定积分的应用微积分基本公式定积分及其应用返 回定积分的概念 定积分的积分法返回曲边梯形面积定积分的概念几何意义定积分的性质一,引例 曲边梯形面积
1.曲边梯形,
由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及 x轴所围成的图形
o x
y
y=f(x)
a b
如何求面积?
返回
2.思想方法 （回顾割圆术）
（ 1）分割,将曲边梯形分成许多细长条在区间 [a,b]中任取若干分点：
bxxxxxxxa nnii 11210
把曲边梯形的底 [a,b]分成 n个小区间,
),,3,2,1(1 nixxx iii
为 ]的 长度记x,[x 小区间 i1i?
返回过各分点作垂直于 x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成 n个小曲边梯形，其中第 i个小曲边梯形的面积记为
iA?
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 3x 1?ix ix 1?nx bxn?2x
返回
（ 2）取近似,将这些细长条近似地看作小矩形
iii
iii
ii1ii
i1i
) Δxf ( ξΔA
边梯形的面积，即面积来近似代替，小曲
) 的小矩形长为f ( ξ,),用相应的宽为Δxf ( ξ
它所对应的函数值是),xξ（x 一点ξ
] 上任取x,底[ x在第i 个小曲边梯形的
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn?
ξｉ
f(ξ)ｉ
返回
（ 3）求和,小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。
把 n个小矩形的面积相加得和式
i
n
i
i xf
)(
1
它就是曲边梯 形面积 A的近似值，即
.)(
1
i
n
i
i xfA
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn?ξｉ
f(ξ)ｉ
返回
（ 4）取极限,当分割无限时，所有小矩 形的面积之和的极限 就是曲边梯形面积 A的精确值。
小区间长度最大值趋近于零，即
i
n
i
i xf
)(
1
0
分割越细,就越接近于曲边梯形的面积 A，当其中 为返回所有小区间的长度最大者,
即 时,和式 }x{m a x
ini1
i
n
1i
i x)(f
极限就是 A，即
i
n
1i
i0 x)(flimA
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn?ξｉ
f(ξ)ｉ
返回二、定积分的概念
1.定义,设函数 y=f(x)在区间 [a,b]上有定义。在区间
[a,b]中任取分点
,113210 bxxxxxxxxa nnii
将区间 [a,b]分成 n个小区间：
n),1,2,(i ]x,x[ i1i
其长度为 n),1,2,(i xxx
1iii
的和式,n),1,2,(i) Δxf ( ξ 作乘积
)xξ(x] 上，任取一点ξ，x[x 间 区 i小 在第
ii
ii1iii1i
.)(
1
i
n
i
i xf
返回如果和式,)(
1
i
n
i
i xf
极限存在,
其中 }x{m a x
ini1
i
n
1i
i0 x)(flimA
该极限值就称为 f(x)在 [a,b]
上的定积分,记为
b
a i
n
1i
i0 dx)x(f x)(flim
返回
f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积式,x称为积分量变量,[a,b]为积分区间,a,b分别称为积分下限与上限,
b
a
dx)x(f
积分符号下限上限被积函数被积表达式积分变量返回
2,定积分定义说明：
1） 定积分表示一个数值，与被积表达式和积分上、下限有关，而与积分变量的表示无关。
例如：
ba ba ba dyyfdttfdxxf )()()(
2) 规定：
b)(a 0dx)x(fb
a
b)ad x f ( x ) dxf ( x ) a
b
b
a
（－
返回三、定积分的几何意义
dx)x(f.1 ba
A
-A
0)(?xf
0)(?xf
A表示以 y=f(X)为曲边的 曲 边梯形面积
a b
a by=f(x)>0
y=f(x)<0x
x
y y
0
0
A A
返回
321)( AAAdxxf
b
a则
2.如果 f(x)在 [a,b]上时正，时负，如下图
3.结论：
的代数和表示积的值都可用区边梯形面dxxfba )(?
几何意义
a b x
y
y=f(x)
2A
1A 3A0
返回四,定积分的性质性质 2,设 f (x)在 [a,b]上可积,则 k f (x)在 [a,b]可积,
且性质 1,设 f (x),g(x)在 [a,b]上可积,则 f (x)? g(x)
在 [a,b]可积,且
)( )()( 为常数kdxxfkdxxkf baba
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
返回性质 3,(可加性 )设 f (x)在 [a,b]上可积,a < c < b,
则 f (x)分别在 [a,c],[c,b]上可积,且
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(
此时,c 称为内分点,
注意：
C点既可为 (a,b)内的点，也可为 (a,b)外的点返回性质 4,设在 [a,b]上,f (x)? 1,则
abdxdx baba 1
性质 5,(比较性质 )设 f (x),g(x)在 [a,b]上可积,
且 f (x?g(x),则
baba )x(gdx)x(f
返回性质 6,(估值性质 )设 M 和 m分别是 f (x)在 [a,b]
上的最大值及最小值,则
)()()( abMdxxfabm ba(a < b)
证,Mxfm )(?
bababa Md xdxxfm d x )(
)()()( abMdxxfabm ba即,
返回性质 7,(中值性质 ) 设 f (x)在 [a,b]上连续,则在
[a,b]上至少存在一个点?,使得
))(()( abfdxxfba
证,由于 f (x)在 [a,b]上连续,所以 f (x)在 [a,b]
上至少存在最大值 M,最小值 m,
得 )()()( abMdxxfabm ba
M
)ab(
dx)x(f
m
b
a?
所以由介值定理 存在[a,b],使 )()(
)(
f
ab
dxxf
b
a?
即,))(()( abfdxxfba
)( ba
返回在区间 上至少存在一点,
积分中值性质的几何解释：
)(?f
使得以区间 ],[ ba 为以曲线 底边,
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的一个矩形的面积。
[a,b]?
)x(fy?
)(f?
o x
y y=f(x)
返回例 估计定积分 dxe1
1
x 2?
的值解 先求
2xe)x(f 在 [－ 1,1]上的最大值和最小值因 2xxe2)x(f
得驻点 x = 0
而 f(0)=1,f(－ 1)=f(1)=1/e
则 m=1/e,M=1
于是有 2dxee/2 1
1
x 2
返回微积分基本公式返回问题提出上限函数牛－莱公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为? 21 )(
T
T dttv
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,
求物体在这段时间内所经过的路程,
另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs?
一、问题提出
).()()( 122
1
TsTsdttvTT ).()( tvts其中返回设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点,
xa dxxf )(
考察定积分
xa dttf )(
记,)()(
x
a dttfx 称为积分上限函数如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
二、积分上限函数返回
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa 积分上限函数的性质
xx
证 dttfxx xxa )()(
)()( xxx
dttfdttf xaxxa )()(
)(x?
x
返回
dttfdttfdttf xaxxxxa )()()(
,)( xxx dttf
由积分中值定理得
xf )(? ],,[ xxx
xx,0
),(?fx )(l i ml i m 00?fx xx
).()( xfx
a b x
y
o xx
)(x?
x
返回定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理的重要意义：
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,返回定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
,
又? dttfx xa )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
CxxF )()( ],[ bax?
证三、牛顿 — 莱布尼茨公式返回令 ax?,)()( CaaF
0)()( dttfa aa?,)( CaF
),()()( aFxFdttfxa
,)()( CdttfxF xa
令 bx ).()()( aFbFdxxf
b
a
牛顿 — 莱布尼茨公式 返回
)()()( aFbFdxxfba
微积分基本公式表明：
baxF )(?
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
注意当 ba? 时,)()()( aFbFdxxfba 仍成立,
求定积分问题转化为求原函数的问题,
返回例 计算下列定积分
3
1
1
1-
22
1
4
1
2
dxx ( 3 )
x)-x ( 1
dx ( 2 )d x
x
1x )1(
3
1
13|
x
1
2xx
3
1
dx
x
1
2x dx
x
1
x ( 1)
3
1
3
3
1 2
2
2
3
1
－
解
2
1
4
1
2
2
1
4
1
2
1
4
1
)x(1
xd
2
x1x
dx
x)-x ( 1
dx
( 2 )
－－
返回
664
2x2 a r c s i n 2
1
4
1
＝－
1|x
2
1
|x
2
1
x dxx dx dx|x|dxx 3
1
0
20
1-
2
1
1
0
1-
1
0
1
1-
2
－
－＝）（
－
注意本题如不分段积分，则得如下错误结果：
0
1-
1
x
2
1 x d x dxx 21
1-
1
1
2
返回定积分的积分法返回换元积分法分部积分法定理假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续； （ 2 ）函数 )( tx 在 ],[ 上是单值的且有连续导数；
（ 3 ）当 t 在区间 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，且 a?)(,b?)(,
则 有 dtttfdxxfba )()]([)(,
一、换元积分法返回应用换元公式时应注意,
（ 1）
求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )( t? 后，不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 2）
用 )( tx 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限 也要 相应改变，原上限对新上限，原下限对新下限,
返回例?
4
0
dx
x1
x 求
dx
x1
x,t x则t,x 设 4
0
2?
于是有解
2
0
2
0
2
dt
t1
11-t2dx
t1
2t ＝
2 l n 3|t ) ]2 l n ( 12t-[t 202
dx1-e l n 2
0
x?求
),tl n ( 1x 则,t 1-e 设 2x解返回
10 2l n 20 x2 dtt1 2ttdx1-e,d t t1 2tdx 于是有
2-2|a r c t a n t )-2 ( t) d tt1
1-(12 1
0
1
02
例 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则?
a
a
dxxf 0)(,
返回证,)()()( 00a a aa dxxfdxxfdxxf
在0 )(a dxxf 中令 tx,
0 )(a dxxf 0 )(a dttf,)(0a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( ;(2 0 a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(.0?
返回注,上述结论可用于简化奇函数、偶函数在对称区间上的定积分计算，特别是奇函数，不需计算即得出结果,
例
－求 s in x d x x
4
解 由于 是奇函数,
由上述结论知,
xs inx)x(f 4?
0s in x d x x 4－
返回设函数 )( xu,)( xv 在区间ba,上具有连续导数，则有
b
a
b
a
b
a
v d uuvud v,
定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)(
b
a
b
a uvdxuv
, bababa dxvudxvuuv
, bab
a
b
a v duuvudv
二、分部积分公式返回例
2
0
2 c o s x d xx 求
2
0
22
0
2 d ( s i n x )xc o s x d xx 解
2
0
2
2
0
2
0
2 x d ( c o s x )2
4
x s i n x d x2|s i n xx －
2
0
2
0
2
c o s x d x2|2 x c o s x
4
－
2
4
|2 s in x
4
2
2
0
2
－－
返回例?1
0
x dxe 计 算
2 t d t,dx0 ),(t tx 则 t,x 换 2令元，先解于是有
1
0
1
0
tt1
0
t
1
0
t
1
0
x
2|2e-2edte2|2 t e
dtte2dxe
－
＝
2
0
n
n 数为(nx d x s i n I ）正整求
1dxxs i nI ;
2
dxI 2
01
2
00
＝解返回
2
0
积 应 时 2n 当 1s i n x d x 分法，有用分部，
2
0
1n2
0
n
n )x( c o sxds i nx d x s i nI －
2
0
1-n2
0
1n x)c o s x d ( s i n|xc o sxs i n
2
0
n
2
0
2-n
2
0
2-n2
2
0
2-n
]x dx s i nx dx s i n1) [-(n
x dx x ) s i ns i n-(11)-(n
x c os x dx c os x s i n1)-(n
－
返回
n2-n 1 ) I-(n1 ) I-(n －?
2)(n I
n
1-nI 递
2-nn推公式于是得推公式有相同的 递 x d x c o s 对 2
0
n?
例2
0
4 x d xs in求
x d xs i nI 2
0
4
4?
＝由于解
16 322143I2143I43I 024所以返回返回定积分元素法平面图形面积旋转体体积其它应用举例定积分的元素法把曲线梯形的面积 A表示为定积分,骤 dx)x(fA b
a 的步
(1) 分割区间 [a,b],有?
n
i
iAA
1A 对于 [a,b]具有区间可加性。
(2) 计算?Ai的近似值 iii xfA )(? )(
11 xx i
(3) 求和,得 A的 近似值?
n
i
ii xfA
1
)(?
(4) 求极限，得
b
a
n
i
ii dxxfxfA )()(lim
10
返回用 [x,x+dx]表示任一小区间,?A表示窄曲边梯形的面积，于是
AA
取 [x,x+dx]的左端点 x为?，有
dxxfA )(
称 f (x)dx为 面积元素,记为 dA=f (x)dx,于是
dxxfA )(
b
a
n
i
dxxfdxxfA )()(lim
10
则这种方法通常叫 元素法,
x
y
0 a b
xfy?
x x+dx
返回若量 U在 [a,b]上有可加性且部分量?Ui? f (?i)?xi时,
求 U可分两部进行,
(1) 求元素 局部近似得 dA = f (x)dx
(2) 求全量 元素积分得 ba dxxfU )(
返回平面图形的面积一、直角坐标情形,
例 1,计算由两条抛物线,y2 = x,
x2 = y所围成图形的面积,
解,解方程组
2
2
xy
xy
求出两抛物线的交点为 (0,0)及 (1,1).
取横坐标 x为积分变量,它的变化区间为 [0,1].
在 [0,1]内任取一个小区间 [x,x+dx],其上面积部分量 dxxxA )( 2
0 x
y=x2
y
x x+dx 1
y2 = x
返回面积元素 dxxxdA )( 2
10 2 )( dxxxA
1
0
3
2
3
33
2
xx
3
1?
由本例可归纳出解决此类问题的一般规律和步骤,b ],,[a xg ( x ),f ( x )若则数为连续g ( x )f ( x ),，函均
b xa,x,g ( x )y f ( x ),y由积为围 成的面所
dxg ( x )f ( x )A ba － 返回例
。成的面所－直求抛物 积 围02y2x 线与 2 x,y 线 2
02y2x
2xy 组 2
－
先求交点，解方程解
2 ),,(2 1),21 ( 标为 －及得交点坐
0
y
x
y+dy
y
-2
1
2y
2
1x?
y211x
,1 ] 2[ 为 间 区 积 y,变 积 选 －分量分取的近似面的窄在其上任取一积 条应 对d y ],y,[ y 间 区?
d y y212y1dA 值为 2?
－－
4
9dyy
2
1
2
y1A 1
2-
2
－－
dA
返回设由曲线 )(r 及射线
, 围成一曲边扇形，求其面积．这里,)(
在 ],[ 上连续，且 0)(,
面积元素 ddA
2)]([
2
1?
曲边扇形的面积,)]([
2
1 2
dA
二、极坐标系情形
xo
d? )(r
d
返回例 求心形线 )c o s1( ar 所围平面图形的面积 )0(?a,
解 dadA
22 )c o s1(
2
1
利用对称性知
d
0 22 d)c o s(1a212A
0 22 )dc o s2 c o s(1a
02 )dc o s 2212 c o s23(a=
2
0
2 a
2
3|)s i n 2
4
12 s i n
2
3(a
返回体积问题
xo a b
一、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴的截面面积,
)( xA 为 x 的已知连续函数,dx)x(AdV?
立体体积 b
a dx)x(AV
返回例 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底面中心,
并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
R
R?
x
yo
解?取坐标系如图底圆方程为
222 Ryx
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t an)(2
1)( 22?xRxA
立体体积 dxxRV
R
R?t an)(2
1 22
.t a n32 3?R?
返回旋转体 就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台二、旋转体的体积返回一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,],[ bax?
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为
dxxfV ba 2)]([
)(xfy?
返回类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx,直线 cy?,dy? 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
x
y
o
)( yxc
d
dy)]y([V 2d
c
返回例 求摆线,的一拱与 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积,
解绕 x 轴旋转的旋转体体积
dx)x(yV 2a 2
0x?
20 22 )c o s1()c o s1( dttata
20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a
)ts int(ax )tc o s1(ay
0y?
o x
y
2a
a2?
返回其它应用举例一、求功
1.变力沿直线作功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W =F s,
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用,微元法,
思想,
返回由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比，现用 1 N的力能使弹簧伸 0.01m,
求把弹簧拉长 0.1m所作的功。
例解 设弹簧的一端固定，建立如图所示的坐标系，
原点 O为该弹簧不受力时另一端位置。
由胡克定律知
o x xxx p
x?
F(x) = k x,其中 k 为弹性系数，由已知条件得 1＝ k0.01 得
k = 100 N/m 即有 F(x) = 100x
返回现用微元法解此问题。由题意，将弹簧拉长到位置 P，在 OP上取一微小段 dx,在这小段上弹力可近似地看作常数，
于是把弹簧由 x拉长到 x+dx所作的功为
dW = F(x)dx =100x dx
所以，把弹簧拉长 0.1 m 所作的功为
1.00 0102 5.0|501 0 0 Jxx d xW
返回
2.可化为变力作功
27
3
x
dx
o
20?
y
x
例 在修建大桥的桥墩时,先要下一围囹,并抽尽其中的水便于施工,
今已知围囹的直径为 20 m,
水深 27 m,围囹高出水面 3 m,
求 抽尽围囹里的水所作的功。
解 建立坐标系，取积分变量为 x,
积分区间为 [3,30],任取 ［ x,x+dx]
则得功微元 x d x?5108.9?dw =
J 1037.1
2
x
108.9
x dx108.9W
930
3
2
5
30
3
5
返回由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
hp,这里? 是水的比重．如果有一面积为 A
的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 ApP,
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用,微元法,思想．
二、求侧压力返回例 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为?,计算桶的一端面上所受的压力,
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx?
取任一小区间 ],[ dxxx?
x dxx?小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为,2
22 dxxR?
,xp
返回小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2
)( 220 22 xRdxRR R
xR
0
322
3
2
.32 3R
返回定积分的应用微积分基本公式定积分及其应用返 回定积分的概念 定积分的积分法
1.曲边梯形,
由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及 x轴所围成的图形
o x
y
y=f(x)
a b
如何求面积?
返回
2.思想方法 （回顾割圆术）
（ 1）分割,将曲边梯形分成许多细长条在区间 [a,b]中任取若干分点：
bxxxxxxxa nnii 11210
把曲边梯形的底 [a,b]分成 n个小区间,
),,3,2,1(1 nixxx iii
为 ]的 长度记x,[x 小区间 i1i?
返回过各分点作垂直于 x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成 n个小曲边梯形，其中第 i个小曲边梯形的面积记为
iA?
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 3x 1?ix ix 1?nx bxn?2x
返回
（ 2）取近似,将这些细长条近似地看作小矩形
iii
iii
ii1ii
i1i
) Δxf ( ξΔA
边梯形的面积，即面积来近似代替，小曲
) 的小矩形长为f ( ξ,),用相应的宽为Δxf ( ξ
它所对应的函数值是),xξ（x 一点ξ
] 上任取x,底[ x在第i 个小曲边梯形的
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn?
ξｉ
f(ξ)ｉ
返回
（ 3）求和,小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。
把 n个小矩形的面积相加得和式
i
n
i
i xf
)(
1
它就是曲边梯 形面积 A的近似值，即
.)(
1
i
n
i
i xfA
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn?ξｉ
f(ξ)ｉ
返回
（ 4）取极限,当分割无限时，所有小矩 形的面积之和的极限 就是曲边梯形面积 A的精确值。
小区间长度最大值趋近于零，即
i
n
i
i xf
)(
1
0
分割越细,就越接近于曲边梯形的面积 A，当其中 为返回所有小区间的长度最大者,
即 时,和式 }x{m a x
ini1
i
n
1i
i x)(f
极限就是 A，即
i
n
1i
i0 x)(flimA
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn?ξｉ
f(ξ)ｉ
返回二、定积分的概念
1.定义,设函数 y=f(x)在区间 [a,b]上有定义。在区间
[a,b]中任取分点
,113210 bxxxxxxxxa nnii
将区间 [a,b]分成 n个小区间：
n),1,2,(i ]x,x[ i1i
其长度为 n),1,2,(i xxx
1iii
的和式,n),1,2,(i) Δxf ( ξ 作乘积
)xξ(x] 上，任取一点ξ，x[x 间 区 i小 在第
ii
ii1iii1i
.)(
1
i
n
i
i xf
返回如果和式,)(
1
i
n
i
i xf
极限存在,
其中 }x{m a x
ini1
i
n
1i
i0 x)(flimA
该极限值就称为 f(x)在 [a,b]
上的定积分,记为
b
a i
n
1i
i0 dx)x(f x)(flim
返回
f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积式,x称为积分量变量,[a,b]为积分区间,a,b分别称为积分下限与上限,
b
a
dx)x(f
积分符号下限上限被积函数被积表达式积分变量返回
2,定积分定义说明：
1） 定积分表示一个数值，与被积表达式和积分上、下限有关，而与积分变量的表示无关。
例如：
ba ba ba dyyfdttfdxxf )()()(
2) 规定：
b)(a 0dx)x(fb
a
b)ad x f ( x ) dxf ( x ) a
b
b
a
（－
返回三、定积分的几何意义
dx)x(f.1 ba
A
-A
0)(?xf
0)(?xf
A表示以 y=f(X)为曲边的 曲 边梯形面积
a b
a by=f(x)>0
y=f(x)<0x
x
y y
0
0
A A
返回
321)( AAAdxxf
b
a则
2.如果 f(x)在 [a,b]上时正，时负，如下图
3.结论：
的代数和表示积的值都可用区边梯形面dxxfba )(?
几何意义
a b x
y
y=f(x)
2A
1A 3A0
返回四,定积分的性质性质 2,设 f (x)在 [a,b]上可积,则 k f (x)在 [a,b]可积,
且性质 1,设 f (x),g(x)在 [a,b]上可积,则 f (x)? g(x)
在 [a,b]可积,且
)( )()( 为常数kdxxfkdxxkf baba
bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
返回性质 3,(可加性 )设 f (x)在 [a,b]上可积,a < c < b,
则 f (x)分别在 [a,c],[c,b]上可积,且
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(
此时,c 称为内分点,
注意：
C点既可为 (a,b)内的点，也可为 (a,b)外的点返回性质 4,设在 [a,b]上,f (x)? 1,则
abdxdx baba 1
性质 5,(比较性质 )设 f (x),g(x)在 [a,b]上可积,
且 f (x?g(x),则
baba )x(gdx)x(f
返回性质 6,(估值性质 )设 M 和 m分别是 f (x)在 [a,b]
上的最大值及最小值,则
)()()( abMdxxfabm ba(a < b)
证,Mxfm )(?
bababa Md xdxxfm d x )(
)()()( abMdxxfabm ba即,
返回性质 7,(中值性质 ) 设 f (x)在 [a,b]上连续,则在
[a,b]上至少存在一个点?,使得
))(()( abfdxxfba
证,由于 f (x)在 [a,b]上连续,所以 f (x)在 [a,b]
上至少存在最大值 M,最小值 m,
得 )()()( abMdxxfabm ba
M
)ab(
dx)x(f
m
b
a?
所以由介值定理 存在[a,b],使 )()(
)(
f
ab
dxxf
b
a?
即,))(()( abfdxxfba
)( ba
返回在区间 上至少存在一点,
积分中值性质的几何解释：
)(?f
使得以区间 ],[ ba 为以曲线 底边,
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的一个矩形的面积。
[a,b]?
)x(fy?
)(f?
o x
y y=f(x)
返回例 估计定积分 dxe1
1
x 2?
的值解 先求
2xe)x(f 在 [－ 1,1]上的最大值和最小值因 2xxe2)x(f
得驻点 x = 0
而 f(0)=1,f(－ 1)=f(1)=1/e
则 m=1/e,M=1
于是有 2dxee/2 1
1
x 2
返回微积分基本公式返回问题提出上限函数牛－莱公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为? 21 )(
T
T dttv
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)(?tv,
求物体在这段时间内所经过的路程,
另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs?
一、问题提出
).()()( 122
1
TsTsdttvTT ).()( tvts其中返回设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点,
xa dxxf )(
考察定积分
xa dttf )(
记,)()(
x
a dttfx 称为积分上限函数如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
二、积分上限函数返回
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
)( bxa 积分上限函数的性质
xx
证 dttfxx xxa )()(
)()( xxx
dttfdttf xaxxa )()(
)(x?
x
返回
dttfdttfdttf xaxxxxa )()()(
,)( xxx dttf
由积分中值定理得
xf )(? ],,[ xxx
xx,0
),(?fx )(l i ml i m 00?fx xx
).()( xfx
a b x
y
o xx
)(x?
x
返回定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
)()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
定理的重要意义：
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,返回定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
,
又? dttfx xa )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
CxxF )()( ],[ bax?
证三、牛顿 — 莱布尼茨公式返回令 ax?,)()( CaaF
0)()( dttfa aa?,)( CaF
),()()( aFxFdttfxa
,)()( CdttfxF xa
令 bx ).()()( aFbFdxxf
b
a
牛顿 — 莱布尼茨公式 返回
)()()( aFbFdxxfba
微积分基本公式表明：
baxF )(?
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
注意当 ba? 时,)()()( aFbFdxxfba 仍成立,
求定积分问题转化为求原函数的问题,
返回例 计算下列定积分
3
1
1
1-
22
1
4
1
2
dxx ( 3 )
x)-x ( 1
dx ( 2 )d x
x
1x )1(
3
1
13|
x
1
2xx
3
1
dx
x
1
2x dx
x
1
x ( 1)
3
1
3
3
1 2
2
2
3
1
－
解
2
1
4
1
2
2
1
4
1
2
1
4
1
)x(1
xd
2
x1x
dx
x)-x ( 1
dx
( 2 )
－－
返回
664
2x2 a r c s i n 2
1
4
1
＝－
1|x
2
1
|x
2
1
x dxx dx dx|x|dxx 3
1
0
20
1-
2
1
1
0
1-
1
0
1
1-
2
－
－＝）（
－
注意本题如不分段积分，则得如下错误结果：
0
1-
1
x
2
1 x d x dxx 21
1-
1
1
2
返回定积分的积分法返回换元积分法分部积分法定理假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续； （ 2 ）函数 )( tx 在 ],[ 上是单值的且有连续导数；
（ 3 ）当 t 在区间 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，且 a?)(,b?)(,
则 有 dtttfdxxfba )()]([)(,
一、换元积分法返回应用换元公式时应注意,
（ 1）
求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )( t? 后，不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 2）
用 )( tx 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限 也要 相应改变，原上限对新上限，原下限对新下限,
返回例?
4
0
dx
x1
x 求
dx
x1
x,t x则t,x 设 4
0
2?
于是有解
2
0
2
0
2
dt
t1
11-t2dx
t1
2t ＝
2 l n 3|t ) ]2 l n ( 12t-[t 202
dx1-e l n 2
0
x?求
),tl n ( 1x 则,t 1-e 设 2x解返回
10 2l n 20 x2 dtt1 2ttdx1-e,d t t1 2tdx 于是有
2-2|a r c t a n t )-2 ( t) d tt1
1-(12 1
0
1
02
例 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则?
a
a
dxxf 0)(,
返回证,)()()( 00a a aa dxxfdxxfdxxf
在0 )(a dxxf 中令 tx,
0 )(a dxxf 0 )(a dttf,)(0a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( ;(2 0 a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf
a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(.0?
返回注,上述结论可用于简化奇函数、偶函数在对称区间上的定积分计算，特别是奇函数，不需计算即得出结果,
例
－求 s in x d x x
4
解 由于 是奇函数,
由上述结论知,
xs inx)x(f 4?
0s in x d x x 4－
返回设函数 )( xu,)( xv 在区间ba,上具有连续导数，则有
b
a
b
a
b
a
v d uuvud v,
定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)(
b
a
b
a uvdxuv
, bababa dxvudxvuuv
, bab
a
b
a v duuvudv
二、分部积分公式返回例
2
0
2 c o s x d xx 求
2
0
22
0
2 d ( s i n x )xc o s x d xx 解
2
0
2
2
0
2
0
2 x d ( c o s x )2
4
x s i n x d x2|s i n xx －
2
0
2
0
2
c o s x d x2|2 x c o s x
4
－
2
4
|2 s in x
4
2
2
0
2
－－
返回例?1
0
x dxe 计 算
2 t d t,dx0 ),(t tx 则 t,x 换 2令元，先解于是有
1
0
1
0
tt1
0
t
1
0
t
1
0
x
2|2e-2edte2|2 t e
dtte2dxe
－
＝
2
0
n
n 数为(nx d x s i n I ）正整求
1dxxs i nI ;
2
dxI 2
01
2
00
＝解返回
2
0
积 应 时 2n 当 1s i n x d x 分法，有用分部，
2
0
1n2
0
n
n )x( c o sxds i nx d x s i nI －
2
0
1-n2
0
1n x)c o s x d ( s i n|xc o sxs i n
2
0
n
2
0
2-n
2
0
2-n2
2
0
2-n
]x dx s i nx dx s i n1) [-(n
x dx x ) s i ns i n-(11)-(n
x c os x dx c os x s i n1)-(n
－
返回
n2-n 1 ) I-(n1 ) I-(n －?
2)(n I
n
1-nI 递
2-nn推公式于是得推公式有相同的 递 x d x c o s 对 2
0
n?
例2
0
4 x d xs in求
x d xs i nI 2
0
4
4?
＝由于解
16 322143I2143I43I 024所以返回返回定积分元素法平面图形面积旋转体体积其它应用举例定积分的元素法把曲线梯形的面积 A表示为定积分,骤 dx)x(fA b
a 的步
(1) 分割区间 [a,b],有?
n
i
iAA
1A 对于 [a,b]具有区间可加性。
(2) 计算?Ai的近似值 iii xfA )(? )(
11 xx i
(3) 求和,得 A的 近似值?
n
i
ii xfA
1
)(?
(4) 求极限，得
b
a
n
i
ii dxxfxfA )()(lim
10
返回用 [x,x+dx]表示任一小区间,?A表示窄曲边梯形的面积，于是
AA
取 [x,x+dx]的左端点 x为?，有
dxxfA )(
称 f (x)dx为 面积元素,记为 dA=f (x)dx,于是
dxxfA )(
b
a
n
i
dxxfdxxfA )()(lim
10
则这种方法通常叫 元素法,
x
y
0 a b
xfy?
x x+dx
返回若量 U在 [a,b]上有可加性且部分量?Ui? f (?i)?xi时,
求 U可分两部进行,
(1) 求元素 局部近似得 dA = f (x)dx
(2) 求全量 元素积分得 ba dxxfU )(
返回平面图形的面积一、直角坐标情形,
例 1,计算由两条抛物线,y2 = x,
x2 = y所围成图形的面积,
解,解方程组
2
2
xy
xy
求出两抛物线的交点为 (0,0)及 (1,1).
取横坐标 x为积分变量,它的变化区间为 [0,1].
在 [0,1]内任取一个小区间 [x,x+dx],其上面积部分量 dxxxA )( 2
0 x
y=x2
y
x x+dx 1
y2 = x
返回面积元素 dxxxdA )( 2
10 2 )( dxxxA
1
0
3
2
3
33
2
xx
3
1?
由本例可归纳出解决此类问题的一般规律和步骤,b ],,[a xg ( x ),f ( x )若则数为连续g ( x )f ( x ),，函均
b xa,x,g ( x )y f ( x ),y由积为围 成的面所
dxg ( x )f ( x )A ba － 返回例
。成的面所－直求抛物 积 围02y2x 线与 2 x,y 线 2
02y2x
2xy 组 2
－
先求交点，解方程解
2 ),,(2 1),21 ( 标为 －及得交点坐
0
y
x
y+dy
y
-2
1
2y
2
1x?
y211x
,1 ] 2[ 为 间 区 积 y,变 积 选 －分量分取的近似面的窄在其上任取一积 条应 对d y ],y,[ y 间 区?
d y y212y1dA 值为 2?
－－
4
9dyy
2
1
2
y1A 1
2-
2
－－
dA
返回设由曲线 )(r 及射线
, 围成一曲边扇形，求其面积．这里,)(
在 ],[ 上连续，且 0)(,
面积元素 ddA
2)]([
2
1?
曲边扇形的面积,)]([
2
1 2
dA
二、极坐标系情形
xo
d? )(r
d
返回例 求心形线 )c o s1( ar 所围平面图形的面积 )0(?a,
解 dadA
22 )c o s1(
2
1
利用对称性知
d
0 22 d)c o s(1a212A
0 22 )dc o s2 c o s(1a
02 )dc o s 2212 c o s23(a=
2
0
2 a
2
3|)s i n 2
4
12 s i n
2
3(a
返回体积问题
xo a b
一、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴的截面面积,
)( xA 为 x 的已知连续函数,dx)x(AdV?
立体体积 b
a dx)x(AV
返回例 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底面中心,
并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
R
R?
x
yo
解?取坐标系如图底圆方程为
222 Ryx
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t an)(2
1)( 22?xRxA
立体体积 dxxRV
R
R?t an)(2
1 22
.t a n32 3?R?
返回旋转体 就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台二、旋转体的体积返回一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,],[ bax?
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为
dxxfV ba 2)]([
)(xfy?
返回类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx,直线 cy?,dy? 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
x
y
o
)( yxc
d
dy)]y([V 2d
c
返回例 求摆线,的一拱与 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积,
解绕 x 轴旋转的旋转体体积
dx)x(yV 2a 2
0x?
20 22 )c o s1()c o s1( dttata
20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a
)ts int(ax )tc o s1(ay
0y?
o x
y
2a
a2?
返回其它应用举例一、求功
1.变力沿直线作功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W =F s,
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用,微元法,
思想,
返回由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比，现用 1 N的力能使弹簧伸 0.01m,
求把弹簧拉长 0.1m所作的功。
例解 设弹簧的一端固定，建立如图所示的坐标系，
原点 O为该弹簧不受力时另一端位置。
由胡克定律知
o x xxx p
x?
F(x) = k x,其中 k 为弹性系数，由已知条件得 1＝ k0.01 得
k = 100 N/m 即有 F(x) = 100x
返回现用微元法解此问题。由题意，将弹簧拉长到位置 P，在 OP上取一微小段 dx,在这小段上弹力可近似地看作常数，
于是把弹簧由 x拉长到 x+dx所作的功为
dW = F(x)dx =100x dx
所以，把弹簧拉长 0.1 m 所作的功为
1.00 0102 5.0|501 0 0 Jxx d xW
返回
2.可化为变力作功
27
3
x
dx
o
20?
y
x
例 在修建大桥的桥墩时,先要下一围囹,并抽尽其中的水便于施工,
今已知围囹的直径为 20 m,
水深 27 m,围囹高出水面 3 m,
求 抽尽围囹里的水所作的功。
解 建立坐标系，取积分变量为 x,
积分区间为 [3,30],任取 ［ x,x+dx]
则得功微元 x d x?5108.9?dw =
J 1037.1
2
x
108.9
x dx108.9W
930
3
2
5
30
3
5
返回由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
hp,这里? 是水的比重．如果有一面积为 A
的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 ApP,
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用,微元法,思想．
二、求侧压力返回例 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为?,计算桶的一端面上所受的压力,
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx?
取任一小区间 ],[ dxxx?
x dxx?小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为,2
22 dxxR?
,xp
返回小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2
)( 220 22 xRdxRR R
xR
0
322
3
2
.32 3R
返回定积分的应用微积分基本公式定积分及其应用返 回定积分的概念 定积分的积分法
