第二章 电路的过渡过程
过渡过程：含有储能元件的电路从一个状态变化到另一个状态需经过一段短暂的时间过程储能元件：电感 L,电容 C
第一节电容与电感
dt
duC
dt
d ( c q )
dt
dqi
c u d udtdtducuu id tP d tdw C
221
0 cuc u d uw
u
c
dt
diLu?
电容：
线性电容元件,C（ 为常数）与 U
无关的电容元件。
伏安关系 U直流 → 则 i=0→ 相当于开路
电容元件储存能量：
当 C充电,u从 0→ u时,C获得的能量：
这些能量储存于 C中，只与 u有关与建立过程无关
电感元件：
L线性电感：伏安关系：
第二节动态电路的过渡过程和初始条件
换路：电路的接通和断开，电源或电路元件参数的突然变化
电路的激励：作用于电路中的电源或信号源
电路的响应：电路在电源，信号源或储能元件作用下所产生的电压、电流或引起电流电压的变化
动态元件：储能元件 L,C
动态电路：含有储能元件的电路
一阶电路：储能元件电压 u与 i之间是微分关系 → 用微分方程分析含有一个储能元件的电路 → 用一阶线性微分方程求解初始条件
求解微分方程要用初始条件来确定常数
换路前的瞬间记为 t=0-（ 可从数学上理解）
换路后的瞬间记为 t=0+（ 左趋近，右趋近）
换路前电容电压为 uC（ 0-） 换路后瞬间电压为 uC（ 0+）
dtticCUU CC?
0
0
)(100
00 CC UU即
同理：
换路定律：
uC（ 0+） =uC（ 0-） 换路前后,电容电压不跃变
iL(0+)= iL(0-) 电感电流不跃变例,P54习题 2-1图示电路换路前电路处于稳态，试求换路后图中各元件电流的初始值：
解,换路前,K断开时
i1(0-)= i2(0-)=1A
uC（ 0-） = i2(0-)*R2=1A*6Ω=6V
换路后,K闭合根据换路定律：
uC（ 0+） = UC（ 0-） =6V
i3(0+)==-2A
i2(0+)= 0.8A
i1(0+)=-1.2A
第三节一阶电路的零输入响应
一阶电路,电路中只有一个储能元件 L(或 C)
零输入响应,换路后,无外加输入激励作用,只由储 能元件的储能使电路产生响应
RC电路的零输入响应
如图充放电 RC电路,
分析,过渡过程,换路前 C已充电 uC（ 0-） =UO
换路后,UC（ 0+） =uC（ 0-） =UO
根据基尔霍夫定律,①
dtd u cCuiRu CC 0
根据一阶线性齐次微分方程的解的形式：
令 UC=Aept代入微分方程①中得,0
PtPt AeAR C Pe
特征方程为,RCPR C P 101 其解为
RCtC Aeu
从已知初始条件 UC（ 0+） =UO代入上式得,A=UO
微分方程的解为,uC= UO (V)
电路中的电流 i,AeRUeUdtdcdtducci RtRCto 0)(
讨论
τ=RC具有时间量纲 基本单位是秒,大小取决于电路 结构和元件参数与激励无关
τ值大小反应放电大速度快慢
τ大 → 放电速度慢
τ小 → 放电大速度快
理论上 t→∞ 动态过程（放电过程）才结束但实际上时间经过 3~5τ的时间，放电过程就结束例题
例,如图电路开关断开前电路处于稳定状态,试求开关断开后电阻
R2上的电流 i
解,开关 K断开前：电路处于稳定状态：
UC（ 0+） = V1220
10
6
开关 K断开时：
UC（ 0+） = UC（ 0-） =12V
τ=RC=6× 5=30（ S）
Veeutu ttcc 30)( 120
)(2612 3030 Aeedtd u cCi
tt
一阶电路的零输入响应
RL电路的零入输入响应如图示电路换路前,t= 0- L— 短路
0
0 Rui oL
换路后,t=0+
0
00 Ruii oLL
关联参考方向如图：
UL + UR =0
00 LLLL idtdiRLRidtdiL
上式为一阶线性齐次微分方程，其解为：
R
LAei t
L
0
00
R
UA
R
Ui
O
O
L 确定出：由初始条件：
t
L eR
Ui
0
0则：
电感电压：
t
oLL eUdtdiLU
例题
例,如图示当 K闭合时 iL=？ UL=？
解,换路前,t=0-
A5.1226 6( 0 - )i L
换路后,t=0+
4236 365.100 RAii LL
)S(248RL
Aeeiti ttLL 5.10
22 645.1)(
tt
LL ee
dt
diLtU
第四节一阶电路的零状态响应
零状态响应：电路初始状态为 0即 UC（ 0+） =0（或 iL(0+)=0）由外加激励产生的响应。
RC电路的零状态响应电路如图：
换路前,t=0- UC（ 0-） =0
换路后,t=0+ 列 KVL方程
Ri+ uC- Us =0
一阶线性非齐次方程SC Uudt tduRC)(
方程解,uc=uc’+uc’’ uc’-------齐次方程的通解
uc’’------齐次方程的特解
)1()( teUstU S eUSt,U c方程全解为?
tSC
c eR
U
dt
duCi
讨论,（ 1） 换路后瞬间 uC（ 0+） =0→ C相当短路 iC(0+)= Us/R为最大
（ 2） 换路后 Us给 C充电 uc↑,ic↓
（ 3） t→∞ 时,ic(∞)=0 uC（ ∞） =Vs 动态过程结束电路达新的稳态
"'" cucuc u
t
U s e,U c稳态响应例题
例,如图示电路，换路前处于稳态求换路后的 uc=？
解,换路前电路处稳态,uC（ 0-） =0
开关闭合后：等效电路如图
RO=R1//R2=1Ω
τ=R0C=1× 2=2S
UO=2V—— 稳态
))(21(2)( V
t
etU o eUot,U c则
RL电路的零状态响应其分析与 RC电路相似第五节 一阶电路的全响应
全响应：初始状态和输入都不为零的一阶电路的响应。
解决方法：求解微分方程 → 工程上利用三要素法。
重点：全响应分析、三要素法一,RC电路的全响应
R R＇
t=0
U
s
u
c
U
o
+
-
+
-
+
-
如图所示电路电路换路前：电容电压 uc(0-)=UoR＇
u c U o
+
-
+
-
换路前一,RC电路的全响应
R R＇
t=0
U
s
u
c
U
o
+
-
+
-
+
-
如图所示电路电路换路后：根据换路定律 uc(0+)=uc(0-)=Uo
当 t→∞ 电路进入新的稳态 uc(∞)=Us
R
u cU s
+
-
+
-
+ u R -
i(t)
换路后二,RL电路的全响应如图所示电路，其分析与 RC电路相似电路
R
0
U
s
+
-
t=0
i
L
R
L
换路前：电感电流 iL(0-)=Us/(R+R0)
R 0
U s
+
- i
L(0 -)
R
换路前二,RL电路的全响应如图所示电路，其分析与 RC电路相似电路
R
0
U
s
+
-
t=0
i
L
R
L
换路后：根据换路定律 iL(0+)=iL(0-)=Us/(R+R0)
当 t→∞ 电路进入新的稳态 iL(∞)=Us/R
U s
+
-
iL (t)
R
L
u R
+
-
u L
+
-
换路后当 t>0时：根据基尔霍夫定律列电路的微分方程：
uL+uR=Us
:程一阶线性非齐次微分方 sLL URidtdiL
:微分方程的解为
L
RAeBi t
L
其中
U s
+
-
iL (t)
R
L
u R
+
-
u L
+
-
得又由 RUiRR Ui sLsL )()0(
0
R
U
B
R
U
RR
U
A
B
R
U
AB
RR
U
s
ss
s
s
00 解得当 t>0时：根据基尔霍夫定律列电路的微分方程：
uL+uR=Us
:程一阶线性非齐次微分方 sLL URidtdiL
:微分方程的解为
L
RAeBi t
L
其中
U s
+
-
iL (t)
R
L
u R
+
-
u L
+
-
t
Sss
L eR
U
RR
U
R
Ui?
0:电感电流
tLLL eiii )0(
态分量全响应＝稳态分量＋暂电路。实际上：电路，还是不论是讨论
RLRC.1
:
tsosC eUUUu
tCCC euuU 0
稳态 暂态
tLLLL eiiii 0
稳态 暂态零状态响应全响应＝零输入响应＋
全响应也可分解为：.2
t
C
t
CC eueuu 1
零输入零状态三、三要素法从上面分析中可知：不论 RL还是 RC的一阶电路。
全响应 =稳态响应 +暂态响应实际上是：只要求出 f(0+),f(∞),τ就能求出全响应。
f(0+),t=0时的初始值；
f(∞),t=∞时电路的稳态值；
τ：换路后电路的时间常数。
三要素法公式：
teffftf 0
例题：如图所示，换路前电路处于稳定状态，试求换路后的电容电压 uC(t)。
4V
+
-
2 Ω
1 Ω
2F
t=0
u
c
+
-
2 Ω
2 Ω
4V
+
-
2 Ω
1 Ω
2 Ω u c(0 +)
+
-
解,t=0-换路前电路
4V
+
-
2 Ω
1 Ω
u
c
(∞)
+
-
2 Ω 2 Ω
2V
+
-
1 Ω
1 Ω
u
c
(∞ )
+
-
2 Ω
t=∞新稳态电路
2V
+
-
1 Ω
1 Ω
u
c
+
-
2 Ω
1V
+
-
1 Ω
u c
+
-
2F
换路后,t>0时，等效电路
Thank you!
过渡过程：含有储能元件的电路从一个状态变化到另一个状态需经过一段短暂的时间过程储能元件：电感 L,电容 C
第一节电容与电感
dt
duC
dt
d ( c q )
dt
dqi
c u d udtdtducuu id tP d tdw C
221
0 cuc u d uw
u
c
dt
diLu?
电容：
线性电容元件,C（ 为常数）与 U
无关的电容元件。
伏安关系 U直流 → 则 i=0→ 相当于开路
电容元件储存能量：
当 C充电,u从 0→ u时,C获得的能量：
这些能量储存于 C中，只与 u有关与建立过程无关
电感元件：
L线性电感：伏安关系：
第二节动态电路的过渡过程和初始条件
换路：电路的接通和断开，电源或电路元件参数的突然变化
电路的激励：作用于电路中的电源或信号源
电路的响应：电路在电源，信号源或储能元件作用下所产生的电压、电流或引起电流电压的变化
动态元件：储能元件 L,C
动态电路：含有储能元件的电路
一阶电路：储能元件电压 u与 i之间是微分关系 → 用微分方程分析含有一个储能元件的电路 → 用一阶线性微分方程求解初始条件
求解微分方程要用初始条件来确定常数
换路前的瞬间记为 t=0-（ 可从数学上理解）
换路后的瞬间记为 t=0+（ 左趋近，右趋近）
换路前电容电压为 uC（ 0-） 换路后瞬间电压为 uC（ 0+）
dtticCUU CC?
0
0
)(100
00 CC UU即
同理：
换路定律：
uC（ 0+） =uC（ 0-） 换路前后,电容电压不跃变
iL(0+)= iL(0-) 电感电流不跃变例,P54习题 2-1图示电路换路前电路处于稳态，试求换路后图中各元件电流的初始值：
解,换路前,K断开时
i1(0-)= i2(0-)=1A
uC（ 0-） = i2(0-)*R2=1A*6Ω=6V
换路后,K闭合根据换路定律：
uC（ 0+） = UC（ 0-） =6V
i3(0+)==-2A
i2(0+)= 0.8A
i1(0+)=-1.2A
第三节一阶电路的零输入响应
一阶电路,电路中只有一个储能元件 L(或 C)
零输入响应,换路后,无外加输入激励作用,只由储 能元件的储能使电路产生响应
RC电路的零输入响应
如图充放电 RC电路,
分析,过渡过程,换路前 C已充电 uC（ 0-） =UO
换路后,UC（ 0+） =uC（ 0-） =UO
根据基尔霍夫定律,①
dtd u cCuiRu CC 0
根据一阶线性齐次微分方程的解的形式：
令 UC=Aept代入微分方程①中得,0
PtPt AeAR C Pe
特征方程为,RCPR C P 101 其解为
RCtC Aeu
从已知初始条件 UC（ 0+） =UO代入上式得,A=UO
微分方程的解为,uC= UO (V)
电路中的电流 i,AeRUeUdtdcdtducci RtRCto 0)(
讨论
τ=RC具有时间量纲 基本单位是秒,大小取决于电路 结构和元件参数与激励无关
τ值大小反应放电大速度快慢
τ大 → 放电速度慢
τ小 → 放电大速度快
理论上 t→∞ 动态过程（放电过程）才结束但实际上时间经过 3~5τ的时间，放电过程就结束例题
例,如图电路开关断开前电路处于稳定状态,试求开关断开后电阻
R2上的电流 i
解,开关 K断开前：电路处于稳定状态：
UC（ 0+） = V1220
10
6
开关 K断开时：
UC（ 0+） = UC（ 0-） =12V
τ=RC=6× 5=30（ S）
Veeutu ttcc 30)( 120
)(2612 3030 Aeedtd u cCi
tt
一阶电路的零输入响应
RL电路的零入输入响应如图示电路换路前,t= 0- L— 短路
0
0 Rui oL
换路后,t=0+
0
00 Ruii oLL
关联参考方向如图：
UL + UR =0
00 LLLL idtdiRLRidtdiL
上式为一阶线性齐次微分方程，其解为：
R
LAei t
L
0
00
R
UA
R
Ui
O
O
L 确定出：由初始条件：
t
L eR
Ui
0
0则：
电感电压：
t
oLL eUdtdiLU
例题
例,如图示当 K闭合时 iL=？ UL=？
解,换路前,t=0-
A5.1226 6( 0 - )i L
换路后,t=0+
4236 365.100 RAii LL
)S(248RL
Aeeiti ttLL 5.10
22 645.1)(
tt
LL ee
dt
diLtU
第四节一阶电路的零状态响应
零状态响应：电路初始状态为 0即 UC（ 0+） =0（或 iL(0+)=0）由外加激励产生的响应。
RC电路的零状态响应电路如图：
换路前,t=0- UC（ 0-） =0
换路后,t=0+ 列 KVL方程
Ri+ uC- Us =0
一阶线性非齐次方程SC Uudt tduRC)(
方程解,uc=uc’+uc’’ uc’-------齐次方程的通解
uc’’------齐次方程的特解
)1()( teUstU S eUSt,U c方程全解为?
tSC
c eR
U
dt
duCi
讨论,（ 1） 换路后瞬间 uC（ 0+） =0→ C相当短路 iC(0+)= Us/R为最大
（ 2） 换路后 Us给 C充电 uc↑,ic↓
（ 3） t→∞ 时,ic(∞)=0 uC（ ∞） =Vs 动态过程结束电路达新的稳态
"'" cucuc u
t
U s e,U c稳态响应例题
例,如图示电路，换路前处于稳态求换路后的 uc=？
解,换路前电路处稳态,uC（ 0-） =0
开关闭合后：等效电路如图
RO=R1//R2=1Ω
τ=R0C=1× 2=2S
UO=2V—— 稳态
))(21(2)( V
t
etU o eUot,U c则
RL电路的零状态响应其分析与 RC电路相似第五节 一阶电路的全响应
全响应：初始状态和输入都不为零的一阶电路的响应。
解决方法：求解微分方程 → 工程上利用三要素法。
重点：全响应分析、三要素法一,RC电路的全响应
R R＇
t=0
U
s
u
c
U
o
+
-
+
-
+
-
如图所示电路电路换路前：电容电压 uc(0-)=UoR＇
u c U o
+
-
+
-
换路前一,RC电路的全响应
R R＇
t=0
U
s
u
c
U
o
+
-
+
-
+
-
如图所示电路电路换路后：根据换路定律 uc(0+)=uc(0-)=Uo
当 t→∞ 电路进入新的稳态 uc(∞)=Us
R
u cU s
+
-
+
-
+ u R -
i(t)
换路后二,RL电路的全响应如图所示电路，其分析与 RC电路相似电路
R
0
U
s
+
-
t=0
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L
R
L
换路前：电感电流 iL(0-)=Us/(R+R0)
R 0
U s
+
- i
L(0 -)
R
换路前二,RL电路的全响应如图所示电路，其分析与 RC电路相似电路
R
0
U
s
+
-
t=0
i
L
R
L
换路后：根据换路定律 iL(0+)=iL(0-)=Us/(R+R0)
当 t→∞ 电路进入新的稳态 iL(∞)=Us/R
U s
+
-
iL (t)
R
L
u R
+
-
u L
+
-
换路后当 t>0时：根据基尔霍夫定律列电路的微分方程：
uL+uR=Us
:程一阶线性非齐次微分方 sLL URidtdiL
:微分方程的解为
L
RAeBi t
L
其中
U s
+
-
iL (t)
R
L
u R
+
-
u L
+
-
得又由 RUiRR Ui sLsL )()0(
0
R
U
B
R
U
RR
U
A
B
R
U
AB
RR
U
s
ss
s
s
00 解得当 t>0时：根据基尔霍夫定律列电路的微分方程：
uL+uR=Us
:程一阶线性非齐次微分方 sLL URidtdiL
:微分方程的解为
L
RAeBi t
L
其中
U s
+
-
iL (t)
R
L
u R
+
-
u L
+
-
t
Sss
L eR
U
RR
U
R
Ui?
0:电感电流
tLLL eiii )0(
态分量全响应＝稳态分量＋暂电路。实际上：电路，还是不论是讨论
RLRC.1
:
tsosC eUUUu
tCCC euuU 0
稳态 暂态
tLLLL eiiii 0
稳态 暂态零状态响应全响应＝零输入响应＋
全响应也可分解为：.2
t
C
t
CC eueuu 1
零输入零状态三、三要素法从上面分析中可知：不论 RL还是 RC的一阶电路。
全响应 =稳态响应 +暂态响应实际上是：只要求出 f(0+),f(∞),τ就能求出全响应。
f(0+),t=0时的初始值；
f(∞),t=∞时电路的稳态值；
τ：换路后电路的时间常数。
三要素法公式：
teffftf 0
例题：如图所示，换路前电路处于稳定状态，试求换路后的电容电压 uC(t)。
4V
+
-
2 Ω
1 Ω
2F
t=0
u
c
+
-
2 Ω
2 Ω
4V
+
-
2 Ω
1 Ω
2 Ω u c(0 +)
+
-
解,t=0-换路前电路
4V
+
-
2 Ω
1 Ω
u
c
(∞)
+
-
2 Ω 2 Ω
2V
+
-
1 Ω
1 Ω
u
c
(∞ )
+
-
2 Ω
t=∞新稳态电路
2V
+
-
1 Ω
1 Ω
u
c
+
-
2 Ω
1V
+
-
1 Ω
u c
+
-
2F
换路后,t>0时，等效电路
Thank you!
