04(05(2学期《高等数学》期中考试参考答案
一、填空与选择题(每小题4分( 共32分)
1．以曲线为准线( 母线平行于z轴的柱面方程是____x2(y2(2x(0____(
提示( 这实际上是求曲线关于xoy面的投影柱面的方程(
将方程中的z消去得x2(y2(2x( 这就是投影柱面的方程(
2．曲线绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程是(
答( x2(y2(z2(4z(0(
提示(
将方程x2(z2(4z(0中的x换成( 得
x2(y2(z2(4z(0(
3．直线与平面3x(4y(z(2的位置关系是( C )
(A)平行( (B)垂直( (C)直线在平面内( (D)相交但不垂直(
提示( 直线的方向向量为s((3( (2( 1)( 平面的法线向量为n((3( 4( (1)(
因为s(n(0( 所以直线与平面平面( 又因为直线上的点(1( 0( 1)满足平面方程( 所以直线是在平面上的(
4．设z(xsin(2x(3y)( 则(______(
解 (
(
5．函数f(x( y( z)(x3y2z在点(1( 1( 1)处沿方向a({2( (1( 2}的方向导数为____(
解 fx(1( 1( 1)((3x2y2z)|(1( 1( 1)(3(
fy(1( 1( 1)((2x3yz)|(1( 1( 1)(2(
fz(1( 1( 1)((x3y2)|(1( 1( 1)(1(
(
于是 (
6．曲线在点(1( 1( 2)处的切线方程为( )(
(A)( (B)(
(C)( (D)(
提示( C
曲线的参数方程为x(t( y(t2( z(t2(4t4,点(1( 1( 2)所对应的参数为t(1.
曲线在点(1( 1( 2)处的切向量为T((1( 2t( 2t(4t3)|t(1((1( 2( 6).
7．设平面区域D( 1(x2(y2(4( 则(( )(
(A)( (B)( (C)( (D)(
答( C(
提示(
(
8．改变二次积分的积分次序得________(
二、解下列各题(
1( 求经过直线和点(3( (2( 0)的平面方程(8分)(
解法一( 已知直线的一般方程为( 即(
过已知直线的平面束方程为
x(y(((x(z(1)(0(
将点(3( (2( 0)代入x(y(((x(z(1)(0得
(
于是所求平面的方程为
( 即3x(4y(z(1(0(
解法二( 由题意知所求平面的法线向量n与向量
l((1( (1( 1)及s((3( (2( 0)((1( (1( 2)((2( (1( (2) (4分)
都垂直( 故
(3i(4j(k( (2分)
所求平面的方程为
3(x(3)(4(y(2)((z(0)(0( 即3x(4y(z(1(0( (2分)
2．已知z?(x?sin y)xy( 求(8分)(
解 设u(x(sin y( v(xy( 则z(uv( (2分)
(4分)
( (2分)
3( 设函数z(z(x( y)由方程(z(1)ln y(exz(1(0确定( 求在(1( 1( 0)处的值(8分)(
解 设F((z(1)ln y(exz(1( (2分)
因为在(1( 1( 0)处
(?(?(4分)
所以在(1( 1( 0)处
(?(2分)
4( 求曲面z(x2(y2平行于平面x(y(2z(0的切平面方程(8分)(
解 曲面z(x2(y2上点(x( y( z)处的法向量为n((2x( 2y( (1)( (2分)
令(2x( 2y( (1)(((1( 1( (2)( 得( (2分)
当时( ( ( ((2分)
所求切平面的方程为
( 即( (2分)
5( 求函数f(x( y)(e2x(x(y2(2y)的极值(10分)(
解 令( (2分)
得驻点( (2分)
fxx(e2x(4x(3)( fxy(4e2x(y(1)( fyy(2e2x( (2分)
在驻点处fxx(5e( fxy(0( fyy(2e(
因为fxx(fyy(fxy2(5e(2e(10e2(0( fyy(5e(0( (2分)
所以点为函数的极小值点( 极小值为( (2分)
三、解下列各题
1．计算积分( (9分)
解( 按原积分次序难以积分( 故交换积分次序(
积分区域为D( 0(x(2( x(y(2(
画出积分区域图形 (1分)
积分区域又可表为0(y(2( 0(x(y( (2分)
故 (2分)
(2分)
( (2分)
2．计算( 其中(是由曲面与围成(9分)(
解 画出积分区域图形 (1分)
积分区域(关于yOz面对称并且f(x)(x是x的奇函数( 所以f(x)(x在(上的三重积分为零(
(1)在柱面坐标下积分区域(可表示为
( (2分)
于是
(4分)
.(2分)
(2)采用先二后一的方法(
(
(3)利用球面坐标(
(
3．求由z(4(x2(y2及z(0所围成的立体的体积(8分)(
解( 画出立体图形 (1分)
所求立体的体积可以看成是以曲面z(4(x2(y2为顶( 以区域x2(y2(4为底的曲顶柱体的体的体积(
(2分)
(3分)
( (2分)
一、填空与选择题(每小题4分( 共32分)
1．以曲线为准线( 母线平行于z轴的柱面方程是____x2(y2(2x(0____(
提示( 这实际上是求曲线关于xoy面的投影柱面的方程(
将方程中的z消去得x2(y2(2x( 这就是投影柱面的方程(
2．曲线绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程是(
答( x2(y2(z2(4z(0(
提示(
将方程x2(z2(4z(0中的x换成( 得
x2(y2(z2(4z(0(
3．直线与平面3x(4y(z(2的位置关系是( C )
(A)平行( (B)垂直( (C)直线在平面内( (D)相交但不垂直(
提示( 直线的方向向量为s((3( (2( 1)( 平面的法线向量为n((3( 4( (1)(
因为s(n(0( 所以直线与平面平面( 又因为直线上的点(1( 0( 1)满足平面方程( 所以直线是在平面上的(
4．设z(xsin(2x(3y)( 则(______(
解 (
(
5．函数f(x( y( z)(x3y2z在点(1( 1( 1)处沿方向a({2( (1( 2}的方向导数为____(
解 fx(1( 1( 1)((3x2y2z)|(1( 1( 1)(3(
fy(1( 1( 1)((2x3yz)|(1( 1( 1)(2(
fz(1( 1( 1)((x3y2)|(1( 1( 1)(1(
(
于是 (
6．曲线在点(1( 1( 2)处的切线方程为( )(
(A)( (B)(
(C)( (D)(
提示( C
曲线的参数方程为x(t( y(t2( z(t2(4t4,点(1( 1( 2)所对应的参数为t(1.
曲线在点(1( 1( 2)处的切向量为T((1( 2t( 2t(4t3)|t(1((1( 2( 6).
7．设平面区域D( 1(x2(y2(4( 则(( )(
(A)( (B)( (C)( (D)(
答( C(
提示(
(
8．改变二次积分的积分次序得________(
二、解下列各题(
1( 求经过直线和点(3( (2( 0)的平面方程(8分)(
解法一( 已知直线的一般方程为( 即(
过已知直线的平面束方程为
x(y(((x(z(1)(0(
将点(3( (2( 0)代入x(y(((x(z(1)(0得
(
于是所求平面的方程为
( 即3x(4y(z(1(0(
解法二( 由题意知所求平面的法线向量n与向量
l((1( (1( 1)及s((3( (2( 0)((1( (1( 2)((2( (1( (2) (4分)
都垂直( 故
(3i(4j(k( (2分)
所求平面的方程为
3(x(3)(4(y(2)((z(0)(0( 即3x(4y(z(1(0( (2分)
2．已知z?(x?sin y)xy( 求(8分)(
解 设u(x(sin y( v(xy( 则z(uv( (2分)
(4分)
( (2分)
3( 设函数z(z(x( y)由方程(z(1)ln y(exz(1(0确定( 求在(1( 1( 0)处的值(8分)(
解 设F((z(1)ln y(exz(1( (2分)
因为在(1( 1( 0)处
(?(?(4分)
所以在(1( 1( 0)处
(?(2分)
4( 求曲面z(x2(y2平行于平面x(y(2z(0的切平面方程(8分)(
解 曲面z(x2(y2上点(x( y( z)处的法向量为n((2x( 2y( (1)( (2分)
令(2x( 2y( (1)(((1( 1( (2)( 得( (2分)
当时( ( ( ((2分)
所求切平面的方程为
( 即( (2分)
5( 求函数f(x( y)(e2x(x(y2(2y)的极值(10分)(
解 令( (2分)
得驻点( (2分)
fxx(e2x(4x(3)( fxy(4e2x(y(1)( fyy(2e2x( (2分)
在驻点处fxx(5e( fxy(0( fyy(2e(
因为fxx(fyy(fxy2(5e(2e(10e2(0( fyy(5e(0( (2分)
所以点为函数的极小值点( 极小值为( (2分)
三、解下列各题
1．计算积分( (9分)
解( 按原积分次序难以积分( 故交换积分次序(
积分区域为D( 0(x(2( x(y(2(
画出积分区域图形 (1分)
积分区域又可表为0(y(2( 0(x(y( (2分)
故 (2分)
(2分)
( (2分)
2．计算( 其中(是由曲面与围成(9分)(
解 画出积分区域图形 (1分)
积分区域(关于yOz面对称并且f(x)(x是x的奇函数( 所以f(x)(x在(上的三重积分为零(
(1)在柱面坐标下积分区域(可表示为
( (2分)
于是
(4分)
.(2分)
(2)采用先二后一的方法(
(
(3)利用球面坐标(
(
3．求由z(4(x2(y2及z(0所围成的立体的体积(8分)(
解( 画出立体图形 (1分)
所求立体的体积可以看成是以曲面z(4(x2(y2为顶( 以区域x2(y2(4为底的曲顶柱体的体的体积(
(2分)
(3分)
( (2分)
