第 8章 相量法复数8.1
正弦量8.2
相量法的基础8.3
电路定律的相量形式8.4
首 页本章重点
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式
重点：
1,正弦量的表示、相位差返 回
1,复数的表示形式
) 1(j 为虚数单位
Fb
Re
Im
ao
|F|
bajFeFF j)s i n( c o s|||| j
baF j
|||| j FeFF
j|| eFF?
下 页上 页代数式指数式极坐标式三角函数式
8.1 复数返 回几种表示法的关系：
a
b
θ
baF
a r c t a n
|| 22
或
s in||
c o s||
F b
Fa
2,复数运算
① 加减运算 —— 采用代数式下 页上 页
Fb
Re
Im
ao
|F|baF j
|||| j FeFF
返 回则 F1± F2=(a1± a2)+j(b1± b2)
若 F1=a1+jb1,F2=a2+jb2
图解法下 页上 页
F1
F2
Re
Im
o
F1+F2
-F2
F1
Re
Im
o
F1-F2
F1+F2
F2
返 回
② 乘除运算 —— 采用极坐标式若 F1=|F1|? 1,F2=|F2|? 2
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
||
||
||
||
21
1
θθ
||F
||F
e
F
F
eF
eF
θF
θF
F
F θθ
θ
θ
则,
2121
)(j
21
j
2
j
121
2121
FF
eFFeFeFFF
下 页上 页模相乘角相加模相除角相减返 回例 1?2510475
)226.4j063.9()657.3j41.3(原式
5 6 9.0j47.1261.248.12
解下 页上 页例 2?
5j20
j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 2 2 0?
解 2.126j2.180原式
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
16.707 2 8.62.1 2 6j2.1 8 0
329.6j238.22.126j2.180
365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2
返 回
③ 旋转因子复数 ej? =cos? +jsin? =1∠?
F? ej?
F
Re
Im
0
F? ej?
下 页上 页旋转因子返 回
j
2
π
s i nj
2
π
c o s
,
2
π
2
π
j
e
j)2πs i n (j)2πc o s (,2π 2
πj
e?
1)πs i n (j)πc o s (,π πje?
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
特殊 旋转因子
Re
Im
0
FFj?
Fj?
F?
下 页上 页注意返 回
8.2 正弦量
1,正弦量
瞬时值表达式
i(t)=Imcos(w t+y)
t
i
0
T
周期 T 和频率 f
频率 f：每秒重复变化的次数。
周期 T：重复变化一次所需的时间。
单位：赫 (兹 )Hz
单位：秒 s
T
f 1?
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
下 页上 页波形返 回
正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
研究正弦电路的意义
① 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、
积分运算后仍是同频率的正弦函数；
② 正弦信号容易产生、传送和使用。
下 页上 页优点返 回
2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()( k
n
1k
k?w
tkAtf
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
下 页上 页结论返 回
(1) 幅值 (振幅,最大值 )Im
(2) 角频率 ω
2,正弦量的三要素
(3) 初相位 y
Tf π2π2w 单位,rad/s,弧度 /秒反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
i(t)=Imcos(w t+y)
下 页上 页返 回同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同 。
一般规定,|y |。y =0
y =?/2y =－?/2
下 页上 页
i
o wty
注意返 回例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式； 2.求最大值发生的时间 t1
t
i
o
100
50
t1
解 )10c o s (1 0 0)( 3 y tti
yc o s100500t
3πy
由于最大值发生在计时起点右侧
3
πy
)3π10c o s (100)( 3 tti
有最大值当 3π10 13?t ms0 4 7.1
10
3π
31 ＝＝t
下 页上 页返 回
3,同频率正弦量的相位差设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
相位差,j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定,|j | (180° )
下 页上 页等于初相位之差返 回
j >0,u超前 i j角,或 i 滞后 u j 角,(u 比 i 先到达最大值 )；
j <0,i 超前 u j 角，或 u滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值）。
下 页上 页返 回
w t
u,i
u
i
yu y
ij
o
j ＝ 0,同相
j = (?180o ),反相特殊相位关系
w t
u
i
o
w t
u
io
j=?/2,u 领先 i?/2 w t
u
i
o
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
下 页上 页返 回例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 π1 0 0s i n (10)(
)30 π1 0 0c o s (10)( )2(
0
2
0
1
tti
tti
)2π π1 0 0c o s (10)(
)4π3 π1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
tti
tti
)45 π2 0 0c o s (10)(
)30 π1 0 0c o s (10)( )3(
0
2
0
1
ttu
ttu
)30 π1 0 0c o s (3)(
)30 π1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
tti
tti
下 页上 页解
04π5)2π(4π3j
4π3π24π5j
000 135)105(30j
)1 0 5π1 0 0c o s (10)( 02 tti
不能比较相位差
21 ww?
000 1 2 0)1 5 0(30j
)1 5 0π1 0 0c o s (3)( 02 tti
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
结论返 回
4,周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
R直流 I R交流 i
ttiRW T d)(20TRIW 2?
物理意义下 页上 页返 回
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
下 页上 页均方根值定义电压有效值：
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(
1
正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imcos(w t+? )
返 回
tΨtI
T
I T d ) (c o s1
0
22
m w
Tt
t
Ψt
tΨt
T
TT
2
1
2
1
d
2
) (2c o s1
d ) (c o s
0
00
2
w
w?
m
m2
m 707.022
1 IITI
T
I
) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ww
II 2 m?
下 页上 页返 回同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm 或若交流电压有效值为 U=220V,U=380V
其最大值为 Um?311V Um?537V
下 页上 页注意
① 工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,
耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
返 回
② 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
③ 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
UUuIIi,,,,,mm
下 页上 页返 回
8.3 相量法的基础
1,问题的提出电路方程是微分方程：
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算：
)(
d
d
d
d 2 tuu
t
uRC
t
uLC
C
CC
) c o s (2 111 yw tIi
) c o s (2 222 yw tIi
下 页上 页
R L
C
+
-
uCiLu
+
-
返 回
i1 i1+i2?i3i2
w w w角频率同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,
所以,只需确定初相位和有效值 。 因此采用正弦量 复数下 页上 页
I1 I2 I3有效值
1?2?3初相位变换的思想
w t
u,i
i1
i2
o
i3
结论返 回造一个复函数 ) j(2)( ΨtIetF w
对 F(t) 取实部 )() c o s (2)](R e [ tiΨtItF w
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 。
) j(2)( ) c o s (2 ΨtIetFΨtIi ww
) s i n (2j) c o s (2 ΨtIΨtI ww
无物理意义是一个正弦量有物理意义
3,正弦量的相量表示下 页上 页结论返 回
F(t) 包含了三要素,I,?,w，
复常数包含了两个要素,I,?。
F(t) 还可以写成
tt eIeIetF wwy jj 22)( j
复常数下 页上 页正弦量对应的相量
) c o s(2)( ΨIIΨtItiw
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位注意返 回
) c o s (2)( θUUθtUtuw
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1
试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1,1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
u
ti
解 V602 2 0 A,301 0 0 oo UI
下 页上 页例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解 A )153 1 4c o s (250 ti
,5 0 H z A,1550 fI?已知返 回在复平面上用向量表示相量的图
ΨIIΨtωIti) c o s (2)(
θUUθtUtu) c o s (2)( w
相量图下 页上 页
U
I
+1
+j
返 回
4,相量法的应用
① 同频率正弦量的加减
)2R e () c o s (2)(
)2R e () c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUΨtUtu
eUΨtUtu
w
w
w
w
jj
1212
j j j
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) R e ( 2 ) R e ( 2 )
R e ( 2 2 ) R e ( 2 ( ) )
tt
t t t
u t u t u t U e U e
U e U e U U e
ww
w w w
U?
21 UUU
相量关系为：
下 页上 页结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
返 回
i1? i2 = i3
321 III
下 页上 页例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
ttu
ttu?
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ttututu
604306
21 UUU
46.3j23j19.5 46.6j19.7
V 9.4164.9 o
返 回借助相量图计算
+1
+j
30
1U60
2U?
9.41
U?
首尾相接下 页上 页
V604 V 306 o2o1 UU
+1
+j
9.41
U?
60
2U?
30
1U?
返 回
② 正弦量的微分、积分运算
) c o s (2 ii IItIi yyw
j2Re 2Re
d
d
d
d j j tt
eIeI
tt
i ww
w
tt eIteIti j j
j
2Re d 2Red ww
w
微分运算积分运算
2
π j
d
d
iIIt
i yww?
2
π
j
d iIIti y
ww
下 页上 页返 回例
) c o s (2)( itIti yw
d1
d
d)( ti
Ct
iLRitu
用相量运算,
j
j
C
IILIRU
w
w
① 把时域问题变为复数问题；
② 把微积分方程的运算变为复数方程运算；
③ 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
下 页上 页
R
i(t)
u(t) L
+
- C
相量法的优点返 回
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法用来分析正弦稳态电路 。
正弦波形图 相量图下 页上 页注意不适用线性线性
w1
w2
非线性
w
返 回
8.4 电路定律的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式时域形式：
相量形式：
ii ΨRIUΨII R
相量模型
)c o s (2)( iΨtIti w
)c o s (2)()( R iΨtRItRitu wu
R(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系相位关系
R
+
-R
U?
I
UR?
u
相量关系,IRU
R
UR=RI
u=?i
下 页上 页返 回瞬时功率 iup RR?
波形图及相量图
i
w to
uR
pR
RU?
I?
u=?iURI
瞬时功率以 2w交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率
) (c o s22 2R iΨtωIU
)] (2c o s1[R iΨtωIU
同相位下 页上 页返 回时域形式：
相量形式：
) c o s (2)( iψtIti w
)
2
π
c o s ( 2
) s i n (2
d
)(d
)(
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ww
ww
相量模型相量关系,IXILU
LL jj w
2,电感元件 VCR的相量形式
2π iLi ΨLIUΨII w
下 页上 页有效值关系,U=w L I
相位关系,?u=?i +90°
i(t)
uL(t) L
+
-
jw L+
-LU
I?
返 回感抗的性质 ① 表示限制电流的能力；
② 感抗和频率成正比。
w
XL
相量表达式
XL=wL=2?fL,称为感抗,单位为? (欧姆 )
BL=-1/wL =-1/2?fL,称为 感纳,单位为 S
感抗和感纳
,jj ILIXU L w
开路;
短路( 直流)
,,;,0,0
L
L
X
X
w
w
U
L
U
L
UBI L
ww j
11jj
下 页上 页返 回功率
) (2s i n
) s i n ()c o s (
L
mLmLL
i
ii
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
w
ww
w t
i
o
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。
LU?
I?
i
波形图及相量图 电压超前电流 900
下 页上 页返 回时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uΨtUtu w
)
2
π
c o s (2
) s i n (2
d
)(d
)(
C
u
u
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ww
ww
相量模型
iC(t)
u(t) C
+
-
U?
C
I?
+
-
ωCj
1
相量关系：
IXICU C j1j w
3,电容元件 VCR的相量形式
2π uCu ΨCUIΨUU w
下 页上 页有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
返 回
XC=-1/w C,称为容抗，单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
容抗和频率成反比
w?0,|XC|直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路
w
|XC|
容抗与容纳相量表达式
UCUBI
ICIXU
C
C
w
w
jj
1jj
下 页上 页返 回
1jj C ICIXU w
功率
)(2s i n
)s i n ()c o s (2
C
CC
u
uuC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUIuip
w t
iC
o
u
pC
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,表明电容只储能不耗能。
U?
CI?
u
波形图及相量图 电流超前电压 900
下 页上 页
2?
返 回
4,基尔霍夫定律的相量形式
0)( ti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 。 因此,在正弦电流电路中,KCL和
KVL可用相应的相量形式表示：
流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL。
0 2Re)( j21 teIIti w
0I?
0)( tu 0U?
下 页上 页表明返 回
j,5
C
C C
I
U w
例 1 试判断下列表达式的正、误。
Liu,1 w?
005 c o s5,2 ti w
mm j,3 CUI w
L
L
L,4 I
UX
LL j,6 ILU w?
t
iCu
d
d,7?
U I
mU?
m
m
I
U
I
U?
Cwj
1
L
下 页上 页返 回例 2 已知电流表读数,A1 ＝ 8A
下 页上 页
＝ 6AA2
A1
A0
Z1 Z2
U?
A2
CXZRZ j,.1 21若 A0 ＝?
为何参数21,2,ZRZ?
＝ I0max=?A0
为何参数2L1,j 3,ZXZ? A0＝ I0min=?
为何参数2L1,j,4 ZXZ? ＝?A2A0 ＝ A1
解 A1068 1,220I
A1468 2,m a x02 IRZ,
A268,j 3,m i n0C2 IXZ
A16,A8,j,4 210C2 IIIXZ
1,IU
2I?
0I?
返 回例 3 )(:),5c o s (21 2 0)( titt u 求已知?
解 00120U?
20j54jj LX
Ω10j02.05 1jjCX
相量模型下 页上 页
+
_
15?
u
4H
0.02Fi
U? j20?
-j10?
1I? 2I
3I?
I?+
_
15?
返 回
A9.3610681268
10
1
20
1
15
1
1 2 0
0
jjj
jj
A)9.365c o s (210)( 0 tt i
下 页上 页
CL
CLR jj X
U
X
U
R
UIIII
U? j20?
-j10?
1I? 2I
3I?
I?+
_
15?
返 回例 4 )(:),1510c o s (25)( 06 tutti S求已知
解 0155I?
Ω5j102.010 1jj 66CX
V302254525155
5j5155
000
0
CRS
UUU
R,UI
CU?
下 页上 页
+
_
5?
uS
0.2?F
i
相量模型 +
_
5?
I?
-j5?U?
SU?
返 回例 5?,V78,V50 BCACAB UUU,问已知
I?
解 IIIU 50)40()30( 22AB
V40,V30,A1 R LUUI
2
BC
2
AC )40()30(78 UU
V3240)30()78( 22BCU
I?40j
I?30
BCU?
ABU?
ACU?
下 页上 页
j40?
jXL
30?
C
BA
返 回例 6 图示电路 I1=I2=5A,U＝ 50V,总电压与总电流同相位，求 I,R,XC,XL。
0CC 0 UU?设解法 1
5j,05 201 II
045255j5I?
)j1(2505j)5j5(4550 0 RXU L?
252505 LL XX
Ω2102502552505 C XRR
令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页
U?
jXC
1I? 2I?
+
_
R
I?
jXL
UC
+
-
返 回
U?
25?I
CR UU
2I?
1I?
045
LU?
V50 LUU
2525 50LX
2105 250C RX
下 页上 页画相量图计算
U?
jXC
1I? 2I?
+
_
R
I?
jXL
UC
+
-
解法 2
返 回例 7 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压?/3，问 R,C应如何选择 。
IXIRU CS j解 1
C
S
CC
C j
j,
j XR
UXU
XR
UI S
1j
C
S CR
U
U w
画相量图计算
360t a n 0CRw
CRCI RIUU
C
R w
w /360t a n
0
RU?
SU?
I?
CU?
060
上 页
U? jX
C
+
_
RI? +
-
CU?
解 2
返 回
正弦量8.2
相量法的基础8.3
电路定律的相量形式8.4
首 页本章重点
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式
重点：
1,正弦量的表示、相位差返 回
1,复数的表示形式
) 1(j 为虚数单位
Fb
Re
Im
ao
|F|
bajFeFF j)s i n( c o s|||| j
baF j
|||| j FeFF
j|| eFF?
下 页上 页代数式指数式极坐标式三角函数式
8.1 复数返 回几种表示法的关系：
a
b
θ
baF
a r c t a n
|| 22
或
s in||
c o s||
F b
Fa
2,复数运算
① 加减运算 —— 采用代数式下 页上 页
Fb
Re
Im
ao
|F|baF j
|||| j FeFF
返 回则 F1± F2=(a1± a2)+j(b1± b2)
若 F1=a1+jb1,F2=a2+jb2
图解法下 页上 页
F1
F2
Re
Im
o
F1+F2
-F2
F1
Re
Im
o
F1-F2
F1+F2
F2
返 回
② 乘除运算 —— 采用极坐标式若 F1=|F1|? 1,F2=|F2|? 2
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
||
||
||
||
21
1
θθ
||F
||F
e
F
F
eF
eF
θF
θF
F
F θθ
θ
θ
则,
2121
)(j
21
j
2
j
121
2121
FF
eFFeFeFFF
下 页上 页模相乘角相加模相除角相减返 回例 1?2510475
)226.4j063.9()657.3j41.3(原式
5 6 9.0j47.1261.248.12
解下 页上 页例 2?
5j20
j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 2 2 0?
解 2.126j2.180原式
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
16.707 2 8.62.1 2 6j2.1 8 0
329.6j238.22.126j2.180
365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2
返 回
③ 旋转因子复数 ej? =cos? +jsin? =1∠?
F? ej?
F
Re
Im
0
F? ej?
下 页上 页旋转因子返 回
j
2
π
s i nj
2
π
c o s
,
2
π
2
π
j
e
j)2πs i n (j)2πc o s (,2π 2
πj
e?
1)πs i n (j)πc o s (,π πje?
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
特殊 旋转因子
Re
Im
0
FFj?
Fj?
F?
下 页上 页注意返 回
8.2 正弦量
1,正弦量
瞬时值表达式
i(t)=Imcos(w t+y)
t
i
0
T
周期 T 和频率 f
频率 f：每秒重复变化的次数。
周期 T：重复变化一次所需的时间。
单位：赫 (兹 )Hz
单位：秒 s
T
f 1?
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
下 页上 页波形返 回
正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
研究正弦电路的意义
① 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、
积分运算后仍是同频率的正弦函数；
② 正弦信号容易产生、传送和使用。
下 页上 页优点返 回
2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()( k
n
1k
k?w
tkAtf
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
下 页上 页结论返 回
(1) 幅值 (振幅,最大值 )Im
(2) 角频率 ω
2,正弦量的三要素
(3) 初相位 y
Tf π2π2w 单位,rad/s,弧度 /秒反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
i(t)=Imcos(w t+y)
下 页上 页返 回同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同 。
一般规定,|y |。y =0
y =?/2y =－?/2
下 页上 页
i
o wty
注意返 回例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式； 2.求最大值发生的时间 t1
t
i
o
100
50
t1
解 )10c o s (1 0 0)( 3 y tti
yc o s100500t
3πy
由于最大值发生在计时起点右侧
3
πy
)3π10c o s (100)( 3 tti
有最大值当 3π10 13?t ms0 4 7.1
10
3π
31 ＝＝t
下 页上 页返 回
3,同频率正弦量的相位差设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
相位差,j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定,|j | (180° )
下 页上 页等于初相位之差返 回
j >0,u超前 i j角,或 i 滞后 u j 角,(u 比 i 先到达最大值 )；
j <0,i 超前 u j 角，或 u滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值）。
下 页上 页返 回
w t
u,i
u
i
yu y
ij
o
j ＝ 0,同相
j = (?180o ),反相特殊相位关系
w t
u
i
o
w t
u
io
j=?/2,u 领先 i?/2 w t
u
i
o
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
下 页上 页返 回例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 π1 0 0s i n (10)(
)30 π1 0 0c o s (10)( )2(
0
2
0
1
tti
tti
)2π π1 0 0c o s (10)(
)4π3 π1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
tti
tti
)45 π2 0 0c o s (10)(
)30 π1 0 0c o s (10)( )3(
0
2
0
1
ttu
ttu
)30 π1 0 0c o s (3)(
)30 π1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
tti
tti
下 页上 页解
04π5)2π(4π3j
4π3π24π5j
000 135)105(30j
)1 0 5π1 0 0c o s (10)( 02 tti
不能比较相位差
21 ww?
000 1 2 0)1 5 0(30j
)1 5 0π1 0 0c o s (3)( 02 tti
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
结论返 回
4,周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
R直流 I R交流 i
ttiRW T d)(20TRIW 2?
物理意义下 页上 页返 回
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
下 页上 页均方根值定义电压有效值：
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(
1
正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imcos(w t+? )
返 回
tΨtI
T
I T d ) (c o s1
0
22
m w
Tt
t
Ψt
tΨt
T
TT
2
1
2
1
d
2
) (2c o s1
d ) (c o s
0
00
2
w
w?
m
m2
m 707.022
1 IITI
T
I
) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ww
II 2 m?
下 页上 页返 回同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm 或若交流电压有效值为 U=220V,U=380V
其最大值为 Um?311V Um?537V
下 页上 页注意
① 工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,
耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
返 回
② 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
③ 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
UUuIIi,,,,,mm
下 页上 页返 回
8.3 相量法的基础
1,问题的提出电路方程是微分方程：
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算：
)(
d
d
d
d 2 tuu
t
uRC
t
uLC
C
CC
) c o s (2 111 yw tIi
) c o s (2 222 yw tIi
下 页上 页
R L
C
+
-
uCiLu
+
-
返 回
i1 i1+i2?i3i2
w w w角频率同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,
所以,只需确定初相位和有效值 。 因此采用正弦量 复数下 页上 页
I1 I2 I3有效值
1?2?3初相位变换的思想
w t
u,i
i1
i2
o
i3
结论返 回造一个复函数 ) j(2)( ΨtIetF w
对 F(t) 取实部 )() c o s (2)](R e [ tiΨtItF w
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 。
) j(2)( ) c o s (2 ΨtIetFΨtIi ww
) s i n (2j) c o s (2 ΨtIΨtI ww
无物理意义是一个正弦量有物理意义
3,正弦量的相量表示下 页上 页结论返 回
F(t) 包含了三要素,I,?,w，
复常数包含了两个要素,I,?。
F(t) 还可以写成
tt eIeIetF wwy jj 22)( j
复常数下 页上 页正弦量对应的相量
) c o s(2)( ΨIIΨtItiw
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位注意返 回
) c o s (2)( θUUθtUtuw
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1
试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1,1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
u
ti
解 V602 2 0 A,301 0 0 oo UI
下 页上 页例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解 A )153 1 4c o s (250 ti
,5 0 H z A,1550 fI?已知返 回在复平面上用向量表示相量的图
ΨIIΨtωIti) c o s (2)(
θUUθtUtu) c o s (2)( w
相量图下 页上 页
U
I
+1
+j
返 回
4,相量法的应用
① 同频率正弦量的加减
)2R e () c o s (2)(
)2R e () c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUΨtUtu
eUΨtUtu
w
w
w
w
jj
1212
j j j
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) R e ( 2 ) R e ( 2 )
R e ( 2 2 ) R e ( 2 ( ) )
tt
t t t
u t u t u t U e U e
U e U e U U e
ww
w w w
U?
21 UUU
相量关系为：
下 页上 页结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
返 回
i1? i2 = i3
321 III
下 页上 页例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
ttu
ttu?
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ttututu
604306
21 UUU
46.3j23j19.5 46.6j19.7
V 9.4164.9 o
返 回借助相量图计算
+1
+j
30
1U60
2U?
9.41
U?
首尾相接下 页上 页
V604 V 306 o2o1 UU
+1
+j
9.41
U?
60
2U?
30
1U?
返 回
② 正弦量的微分、积分运算
) c o s (2 ii IItIi yyw
j2Re 2Re
d
d
d
d j j tt
eIeI
tt
i ww
w
tt eIteIti j j
j
2Re d 2Red ww
w
微分运算积分运算
2
π j
d
d
iIIt
i yww?
2
π
j
d iIIti y
ww
下 页上 页返 回例
) c o s (2)( itIti yw
d1
d
d)( ti
Ct
iLRitu
用相量运算,
j
j
C
IILIRU
w
w
① 把时域问题变为复数问题；
② 把微积分方程的运算变为复数方程运算；
③ 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
下 页上 页
R
i(t)
u(t) L
+
- C
相量法的优点返 回
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法用来分析正弦稳态电路 。
正弦波形图 相量图下 页上 页注意不适用线性线性
w1
w2
非线性
w
返 回
8.4 电路定律的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式时域形式：
相量形式：
ii ΨRIUΨII R
相量模型
)c o s (2)( iΨtIti w
)c o s (2)()( R iΨtRItRitu wu
R(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系相位关系
R
+
-R
U?
I
UR?
u
相量关系,IRU
R
UR=RI
u=?i
下 页上 页返 回瞬时功率 iup RR?
波形图及相量图
i
w to
uR
pR
RU?
I?
u=?iURI
瞬时功率以 2w交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率
) (c o s22 2R iΨtωIU
)] (2c o s1[R iΨtωIU
同相位下 页上 页返 回时域形式：
相量形式：
) c o s (2)( iψtIti w
)
2
π
c o s ( 2
) s i n (2
d
)(d
)(
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ww
ww
相量模型相量关系,IXILU
LL jj w
2,电感元件 VCR的相量形式
2π iLi ΨLIUΨII w
下 页上 页有效值关系,U=w L I
相位关系,?u=?i +90°
i(t)
uL(t) L
+
-
jw L+
-LU
I?
返 回感抗的性质 ① 表示限制电流的能力；
② 感抗和频率成正比。
w
XL
相量表达式
XL=wL=2?fL,称为感抗,单位为? (欧姆 )
BL=-1/wL =-1/2?fL,称为 感纳,单位为 S
感抗和感纳
,jj ILIXU L w
开路;
短路( 直流)
,,;,0,0
L
L
X
X
w
w
U
L
U
L
UBI L
ww j
11jj
下 页上 页返 回功率
) (2s i n
) s i n ()c o s (
L
mLmLL
i
ii
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
w
ww
w t
i
o
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。
LU?
I?
i
波形图及相量图 电压超前电流 900
下 页上 页返 回时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uΨtUtu w
)
2
π
c o s (2
) s i n (2
d
)(d
)(
C
u
u
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ww
ww
相量模型
iC(t)
u(t) C
+
-
U?
C
I?
+
-
ωCj
1
相量关系：
IXICU C j1j w
3,电容元件 VCR的相量形式
2π uCu ΨCUIΨUU w
下 页上 页有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
返 回
XC=-1/w C,称为容抗，单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
容抗和频率成反比
w?0,|XC|直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路
w
|XC|
容抗与容纳相量表达式
UCUBI
ICIXU
C
C
w
w
jj
1jj
下 页上 页返 回
1jj C ICIXU w
功率
)(2s i n
)s i n ()c o s (2
C
CC
u
uuC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUIuip
w t
iC
o
u
pC
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,表明电容只储能不耗能。
U?
CI?
u
波形图及相量图 电流超前电压 900
下 页上 页
2?
返 回
4,基尔霍夫定律的相量形式
0)( ti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 。 因此,在正弦电流电路中,KCL和
KVL可用相应的相量形式表示：
流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL。
0 2Re)( j21 teIIti w
0I?
0)( tu 0U?
下 页上 页表明返 回
j,5
C
C C
I
U w
例 1 试判断下列表达式的正、误。
Liu,1 w?
005 c o s5,2 ti w
mm j,3 CUI w
L
L
L,4 I
UX
LL j,6 ILU w?
t
iCu
d
d,7?
U I
mU?
m
m
I
U
I
U?
Cwj
1
L
下 页上 页返 回例 2 已知电流表读数,A1 ＝ 8A
下 页上 页
＝ 6AA2
A1
A0
Z1 Z2
U?
A2
CXZRZ j,.1 21若 A0 ＝?
为何参数21,2,ZRZ?
＝ I0max=?A0
为何参数2L1,j 3,ZXZ? A0＝ I0min=?
为何参数2L1,j,4 ZXZ? ＝?A2A0 ＝ A1
解 A1068 1,220I
A1468 2,m a x02 IRZ,
A268,j 3,m i n0C2 IXZ
A16,A8,j,4 210C2 IIIXZ
1,IU
2I?
0I?
返 回例 3 )(:),5c o s (21 2 0)( titt u 求已知?
解 00120U?
20j54jj LX
Ω10j02.05 1jjCX
相量模型下 页上 页
+
_
15?
u
4H
0.02Fi
U? j20?
-j10?
1I? 2I
3I?
I?+
_
15?
返 回
A9.3610681268
10
1
20
1
15
1
1 2 0
0
jjj
jj
A)9.365c o s (210)( 0 tt i
下 页上 页
CL
CLR jj X
U
X
U
R
UIIII
U? j20?
-j10?
1I? 2I
3I?
I?+
_
15?
返 回例 4 )(:),1510c o s (25)( 06 tutti S求已知
解 0155I?
Ω5j102.010 1jj 66CX
V302254525155
5j5155
000
0
CRS
UUU
R,UI
CU?
下 页上 页
+
_
5?
uS
0.2?F
i
相量模型 +
_
5?
I?
-j5?U?
SU?
返 回例 5?,V78,V50 BCACAB UUU,问已知
I?
解 IIIU 50)40()30( 22AB
V40,V30,A1 R LUUI
2
BC
2
AC )40()30(78 UU
V3240)30()78( 22BCU
I?40j
I?30
BCU?
ABU?
ACU?
下 页上 页
j40?
jXL
30?
C
BA
返 回例 6 图示电路 I1=I2=5A,U＝ 50V,总电压与总电流同相位，求 I,R,XC,XL。
0CC 0 UU?设解法 1
5j,05 201 II
045255j5I?
)j1(2505j)5j5(4550 0 RXU L?
252505 LL XX
Ω2102502552505 C XRR
令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页
U?
jXC
1I? 2I?
+
_
R
I?
jXL
UC
+
-
返 回
U?
25?I
CR UU
2I?
1I?
045
LU?
V50 LUU
2525 50LX
2105 250C RX
下 页上 页画相量图计算
U?
jXC
1I? 2I?
+
_
R
I?
jXL
UC
+
-
解法 2
返 回例 7 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压?/3，问 R,C应如何选择 。
IXIRU CS j解 1
C
S
CC
C j
j,
j XR
UXU
XR
UI S
1j
C
S CR
U
U w
画相量图计算
360t a n 0CRw
CRCI RIUU
C
R w
w /360t a n
0
RU?
SU?
I?
CU?
060
上 页
U? jX
C
+
_
RI? +
-
CU?
解 2
返 回
