2004-9-9 1
第二章函数插值
null问题提出
1函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多点处的函数值
2 仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值
……
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式,
2004-9-9 2
内容提要
null插值问题
null插值多项式的构造方法
null分段插值法
2004-9-9 3
一、插值问题
1,定义已知定义于
],[ ba
上的函数
)(xf
在
1+n
个互异节点
{} ],[
0
bax
n
i
i
=
处的函数值
{}
n
i
i
xf
0
)(
=
,
若函数族
Φ
中的函数
)(x?
满足条件
nixfx
ii
,,1,0),()( L==?
（1）
则称
)(x?
为
)(xf
在
Φ
中关于节点
{}
n
i
i
x
0=
的一个插值函数。
)(xf
——被插值函数；
],[ ba
——插值区间；
{}
n
i
i
x
0=
——插值节点； 式（1）——插值条件,
2004-9-9 4
2,几何意义、内插法、外插法
n
ii
xM
0
}max{
~
=
=
内插外插
n
ii
xm
0
}min{
~
=
=
]
~
,
~
[],[ Mmxbutbax?∈
]
~
,
~
[ Mmx∈
2004-9-9 5
3.多项式插值问题
null对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题
null当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值;
null当Φ为一些有理分式集合时：有理插值；
null当Φ为一些多项式集合时：多项式插值特别的取
Φ
=
{ }
n
n
xxx,,,,1span
2
L
=P
,即
{}niRaxaxaxaaxx
i
n
nn
≤≤∈++++== 0,,)()(
2
210
LP
2004-9-9 6
4,存在惟一性
null分析对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
=
)(
)(
)(
)(
1
1
1
2
1
0
2
1
0
2
1
2
11
0
2
00
nn
n
nnn
n
n
xf
xf
xf
xf
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
MM
L
LLLLL
L
L
定理1(存在惟一性)满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在惟一的.
2004-9-9 7
5,误差估计
null引理已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函数，且在
（a,b）上存在m阶导数。若它在该区间上有m+1个零点，
则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。
ξ
ηηη
ξξξξ
)(
)(
)(
)(
)(
230
1210
1210
xf
xf
xf
xxxxxxf
m
mm
mm
mm
LL
L
L
L
′′
′
null 插值余项：
)()()( xxfxR
n
=
2004-9-9 8
误差估计(续1)
null分析：
nixxfxR
iii
,,2,1,0,0)()()( L==?=?
)())(()()()()()()(
1011 nnn
xxxxxxxxxkxxfxR==?=?
++
Lωω?
)()()()()(
1
txkttftg
n+
= ω?
当
x
为某一插值节点时,对函数
)(xk
无约束；
当点
x
与插值节点
n
ii
x
0
}{
=互不相同时，构造以t为新自变量的函数
)(tg
在区间
],[ ba
上的
2+n
个互异零点：
x
、
n
ii
x
0
}{
=
当
)(tg
充分光滑时，
)(
)1(
tg
n+
在开区间
),( ba
内至少存在一个零点ξ
)!1(
)(
)(
0)(
)()!1()()(
)1(
)1(
)1()1(
+
=?
=
+?=
+
+
++
n
f
xk
g
xkntftg
n
n
nn
ξ
ξ
2004-9-9 9
误差估计(续2)
定理2 (误差估计) 设
)(
)(
xf
n
在
],[ ba
上连续,
)(
)1(
xf
n+
在
),( ba
内存在,
)( x?
是满足插值条件(1)的不超过
n
次的插值多项式,则对任意
],[ bax ∈
,存在
),()( bax ∈=ξξ
,使得
)(
)!1(
)(
)()()(
1
)1(
x
n
f
xxfxR
n
n
n +
+
+
=?= ω
ξ
成立,式中
)()(
0
1 i
n
i
n
xxx?Π=
=
+
ω
,
进而当
)(
)1(
xf
n+
在区间
),( ba
有上界
1+n
M
时,有
)(
!)1(
)(
1
1
x
n
M
xR
n
n
n +
+
ω
+
≤
,
2004-9-9 10
Remark
null Remark1 插值误差与节点
{}
n
i
i
x
0=
和点
x
之间的距离有关,
节点距离
x
越近,插值误差一般情况下越小,
null Remark2 若被插值函数
)(xf
本身就是不超过
n
次的多项式,则有
)()( xxf?≡
,
nullRemark3 可以通过求解线性方程组得到插值多项式
2004-9-9 11
二、插值多项式的构造方法
null由于插值多项式的存在惟一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。
null内容提要
null Lagrange插值法
null Newton插值法
null等距节点插值公式
null带导数的插值问题
2004-9-9 12
1,Lagrange 方法
1.1 辅助问题构造不超过
n
次的插值多项式
)(xl
i
,使之满足插值条件
=
≠
=
==
nj
ij
ij
xl
jiji
,,2,1,0,
0
1
)( Lδ
)())(())((
)())(())((
)(
1110
1110
niiiiiii
nii
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xl
=
+?
+?
LL
LL
)()(
)(
'
1
1
ini
n
xxx
x
+
+
=
ω
ω
2004-9-9 13
1.1 辅助问题
)())((
)())((
)(
02010
21
0
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xl
=
L
L
)())((
)())((
)(
12101
20
1
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xl
=
L
L
)())((
)())((
)(
110
110
=
nnnn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xl
L
L
………
称
n
次插值多项式
)(
0
xl
、
)(
1
xl
、…、
)(xl
n
为关于节点
{}
n
i
i
x
0=
的拉格朗日插值基函数,这些基函数仅依赖于插值节点
{}
n
i
i
x
0=
,
2004-9-9 14
1.2 Lagrange型插值公式
∑∑
=
+
+
=
==
n
i
ini
n
i
n
i
iin
xxx
x
xfxlxfxL
0
'
1
1
0
)()(
)(
)()()()(
ω
ω
上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件，
因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange
插值多项式。
)(
)!1(
)(
)()()(
1
)1(
x
n
f
xLxfxR
n
n
nn +
+
+
=?= ω
ξ
)(
)!1(
)()()(
1
1
x
n
M
xLxfxR
n
n
nn +
+
ω
+
≤?=
2004-9-9 15
已知
3)5.0(,2)0(,1)1(,2)2( ===?=? ffff
,试选用合适的插值节点，
通过二次插值多项式计算
)5.0(?f
的近似值,使之精度尽可能高,
例题解 依据误差估计式,选
5.0,0,1
210
==?= xxx
为插值节点
拉格朗日插值基函数为,
)5.0(
3
2
)5.01)(01(
)5.0)(0(
)(
0
=
= xx
xx
xl
)5.0)(1(2
)5.00)(10(
)5.0)(1(
)(
1
+?=
+
+
= xx
xx
xl
)1(
3
4
)05.0)(15.0(
)0)(1(
)(
2
+=
+
+
= xx
xx
xl
二次插值多项式为
)()()()()()()(
2211002
xlxfxlxfxlxfxL ++=
)(3)(2)(
210
xlxlxl ++=
3/4)5.0(3)5.0(2)5.0(1)5.0()5.0(
2102
=?×+?×+?×=?≈? lllLf
2004-9-9 16
1.3 反插值法已知单调连续函数
)(xfy =
在如下采样点处的函数值
i
x
1.0 1.4 1.8 2.0
)(
ii
xfy =
2.0?0.8 0.4 1.2
求方程
0)( =xf
在
]2,1[
内根的近似值
*
x
,使误差尽可能小
分析
i
y
2.0?0.8 0.4 1.2 0
ii
xyf =
)(
1
1.0 1.4 1.8 2.0？
2004-9-9 17
解 对
)(xfy =
的反函数
)(
1
yfx
=
进行三次插值,
插值多项式为
问题求解
))()((
))()((
)()(
302010
321
0
1
3
yyyyyy
yyyyyy
yfyL
=
))()((
))()((
)(
312101
320
1
1
yyyyyy
yyyyyy
yf
+
))()((
))()((
)(
321202
310
2
1
yyyyyy
yyyyyy
yf
+
))()((
))()((
)(
231303
210
3
1
yyyyyy
yyyyyy
yf
+
32
01302.003125.03271.0675.1 yyy+=
于是有
675.1)0()0(
3
1*
=≈=
Lfx
2004-9-9 18
单值性条件不可缺少用反插值法时必须满足单值性条件
2004-9-9 19
2,Newton插值法
null Lagrange 插值公式的特点：
null形式对称
null通常用于理论分析
null当增加插值节点时，在计算实践中不方便
)
~
()(
00
xlxfAA +? )
~
()(
11
xlxfAA +?0?A
)
~
()( xlxfAA
nn
+?LL
分析分析
Ln+1(x) 与与
Ln(x) 差别差别
2004-9-9 20
2.1 Lagrange插值多项式间的关系
≤≤=
≤≤=
10)()(
0)()(
1
kixfxL
kixfxL
iik
iik
=?
)()(
1
xLxL
kk
)())((
110?
k
xxxxxx L
=
=
+?
+?
=
∑
)())(())((
)())(())((
)(
)()()(
1110
1110
0
kiiiiiii
kii
i
k
i
iik
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xl
xlxfxL
LL
LL
A
)())(()(
)(
110
0
kiiiiii
i
k
i
xxxxxxxx
xf
A
Σ=
+?
=
LL
)(
)(
'
1
0
ik
i
k
i
x
xf
+
=
Σ=
ω
A是L
k
(x)的首项系数。
2004-9-9 21
2.2 Newton型插值公式
)(],,,[)()(
101
xxxxfxLxL
kkkk
ωL+=
)(
)(
],,,[
'
1
0
10
ik
i
k
i
k
x
xf
xxxf
+
=
Σ=
ω
L
)())(()(
110?
=
kk
xxxxxxx Lω
)(],[)()(
11001
xxxfxLxL ω+= )(],[)(
1100
xxxfxf ω+=
)(],,[)()(
221012
xxxxfxLxL ω+=
)(],,[)(],[)(
22101100
xxxxfxxxfxf ωω ++=
……………
)(],,,[)()(
101
xxxxfxLxL
nnnn
ωL+=
)(],,,[
)(],,[)(],[)(
10
22101100
xxxxf
xxxxfxxxfxf
nn
ω
ωω
LL ++
+++=
2004-9-9 22
Newton插值公式（续）
)(
)())(](,,,[
))(](,,[)](,[)(
)(],,,[
)(],,[)(],[)()(
11010
102100100
10
22101100
xN
xxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxf
xxxxf
xxxxfxxxfxfxL
n
nn
nn
n
=
++
++?+=
++
+++=
LLL
LL ω
ωω
Newton插值公式的关键是计算其系数,
],,,[
10 k
xxxf L
)(
)(
'
1
0
ik
i
k
i
x
xf
+
=
Σ=
ω
k=1,2,…,n
2004-9-9 23
)())(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
11010
102100100
++
++?+=
nn
n
xxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxN
LLL
2.3 差商的另一种计算方法性质
],,,[
10 k
xxxf L
与节点
0
x
、
1
x
、…、
k
x
的次序无关。
)())(()(
)(
],,,[
110
0
10
kiiiiii
i
k
i
k
xxxxxxxx
xf
xxxf
Σ=
+?
=
LL
L
K=1:
01
01
11
01
10
)()(
)(
)()(
],[
xx
xfxf
x
xfxN
xxf
n
=
=
ω
10
10
)()(
xx
xfxf
=
ji
xx
xfxf
xxf
ji
ji
ji
≠
=
)()(
],[
2004-9-9 24
)())(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
11010
102100100
++
++?+=
nn
n
xxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxN
LLL
计算方法(续1)
))((
)](,[)()(
],,[
1202
021002
210
xxxx
xxxxfxfxf
xxxf
=
K=2:
=
12
1020
],[],[
xx
xxfxxf
))((
)](,[)](,[)()(
1202
1210011002
xxxx
xxxxfxxxxfxfxf
=
))((
)](,[)()(
1202
121012
xxxx
xxxxfxfxf
=
02
1012
],[],[
xx
xxfxxf
=
20
2110
],[],[
xx
xxfxxf
=
2004-9-9 25
计算方法(续2)
ki
kjji
kji
xx
xxfxxf
xxxf
=
],[],[
],,[
i,j,k互不相同一般地，K阶差商：
k
kk
k
xx
xxxfxxxf
xxxf
=
0
21110
10
],,,[],,,[
],,,[
LL
L
2004-9-9 26
差商表
x
)(xf
一阶差商 二阶差商 三阶差商 …
0
x
1
x
2
x
3
x
…
)(
0
xf
)(
1
xf
)(
2
xf
)(
3
xf
…
],[
10
xxf
],[
21
xxf
],[
32
xxf
………
],,[
210
xxxf
],,[
321
xxxf
…………
],,,[
3210
xxxxf
……………
…
2004-9-9 27
2.3 误差估计
如果f(x)充分光滑，则有估计
)(
)!1(
)(
)()()(
1
)1(
x
n
f
xNxfxR
n
n
nn +
+
+
=?= ω
ξ
)(
)!1(
)()()(
1
1
x
n
M
xNxfxR
n
n
nn +
+
+
≤?= ω
不足：
null对函数的光滑性要求高；
导数型误差估计
null需估计导函数的最值；
null偏保守。
2004-9-9 28
误差估计（续）
假设x与
n
ii
x
0
}{
=
互异,
)(
1
tN
n+
是以x和
n
ii
x
0
}{
=
为插值节点的不超过
1+n
次的插值多项式,
)(],,,,[)()(
1101
txxxxftNtN
nnnn ++
ω+= L
)()(
1
xfxN
n
=
+
)(],,,,[)()(
110
xxxxxfxNxf
nnn +
+= ωL
差商型误差估计
=?= )()()( xNxfxR
nn
)(],,,,[
110
xxxxxf
nn +
ωL
!
)(
],,,[
)(
10
k
f
xxxf
k
k
ξ
=L
导数和差商的关系
2004-9-9 29
差商型误差估计特点
null对被插值函数光滑性要求不高；不适用于实际计算。
例已知
xxf sin)( =
的如下函数值表,
x
1.0
1.5 2.0
xsin
0.8415 0.9975 0.9093
请用二次插值多项式计算
8.1sin
的近似值
)8.1(
2
N
。
2004-9-9 30
例题求解解1）建立差商表
1.0
1.5
2.0
0.8415
0.9975
0.9093
0.312
-0.1764
-0.4884
2）插值
973884.0)5.18.1()0.18.1(4884.0
)0.18.1(312.08415.0)8.1(
2
=?×?×?
×+=N
#
2004-9-9 31
3,等距节点插值公式
当节点等距分布时简化Newton插值公式
ihax
i
+=
),,1,0( ni L=
0>
=
n
ab
h
,
简记t
fthaf =+ )(
,
例 ii
fxf =)(
,
2
1
)(
2
+
=+
i
h
i
fxf
,
2
1
)(
2
=?
i
h
i
fxf
,
2004-9-9 32
3.1 常用算子定义
null恒等算子
()
=
=
)()(
)()(
1
xfIIxfI
xfxIf
mm
)()( xfxfI
s
=
移位算子移位算子
+=
+=
)()(
)()(
shxfxfE
hxfxEf
s
2
1
2
1
+
=
i
i
ffE
1+
=
ii
fEf
1
1
=
ii
ffE
2004-9-9 33
向前差分算子
()
=?
+=?
)()(
)()()(
1
xfxf
xfhxfxf
mm
010
fff?=?
012010
2
2 ffffff +?==?
IE?=?
IEE
IEIEIE
+?=
+?=?=?
2
2)(
2
2222
2004-9-9 34
向后差分算子
()
=?
=?
)()(
)()()(
1
xfxf
hxfxfxf
mm 1?
=?
nnn
fff
211
2
2
+?==?
nnnnnn
ffffff
1?
=? EI
21212
2)(
+?=?=? EEIEI
2004-9-9 35
中心差分算子
()
δδ=δ
+=δ
)()(
)()()(
1
22
xfxf
xfxfxf
mm
hh
2
5
2
7
2
1
2
1
33
3
fffff?=?=
+
δ
2343
2
2
2
5
2
7
ffffff +?=?= δδδ
2/12/1?
= EEδ
2004-9-9 36
3.2 差分与差商之间的关系
h
xf
=
1
)(
0
01
01
10
)()(
],[
xx
xfxf
xxf
=
20
2110
210
],[],[
],,[
xx
xxfxxf
xxxf
=
h
xf
xx
xfxf
xxf
i
ii
ii
ii
=
=
+
+
+
1
)()()(
],[
1
1
1
h
h
xf
h
xf
=
2
1
)(
1
)(
10
2
0
2
!2
)(
h
xf
=
一般地
2004-9-9 37
（续）
k
k
k
hk
xf
xxxf
=
!
)(
],,,[
0
10
L
一般地
}?
!
)(
],,,[
10
k
f
xxxf
k
k
ξ
=L
差分与导数的关系
)()(
)(
0
ξ
kkk
fhxf?=?
2004-9-9 38
3.3 Newton向前插值公式记x=a+th，x-xi=(t-i)h
)(],,,[)()(
10
1
0
xxxxfxfthaN
kk
n
k
n
ωL
=
Σ+=+
Π
Σ+=
==
)(
!
)(
)(
1
0
0
1
0
ith
hk
xf
xf
k
i
k
k
k
n
k
)1()1(
)())(()(
110
+=
=
kttth
xxxxxxx
k
kk
L
Lω
)1()1(
!
)(
)(
0
1
0
+
Σ+=
=
kttt
k
xf
xf
k
n
k
L
2004-9-9 39
3.4 差分表
x
)(xf
一阶差分 二阶差分 三阶差分 …
0
x
1
x
2
x
3
x
…
)(
0
xf
)(
1
xf
)(
2
xf
)(
3
xf
……
)(
0
xf?
)(
1
xf?
)(
2
xf?
………
)(
0
2
xf?
)(
1
2
xf?
…………
)(
0
3
xf?
…………
…
2004-9-9 40
例题
已知函数
xy sin=
的如下函数值表,利用插值法计算
)42351.0sin(
的近似值,
x
0.4 0.5 0.6
xsin
0.38942 0.47943 0.56464
4.0
0
=x
,
1.0=h
,
2351.0
1.0
4.042351.0
0
=
=
=
h
xx
t
建立如下差分表
x
)sin( x 一阶差分 二阶差分
0.4
0.5
0.6
0.38942
0.47943
0.56464
0.09001
0.08521
00480.0?
利用插值公式,
)1(
!2
)(
!1
)(
)()(
0
2
0
002
+
+=+ tt
xf
t
xf
xfthxN
解
2004-9-9 41
续
1)(0.23510.2351
2
0.00480
0.23510.090010.38942
(0.42351)N0.42351)sin(
2
××?×+=
≈
41101.0=
2004-9-9 42
3.5 Newton向后插值公式类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系：
k
n
k
knnn
hk
xf
xxxf
=
!
)(
],,,[
1
L
将插值节点从大到小排列，即
,,,2,,
021
nhxxhxxhxxx
nnnnnn
=?=?=
L
类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。
2004-9-9 43
4带导数的插值问题函数值{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
、导数值{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
′
互异节点{ }
n
i
i
x
0=
ni
xfxH
xfxH
iin
iin
,,2,1,0
)()(
)()(
/
12
12
L=
′
=
=
+
+
(1)
要求构造不超过
12 +n
次的多项式
)(
12
xH
n+
满足上述
22 +n
个插值条件
这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题
2004-9-9 44
4.1 辅助问题及Hermit插值设)(x
i
α是满足如下插值条件的12 +n次多项式
nj
x
x
ji
ijji
,,2,1,0
0)(
)(
'
L=
=
=
α
δα
设)(x
i
β是满足如下插值条件的12 +n次多项式
nj
x
x
ijji
ji
,,2,1,0
)(
0)(
'
L=
δ=β
=β
)()()()()(
00
12
xxfxxfxH
ii
n
i
ii
n
i
n
βα
′
Σ+Σ=
==
+
2004-9-9 45
4.2 辅助问题（1）的求解
nj
x
x
ji
ijji
,,2,1,0
0)(
)(
'
L=
=
=
α
δα
22
1
2
1
2
0
)()()()(,)(
niii
xxxxxxxxx
+?
LLα
)(
2
xl
i
)(
ii
BxA +
=)(x
i
α
()
=++=
=+=
0)(2)(
1)(
''
iiiiiiii
iiiii
xlBxAAx
BxAx
α
α
令
Σ+=?=
Σ?=?=
≠
=
≠
=
ki
n
ik
k
iiii
ki
n
ik
k
iii
xx
xxAB
xx
xlA
1
211
1
2)(2
0
0
'
得到
2004-9-9 46
（续）
Σ+=?=
Σ?=?=
≠
=
≠
=
ki
n
ik
k
iiii
ki
n
ik
k
iii
xx
xxAB
xx
xlA
1
211
1
2)(2
0
0
'
得到
)(
1
)(21)(
2
0
xl
xx
xxx
i
ki
n
ik
k
ii
Σ?+=α
≠
=
2004-9-9 47
nj
x
x
ijji
ji
,,2,1,0
)(
0)(
'
L=
δ=β
=β
4.3 辅助问题（2）的求解
)(
i
xx?
i
C
=)(x
i
β
)(
2
xl
i
[ ]
′
+=β )()()()(
22'
xlxxCxlCx
iiiiii
[ ] 1)()()()(
22'
=
′
+=
iiiiiiiiii
xlxxCxlCxβ令
)()()(
2
xlxxx
iii
=β
1=?
i
C
2004-9-9 48
4.4 Hermite插值问题解函数的存在惟一性
)()()()()(
00
12
xxfxxfxH
ii
n
i
ii
n
i
n
βα
′
Σ+Σ=
==
+
存在性：
次的多项式的不超过是均满足插值条件以及
12n
)(
~
)(
1212
+
++
xHxH
nn
惟一性：
=?
++
)(
~
)(
1212
xHxH
nn
0
22
1
2
0
)()()(
n
xxxxxx L
)(
~
)(
1212
xHxH
nn ++
≡
2004-9-9 49
4.5 误差估计定理2.4 设)(xf在],[ ba上有12 +n阶连续的导函数,)(
)22(
xf
n+
在
),( ba内存在,)(
12
xH
n+
是)(xf关于互异节点{} ],[
0
bax
n
i
i
=
的满足插值条件(1)的不超过12 +n次的插值多项式.
则对任意],[ bax∈存在着),()( bax ∈=ξξ使得如下插值误差估计成立
)(
)!22(
)(
)()()(
2
1
)22(
1212
x
n
f
xHxfxR
n
n
nn +
+
++
+
=?= ω
ξ
.
)()()()(
2
112
xxkxHxf
nn ++
=? ω
分析：
n
ii
xx
0
}{
=
)()()()()(
2
112
txktHtftg
nn ++
= ω
2004-9-9 50
)()()()()(
2
112
txktHtftg
nn ++
= ω
n
ii
xx
0
}{
=
（续）
零点（从小到大）
函数
n
x
1?n
x
n
ξ
1?n
x
n
x
x
0
x
1
x
2
x
0
ξ
1
ξ
2
ξ
0
x
1
x
2
x
……
)(tg
)(tg
′
……
)(tg
′′
至少2n+1个零点
……
)!22)(()()(
)22()22(
+?=
++
nxktftg
nn
)(
)22(
tg
n+
至少1个零点ξ
)!22(
)(
)(
)22(
+
=
+
n
f
xk
n
ξ
2004-9-9 51
4.6 带不完全导数的插值问题举例例2.4 建立插值多项式)(
3
xH,使之满足插值条件
′
=
==
)()(
2,1,0)()(
00
'
3
3
xfxH
ixfxH
ii
.
分析（方法1）：
))(](,,[)](,[)()(
1021001002
xxxxxxxfxxxxfxfxN+?+=
))()(()()(
21023
xxxxxxkxNxH+=
kxfxH )()(
00
'
3
求得参数令
′
=
))(()(
!4
)(
)()(
21
2
0
)4(
3
xxxxxx
f
xHxf=?
ξ
误差：
2004-9-9 52
（续1）
方法2：（用带有重节点的差商表）
],[
],[
],[
21
10
00
xxf
xxf
xxf
)(
0
xf
′
],,[
],,[
210
100
xxxf
xxxf
2
1
0
0
x
x
x
x
)(
)(
)(
)(
2
1
0
0
xf
xf
xf
xf
],,,[
2100
xxxxf
))()(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
1002100
0010000003
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxH
+
+?+=
2004-9-9 53
一个类似问题举例（续2）
2
1
1
0
x
x
x
x
)(
)(
)(
)(
2
1
1
0
xf
xf
xf
xf
],[
],[
],[
21
11
10
xxf
xxf
xxf
],,[
],,[
211
110
xxxf
xxxf
)(
1
xf
′
],,,[
2110
xxxxf
))()(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
1102110
1011001003
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxH
+
+?+=
2004-9-9 54
三、分段插值法
3.1 高次插值的评述在实际应用中,很少采用高次插值。
①.在两相邻插值节点间,插值函数未必能够很好地近似被插值函数。
②.对于等距节点的牛顿插值公式,函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化.
2004-9-9 55
高次插值的评述(续)
（1）.函数在区间[-5,5]上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例,在区间上分别采用10
次、15次、20次的等距节点插值多项式。
随着插值次数的提高,在范围内的近似程度并没有变好,反而变坏,高次插值并不一定带来更好的近似效果,
2
1
1
)(
x
xf
+
=
63.3>x
2004-9-9 56
高次插值的评述(续)
(a)
2004-9-9 57
高次插值的评述(续)
(b) (c)
函数的等距节点插值公式在区间[0,5]上的近似程度示意图
)/(
2
11 xy +=
],[ 55?∈x
)(xp
n
2004-9-9 58
高次插值的评述(续)
（2）高次多项式插值的稳定性
。
ε
对于一组节点由函数值以及近似值以某种方法构造出的插值多项式分别记为和.如果对任意正数存在不依赖于的正数,使得当时有,则称该插值方法是数值稳定的,否则就是不稳定的.
{ }
n
i
i
x
0=
{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
{ }
n
i
i
xf
0
*
)(
=
)( xp
n
)(
*
xp
n
n
δ
δ≤?
≤≤
)()(max
*
1
ii
ni
xfxf
ε≤?
≤≤
)()(max
*
xpxp
nn
bxa
2004-9-9 59
高次插值的评述(续)
),,1,0()()(
*
nixfxf
iii
L=+= δ设由和构造出的插值多项式分别记为和,于是有
{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
{ }
n
i
i
xf
0
*
)(
=
)(xL
n
)(
*
xL
n
)()()()()()(
*
00
*
xlxfxlxfxLxL
ii
n
i
ii
n
i
nn
Σ?Σ=?
)(
0
xl
ii
n
i
δ
=
Σ=
{ }
n
i
i
0=
δ
插值多项式的扰动就是由节点函数值扰动得到的插值多项式,因而函数插值的稳定性转化为分析扰动关于节点的高阶差商的大小。
{ }
n
i
i
x
0=
2004-9-9 60
高次插值的评述(续)
k
x
当节点是等距分布时,只需分析的高阶差分,
设在节点处有,其它节点处的扰动均为零,
{ }
n
i
i
0=
δ
δ=? )()(
*
kk
xfxf
知高次插值法不稳定。
L+?
+?+=?
2
00
*
!2
)1(
)()(
onn
tt
xLxL δδδ由及
2004-9-9 61
3.2分段插值设已知节点上的函数值若满足
n
ii
x
0
}{
=
n
ii
y
0
}{
=
)(x
h
.,,1,0)(,niyx
iih
L==?①
.)()1,,1,0](,[.
1
是低次多项式上，在②xnixx
hii
=
+
L
则称为分段插值函数。
)(x
h
是整体插值区间上的连续函数,随着子区间长度变小,不提高子区间上的插值幂次便可以满足给定的任意精度要求.但一般说来,在子区间的端点处导数是不存在的,
)(x
n
h
2004-9-9 62
1 等距节点分段二次插值的误差估计设f(x)在插值区间[a,b] 上具有三阶连续的导函数,将
[a,b]均分成n个子区间,记，区间端点为
n
ab
h
=
{}.
0
n
i
i
ihax
=
+=
))((
))((
)(
))((
))((
)(
))((
))((
)()(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
11
1
1
1
1
1
)(
2
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
=
i
iii
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xfxp
],[
1+
∈
ii
xxx
若在每个子区间上采用二次的等距节值,
插值节点为、和,插值多项式
],[
1+ii
xx
)(
)(
2
xp
i
i
x
2
2
1
h
i
i
xx +=
+
1+i
x
2004-9-9 63
等距节点分段二次插值的误差估计（续）
设,上式可简化为
)11(
2
2
1
≤≤?+=
+
ssxx
h
i
)()(
2
)(
2
)(
2
2
1
h
i
ii
sxpxp +=
+
2/)1()()1)(1)((2/)1()(
1
2
1
++?+=
+
+
ssxfssxfssxf
i
i
i
子区间上的插值余项
],[
1+ii
xx
))()((
!3
)(
)()()(
1
)(
2
)(
2
2
1
+
+
ξ
′′′
=?=
i
i
i
i
ii
xxxxxx
f
xpxfxR
11,
8
)1()1(
!3
)(
1
3
≤≤?<<?+
′′′
=
+
sxx
h
sss
f
iii
i
ξ
ξ
2004-9-9 64
等距节点分段二次插值的误差估计（续）
设,3
],[
)(max Mxf
bax
=
′′′
∈
)1()1(max
48
)1()1(
48
)(
11
3
3
3
3
)(
2
+≤?+≤
≤≤?
sss
hM
sss
hM
xR
s
i
9
32
48
3
3
hM
=
由于这一估计与无关,对有
i
],[ bax∈?
9
32
48
)()(
3
3
hM
xxf
h
≤
2004-9-9 65
等距节点分段二次插值的误差估计（续）
对任意近似精度要求,可解得
0>ε
3
3
6
5
32
M
h
ε
≤
h当趋于零时,分段插值函数在整体插值区间上一致地收敛到被插值函数.
)(x
h
],[ ba
)( xf
2004-9-9 66
2 分段二次插值多项式的基表示对于定义如下分段二次函数1,,2,1,0?= ni L
∈
=?
+
+
+
++
+
+
],[0
],[
))((
))((
)(
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
ii
ii
i
i
i
i
ii
i
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
∈
∈
=?
+?
+
+
+
+
+
],[ 0
],[
))((
))((
],[
))((
))((
)(
11
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ii
ii
ii
i
i
i
i
ii
ii
i
i
i
i
i
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
x
0≠i
2004-9-9 67
分段二次插值多项式的基表示（续）
∈
=?
],[0
],[
))((
))((
)(
10
10
100
1
0
2
1
2
1
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
∈
=?
],[0
],[
))((
))((
)(
1
1
1
1
2
1
2
1
nn
nn
nn
n
n
n
n
n
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
关于节点的分段二次插值多项式有如下基表示:
n
kk
x
2
02/
}{
=
)()()(
2/2/
2
0
xxfx
kk
n
k
h
Σ=?
=
2004-9-9 68
分段二次插值多项式的基表示（续）
是关于节点的分段二次插值基函数,图形如下所示：
n
kk
x
2
02/
)}({
=
n
kk
x
2
02/
}{
=
分段二次插值基函数示意图
2004-9-9 69
3.3三次样条插值分段插值法具有一致的收敛性,它只保证插值函数整体的连续性,但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的要求。
早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的三次样条插值曲线。
2004-9-9 70
1 样条插值的定义
①.在小区间上是不超过m次的多项式.
),,2,1(],[
1
nixx
ii
L=
②.在节点处具有阶连续的导数;
则称S(x)是关于分划的次样条函数.
)1,,2,1(?= nix
i
L
1?m
m
定义给定区间的一个分划
],[ ba
bxxxxa
nn
=<<<<=?
110
,L
若实值函数S(x)满足若还满足
③.,则称S(x)是f(x)关于分划的
m次样条插值函数。
),,2,1,0()()( nixfxs
ii
L==
2004-9-9 71
样条插值的定义（续）
三次样条插值函数在每一个小区间上是不超过3次的多项式,在整个插值区间上有4n个系数,
且有4n-2个约束,
)(xs
内节点
1,,2,1
)0()0(
)0()0(
)()0()0(
=
+
′′
=?
′′
+
′
=?
′
=+=?
ni
xsxs
xsxs
xfxsxs
ii
ii
iii
L
=?
=+
)()0(
)()0(
00
nn
xfxs
xfxs
边界节点
2004-9-9 72
样条插值的定义（续）
要确定4n个系数，还需附加2个约束条件,常用的约束条件有以下三类：
nn
mxsmxs =?
′
=+
′
)0(,)0(
00
①.转角边界条件
)()(
0 n
xfxf =
此时一般有成立.
′′
=+
′′
′
=+
′
)0()0(
)0()0(
0
0
n
n
xsxs
xsxs
③.周期性边界条件,
0)0(,0)0(
0
=?
′′
=+
′′
n
xsxs
nn
MxsMxs =?
′′
=+
′′
)0(,)0(
00
②.弯矩边界条件特别的称为自然边界条件.
2004-9-9 73
2 三弯矩构造法记,基本步骤如下：
),,2,1,0()( niMxs
ii
L==
′′
①.取为待定参数，并用S(x)的插值条件写出的表达式。
)1,,2,1(?= niM
i
L
i
M
②.用在内节点的连续条件及边界条件导出关于的方程组。
)(' xS
)1,,2,1(?= nix
i
L
i
M
③.求解后得到。)1,,2,1(?= niM
i
L
④.代入S(x)的表达式，得各个区间上的表达式。
2004-9-9 74
三弯矩构造法（续）
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
ii
i
i
h
xx
M
h
xx
M
xx
xx
M
xx
xx
Mxs
1
1
1
1
1
1
)(
+
=
+
=
′′
由
],[
1 ii
xxx
∈
式中。
1?
=
iii
xxh
对积分两次,并利用插值条件,
确定两个积分常数,得到
)(xs
′′
)()(
11
=
ii
xfxs
)()(
ii
xfxs =
i
iii
i
i
iii
i
i
i
i
i
i
i
h
xxhM
xf
h
xxhM
xf
h
xx
M
h
xx
Mxs
1
2
2
1
1
3
1
3
1
6
)(
6
)(
6
)(
6
)(
)(
+
+
+
=
2004-9-9 75
三弯矩构造法（续）
计算
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
h
MM
h
xfxf
h
xx
M
h
xx
Mxs
6
)()(
2
)(
2
)(
)(
1
1
2
1
2
1
+
+
=
′
],[
1 ii
xxx
∈
],[
63
)0(
11 iii
i
i
i
i
xxfM
h
M
h
xs
++=?
′
],[
63
)0(
111 iii
i
i
i
i
xxfM
h
M
h
xs
+=+
′
],[
63
)0(
11
11
++
++
+=+
′
iii
i
i
i
i
xxfM
h
M
h
xs
类似可以得到
2004-9-9 76
三弯矩构造法（续）
令,有)0()0( +
′
=?
′
ii
xsxs
],[],[
636
111
11
1 iiiii
i
i
ii
i
i
xxfxxfM
h
M
hh
M
h
++
++
=+
+
+
1
6
+
+
ii
hh
两边同乘以,得
],,[62
1111 +?+?
=++
iiiiiiii
xxxfMMM μλ
)1,,2,1(?= ni L
式中,,
1+
+
=
ii
i
i
hh
h
λ
1
1
+
+
+
=
ii
i
i
hh
h
μ
2004-9-9 77
三弯矩构造法（续）
若附加弯矩约束条件,得
=
nnnnnnn
n
Mxxxf
xxxf
xxxf
Mxxxf
M
M
M
M
112
432
321
01210
1
3
2
1
1
2
3
22
1
],,[6
],,[6
],,[6
],,[6
2
2
2
2
μ
λ
λ
μ
λ
μλ
μ
LLLLLMOO
O
系数矩阵严格对角占优,故系数矩阵非奇异,上述线性方程组有唯一解，可用追赶法求解。将解带回到子区间上的表达式中（用二阶导表示），即有s(x)在每个区间上的表达式。
2004-9-9 78
三弯矩构造法（续）
若附加转角边界条件,得线性方程组为
1
010
10
],[
62
h
mxxf
MM
=+
n
nn
nn
h
xxfm
MM
,[
62
1
1
=+
=
μλ
μλ
μλ
n
nnn
nnn
n
nnn
h
xxfm
xxxf
xxxf
xxxf
h
mxxf
M
M
M
M
M
],[
],,[
],,[
],,[
],[
6
21
2
2
2
12
1
12
321
210
1
010
1
2
1
0
11
22
11
LMOOO
n
]
2004-9-9 79
三弯矩构造法（续）
对于周期性边界条件,得：
=
=+++
n
nnn
n
n
n
MM
xxfxxfM
h
M
h
M
h
M
h
0
11011
1
0
1
],[],[
3663
即
=
+
=++
n
n
nn
n
MM
hh
xxfxxf
MMM
0
1
110
10100
],[],[
62 μλ
式中,,
n
hh
h
+
=
1
1
0
λ
n
n
hh
h
+
=
1
0
μ
2004-9-9 80
三弯矩构造法（续）
线性方程组为:
+
=
λμ
μλ
μλ
μλ
μλ
],,[
],,[
],,[
],,[
],[],[
6
2
2
2
2
2
12
123
321
210
1
110
1
2
2
1
0
11
22
22
11
00
nnn
nnn
n
nn
n
n
nn
nn
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
hh
xxfxxf
M
M
M
M
M
L
MOOO
将当作已知参数,从后个方程中求解出用表示的后个参数,然后将它们代入第一个方程解得,最终得到其它参数,
0
M
1?n
0
M
1?n
0
M
2004-9-9 81
3.样条插值函数的收敛性对于转角边界条件、弯矩边界条件、周期性边界条件的三次样条插值函数是存在惟一的。三次样条插值函数对被插值函数的逼近也是收敛的、数值稳定的。
由于误差估计与收敛性的证明比较复杂，下面仅仅给出结论。
2004-9-9 82
误差估计定理
],[ ba
定理设在上连续,为满足转角边界条件(或弯矩边界条件)的三次样条插值函数,则对任意有如下估计
)(
)4(
xf
)( xs
],[ bax ∈
4
4
384
5
)()( hMxsxf ≤?
3
4
24
1
)()( hMxsxf ≤
′
′
2
4
8
1
)()( hMxsxf ≤
′′
′′ hMxsxf
4
1
2
)()(
+
≤
′′′
′′′
ββ
)(max
)4(
],[
4
xfM
bax∈
=
,
min
max
1
1
i
ni
i
ni
h
h
≤≤
≤≤
=β
,)(maxmax
1
11
≤≤≤≤
==
ii
ni
i
ni
xxhh
其中
2004-9-9 83
误差估计定理的意义该定理说明，三次样条插值函数对函数及其一二阶导数的逼近与分化比β无关，而对三阶导数的逼近与分化比有关。当时，三次样条函数及其一二阶导数在区间[a,b]上一致收敛到函数
f(x)及其相应导数。三阶导数的收敛性还要求分化比β介于两正常数之间，即分化要均匀一些。
0→h
2004-9-9 84
极值性质
)(xs
],[ ba
定理设上有分划,
是一组插值数据,
是关于分划满足该组插值数据的三次样条插值函数,是满足该组插值数据的具有二阶连续导函数的插值函数,则有
bxxxxa
nn
=<<<<=?
110
,L
{})(),(),(,),(),(
010 nn
xfxfxfxfxf
′′
L
)(x?
[] []
∫∫
′′
≤
′′
b
a
b
a
dxxdxxs
22
)()(?
且仅当时等号成立,
)()( xsx ≡?
2004-9-9 85
极值性质证明证明：
[][][]
[]
∫
∫∫∫
′′′′
′′
′′
′′
=
′′
′′
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxsxsx
dxxsdxxdxxsx
)()()(2
)()()()(
222
而[] []
∫∫
′′′′
′′
Σ=
′′′′
′′
=
i
i
x
x
n
i
b
a
dxxsxsxdxxsxsx
1
)()()()()()(
1
()[][]{ }
∫
′′′′
′
′′′
′
Σ=
=
i
i
i
i
x
x
x
x
n
i
dxxsxsxxsxsx
1
1
)()()()()()(
1
∑
∫
=
=
n
i
x
x
i
i
xsxdxs
1
1
))(')('()("?
2004-9-9 86
极值性质证明（续）
)(")](')('[)(")](')('[
)(")](')('[
)(")](')('[)(")](')('[
)(")](')('[)(")](')('[
)()](')('[)](")(')('[(
000
111
111
222000
111
1
1
xsxsxxsxsx
xsxsx
xsxsxxsxsx
xsxsxxsxsx
xsxsxxsxsx
nnn
nnn
nnn
x
x
n
i
i
i
=
++
+
′′
=?
=
∑
L
)(')(')(')(')(')('
000 nnn
xfxsxxfxsx ====注意：
2004-9-9 87
极值性质证明（续）
∫
b
a
dxxsxsx )(")](")("[?
[]
∫
′
′
+
′′′
Σ?=
=
i
i
x
x
ii
n
i
dxxsx
xx
s
1
)()()
2
(
1
1
[]0)()()
2
(
1
1
1
=?
+
′′′
Σ?=
=
i
i
x
x
ii
n
i
xsx
xx
s?
得到[] [] [ ]
∫∫∫
′′
′′
′′
=
′′
b
a
b
a
b
a
dxxsxdxxdxxs
222
)()()()(
2004-9-9 88
极值性质证明（续）
等号成立的充分必要条件是
[] 0)()(0)()(
2
=
′′
′′
=
′′
′′
∫
xsxdxxsx
b
a
)()(
)()()(
)()()(
)()(
01
xsx
bsbfb
asafa
CxCxsx
=?
==
==
++=
取,得
)()( xfx =?
[] []
∫∫
′′
≤
′′
b
a
b
a
dxxfdxxs
22
)()(
2004-9-9 89
样条插值函数的收敛性（续）
[][]
∫∫
′′
′′
≤
′′
′′
b
a
b
a
dxxsxfdxxsxf
22
)(
~
)()()(
)(
~
xs
)(xs
)(xf
定理2.7设被插值函数在区间上具有二阶连续的导函数,是上述定理中关于分划的满足转角边界条件的三次样条插值函数,关于分划的任意三次样条函数，则有
],[ ba
Remark：这一定理反映了三次样条插值函数的能量极小性质。特别地，若被插值函数f (x)在[a,b]上有二阶连续的导数，取，由定理可得
)()( xfx =?
∫∫
′′
≤
′′
b
a
b
a
dxxfdxxs
22
)]([)]([
第二章函数插值
null问题提出
1函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多点处的函数值
2 仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值
……
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式,
2004-9-9 2
内容提要
null插值问题
null插值多项式的构造方法
null分段插值法
2004-9-9 3
一、插值问题
1,定义已知定义于
],[ ba
上的函数
)(xf
在
1+n
个互异节点
{} ],[
0
bax
n
i
i
=
处的函数值
{}
n
i
i
xf
0
)(
=
,
若函数族
Φ
中的函数
)(x?
满足条件
nixfx
ii
,,1,0),()( L==?
（1）
则称
)(x?
为
)(xf
在
Φ
中关于节点
{}
n
i
i
x
0=
的一个插值函数。
)(xf
——被插值函数；
],[ ba
——插值区间；
{}
n
i
i
x
0=
——插值节点； 式（1）——插值条件,
2004-9-9 4
2,几何意义、内插法、外插法
n
ii
xM
0
}max{
~
=
=
内插外插
n
ii
xm
0
}min{
~
=
=
]
~
,
~
[],[ Mmxbutbax?∈
]
~
,
~
[ Mmx∈
2004-9-9 5
3.多项式插值问题
null对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题
null当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值;
null当Φ为一些有理分式集合时：有理插值；
null当Φ为一些多项式集合时：多项式插值特别的取
Φ
=
{ }
n
n
xxx,,,,1span
2
L
=P
,即
{}niRaxaxaxaaxx
i
n
nn
≤≤∈++++== 0,,)()(
2
210
LP
2004-9-9 6
4,存在惟一性
null分析对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
=
)(
)(
)(
)(
1
1
1
2
1
0
2
1
0
2
1
2
11
0
2
00
nn
n
nnn
n
n
xf
xf
xf
xf
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
MM
L
LLLLL
L
L
定理1(存在惟一性)满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在惟一的.
2004-9-9 7
5,误差估计
null引理已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函数，且在
（a,b）上存在m阶导数。若它在该区间上有m+1个零点，
则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。
ξ
ηηη
ξξξξ
)(
)(
)(
)(
)(
230
1210
1210
xf
xf
xf
xxxxxxf
m
mm
mm
mm
LL
L
L
L
′′
′
null 插值余项：
)()()( xxfxR
n
=
2004-9-9 8
误差估计(续1)
null分析：
nixxfxR
iii
,,2,1,0,0)()()( L==?=?
)())(()()()()()()(
1011 nnn
xxxxxxxxxkxxfxR==?=?
++
Lωω?
)()()()()(
1
txkttftg
n+
= ω?
当
x
为某一插值节点时,对函数
)(xk
无约束；
当点
x
与插值节点
n
ii
x
0
}{
=互不相同时，构造以t为新自变量的函数
)(tg
在区间
],[ ba
上的
2+n
个互异零点：
x
、
n
ii
x
0
}{
=
当
)(tg
充分光滑时，
)(
)1(
tg
n+
在开区间
),( ba
内至少存在一个零点ξ
)!1(
)(
)(
0)(
)()!1()()(
)1(
)1(
)1()1(
+
=?
=
+?=
+
+
++
n
f
xk
g
xkntftg
n
n
nn
ξ
ξ
2004-9-9 9
误差估计(续2)
定理2 (误差估计) 设
)(
)(
xf
n
在
],[ ba
上连续,
)(
)1(
xf
n+
在
),( ba
内存在,
)( x?
是满足插值条件(1)的不超过
n
次的插值多项式,则对任意
],[ bax ∈
,存在
),()( bax ∈=ξξ
,使得
)(
)!1(
)(
)()()(
1
)1(
x
n
f
xxfxR
n
n
n +
+
+
=?= ω
ξ
成立,式中
)()(
0
1 i
n
i
n
xxx?Π=
=
+
ω
,
进而当
)(
)1(
xf
n+
在区间
),( ba
有上界
1+n
M
时,有
)(
!)1(
)(
1
1
x
n
M
xR
n
n
n +
+
ω
+
≤
,
2004-9-9 10
Remark
null Remark1 插值误差与节点
{}
n
i
i
x
0=
和点
x
之间的距离有关,
节点距离
x
越近,插值误差一般情况下越小,
null Remark2 若被插值函数
)(xf
本身就是不超过
n
次的多项式,则有
)()( xxf?≡
,
nullRemark3 可以通过求解线性方程组得到插值多项式
2004-9-9 11
二、插值多项式的构造方法
null由于插值多项式的存在惟一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。
null内容提要
null Lagrange插值法
null Newton插值法
null等距节点插值公式
null带导数的插值问题
2004-9-9 12
1,Lagrange 方法
1.1 辅助问题构造不超过
n
次的插值多项式
)(xl
i
,使之满足插值条件
=
≠
=
==
nj
ij
ij
xl
jiji
,,2,1,0,
0
1
)( Lδ
)())(())((
)())(())((
)(
1110
1110
niiiiiii
nii
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xl
=
+?
+?
LL
LL
)()(
)(
'
1
1
ini
n
xxx
x
+
+
=
ω
ω
2004-9-9 13
1.1 辅助问题
)())((
)())((
)(
02010
21
0
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xl
=
L
L
)())((
)())((
)(
12101
20
1
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xl
=
L
L
)())((
)())((
)(
110
110
=
nnnn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xl
L
L
………
称
n
次插值多项式
)(
0
xl
、
)(
1
xl
、…、
)(xl
n
为关于节点
{}
n
i
i
x
0=
的拉格朗日插值基函数,这些基函数仅依赖于插值节点
{}
n
i
i
x
0=
,
2004-9-9 14
1.2 Lagrange型插值公式
∑∑
=
+
+
=
==
n
i
ini
n
i
n
i
iin
xxx
x
xfxlxfxL
0
'
1
1
0
)()(
)(
)()()()(
ω
ω
上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件，
因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange
插值多项式。
)(
)!1(
)(
)()()(
1
)1(
x
n
f
xLxfxR
n
n
nn +
+
+
=?= ω
ξ
)(
)!1(
)()()(
1
1
x
n
M
xLxfxR
n
n
nn +
+
ω
+
≤?=
2004-9-9 15
已知
3)5.0(,2)0(,1)1(,2)2( ===?=? ffff
,试选用合适的插值节点，
通过二次插值多项式计算
)5.0(?f
的近似值,使之精度尽可能高,
例题解 依据误差估计式,选
5.0,0,1
210
==?= xxx
为插值节点
拉格朗日插值基函数为,
)5.0(
3
2
)5.01)(01(
)5.0)(0(
)(
0
=
= xx
xx
xl
)5.0)(1(2
)5.00)(10(
)5.0)(1(
)(
1
+?=
+
+
= xx
xx
xl
)1(
3
4
)05.0)(15.0(
)0)(1(
)(
2
+=
+
+
= xx
xx
xl
二次插值多项式为
)()()()()()()(
2211002
xlxfxlxfxlxfxL ++=
)(3)(2)(
210
xlxlxl ++=
3/4)5.0(3)5.0(2)5.0(1)5.0()5.0(
2102
=?×+?×+?×=?≈? lllLf
2004-9-9 16
1.3 反插值法已知单调连续函数
)(xfy =
在如下采样点处的函数值
i
x
1.0 1.4 1.8 2.0
)(
ii
xfy =
2.0?0.8 0.4 1.2
求方程
0)( =xf
在
]2,1[
内根的近似值
*
x
,使误差尽可能小
分析
i
y
2.0?0.8 0.4 1.2 0
ii
xyf =
)(
1
1.0 1.4 1.8 2.0？
2004-9-9 17
解 对
)(xfy =
的反函数
)(
1
yfx
=
进行三次插值,
插值多项式为
问题求解
))()((
))()((
)()(
302010
321
0
1
3
yyyyyy
yyyyyy
yfyL
=
))()((
))()((
)(
312101
320
1
1
yyyyyy
yyyyyy
yf
+
))()((
))()((
)(
321202
310
2
1
yyyyyy
yyyyyy
yf
+
))()((
))()((
)(
231303
210
3
1
yyyyyy
yyyyyy
yf
+
32
01302.003125.03271.0675.1 yyy+=
于是有
675.1)0()0(
3
1*
=≈=
Lfx
2004-9-9 18
单值性条件不可缺少用反插值法时必须满足单值性条件
2004-9-9 19
2,Newton插值法
null Lagrange 插值公式的特点：
null形式对称
null通常用于理论分析
null当增加插值节点时，在计算实践中不方便
)
~
()(
00
xlxfAA +? )
~
()(
11
xlxfAA +?0?A
)
~
()( xlxfAA
nn
+?LL
分析分析
Ln+1(x) 与与
Ln(x) 差别差别
2004-9-9 20
2.1 Lagrange插值多项式间的关系
≤≤=
≤≤=
10)()(
0)()(
1
kixfxL
kixfxL
iik
iik
=?
)()(
1
xLxL
kk
)())((
110?
k
xxxxxx L
=
=
+?
+?
=
∑
)())(())((
)())(())((
)(
)()()(
1110
1110
0
kiiiiiii
kii
i
k
i
iik
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xl
xlxfxL
LL
LL
A
)())(()(
)(
110
0
kiiiiii
i
k
i
xxxxxxxx
xf
A
Σ=
+?
=
LL
)(
)(
'
1
0
ik
i
k
i
x
xf
+
=
Σ=
ω
A是L
k
(x)的首项系数。
2004-9-9 21
2.2 Newton型插值公式
)(],,,[)()(
101
xxxxfxLxL
kkkk
ωL+=
)(
)(
],,,[
'
1
0
10
ik
i
k
i
k
x
xf
xxxf
+
=
Σ=
ω
L
)())(()(
110?
=
kk
xxxxxxx Lω
)(],[)()(
11001
xxxfxLxL ω+= )(],[)(
1100
xxxfxf ω+=
)(],,[)()(
221012
xxxxfxLxL ω+=
)(],,[)(],[)(
22101100
xxxxfxxxfxf ωω ++=
……………
)(],,,[)()(
101
xxxxfxLxL
nnnn
ωL+=
)(],,,[
)(],,[)(],[)(
10
22101100
xxxxf
xxxxfxxxfxf
nn
ω
ωω
LL ++
+++=
2004-9-9 22
Newton插值公式（续）
)(
)())(](,,,[
))(](,,[)](,[)(
)(],,,[
)(],,[)(],[)()(
11010
102100100
10
22101100
xN
xxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxf
xxxxf
xxxxfxxxfxfxL
n
nn
nn
n
=
++
++?+=
++
+++=
LLL
LL ω
ωω
Newton插值公式的关键是计算其系数,
],,,[
10 k
xxxf L
)(
)(
'
1
0
ik
i
k
i
x
xf
+
=
Σ=
ω
k=1,2,…,n
2004-9-9 23
)())(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
11010
102100100
++
++?+=
nn
n
xxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxN
LLL
2.3 差商的另一种计算方法性质
],,,[
10 k
xxxf L
与节点
0
x
、
1
x
、…、
k
x
的次序无关。
)())(()(
)(
],,,[
110
0
10
kiiiiii
i
k
i
k
xxxxxxxx
xf
xxxf
Σ=
+?
=
LL
L
K=1:
01
01
11
01
10
)()(
)(
)()(
],[
xx
xfxf
x
xfxN
xxf
n
=
=
ω
10
10
)()(
xx
xfxf
=
ji
xx
xfxf
xxf
ji
ji
ji
≠
=
)()(
],[
2004-9-9 24
)())(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
11010
102100100
++
++?+=
nn
n
xxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxN
LLL
计算方法(续1)
))((
)](,[)()(
],,[
1202
021002
210
xxxx
xxxxfxfxf
xxxf
=
K=2:
=
12
1020
],[],[
xx
xxfxxf
))((
)](,[)](,[)()(
1202
1210011002
xxxx
xxxxfxxxxfxfxf
=
))((
)](,[)()(
1202
121012
xxxx
xxxxfxfxf
=
02
1012
],[],[
xx
xxfxxf
=
20
2110
],[],[
xx
xxfxxf
=
2004-9-9 25
计算方法(续2)
ki
kjji
kji
xx
xxfxxf
xxxf
=
],[],[
],,[
i,j,k互不相同一般地，K阶差商：
k
kk
k
xx
xxxfxxxf
xxxf
=
0
21110
10
],,,[],,,[
],,,[
LL
L
2004-9-9 26
差商表
x
)(xf
一阶差商 二阶差商 三阶差商 …
0
x
1
x
2
x
3
x
…
)(
0
xf
)(
1
xf
)(
2
xf
)(
3
xf
…
],[
10
xxf
],[
21
xxf
],[
32
xxf
………
],,[
210
xxxf
],,[
321
xxxf
…………
],,,[
3210
xxxxf
……………
…
2004-9-9 27
2.3 误差估计
如果f(x)充分光滑，则有估计
)(
)!1(
)(
)()()(
1
)1(
x
n
f
xNxfxR
n
n
nn +
+
+
=?= ω
ξ
)(
)!1(
)()()(
1
1
x
n
M
xNxfxR
n
n
nn +
+
+
≤?= ω
不足：
null对函数的光滑性要求高；
导数型误差估计
null需估计导函数的最值；
null偏保守。
2004-9-9 28
误差估计（续）
假设x与
n
ii
x
0
}{
=
互异,
)(
1
tN
n+
是以x和
n
ii
x
0
}{
=
为插值节点的不超过
1+n
次的插值多项式,
)(],,,,[)()(
1101
txxxxftNtN
nnnn ++
ω+= L
)()(
1
xfxN
n
=
+
)(],,,,[)()(
110
xxxxxfxNxf
nnn +
+= ωL
差商型误差估计
=?= )()()( xNxfxR
nn
)(],,,,[
110
xxxxxf
nn +
ωL
!
)(
],,,[
)(
10
k
f
xxxf
k
k
ξ
=L
导数和差商的关系
2004-9-9 29
差商型误差估计特点
null对被插值函数光滑性要求不高；不适用于实际计算。
例已知
xxf sin)( =
的如下函数值表,
x
1.0
1.5 2.0
xsin
0.8415 0.9975 0.9093
请用二次插值多项式计算
8.1sin
的近似值
)8.1(
2
N
。
2004-9-9 30
例题求解解1）建立差商表
1.0
1.5
2.0
0.8415
0.9975
0.9093
0.312
-0.1764
-0.4884
2）插值
973884.0)5.18.1()0.18.1(4884.0
)0.18.1(312.08415.0)8.1(
2
=?×?×?
×+=N
#
2004-9-9 31
3,等距节点插值公式
当节点等距分布时简化Newton插值公式
ihax
i
+=
),,1,0( ni L=
0>
=
n
ab
h
,
简记t
fthaf =+ )(
,
例 ii
fxf =)(
,
2
1
)(
2
+
=+
i
h
i
fxf
,
2
1
)(
2
=?
i
h
i
fxf
,
2004-9-9 32
3.1 常用算子定义
null恒等算子
()
=
=
)()(
)()(
1
xfIIxfI
xfxIf
mm
)()( xfxfI
s
=
移位算子移位算子
+=
+=
)()(
)()(
shxfxfE
hxfxEf
s
2
1
2
1
+
=
i
i
ffE
1+
=
ii
fEf
1
1
=
ii
ffE
2004-9-9 33
向前差分算子
()
=?
+=?
)()(
)()()(
1
xfxf
xfhxfxf
mm
010
fff?=?
012010
2
2 ffffff +?==?
IE?=?
IEE
IEIEIE
+?=
+?=?=?
2
2)(
2
2222
2004-9-9 34
向后差分算子
()
=?
=?
)()(
)()()(
1
xfxf
hxfxfxf
mm 1?
=?
nnn
fff
211
2
2
+?==?
nnnnnn
ffffff
1?
=? EI
21212
2)(
+?=?=? EEIEI
2004-9-9 35
中心差分算子
()
δδ=δ
+=δ
)()(
)()()(
1
22
xfxf
xfxfxf
mm
hh
2
5
2
7
2
1
2
1
33
3
fffff?=?=
+
δ
2343
2
2
2
5
2
7
ffffff +?=?= δδδ
2/12/1?
= EEδ
2004-9-9 36
3.2 差分与差商之间的关系
h
xf
=
1
)(
0
01
01
10
)()(
],[
xx
xfxf
xxf
=
20
2110
210
],[],[
],,[
xx
xxfxxf
xxxf
=
h
xf
xx
xfxf
xxf
i
ii
ii
ii
=
=
+
+
+
1
)()()(
],[
1
1
1
h
h
xf
h
xf
=
2
1
)(
1
)(
10
2
0
2
!2
)(
h
xf
=
一般地
2004-9-9 37
（续）
k
k
k
hk
xf
xxxf
=
!
)(
],,,[
0
10
L
一般地
}?
!
)(
],,,[
10
k
f
xxxf
k
k
ξ
=L
差分与导数的关系
)()(
)(
0
ξ
kkk
fhxf?=?
2004-9-9 38
3.3 Newton向前插值公式记x=a+th，x-xi=(t-i)h
)(],,,[)()(
10
1
0
xxxxfxfthaN
kk
n
k
n
ωL
=
Σ+=+
Π
Σ+=
==
)(
!
)(
)(
1
0
0
1
0
ith
hk
xf
xf
k
i
k
k
k
n
k
)1()1(
)())(()(
110
+=
=
kttth
xxxxxxx
k
kk
L
Lω
)1()1(
!
)(
)(
0
1
0
+
Σ+=
=
kttt
k
xf
xf
k
n
k
L
2004-9-9 39
3.4 差分表
x
)(xf
一阶差分 二阶差分 三阶差分 …
0
x
1
x
2
x
3
x
…
)(
0
xf
)(
1
xf
)(
2
xf
)(
3
xf
……
)(
0
xf?
)(
1
xf?
)(
2
xf?
………
)(
0
2
xf?
)(
1
2
xf?
…………
)(
0
3
xf?
…………
…
2004-9-9 40
例题
已知函数
xy sin=
的如下函数值表,利用插值法计算
)42351.0sin(
的近似值,
x
0.4 0.5 0.6
xsin
0.38942 0.47943 0.56464
4.0
0
=x
,
1.0=h
,
2351.0
1.0
4.042351.0
0
=
=
=
h
xx
t
建立如下差分表
x
)sin( x 一阶差分 二阶差分
0.4
0.5
0.6
0.38942
0.47943
0.56464
0.09001
0.08521
00480.0?
利用插值公式,
)1(
!2
)(
!1
)(
)()(
0
2
0
002
+
+=+ tt
xf
t
xf
xfthxN
解
2004-9-9 41
续
1)(0.23510.2351
2
0.00480
0.23510.090010.38942
(0.42351)N0.42351)sin(
2
××?×+=
≈
41101.0=
2004-9-9 42
3.5 Newton向后插值公式类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系：
k
n
k
knnn
hk
xf
xxxf
=
!
)(
],,,[
1
L
将插值节点从大到小排列，即
,,,2,,
021
nhxxhxxhxxx
nnnnnn
=?=?=
L
类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。
2004-9-9 43
4带导数的插值问题函数值{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
、导数值{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
′
互异节点{ }
n
i
i
x
0=
ni
xfxH
xfxH
iin
iin
,,2,1,0
)()(
)()(
/
12
12
L=
′
=
=
+
+
(1)
要求构造不超过
12 +n
次的多项式
)(
12
xH
n+
满足上述
22 +n
个插值条件
这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题
2004-9-9 44
4.1 辅助问题及Hermit插值设)(x
i
α是满足如下插值条件的12 +n次多项式
nj
x
x
ji
ijji
,,2,1,0
0)(
)(
'
L=
=
=
α
δα
设)(x
i
β是满足如下插值条件的12 +n次多项式
nj
x
x
ijji
ji
,,2,1,0
)(
0)(
'
L=
δ=β
=β
)()()()()(
00
12
xxfxxfxH
ii
n
i
ii
n
i
n
βα
′
Σ+Σ=
==
+
2004-9-9 45
4.2 辅助问题（1）的求解
nj
x
x
ji
ijji
,,2,1,0
0)(
)(
'
L=
=
=
α
δα
22
1
2
1
2
0
)()()()(,)(
niii
xxxxxxxxx
+?
LLα
)(
2
xl
i
)(
ii
BxA +
=)(x
i
α
()
=++=
=+=
0)(2)(
1)(
''
iiiiiiii
iiiii
xlBxAAx
BxAx
α
α
令
Σ+=?=
Σ?=?=
≠
=
≠
=
ki
n
ik
k
iiii
ki
n
ik
k
iii
xx
xxAB
xx
xlA
1
211
1
2)(2
0
0
'
得到
2004-9-9 46
（续）
Σ+=?=
Σ?=?=
≠
=
≠
=
ki
n
ik
k
iiii
ki
n
ik
k
iii
xx
xxAB
xx
xlA
1
211
1
2)(2
0
0
'
得到
)(
1
)(21)(
2
0
xl
xx
xxx
i
ki
n
ik
k
ii
Σ?+=α
≠
=
2004-9-9 47
nj
x
x
ijji
ji
,,2,1,0
)(
0)(
'
L=
δ=β
=β
4.3 辅助问题（2）的求解
)(
i
xx?
i
C
=)(x
i
β
)(
2
xl
i
[ ]
′
+=β )()()()(
22'
xlxxCxlCx
iiiiii
[ ] 1)()()()(
22'
=
′
+=
iiiiiiiiii
xlxxCxlCxβ令
)()()(
2
xlxxx
iii
=β
1=?
i
C
2004-9-9 48
4.4 Hermite插值问题解函数的存在惟一性
)()()()()(
00
12
xxfxxfxH
ii
n
i
ii
n
i
n
βα
′
Σ+Σ=
==
+
存在性：
次的多项式的不超过是均满足插值条件以及
12n
)(
~
)(
1212
+
++
xHxH
nn
惟一性：
=?
++
)(
~
)(
1212
xHxH
nn
0
22
1
2
0
)()()(
n
xxxxxx L
)(
~
)(
1212
xHxH
nn ++
≡
2004-9-9 49
4.5 误差估计定理2.4 设)(xf在],[ ba上有12 +n阶连续的导函数,)(
)22(
xf
n+
在
),( ba内存在,)(
12
xH
n+
是)(xf关于互异节点{} ],[
0
bax
n
i
i
=
的满足插值条件(1)的不超过12 +n次的插值多项式.
则对任意],[ bax∈存在着),()( bax ∈=ξξ使得如下插值误差估计成立
)(
)!22(
)(
)()()(
2
1
)22(
1212
x
n
f
xHxfxR
n
n
nn +
+
++
+
=?= ω
ξ
.
)()()()(
2
112
xxkxHxf
nn ++
=? ω
分析：
n
ii
xx
0
}{
=
)()()()()(
2
112
txktHtftg
nn ++
= ω
2004-9-9 50
)()()()()(
2
112
txktHtftg
nn ++
= ω
n
ii
xx
0
}{
=
（续）
零点（从小到大）
函数
n
x
1?n
x
n
ξ
1?n
x
n
x
x
0
x
1
x
2
x
0
ξ
1
ξ
2
ξ
0
x
1
x
2
x
……
)(tg
)(tg
′
……
)(tg
′′
至少2n+1个零点
……
)!22)(()()(
)22()22(
+?=
++
nxktftg
nn
)(
)22(
tg
n+
至少1个零点ξ
)!22(
)(
)(
)22(
+
=
+
n
f
xk
n
ξ
2004-9-9 51
4.6 带不完全导数的插值问题举例例2.4 建立插值多项式)(
3
xH,使之满足插值条件
′
=
==
)()(
2,1,0)()(
00
'
3
3
xfxH
ixfxH
ii
.
分析（方法1）：
))(](,,[)](,[)()(
1021001002
xxxxxxxfxxxxfxfxN+?+=
))()(()()(
21023
xxxxxxkxNxH+=
kxfxH )()(
00
'
3
求得参数令
′
=
))(()(
!4
)(
)()(
21
2
0
)4(
3
xxxxxx
f
xHxf=?
ξ
误差：
2004-9-9 52
（续1）
方法2：（用带有重节点的差商表）
],[
],[
],[
21
10
00
xxf
xxf
xxf
)(
0
xf
′
],,[
],,[
210
100
xxxf
xxxf
2
1
0
0
x
x
x
x
)(
)(
)(
)(
2
1
0
0
xf
xf
xf
xf
],,,[
2100
xxxxf
))()(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
1002100
0010000003
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxH
+
+?+=
2004-9-9 53
一个类似问题举例（续2）
2
1
1
0
x
x
x
x
)(
)(
)(
)(
2
1
1
0
xf
xf
xf
xf
],[
],[
],[
21
11
10
xxf
xxf
xxf
],,[
],,[
211
110
xxxf
xxxf
)(
1
xf
′
],,,[
2110
xxxxf
))()(](,,,[
))(](,,[)](,[)()(
1102110
1011001003
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxH
+
+?+=
2004-9-9 54
三、分段插值法
3.1 高次插值的评述在实际应用中,很少采用高次插值。
①.在两相邻插值节点间,插值函数未必能够很好地近似被插值函数。
②.对于等距节点的牛顿插值公式,函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化.
2004-9-9 55
高次插值的评述(续)
（1）.函数在区间[-5,5]上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例,在区间上分别采用10
次、15次、20次的等距节点插值多项式。
随着插值次数的提高,在范围内的近似程度并没有变好,反而变坏,高次插值并不一定带来更好的近似效果,
2
1
1
)(
x
xf
+
=
63.3>x
2004-9-9 56
高次插值的评述(续)
(a)
2004-9-9 57
高次插值的评述(续)
(b) (c)
函数的等距节点插值公式在区间[0,5]上的近似程度示意图
)/(
2
11 xy +=
],[ 55?∈x
)(xp
n
2004-9-9 58
高次插值的评述(续)
（2）高次多项式插值的稳定性
。
ε
对于一组节点由函数值以及近似值以某种方法构造出的插值多项式分别记为和.如果对任意正数存在不依赖于的正数,使得当时有,则称该插值方法是数值稳定的,否则就是不稳定的.
{ }
n
i
i
x
0=
{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
{ }
n
i
i
xf
0
*
)(
=
)( xp
n
)(
*
xp
n
n
δ
δ≤?
≤≤
)()(max
*
1
ii
ni
xfxf
ε≤?
≤≤
)()(max
*
xpxp
nn
bxa
2004-9-9 59
高次插值的评述(续)
),,1,0()()(
*
nixfxf
iii
L=+= δ设由和构造出的插值多项式分别记为和,于是有
{ }
n
i
i
xf
0
)(
=
{ }
n
i
i
xf
0
*
)(
=
)(xL
n
)(
*
xL
n
)()()()()()(
*
00
*
xlxfxlxfxLxL
ii
n
i
ii
n
i
nn
Σ?Σ=?
)(
0
xl
ii
n
i
δ
=
Σ=
{ }
n
i
i
0=
δ
插值多项式的扰动就是由节点函数值扰动得到的插值多项式,因而函数插值的稳定性转化为分析扰动关于节点的高阶差商的大小。
{ }
n
i
i
x
0=
2004-9-9 60
高次插值的评述(续)
k
x
当节点是等距分布时,只需分析的高阶差分,
设在节点处有,其它节点处的扰动均为零,
{ }
n
i
i
0=
δ
δ=? )()(
*
kk
xfxf
知高次插值法不稳定。
L+?
+?+=?
2
00
*
!2
)1(
)()(
onn
tt
xLxL δδδ由及
2004-9-9 61
3.2分段插值设已知节点上的函数值若满足
n
ii
x
0
}{
=
n
ii
y
0
}{
=
)(x
h
.,,1,0)(,niyx
iih
L==?①
.)()1,,1,0](,[.
1
是低次多项式上，在②xnixx
hii
=
+
L
则称为分段插值函数。
)(x
h
是整体插值区间上的连续函数,随着子区间长度变小,不提高子区间上的插值幂次便可以满足给定的任意精度要求.但一般说来,在子区间的端点处导数是不存在的,
)(x
n
h
2004-9-9 62
1 等距节点分段二次插值的误差估计设f(x)在插值区间[a,b] 上具有三阶连续的导函数,将
[a,b]均分成n个子区间,记，区间端点为
n
ab
h
=
{}.
0
n
i
i
ihax
=
+=
))((
))((
)(
))((
))((
)(
))((
))((
)()(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
11
1
1
1
1
1
)(
2
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
=
i
iii
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xfxp
],[
1+
∈
ii
xxx
若在每个子区间上采用二次的等距节值,
插值节点为、和,插值多项式
],[
1+ii
xx
)(
)(
2
xp
i
i
x
2
2
1
h
i
i
xx +=
+
1+i
x
2004-9-9 63
等距节点分段二次插值的误差估计（续）
设,上式可简化为
)11(
2
2
1
≤≤?+=
+
ssxx
h
i
)()(
2
)(
2
)(
2
2
1
h
i
ii
sxpxp +=
+
2/)1()()1)(1)((2/)1()(
1
2
1
++?+=
+
+
ssxfssxfssxf
i
i
i
子区间上的插值余项
],[
1+ii
xx
))()((
!3
)(
)()()(
1
)(
2
)(
2
2
1
+
+
ξ
′′′
=?=
i
i
i
i
ii
xxxxxx
f
xpxfxR
11,
8
)1()1(
!3
)(
1
3
≤≤?<<?+
′′′
=
+
sxx
h
sss
f
iii
i
ξ
ξ
2004-9-9 64
等距节点分段二次插值的误差估计（续）
设,3
],[
)(max Mxf
bax
=
′′′
∈
)1()1(max
48
)1()1(
48
)(
11
3
3
3
3
)(
2
+≤?+≤
≤≤?
sss
hM
sss
hM
xR
s
i
9
32
48
3
3
hM
=
由于这一估计与无关,对有
i
],[ bax∈?
9
32
48
)()(
3
3
hM
xxf
h
≤
2004-9-9 65
等距节点分段二次插值的误差估计（续）
对任意近似精度要求,可解得
0>ε
3
3
6
5
32
M
h
ε
≤
h当趋于零时,分段插值函数在整体插值区间上一致地收敛到被插值函数.
)(x
h
],[ ba
)( xf
2004-9-9 66
2 分段二次插值多项式的基表示对于定义如下分段二次函数1,,2,1,0?= ni L
∈
=?
+
+
+
++
+
+
],[0
],[
))((
))((
)(
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
ii
ii
i
i
i
i
ii
i
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
∈
∈
=?
+?
+
+
+
+
+
],[ 0
],[
))((
))((
],[
))((
))((
)(
11
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ii
ii
ii
i
i
i
i
ii
ii
i
i
i
i
i
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
x
0≠i
2004-9-9 67
分段二次插值多项式的基表示（续）
∈
=?
],[0
],[
))((
))((
)(
10
10
100
1
0
2
1
2
1
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
∈
=?
],[0
],[
))((
))((
)(
1
1
1
1
2
1
2
1
nn
nn
nn
n
n
n
n
n
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
关于节点的分段二次插值多项式有如下基表示:
n
kk
x
2
02/
}{
=
)()()(
2/2/
2
0
xxfx
kk
n
k
h
Σ=?
=
2004-9-9 68
分段二次插值多项式的基表示（续）
是关于节点的分段二次插值基函数,图形如下所示：
n
kk
x
2
02/
)}({
=
n
kk
x
2
02/
}{
=
分段二次插值基函数示意图
2004-9-9 69
3.3三次样条插值分段插值法具有一致的收敛性,它只保证插值函数整体的连续性,但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的要求。
早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的三次样条插值曲线。
2004-9-9 70
1 样条插值的定义
①.在小区间上是不超过m次的多项式.
),,2,1(],[
1
nixx
ii
L=
②.在节点处具有阶连续的导数;
则称S(x)是关于分划的次样条函数.
)1,,2,1(?= nix
i
L
1?m
m
定义给定区间的一个分划
],[ ba
bxxxxa
nn
=<<<<=?
110
,L
若实值函数S(x)满足若还满足
③.,则称S(x)是f(x)关于分划的
m次样条插值函数。
),,2,1,0()()( nixfxs
ii
L==
2004-9-9 71
样条插值的定义（续）
三次样条插值函数在每一个小区间上是不超过3次的多项式,在整个插值区间上有4n个系数,
且有4n-2个约束,
)(xs
内节点
1,,2,1
)0()0(
)0()0(
)()0()0(
=
+
′′
=?
′′
+
′
=?
′
=+=?
ni
xsxs
xsxs
xfxsxs
ii
ii
iii
L
=?
=+
)()0(
)()0(
00
nn
xfxs
xfxs
边界节点
2004-9-9 72
样条插值的定义（续）
要确定4n个系数，还需附加2个约束条件,常用的约束条件有以下三类：
nn
mxsmxs =?
′
=+
′
)0(,)0(
00
①.转角边界条件
)()(
0 n
xfxf =
此时一般有成立.
′′
=+
′′
′
=+
′
)0()0(
)0()0(
0
0
n
n
xsxs
xsxs
③.周期性边界条件,
0)0(,0)0(
0
=?
′′
=+
′′
n
xsxs
nn
MxsMxs =?
′′
=+
′′
)0(,)0(
00
②.弯矩边界条件特别的称为自然边界条件.
2004-9-9 73
2 三弯矩构造法记,基本步骤如下：
),,2,1,0()( niMxs
ii
L==
′′
①.取为待定参数，并用S(x)的插值条件写出的表达式。
)1,,2,1(?= niM
i
L
i
M
②.用在内节点的连续条件及边界条件导出关于的方程组。
)(' xS
)1,,2,1(?= nix
i
L
i
M
③.求解后得到。)1,,2,1(?= niM
i
L
④.代入S(x)的表达式，得各个区间上的表达式。
2004-9-9 74
三弯矩构造法（续）
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
ii
i
i
h
xx
M
h
xx
M
xx
xx
M
xx
xx
Mxs
1
1
1
1
1
1
)(
+
=
+
=
′′
由
],[
1 ii
xxx
∈
式中。
1?
=
iii
xxh
对积分两次,并利用插值条件,
确定两个积分常数,得到
)(xs
′′
)()(
11
=
ii
xfxs
)()(
ii
xfxs =
i
iii
i
i
iii
i
i
i
i
i
i
i
h
xxhM
xf
h
xxhM
xf
h
xx
M
h
xx
Mxs
1
2
2
1
1
3
1
3
1
6
)(
6
)(
6
)(
6
)(
)(
+
+
+
=
2004-9-9 75
三弯矩构造法（续）
计算
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
h
MM
h
xfxf
h
xx
M
h
xx
Mxs
6
)()(
2
)(
2
)(
)(
1
1
2
1
2
1
+
+
=
′
],[
1 ii
xxx
∈
],[
63
)0(
11 iii
i
i
i
i
xxfM
h
M
h
xs
++=?
′
],[
63
)0(
111 iii
i
i
i
i
xxfM
h
M
h
xs
+=+
′
],[
63
)0(
11
11
++
++
+=+
′
iii
i
i
i
i
xxfM
h
M
h
xs
类似可以得到
2004-9-9 76
三弯矩构造法（续）
令,有)0()0( +
′
=?
′
ii
xsxs
],[],[
636
111
11
1 iiiii
i
i
ii
i
i
xxfxxfM
h
M
hh
M
h
++
++
=+
+
+
1
6
+
+
ii
hh
两边同乘以,得
],,[62
1111 +?+?
=++
iiiiiiii
xxxfMMM μλ
)1,,2,1(?= ni L
式中,,
1+
+
=
ii
i
i
hh
h
λ
1
1
+
+
+
=
ii
i
i
hh
h
μ
2004-9-9 77
三弯矩构造法（续）
若附加弯矩约束条件,得
=
nnnnnnn
n
Mxxxf
xxxf
xxxf
Mxxxf
M
M
M
M
112
432
321
01210
1
3
2
1
1
2
3
22
1
],,[6
],,[6
],,[6
],,[6
2
2
2
2
μ
λ
λ
μ
λ
μλ
μ
LLLLLMOO
O
系数矩阵严格对角占优,故系数矩阵非奇异,上述线性方程组有唯一解，可用追赶法求解。将解带回到子区间上的表达式中（用二阶导表示），即有s(x)在每个区间上的表达式。
2004-9-9 78
三弯矩构造法（续）
若附加转角边界条件,得线性方程组为
1
010
10
],[
62
h
mxxf
MM
=+
n
nn
nn
h
xxfm
MM
,[
62
1
1
=+
=
μλ
μλ
μλ
n
nnn
nnn
n
nnn
h
xxfm
xxxf
xxxf
xxxf
h
mxxf
M
M
M
M
M
],[
],,[
],,[
],,[
],[
6
21
2
2
2
12
1
12
321
210
1
010
1
2
1
0
11
22
11
LMOOO
n
]
2004-9-9 79
三弯矩构造法（续）
对于周期性边界条件,得：
=
=+++
n
nnn
n
n
n
MM
xxfxxfM
h
M
h
M
h
M
h
0
11011
1
0
1
],[],[
3663
即
=
+
=++
n
n
nn
n
MM
hh
xxfxxf
MMM
0
1
110
10100
],[],[
62 μλ
式中,,
n
hh
h
+
=
1
1
0
λ
n
n
hh
h
+
=
1
0
μ
2004-9-9 80
三弯矩构造法（续）
线性方程组为:
+
=
λμ
μλ
μλ
μλ
μλ
],,[
],,[
],,[
],,[
],[],[
6
2
2
2
2
2
12
123
321
210
1
110
1
2
2
1
0
11
22
22
11
00
nnn
nnn
n
nn
n
n
nn
nn
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
hh
xxfxxf
M
M
M
M
M
L
MOOO
将当作已知参数,从后个方程中求解出用表示的后个参数,然后将它们代入第一个方程解得,最终得到其它参数,
0
M
1?n
0
M
1?n
0
M
2004-9-9 81
3.样条插值函数的收敛性对于转角边界条件、弯矩边界条件、周期性边界条件的三次样条插值函数是存在惟一的。三次样条插值函数对被插值函数的逼近也是收敛的、数值稳定的。
由于误差估计与收敛性的证明比较复杂，下面仅仅给出结论。
2004-9-9 82
误差估计定理
],[ ba
定理设在上连续,为满足转角边界条件(或弯矩边界条件)的三次样条插值函数,则对任意有如下估计
)(
)4(
xf
)( xs
],[ bax ∈
4
4
384
5
)()( hMxsxf ≤?
3
4
24
1
)()( hMxsxf ≤
′
′
2
4
8
1
)()( hMxsxf ≤
′′
′′ hMxsxf
4
1
2
)()(
+
≤
′′′
′′′
ββ
)(max
)4(
],[
4
xfM
bax∈
=
,
min
max
1
1
i
ni
i
ni
h
h
≤≤
≤≤
=β
,)(maxmax
1
11
≤≤≤≤
==
ii
ni
i
ni
xxhh
其中
2004-9-9 83
误差估计定理的意义该定理说明，三次样条插值函数对函数及其一二阶导数的逼近与分化比β无关，而对三阶导数的逼近与分化比有关。当时，三次样条函数及其一二阶导数在区间[a,b]上一致收敛到函数
f(x)及其相应导数。三阶导数的收敛性还要求分化比β介于两正常数之间，即分化要均匀一些。
0→h
2004-9-9 84
极值性质
)(xs
],[ ba
定理设上有分划,
是一组插值数据,
是关于分划满足该组插值数据的三次样条插值函数,是满足该组插值数据的具有二阶连续导函数的插值函数,则有
bxxxxa
nn
=<<<<=?
110
,L
{})(),(),(,),(),(
010 nn
xfxfxfxfxf
′′
L
)(x?
[] []
∫∫
′′
≤
′′
b
a
b
a
dxxdxxs
22
)()(?
且仅当时等号成立,
)()( xsx ≡?
2004-9-9 85
极值性质证明证明：
[][][]
[]
∫
∫∫∫
′′′′
′′
′′
′′
=
′′
′′
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxsxsx
dxxsdxxdxxsx
)()()(2
)()()()(
222
而[] []
∫∫
′′′′
′′
Σ=
′′′′
′′
=
i
i
x
x
n
i
b
a
dxxsxsxdxxsxsx
1
)()()()()()(
1
()[][]{ }
∫
′′′′
′
′′′
′
Σ=
=
i
i
i
i
x
x
x
x
n
i
dxxsxsxxsxsx
1
1
)()()()()()(
1
∑
∫
=
=
n
i
x
x
i
i
xsxdxs
1
1
))(')('()("?
2004-9-9 86
极值性质证明（续）
)(")](')('[)(")](')('[
)(")](')('[
)(")](')('[)(")](')('[
)(")](')('[)(")](')('[
)()](')('[)](")(')('[(
000
111
111
222000
111
1
1
xsxsxxsxsx
xsxsx
xsxsxxsxsx
xsxsxxsxsx
xsxsxxsxsx
nnn
nnn
nnn
x
x
n
i
i
i
=
++
+
′′
=?
=
∑
L
)(')(')(')(')(')('
000 nnn
xfxsxxfxsx ====注意：
2004-9-9 87
极值性质证明（续）
∫
b
a
dxxsxsx )(")](")("[?
[]
∫
′
′
+
′′′
Σ?=
=
i
i
x
x
ii
n
i
dxxsx
xx
s
1
)()()
2
(
1
1
[]0)()()
2
(
1
1
1
=?
+
′′′
Σ?=
=
i
i
x
x
ii
n
i
xsx
xx
s?
得到[] [] [ ]
∫∫∫
′′
′′
′′
=
′′
b
a
b
a
b
a
dxxsxdxxdxxs
222
)()()()(
2004-9-9 88
极值性质证明（续）
等号成立的充分必要条件是
[] 0)()(0)()(
2
=
′′
′′
=
′′
′′
∫
xsxdxxsx
b
a
)()(
)()()(
)()()(
)()(
01
xsx
bsbfb
asafa
CxCxsx
=?
==
==
++=
取,得
)()( xfx =?
[] []
∫∫
′′
≤
′′
b
a
b
a
dxxfdxxs
22
)()(
2004-9-9 89
样条插值函数的收敛性（续）
[][]
∫∫
′′
′′
≤
′′
′′
b
a
b
a
dxxsxfdxxsxf
22
)(
~
)()()(
)(
~
xs
)(xs
)(xf
定理2.7设被插值函数在区间上具有二阶连续的导函数,是上述定理中关于分划的满足转角边界条件的三次样条插值函数,关于分划的任意三次样条函数，则有
],[ ba
Remark：这一定理反映了三次样条插值函数的能量极小性质。特别地，若被插值函数f (x)在[a,b]上有二阶连续的导数，取，由定理可得
)()( xfx =?
∫∫
′′
≤
′′
b
a
b
a
dxxfdxxs
22
)]([)]([
