原理所讨论的是同一变形体上力系与变形这两套彼此无关的状态 ( 作用于结构的平衡力系 ) 和位移状态 ( 符合结构的约束条件的微小连续变形 ) 则可写出平面杆系结构的虚功方程,
13.1 基本概念 (2)
ηθμ Δ
6,线弹性体系的互等定理
( 1 ) 功的互等定理,第一状态的外力在第二状态 的位移上所作之功等于第二状态 的的外力在第一状态的位移上所作之功,即,2112
。
( 2 ) 位移互等定理,在 第 一 单 位 力 的 方 向 上 由 第 二 个 单 位 力 引 起 的 位 移 等 于 在 第 二个单位力的方向上由第一个单位力引的位移,即,
2112
δδ?
。
( 3 ) 反力互等定理,支座 1 由支座 2 的单位位移引起的反力等于支座 2 由于 1 支座的单位位移引起的反力,即,2112
。
7,结构位移计算的目的
( 1 ) 确定结构的刚度；
( 2 ) 为计算超静定 结构打基础。
13.2 计算要点
建立正确的虚设力状态。若求某点的线 位 移,可 沿 位 移 方 向 虚 设 一 单 位 力 ； 若 求 角 位移，可沿角位移方向虚设一单位力偶； 若 求 相 对 线 位 移,可 沿 位 移 方 向 虚 设 一 对 方 向相反的单位力；若求相对角位移，可沿角位移方向虚设一对方向相反的单位力偶。
正确理解位移公式，知道公式中的每一顶均为功，正确写出位移计算公式。
正确使用图乘公式
( 1 ) 应用条件：等截面直杆；两个图形中至少有一 个 是 直 线 图 形 ； y
o
从直线图上取得。
( 2 ) 正负号规则：相乘两图同侧受拉时，
0
ω
乘积为正，否则为负。
( 3 ) 对图形相 乘时特殊情况的处理：图 形 的 面 积 或 形 心 位 置 不 易 确 定 时,应 分 成 几 个 简单图形 ( 直 角 三 角 形,矩 形,二 次 抛 物 线 ) 再 叠 加,即,分 块 ； y
0
所属图形不是一段直线而是由若干段直线组成或杆件中各杆段的截面不相等应分段图乘后叠加，即：分段。
( 4 ) 梁、刚架的图乘公式为：
ω
Δ
13.3 重点与难点 (1)
位移计算公式在不同外因对不同结构类型的适用范围。
( 1 ) 一般公式：
ηθμΔ1
适用范围：可用于弹性、非弹性、线性、非线性体系 。
,,
--- 虚设单位荷载引起的轴力，弯矩和剪力；
ηθμ,,
---- 实际状态中与微段相应的轴向变形、弯曲变形、剪切变形；
--- 虚设单位力引起的反力；
C ---- 实际状态中已知的支座位移值。
( 2 ) 结构不同类型的位移计算公式梁和 刚架 ( 荷载 )
Δ
拱 ( 荷载 )
Δ
桁架 ( 荷载 )
Δ
支座移动
Δ
组合结构 ( 荷载 )
Δ
13.3 重点和难点 (2)
温度变化
Δ
Δ
α
α
0
N
P
,M
P
,Q
P
---- 实际荷载引起的轴力，弯矩和剪力；
--- 材料的线膨胀系数；
0
-- 杆件轴线的温度变化值；
Δ
--- 截面两侧温度变化的差值；
--- 杆件截面的高度。
正负号规定：当实际温度变形与虚设内力变形方向一致时取正值，反之，取负值。
用图乘法求静定梁、刚架的位移公式为
ω
Δ
其中
..ω
分别为单位力弯矩图或实际荷载弯矩图的面积和此面积的形心位置对应的另一图形的纵距以及抗弯刚度,注意分子两项必须取自不同的弯矩图形 ( 具体见下面的计算要点 ) 。要求能熟练应用这个公式。
13.4 举例例 13 - 1 试求图示桁架结点 C 的 竖 向 位 移 。 已 知,各 杆 的 EA 都相同且为常数，图中荷载单位为 KN,长度单位为 M 。
解 （ 1 ） 虚 设 单 位 力 ；（ 2 ）求位移状态和虚设状态各杆的轴力； （ 3 ）
将各杆轴力代入公式求解
Δ
= 6 8,3 / E A ( 方向向下 )
13.5 注意点
计算不同结构的位移公式的适用条件。
图乘法的适用条件不能用于曲杆。
注意用图乘法和代位移一般公式 时每 一项的正负号。
复杂图形的面积或形心位置不易 确定 时可分段,分块图乘。
13,6 基本要求
( 1) 了 解 刚 体,变 形 体 虚 功 原 理,知 道 位 移 计 算 的 一 般公式及各种类型静定结构的位移公式。
( 2 ) 能正确虚设单位力，熟练掌 握用图 乘法求静定梁、
刚架在荷载作用下的位移。
( 3 ) 会求静定桁架由荷载引起的位移。
( 4 ) 了 解 由 支 座 移 动,温 度 变 化 引 起 的 静 定 结 构 的 位 移计算。
( 5 ) 了解线弹性体系的三个互等定理。
13.7 本章学时分讲课表
2
§ 13 - 1 计算结构位移的目 的
§ 13 - 2 质点及质点系的可能位移原理
§ 13 - 3 刚体的可能位移原理及静定结构由于支座移动所引起的位移计算
2
§ 13 - 4 变形体的虚功原理
§ 13 - 5 静 定 结 构 由 于 荷 载作用下所引起的位移计算
2
§ 13 - 5 续
§ 13 - 6 用图乘法计算梁及刚架的位移
§ 13 - 8 线弹性体系的互等定理第十三章静定结构的位移计算
8 学时
2 习题讨论课第十四章 用力法计算超静定结构我 们 知 道,超 静 定 结 构 的 反 力 和 内 力 由 平衡条件不能唯一求出，还必须借助于变形条件,本 章 主 要 介 绍 超 静 定 结 构 的 内 力 和 位 移 计算 。
14.2 基本概念 (1)
1,超静定结构的主要特性
( 1 ) 超静定结构的内力状态不能由静力平衡条件唯一确定，必须考虑变形条件。
( 2 ) 支座移动、温度变化、制造误差,材料收缩等非荷载因素均引起内力。
( 3 ) 超 静 定 结 构 由 荷 载 引 起 的 内 力 与 各 杆 的 相 对 刚 度 有 关,与 各 杆 绝 对 刚 度 无 关 ；
而非荷载引起的内力则与各杆的绝对刚度有关。
2,确定超静定次数的方法结构的超静定次数为其多余约束的个数。 确定超静定次数的方法是解除多余约束，
使原超静定结构成为几何不变的静定结构。所去 除 的 多 余 约 束 数 目 即 为 超 静 定 交 数 。
3,解除多余约束的方式
( 1 ) 去除支座处的一根连 杆，相当于解除一个约束；
( 2 ) 切开一根连杆，相当于解除一个约束；
( 3 ) 拆开一个单铰，相当于解除两个约束；
( 4 ) 切开受弯杆，相当于解除三个约束；
( 5 ) 受弯杆加铰，相当于解除一个约束
( 6 ) 一个无铰闭合框有三个多余约束，超静定次数为 3 。
14.2 基本概念 (2)
4,选取基本结构的原则
( 1 ) 基本结构一般为静定结构 ；
( 2 ) 选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便，并尽量使较多的副系数和自由项为零；
( 3 ) 较易于绘制
图和?
图 。
5,对称结构的特点
( 1 ) 结构的几何形状和支承情况对称于某轴；
( 2 ) 各杆的刚度对称于某轴；
( 3 ) 正对称荷载作用时,受力与变形均为对称； 反对称荷载作用时，
受力与变形均为反对称。
14.2 计算要点
1,在计算之前先检查基本结构 是 否 几 何 不 变 ；
2,求系数和自由项时，先校核内力图；
3,求 解 方 程 后,将 解 代 回 原 方 程 检 查 正 确 与 否 ；
4,校核最后内力图。
5,掌握简化方法，用它来简化计算 。
14.3 基本理论与公式 (1)
1,力法原理超静定结构的计算方法很多,一 是 力 法,一 是 位 移 法,是 以 结 点 位 移 为 基 本 未 知量，其他方法大多是从这两种方法演变而来。
力法求解超静定结构是以多余 未 知 力 作 为 基 本 未 知 量,按 照 超 静 定 结 构 上 去 除 的多余约束性质确定基本未知量 和 基 本 结 构 。 根 据 基 本 结 构 沿 多 余 约 束 的 方 向 的 位 移 和原结构相应位移相同建立变形条件得到力法方程，称为力法。
力法方程的建立表明基本 结 构 与 原 结 构 具 有 相 同 的 变 形 状 态 和 受 力 状 态 。 由 力 法 方 程求得多余未知力后，反力 和 内 力 均 为 静 定 问 题,可 按 叠 加 法 或 基 本 结 构 的 平 衡 条 件 计算内力。
2,力法的典型方程
111212111
ΔΔδ...δδ
222222121
Δδ.,,δδ Δ
……
n2211
ΔΔδ.,,δδ
右端项
Δ ---- 原结构的已知位移条件，为零或非零。
14.3 基本理论及公式 (2)
主系数 ii
δ
---- 基本结构上多余未知力
1?
在其自身方向产生的位移，恒为正值；
副系数 ij
δ
( i ≠ j ) - - - - 基本结构上多余未知力
1?
在第 j 个多余未知力方向产生的位移，可为正、负或零,
δδ?；
自由项
ΔΔΔΔ,,
---- 基本结构上外因 ( 荷 载、温度变化、支座移动等 ) 在第 i 个多余未知力方向产生的位移，可为正、负或零；
其中
Δ
ω
αΔ
ωαΔ
μΔ
μδδ
μδ
222
14.3 基本理论公式及要求 (3)
3,内力叠加公式梁、刚架 由?
,,,
2211 作 M 图；
Q 图和 N 图可由 M 图求得。
桁架?
,..
2211
4,位移计算公式 ( 忽略轴力和剪力的影响 )
( 1 ) 荷载作用
Δ
( 2 ) 温度变化
ΔΔ
( 3 ) 支座位移
ΔΔ
式中
---- 任取的静定基本结构在虚拟单位力作 用下的弯矩分布；
---- 超静定结构在荷载作用下的弯矩分布；
---- 超静定结构发生温度时的弯矩分布；
---- 超静定结构发生支座位移时的弯矩分布；
14.3 基本理论及公式 (4)
Δ.Δ
` ---- 温度变化时或支座位移时在任取的基本结构上指定截面 K 的位移值。
Δ.Δ
` ---- 温度变化时或支座位移时在任取的基本结构上指定截面 K 的位移值。
5,内力图校核公式
( 1 ) 平衡条件校核,截取结构中的刚结点,杆件或某一部分，检验是否满足下式,
( 2 ) 变形条件校核
ΔΔ?
其中
Δ
表示基本结构 K 点的 相应位移；
y
Δ
表示原结构 K 点的相应位移。
若检查闭合框结构某一截面相对转角是否为零，即：
0
1
Δ
0
0
0
14.3 基本理论及公式 (5)
6,力法的解题步骤
( 1 ) 判断超静定次数,超静定次数等 于 多余约束的个数等于超静定结构变成静定结构 所拆掉的约束数；
( 2 ) 列力法典型方程,基本体系沿多 余 约束处的位移等于原结构沿多余约束处的位移；
( 3 ) 求系数和自由顶；
( 4 ) 代方程多余未知力；
( 5 ) 由叠加原理画弯矩图，再由弯矩图画剪力图和轴力图。
14.4 解题要点
1,在计算之前先检查基本结构 是否几何不变；
2,求系数和自由项时，先校核内力图；
3,求解方程后，将解代回原方程检查正确与否；
4,校核最后内力图。
5,掌握简化方法，用它来简化计算 。
14.5 注意点
1,正确判断超静定次数；
2,力法的基本结构不是唯一的，但一般是静定结构；
3,力法方程的右端不一定是零，与所受外因有关；
4,简化计算的方法
( 1 ) 选取对称的基本结构，以简化计算；
选取对称的基本结构且基本未知量全是对称或反对称未知力，这时可将未知力分组，
一组只念对称的未知力，一组只念反对称的未知力。
( 2) 对称性的利用对称结构在对称荷载作用下在对称位置只有对称的未知力,在反对称荷载作用下只有反对称的未知力。
5,注意基本结构和基本体系的区别基本结构为原结构去掉多余约束后的 静 定 结 构 ； 而 基 本 体 系 为 原 结构去掉多余约束后的静定结构，再加上所受的外因。
14.6 基本要求
( 1 ) 熟练判断超静定次数,画出力法基 本结构,写出力法方程；
( 2 ) 知道力法方程、系数和自由项的含义；
( 3 ) 用力法熟练计算超静定梁,刚架在 荷载作用下的内力，
会画弯矩图；会写超静定结构由支座移动引起的力法方程式。
( 4 ) 了解对称性的利用。
14.7 本章讲课学时分表
2
§ 14 - 1 超静定结构概述
§ 14 - 2 力法的基本原理
2
§ 14 - 3 力法的基本结构和超静定次数
§ 14 - 4 力法的典型方程
2 § 14 - 4
续
2
§ 14 - 7 力法计算其他类型的超静定结构
2
§ 14 - 5 对称性的利用
§ 14 - 9 超静定结构的特性第十四章用力法计算超静定结构
12
学时
2
习题讨论课第十五章 位移法与力矩分配法上 章 讨 论 了 力 法 计 算 超 静 定 结 构,当 超 静 定 次 数 较 多时,用 力 法 计 算 将 十 分 困 难,于 是 人 们 又 提 出 了 位 移 法,是以结点位移为基本未知量 。 进而又发 展了力矩分配法,它不需要建立方程组，就可求得杆端内力，特别适合手算。
15.1 基本概念 (1)
1,位移法的基本思路位移法以结构 中的某些结点位移为基本未知量,可按两 思路求解结点位移和内力。
主要用于超静定结构 。
第一种思路是把结构 分离成单根杆件,建立杆端位移与杆端力之间的物理关系,利用 杆件隔离处的杆端力应满足的平衡条件形成位移法方程。 求出杆端位移后,再求杆端力。
第二种思路是对结点施加约束，阻止位移，形成基本结构，然后放松结点，消除附加 约 束,恢 复 原 有 位 移 。 通 过 这 一 过 程,建 立 位 移 法 方 程,求 出 结 点 位 移 和 杆 端 力 。 ( 本思路了解即可 )
2,基本未知量位移法基本未知量取为独立的结点位移和结点线位移,结点角位移指刚结点的数目；
结 点 线 位 移 指 在 全 部 固 定 端 和 刚 结 点 上 加 铰 后,使 该 铰 结 图 形 保 持 几 何 不 变 所 需 添 加 的最少链杆方向的位移 。
15.1 基本概念 (2)
确定结点线位移所作的假设为,
( 1 ) 弯曲变形微小，受弯直杆弯曲后两端之间距离不改变；
( 2 ) 受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形。
3,转动刚度 S
当杆端 AB 的 A 端发生单位转角时,于 A 端产生的弯矩值。 转动刚度与杆件的弯曲和 B 端 ( 远端 ) 的支承条件有关。
远端固定,4i 远端铰支,3i 远端滑动,i 远端自由,0
4,传递系数 C
杆端发生单位转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值，视远端的支承条件而异。
远端固定,0,5 远端铰支,0 远端滑动,- 1
15.1 基本概念 (3)
5,分配系数表示将结点的外力矩分配到各杆近端的分配比率。按下式计算,
)(
μ
且
1
)(
μ
6,分配弯矩将结点外力矩 M 按分配系数分配给 各 杆 近 端,近 端 得 分 配 弯 矩 为,
μ?
。
当结点力矩为正 ( 顺时针方向 ),分配弯矩也为
7,传 递弯矩按传递系数将近端的分配弯矩传递到远端，远端得传递弯矩 为,
15.2 计算要点 (1)
1,判 断 位 移 法 基 本 未 知 量 。 独 立 结 点 角 位 移 未 知 量 等 于 刚 结 点 的 数 目 ； 独 立 结 点 线位移未知量等于附加链杆的数目。
2,位移法的计算步骤
( 1 ) 确定位移法基本未知量；
( 2 ) 写等截面直杆的转角位移方程即杆端弯矩方程；
3) 用结点法或截面法列位移法基本方程对刚结点：
0?
对结点线位移：
0)(
( 4 ) 联立求解位移法方程组求出结点位移；
( 5 ) 将结点位移代回第二步得杆端弯矩，画弯矩图。
15.2 计算要点 (2)
3,等截面直杆的转角位移方程两端固定
6
υ4υ2
Δ
6
υ2υ4
A 端固定,B 端铰支
0
3
3
Δυ
A 端固定,B 端定向支座
υυ
υυ
其中 i --- 杆件的线刚度,?
将结点外力矩 M 分配系数分配给各杆近端,近端得分配弯矩：
μ?
。 当结点力矩为正 ( 顺时针方向 ),分配弯矩也为正。
15.2 计算要点 (3)
,
---- 杆端弯矩，以顺时针转为正，反时针转动为负；
,
---- 固端弯矩，为梁在荷载、温度变化、支座沉陷作用下产 生 和 杆 端 弯矩，绕杆端顺时针转为，逆时针转为负。
Δ,,
υυ
--- 杆端转角 ( 以顺时针转为正 ),杆 端 相 对 线 位 移 ( 以使杆件顺时针转动为正 ) 。
4,力矩分配法用于无侧移结构，其计算目的为杆端弯矩。计算思路为,
( 1 ) 先 锁,求 刚 臂 内 的 不 平 衡 力 矩 。 某 结 点 K 的不平衡力矩为交于 K 点的各杆固 端弯矩代数和。
( 2 ) 后 松,在 结 点 处 加 入 反 号 的 不 平 衡 力 矩,放 松 结 点,按 基 本 运 算 求 杆 端 弯 矩,按 一 定顺序，重复前两步，直到传递弯矩可略去不计。
( 3 ) 再 叠 加,求 最 终 杆 端 弯 矩 。 杆 端 弯 矩 由 该 杆 端 的 固 端 弯 矩,分 配 弯 矩 和 传 递 弯 矩 相 加而得。
15.2 计算要点 (4)
5,力矩分配法的基本运算
( 1 ) 分配结点外力矩将结点外力矩 M 分配系数分配给各杆近端，近端 得 分 配 弯 矩,
μ?
。
当结点力矩为正 ( 顺时针方向 ),分配弯矩也为正。
( 2 ) 进行弯矩传递按传递系数将近端的分配弯矩传递到远端，远端得传递弯矩,
C?
。
6,可利用对称性简化计算对称结构在对称荷载作用下产生对称的变形和位移,在 反 对 称 荷 载 作 用 下 产 生反对称的变形和位移。在位移法中可以利用位移的 对 称 性 和 反 对 称 性 以 求 简 化 。 一般取半结构计算。
15.3 重点和难点
1,理解位移法的基本思路，重点是用刚度方程法求杆端内力和结点位移。
2,会写单杆的转角位移方程。
3,会 求 分 配 系 数,知 道 力 矩 分 配 法 的 计 算 步 骤,能 计 算 无侧移刚架和连续梁在荷载作用下的内力。
15.4 注意点
1,关于确定结点线位移的两个假定只适用于受 弯 直 杆,不 能 用 于 受 弯 曲 杆 以 及 桁 架 和组合结构中需要考虑轴向变形的轴力杆；
2,角位移以顺时针转为正，相对线位移以绕杆 件 顺 时 针 转 为 正 ； 杆 端 弯 矩 绕 杆 端 顺 时针转为正，杆端剪力、轴力同上。
3,对具有无限刚性横梁的结构，横梁与柱子的结点角位移为零。
4,对单结点，力矩分配法求得精确解。
5,力矩分配法适用于无侧移刚架和连续梁。
6,力矩分配法一般沿一定格式在图上运算。
7,可利用对称性简化计算对称结构在对称荷 载 作 用 下 产 生 对 称 的 变 形 和 位 移,在 反 对 称 荷 载 作 用 下 产 生 反对称的变形和位移 。 在 位 移 法 中 可 以 利 用 位 移 的 对 称 性 和 反 对 称 性 以 求 简 化 。 一 般 取半结构计算。
15.5 基本要求
熟练判断位移法的基本未知量，会写位移法刚度方程。
理解位移法的基本思路，能正确用刚度方程法求梁、刚架在荷载作用下的内力和位移并画出弯矩图。
对常用的形常数和载常数要记住，并能熟练应用。
理解转动刚度、传递系数、分配系数、固端弯矩的概念，记住转动刚度、传递系数的数值并能熟练计算分配系数。
理解力矩分配法的基本思路并能熟练掌握用它计算无侧移刚架和连续梁在荷 载作用下的内力。
15.6 本章讲课学时分配表
2
§ 15 - 1 位移法的基本概念
§ 15 - 3 单跨静定梁的形常数和载常数
2
§ 15 - 2 位移法的基本未知数
§ 15 - 5 等截面直杆的转角位移方程
2
§ 15 - 6 应用转角位移方程计算超静定结构
§ 15 - 7 力矩分配法的基本概念
2
§ 15 - 8 用力矩分配法计算连续梁和结点无线位移的刚架第十五章位移法和力矩分配法
10
学时
2 习题讨论课第十六章 影响线及其应用前 面 各 章 分 别 叙 述 了 固 定 荷 载 作 用 下 结 构 的 内 力 和 反 力的 计 算,此 时 荷 载 的 作 用 位 置 是 固 定 不 变 的,如,在 桥 梁 上行 驶 的 汽 车,火 车 荷 载,房 屋 内 的 人 群 荷 载 ； 工 业 厂 房 中 的吊车荷载等均为移动荷载。 截面上内力 随移动荷载的位置是变 化 的,设 计 时 我 们 要 求 出 内 力 最 大 值 作 为 设 计 的 依 据,同时求出最不利荷载位置。 为解 决这一 问题,引出了影响线的概念。
16.1 基本概念
1,影响线表示某量值 ( 内力、反力、位移 ) 在一个单位竖向集中力作用下变化规律的图形。
2,最不利荷载位置在移动荷载作用下，使某量值取得最大值或最小值的荷载位置。
3,内力包络图表示各个截面最大或最小内力的图形。
4,绝对最大弯矩结构各截面中的最大弯矩值，即弯矩包络图中最大竖标表示的弯矩值。
5,正负号规定反力以向上为正；剪力以绕隔离体顺 时 针 转 为 正 ； 弯 矩 以 使 梁 下 侧 受 拉 为 正 。 正 值 纵 距绘于基线上方。
16.2 分析要点 (1)
作影响线的方法静力法和机动法。我们主要讲静力法作简支梁和外伸梁的内力和反力影响线。
静力法作影响线的步骤,( 1 ) 建立坐标系 x,将 P = 1 置于任意处；
( 2 ) 写静力平衡方程，即影响线方程；
( 3 ) 根据方程作影响线；
( 4 ) 标正负号。
最不利荷载位置的判断
( 1 ) 单个集中荷载：单个荷载的最不利荷载位置为荷载作用于影响线的最大竖标处。
( 2 ) 多 个 集 中 荷 载,计 算 各 临 界 位 置 的 极 值,确 定 其 中 的 最 大 值,与 最 大 值 对 应 的 临界位置即为最不利荷载位置。
16.2 分析要点 (2)
绘制内力包络图的步骤
( 1 ) 绘出各等分点截面的内力影响线，确定相应的最不利荷载位置；
( 2 ) 求出各等分点截面在恒载和活载共同作用下内力的最大值；
( 3 ) 将各等分点截面的最大 ( 小 ) 内力值按同一比例绘于图上，连成曲线即得内力包络图。
求绝对最大弯矩
( 1 ) 确定使梁中点截面发生最大弯矩的荷载 P
K；
( 2 ) 移动荷载组，使 P
K
与梁上荷载的合力对称于梁的中点；
( 3 ) 计算此时 P
K
作用点截面的弯矩，即得绝对最大弯矩。
2
m a x
2
式中
---
以左梁上荷载对
作用点的力矩总和；
R ---- 梁上实有荷载的合力；设 R 位于
的右侧；
a - --- 合力 R 与
之间的距离； l ---- 梁长,
16.3 重点和难点 (1)
1,静力法作静定梁的影响线先 选 定 坐 标 系,将 P = 1 置于任意处，以 x 表示单位竖向荷载作用点的位置。由静力平衡条件求出指定量值 与 x 之间的函数关系，即影响线方程。然后再根据静力平衡条件求指定量值的影响线。作影响线的步骤
( 1 ) 建立坐标系 x,将 P = 1 置于任意处；
( 2 ) 写静力平衡方程；
( 3 ) 据方程作图；
( 4) 标正负号。
2,间接荷载作用下影响线的作图方法绘制间接荷载作用下某 量 值 的 影 响 线,可 以 通 过 修 正 直 接 荷 载 作 用 下 相 应 量 值 影 响线的方法来得到。具体作法是,( 1 ) 作出直接荷载作用下所求量值的影响线；
( 2 ) 将各结点 向影响线作投影点；
( 3 ) 以直线联结各相邻投影点。
16.3 重点和难点 (2)
3,影响线的应用
( 1 ) 利用影响线求静力荷载作用下的内力值根据影响线和叠加原理,当若干集中荷载或分布荷载作用位置确定时,利用某量值的影响线可以求得该量值的值。
集中荷载荷载作用：
1
2211
...
分布荷载作用：
ω
其中
,,,,
21
为集中荷载组
,,,,
21
作用点处 S 影响线的纵标。
ω
为荷载分布范围以内影响线的面 积 。 如 果 在 该 范 围 内,影 响 线 包括正、负两部分，则
ω
为面积的代数和。
( 2 ) 确定最不利荷载位置，求内力最大值。
单个集中荷载的最不利荷载位置为荷载作用于影响线的最大竖标处。
多个集中荷载的最不利荷载位置可用试算法确定,原则为在最不利荷载位置一定有一个集中荷载作用在影响线的顶点。
16.4 注意点
简支梁的反力和内力影响线是最基本的和经常使用的影响线，应熟练掌握
静定结构的影响线都是由直线段 组成 。 超静定结构影响线则是曲线。
正的竖距标在基线的上方,负的竖距标 在基线的下方，
并标明正负号
理解影响线任一竖标的念义。
16.5 基本要求
1,熟练掌握用静力法作简支梁,外伸梁 的反力和内力影响线。
2,会用影响线求简支梁在移动荷载作用下内力最大值或最小值。
3,了解简支梁的绝对最大弯矩和包络图的概念。
16.6 本章讲课学时分配表
2
§ 16 - 1 影响线的概念
§ 16 - 2 用静力法作简支梁的内力影响线
2 § 16 - 3 影响线的应用第十六章影响线及其应用
6 学时
2
§ 16 - 4 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
§ 16 - 5 连续梁的内力包络图机动
2 学时
2
总结本学期总计
65
学时
65
