? 图的基本概念
图的存储表示
图的遍历与连通性
最小生成树
最短路径
活动网络图的基本概念
图定义 图是由顶点集合 (vertex)及顶点间的关系集合组成的一种数据结构,
Graph＝ ( V,E )
其中 V = { x | x? 某个数据对象 }
是顶点的有穷非空集合；
E = {(x,y) | x,y? V }
或 E = {<x,y> | x,y? V && Path (x,y)}
是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边
(edge)集合。 Path (x,y)表示从 x 到 y 的一条单向通路,它是有方向的。
有向图与无向图 在有向图中，顶点对 <x,
y> 是有序的。在无向图中，顶点对 (x,y)是无序的。
完全图 若有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2
条边,则此图为完全无向图。有 n 个顶点的有向图有 n(n-1) 条边,则此图为完全有向图。
0 0 0 0
1
1
1 12 2
2 265433
邻接顶点 如果 (u,v) 是 E(G) 中的一条边，
则称 u 与 v 互为邻接顶点 。
子图 设有两个图 G＝ (V,E) 和 G‘＝ (V’,
E‘)。若 V’? V 且 E‘?E,则称 图 G’ 是 图 G
的子图。
权 某些图的边具有与它相关的数,称之为权。这种带权图叫做网络。
0
1 2
3
子图 0
1
3
0
1 2
3
0
2
3
顶点的度 一个顶点 v的度是与它相关联的边的条数。记作 TD(v)。 在有向图中,顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。
顶点 v 的入度 是以 v 为终点的有向边的条数,记作 ID(v); 顶点 v 的出度 是以 v 为始点的有向边的条数,记作 OD(v)。
路径 在图 G＝ (V,E) 中,若从顶点 vi 出发,
沿一些边经过一些顶点 vp1,vp2,…,vpm，到达顶点 vj。则称顶点序列 (vi vp1 vp2,.,vpm vj)
为从顶点 vi 到顶点 vj 的路径 。它经过的边
(vi,vp1),(vp1,vp2),...,(vpm,vj) 应是属于 E
的边。
路径长度 非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复,则称这样的路径为简单路径。
回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点 vm 重合,则称这样的路径为回路或环。
0
1 2
3
0
1 2
3
0
1 2
3
连通图与连通分量 在无向图中,若从顶点
v1到顶点 v2有路径,则称顶点 v1与 v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
强连通图与强连通分量 在有向图中,若对于每一对顶点 vi和 vj,都存在一条从 vi到 vj和从 vj到 vi的路径,则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。
生成树 一个连通图的生成树是其极小连通子图，在 n个顶点的情形下，有 n-1条边。
图的存储表示
在图的邻接矩阵表示中，有一个 记录各个顶点信息 的 顶点表,还有一个 表示各个顶点之间关系 的 邻接矩阵 。
设图 A = (V,E)是一个有 n 个顶点的图,图的邻接矩阵是一个二维数组 A.edge[n][n]，
定义：
邻接矩阵 (Adjacency Matrix)
,
),(,,]][[,
否则或若
0
><1A EjiEjijiE d g e
无向图的邻接矩阵是对称的 ;
有向图的邻接矩阵可能是不对称的。
0
1 2
3
0101
1010
0101
1010
A,e dg e
0
1
2
000
101
010
A,e d g e
在有向图中,统计第 i 行 1 的个数可得顶点
i 的 出度,统计第 j 列 1 的个数可得顶点 j
的 入度 。
在无向图中,统计第 i 行 (列 ) 1 的个数可得顶点 i的 度 。
网络的邻接矩阵
ji
ji,ji,ji
ji,ji,jiji
ji
若或且若或且若
,
)(,
)(),,(
]][[
0
EE
EEW
A,e d g e
8
6
3
1
29 5
4
2
0
3
1
06
8053
290
410
A,e d g e
#define MaxValue Int_Max //在 <limits.h>中
const int NumEdges = 50; //边条数
const int NumVertices = 10; //顶点个数
typedef char VertexData; //顶点数据类型
typedef int EdgeData; //边上权值类型
typedef struct {
VertexData vexList[NumVertices]; //顶点表
EdgeData Edge[NumVertices][NumVertices];
//邻接矩阵,可视为边之间的关系
int n,e; //图中当前的顶点个数与边数
} MTGraph;
用邻接矩阵表示的图结构的定义邻接表 (Adjacency List)
无向图的邻接表同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，每一个链结点代表一条边 (边结点 ),结点中有另一顶点的下标 dest 和指针 link。
A
B C
D
data adj
A
B
C
D
0
1
2
3
dest link dest link
1 3
0 2
1
0
有向图的邻接表和逆邻接表
A
B
C
data adj
A
B
C
0
1
2
dest link
dest link
邻接表 (出边表 )
data adj
A
B
C
0
1
2
dest link
逆邻接表 (入边表 )
1
0 2
0
1
1
网络 (带权图 ) 的邻接表
B
A
C
D6
95 2
8
data adj
A
B
C
D
0
1
2
3
dest cost link
1 5 3 6
2 8
3 2
1 9
(出边表 )(顶点表 )
带权图的边结点中保存该边上的权值 cost。
顶点 i 的边链表的表头指针 adj 在顶点表的下标为 i 的顶点记录中，该记录还保存了该顶点的其它信息。
在邻接表的边链表中,各个边结点的链入顺序任意，视边结点输入次序而定。
设图中有 n 个顶点,e 条边，则 用邻接表表示无向图时,需要 n 个顶点结点,2e 个边结点；用 邻接表表示有向图时,若不考虑逆邻接表，只需 n 个顶点结点,e 个边结点。
邻接表表示的图的定义
const int NumVertices = 10; //顶点个数
typedef char VertexData; //顶点数据类型
typedef int EdgeData; //边上权值类型
typedef struct node { //边结点
int dest; //目标顶点下标
EdgeData cost; //边上的权值
Struct node * link; //下一边链接指针
} EdgeNode;
typedef struct { //顶点结点
VertexData data; //顶点数据域
EdgeNode * firstAdj; //边链表头指针
} VertexNode;
typedef struct { //图的邻接表
VertexNode VexList [NumVertices]; //邻接表
int n,e; //图中当前的顶点个数与边数
} AdjGraph;
图的遍历与连通性
从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次，就叫做图的遍历 ( Graph
Traversal )。
图中可能存在回路，且图的任一顶点都可能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过的顶点。
为了避免重复访问，可设置一个标志顶点是否被访问过的辅助数组 visited [ ]。
辅助数组 visited [ ] 的初始状态为 0,在图的遍历过程中,一旦某一个顶点 i 被访问,
就立即让 visited [i] 为 1,防止它被多次访问。
图的遍历的分类,
深度优先搜索
DFS (Depth First Search)
广度优先搜索
BFS (Breadth First Search)
深度优先搜索 DFS ( Depth First Search )
深度优先搜索的示例
A
CD
E
G
B
F IH
A
CD
E
G
B
F IH
1 2 3
45
6
7
8 9
1 2 3
45
6
7
8 9前进 回退深度优先搜索过程 深度优先生成树
DFS 在访问图中某一 起始顶点 v 后,由 v 出发,访问它的任一 邻接顶点 w1; 再从 w1 出发,
访问 与 w1邻 接 但还 没有访问过的顶点 w2;
然后再从 w2 出发,进行类似的访问,… 如此进行下去,直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止 。接着,退回一步,退到前一次刚访问过的顶点,看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。 如果有,则访问此顶点,之后再从此顶点出发,进行与前述类似的访问 ; 如果没有,就再退回一步进行搜索。
重复上述过程,直到连通图中所有顶点都被访问过为止。
图的深度优先搜索算法
void Graph_Traverse (AdjGraph G) {
int * visited = new int [NumVertices];
for ( int i = 0; i < G.n; i++ )
visited [i] = 0; //访问数组 visited 初始化
for ( int i = 0; i < G.n; i++ )
if ( ! visited[i] ) DFS (G,i,visited );
//从顶点 i 出发开始搜索
delete [ ] visited; //释放 visited
}
void DFS (AdjGraph G,int v,int visited [ ] ) {
cout << GetValue (G,v) << ‘ ’; //访问顶点 v
visited[v] = 1; //顶点 v 作访问标记
int w = GetFirstNeighbor (G,v);
//取 v 的第一个邻接顶点 w
while ( w != -1 ) { //若邻接顶点 w 存在
if ( !visited[w] ) DFS (G,w,visited );
//若 顶点 w 未访问过,递归访问顶点 w
w = GetNextNeighbor (G,v,w );
//取顶点 v 排在 w 后的下一个邻接顶点
}
}
广度优先搜索 BFS ( Breadth First Search )
广度优先搜索的示例
A
CD
E
G
B
F IH
A
CD
E
G
B
F H
1 2
34
5
6
7
8 9
1 2
34
5
6
7
8 9
广度优先搜索过程 广度优先生成树
I
BFS在访问了 起始顶点 v 之后,由 v 出发,依次访问 v 的各个 未被访问过的邻接顶点 w1,
w2,…,wt,然后再顺序访问 w1,w2,…,wt 的所有还未被访问过的邻接顶点。再从这些访问过的顶点出发，再访问它们的所有还未被访问过的邻接顶点,… 如此做下去，直到图中所有顶点都被访问到为止。
广度优先搜索是一种分层的搜索过程,每向前走一步可能访问一批顶点,不像深度优先搜索那样有往回退的情况。因此,广度优先搜索不是一个递归的过程。
为了实现逐层访问,算法中使用了一个 队列,
以记忆正在访问的这一层和下一层的顶点,
以便于向下一层访问。
为避免重复访问,需要一个辅助数组 visited
[ ]，给被访问过的顶点加标记。
图的广度优先搜索算法
void Graph_Traverse (AdjGraph G) {
‥‥‥‥‥
for ( int i = 0; i < G.n; i++ )
if ( ! visited[i] ) BFS (G,i,visited );
‥‥‥‥‥
}
图的广度优先搜索算法
void BFS (AdjGraph G,int v,int visited[ ] ) {
cout << GetValue (v) << ' '; visited[v] = 1;
Queue<int> q; InitQueue(&q);
EnQueue (&q,v); //进队列
while ( ! QueueEmpty (&q) ) { //队空搜索结束
DeQueue (&q,v);
int w = GetFirstNeighbor (G,v);
while ( w != -1 ) { //若邻接顶点 w 存在
if ( !visited[w] ) { //未访问过
cout << GetValue (w) << ‘ ’;
visited[w] = 1; EnQueue (&q,w);
}
w = GetNextNeighbor (G,v,w);
} //重复检测 v 的所有邻接顶点
} //外层循环，判队列空否
delete [ ] visited;
}
最小生成树
( minimum cost spanning tree )
使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。
按照生成树的定义,n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点,n-1 条边。
构造最小生成树的准则
必须使用且仅使用该网络中的 n-1 条边来联结网络中的 n 个顶点；
不能使用产生回路的边；
各边上的权值的总和达到最小。
普里姆 (Prim)算法
普里姆算法的基本思想：
从连通网络 N = { V,E }中的某一顶点 u0 出发,选择与它关联的具有最小权值的边 ( u0,
v ),将其顶点加入到 生成树顶点集合 U中。
以后每一步从 一个顶点在 U 中,而 另一个顶点不在 U 中 的各条边中选择 权值最小的边 (u,v),把它的顶点加入到 集合 U 中。如此继续下去,直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U 中为止。
采用邻接矩阵作为图的存储表示。
2525
10
5
0
4
6
1
3
2
28
10
25
14
24
22
16
18
5
0
4
6
1
3
2 5
0
4
6
1
3
2
10
原图 (a) (b)
5
0
4
6
1
3
2
10
(c) (d) (e) (f)
5
0
4
6
1
3
2
10
22
12
5
0
4
6
1
2
10
25
14
22
16
123
25
22
12
克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法
克鲁斯卡尔算法的基本思想：
设有一个有 n 个顶点的连通网络 N = { V,
E },最初先构造一个只有 n 个顶点,没有边的非连通图 T = { V,? },图中每个顶点自成一个连通分量。当在 E 中选到一条具有最小权值的边时,若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中 ; 否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。 如此重复下去,直到所有顶点在同一个连通分量上为止。
算法框架 利用 并查集 实现 克鲁斯卡尔算法 。
首先,将 E 中所有的边按权值递增的顺序排序,每个边结点的格式为
在构造最小生成树过程中,利用 并查集 的运算检查依附一条边的两顶点 tail,head是否在同一连通分量 (即 并查集的同一个子集合 )
上,是则舍去这条边；否则将此边加入 T,
同时将这两个顶点放在同一个连通分量上。
tail head cost
边的两个顶点位置 边的权值
10
随着各边逐步加入到最小生成树的边集合中,
各连通分量也在逐步合并,直到形成一个连通分量为止。
应用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程
5
0
4
6
1
3
2
28
10
25
14
24
22
16
18 12
5
0
4
6
1
3
2 5
0
4
6
1
3
2
原图 (a) (b)
10
12
5
0
4
6
1
3
2
28
10
25
14
24
22
16
18 12
5
0
4
6
1
3
2 5
0
4
6
1
3
2
10 14
12
原图 (c) (d)
5
0
4
6
1
3
2
10 14 16
12
(e) (f) (g)
5
0
4
6
1
3
2
10 14
22
16
12
5
0
4
6
1
2
10
25
14
22
16
123
最小生成树定义
const int MaxValue = Int_Max; //<limits.h>
//机器可表示的,问题中不可能出现的大数
const int NumVertices = 20; //图的顶点个数
typedef struct { //生成树边结点
int tail,head; //生成树各边的两顶点
float cost; //生成树各边的权值
} MSTEdgeNode;
typedef MSTEdgeNode MST[NumVertices-1];
//最小生成树克鲁斯卡尔算法不仅适合于边稠密的情形，
也适合于边稀疏的情形。
最短路径 (Shortest Path)
最短路径问题,如果从图中某一顶点 (称为源点 )到达另一顶点 (称为终点 )的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。
问题解法
边上权值非负情形的单源最短路径问题
— Dijkstra算法? (仅讲此算法 )
任意顶点之间的最短路径
— Floyd算法
问题的提法,给定一个带权有向图 D与源点 v，求从 v 到 D中其它顶点的最短路径。
限定各边上的权值大于或等于 0。
为求得这些最短路径,Dijkstra提出按路径长度的递增次序,逐步产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条最短路径，
再参照它求出长度次短的一条最短路径，
依次类推，直到从顶点 v到其它各顶点的最短路径全部求出为止。
Dijkstra逐步求解的过程
1
0
4
32
10 100
30
50
20
60
10
源点 终点 最短路径 路径长度
v0 v1 (v0,v1) 10
v2 (v0,v1,v2) (v0,v3,v2)?,60,50
v3 (v0,v3) 30
v4 (v0,v4) (v0,v3,v4) (v0,v3,v2,v4) 100,90,60
任两点间最短路径问题 -- Floyd
0 1
2
4 5
3
17
3
10
45
20
11
413
6
12
9
14
21
Floyd算法
– 算法思想
定义 P(i,j,k)为：从 vi到 vj，由序号不大于 k的顶点为中间点（或直达）可构成的最短路径。
i jk
Floyd算法
– 算法思想
i
0
j
P(i,j,0)
P(i,j,k)
i
k
j
P(i,j,k-1)
P (
i,
k,
k -
1 )
P (
k,
j,
k -
1 )
Floyd算法
– 算法思想
E1：初始化从 vi到 vj的目前已知较短路径为从 vi
到 vj的直达弧；
E2：对每两顶点对 (vi,vj)依次计算 P(i,j,k)，
k=0…n -1，计算规则为：
P(i,j,k) =
min( P(i,k,k-1)+P(k,j,k-1),P(i,j,k-1) )
CODING
活动网络 (Activity Network)
计划、施工过程、生产流程、程序流程等都是,工程,。除了很小的工程外，一般都把工程分为若干个叫做,活动,的子工程。完成了这些活动，这个工程就可以完成了。
例如，计算机专业学生的学习就是一个工程，
每一门课程的学习就是整个工程的一些活动。
其中有些课程要求先修课程，有些则不要求。
这样在有的课程之间有领先关系，有的课程可以并行地学习。
用顶点表示活动的网络 (AOV网络 )
C1 高等数学
C2 程序设计基础
C3 离散数学 C1,C2
C4 数据结构 C3,C2
C5 高级语言程序设计 C2
C6 编译方法 C5,C4
C7 操作系统 C4,C9
C8 普通物理 C1
C9 计算机原理 C8
学生课程学习工程图
C8
C3
C5
C4
C9
C6
C7C1
C2
可以用 有向图 表示一个工程。在这种有向图中,用顶点表示活动,用有向边 <Vi,Vj>
表示 活动 Vi 必须先于活动 Vj进行 。这种有向图叫做顶点表示活动的 AOV网络
(Activity On Vertices)。
在 AOV网络中不能出现有向回路,即有向环。如果出现了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。
因此，对给定的 AOV网络，必须先判断它是否存在有向环。
检测有向环的一种方法是对 AOV网络构造它的拓扑有序序列。即将各个顶点 (代表各个活动 )排列成一个线性有序的序列，使得
AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。
这种 构造 AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算就叫做拓扑排序。
如果通过拓扑排序能将 AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中,则该网络中必定不会出现有向环。
如果 AOV网络中存在有向环，此 AOV网络所代表的工程是不可行的。
例如,对学生选课工程图进行拓扑排序,得到的拓扑有序序列为
C1,C2,C3,C4,C5,C6,C8,C9,C7
或 C1,C8,C9,C2,C5,C3,C4,C7,C6
C8
C3
C5
C4
C9
C6
C7C1
C2
进行拓扑排序的方法
① 输入 AOV网络。令 n 为顶点个数。
② 在 AOV网络中选一个 没有直接前驱 的顶点,
并输出之 ;
③ 从图中删去该顶点,同时删去所有它发出的有向边 ;
④ 重复以上 ②,③ 步,直到
全部顶点均已输出,拓扑有序序列形成，
拓扑排序完成；或
图中还有未输出的顶点,但已跳出处理循环 。说明图中还剩下一些顶点,它们都有直接前驱。这时网络中必存在有向环。
C0 C1 C2
C3 C4 C5
拓扑排序的过程
(a) 有向无环图
C2
C5
C1C0
C3
(b) 输出顶点 C4
C1 C2
C5C3
(c) 输出顶点 C0
C4
C0 C2
C5
C1
C3
(d) 输出顶点 C3
C1 C2
C5
(e) 输出顶点 C2
C5
C1
(f) 输出顶点 C1
C5
(g) 输出顶点 C5
最后得到的拓扑有序序列为 C4,C0,C3,C2,
C1,C5 。它满足图中给出的所有前驱和后继关系，
对于本来没有这种关系的顶点，如 C4和 C2，也排出了先后次序关系。
(h) 拓扑排序完成
AOV网络及其邻接表表示
C0 C1 C2
C3 C4 C5
C0
C1
C2
C3 0
C4
C5 0
0
1
2
3
4
5
count data adj
1
3
0
1
0
3
1
dest link
3 0
5
1 5 0
0 1 5 0
在邻接表中增设一个数组 count[ ],记录各顶点入度 。 入度为零的顶点即无前驱顶点 。
在输入数据前,顶点表 VexList[ ]和入度数组
count[ ]全部初始化 。 在输入数据时,每输入一条边 <j,k>,就需要建立一个边结点,并将它链入相应边链表中,统计入度信息：
在算法中,使用一个存放入度为零的顶点的链式栈,供选择和输出无前驱的顶点。
拓扑排序算法可描述如下：
建立入度为零的顶点栈 ;
当入度为零的顶点栈不空时,重复执行
从顶点栈中退出一个顶点,并输出之 ;
从 AOV网络中删去这个顶点和它发出的边,边的终顶点入度减一 ;
如果边的终顶点入度减至 0,则该顶点进入度为零的顶点栈 ;
如果输出顶点个数少于 AOV网络的顶点个数,则报告网络中存在有向环。
用边表示活动的网络 (AOE网络 )
如果在 无有向环的带权有向图 中,用有向边表示一个工程中的活动 (Activity),用边上权值表示活动持续时间 (Duration),用顶点表示事件 (Event),则这样的有向图叫做用边表示活动的网络,简称 AOE ( Activity On
Edges ) 网络。
AOE网络在某些工程估算方面非常有用。
例如，可以使人们了解：
完成整个工程至少需要多少时间 (假设网络中没有环 )?
为缩短完成工程所需的时间,应当加快哪些活动?
从源点到各个顶点,以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。 这些路径的长度也可能不同。 完成不同路径的活动所需的时间虽然不同,但只有各条路径上所有活动都完成了,整个工程才算完成。
因此,完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度,即在这条路径上所有活动的持续时间之和。 这条路径长度最长的路径就叫做关键路径 (Critical Path)。
a9=6
1
3
2
4
a1=8
a2=12
5
6
7 8a10=12
a8=18
a5=28
a6=8
a7=6
a3=14
a4=10
要找出关键路径，必须找出 关键活动,即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。
关键路径上的所有活动都是关键活动 。因此,只要找到了关键活动,就可以找到关键路径。例如,下图就是一个 AOE网。
l[k]是在不会引起时间延误的前提下,该活动允许的最迟开始时间。
l[k] = Vl[j] - dur(<i,j>)。
其中,dur(<i,j>)是完成 ak 所需的时间。
⑤ 时间余量 l[k] - e[k]
表示活动 ak 的最早可能开始时间和最迟允许开始时间的时间余量。 l[k] == e[k] 表示活动 ak 是没有时间余量的关键活动。
为找出关键活动,需要求各个活动的 e[k] 与
l[k]，以判别是否 l[k] == e[k]。
为求得 e[k]与 l[k],需要先求得从源点 V0 到各个顶点 Vi 的 Ve[i] 和 Vl[i]。
求 Ve[i]的递推公式
从 Ve[0] = 0 开始，向前递推
< Vj,Vi >? S2,i = 1,2,?,n-1
S2 是所有指向 Vi 的有向边 < Vj,Vi >的集合。
从 Vl[n-1] = Ve[n-1]开始，反向递推
< Vi,Vj >? S1,i = n-2,n-3,?,0
S1是所有源自 Vi的有向边 < Vi,Vj >的集合。
},),(][ {][ ij
j
VVd u rjVem a xiVe
},),(][ {][ ji
j
VVd u rjVlm iniVl
这两个递推公式的计算必须分别在 拓扑有序及 逆拓扑有序 的前提下进行。
设 活动 ak(k=1,2,…,e)在带权有向边 < Vi,Vj >
上,其持续时间用 dur (<Vi,Vj >) 表示,则有
e[k] = Ve[i]；
l[k] = Vl[j] - dur(<Vi,Vj >)； k = 1,2,…,e。
这样就得到计算关键路径的算法。
为了简化算法,假定在求关键路径之前已经对各顶点实现了拓扑排序,并按拓扑有序的顺序对各顶点重新进行了编号。
1
3
2
4
a1=8
a2=12
5
6
7 8a10=12
a9=6
a8=18
a5=28
a6=8
a7=6
a3=14
a4=10
Ve
Vl
1 2 3 4 5 6 7 8
0 8 12 22 28 40 46 58
0 8 12 22 28 40 46 58
e
l
0 0 8 12 12 22 22 28 40 46
0 0 8 12 12 32 22 28 40 46
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
图的存储表示
图的遍历与连通性
最小生成树
最短路径
活动网络图的基本概念
图定义 图是由顶点集合 (vertex)及顶点间的关系集合组成的一种数据结构,
Graph＝ ( V,E )
其中 V = { x | x? 某个数据对象 }
是顶点的有穷非空集合；
E = {(x,y) | x,y? V }
或 E = {<x,y> | x,y? V && Path (x,y)}
是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边
(edge)集合。 Path (x,y)表示从 x 到 y 的一条单向通路,它是有方向的。
有向图与无向图 在有向图中，顶点对 <x,
y> 是有序的。在无向图中，顶点对 (x,y)是无序的。
完全图 若有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2
条边,则此图为完全无向图。有 n 个顶点的有向图有 n(n-1) 条边,则此图为完全有向图。
0 0 0 0
1
1
1 12 2
2 265433
邻接顶点 如果 (u,v) 是 E(G) 中的一条边，
则称 u 与 v 互为邻接顶点 。
子图 设有两个图 G＝ (V,E) 和 G‘＝ (V’,
E‘)。若 V’? V 且 E‘?E,则称 图 G’ 是 图 G
的子图。
权 某些图的边具有与它相关的数,称之为权。这种带权图叫做网络。
0
1 2
3
子图 0
1
3
0
1 2
3
0
2
3
顶点的度 一个顶点 v的度是与它相关联的边的条数。记作 TD(v)。 在有向图中,顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。
顶点 v 的入度 是以 v 为终点的有向边的条数,记作 ID(v); 顶点 v 的出度 是以 v 为始点的有向边的条数,记作 OD(v)。
路径 在图 G＝ (V,E) 中,若从顶点 vi 出发,
沿一些边经过一些顶点 vp1,vp2,…,vpm，到达顶点 vj。则称顶点序列 (vi vp1 vp2,.,vpm vj)
为从顶点 vi 到顶点 vj 的路径 。它经过的边
(vi,vp1),(vp1,vp2),...,(vpm,vj) 应是属于 E
的边。
路径长度 非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复,则称这样的路径为简单路径。
回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点 vm 重合,则称这样的路径为回路或环。
0
1 2
3
0
1 2
3
0
1 2
3
连通图与连通分量 在无向图中,若从顶点
v1到顶点 v2有路径,则称顶点 v1与 v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
强连通图与强连通分量 在有向图中,若对于每一对顶点 vi和 vj,都存在一条从 vi到 vj和从 vj到 vi的路径,则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。
生成树 一个连通图的生成树是其极小连通子图，在 n个顶点的情形下，有 n-1条边。
图的存储表示
在图的邻接矩阵表示中，有一个 记录各个顶点信息 的 顶点表,还有一个 表示各个顶点之间关系 的 邻接矩阵 。
设图 A = (V,E)是一个有 n 个顶点的图,图的邻接矩阵是一个二维数组 A.edge[n][n]，
定义：
邻接矩阵 (Adjacency Matrix)
,
),(,,]][[,
否则或若
0
><1A EjiEjijiE d g e
无向图的邻接矩阵是对称的 ;
有向图的邻接矩阵可能是不对称的。
0
1 2
3
0101
1010
0101
1010
A,e dg e
0
1
2
000
101
010
A,e d g e
在有向图中,统计第 i 行 1 的个数可得顶点
i 的 出度,统计第 j 列 1 的个数可得顶点 j
的 入度 。
在无向图中,统计第 i 行 (列 ) 1 的个数可得顶点 i的 度 。
网络的邻接矩阵
ji
ji,ji,ji
ji,ji,jiji
ji
若或且若或且若
,
)(,
)(),,(
]][[
0
EE
EEW
A,e d g e
8
6
3
1
29 5
4
2
0
3
1
06
8053
290
410
A,e d g e
#define MaxValue Int_Max //在 <limits.h>中
const int NumEdges = 50; //边条数
const int NumVertices = 10; //顶点个数
typedef char VertexData; //顶点数据类型
typedef int EdgeData; //边上权值类型
typedef struct {
VertexData vexList[NumVertices]; //顶点表
EdgeData Edge[NumVertices][NumVertices];
//邻接矩阵,可视为边之间的关系
int n,e; //图中当前的顶点个数与边数
} MTGraph;
用邻接矩阵表示的图结构的定义邻接表 (Adjacency List)
无向图的邻接表同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，每一个链结点代表一条边 (边结点 ),结点中有另一顶点的下标 dest 和指针 link。
A
B C
D
data adj
A
B
C
D
0
1
2
3
dest link dest link
1 3
0 2
1
0
有向图的邻接表和逆邻接表
A
B
C
data adj
A
B
C
0
1
2
dest link
dest link
邻接表 (出边表 )
data adj
A
B
C
0
1
2
dest link
逆邻接表 (入边表 )
1
0 2
0
1
1
网络 (带权图 ) 的邻接表
B
A
C
D6
95 2
8
data adj
A
B
C
D
0
1
2
3
dest cost link
1 5 3 6
2 8
3 2
1 9
(出边表 )(顶点表 )
带权图的边结点中保存该边上的权值 cost。
顶点 i 的边链表的表头指针 adj 在顶点表的下标为 i 的顶点记录中，该记录还保存了该顶点的其它信息。
在邻接表的边链表中,各个边结点的链入顺序任意，视边结点输入次序而定。
设图中有 n 个顶点,e 条边，则 用邻接表表示无向图时,需要 n 个顶点结点,2e 个边结点；用 邻接表表示有向图时,若不考虑逆邻接表，只需 n 个顶点结点,e 个边结点。
邻接表表示的图的定义
const int NumVertices = 10; //顶点个数
typedef char VertexData; //顶点数据类型
typedef int EdgeData; //边上权值类型
typedef struct node { //边结点
int dest; //目标顶点下标
EdgeData cost; //边上的权值
Struct node * link; //下一边链接指针
} EdgeNode;
typedef struct { //顶点结点
VertexData data; //顶点数据域
EdgeNode * firstAdj; //边链表头指针
} VertexNode;
typedef struct { //图的邻接表
VertexNode VexList [NumVertices]; //邻接表
int n,e; //图中当前的顶点个数与边数
} AdjGraph;
图的遍历与连通性
从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次，就叫做图的遍历 ( Graph
Traversal )。
图中可能存在回路，且图的任一顶点都可能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过的顶点。
为了避免重复访问，可设置一个标志顶点是否被访问过的辅助数组 visited [ ]。
辅助数组 visited [ ] 的初始状态为 0,在图的遍历过程中,一旦某一个顶点 i 被访问,
就立即让 visited [i] 为 1,防止它被多次访问。
图的遍历的分类,
深度优先搜索
DFS (Depth First Search)
广度优先搜索
BFS (Breadth First Search)
深度优先搜索 DFS ( Depth First Search )
深度优先搜索的示例
A
CD
E
G
B
F IH
A
CD
E
G
B
F IH
1 2 3
45
6
7
8 9
1 2 3
45
6
7
8 9前进 回退深度优先搜索过程 深度优先生成树
DFS 在访问图中某一 起始顶点 v 后,由 v 出发,访问它的任一 邻接顶点 w1; 再从 w1 出发,
访问 与 w1邻 接 但还 没有访问过的顶点 w2;
然后再从 w2 出发,进行类似的访问,… 如此进行下去,直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止 。接着,退回一步,退到前一次刚访问过的顶点,看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。 如果有,则访问此顶点,之后再从此顶点出发,进行与前述类似的访问 ; 如果没有,就再退回一步进行搜索。
重复上述过程,直到连通图中所有顶点都被访问过为止。
图的深度优先搜索算法
void Graph_Traverse (AdjGraph G) {
int * visited = new int [NumVertices];
for ( int i = 0; i < G.n; i++ )
visited [i] = 0; //访问数组 visited 初始化
for ( int i = 0; i < G.n; i++ )
if ( ! visited[i] ) DFS (G,i,visited );
//从顶点 i 出发开始搜索
delete [ ] visited; //释放 visited
}
void DFS (AdjGraph G,int v,int visited [ ] ) {
cout << GetValue (G,v) << ‘ ’; //访问顶点 v
visited[v] = 1; //顶点 v 作访问标记
int w = GetFirstNeighbor (G,v);
//取 v 的第一个邻接顶点 w
while ( w != -1 ) { //若邻接顶点 w 存在
if ( !visited[w] ) DFS (G,w,visited );
//若 顶点 w 未访问过,递归访问顶点 w
w = GetNextNeighbor (G,v,w );
//取顶点 v 排在 w 后的下一个邻接顶点
}
}
广度优先搜索 BFS ( Breadth First Search )
广度优先搜索的示例
A
CD
E
G
B
F IH
A
CD
E
G
B
F H
1 2
34
5
6
7
8 9
1 2
34
5
6
7
8 9
广度优先搜索过程 广度优先生成树
I
BFS在访问了 起始顶点 v 之后,由 v 出发,依次访问 v 的各个 未被访问过的邻接顶点 w1,
w2,…,wt,然后再顺序访问 w1,w2,…,wt 的所有还未被访问过的邻接顶点。再从这些访问过的顶点出发，再访问它们的所有还未被访问过的邻接顶点,… 如此做下去，直到图中所有顶点都被访问到为止。
广度优先搜索是一种分层的搜索过程,每向前走一步可能访问一批顶点,不像深度优先搜索那样有往回退的情况。因此,广度优先搜索不是一个递归的过程。
为了实现逐层访问,算法中使用了一个 队列,
以记忆正在访问的这一层和下一层的顶点,
以便于向下一层访问。
为避免重复访问,需要一个辅助数组 visited
[ ]，给被访问过的顶点加标记。
图的广度优先搜索算法
void Graph_Traverse (AdjGraph G) {
‥‥‥‥‥
for ( int i = 0; i < G.n; i++ )
if ( ! visited[i] ) BFS (G,i,visited );
‥‥‥‥‥
}
图的广度优先搜索算法
void BFS (AdjGraph G,int v,int visited[ ] ) {
cout << GetValue (v) << ' '; visited[v] = 1;
Queue<int> q; InitQueue(&q);
EnQueue (&q,v); //进队列
while ( ! QueueEmpty (&q) ) { //队空搜索结束
DeQueue (&q,v);
int w = GetFirstNeighbor (G,v);
while ( w != -1 ) { //若邻接顶点 w 存在
if ( !visited[w] ) { //未访问过
cout << GetValue (w) << ‘ ’;
visited[w] = 1; EnQueue (&q,w);
}
w = GetNextNeighbor (G,v,w);
} //重复检测 v 的所有邻接顶点
} //外层循环，判队列空否
delete [ ] visited;
}
最小生成树
( minimum cost spanning tree )
使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。
按照生成树的定义,n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点,n-1 条边。
构造最小生成树的准则
必须使用且仅使用该网络中的 n-1 条边来联结网络中的 n 个顶点；
不能使用产生回路的边；
各边上的权值的总和达到最小。
普里姆 (Prim)算法
普里姆算法的基本思想：
从连通网络 N = { V,E }中的某一顶点 u0 出发,选择与它关联的具有最小权值的边 ( u0,
v ),将其顶点加入到 生成树顶点集合 U中。
以后每一步从 一个顶点在 U 中,而 另一个顶点不在 U 中 的各条边中选择 权值最小的边 (u,v),把它的顶点加入到 集合 U 中。如此继续下去,直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U 中为止。
采用邻接矩阵作为图的存储表示。
2525
10
5
0
4
6
1
3
2
28
10
25
14
24
22
16
18
5
0
4
6
1
3
2 5
0
4
6
1
3
2
10
原图 (a) (b)
5
0
4
6
1
3
2
10
(c) (d) (e) (f)
5
0
4
6
1
3
2
10
22
12
5
0
4
6
1
2
10
25
14
22
16
123
25
22
12
克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法
克鲁斯卡尔算法的基本思想：
设有一个有 n 个顶点的连通网络 N = { V,
E },最初先构造一个只有 n 个顶点,没有边的非连通图 T = { V,? },图中每个顶点自成一个连通分量。当在 E 中选到一条具有最小权值的边时,若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中 ; 否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。 如此重复下去,直到所有顶点在同一个连通分量上为止。
算法框架 利用 并查集 实现 克鲁斯卡尔算法 。
首先,将 E 中所有的边按权值递增的顺序排序,每个边结点的格式为
在构造最小生成树过程中,利用 并查集 的运算检查依附一条边的两顶点 tail,head是否在同一连通分量 (即 并查集的同一个子集合 )
上,是则舍去这条边；否则将此边加入 T,
同时将这两个顶点放在同一个连通分量上。
tail head cost
边的两个顶点位置 边的权值
10
随着各边逐步加入到最小生成树的边集合中,
各连通分量也在逐步合并,直到形成一个连通分量为止。
应用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程
5
0
4
6
1
3
2
28
10
25
14
24
22
16
18 12
5
0
4
6
1
3
2 5
0
4
6
1
3
2
原图 (a) (b)
10
12
5
0
4
6
1
3
2
28
10
25
14
24
22
16
18 12
5
0
4
6
1
3
2 5
0
4
6
1
3
2
10 14
12
原图 (c) (d)
5
0
4
6
1
3
2
10 14 16
12
(e) (f) (g)
5
0
4
6
1
3
2
10 14
22
16
12
5
0
4
6
1
2
10
25
14
22
16
123
最小生成树定义
const int MaxValue = Int_Max; //<limits.h>
//机器可表示的,问题中不可能出现的大数
const int NumVertices = 20; //图的顶点个数
typedef struct { //生成树边结点
int tail,head; //生成树各边的两顶点
float cost; //生成树各边的权值
} MSTEdgeNode;
typedef MSTEdgeNode MST[NumVertices-1];
//最小生成树克鲁斯卡尔算法不仅适合于边稠密的情形，
也适合于边稀疏的情形。
最短路径 (Shortest Path)
最短路径问题,如果从图中某一顶点 (称为源点 )到达另一顶点 (称为终点 )的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。
问题解法
边上权值非负情形的单源最短路径问题
— Dijkstra算法? (仅讲此算法 )
任意顶点之间的最短路径
— Floyd算法
问题的提法,给定一个带权有向图 D与源点 v，求从 v 到 D中其它顶点的最短路径。
限定各边上的权值大于或等于 0。
为求得这些最短路径,Dijkstra提出按路径长度的递增次序,逐步产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条最短路径，
再参照它求出长度次短的一条最短路径，
依次类推，直到从顶点 v到其它各顶点的最短路径全部求出为止。
Dijkstra逐步求解的过程
1
0
4
32
10 100
30
50
20
60
10
源点 终点 最短路径 路径长度
v0 v1 (v0,v1) 10
v2 (v0,v1,v2) (v0,v3,v2)?,60,50
v3 (v0,v3) 30
v4 (v0,v4) (v0,v3,v4) (v0,v3,v2,v4) 100,90,60
任两点间最短路径问题 -- Floyd
0 1
2
4 5
3
17
3
10
45
20
11
413
6
12
9
14
21
Floyd算法
– 算法思想
定义 P(i,j,k)为：从 vi到 vj，由序号不大于 k的顶点为中间点（或直达）可构成的最短路径。
i jk
Floyd算法
– 算法思想
i
0
j
P(i,j,0)
P(i,j,k)
i
k
j
P(i,j,k-1)
P (
i,
k,
k -
1 )
P (
k,
j,
k -
1 )
Floyd算法
– 算法思想
E1：初始化从 vi到 vj的目前已知较短路径为从 vi
到 vj的直达弧；
E2：对每两顶点对 (vi,vj)依次计算 P(i,j,k)，
k=0…n -1，计算规则为：
P(i,j,k) =
min( P(i,k,k-1)+P(k,j,k-1),P(i,j,k-1) )
CODING
活动网络 (Activity Network)
计划、施工过程、生产流程、程序流程等都是,工程,。除了很小的工程外，一般都把工程分为若干个叫做,活动,的子工程。完成了这些活动，这个工程就可以完成了。
例如，计算机专业学生的学习就是一个工程，
每一门课程的学习就是整个工程的一些活动。
其中有些课程要求先修课程，有些则不要求。
这样在有的课程之间有领先关系，有的课程可以并行地学习。
用顶点表示活动的网络 (AOV网络 )
C1 高等数学
C2 程序设计基础
C3 离散数学 C1,C2
C4 数据结构 C3,C2
C5 高级语言程序设计 C2
C6 编译方法 C5,C4
C7 操作系统 C4,C9
C8 普通物理 C1
C9 计算机原理 C8
学生课程学习工程图
C8
C3
C5
C4
C9
C6
C7C1
C2
可以用 有向图 表示一个工程。在这种有向图中,用顶点表示活动,用有向边 <Vi,Vj>
表示 活动 Vi 必须先于活动 Vj进行 。这种有向图叫做顶点表示活动的 AOV网络
(Activity On Vertices)。
在 AOV网络中不能出现有向回路,即有向环。如果出现了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。
因此，对给定的 AOV网络，必须先判断它是否存在有向环。
检测有向环的一种方法是对 AOV网络构造它的拓扑有序序列。即将各个顶点 (代表各个活动 )排列成一个线性有序的序列，使得
AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。
这种 构造 AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算就叫做拓扑排序。
如果通过拓扑排序能将 AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中,则该网络中必定不会出现有向环。
如果 AOV网络中存在有向环，此 AOV网络所代表的工程是不可行的。
例如,对学生选课工程图进行拓扑排序,得到的拓扑有序序列为
C1,C2,C3,C4,C5,C6,C8,C9,C7
或 C1,C8,C9,C2,C5,C3,C4,C7,C6
C8
C3
C5
C4
C9
C6
C7C1
C2
进行拓扑排序的方法
① 输入 AOV网络。令 n 为顶点个数。
② 在 AOV网络中选一个 没有直接前驱 的顶点,
并输出之 ;
③ 从图中删去该顶点,同时删去所有它发出的有向边 ;
④ 重复以上 ②,③ 步,直到
全部顶点均已输出,拓扑有序序列形成，
拓扑排序完成；或
图中还有未输出的顶点,但已跳出处理循环 。说明图中还剩下一些顶点,它们都有直接前驱。这时网络中必存在有向环。
C0 C1 C2
C3 C4 C5
拓扑排序的过程
(a) 有向无环图
C2
C5
C1C0
C3
(b) 输出顶点 C4
C1 C2
C5C3
(c) 输出顶点 C0
C4
C0 C2
C5
C1
C3
(d) 输出顶点 C3
C1 C2
C5
(e) 输出顶点 C2
C5
C1
(f) 输出顶点 C1
C5
(g) 输出顶点 C5
最后得到的拓扑有序序列为 C4,C0,C3,C2,
C1,C5 。它满足图中给出的所有前驱和后继关系，
对于本来没有这种关系的顶点，如 C4和 C2，也排出了先后次序关系。
(h) 拓扑排序完成
AOV网络及其邻接表表示
C0 C1 C2
C3 C4 C5
C0
C1
C2
C3 0
C4
C5 0
0
1
2
3
4
5
count data adj
1
3
0
1
0
3
1
dest link
3 0
5
1 5 0
0 1 5 0
在邻接表中增设一个数组 count[ ],记录各顶点入度 。 入度为零的顶点即无前驱顶点 。
在输入数据前,顶点表 VexList[ ]和入度数组
count[ ]全部初始化 。 在输入数据时,每输入一条边 <j,k>,就需要建立一个边结点,并将它链入相应边链表中,统计入度信息：
在算法中,使用一个存放入度为零的顶点的链式栈,供选择和输出无前驱的顶点。
拓扑排序算法可描述如下：
建立入度为零的顶点栈 ;
当入度为零的顶点栈不空时,重复执行
从顶点栈中退出一个顶点,并输出之 ;
从 AOV网络中删去这个顶点和它发出的边,边的终顶点入度减一 ;
如果边的终顶点入度减至 0,则该顶点进入度为零的顶点栈 ;
如果输出顶点个数少于 AOV网络的顶点个数,则报告网络中存在有向环。
用边表示活动的网络 (AOE网络 )
如果在 无有向环的带权有向图 中,用有向边表示一个工程中的活动 (Activity),用边上权值表示活动持续时间 (Duration),用顶点表示事件 (Event),则这样的有向图叫做用边表示活动的网络,简称 AOE ( Activity On
Edges ) 网络。
AOE网络在某些工程估算方面非常有用。
例如，可以使人们了解：
完成整个工程至少需要多少时间 (假设网络中没有环 )?
为缩短完成工程所需的时间,应当加快哪些活动?
从源点到各个顶点,以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。 这些路径的长度也可能不同。 完成不同路径的活动所需的时间虽然不同,但只有各条路径上所有活动都完成了,整个工程才算完成。
因此,完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度,即在这条路径上所有活动的持续时间之和。 这条路径长度最长的路径就叫做关键路径 (Critical Path)。
a9=6
1
3
2
4
a1=8
a2=12
5
6
7 8a10=12
a8=18
a5=28
a6=8
a7=6
a3=14
a4=10
要找出关键路径，必须找出 关键活动,即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。
关键路径上的所有活动都是关键活动 。因此,只要找到了关键活动,就可以找到关键路径。例如,下图就是一个 AOE网。
l[k]是在不会引起时间延误的前提下,该活动允许的最迟开始时间。
l[k] = Vl[j] - dur(<i,j>)。
其中,dur(<i,j>)是完成 ak 所需的时间。
⑤ 时间余量 l[k] - e[k]
表示活动 ak 的最早可能开始时间和最迟允许开始时间的时间余量。 l[k] == e[k] 表示活动 ak 是没有时间余量的关键活动。
为找出关键活动,需要求各个活动的 e[k] 与
l[k]，以判别是否 l[k] == e[k]。
为求得 e[k]与 l[k],需要先求得从源点 V0 到各个顶点 Vi 的 Ve[i] 和 Vl[i]。
求 Ve[i]的递推公式
从 Ve[0] = 0 开始，向前递推
< Vj,Vi >? S2,i = 1,2,?,n-1
S2 是所有指向 Vi 的有向边 < Vj,Vi >的集合。
从 Vl[n-1] = Ve[n-1]开始，反向递推
< Vi,Vj >? S1,i = n-2,n-3,?,0
S1是所有源自 Vi的有向边 < Vi,Vj >的集合。
},),(][ {][ ij
j
VVd u rjVem a xiVe
},),(][ {][ ji
j
VVd u rjVlm iniVl
这两个递推公式的计算必须分别在 拓扑有序及 逆拓扑有序 的前提下进行。
设 活动 ak(k=1,2,…,e)在带权有向边 < Vi,Vj >
上,其持续时间用 dur (<Vi,Vj >) 表示,则有
e[k] = Ve[i]；
l[k] = Vl[j] - dur(<Vi,Vj >)； k = 1,2,…,e。
这样就得到计算关键路径的算法。
为了简化算法,假定在求关键路径之前已经对各顶点实现了拓扑排序,并按拓扑有序的顺序对各顶点重新进行了编号。
1
3
2
4
a1=8
a2=12
5
6
7 8a10=12
a9=6
a8=18
a5=28
a6=8
a7=6
a3=14
a4=10
Ve
Vl
1 2 3 4 5 6 7 8
0 8 12 22 28 40 46 58
0 8 12 22 28 40 46 58
e
l
0 0 8 12 12 22 22 28 40 46
0 0 8 12 12 32 22 28 40 46
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
