Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 1
Kapitel III - Geometrische Kristallographie
III-a,Kristallsysteme
III-b,Indizes
III-c,Projektionen
III-d,Symmetrieelemente
III-e,Kristallklassen und Kristallformen
III-f,Zwillinge
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 2
Geometrische Kristallographie am Beispiel Gold
Kristallsysteme
Koordinatensysteme
(1-1-1)
Blick II [100]
(100)
Indizes
Symmetrie
-elemente
Kristallklassen
(hier,kub,hex`oktaedrisch)
Kristallformen
Oktaeder-
Fl?che
Projektionen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 3
Kapitel IIIb - Indizes
? Gitterpunkte
? Gittergeraden
? Netzebenen
? Sonderfall,Hexagonal
? Rationalit?tsprinzip
? Zonen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 4
Gitterpunkte
Koordinatentripel:
Beispiele:
uvw?
100
110
111
a
b
c
Anmerkung:
Die Indizierung
von Gitterpunkten
spielt praktisch
keine Rolle.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 5
Gittergeraden
Geradenindizes:
Beispiele:
[uvw]
[100] [010]
[001] [111]
a
b
c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 6
Gittergeraden
Geradenindizes:
Beispiele:
<uvw>
Schar?quivalenter Gittergeraden
<310> [3-10]
a
b
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 7
Netzebenen
Millersche Indizes:
(hkl);
sie sind als das kleinste ganzzahlige
Vielfache der reziproken
Achsenabschnitte definiert.
a
b
c
Beispiel:
(525)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 8
Millersche Indizes
Richtungskosinus,cos α
a
=OM/OA,analog cos α
b,c
cos α
a
,cos α
b
,cos α
c
= 1/OA,1/OB,1/0C = 1/ma,1/nb,1/pc
m,n,p,Achsenabschnitte
Ersetzung,1/m=h,1/n=k,1/p=l
a
b
c
A
B
C
M
Beispiel:
(525)
O
Millersche Indizes sind ganzzahlig und teilerfremd.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 9
Netzebenen
cos α
a
,cos α
b
,cos α
c
= h/a,k/b,l/c
Mit den Richtungskosinussen,d.h,mit Winkelmessungen,
kann das L?ngenverh?ltnis der Gitterkonstanten ermittelt
werden.
a
b
c
A
B
C
M
Beispiel:
(525)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 10
Netzebenen
b
a
Die Millerschen Indizes (hkl) geben nicht nur die Lage einer
Netzebene,sondern die einer unendlichen Parallelschar an.
Hochindizierte Netzebenen haben kleinere Abst?nde.
(100)
(-100)
(1-10)
(-110)
(210)
(-2-10)
(310)
(-3-10)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 11
Millersche Indizes eines Würfels
Beispiel Würfel (Hexaeder)
(100)
(010)
(001)
(0-10)
(00-1)
Anmerkung:
Bei negativen Indizes wird
das Minuszeichen
korrekterweise über die
Zahl geschrieben,z.B,(100),
Gesprochen wird?minus eins null null“.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 12
Indizierungsübung
? Die Abbildung ist die Projektion eines Raumgitters parallel zur a-Achse auf die b,c-
Ebene,Die eingezeichneten Geraden sind Gittergeraden (...) bzw,die Spuren von
Netzebenen (__).
? Indizieren Sie die eingezeichneten Gittergeraden und Netzebenen !
? Geben Sie die [uvw] der Schnittgeraden beider Netzebenen an !
? Zeichnen Sie die Spuren der Netzebenen (023) und (0-21) in die Projektion ein !
? Geben Sie einige Netzebenen an,die die Gittergerade [101] enthalten und einige
Gittergeraden,die in der Netzebene (-1-1-1) liegen.
b
c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 13
Indizierung im hexagonalen System – ein Sonderfall
Achsensystem
Millersche Indizes
(hkl)
aber,b.w.
a
1
= a
2
≠ c
α = β = 90°,γ = 120°
a
1
a
2
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 14
Miller-Bravaissche-Indizes
Achsensystem
=> Miller-Bravais- Indizes (hkil)
[uvtw]
Umrechnungen,
a
1
= a
2
= a
3
≠ c
a
1
a
2
a
3
Netzebenen,h + k + i = 0,d.h,i = -(h + k)
Geraden,[UVW] = [u-t v-t w] = [2u+v u+2v w]
[uvtw] = [(2U-V)/3 (2V-U)/3 (-U-V)/3 W]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 15
Umrechnung Rhomboedrisch <—> Hexagonal
Achsensystem
=> rhomboedrische
Millersche-Indizes
(hkl) [uvw]
Umrechnungen:
a
1
a
2
a
3
a
1
= a
2
= a
3
α
1
= α
2
= α
3
= 90°
Netzebenen,(HKL) = (h-i+l k-h+l i-k+l)
(hkil) = (H-K K-L L-H H+K+L)
Geraden,[UVW] = [u+w v-u+w w-v]
(mit dreigliedrigen hexagonalen Indizes [uv.w])
[uv.w] = [2U-V-W U+V-2W U+V+W]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 16
Rationalit?tsprinzip
? Rationalit?t des Verh?ltnisses der Achsenabschnitte
gegeneinander geneigter Netzebenen
? Die Indizes der meisten und vor allem der wichtigsten
Kristallfl?chen lassen sich durch kleine Zahlen ausdrücken.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 17
Zonen
Eine Schar von Kristallfl?chen (Netzebenen),deren
Schnittkanten parallel verlaufen,nennt man eine Zone.
Fl?chen,die einer Zone angeh?ren,hei?en tautozonal.
Die Richtung der Schnittkanten wird als Zonenachse
bezeichnet.
Zonenachse
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 18
Zonen
Beispiel,Topas
Die Indizes der Zonenachse [uvw] zu den Ebenen (hkl) und (hkl) lauten:
u,v,w = (kl-kl),(lh-lh),(hk-hk)
Zonengleichung,
Eine Netzebene (hkl) geh?rt zu einer Zone [uvw],
wenn hu + kv + lw = 0
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 19
Zonen eines Bleiglanz-Kristalls I
(001)
[100]
(010)
(111)
(110)
(11-1)
(101)
(
0
1
1
)
(
01-
1)
(100)
[100]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 20
Zonen eines Bleiglanz-Kristalls III
(111)
(-1-10)
(110)
(-1-1-1)
(00-1)
(001)
(-1-11)
[1-10]
(11-1)
Berechnung der
Zonenachse:
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0
[-110]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 21
Zusammenfassung IIIb - Indizes
Gittergeraden
Netzebenen
(Millersche Indizes)
diskret symmetrie?quivalent
[uvw] <uvw>
Achsenabschnitte
(hkl) {hkl}
reziproke Achsenabschnitte
Achten Sie auf die richtigen Klammern !!
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 22
Kapitel IIIc - Kristallprojektionen
? Gesetz von der Winkelkonstanz
? Goniometer
? Stereographische Projektion - Wulffsches Netz
? Gnomonische Projektion
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 23
Gesetz von der Winkelkonstanz
Bei verschiedenen Individuen derselben Kristallart bilden die gleichen
Fl?chen stets die gleichen Winkel (Nicolaus Steno 1669).
Demnach ist nicht die Gestalt der Fl?che wesentlich,sondern nur ihre
Richtung,d.h,die Fl?chennormale.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 24
Anlegegoniometer
Prinzip eines Anlegegoniometers A contact goniometer
Colin Keates (c) Dorling Kindersley,
Courtesy of the Natural History Museum,London
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 25
Reflexionsgoniometer
Goniometer nach Malus-Babinet,
Fa,Fuess,Berlin,ca,1875,
Foto,Olaf Medenbach,Bochum
Lampe
Goniometertisch
mit Kristall
Fernrohr
Prinzip eines Reflexionsgoniometers
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 26
Stereographische Projektion
Prinzip:
Winkeltreue:
Anwendung:
Abbildung von Gittergeraden und Netzebenennormalen als
Punkte in der Projektionsebene
einfache Winkelmessung in der Ebene m?glich
Kristallorientierung,Morphologie (Tracht),Symmetrie
PE
Augpunkt
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 27
Wulffsches Netz
Prinzip:
Elemente:
Das Wulffsche Netz ist die Projektion des Gradnetzes des
Erdglobus mit der
Nord-Süd-Achse (N-S) in der Projektionsebene.
Gro?- und Kleinkreise,?quator,Pole,Azimut,Poldistanz
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 28
Wulffsches Netz
Winkel dürfen nur auf Gro?kreisen abgetragen oder gemessen werden!
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 29
Stereographische Projektion eines Bleiglanz-Kristalls
Abb.,A.N,Danilewsky,
Univ,Freiburg
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 30
Stereographische Projektion eines Topas-Kristalls
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 31
Stereographische Projektion eines Topas-Kristalls
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 32
Gnomonische Projektion
Prinzip,?Mittelpunkt des Kristalls bzw,der Polkugel als
Projektionszentrum
Projektion auf die Tangentialebene durch den
Nordpol
PE
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 33
Projektionsübung
? Welche geometrischen K?rper werden durch die gegebenen Stereogramme
projiziert? Versuchen Sie die Fl?chenpole zu indizieren !
? Tragen Sie die Fl?chenpole eines Hauses in ein Stereogramm ein:
? a) mit der Grundfl?che als Projektionsebene
? b) mit der Giebelwand als Projektionsebene !
? Wie?ndert sich die Projektion bei steilerem
Spitzdach?
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 34
Zusammenfassung IIIc - Kristallprojektionen
1,Gesetz von der Winkelkonstanz
2,Prinzip der stereographischen Projektion
3,Konstruktion des Wulffschen Netzes
4,Winkelmessungen nur auf Gro?kreisen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 35
Kapitel IIId - Symmetrieelemente ohne Translation
? Symmetrieeigenschaften
? Drehachsen
? Drehinversionsachsen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 36
Symmetrieeigenschaften
Symmetrie bedeutet gesetzmige Wiederholung eines
Motivs.
(Alle Deckoperationen hei?en Symmetrieoperationen.)
Sind ein Punkt,eine Gerade oder eine Ebene dadurch
ausgezeichnet,dass sie nach Einwirkung einer
Symmetrieoperation am Ort verbleiben,so nennt man sie
das zugeh?rige Symmetrieelement.
Die Kenntnis der Symmetrieelemente bringt erhebliche
Vorteile.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 37
Symmetrieeigenschaften
Allen Gittern gemeinsam ist die Translationssymmetrie.
(Einwirkung von 3 nicht komplanaren Gitter-Translationen
auf einen Punkt? Raumgitter)
Andere Symmetrieeigenschaften treten nicht notwendigerweise in
jedem Gitter auf.
Die Translationssymmetrie schr?nkt die Zahl denkbarer
Symmetrieelemente drastisch ein.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 38
Symmetrieoperationen
r′ = M r + t
Drehung Translation
2 Gruppen von Symmetrieoperationen:
t = 0
Bestimmen die Kristallmorphologie.
Sind makroskopisch erkennbar.
Sind auf Objekte endlicher Ausdehnung streng anwendbar.
t ≠ 0
Beschreiben die Kristallstruktur,
Sind makroskopisch nicht erkennbar,
Sind streng nur auf ∞-ausgedehnte Objekte anwendbar.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 39
Symmetrieoperationen
Gitterpunkt? transformierter Gitterpunkt
Drehung
r = x a + y b + z cr′= x′ a + y′ b + z′ c
r′ = M r
x′ x
y′ = M y
z′ z
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 40
Identit?t
Drehwinkel,360°
Symbol,1 (nach Hermann-Mauguin)
graphisches Symbol,-
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 41
Identit?t
kubisch
c
tetragonal
t
hexagonal
h
rhomboedrisch/
trigonal
r
triklin
a
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
mit Identit?t
11
100
M
1
= 010
0 0 1
monoklin
? Die Identit?t ist Bestandteil jeder Kristallstruktur,
m
orthorhombisch
o
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 42
Zweiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,180°
Symbol,2
graphisches Symbol:
Beispiel Granat mit
{100} + {110}
Blickrichtung II [011]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 43
Zweiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,180°
Symbol,2
graphisches Symbol:
Afrikanisches MosaikAlmandin (Sammlung TU Clausthal-Z.)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 44
Zweiz?hlige Drehachsen
Orientierungsm?glichkeiten:
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
2
a
2 x,0,0 o,t,c
2
a
2 x,0,0 h
2
b
2 0,y,0 m,o,t,c
2
b
2 0,y,0 h
2
c
2 0,0,z m,o,t,h,c
2
[110]
2 x,x,0 t,h,c
2
[1-10]
2 x,-x,0 t,r,h,c
2
[101]
2 x,0,x c
2
[-101]
2 -x,0,x r,c
2
[011]
2 0,x,x c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 45
Dreiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,120°
Symbol,3
graphisches Symbol:
Beispiel Granat mit
{100} + {110}
Blickrichtung ≈ II [111]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 46
Dreiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,120°
Symbol,3
graphisches Symbol:
Gebrauchsgrafik
Molekül
Almandin-Einkristall
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 47
Dreiz?hlige Drehachsen
0-10
M(3
1
c
)= 1-10
0 0 1
Symbol Symbol nach Int,Tables Koordinatensysteme
3
1
c
3
+
0,0,z h
3
2
c
3
-
0,0,z h
3
1
[111]
3
+
x,x,x r,c
3
2
[111]
3
-
x,x,x r,c
3
1
[1-1-1]
3
+
x,-x,-x c
3
2
[1-1-1]
3
-
x,-x,-x c
3
1
[-11-1]
3
+
-x,x,-x c
3
2
[-11-1]
3
-
-x,x,-x c
3
1
[-1-11]
3
+
-x,-x,x c
3
2
[-1-11]
3
-
-x,-x,x c
Orientierungsm?glichkeiten:
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 48
Vierz?hlige Drehachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
Beispiel Granat mit
{100} + {110}
Blickrichtung II [010]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 49
Vierz?hlige Drehachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
Edelsteinschliff
Almandin-Granatoeder
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 50
Vierz?hlige Drehachsen
Orientierungsm?glichkeiten:
0-10
M(4
1
c
)= 100
0 0 1
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
4
1
c
4
+
0,0,z t,c
4
3
c
4
-
0,0,z t,c
4
1
a
4
+
x,0,0 c
4
3
a
4
-
x,0,0 c
4
1
b
4
+
0,y,0 c
4
3
b
4
-
0,y,0 c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 51
Sechsz?hlige Drehachse
Drehwinkel,60°
Symbol,6
graphisches Symbol:
Muster eines
Edelsteinschliffs
Aquamarin-Kristall
(Spitzkopje,Namibia,
Mineralogische Sammlung
der Universit?t Leipzig)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 52
Sechsz?hlige Drehachsen
010
M(6
5
c
)= -1 1 0
0 0 1
Orientierungsm?glichkeiten:
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
6
1
c
6
+
0,0,z h
6
5
c
6
-
0,0,z h
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 53
5-,7-,..,Drehachsen
5-,7- und h?herz?hlige Drehachsen genügen
nicht der Translationssymmetrie,
Deshalb sind sie in dreidimensional-
periodischen Strukturen verboten.
Parallele Gittergeraden müssen gleiche Translationsperiode haben.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 54
Kontinuierliche Drehung
Drehwinkel,beliebig
Symbol,∞
graphisches Symbol,-
Fujiyama“Kreisel
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 55
Kontinuierliche Drehung
Repr?sentiert u.a,Feldsymmetrien.
Matrix einer Drehung um c mit?
cos? -sin? 0
M = sin? cos? 0
0 0 1
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 56
Zusammenfassung IIId - Drehachsen
1in alen
2 monoklin,rhombisch,trigonal,
hexagonal,tetragonal,kubisch
3 trigonal,hexagonal,kubisch
4 tetragonal,kubisch
6 hexagonal
5 nur in Quasikristallen
∞ -
Drehachsen k?nnen in folgenden Kristallsystemen auftreten:
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 57
Drehinversionsachsen
Drehung und Translation sind eigentliche,kongruente
Symmetrieoperationen
I,Art.
(Sie bringen Objekte mit sich selbst zur Deckung.)
Drehinversionen sind uneigentliche,enantiomorphe
Symmetrieoperationen
II,Art.
(Sie überführen ein Objekt in sein Spiegelbild.)
Man kann sie als Kopplung von Drehung und Inversion
veranschaulichen.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 58
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Drehinversion
Gitterpunkt? transformierter
Drehung + Inversion Gitterpunkt
r = x a + y b + z cr′= x′ a + y′ b + z′ c
r′ = M r
Inversion
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 59
Inversionszentrum
Drehwinkel,360°
Symbol,1 (nach Hermann-Mauguin)
graphisches Symbol,o
ˉ
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 60
Spiegelebene
Drehwinkel,180°
Symbol,m = 2
graphisches Symbol:
ˉ
Almandin (kubisch)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 61
Spiegelebene
Drehwinkel,180°
Symbol,m = 2
graphisches Symbol:
ˉ
Afrikanischer Geist
Muschel
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 62
Dreiz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,120°
Symbol,3
graphisches Symbol:
ˉ
Blick:
von vorn
von hinten
Almandin (Fe
3
Al
2
[SiO
4
]
3
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 63
Vierz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
ˉ
Almandin - {100}- und {110}Fl?chen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 64
Vierz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
ˉ
Beispiel Tetraeder
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 65
Sechsz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,60°
Symbol,6
graphisches Symbol:
ˉ
Stereogramm einer trigonalen Dipyramide
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 66
5-,7-,...z?hlige Drehinversionsachsen
5-,7- und h?herz?hlige Drehinversionsachsen
genügen nicht der Translationssymmetrie,
Deshalb sind sie in dreidimensional-
periodischen Strukturen verboten.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 67
Kontinuierliche Drehinversion
Drehwinkel,beliebig
Symbol,∞
graphisches Symbol,-
ˉ
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 68
Zusammenfassung IIId - Drehinversionsachsen
1in alen
2=m monoklin,rhombisch,trigonal,
hexagonal,tetragonal,kubisch
3 trigonal,hexagonal,kubisch
4 tetragonal,kubisch
6 hexagonal
5 nur in Quasikristallen
∞ -
Drehinversionsachsen k?nnen in folgenden
Kristallsystemen auftreten:
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
Kapitel III - Geometrische Kristallographie
III-a,Kristallsysteme
III-b,Indizes
III-c,Projektionen
III-d,Symmetrieelemente
III-e,Kristallklassen und Kristallformen
III-f,Zwillinge
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 2
Geometrische Kristallographie am Beispiel Gold
Kristallsysteme
Koordinatensysteme
(1-1-1)
Blick II [100]
(100)
Indizes
Symmetrie
-elemente
Kristallklassen
(hier,kub,hex`oktaedrisch)
Kristallformen
Oktaeder-
Fl?che
Projektionen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 3
Kapitel IIIb - Indizes
? Gitterpunkte
? Gittergeraden
? Netzebenen
? Sonderfall,Hexagonal
? Rationalit?tsprinzip
? Zonen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 4
Gitterpunkte
Koordinatentripel:
Beispiele:
uvw?
100
110
111
a
b
c
Anmerkung:
Die Indizierung
von Gitterpunkten
spielt praktisch
keine Rolle.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 5
Gittergeraden
Geradenindizes:
Beispiele:
[uvw]
[100] [010]
[001] [111]
a
b
c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 6
Gittergeraden
Geradenindizes:
Beispiele:
<uvw>
Schar?quivalenter Gittergeraden
<310> [3-10]
a
b
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 7
Netzebenen
Millersche Indizes:
(hkl);
sie sind als das kleinste ganzzahlige
Vielfache der reziproken
Achsenabschnitte definiert.
a
b
c
Beispiel:
(525)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 8
Millersche Indizes
Richtungskosinus,cos α
a
=OM/OA,analog cos α
b,c
cos α
a
,cos α
b
,cos α
c
= 1/OA,1/OB,1/0C = 1/ma,1/nb,1/pc
m,n,p,Achsenabschnitte
Ersetzung,1/m=h,1/n=k,1/p=l
a
b
c
A
B
C
M
Beispiel:
(525)
O
Millersche Indizes sind ganzzahlig und teilerfremd.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 9
Netzebenen
cos α
a
,cos α
b
,cos α
c
= h/a,k/b,l/c
Mit den Richtungskosinussen,d.h,mit Winkelmessungen,
kann das L?ngenverh?ltnis der Gitterkonstanten ermittelt
werden.
a
b
c
A
B
C
M
Beispiel:
(525)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 10
Netzebenen
b
a
Die Millerschen Indizes (hkl) geben nicht nur die Lage einer
Netzebene,sondern die einer unendlichen Parallelschar an.
Hochindizierte Netzebenen haben kleinere Abst?nde.
(100)
(-100)
(1-10)
(-110)
(210)
(-2-10)
(310)
(-3-10)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 11
Millersche Indizes eines Würfels
Beispiel Würfel (Hexaeder)
(100)
(010)
(001)
(0-10)
(00-1)
Anmerkung:
Bei negativen Indizes wird
das Minuszeichen
korrekterweise über die
Zahl geschrieben,z.B,(100),
Gesprochen wird?minus eins null null“.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 12
Indizierungsübung
? Die Abbildung ist die Projektion eines Raumgitters parallel zur a-Achse auf die b,c-
Ebene,Die eingezeichneten Geraden sind Gittergeraden (...) bzw,die Spuren von
Netzebenen (__).
? Indizieren Sie die eingezeichneten Gittergeraden und Netzebenen !
? Geben Sie die [uvw] der Schnittgeraden beider Netzebenen an !
? Zeichnen Sie die Spuren der Netzebenen (023) und (0-21) in die Projektion ein !
? Geben Sie einige Netzebenen an,die die Gittergerade [101] enthalten und einige
Gittergeraden,die in der Netzebene (-1-1-1) liegen.
b
c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 13
Indizierung im hexagonalen System – ein Sonderfall
Achsensystem
Millersche Indizes
(hkl)
aber,b.w.
a
1
= a
2
≠ c
α = β = 90°,γ = 120°
a
1
a
2
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 14
Miller-Bravaissche-Indizes
Achsensystem
=> Miller-Bravais- Indizes (hkil)
[uvtw]
Umrechnungen,
a
1
= a
2
= a
3
≠ c
a
1
a
2
a
3
Netzebenen,h + k + i = 0,d.h,i = -(h + k)
Geraden,[UVW] = [u-t v-t w] = [2u+v u+2v w]
[uvtw] = [(2U-V)/3 (2V-U)/3 (-U-V)/3 W]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 15
Umrechnung Rhomboedrisch <—> Hexagonal
Achsensystem
=> rhomboedrische
Millersche-Indizes
(hkl) [uvw]
Umrechnungen:
a
1
a
2
a
3
a
1
= a
2
= a
3
α
1
= α
2
= α
3
= 90°
Netzebenen,(HKL) = (h-i+l k-h+l i-k+l)
(hkil) = (H-K K-L L-H H+K+L)
Geraden,[UVW] = [u+w v-u+w w-v]
(mit dreigliedrigen hexagonalen Indizes [uv.w])
[uv.w] = [2U-V-W U+V-2W U+V+W]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 16
Rationalit?tsprinzip
? Rationalit?t des Verh?ltnisses der Achsenabschnitte
gegeneinander geneigter Netzebenen
? Die Indizes der meisten und vor allem der wichtigsten
Kristallfl?chen lassen sich durch kleine Zahlen ausdrücken.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 17
Zonen
Eine Schar von Kristallfl?chen (Netzebenen),deren
Schnittkanten parallel verlaufen,nennt man eine Zone.
Fl?chen,die einer Zone angeh?ren,hei?en tautozonal.
Die Richtung der Schnittkanten wird als Zonenachse
bezeichnet.
Zonenachse
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 18
Zonen
Beispiel,Topas
Die Indizes der Zonenachse [uvw] zu den Ebenen (hkl) und (hkl) lauten:
u,v,w = (kl-kl),(lh-lh),(hk-hk)
Zonengleichung,
Eine Netzebene (hkl) geh?rt zu einer Zone [uvw],
wenn hu + kv + lw = 0
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 19
Zonen eines Bleiglanz-Kristalls I
(001)
[100]
(010)
(111)
(110)
(11-1)
(101)
(
0
1
1
)
(
01-
1)
(100)
[100]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 20
Zonen eines Bleiglanz-Kristalls III
(111)
(-1-10)
(110)
(-1-1-1)
(00-1)
(001)
(-1-11)
[1-10]
(11-1)
Berechnung der
Zonenachse:
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0
[-110]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 21
Zusammenfassung IIIb - Indizes
Gittergeraden
Netzebenen
(Millersche Indizes)
diskret symmetrie?quivalent
[uvw] <uvw>
Achsenabschnitte
(hkl) {hkl}
reziproke Achsenabschnitte
Achten Sie auf die richtigen Klammern !!
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 22
Kapitel IIIc - Kristallprojektionen
? Gesetz von der Winkelkonstanz
? Goniometer
? Stereographische Projektion - Wulffsches Netz
? Gnomonische Projektion
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 23
Gesetz von der Winkelkonstanz
Bei verschiedenen Individuen derselben Kristallart bilden die gleichen
Fl?chen stets die gleichen Winkel (Nicolaus Steno 1669).
Demnach ist nicht die Gestalt der Fl?che wesentlich,sondern nur ihre
Richtung,d.h,die Fl?chennormale.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 24
Anlegegoniometer
Prinzip eines Anlegegoniometers A contact goniometer
Colin Keates (c) Dorling Kindersley,
Courtesy of the Natural History Museum,London
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 25
Reflexionsgoniometer
Goniometer nach Malus-Babinet,
Fa,Fuess,Berlin,ca,1875,
Foto,Olaf Medenbach,Bochum
Lampe
Goniometertisch
mit Kristall
Fernrohr
Prinzip eines Reflexionsgoniometers
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 26
Stereographische Projektion
Prinzip:
Winkeltreue:
Anwendung:
Abbildung von Gittergeraden und Netzebenennormalen als
Punkte in der Projektionsebene
einfache Winkelmessung in der Ebene m?glich
Kristallorientierung,Morphologie (Tracht),Symmetrie
PE
Augpunkt
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 27
Wulffsches Netz
Prinzip:
Elemente:
Das Wulffsche Netz ist die Projektion des Gradnetzes des
Erdglobus mit der
Nord-Süd-Achse (N-S) in der Projektionsebene.
Gro?- und Kleinkreise,?quator,Pole,Azimut,Poldistanz
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 28
Wulffsches Netz
Winkel dürfen nur auf Gro?kreisen abgetragen oder gemessen werden!
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 29
Stereographische Projektion eines Bleiglanz-Kristalls
Abb.,A.N,Danilewsky,
Univ,Freiburg
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 30
Stereographische Projektion eines Topas-Kristalls
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 31
Stereographische Projektion eines Topas-Kristalls
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 32
Gnomonische Projektion
Prinzip,?Mittelpunkt des Kristalls bzw,der Polkugel als
Projektionszentrum
Projektion auf die Tangentialebene durch den
Nordpol
PE
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 33
Projektionsübung
? Welche geometrischen K?rper werden durch die gegebenen Stereogramme
projiziert? Versuchen Sie die Fl?chenpole zu indizieren !
? Tragen Sie die Fl?chenpole eines Hauses in ein Stereogramm ein:
? a) mit der Grundfl?che als Projektionsebene
? b) mit der Giebelwand als Projektionsebene !
? Wie?ndert sich die Projektion bei steilerem
Spitzdach?
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 34
Zusammenfassung IIIc - Kristallprojektionen
1,Gesetz von der Winkelkonstanz
2,Prinzip der stereographischen Projektion
3,Konstruktion des Wulffschen Netzes
4,Winkelmessungen nur auf Gro?kreisen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 35
Kapitel IIId - Symmetrieelemente ohne Translation
? Symmetrieeigenschaften
? Drehachsen
? Drehinversionsachsen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 36
Symmetrieeigenschaften
Symmetrie bedeutet gesetzmige Wiederholung eines
Motivs.
(Alle Deckoperationen hei?en Symmetrieoperationen.)
Sind ein Punkt,eine Gerade oder eine Ebene dadurch
ausgezeichnet,dass sie nach Einwirkung einer
Symmetrieoperation am Ort verbleiben,so nennt man sie
das zugeh?rige Symmetrieelement.
Die Kenntnis der Symmetrieelemente bringt erhebliche
Vorteile.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 37
Symmetrieeigenschaften
Allen Gittern gemeinsam ist die Translationssymmetrie.
(Einwirkung von 3 nicht komplanaren Gitter-Translationen
auf einen Punkt? Raumgitter)
Andere Symmetrieeigenschaften treten nicht notwendigerweise in
jedem Gitter auf.
Die Translationssymmetrie schr?nkt die Zahl denkbarer
Symmetrieelemente drastisch ein.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 38
Symmetrieoperationen
r′ = M r + t
Drehung Translation
2 Gruppen von Symmetrieoperationen:
t = 0
Bestimmen die Kristallmorphologie.
Sind makroskopisch erkennbar.
Sind auf Objekte endlicher Ausdehnung streng anwendbar.
t ≠ 0
Beschreiben die Kristallstruktur,
Sind makroskopisch nicht erkennbar,
Sind streng nur auf ∞-ausgedehnte Objekte anwendbar.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 39
Symmetrieoperationen
Gitterpunkt? transformierter Gitterpunkt
Drehung
r = x a + y b + z cr′= x′ a + y′ b + z′ c
r′ = M r
x′ x
y′ = M y
z′ z
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 40
Identit?t
Drehwinkel,360°
Symbol,1 (nach Hermann-Mauguin)
graphisches Symbol,-
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 41
Identit?t
kubisch
c
tetragonal
t
hexagonal
h
rhomboedrisch/
trigonal
r
triklin
a
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
mit Identit?t
11
100
M
1
= 010
0 0 1
monoklin
? Die Identit?t ist Bestandteil jeder Kristallstruktur,
m
orthorhombisch
o
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 42
Zweiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,180°
Symbol,2
graphisches Symbol:
Beispiel Granat mit
{100} + {110}
Blickrichtung II [011]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 43
Zweiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,180°
Symbol,2
graphisches Symbol:
Afrikanisches MosaikAlmandin (Sammlung TU Clausthal-Z.)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 44
Zweiz?hlige Drehachsen
Orientierungsm?glichkeiten:
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
2
a
2 x,0,0 o,t,c
2
a
2 x,0,0 h
2
b
2 0,y,0 m,o,t,c
2
b
2 0,y,0 h
2
c
2 0,0,z m,o,t,h,c
2
[110]
2 x,x,0 t,h,c
2
[1-10]
2 x,-x,0 t,r,h,c
2
[101]
2 x,0,x c
2
[-101]
2 -x,0,x r,c
2
[011]
2 0,x,x c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 45
Dreiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,120°
Symbol,3
graphisches Symbol:
Beispiel Granat mit
{100} + {110}
Blickrichtung ≈ II [111]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 46
Dreiz?hlige Drehachse
Drehwinkel,120°
Symbol,3
graphisches Symbol:
Gebrauchsgrafik
Molekül
Almandin-Einkristall
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 47
Dreiz?hlige Drehachsen
0-10
M(3
1
c
)= 1-10
0 0 1
Symbol Symbol nach Int,Tables Koordinatensysteme
3
1
c
3
+
0,0,z h
3
2
c
3
-
0,0,z h
3
1
[111]
3
+
x,x,x r,c
3
2
[111]
3
-
x,x,x r,c
3
1
[1-1-1]
3
+
x,-x,-x c
3
2
[1-1-1]
3
-
x,-x,-x c
3
1
[-11-1]
3
+
-x,x,-x c
3
2
[-11-1]
3
-
-x,x,-x c
3
1
[-1-11]
3
+
-x,-x,x c
3
2
[-1-11]
3
-
-x,-x,x c
Orientierungsm?glichkeiten:
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 48
Vierz?hlige Drehachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
Beispiel Granat mit
{100} + {110}
Blickrichtung II [010]
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 49
Vierz?hlige Drehachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
Edelsteinschliff
Almandin-Granatoeder
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 50
Vierz?hlige Drehachsen
Orientierungsm?glichkeiten:
0-10
M(4
1
c
)= 100
0 0 1
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
4
1
c
4
+
0,0,z t,c
4
3
c
4
-
0,0,z t,c
4
1
a
4
+
x,0,0 c
4
3
a
4
-
x,0,0 c
4
1
b
4
+
0,y,0 c
4
3
b
4
-
0,y,0 c
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 51
Sechsz?hlige Drehachse
Drehwinkel,60°
Symbol,6
graphisches Symbol:
Muster eines
Edelsteinschliffs
Aquamarin-Kristall
(Spitzkopje,Namibia,
Mineralogische Sammlung
der Universit?t Leipzig)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 52
Sechsz?hlige Drehachsen
010
M(6
5
c
)= -1 1 0
0 0 1
Orientierungsm?glichkeiten:
Symbol Symbol nach
Int,Tables
Koordinatensysteme
6
1
c
6
+
0,0,z h
6
5
c
6
-
0,0,z h
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 53
5-,7-,..,Drehachsen
5-,7- und h?herz?hlige Drehachsen genügen
nicht der Translationssymmetrie,
Deshalb sind sie in dreidimensional-
periodischen Strukturen verboten.
Parallele Gittergeraden müssen gleiche Translationsperiode haben.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 54
Kontinuierliche Drehung
Drehwinkel,beliebig
Symbol,∞
graphisches Symbol,-
Fujiyama“Kreisel
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 55
Kontinuierliche Drehung
Repr?sentiert u.a,Feldsymmetrien.
Matrix einer Drehung um c mit?
cos? -sin? 0
M = sin? cos? 0
0 0 1
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 56
Zusammenfassung IIId - Drehachsen
1in alen
2 monoklin,rhombisch,trigonal,
hexagonal,tetragonal,kubisch
3 trigonal,hexagonal,kubisch
4 tetragonal,kubisch
6 hexagonal
5 nur in Quasikristallen
∞ -
Drehachsen k?nnen in folgenden Kristallsystemen auftreten:
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 57
Drehinversionsachsen
Drehung und Translation sind eigentliche,kongruente
Symmetrieoperationen
I,Art.
(Sie bringen Objekte mit sich selbst zur Deckung.)
Drehinversionen sind uneigentliche,enantiomorphe
Symmetrieoperationen
II,Art.
(Sie überführen ein Objekt in sein Spiegelbild.)
Man kann sie als Kopplung von Drehung und Inversion
veranschaulichen.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 58
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Drehinversion
Gitterpunkt? transformierter
Drehung + Inversion Gitterpunkt
r = x a + y b + z cr′= x′ a + y′ b + z′ c
r′ = M r
Inversion
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 59
Inversionszentrum
Drehwinkel,360°
Symbol,1 (nach Hermann-Mauguin)
graphisches Symbol,o
ˉ
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 60
Spiegelebene
Drehwinkel,180°
Symbol,m = 2
graphisches Symbol:
ˉ
Almandin (kubisch)
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 61
Spiegelebene
Drehwinkel,180°
Symbol,m = 2
graphisches Symbol:
ˉ
Afrikanischer Geist
Muschel
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 62
Dreiz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,120°
Symbol,3
graphisches Symbol:
ˉ
Blick:
von vorn
von hinten
Almandin (Fe
3
Al
2
[SiO
4
]
3
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 63
Vierz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
ˉ
Almandin - {100}- und {110}Fl?chen
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 64
Vierz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,90°
Symbol,4
graphisches Symbol:
ˉ
Beispiel Tetraeder
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 65
Sechsz?hlige Drehinversionsachse
Drehwinkel,60°
Symbol,6
graphisches Symbol:
ˉ
Stereogramm einer trigonalen Dipyramide
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 66
5-,7-,...z?hlige Drehinversionsachsen
5-,7- und h?herz?hlige Drehinversionsachsen
genügen nicht der Translationssymmetrie,
Deshalb sind sie in dreidimensional-
periodischen Strukturen verboten.
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 67
Kontinuierliche Drehinversion
Drehwinkel,beliebig
Symbol,∞
graphisches Symbol,-
ˉ
Mineralogie und Materialwissenschaft 2,Geometrische Kristallographie Folie 68
Zusammenfassung IIId - Drehinversionsachsen
1in alen
2=m monoklin,rhombisch,trigonal,
hexagonal,tetragonal,kubisch
3 trigonal,hexagonal,kubisch
4 tetragonal,kubisch
6 hexagonal
5 nur in Quasikristallen
∞ -
Drehinversionsachsen k?nnen in folgenden
Kristallsystemen auftreten:
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
