12009-7-24
非线性动力学第一章汪 秉 宏中国科学技术大学近代物理系
22009-7-24
第一章 引言
§ 1 Newton 力学及其发展
§ 2 非线性动力学的研究对象
§ 3 非线性动力系统模型的建立
32009-7-24
§ 1 Newton 力学及其发展
力学的定性研究时期
（公元前－ 17世纪中叶）
Archimedes,Galileo,Kepler
定量研究时期
（ 17世纪中叶－ 19世纪末）
Newton,Lagrange,Hamilton
42009-7-24
（ 17世纪） Newton方程：
基本问题：已知 的函数形式,求上述方程组的解析表达式。数学家可证明其存在性及唯一性。
基本方法－微扰论：
存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功，
能够精确预言天体的运动。
52009-7-24
18世纪,Lagrange 方程
Lagrange
函数
62009-7-24
19世纪 Hamilton 方程
引进广义动量
Hamilton
函数
72009-7-24
Lagrange,Hamilton方程均与 Newton方程等价
力学的基本问题、基本方法未变
结论：二百多年来牛顿力学无实质性进展
82009-7-24
19世纪末,20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革
92009-7-24
太阳系是否稳定？
——N 体稳定性问题
微扰是否收敛？
许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证明。如 Dirichlet。
奥斯卡奖 1890年授予 Poincare,他证明了所有微扰级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方法 —— 定性方法：几何拓扑，微分拓扑。
力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 求解析解并不解决问题。
102009-7-24
新力学的理论 特点,力学的基本问题
研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即：
研究 相轨图 (phase portrait)
例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这一问题） 给出级数展开式：
如何证明?
112009-7-24
新力学的理论 特点基本方法：
定性方法,微分拓扑 大范围分析代数与群论
数值方法：计算机模拟
大大拓宽了力学的研究领域
发现了许多新的力学现象。如：混沌、
分岔、突变、结构稳定性转变
122009-7-24
§ 2 非线性动力学的研究对象
——非线性动力系统及各种特征系统的现象
a) 什么是非线性动力系统？
线性方程,量 φ 满足的方程 L(φ) =0
若 （ i） φ是线性空间中一个元素（矢量）
（ ii） L(aφ＋ bψ)=a? L(φ) ＋ b? L(ψ)
非线性动力系统的定义：
一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
132009-7-24
非线性动力系统
若一个动力系统由方程描述，其中
也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill方程：是线性的。 两个方程等价。但两者的基本力学量不同。
若以 x为基本力学量,F为非线性时，则系统为非线性 。
142009-7-24
考虑一对一变换则非线性方程有可能化为线性的习题 1：求 G的显示表达式
有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为
SO3 流形。称为 运动 (Kinetic)非线性。
F的非线性称为 力学非线性。
152009-7-24
b) 什么是特征非线性现象？
例,考虑映射
设 f(x)>x 则 xn+1> xn
即使 f 是非线性的，没有任何不同于线性系统的有趣特征
lim n
n
x
162009-7-24
已知的特征非线性现象：
混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结构，分形特征当 f(x)=r x(1-x) 时出现一系列分岔、混沌等非线性现象。
非线性科学并不研究对于线性关系的偏离，而必须研究质的变化。
172009-7-24
§ 3 非线性动力系统模型的建立实际系统往往包含巨大数目自由度 s～ 1023，
从中得出基本力学量及其遵循的方程
微观描述
μ为控制参量，表示外界的影响
182009-7-24
亚宏观描述引进集体运动变量：
忽略连续系统运动的涨落，可由微观描述得到涨落耗散定理 涨落项
192009-7-24
宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。
设长时间后只剩下 x1,…,xm 的运动，则在 t→∞ 时有
Haken称之为随动原理 (slaving principle),代入前一方程，
消去 xj,j=m+1,…,n 得
xj,j=1,…,m 称作序参量（基本力学量）
绝热消除法,中心流形 → 惯性流形
202009-7-24
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第一章 引言
§ 1 Newton 力学及其发展
§ 2 非线性动力学的研究对象
§ 3 非线性动力系统模型的建立
32009-7-24
§ 1 Newton 力学及其发展
力学的定性研究时期
（公元前－ 17世纪中叶）
Archimedes,Galileo,Kepler
定量研究时期
（ 17世纪中叶－ 19世纪末）
Newton,Lagrange,Hamilton
42009-7-24
（ 17世纪） Newton方程：
基本问题：已知 的函数形式,求上述方程组的解析表达式。数学家可证明其存在性及唯一性。
基本方法－微扰论：
存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功，
能够精确预言天体的运动。
52009-7-24
18世纪,Lagrange 方程
Lagrange
函数
62009-7-24
19世纪 Hamilton 方程
引进广义动量
Hamilton
函数
72009-7-24
Lagrange,Hamilton方程均与 Newton方程等价
力学的基本问题、基本方法未变
结论：二百多年来牛顿力学无实质性进展
82009-7-24
19世纪末,20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革
92009-7-24
太阳系是否稳定？
——N 体稳定性问题
微扰是否收敛？
许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证明。如 Dirichlet。
奥斯卡奖 1890年授予 Poincare,他证明了所有微扰级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方法 —— 定性方法：几何拓扑，微分拓扑。
力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 求解析解并不解决问题。
102009-7-24
新力学的理论 特点,力学的基本问题
研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即：
研究 相轨图 (phase portrait)
例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这一问题） 给出级数展开式：
如何证明?
112009-7-24
新力学的理论 特点基本方法：
定性方法,微分拓扑 大范围分析代数与群论
数值方法：计算机模拟
大大拓宽了力学的研究领域
发现了许多新的力学现象。如：混沌、
分岔、突变、结构稳定性转变
122009-7-24
§ 2 非线性动力学的研究对象
——非线性动力系统及各种特征系统的现象
a) 什么是非线性动力系统？
线性方程,量 φ 满足的方程 L(φ) =0
若 （ i） φ是线性空间中一个元素（矢量）
（ ii） L(aφ＋ bψ)=a? L(φ) ＋ b? L(ψ)
非线性动力系统的定义：
一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
132009-7-24
非线性动力系统
若一个动力系统由方程描述，其中
也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill方程：是线性的。 两个方程等价。但两者的基本力学量不同。
若以 x为基本力学量,F为非线性时，则系统为非线性 。
142009-7-24
考虑一对一变换则非线性方程有可能化为线性的习题 1：求 G的显示表达式
有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为
SO3 流形。称为 运动 (Kinetic)非线性。
F的非线性称为 力学非线性。
152009-7-24
b) 什么是特征非线性现象？
例,考虑映射
设 f(x)>x 则 xn+1> xn
即使 f 是非线性的，没有任何不同于线性系统的有趣特征
lim n
n
x
162009-7-24
已知的特征非线性现象：
混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结构，分形特征当 f(x)=r x(1-x) 时出现一系列分岔、混沌等非线性现象。
非线性科学并不研究对于线性关系的偏离，而必须研究质的变化。
172009-7-24
§ 3 非线性动力系统模型的建立实际系统往往包含巨大数目自由度 s～ 1023，
从中得出基本力学量及其遵循的方程
微观描述
μ为控制参量，表示外界的影响
182009-7-24
亚宏观描述引进集体运动变量：
忽略连续系统运动的涨落，可由微观描述得到涨落耗散定理 涨落项
192009-7-24
宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。
设长时间后只剩下 x1,…,xm 的运动，则在 t→∞ 时有
Haken称之为随动原理 (slaving principle),代入前一方程，
消去 xj,j=m+1,…,n 得
xj,j=1,…,m 称作序参量（基本力学量）
绝热消除法,中心流形 → 惯性流形
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