,线 性 代 数,
电 子 教 案基本要求,熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法 (对角线法则 ),了解 n阶行列式的定义,理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的 n阶行列式 ;理解和掌握克拉默法则（ Cramer’s rule).
教学内容与时间分配,
第一次课 (3学时 ),§ 1 二阶与三阶行列式 ; § 2 全排列及其逆序数 ;
§ 3 n阶行列式的定义 ;
第二次课 (3学时 ),§ 4 对换 ; § 5 n阶 行列式的性质 ;
§ 6 行列式按行展开定理 ;
第三次课 (1学时 ),§ 7 克拉默法则,
第一章 行 列 式 (determinant)
本次课 [1]的教学要求
1,熟练掌握二阶、三阶行列式的定义和对角线法则,
2,理解全排列及其逆序数的概念，
会求排列的逆序数,
3,了解 n 阶行列式的第一种定义方法,会用定义计算特殊形式的 n
阶行列式,
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa1
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入第一章 行 列 式第一节 二阶与三阶行列式;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)4(2221
1211
aa
aa
定义
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即,aaaaaa aa 21122211
2221
1211
11a 12a
22a21a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
例 1
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
二、三阶行列式定义
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
列标 行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
如果三元线性方程组?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
利用三阶行列式求解三元线性方程组三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
ba
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则三元线性方程组的解为,
,DDx 11?,22 DDx?,33 DDx?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
2-43-
122-
4-21
D?计算三阶行列式例２
解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例 3
解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 0652 xx
3.2 xx 或例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结一、概念的引入引例 用 1,2,3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解 1 2 3
1 2 3百位 3种放法十位 1 2 31
个位 1 2 3
2种放法
1种放法种放法,共有 6123
第二节 全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数同的排法？
，共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）,
n n
个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示,
n
nP
由引例 1233P,6?
nPn? )1( n )2( n 123 !.n?同理在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个逆序,
nst iiiii21
st ii?
例如 排列 32514 中，
定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为 标准次序,
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序逆序逆序定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的 逆序数为 3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数,
n,n,,,121
n,n,,,121 n
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,
方法 2
例 1 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1;
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514的逆序数为
13010t,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性,
21 79 86 35 41
解 453689712
544310010
t
18?
此排列为 偶排列,
5 4? 0100134
321212 nnn
解
12
,
2
1 nn
当 时为偶排列； 14,4 kkn
当 时为奇排列,34,24 kkn
1 nt2 n
32121 nnn
1?n
2?n
kkkkkk 132322212123
解
0?t
kkk
2
1112,2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列,k
1? 1? 2 kkk 112?
kkkkkk 13232221212
0?1?1?2?2k
2 排列具有奇偶性,
3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种,
1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n
三、小结一、概念的引入三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
说明
（ 1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
（ 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
第三节 n 阶行列式的定义
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
,t 2113 12
322311 aaa 列标排列的逆序数为
,t 101132
偶排列奇排列正号?
,负号?
.)1(
321 321
333231
232221
131211
pppt aaa
aaa
aaa
aaa
二,n 阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).de t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa?
5,的符号为 nnppp aaa?21 21 )( 211)( npppt
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41?p若,011 pa 从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4 同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4321 t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
分析展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
nnnt aaa 2211121
.2211 nnaaa
解例 3
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD
.1608541
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
,1 212 1 nnn;21 n
n
2
1
例 4 证明 对角行列式
n
2
1
11,212111 nnnnnt aaa
,1 212 1 nnn
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1, inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕
1,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,
2,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,
n
n
!n
三、小结思考题
xf
,283,32,01 fff
2、分别用两种方法求排列 16352487的逆序数,
1,求一个二次多项式,使
3、已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3 的系数求 x,
思考题解答
1、解 设所求的二次多项式为,2 cbxaxxf
由题意得,01 cbaf
,3242 cbaf,28393 cbaf
得一个关于未知数 的线性方程组,cba,,
又,020D,20,60,40 321 DDD
得,21 DDa,32 DDb 13 DDc
故所求多项式为,132 2 xxxf
2、解用方法 1
1 6 3 5 2 4 8 7
用方法 2
01012130t 8?
由前向后求每个数的逆序数,
.810231100t
3、解 含 的项有两项,即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
433422111 2 4 31 aaaat 4433221112341 aaaa)(t?
,xaaaa)(t 3443322111 2 3 41
3433422111 2 4 3 21 xaaaat
.13?的系数为故 x
又作 业习题一（ P 32）：
1,2,3
例 设
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
证明,21 DD?
证 由行列式定义有
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
21
21
21
21
21
22221
11211
1
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaa
21
21
21
21 21
211
由于,2121 nppp n
所以
,1 2211
21
21
21 DaaaD
n
n
n
nppp
ppp
pppt
n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaaD
21
21
21
21 21
212 1
n
n
n
nppp
ppp
pppt aaa?
21
21
21
211
故
电 子 教 案基本要求,熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法 (对角线法则 ),了解 n阶行列式的定义,理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的 n阶行列式 ;理解和掌握克拉默法则（ Cramer’s rule).
教学内容与时间分配,
第一次课 (3学时 ),§ 1 二阶与三阶行列式 ; § 2 全排列及其逆序数 ;
§ 3 n阶行列式的定义 ;
第二次课 (3学时 ),§ 4 对换 ; § 5 n阶 行列式的性质 ;
§ 6 行列式按行展开定理 ;
第三次课 (1学时 ),§ 7 克拉默法则,
第一章 行 列 式 (determinant)
本次课 [1]的教学要求
1,熟练掌握二阶、三阶行列式的定义和对角线法则,
2,理解全排列及其逆序数的概念，
会求排列的逆序数,
3,了解 n 阶行列式的第一种定义方法,会用定义计算特殊形式的 n
阶行列式,
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa1
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入第一章 行 列 式第一节 二阶与三阶行列式;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)4(2221
1211
aa
aa
定义
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即,aaaaaa aa 21122211
2221
1211
11a 12a
22a21a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
例 1
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
二、三阶行列式定义
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
列标 行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
如果三元线性方程组?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
利用三阶行列式求解三元线性方程组三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
ba
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则三元线性方程组的解为,
,DDx 11?,22 DDx?,33 DDx?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
2-43-
122-
4-21
D?计算三阶行列式例２
解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例 3
解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 0652 xx
3.2 xx 或例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结一、概念的引入引例 用 1,2,3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解 1 2 3
1 2 3百位 3种放法十位 1 2 31
个位 1 2 3
2种放法
1种放法种放法,共有 6123
第二节 全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数同的排法？
，共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）,
n n
个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示,
n
nP
由引例 1233P,6?
nPn? )1( n )2( n 123 !.n?同理在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个逆序,
nst iiiii21
st ii?
例如 排列 32514 中，
定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为 标准次序,
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序逆序逆序定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的 逆序数为 3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数,
n,n,,,121
n,n,,,121 n
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,
方法 2
例 1 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1;
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514的逆序数为
13010t,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性,
21 79 86 35 41
解 453689712
544310010
t
18?
此排列为 偶排列,
5 4? 0100134
321212 nnn
解
12
,
2
1 nn
当 时为偶排列； 14,4 kkn
当 时为奇排列,34,24 kkn
1 nt2 n
32121 nnn
1?n
2?n
kkkkkk 132322212123
解
0?t
kkk
2
1112,2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列,k
1? 1? 2 kkk 112?
kkkkkk 13232221212
0?1?1?2?2k
2 排列具有奇偶性,
3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种,
1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n
三、小结一、概念的引入三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
说明
（ 1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
（ 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
第三节 n 阶行列式的定义
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
,t 2113 12
322311 aaa 列标排列的逆序数为
,t 101132
偶排列奇排列正号?
,负号?
.)1(
321 321
333231
232221
131211
pppt aaa
aaa
aaa
aaa
二,n 阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).de t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa?
5,的符号为 nnppp aaa?21 21 )( 211)( npppt
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41?p若,011 pa 从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4 同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4321 t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
分析展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
nnnt aaa 2211121
.2211 nnaaa
解例 3
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD
.1608541
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
,1 212 1 nnn;21 n
n
2
1
例 4 证明 对角行列式
n
2
1
11,212111 nnnnnt aaa
,1 212 1 nnn
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1, inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕
1,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,
2,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,
n
n
!n
三、小结思考题
xf
,283,32,01 fff
2、分别用两种方法求排列 16352487的逆序数,
1,求一个二次多项式,使
3、已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3 的系数求 x,
思考题解答
1、解 设所求的二次多项式为,2 cbxaxxf
由题意得,01 cbaf
,3242 cbaf,28393 cbaf
得一个关于未知数 的线性方程组,cba,,
又,020D,20,60,40 321 DDD
得,21 DDa,32 DDb 13 DDc
故所求多项式为,132 2 xxxf
2、解用方法 1
1 6 3 5 2 4 8 7
用方法 2
01012130t 8?
由前向后求每个数的逆序数,
.810231100t
3、解 含 的项有两项,即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
433422111 2 4 31 aaaat 4433221112341 aaaa)(t?
,xaaaa)(t 3443322111 2 3 41
3433422111 2 4 3 21 xaaaat
.13?的系数为故 x
又作 业习题一（ P 32）：
1,2,3
例 设
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
证明,21 DD?
证 由行列式定义有
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
21
21
21
21
21
22221
11211
1
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaa
21
21
21
21 21
211
由于,2121 nppp n
所以
,1 2211
21
21
21 DaaaD
n
n
n
nppp
ppp
pppt
n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaaD
21
21
21
21 21
212 1
n
n
n
nppp
ppp
pppt aaa?
21
21
21
211
故
