10－ 13 静电场的能量 能量密度一、电容器的电能设在某时刻两极板之间的电势差为 U，
此时若把 +dq电荷从带负电的负极板搬运到带正电的正极板，外力所作的功为电容器所储存的静电能
2
2
2
1
2 CUC
QW
e?＝
外力克服静电场力作功，
把非静电能转换为带电体系的静电能
+ + + + +
- - - - -
Ed? dq
+q
-q
U1
U2
dqUUdA 21 dqCq Q dq
C
qA
0 C
Q
2
2
C
QW
e 2
2
QCU?
21 UUU
2
2CU
二、静电场的能量 能量密度
1、静电场的能量对于极板面积为 S、极板间距为 d平板电容器，电场所占的体积为 Sd，电容器储存的静电能为
dSEEddSCUW e 222 212121 ＝
2、电场的能量密度定义：单位体积内的能量
2
2
1 E
e
对于任意电场，本结论都是成立的。
电容器所具有的能量与极板间电场 E和 D有关,E和 D是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电场存在的空间有关，电场携带了能量。
例 1、球形电容器的内、外半径分别为 R1
和 R2，所带的电量为 ± Q。若在两球之间充满电容率为 ε的电介质，问此电容器电场的能量为多少。
R1 R
2
解：若电容器两极板上电荷的分布是均匀的，
则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得球壳间的电场强度的大小为
2 4 r
QE
＝
电场的能量密度为
42
2
2
322
1
r
QE
e ＝?
取半径为 r、厚为 dr的球壳，其体积为 dV=4πr2dr。所以此体积元内的电场的能量为
drrQdrrrQdVdW ee 2
2
2
42
2
84 32
电场总能量为
21
2
2
2
11
8
8
2
1
RR
Q
dr
r
Q
W
R
R
e
例 2、一个球半径为 R，体电荷密度为?,试利用电场能量公式求此带电球体系统的静电能。
R
Rrr
rE
r
3
0
1
RrrrRE
r
3 2
0
3
2
dVEdVwW re 2
2
0
R rR r drrEdrrE 2
2
20
0
2
2
10 4
242?
R
r
rR
r
r drr
r
Rdrrr 22
2
0
3
0
0
22
0
0 4)
3(24)3(2
rr
RR
0
52
0
52
18
4
185
4?
r
R
0
52
15
4?
.,,
,.:
21內外电容率分别为半径已知球体带电量为电场能求均匀带电球体內外的例
R
Q
RQ
1?
2?
2
2
3
1 44
::
r
Q
E
R
Qr
E
外內由高斯定理容易求出解
R
Qdrr
R
QrdVEW R
V 1
2
2
2
3
1
0
12
1 404422
1
內內內
R
Qdrr
r
QdVEW
R
V 2
2
2
2
2
2
22
2 84422
1
外外外
5
1
21
外內则如果
W
W
例题
1、求电量为 Q 0、半径为 R的均匀带电球面的静电能 。
解：设 U?= 0
dQUW e
2
1
每一个 dQ 所在处的电势
0 0
0
42
1
Q R
dQQ
R
Q
0
2
8
0
R
例题 一平行板电容器的板极面积为 S，间距为 d，
充电后两极板上带电分别为 ± Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到 2d。求（ 1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（ 2）两极板之间的相互吸引力。
（空气的电容率取为 ε0）。
d
SC
d
SC
2,0201
S
dQW
S
dQ
C
QW
0
2
2
0
2
10
2
1
2
2
1
2
1
2
1
,
板极上带电 ± Q时所储的电能为解 （ 1 ）两极板的间距为 d和 2d时，平行板电容器的电容分别为
Q S
d1
Q S
d2
S
dQWWW
0
2
12 2
1
－＝
（ 2）设两极板之间的相互吸引力为 F，拉开两极板时所加外力应等于 F，外力所作的功 A=Fd,所以
S
Q
d
AF
0
2
2?
故两极板的间距拉开到 2d后电容器中电场能量的增量为
Q S
d1
Q S
d2
例 平行板空气电容器每极板的面积 S= 3× 10-2m2,板极间的距离 d = 3× 10-3m 。 今以厚度为 d’
= 1× 10-3m的铜板平行地插入电容器内 。 （ 1） 计算此时电容器的电容； （ 2） 铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？ （ 3）
使电容器充电到两极板的电势差为 300V后与电源断开,再把铜板从电容器中抽出,外界需作功多少功？
d
SC 0解,（ 1）铜板未插入前的电容为
d1 d2
d
d?
+
C1 C2
A B
设两板极上带有电荷 ± q,铜板两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ± σ,此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板 A,B的电势差为
dd
S
VV
qC
BA
0?－
所以铜板插入后的电容 C’为
S ddqddEdEdEVVU BA
0
02010?
＝＋－
2） 由上式可见,C’ 的值与 d1和 d2
无关 （ d1增大时,d2减小 。 d1+
d2=d-d' 不变 ）,所以铜板离极板的距离不影响 C’的值 d1 d2
d
d?
+
C1 C2
A B
（ 3） 铜板未抽出时,电容器被充电到 U=300V,此时所带电荷量 Q=C’U,电容器中所储静电能为能量的增量 W-W’ 应等于外力所需作的功,即
C
QW 2
2
1?
当电容器与电源切断后再抽出铜板,电容器所储的静电能增为
1
2
2
1
C
QW
2
2
0
0
22
22
11
2 dd
UdS
S
dQ
CC
QWWWA
＝＝－－＝＝
代入已知数据,可算得
JA 61099.2
例,
VUFC 1 0 01 11
VUFC 2002 22
+Q1 -Q 1
C1
C2
+Q2 -Q2
把两个电容器并联，计算两个电容器并联前后静电能
)(005.0100100.1
2
1
2
26
2
11
1 J
UCW
)(04.0200100.2
2
1
2
26
2
22
2 J
UCW
)(045.021 JWW
)(2
)(
2 21
2
21
2
CC
QQ
C
Q
W
2211 UCUC?
)(0 4 2.0 J?
平板电容器 电荷面密度为?面积为 S 极板相距
d。 问：不接电源将介电常数为?的 均匀电介质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什么变化？
例题解：
0
1?
E VEW 2
1
0
1 2
VWWW
0
2
12
11
2
S
d
2E VEW
2
22 2
V
0
2
2?
V2
2
Sd
能量减少了 —— 电场力作功！
2
2 U
QC?
1U
Qr
0
1
2?
CC?
1Cr?
电容增大了 —— 可容纳更多的电荷！
21 UU r
10－ 14 压电效应 铁电体 驻极体一、压电效应
压电效应 (正压电效应 )：某些固体电介质，当它们发生机械形变时，会产生极化，在它们相对的两个面上将产生异号的极化电荷。这种因机械形变而产生的电极化现象称为压电效应。
电致伸缩 (逆压电效应 )：在电场的作用下，晶体发生机械形变。
应用,
机械振荡 → 电振荡：送话器、电唱针、测量爆炸时的压力电振荡 → 机械振荡：超声波的换能器二、铁电体
概念,酞酸钡等电介质的相对电容率很大，且随外加电场而改变；当外加电场撤去以后，电介质并不称为中性，
而具有剩余极化，这一性质与铁磁质很相似，称为铁电体。
应用,制造电容器和各种压电器件。
三、驻极体
概念,电介质在外电场的作用下会产生极化现象；当外加电场撤去以后，电介质能长期保持极化状态，这类能长期保持极化状态的物体称为驻极体。
1919年由日本科学家江口元太朗制成。
驻极体的制造方法：
热驻极法电驻极法
应用,电容传声器、拾音器、拾振器等。
此时若把 +dq电荷从带负电的负极板搬运到带正电的正极板，外力所作的功为电容器所储存的静电能
2
2
2
1
2 CUC
QW
e?＝
外力克服静电场力作功，
把非静电能转换为带电体系的静电能
+ + + + +
- - - - -
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+q
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U1
U2
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C
qA
0 C
Q
2
2
C
QW
e 2
2
QCU?
21 UUU
2
2CU
二、静电场的能量 能量密度
1、静电场的能量对于极板面积为 S、极板间距为 d平板电容器，电场所占的体积为 Sd，电容器储存的静电能为
dSEEddSCUW e 222 212121 ＝
2、电场的能量密度定义：单位体积内的能量
2
2
1 E
e
对于任意电场，本结论都是成立的。
电容器所具有的能量与极板间电场 E和 D有关,E和 D是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电场存在的空间有关，电场携带了能量。
例 1、球形电容器的内、外半径分别为 R1
和 R2，所带的电量为 ± Q。若在两球之间充满电容率为 ε的电介质，问此电容器电场的能量为多少。
R1 R
2
解：若电容器两极板上电荷的分布是均匀的，
则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得球壳间的电场强度的大小为
2 4 r
QE
＝
电场的能量密度为
42
2
2
322
1
r
QE
e ＝?
取半径为 r、厚为 dr的球壳，其体积为 dV=4πr2dr。所以此体积元内的电场的能量为
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2
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42
2
84 32
电场总能量为
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11
8
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1
RR
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例 2、一个球半径为 R，体电荷密度为?,试利用电场能量公式求此带电球体系统的静电能。
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3
0
1
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.,,
,.:
21內外电容率分别为半径已知球体带电量为电场能求均匀带电球体內外的例
R
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2
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外內由高斯定理容易求出解
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22
2 84422
1
外外外
5
1
21
外內则如果
W
W
例题
1、求电量为 Q 0、半径为 R的均匀带电球面的静电能 。
解：设 U?= 0
dQUW e
2
1
每一个 dQ 所在处的电势
0 0
0
42
1
Q R
dQQ
R
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2
8
0
R
例题 一平行板电容器的板极面积为 S，间距为 d，
充电后两极板上带电分别为 ± Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到 2d。求（ 1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（ 2）两极板之间的相互吸引力。
（空气的电容率取为 ε0）。
d
SC
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2,0201
S
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,
板极上带电 ± Q时所储的电能为解 （ 1 ）两极板的间距为 d和 2d时，平行板电容器的电容分别为
Q S
d1
Q S
d2
S
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0
2
12 2
1
－＝
（ 2）设两极板之间的相互吸引力为 F，拉开两极板时所加外力应等于 F，外力所作的功 A=Fd,所以
S
Q
d
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0
2
2?
故两极板的间距拉开到 2d后电容器中电场能量的增量为
Q S
d1
Q S
d2
例 平行板空气电容器每极板的面积 S= 3× 10-2m2,板极间的距离 d = 3× 10-3m 。 今以厚度为 d’
= 1× 10-3m的铜板平行地插入电容器内 。 （ 1） 计算此时电容器的电容； （ 2） 铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？ （ 3）
使电容器充电到两极板的电势差为 300V后与电源断开,再把铜板从电容器中抽出,外界需作功多少功？
d
SC 0解,（ 1）铜板未插入前的电容为
d1 d2
d
d?
+
C1 C2
A B
设两板极上带有电荷 ± q,铜板两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ± σ,此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板 A,B的电势差为
dd
S
VV
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0?－
所以铜板插入后的电容 C’为
S ddqddEdEdEVVU BA
0
02010?
＝＋－
2） 由上式可见,C’ 的值与 d1和 d2
无关 （ d1增大时,d2减小 。 d1+
d2=d-d' 不变 ）,所以铜板离极板的距离不影响 C’的值 d1 d2
d
d?
+
C1 C2
A B
（ 3） 铜板未抽出时,电容器被充电到 U=300V,此时所带电荷量 Q=C’U,电容器中所储静电能为能量的增量 W-W’ 应等于外力所需作的功,即
C
QW 2
2
1?
当电容器与电源切断后再抽出铜板,电容器所储的静电能增为
1
2
2
1
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2
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0
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22
22
11
2 dd
UdS
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＝＝－－＝＝
代入已知数据,可算得
JA 61099.2
例,
VUFC 1 0 01 11
VUFC 2002 22
+Q1 -Q 1
C1
C2
+Q2 -Q2
把两个电容器并联，计算两个电容器并联前后静电能
)(005.0100100.1
2
1
2
26
2
11
1 J
UCW
)(04.0200100.2
2
1
2
26
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22
2 J
UCW
)(045.021 JWW
)(2
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2 21
2
21
2
CC
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2211 UCUC?
)(0 4 2.0 J?
平板电容器 电荷面密度为?面积为 S 极板相距
d。 问：不接电源将介电常数为?的 均匀电介质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什么变化？
例题解：
0
1?
E VEW 2
1
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12
11
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Sd
能量减少了 —— 电场力作功！
2
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QC?
1U
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0
1
2?
CC?
1Cr?
电容增大了 —— 可容纳更多的电荷！
21 UU r
10－ 14 压电效应 铁电体 驻极体一、压电效应
压电效应 (正压电效应 )：某些固体电介质，当它们发生机械形变时，会产生极化，在它们相对的两个面上将产生异号的极化电荷。这种因机械形变而产生的电极化现象称为压电效应。
电致伸缩 (逆压电效应 )：在电场的作用下，晶体发生机械形变。
应用,
机械振荡 → 电振荡：送话器、电唱针、测量爆炸时的压力电振荡 → 机械振荡：超声波的换能器二、铁电体
概念,酞酸钡等电介质的相对电容率很大，且随外加电场而改变；当外加电场撤去以后，电介质并不称为中性，
而具有剩余极化，这一性质与铁磁质很相似，称为铁电体。
应用,制造电容器和各种压电器件。
三、驻极体
概念,电介质在外电场的作用下会产生极化现象；当外加电场撤去以后，电介质能长期保持极化状态，这类能长期保持极化状态的物体称为驻极体。
1919年由日本科学家江口元太朗制成。
驻极体的制造方法：
热驻极法电驻极法
应用,电容传声器、拾音器、拾振器等。
