线性代数教学改革李尚志 教授中国科学技术大学数学系空间为体,矩阵为用
研究对象 ----几何：线性空间 (向量 )
研究工具 ----代数：矩阵运算
向量 (问题 ) -- modeling? 矩阵语言描述
矩阵运算解决? 向量 (解答 )
与微积分的关系,
非线性 --微积 分? 线性 --线性代数?
抽象 =?
抽象 = 难得糊涂,
忽略差别,提取共同点从问题出发以解决问题为线索展开教学内容例,怎样建立向量的坐标
有方向和大小的量? 坐标化? n 数组
向量与坐标运算的对应,
依赖于 加 法 与 数 乘 的 运 算 律 ( 8 条公理 )
不直接依赖于平行四边形法则
基,坐标的唯一性 — 线性无关,
存在性 — 极大无关组
向量 --- 坐标,同构
坐标变换 ---数组空间中的坐标变换例,解线性方程组
方程 (向量 )----- 系数组 (坐标 )
互为线性组合 (初等变换 )
同解变形 (高斯消去法 )
只用到四则运算 --数域的概念
关于方程个数的讨论,
方程 个数有真假
— 线性无关与线性相关
几个方程?
4个?
为何
只剩 2个?
有假 !--某方程是其余的线性组合 --线性相关
打假到底? 极大无关组? 货真价实 (秩 )2个秩 (方程的真正个数 )的唯一性
证明只依赖于运算律? 将方程换成任意向量行列式的性质
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
det(u,v+w)=
det(u,w)+det(u,w) det(u,v)=det(u,v+au)
几何变换
(x,y)?(x’,y’)
x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)
曲线 C,x=x(t),y=y(t)?
曲线 C’,x=f1(x(t),y(t)),
y=f2(x(t),y(t))
线性变换
x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y,
由矩阵 决定
画图观察,直线,平行,垂直,长度,角度,圆
2009-7-24
旋转,
2009-7-24
2009-7-24
向量方向的变化特征向量
2009-7-24
选取特征向量为基
---矩阵的对角化射影变换
x’ = x / (x-1),
y’= y / (x-1).
直线、相交、平行?？
相交于 x=1的直线?？
圆 (与 x=1 相离、切、交 )
相交直线变成平行直线
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-6 -4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
圆变成圆锥曲线
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-4
-2
2
4
谢谢 ！