计算机科学与技术学院数据库系统概论第五章 关系数据理论第五章 关系数据理论
5.1 问题的提出
5.2 规范化
5.3 数据依赖的公理系统
*5.4 模式的分解
5.5 小结
5.1 问题的提出关系数据库逻辑设计
针对具体问题,如何构造一个适合于它的数据模式,即应该构造几个关系模式,每个关系由哪些属性组成等 。
数据库逻辑设计的工具 ── 关系数据库的规范化理论问题的提出一、概念回顾二、关系模式的形式化定义三、什么是数据依赖四、关系模式的简化定义五、数据依赖对关系模式影响一、概念回顾
关系,描述实体、属性、实体间的联系。
从形式上看，它是一张二维表，是所涉及属性的笛卡尔积的一个子集。
关系模式,用来定义关系。
关系数据库,基于关系模型的数据库，利用关系来描述现实世界。
从形式上看，它由一组关系组成。
关系数据库的模式,定义这组关系的关系模式的全体。
二、关系模式的形式化定义关系模式由五部分组成，即它是一个五元组：
R(U,D,DOM,F)
R,关系名
U,组成该关系的属性名集合
D,属性组 U中属性所来自的域
DOM,属性向域的映象集合
F,属性间数据的依赖关系集合三、什么是数据依赖
1,完整性约束的表现形式
限定属性取值范围：例如学生成绩必须在 0-100之间
定义属性 值 间的相互关连（主要体现于值的 相等与否 ），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键什么是数据依赖（续）
2,数据依赖
是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系
是现实世界属性间相互联系的抽象
是数据内在的性质
是 语义 的体现什么是数据依赖（续）
3,数据依赖的类型
函数依赖（ Functional Dependency，简记为 FD）
多值依赖（ Multivalued Dependency，简记为 MVD）
其他四、关系模式的简化表示
● 关系模式 R（ U,D,DOM,F）
简化为一个三元组：
R（ U,F）
● 当且仅当 U上的一个关系 r 满足 F时,r称为关系 模式 R（ U,F）的一个 关系五,数据依赖对关系模式的影响例：描述学校的数据库：
学生的学号（ Sno）、所在系（ Sdept）
系主任姓名（ Mname）、课程名（ Cname）
成绩（ Grade）
单一 的关系模式,Student <U,F>
U ＝｛ Sno,Sdept,Mname,Cname,Grade ｝
数据依赖对关系模式的影响（续）
学校数据库的语义：
⒈ 一个系有若干学生,一个学生只属于一个系；
⒉ 一个系只有一名主任；
⒊ 一个学生可以选修多门课程,每门课程有若干学生选修；
⒋ 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。
数据依赖对关系模式的影响（续）
属性组 U上的一组函数依赖 F：
F ＝｛ Sno → Sdept,Sdept → Mname,
(Sno,Cname) → Grade ｝
Sno Cname
Sdept Mname
Grade
关系模式 Student<U,F>中存在的问题
⒈ 数据冗余太大
浪费大量的存储空间例：每一个系主任的姓名重复出现
⒉ 更新异常 （ Update Anomalies）
数据冗余,更新数据时，维护数据完整性代价大。
例：某系更换系主任后，系统必须修改与该系学生有关的每一个元组关系模式 Student<U,F>中存在的问题
⒊ 插入异常 （ Insertion Anomalies）
该插的数据插不进去例，如果一个系刚成立，尚无学生，我们就无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。
⒋ 删除异常 （ Deletion Anomalies）
不该删除的数据不得不删例，如果某个系的学生全部毕业了,我们在删除该系学生信息的同时，把这个系及其系主任的信息也丢掉了。
数据依赖对关系模式的影响（续）
结论：
Student关系模式不是一个好的模式。
,好,的模式：
不会发生插入异常、删除异常、更新异常，
数据冗余应尽可能少。
原因,由存在于模式中的 某些数据依赖 引起的解决方法,通过 分解 关系模式来消除其中不合适的数据依赖。
5.2 规范化规范化理论 正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，
以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。
5.2.1 函数依赖一、函数依赖二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖三、完全函数依赖与部分函数依赖四、传递函数依赖一、函数依赖定义 5.1 设 R(U)是一个属性集 U上的关系模式,X和 Y是 U的子集。
若对于 R(U)的 任意 一个可能的关系 r,r中不可能存在两个元组在 X上的属性值相等,而在 Y上的属性值不等,则称,X函数确定 Y” 或,Y函数依赖于 X”，记作 X→ Y。
X称为这个函数依赖的 决定属性集 (Determinant)。
Y=f(x)
函数依赖（续）
,X函数决定 Y” 或,Y函数依赖于 X”，记作 X→ Y。
如果 t和 s的 X值相同，则要求 t和 s的 Y值也相同；
如果 t和 s的 X值不相同，允许 t和 s的 Y值相同；
如果 t和 s的 Y值相同，则不允许 t和 s的 Y值相同；
即,X与 Y存在一对一，或多对一映射；
多个 FD组成的集合，称为：函数依赖集 (FD集 )，如,R中的 FD集 {A→ B,B→ C}。 ⊕
说明：
1,函数依赖不是指关系模式 R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指 R的 所有关系实例 均要满足的约束条件。
2,函数依赖是 语义范畴 的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。
例如,姓名 → 年龄,这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立
3,数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。例如规定不允许同名人出现，函数依赖,姓名 → 年龄,成立。所插入的元组必须满足规定的函数依赖，若发现有同名人存在，
则拒绝装入该元组。
函数依赖（续）
例,Student(Sno,Sname,Ssex,Sage,Sdept)
假设不允许重名，则有,
Sno → Ssex,Sno → Sage,Sno → Sdept，
Sno ←→ Sname,Sname → Ssex,Sname → Sage
Sname → Sdept
但 Ssex → Sage
若 X→ Y，并且 Y→ X,则记为 X←→ Y。
若 Y不函数依赖于 X,则记为 X─→ Y。
二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖在关系模式 R(U)中，对于 U的子集 X和 Y，
如果 X→ Y，但 Y? X，则称 X→ Y是 非平凡的函数依赖若 X→ Y，但 Y? X,则称 X→ Y是 平凡的函数依赖例：在关系 SC(Sno,Cno,Grade)中，
非平凡函数依赖,(Sno,Cno) → Grade
平凡函数依赖,(Sno,Cno) → Sno
(Sno,Cno) → Cno
平凡函数依赖与非平凡函数依赖（续）
于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明,我们总是讨论非平凡函数依赖 。
三、完全函数依赖与部分函数依赖定义 5.2 在关系模式 R(U)中，如果 X→ Y，并且对于
X的任何一个真子集 X’，都有
X’ Y,则称 Y完全函数依赖于 X，记作 X ｆ Y。
若 X→ Y，但 Y不完全函数依赖于 X，则称 Y部分函数依赖 于 X，记作 X P Y。
完全函数依赖与部分函数依赖（续）
例,在关系 SC(Sno,Cno,Grade)中，
由于,Sno → Grade,Cno → Grade，
因此,(Sno,Cno) ｆ Grade
四、传递函数依赖定义 5.3 在关系模式 R(U)中，如果 X→ Y,Y→ X，
且 Y?X,Y→ Z，则称 Z传递函数依赖 于 X。
注,如果 Y→ X,即 X←→ Y，则 Z直接依赖 于 X。
例,在关系 Std(Sno,Sdept,Mname)中，有：
Sno → Sdept,Sdept → Mname
Mname传递函数依赖于 Sno
5.2.2 码定义 5.4 设 K为关系模式 R<U,F>中的属性或属性组合。
若 K ｆ U，则 K称为 R的一个 侯选码 （ Candidate
Key）。若关系模式 R有多个候选码，则选定其中的一个做为 主码 （ Primary key）。
主属性与非主属性
ALL KEY
5.2.2 码包含在任何一个候选码中的属性，叫做 主属性
(Prime attribute).不包含在任何码中的属性称为 非主属性 (Nonprime attribute)或 非码属性 (Non-key attribute)。
最简单的情况，单个属性是码。最极端的情况，
整个属性组是码，称为 全码 (All-key)。
外部码定义 5.5 关系模式 R 中属性或属性组 X
并非 R 的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是 R 的 外部码（ Foreign
key） 也称 外码
主码又和外部码一起提供了表示关系间联系的手段 。
5.2.3 范式
范式是符合某一种级别的关系模式的集合。
关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式。
范式的种类：
第一范式 (1NF)
第二范式 (2NF)
第三范式 (3NF)
BC范式 (BCNF)
第四范式 (4NF)
第五范式 (5NF)
5.2.3 范式
各种范式之间存在联系：
某一关系模式 R为第 n范式，可简记为 R? nNF。
NF5NF4BC N FNF3NF2NF1
5.2.3 范式一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，
这种过程就叫 规范化 。
5.2.4 2NF
1NF的定义如果一个关系模式 R的所有属性都是 不可分的基本数据项,则 R? 1NF。
第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。
但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。
2NF
例,关系模式 SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)
Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。
码为 (Sno,Cno)
函数依赖包括：
(Sno,Cno) f Grade
Sno → Sdept
(Sno,Cno) P Sdept
Sno → Sloc
(Sno,Cno) P Sloc
Sdept → Sloc
2NF
SLC的码为 (Sno,Cno)
SLC满足第一范式。
非主属性 Sdept和 Sloc部分函数依赖于码 (Sno,Cno)
Sno
Cno
Grade
Sdept
Sloc
SLC
SLC不是一个好的关系模式
(1) 插入异常假设 Sno＝ 95102,Sdept＝ IS,Sloc＝ N的学生还未选课，因课程号是主属性，因此该学生的信息无法插入 SLC。
(2) 删除异常假定某个学生本来只选修了 3号课程这一门课。现在因身体不适，他连 3号课程也不选修了。因课程号是主属性，此操作将导致该学生信息的整个元组都要删除。
SLC不是一个好的关系模式
(3) 数据冗余度大如果一个学生选修了 10门课程，那么他的 Sdept和
Sloc值就要重复存储了 10次。
(4) 修改复杂例如学生转系，在修改此学生元组的 Sdept值的同时，还可能需要修改住处（ Sloc）。如果这个学生选修了 K门课，则必须无遗漏地修改 K个元组中全部
Sdept,Sloc信息。
2NF
原因
Sdept,Sloc部分函数依赖于码。
解决方法
SLC分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖
SC（ Sno,Cno,Grade）
SL（ Sno,Sdept,Sloc）
2NF
SLC的码为 (Sno,Cno)
SLC满足第一范式。
非主属性 Sdept和 Sloc部分函数依赖于码 (Sno,Cno)
Sno
Cno
Grade
Sdept
Sloc
SLC
2NF
函数依赖图,
Sno
Cno
Grade
SC SL
Sno
Sdept
Sloc
2NF
2NF的定义定义 5.6 若关系模式 R? 1NF，并且每一个 非主 属性都 完全 函数依赖于 R的码，则 R? 2NF。
例,SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)? 1NF
SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)? 2NF
SC（ Sno,Cno,Grade）? 2NF
SL（ Sno,Sdept,Sloc）? 2NF
第二范式（续）
采用投影分解法将一个 1NF的关系分解为多个
2NF的关系，可以在一定程度上减轻原 1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。
将一个 1NF关系分解为多个 2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。
5.2.5 3NF
例,2NF关系模式 SL(Sno,Sdept,Sloc)中
函数依赖：
Sno→ Sdept
Sdept→ Sloc
Sno→ Sloc
Sloc传递函数依赖于 Sno，即 SL中存在非主属性对码的传递函数依赖。
3NF
函数依赖图,
SL
Sno
Sdept
Sloc
3NF
解决方法采用投影分解法，把 SL分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：
SD（ Sno,Sdept）
DL（ Sdept,Sloc）
SD的码为 Sno,DL的码为 Sdept。
3NF
SD的码为 Sno,DL的码为 Sdept。
Sno Sdept
SD
Sdept Sloc
DL
3NF
3NF的定义定义 5.8 关系模式 R<U,F> 中若不存在这样的码 X、属性组 Y及 非主属性 Z（ Z? Y）,使得
X→ Y,Y → X,Y→ Z，成立，则称 R<U,F>
3NF。
例,SL(Sno,Sdept,Sloc)? 2NF
SL(Sno,Sdept,Sloc)? 3NF
SD（ Sno,Sdept）? 3NF
DL（ Sdept,Sloc）? 3NF
3NF
若 R? 3NF，则 R的每一个 非主属性 既不部分函数依赖于候选码也不传递函数依赖于候选码。
如果 R? 3NF，则 R也是 2NF。
采用投影分解法将一个 2NF的关系分解为多个 3NF的关系，可以在一定程度上解决原 2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。
将一个 2NF关系分解为多个 3NF的关系后，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。
5.2.6 BC范式（ BCNF）
定义 5.9 设关系模式 R<U,F>? 1NF，如果对于 R的 每个函数依赖 X→ Y，若 Y不属于 X，则 X必含有码，那么 R? BCNF。
若 R? BCNF
每一个决定属性集（因素）都包含（候选）码
R中的所有属性（主，非主属性）都完全函数依赖于码
R? 3NF（证明）
若 R? 3NF 则 R不一定? BCNF
BCNF
例：在关系模式 STJ（ S,T,J）中,S表示学生，
T表示教师,J表示课程。
每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称,
(S,J)→ T,(S,T)→ J,T→ J
5.2.6 BCNF
S
J
T
S
T
J
STJ
BCNF
STJ? 3NF
(S,J)和 (S,T)都可以作为候选码
S,T,J都是主属性
STJ? BCNF
T→ J,T是决定属性集,T不是候选码
BCNF
解决方法：将 STJ分解为二个关系模式：
SJ(S,J)? BCNF,TJ(T,J)? BCNF
没有 任何属性 对码的部分函数依赖和传递函数依赖
S J
ST
T J
TJ
3NF与 BCNF的关系
如果关系模式 R? BCNF，
必定有 R? 3NF
如果 R? 3NF，且 R只有一个候选码，
则 R必属于 BCNF。
BCNF的关系模式所具有的性质
⒈ 所有 非主属性 都完全函数依赖于每个候选码
⒉ 所有 主属性 都完全函数依赖于每个不包含它的候选码
⒊ 没有任何属性完全函数依赖于 非码 的任何一组属性
5.2.5 多值依赖与第四范式（ 4NF）
例,学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。
关系模式 Teaching(C,T,B)
课程 C、教师 T 和 参考书 B
……
…
课 程 C 教 员 T 参 考 书 B
物理数学计算数学李 勇王 军李 勇张 平张 平周 峰普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数数学分析表 5.1
普通物理学光学原理物理习题集普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数数学分析微分方程高等代数
…
李 勇李 勇李 勇王 军王 军王 军李 勇李 勇李 勇张 平张 平张 平
…
物 理物 理物 理物 理物 理物 理数 学数 学数 学数 学数 学数 学
…
参考书 B教员 T课程 C
用二维表表示 Teaching
多值依赖与第四范式（续）
Teaching? BCNF:
Teach具有唯一候选码 (C,T,B),即全码
Teaching模式中存在的问题
(1)数据冗余度大：有多少名任课教师，参考书就要存储多少次多值依赖与第四范式（续）
(2)插入操作复杂：当某一课程增加一名任课教师时，
该课程有多少本参照书，就必须插入多少个元组例如物理课增加一名教师刘关，需要插入两个元组：
（物理，刘关，普通物理学）
（物理，刘关，光学原理）
多值依赖与第四范式（续）
(3) 删除操作复杂：某一门课要去掉一本参考书，该课程有多少名教师，就必须删除多少个元组
(4) 修改操作复杂：某一门课要修改一本参考书，该课程有多少名教师，就必须修改多少个元组
产生原因存在多值依赖一、多值依赖
定义 5.10
设 R(U)是一个属性集 U上的一个关系模式,X,Y和 Z是 U的子集，
并且 Z＝ U－ X－ Y,多值依赖 X→→ Y成立当且仅当对 R的 任一关系 r,r在（ X,Z）上的每个值对应一组 Y的值，这组值仅仅决定于 X值而与 Z值无关例 Teaching（ C,T,B）
对于 C的每一个值,T有一组值与之对应，而不论 B取何值一、多值依赖
在 R（ U）的任一关系 r中，如果存在元组 t,s 使得 t[X]=s[X]，那么就必然存在元组 w,v? r，（ w,v可以与 s,t相同），使得
w[X]=v[X]=t[X]，而 w[Y]=t[Y],w[Z]=s[Z],v[Y]=s[Y],v[Z]=t[Z]
（即交换 s,t元组的 Y值所得的两个新元组必在 r中），则 Y多值依赖于 X，记为 X→→ Y。 这里,X,Y是 U的子集,Z=U-X-Y。
t x y1 z2
s x y2 z1
w x y1 z1
v x y2 z2
多值依赖（续）
平凡多值依赖和非平凡的多值依赖
若 X→→ Y，而 Z＝ φ，则称
X→→ Y为 平凡的多值依赖
否则称 X→→ Y为 非平凡的多值依赖多值依赖的性质
（ 1）多值依赖具有对称性若 X→→ Y，则 X→→ Z，其中 Z＝ U－ X－ Y
多值依赖的对称性可以用完全二分图直观地表示出来。
（ 2）多值依赖具有传递性若 X→→ Y,Y→→ Z,则 X→→ Z -Y
多值依赖的对称性
Xi
Zi1 Zi2 … Zim
Yi1 Yi2 … Yin
多值依赖的对称性物理普通物理学 光学原理 物理习题集李勇 王军多值依赖（续）
（ 3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。
若 X→ Y，则 X→→ Y。
（ 4）若 X→→ Y,X→→ Z，则 X→→ Y? Z。
（ 5）若 X→→ Y,X→→ Z，则 X→→ Y∩ Z。
（ 6）若 X→→ Y,X→→ Z，则 X→→ Y-Z，
X→→ Z -Y。
多值依赖与函数依赖的区别
(1) 有效性
多值依赖的有效性与属性集的范围有关若 X→→ Y在 U上成立，则在 W（ X Y? W? U）上一定成立；反之则不然，即 X→→ Y在 W（ W? U）上成立，在 U上并不一定成立
多值依赖的定义中不仅涉及属性组 X和 Y，而且涉及 U中其余属性 Z。
一般地，在 R（ U）上若有 X→→ Y在 W（ W? U）
上成立，则称 X→→ Y为 R（ U）的嵌入型多值依赖多值依赖与函数依赖的区别
只要在 R（ U）的任何一个关系 r中，元组在 X和
Y上的值满足定义 5.l（函数依赖），
则函数依赖 X→ Y在任何属性集 W（ X Y? W
U）上成立 。
多值依赖（续）
(2)
若函数依赖 X→ Y在 R（ U）上成立，则对于任何 Y'? Y均有 X→ Y' 成立
多值依赖 X→→ Y若在 R(U)上成立，不能断言对于任何 Y'? Y有 X→→ Y' 成立二、第四范式（ 4NF）
定义 5.10 关系模式 R<U,F>? 1NF，如果对于 R的每个非平凡多值依赖 X→→ Y（ Y? X），
X都含有候选码，则 R? 4NF。
（ X→ Y）
如果 R? 4NF,则 R? BCNF
不允许 有非平凡且非函数依赖的 多值依赖允许 的是 函数依赖 （是非平凡多值依赖）
第四范式（续）
例,Teach(C,T,B)? 4NF
存在非平凡的多值依赖 C→→ T，且 C不是候选码
用投影分解法把 Teach分解为如下两个关系模式：
CT(C,T)? 4NF
CB(C,B)? 4NF
C→→ T,C→→ B是平凡多值依赖
5.2 规范化
5.2.1 第一范式（ 1NF）
5.2.2 第二范式（ 2NF）
5.2.3 第三范式（ 3NF）
5.2.4 BC范式（ BCNF）
5.2.5 多值依赖与第四范式（ 4NF）
5.2.6 规范化
5.2.6 规范化
关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具。
一个关系只要其分量都是不可分的数据项，它就是规范化的关系，但这只是最基本的规范化。
规范化程度可以有多个不同的级别规范化（续）
规范化程度过低的关系不一定能够很好地描述现实世界，可能会存在插入异常、删除异常、
修改复杂、数据冗余等问题
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式集合，
这种过程就叫 关系模式的规范化规范化（续）
关系模式规范化的基本步骤
1NF
↓ 消除非主属性对码的部分函数依赖消除决定属性 2NF
集非码的非平 ↓ 消除非主属性对码的传递函数依赖凡函数依赖 3NF
↓ 消除主属性对码的部分和传递函数依赖
BCNF
↓ 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖
4NF
规范化的基本思想
消除不合适的数据依赖
的各关系模式达到某种程度的,分离,
采用,一事一地,的模式设计原则让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概念就把它,分离,出去
所谓规范化实质上是概念的单一化规范化（续）
不能说规范化程度越高的关系模式就越好
在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式
上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止第五章 关系数据理论
5.1 数据依赖
5.2 规范化
5.3 数据依赖的公理系统
5.4 模式的分解
5.3 数据依赖的公理系统
逻辑蕴含定义 5.11 对于满足一组 函数依赖 F 的关系模式 R <U,F>，其任何一个关系 r，
若函数依赖 X→ Y都成立,则称
F逻辑蕴含 X → Y
Armstrong公理系统
一套推理规则，是模式分解算法的理论基础
用途
求给定关系模式的码
从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖
1,Armstrong公理系统关系模式 R <U,F >来说有以下的推理规则：
Al.自反律 （ Reflexivity）：
若 Y? X? U，则 X → Y为 F所蕴含。
A2.增广律 （ Augmentation）：若 X→ Y为 F所蕴含，
且 Z? U，则 XZ→ YZ为 F所蕴含。
A3.传递律 （ Transitivity）：若 X→ Y及 Y→ Z为 F所蕴含，则 X→ Z为 F所蕴含。
注意：由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于 F
定理 5.l Armstrong推理规则是正确的
（ l）自反律,若 Y? X? U，则 X → Y为 F所蕴含证,设 Y? X? U
对 R <U,F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t,s：
若 t[X]=s[X]，由于 Y? X，有 t[y]=s[y]，
所以 X→ Y成立,
自反律得证定理 5.l
(2)增广律,若 X→ Y为 F所蕴含，且 Z? U，则 XZ→ YZ
为 F所蕴含。
证,设 X→ Y为 F所蕴含，且 Z? U。
设 R<U,F> 的任一关系 r中任意的两个元组 t,s；
若 t[XZ]=s[XZ]，则有 t[X]=s[X]和 t[Z]=s[Z]；
由 X→ Y，于是有 t[Y]=s[Y]，所以 t[YZ]=s[YZ]，所以
XZ→ YZ为 F所蕴含,
增广律得证。
定理 5.l
(3) 传递律：若 X→ Y及 Y→ Z为 F所蕴含，则
X→ Z为 F所蕴含。
证,设 X→ Y及 Y→ Z为 F所蕴含。
对 R<U,F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t,s。
若 t[X]=s[X]，由于 X→ Y，有 t[Y]=s[Y]；
再由 Y→ Z，有 t[Z]=s[Z]，所以 X→ Z为 F所蕴含,
传递律得证。
2,导出规则
1.根据 A1,A2,A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：
合并规则,由 X→ Y,X→ Z，有 X→ YZ。
（ A2,A3）
伪传递规则,由 X→ Y,WY→ Z，有 XW→ Z。
（ A2,A3）
分解规则,由 X→ Y及 Z?Y，有 X→ Z。
（ A1,A3）
导出规则
2.根据合并规则和分解规则，可得引理 5.1
引理 5.l X→ A1 A2…Ak成立的充分必要条件是 X→ Ai成立（ i=l,2,…,k）。
3,函数依赖闭包定义 5.l2 在关系模式 R<U,F>中为 F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包,记为 F+。
定义 5.13 设 F为属性集 U上的一组函数依赖,X?U，
XF+ ={ A|X→ A能由 F 根据 Armstrong公理导出 }，
XF+称为属性集 X关于函数依赖集 F 的闭包
F的闭包
F={X Y,Y Z},F+计算是 NP完全问题,X A1A2...An
F+={
X φ,Y φ,Z φ,XY φ,XZ φ,YZ φ,XYZ φ,
X X,Y Y,Z Z,XY X,XZ X,YZ Y,XYZ X,
X Y,Y Z,XY Y,XZ Y,YZ Z,XYZ Y,
X Z,Y YZ,XY Z,XZ Z,YZ YZ,XYZ Z,
X XY,XY XY,XZ XY,XYZ XY,
X XZ,XY YZ,XZ XZ,XYZ YZ
X YZ,XY XZ,XZ XY,XYZ XZ,
X ZYZ,XY XYZ,XZ XYZ,XYZ XYZ }
关于闭包的引理
引理 5.2
设 F为属性集 U上的一组函数依赖,X,Y? U，
X→ Y能由 F 根据 Armstrong公理导出的充分必要条件是 Y?XF+
用途将判定 X→ Y是否能由 F根据 Armstrong公理导出的问题，
就转化为求出 XF+,判定 Y是否为 XF+的子集的问题求闭包的算法算法 5.l 求属性集 X（ X? U）关于 U上的函数依赖集 F 的闭包 XF+
输入,X,F
输出,XF+
步骤：
（ 1）令 X（ 0） =X,i=0
（ 2）求 B，这里 B = { A |(? V)(? W)(V→ W?F
∧ V? X（ i） ∧ A? W)}；
（ 3） X（ i+1） =B∪ X（ i）
算法 5.l
（ 4）判断 X（ i+1） = X （ i） 吗?
（ 5）若相等或 X（ i） =U,则 X（ i） 就是 XF+,
算法终止。
（ 6）若否，则 i=i+l，返回第（ 2）步。
对于算法 5.l,令 ai =|X（ i） |,{ai }形成一个步长大于 1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此该算法最多 |U| - |X| 次循环就会终止。
Define XF+ = closure of X
= set of attributes functionally determined byX
Basis,XF+,=X
Induction,If Y XF+,and Y A is a given FD,
then add A to XF+
End when XF+ cannot be changed.
Algorithm
yX+ New X+
A
U={A,B,C,D}; F={A B,BC D};
A+ = AB.
C+ = C.
(AC)+ = ABCD.
Example
A
C
B
Example
A
C
D
B
U={A,B,C,D}; A B,BC D.
(AC)+ = ABCD.
函数依赖闭包
[例 1] 已知关系模式 R<U,F>，其中
U={A,B,C,D,E}；
F={AB→ C,B→ D,C→ E,EC→ B,AC→ B}。
求（ AB） F+ 。
解 设 X（ 0） =AB；
(1)计算 X（ 1）,逐一的扫描 F集合中各个函数依赖，
找左部为 A,B或 AB的函数依赖。得到两个：
AB→ C,B→ D。
于是 X（ 1） =AB∪ CD=ABCD。
函数依赖闭包
(2)因为 X（ 0） ≠ X（ 1）,所以再找出左部为 ABCD
子集的那些函数依赖，又得到 AB→ C,B→ D，
C→ E,AC→ B，
于是 X（ 2） =X（ 1） ∪ BCDE=ABCDE。
(3)因为 X（ 2） =U，算法终止所以（ AB） F+ =ABCDE。
4,Armstrong公理系统的有效性与完备性
建立公理系统体系 目的,从已知的 f 推导出未知的 f
明确,1.公理系统推导出来的 f 正确？
2,F+中的每一个 f 都能推导出来？
/ f 不能由 F 导出,f? F+
F F+ f
4,Armstrong公理系统的有效性与完备性
有效性,由 F出发根据 Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在 F+中
/* Armstrong正确
完备性,F+中的每一个函数依赖，必定可以由
F出发根据 Armstrong公理推导出来
/* Armstrong公理够用，完全完备性,所有不能用 Armstrong公理推导出来 f,都不为真若 f 不能用 Armstrong公理推导出来,f? F+
有效性与完备性的证明证明：
1,有效性可由定理 5.l得证
2,完备性只需证明 逆否命题,若函数依赖 X→ Y不能由 F从
Armstrong公理导出，那么它必然不为 F所蕴含分三步证明：
有效性与完备性的证明
(1)引理,若 V→ W成立,且 V? XF+,则 W? XF+
证 因为 V? XF+,所以有 X→ V成立；
因为 X → V,V→ W，于是 X→ W成立所以 W? XF+
(2)/* 若 f 不能用 Armstrong公理推导出来,f? F+
/* 若存在 r,F+中的全部函数依赖在 r上成立。
/* 而不能用 Armstrong公理推导出来的 f,在 r上不成立。
构造一张二维表 r，它由下列两个元组构成，可以证明 r必是 R（ U,F）
的一个关系,即 F+中的全部函数依赖在 r上成立 。
Armstrong公理系统的有效性与完备性 (续 )
XF+ U-XF+
11......1 00......0
11......1 11......1
若 r不是 R<U,F> 的关系,则必由于 F中有函数依赖 V→ W在 r上不成立所致 。 由 r的构成可知,V必定是 XF+ 的子集,而 W不是 XF+ 的子集,可是由第 （ 1）
步,W? XF+,矛盾 。 所以 r必是 R<U,F>的一个关系 。
Armstrong公理系统的有效性与完备性 (续 )
(3) )/* 若 f 不能用 Armstrong公理推导出来,f? F+
/* 而不能用 Armstrong公理推导出来的 f,在 r上不成立。
若 X→ Y 不能由 F从 Armstrong公理导出，则 Y 不是
XF+ 的子集。（引理 5.2）
因此必有 Y 的子集 Y’ 满足 Y’? U-XF+,则 X→ Y在
r 中不成立，即 X→ Y必不为 R<U,F> 蕴含
/* 因为 F+中的全部函数依赖在 r上成立。
Armstrong公理系统的有效性与完备性 (续 )
Armstrong公理的完备性及有效性说明,
“蕴含,==,导出,等价的概念
F+ ==由 F出发借助 Armstrong公理导出的函数依赖的集合
5,函数依赖集等价定义 5.14 如果 G+=F+，就说函数依赖集
F覆盖 G（ F是 G的覆盖，或 G是 F的覆盖），
或 F与 G等价 。
函数依赖集等价的充要条件引理 5.3 F+ = G+ 的充分必要条件是
F? G+,和 G? F+
证,必要性显然，只证充分性。
（ 1）若 F?G+,则 XF+? XG++ 。
（ 2）任取 X→ Y?F+ 则有 Y? XF+? XG++ 。
所以 X→ Y? (G+） += G+。即 F+? G+。
（ 3）同理可证 G+? F+,所以 F+ = G+。
函数依赖集等价
要判定 F? G+,只须逐一对 F中的函数依赖 X→ Y,考察 Y 是否属于 XG++ 就行了 。
因此引理 5.3 给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法 。
6,最小依赖集定义 5.15 如果函数依赖集 F满足下列条件,则称 F为一个 极小函数依赖集 。 亦称为 最小依赖集 或 最小覆盖 。
(1) F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性 。
(2) F中不存在这样的函数依赖 X→ A,使得 F与
F-{X→ A}等价 。
(3) F中不存在这样的函数依赖 X→ A,X有真子集 Z使得 F-{X→ A}∪ {Z→ A}与 F等价 。
最小依赖集
[例 2] 对于 5.l节中的关系模式 S<U,F>,其中：
U={ SNO,SDEPT,MN,CNAME,G }，
F={ SNO→ SDEPT,SDEPT→ MN，
（ SNO,CNAME） → G }
设 F’={SNO→ SDEPT,SNO→ MN，
SDEPT→ MN,(SNO,CNAME)→ G，
(SNO,SDEPT)→ SDEPT}
F是最小覆盖，而 F ’不是。
因为,F ’-{SNO→ MN}与 F?等价
F ’-{(SNO,SDEPT)→ SDEPT}也与 F?等价
F ’-{(SNO,SDEPT)→ SDEPT}
∪ {SNO→ SDEPT}也与 F?等价
7,极小化过程定理 5.3 每一个函数依赖集 F均等价于一个极小函数依赖集 Fm。 此 Fm称为 F的最小依赖集证,构造性证明,依据定义分三步对 F进行,极小化处理,,找出 F的一个最小依赖集 。
(1)逐一检查 F中各函数依赖 FDi,X→ Y，
若 Y=A1A2 … Ak,k > 2，
则用 { X→ Aj |j=1,2,…,k} 来取代 X→ Y。
引理 5.1保证了 F变换前后的等价性 。
极小化过程
(2)逐一检查 F中各函数依赖 FDi,X→ A，
令 G=F-{X→ A}，
若 A?XG+,则从 F中去掉此函数依赖。
由于 F与 G =F-{X→ A}等价的充要条件是 A?XG+
因此 F变换前后是等价的。
极小化过程
(3)逐一取出 F中各函数依赖 FDi,X→ A，
设 X=B1B2… Bm，
逐一考查 Bi （ i=l,2,…,m）,
若 A?（ X-Bi ） F+,
则以 X-Bi 取代 X。
由于 F与 F-{X→ A}∪ {Z→ A}等价的充要条件是
A?ZF+,其中 Z=X-Bi
因此 F变换前后是等价的。
极小化过程由定义，最后剩下的 F就一定是极小依赖集。
因为对 F的每一次,改造,都保证了改造前后的两个函数依赖集等价，因此剩下的 F与原来的 F等价。 证毕
定理 5.3的证明过程 也是求 F极小依赖集的过程极小化过程
[例 3] F = {A→ B,B→ A,B→ C，
A→ C,C→ A}
Fm1,Fm2都是 F的最小依赖集：
Fm1= {A→ B,B→ C,C→ A}
Fm2= {A→ B,B→ A,A→ C,C→ A}
F的最小依赖集 Fm不一定是唯一的它与对各函数依赖 FDi 及 X→ A中 X各属性的处置顺序有关极小化过程
极小化过程 ( 定理 5.3的证明 )也是检验 F
是否为极小依赖集的一个算法
若改造后的 F与原来的 F相同，说明 F本身就是一个最小依赖集极小化过程
在 R<U,F>中可以用与 F等价的依赖集 G
来取代 F
原因：两个关系模式 R1 <U,F>，
R2<U,G>，如果 F与 G等价，那么 R1
的关系一定是 R2的关系。反过来,R2
的关系也一定是 R1的关系。
第五章 关系数据理论
5.1 数据依赖
5.2 规范化
5.3 数据依赖的公理系统
5.4 模式的分解
5.4 模式的分解
把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模式的方法并不是唯一的
只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，分解方法才有意义关系模式分解的标准三种模式分解的等价定义
⒈ 分解具有无损连接性
⒉ 分解要保持函数依赖
⒊ 分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性模式的分解（续）
定义 5.16 关系模式 R<U,F>的一个分解：
ρ={ R1<U1,F1>,R2<U2,F2>,…,Rn<Un,Fn>}
U=U1∪ U2∪ … ∪ Un,且不存在 Ui? Uj,Fi 为 F在 Ui 上的投影定义 5.17 函数依赖集合 {X→ Y | X→ Y? F+∧ XY?Ui}
的一个 覆盖 Fi 叫作 F 在属性 Ui 上的投影模式的分解（续）
例,SL（ Sno,Sdept,Sloc）
F={ Sno→ Sdept,Sdept→ Sloc,Sno→ Sloc}
SL? 2NF
存在插入异常,删除异常,冗余度大和修改复杂等问题分解方法可以有多种模式的分解（续）
SL ──────────────────
Sno Sdept Sloc
──────────────────
95001 CS A
95002 IS B
95003 MA C
95004 IS B
95005 PH B
──────────────────
模式的分解（续）
1,SL分解为下面三个关系模式：
SN(Sno)
SD(Sdept)
SO(Sloc)
分解后的关系为：
SN ────── SD ────── SO ──────
Sno Sdept Sloc
────── ────── ──────
95001 CS A
95002 IS B
95003 MA C
95004 PH ─────
95005 ──────
──────
模式的分解（续）
分解后的数据库 丢失了许多信息例如无法查询 95001学生所在系或所在宿舍 。
如果分解后的关系可以通过自然连接恢复为原来的关系,那么这种分解就没有 丢失信息模式的分解（续）
2,SL分解为下面二个关系模式：
NL(Sno,Sloc)
DL(Sdept,Sloc)
分解后的关系为：
NL ──────────── DL ────────────
Sno Sloc Sdept Sloc
──────────── ────────────
95001 A CS A
95002 B IS B
95003 C MA C
95004 B PH B
95005 B ────────────
──────────
模式的分解（续）
NL DL
─────────────
Sno Sloc Sdept
─────────────
95001 A CS
95002 B IS
95002 B PH
95003 C MA
95004 B IS
95004 B PH
95005 B IS
95005 B PH
模式的分解（续）
NL DL比原来的 SL关系多了 3个元组无法知道 95002,95004,95005
究竟是哪个系的学生元组增加了，信息丢失了第三种分解方法
3,将 SL分解为下面二个关系模式：
ND(Sno,Sdept)
NL(Sno,Sloc)
分解后的关系为：
模式的分解（续）
ND ──────────── NL ──────────
Sno Sdept Sno Sloc
──────────── ──────────
95001 CS 95001 A
95002 IS 95002 B
95003 MA 95003 C
95004 IS 95004 B
95005 PH 95005 B
──────────── ───────────
模式的分解（续）
ND NL
──────────────
Sno Sdept Sloc
──────────────
95001 CS A
95002 IS B
95003 MA C
95004 CS A
95005 PH B
──────────────
与 SL关系一样，因此没有丢失信息具有无损连接性的模式分解
关系模式 R<U,F>的一个分解 ρ={ R1<U1,F1>，
R2<U2,F2>,…,Rn<Un,Fn>}
若 R与 R1,R2,…,Rn自然连接的结果相等，则称关系模式 R的这个分解 ρ具有无损连接性（ Lossless join）
具有无损连接性的分解保证不丢失信息
无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题模式的分解（续）
第三种分解方法具有无损连接性问题,
这种分解方法没有保持原关系中的函数依赖
SL中的函数依赖 Sdept→ Sloc
没有投影到关系模式 ND,NL上保持函数依赖的模式分解设关系模式 R<U,F>被分解为若干个关系模式
R1<U1,F1>,R2<U2,F2>,…,Rn<Un,Fn>
（其中 U=U1∪ U2∪ … ∪ Un，且不存在 Ui? Uj,Fi为 F在 Ui
上的投影），若 F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分解得到的某个关系模式中的函数依赖 Fi所逻辑蕴含，则称关系模式 R的这个分解是保持函数依赖的（ Preserve
dependency）。
第四种分解方法将 SL分解为下面二个关系模式：
ND(Sno,Sdept)
DL(Sdept,Sloc)
这种分解方法就保持了函数依赖。
模式的分解（续）
如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不丢失信息。
如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或解决各种异常情况。
分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定能够保持函数依赖。同样，保持函数依赖的分解也不一定具有无损连接性。
模式的分解（续）
第一种分解方法既不具有无损连接性，也未保持函数依赖，它不是原关系模式的一个等价分解第二种分解方法保持了函数依赖，但不具有无损连接性第三种分解方法具有无损连接性，但未持函数依赖第四种分解方法既具有无损连接性，又保持了函数依赖分解算法
算法 5.2 判别一个分解的无损连接性
算法 5.3 （ 合成法 ） 转换为 3NF的保持函数依赖的分解 。
算法 5.4 转换为 3NF既有无损连接性又保持函数依赖的分解
算法 5.5 转换为 BCNF的无损连接分解 （ 分解法 ）
算法 5.6 达到 4NF的具有无损连接性的分
解 P196 图 5,11
分解算法
解 P196 图 5,11
若要求分解具有无损连接性，那么模式分解一定能够达到 4NF。
若要求分解保持函数依赖，那么模式分解一定能够达到 3NF，但不一定能够达到 BCNF。
若要求分解既具有无损连接性，又保持函数依赖，则模式分解一定能够达到 3NF，但不一定能够达到 BCNF。
泛关系假设
,假设已知一个模式 Sφ，它仅由单个关系模式组成，问题是要设计一个模式 SD，
它与 Sφ?等价 ’,但在某些方面更好一些,
从一个关系模式出发，而不是从一组关系模式出发实行分解
,等价,的定义也是一组关系模式与一个关系模式的,等价,
小结 (续 )
规范化理论为数据库设计提供了理论的指南和工具
也仅仅是指南和工具
并不是规范化程度越高,模式就越好
必须结合应用环境和现实世界的具体情况合理地选择数据库模式
5.1 问题的提出
5.2 规范化
5.3 数据依赖的公理系统
*5.4 模式的分解
5.5 小结
5.1 问题的提出关系数据库逻辑设计
针对具体问题,如何构造一个适合于它的数据模式,即应该构造几个关系模式,每个关系由哪些属性组成等 。
数据库逻辑设计的工具 ── 关系数据库的规范化理论问题的提出一、概念回顾二、关系模式的形式化定义三、什么是数据依赖四、关系模式的简化定义五、数据依赖对关系模式影响一、概念回顾
关系,描述实体、属性、实体间的联系。
从形式上看，它是一张二维表，是所涉及属性的笛卡尔积的一个子集。
关系模式,用来定义关系。
关系数据库,基于关系模型的数据库，利用关系来描述现实世界。
从形式上看，它由一组关系组成。
关系数据库的模式,定义这组关系的关系模式的全体。
二、关系模式的形式化定义关系模式由五部分组成，即它是一个五元组：
R(U,D,DOM,F)
R,关系名
U,组成该关系的属性名集合
D,属性组 U中属性所来自的域
DOM,属性向域的映象集合
F,属性间数据的依赖关系集合三、什么是数据依赖
1,完整性约束的表现形式
限定属性取值范围：例如学生成绩必须在 0-100之间
定义属性 值 间的相互关连（主要体现于值的 相等与否 ），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键什么是数据依赖（续）
2,数据依赖
是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系
是现实世界属性间相互联系的抽象
是数据内在的性质
是 语义 的体现什么是数据依赖（续）
3,数据依赖的类型
函数依赖（ Functional Dependency，简记为 FD）
多值依赖（ Multivalued Dependency，简记为 MVD）
其他四、关系模式的简化表示
● 关系模式 R（ U,D,DOM,F）
简化为一个三元组：
R（ U,F）
● 当且仅当 U上的一个关系 r 满足 F时,r称为关系 模式 R（ U,F）的一个 关系五,数据依赖对关系模式的影响例：描述学校的数据库：
学生的学号（ Sno）、所在系（ Sdept）
系主任姓名（ Mname）、课程名（ Cname）
成绩（ Grade）
单一 的关系模式,Student <U,F>
U ＝｛ Sno,Sdept,Mname,Cname,Grade ｝
数据依赖对关系模式的影响（续）
学校数据库的语义：
⒈ 一个系有若干学生,一个学生只属于一个系；
⒉ 一个系只有一名主任；
⒊ 一个学生可以选修多门课程,每门课程有若干学生选修；
⒋ 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。
数据依赖对关系模式的影响（续）
属性组 U上的一组函数依赖 F：
F ＝｛ Sno → Sdept,Sdept → Mname,
(Sno,Cname) → Grade ｝
Sno Cname
Sdept Mname
Grade
关系模式 Student<U,F>中存在的问题
⒈ 数据冗余太大
浪费大量的存储空间例：每一个系主任的姓名重复出现
⒉ 更新异常 （ Update Anomalies）
数据冗余,更新数据时，维护数据完整性代价大。
例：某系更换系主任后，系统必须修改与该系学生有关的每一个元组关系模式 Student<U,F>中存在的问题
⒊ 插入异常 （ Insertion Anomalies）
该插的数据插不进去例，如果一个系刚成立，尚无学生，我们就无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。
⒋ 删除异常 （ Deletion Anomalies）
不该删除的数据不得不删例，如果某个系的学生全部毕业了,我们在删除该系学生信息的同时，把这个系及其系主任的信息也丢掉了。
数据依赖对关系模式的影响（续）
结论：
Student关系模式不是一个好的模式。
,好,的模式：
不会发生插入异常、删除异常、更新异常，
数据冗余应尽可能少。
原因,由存在于模式中的 某些数据依赖 引起的解决方法,通过 分解 关系模式来消除其中不合适的数据依赖。
5.2 规范化规范化理论 正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，
以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。
5.2.1 函数依赖一、函数依赖二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖三、完全函数依赖与部分函数依赖四、传递函数依赖一、函数依赖定义 5.1 设 R(U)是一个属性集 U上的关系模式,X和 Y是 U的子集。
若对于 R(U)的 任意 一个可能的关系 r,r中不可能存在两个元组在 X上的属性值相等,而在 Y上的属性值不等,则称,X函数确定 Y” 或,Y函数依赖于 X”，记作 X→ Y。
X称为这个函数依赖的 决定属性集 (Determinant)。
Y=f(x)
函数依赖（续）
,X函数决定 Y” 或,Y函数依赖于 X”，记作 X→ Y。
如果 t和 s的 X值相同，则要求 t和 s的 Y值也相同；
如果 t和 s的 X值不相同，允许 t和 s的 Y值相同；
如果 t和 s的 Y值相同，则不允许 t和 s的 Y值相同；
即,X与 Y存在一对一，或多对一映射；
多个 FD组成的集合，称为：函数依赖集 (FD集 )，如,R中的 FD集 {A→ B,B→ C}。 ⊕
说明：
1,函数依赖不是指关系模式 R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指 R的 所有关系实例 均要满足的约束条件。
2,函数依赖是 语义范畴 的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。
例如,姓名 → 年龄,这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立
3,数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。例如规定不允许同名人出现，函数依赖,姓名 → 年龄,成立。所插入的元组必须满足规定的函数依赖，若发现有同名人存在，
则拒绝装入该元组。
函数依赖（续）
例,Student(Sno,Sname,Ssex,Sage,Sdept)
假设不允许重名，则有,
Sno → Ssex,Sno → Sage,Sno → Sdept，
Sno ←→ Sname,Sname → Ssex,Sname → Sage
Sname → Sdept
但 Ssex → Sage
若 X→ Y，并且 Y→ X,则记为 X←→ Y。
若 Y不函数依赖于 X,则记为 X─→ Y。
二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖在关系模式 R(U)中，对于 U的子集 X和 Y，
如果 X→ Y，但 Y? X，则称 X→ Y是 非平凡的函数依赖若 X→ Y，但 Y? X,则称 X→ Y是 平凡的函数依赖例：在关系 SC(Sno,Cno,Grade)中，
非平凡函数依赖,(Sno,Cno) → Grade
平凡函数依赖,(Sno,Cno) → Sno
(Sno,Cno) → Cno
平凡函数依赖与非平凡函数依赖（续）
于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明,我们总是讨论非平凡函数依赖 。
三、完全函数依赖与部分函数依赖定义 5.2 在关系模式 R(U)中，如果 X→ Y，并且对于
X的任何一个真子集 X’，都有
X’ Y,则称 Y完全函数依赖于 X，记作 X ｆ Y。
若 X→ Y，但 Y不完全函数依赖于 X，则称 Y部分函数依赖 于 X，记作 X P Y。
完全函数依赖与部分函数依赖（续）
例,在关系 SC(Sno,Cno,Grade)中，
由于,Sno → Grade,Cno → Grade，
因此,(Sno,Cno) ｆ Grade
四、传递函数依赖定义 5.3 在关系模式 R(U)中，如果 X→ Y,Y→ X，
且 Y?X,Y→ Z，则称 Z传递函数依赖 于 X。
注,如果 Y→ X,即 X←→ Y，则 Z直接依赖 于 X。
例,在关系 Std(Sno,Sdept,Mname)中，有：
Sno → Sdept,Sdept → Mname
Mname传递函数依赖于 Sno
5.2.2 码定义 5.4 设 K为关系模式 R<U,F>中的属性或属性组合。
若 K ｆ U，则 K称为 R的一个 侯选码 （ Candidate
Key）。若关系模式 R有多个候选码，则选定其中的一个做为 主码 （ Primary key）。
主属性与非主属性
ALL KEY
5.2.2 码包含在任何一个候选码中的属性，叫做 主属性
(Prime attribute).不包含在任何码中的属性称为 非主属性 (Nonprime attribute)或 非码属性 (Non-key attribute)。
最简单的情况，单个属性是码。最极端的情况，
整个属性组是码，称为 全码 (All-key)。
外部码定义 5.5 关系模式 R 中属性或属性组 X
并非 R 的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是 R 的 外部码（ Foreign
key） 也称 外码
主码又和外部码一起提供了表示关系间联系的手段 。
5.2.3 范式
范式是符合某一种级别的关系模式的集合。
关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式。
范式的种类：
第一范式 (1NF)
第二范式 (2NF)
第三范式 (3NF)
BC范式 (BCNF)
第四范式 (4NF)
第五范式 (5NF)
5.2.3 范式
各种范式之间存在联系：
某一关系模式 R为第 n范式，可简记为 R? nNF。
NF5NF4BC N FNF3NF2NF1
5.2.3 范式一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，
这种过程就叫 规范化 。
5.2.4 2NF
1NF的定义如果一个关系模式 R的所有属性都是 不可分的基本数据项,则 R? 1NF。
第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。
但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。
2NF
例,关系模式 SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)
Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。
码为 (Sno,Cno)
函数依赖包括：
(Sno,Cno) f Grade
Sno → Sdept
(Sno,Cno) P Sdept
Sno → Sloc
(Sno,Cno) P Sloc
Sdept → Sloc
2NF
SLC的码为 (Sno,Cno)
SLC满足第一范式。
非主属性 Sdept和 Sloc部分函数依赖于码 (Sno,Cno)
Sno
Cno
Grade
Sdept
Sloc
SLC
SLC不是一个好的关系模式
(1) 插入异常假设 Sno＝ 95102,Sdept＝ IS,Sloc＝ N的学生还未选课，因课程号是主属性，因此该学生的信息无法插入 SLC。
(2) 删除异常假定某个学生本来只选修了 3号课程这一门课。现在因身体不适，他连 3号课程也不选修了。因课程号是主属性，此操作将导致该学生信息的整个元组都要删除。
SLC不是一个好的关系模式
(3) 数据冗余度大如果一个学生选修了 10门课程，那么他的 Sdept和
Sloc值就要重复存储了 10次。
(4) 修改复杂例如学生转系，在修改此学生元组的 Sdept值的同时，还可能需要修改住处（ Sloc）。如果这个学生选修了 K门课，则必须无遗漏地修改 K个元组中全部
Sdept,Sloc信息。
2NF
原因
Sdept,Sloc部分函数依赖于码。
解决方法
SLC分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖
SC（ Sno,Cno,Grade）
SL（ Sno,Sdept,Sloc）
2NF
SLC的码为 (Sno,Cno)
SLC满足第一范式。
非主属性 Sdept和 Sloc部分函数依赖于码 (Sno,Cno)
Sno
Cno
Grade
Sdept
Sloc
SLC
2NF
函数依赖图,
Sno
Cno
Grade
SC SL
Sno
Sdept
Sloc
2NF
2NF的定义定义 5.6 若关系模式 R? 1NF，并且每一个 非主 属性都 完全 函数依赖于 R的码，则 R? 2NF。
例,SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)? 1NF
SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)? 2NF
SC（ Sno,Cno,Grade）? 2NF
SL（ Sno,Sdept,Sloc）? 2NF
第二范式（续）
采用投影分解法将一个 1NF的关系分解为多个
2NF的关系，可以在一定程度上减轻原 1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。
将一个 1NF关系分解为多个 2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。
5.2.5 3NF
例,2NF关系模式 SL(Sno,Sdept,Sloc)中
函数依赖：
Sno→ Sdept
Sdept→ Sloc
Sno→ Sloc
Sloc传递函数依赖于 Sno，即 SL中存在非主属性对码的传递函数依赖。
3NF
函数依赖图,
SL
Sno
Sdept
Sloc
3NF
解决方法采用投影分解法，把 SL分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：
SD（ Sno,Sdept）
DL（ Sdept,Sloc）
SD的码为 Sno,DL的码为 Sdept。
3NF
SD的码为 Sno,DL的码为 Sdept。
Sno Sdept
SD
Sdept Sloc
DL
3NF
3NF的定义定义 5.8 关系模式 R<U,F> 中若不存在这样的码 X、属性组 Y及 非主属性 Z（ Z? Y）,使得
X→ Y,Y → X,Y→ Z，成立，则称 R<U,F>
3NF。
例,SL(Sno,Sdept,Sloc)? 2NF
SL(Sno,Sdept,Sloc)? 3NF
SD（ Sno,Sdept）? 3NF
DL（ Sdept,Sloc）? 3NF
3NF
若 R? 3NF，则 R的每一个 非主属性 既不部分函数依赖于候选码也不传递函数依赖于候选码。
如果 R? 3NF，则 R也是 2NF。
采用投影分解法将一个 2NF的关系分解为多个 3NF的关系，可以在一定程度上解决原 2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。
将一个 2NF关系分解为多个 3NF的关系后，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。
5.2.6 BC范式（ BCNF）
定义 5.9 设关系模式 R<U,F>? 1NF，如果对于 R的 每个函数依赖 X→ Y，若 Y不属于 X，则 X必含有码，那么 R? BCNF。
若 R? BCNF
每一个决定属性集（因素）都包含（候选）码
R中的所有属性（主，非主属性）都完全函数依赖于码
R? 3NF（证明）
若 R? 3NF 则 R不一定? BCNF
BCNF
例：在关系模式 STJ（ S,T,J）中,S表示学生，
T表示教师,J表示课程。
每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称,
(S,J)→ T,(S,T)→ J,T→ J
5.2.6 BCNF
S
J
T
S
T
J
STJ
BCNF
STJ? 3NF
(S,J)和 (S,T)都可以作为候选码
S,T,J都是主属性
STJ? BCNF
T→ J,T是决定属性集,T不是候选码
BCNF
解决方法：将 STJ分解为二个关系模式：
SJ(S,J)? BCNF,TJ(T,J)? BCNF
没有 任何属性 对码的部分函数依赖和传递函数依赖
S J
ST
T J
TJ
3NF与 BCNF的关系
如果关系模式 R? BCNF，
必定有 R? 3NF
如果 R? 3NF，且 R只有一个候选码，
则 R必属于 BCNF。
BCNF的关系模式所具有的性质
⒈ 所有 非主属性 都完全函数依赖于每个候选码
⒉ 所有 主属性 都完全函数依赖于每个不包含它的候选码
⒊ 没有任何属性完全函数依赖于 非码 的任何一组属性
5.2.5 多值依赖与第四范式（ 4NF）
例,学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。
关系模式 Teaching(C,T,B)
课程 C、教师 T 和 参考书 B
……
…
课 程 C 教 员 T 参 考 书 B
物理数学计算数学李 勇王 军李 勇张 平张 平周 峰普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数数学分析表 5.1
普通物理学光学原理物理习题集普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数数学分析微分方程高等代数
…
李 勇李 勇李 勇王 军王 军王 军李 勇李 勇李 勇张 平张 平张 平
…
物 理物 理物 理物 理物 理物 理数 学数 学数 学数 学数 学数 学
…
参考书 B教员 T课程 C
用二维表表示 Teaching
多值依赖与第四范式（续）
Teaching? BCNF:
Teach具有唯一候选码 (C,T,B),即全码
Teaching模式中存在的问题
(1)数据冗余度大：有多少名任课教师，参考书就要存储多少次多值依赖与第四范式（续）
(2)插入操作复杂：当某一课程增加一名任课教师时，
该课程有多少本参照书，就必须插入多少个元组例如物理课增加一名教师刘关，需要插入两个元组：
（物理，刘关，普通物理学）
（物理，刘关，光学原理）
多值依赖与第四范式（续）
(3) 删除操作复杂：某一门课要去掉一本参考书，该课程有多少名教师，就必须删除多少个元组
(4) 修改操作复杂：某一门课要修改一本参考书，该课程有多少名教师，就必须修改多少个元组
产生原因存在多值依赖一、多值依赖
定义 5.10
设 R(U)是一个属性集 U上的一个关系模式,X,Y和 Z是 U的子集，
并且 Z＝ U－ X－ Y,多值依赖 X→→ Y成立当且仅当对 R的 任一关系 r,r在（ X,Z）上的每个值对应一组 Y的值，这组值仅仅决定于 X值而与 Z值无关例 Teaching（ C,T,B）
对于 C的每一个值,T有一组值与之对应，而不论 B取何值一、多值依赖
在 R（ U）的任一关系 r中，如果存在元组 t,s 使得 t[X]=s[X]，那么就必然存在元组 w,v? r，（ w,v可以与 s,t相同），使得
w[X]=v[X]=t[X]，而 w[Y]=t[Y],w[Z]=s[Z],v[Y]=s[Y],v[Z]=t[Z]
（即交换 s,t元组的 Y值所得的两个新元组必在 r中），则 Y多值依赖于 X，记为 X→→ Y。 这里,X,Y是 U的子集,Z=U-X-Y。
t x y1 z2
s x y2 z1
w x y1 z1
v x y2 z2
多值依赖（续）
平凡多值依赖和非平凡的多值依赖
若 X→→ Y，而 Z＝ φ，则称
X→→ Y为 平凡的多值依赖
否则称 X→→ Y为 非平凡的多值依赖多值依赖的性质
（ 1）多值依赖具有对称性若 X→→ Y，则 X→→ Z，其中 Z＝ U－ X－ Y
多值依赖的对称性可以用完全二分图直观地表示出来。
（ 2）多值依赖具有传递性若 X→→ Y,Y→→ Z,则 X→→ Z -Y
多值依赖的对称性
Xi
Zi1 Zi2 … Zim
Yi1 Yi2 … Yin
多值依赖的对称性物理普通物理学 光学原理 物理习题集李勇 王军多值依赖（续）
（ 3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。
若 X→ Y，则 X→→ Y。
（ 4）若 X→→ Y,X→→ Z，则 X→→ Y? Z。
（ 5）若 X→→ Y,X→→ Z，则 X→→ Y∩ Z。
（ 6）若 X→→ Y,X→→ Z，则 X→→ Y-Z，
X→→ Z -Y。
多值依赖与函数依赖的区别
(1) 有效性
多值依赖的有效性与属性集的范围有关若 X→→ Y在 U上成立，则在 W（ X Y? W? U）上一定成立；反之则不然，即 X→→ Y在 W（ W? U）上成立，在 U上并不一定成立
多值依赖的定义中不仅涉及属性组 X和 Y，而且涉及 U中其余属性 Z。
一般地，在 R（ U）上若有 X→→ Y在 W（ W? U）
上成立，则称 X→→ Y为 R（ U）的嵌入型多值依赖多值依赖与函数依赖的区别
只要在 R（ U）的任何一个关系 r中，元组在 X和
Y上的值满足定义 5.l（函数依赖），
则函数依赖 X→ Y在任何属性集 W（ X Y? W
U）上成立 。
多值依赖（续）
(2)
若函数依赖 X→ Y在 R（ U）上成立，则对于任何 Y'? Y均有 X→ Y' 成立
多值依赖 X→→ Y若在 R(U)上成立，不能断言对于任何 Y'? Y有 X→→ Y' 成立二、第四范式（ 4NF）
定义 5.10 关系模式 R<U,F>? 1NF，如果对于 R的每个非平凡多值依赖 X→→ Y（ Y? X），
X都含有候选码，则 R? 4NF。
（ X→ Y）
如果 R? 4NF,则 R? BCNF
不允许 有非平凡且非函数依赖的 多值依赖允许 的是 函数依赖 （是非平凡多值依赖）
第四范式（续）
例,Teach(C,T,B)? 4NF
存在非平凡的多值依赖 C→→ T，且 C不是候选码
用投影分解法把 Teach分解为如下两个关系模式：
CT(C,T)? 4NF
CB(C,B)? 4NF
C→→ T,C→→ B是平凡多值依赖
5.2 规范化
5.2.1 第一范式（ 1NF）
5.2.2 第二范式（ 2NF）
5.2.3 第三范式（ 3NF）
5.2.4 BC范式（ BCNF）
5.2.5 多值依赖与第四范式（ 4NF）
5.2.6 规范化
5.2.6 规范化
关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具。
一个关系只要其分量都是不可分的数据项，它就是规范化的关系，但这只是最基本的规范化。
规范化程度可以有多个不同的级别规范化（续）
规范化程度过低的关系不一定能够很好地描述现实世界，可能会存在插入异常、删除异常、
修改复杂、数据冗余等问题
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式集合，
这种过程就叫 关系模式的规范化规范化（续）
关系模式规范化的基本步骤
1NF
↓ 消除非主属性对码的部分函数依赖消除决定属性 2NF
集非码的非平 ↓ 消除非主属性对码的传递函数依赖凡函数依赖 3NF
↓ 消除主属性对码的部分和传递函数依赖
BCNF
↓ 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖
4NF
规范化的基本思想
消除不合适的数据依赖
的各关系模式达到某种程度的,分离,
采用,一事一地,的模式设计原则让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概念就把它,分离,出去
所谓规范化实质上是概念的单一化规范化（续）
不能说规范化程度越高的关系模式就越好
在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式
上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止第五章 关系数据理论
5.1 数据依赖
5.2 规范化
5.3 数据依赖的公理系统
5.4 模式的分解
5.3 数据依赖的公理系统
逻辑蕴含定义 5.11 对于满足一组 函数依赖 F 的关系模式 R <U,F>，其任何一个关系 r，
若函数依赖 X→ Y都成立,则称
F逻辑蕴含 X → Y
Armstrong公理系统
一套推理规则，是模式分解算法的理论基础
用途
求给定关系模式的码
从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖
1,Armstrong公理系统关系模式 R <U,F >来说有以下的推理规则：
Al.自反律 （ Reflexivity）：
若 Y? X? U，则 X → Y为 F所蕴含。
A2.增广律 （ Augmentation）：若 X→ Y为 F所蕴含，
且 Z? U，则 XZ→ YZ为 F所蕴含。
A3.传递律 （ Transitivity）：若 X→ Y及 Y→ Z为 F所蕴含，则 X→ Z为 F所蕴含。
注意：由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于 F
定理 5.l Armstrong推理规则是正确的
（ l）自反律,若 Y? X? U，则 X → Y为 F所蕴含证,设 Y? X? U
对 R <U,F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t,s：
若 t[X]=s[X]，由于 Y? X，有 t[y]=s[y]，
所以 X→ Y成立,
自反律得证定理 5.l
(2)增广律,若 X→ Y为 F所蕴含，且 Z? U，则 XZ→ YZ
为 F所蕴含。
证,设 X→ Y为 F所蕴含，且 Z? U。
设 R<U,F> 的任一关系 r中任意的两个元组 t,s；
若 t[XZ]=s[XZ]，则有 t[X]=s[X]和 t[Z]=s[Z]；
由 X→ Y，于是有 t[Y]=s[Y]，所以 t[YZ]=s[YZ]，所以
XZ→ YZ为 F所蕴含,
增广律得证。
定理 5.l
(3) 传递律：若 X→ Y及 Y→ Z为 F所蕴含，则
X→ Z为 F所蕴含。
证,设 X→ Y及 Y→ Z为 F所蕴含。
对 R<U,F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t,s。
若 t[X]=s[X]，由于 X→ Y，有 t[Y]=s[Y]；
再由 Y→ Z，有 t[Z]=s[Z]，所以 X→ Z为 F所蕴含,
传递律得证。
2,导出规则
1.根据 A1,A2,A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：
合并规则,由 X→ Y,X→ Z，有 X→ YZ。
（ A2,A3）
伪传递规则,由 X→ Y,WY→ Z，有 XW→ Z。
（ A2,A3）
分解规则,由 X→ Y及 Z?Y，有 X→ Z。
（ A1,A3）
导出规则
2.根据合并规则和分解规则，可得引理 5.1
引理 5.l X→ A1 A2…Ak成立的充分必要条件是 X→ Ai成立（ i=l,2,…,k）。
3,函数依赖闭包定义 5.l2 在关系模式 R<U,F>中为 F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包,记为 F+。
定义 5.13 设 F为属性集 U上的一组函数依赖,X?U，
XF+ ={ A|X→ A能由 F 根据 Armstrong公理导出 }，
XF+称为属性集 X关于函数依赖集 F 的闭包
F的闭包
F={X Y,Y Z},F+计算是 NP完全问题,X A1A2...An
F+={
X φ,Y φ,Z φ,XY φ,XZ φ,YZ φ,XYZ φ,
X X,Y Y,Z Z,XY X,XZ X,YZ Y,XYZ X,
X Y,Y Z,XY Y,XZ Y,YZ Z,XYZ Y,
X Z,Y YZ,XY Z,XZ Z,YZ YZ,XYZ Z,
X XY,XY XY,XZ XY,XYZ XY,
X XZ,XY YZ,XZ XZ,XYZ YZ
X YZ,XY XZ,XZ XY,XYZ XZ,
X ZYZ,XY XYZ,XZ XYZ,XYZ XYZ }
关于闭包的引理
引理 5.2
设 F为属性集 U上的一组函数依赖,X,Y? U，
X→ Y能由 F 根据 Armstrong公理导出的充分必要条件是 Y?XF+
用途将判定 X→ Y是否能由 F根据 Armstrong公理导出的问题，
就转化为求出 XF+,判定 Y是否为 XF+的子集的问题求闭包的算法算法 5.l 求属性集 X（ X? U）关于 U上的函数依赖集 F 的闭包 XF+
输入,X,F
输出,XF+
步骤：
（ 1）令 X（ 0） =X,i=0
（ 2）求 B，这里 B = { A |(? V)(? W)(V→ W?F
∧ V? X（ i） ∧ A? W)}；
（ 3） X（ i+1） =B∪ X（ i）
算法 5.l
（ 4）判断 X（ i+1） = X （ i） 吗?
（ 5）若相等或 X（ i） =U,则 X（ i） 就是 XF+,
算法终止。
（ 6）若否，则 i=i+l，返回第（ 2）步。
对于算法 5.l,令 ai =|X（ i） |,{ai }形成一个步长大于 1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此该算法最多 |U| - |X| 次循环就会终止。
Define XF+ = closure of X
= set of attributes functionally determined byX
Basis,XF+,=X
Induction,If Y XF+,and Y A is a given FD,
then add A to XF+
End when XF+ cannot be changed.
Algorithm
yX+ New X+
A
U={A,B,C,D}; F={A B,BC D};
A+ = AB.
C+ = C.
(AC)+ = ABCD.
Example
A
C
B
Example
A
C
D
B
U={A,B,C,D}; A B,BC D.
(AC)+ = ABCD.
函数依赖闭包
[例 1] 已知关系模式 R<U,F>，其中
U={A,B,C,D,E}；
F={AB→ C,B→ D,C→ E,EC→ B,AC→ B}。
求（ AB） F+ 。
解 设 X（ 0） =AB；
(1)计算 X（ 1）,逐一的扫描 F集合中各个函数依赖，
找左部为 A,B或 AB的函数依赖。得到两个：
AB→ C,B→ D。
于是 X（ 1） =AB∪ CD=ABCD。
函数依赖闭包
(2)因为 X（ 0） ≠ X（ 1）,所以再找出左部为 ABCD
子集的那些函数依赖，又得到 AB→ C,B→ D，
C→ E,AC→ B，
于是 X（ 2） =X（ 1） ∪ BCDE=ABCDE。
(3)因为 X（ 2） =U，算法终止所以（ AB） F+ =ABCDE。
4,Armstrong公理系统的有效性与完备性
建立公理系统体系 目的,从已知的 f 推导出未知的 f
明确,1.公理系统推导出来的 f 正确？
2,F+中的每一个 f 都能推导出来？
/ f 不能由 F 导出,f? F+
F F+ f
4,Armstrong公理系统的有效性与完备性
有效性,由 F出发根据 Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在 F+中
/* Armstrong正确
完备性,F+中的每一个函数依赖，必定可以由
F出发根据 Armstrong公理推导出来
/* Armstrong公理够用，完全完备性,所有不能用 Armstrong公理推导出来 f,都不为真若 f 不能用 Armstrong公理推导出来,f? F+
有效性与完备性的证明证明：
1,有效性可由定理 5.l得证
2,完备性只需证明 逆否命题,若函数依赖 X→ Y不能由 F从
Armstrong公理导出，那么它必然不为 F所蕴含分三步证明：
有效性与完备性的证明
(1)引理,若 V→ W成立,且 V? XF+,则 W? XF+
证 因为 V? XF+,所以有 X→ V成立；
因为 X → V,V→ W，于是 X→ W成立所以 W? XF+
(2)/* 若 f 不能用 Armstrong公理推导出来,f? F+
/* 若存在 r,F+中的全部函数依赖在 r上成立。
/* 而不能用 Armstrong公理推导出来的 f,在 r上不成立。
构造一张二维表 r，它由下列两个元组构成，可以证明 r必是 R（ U,F）
的一个关系,即 F+中的全部函数依赖在 r上成立 。
Armstrong公理系统的有效性与完备性 (续 )
XF+ U-XF+
11......1 00......0
11......1 11......1
若 r不是 R<U,F> 的关系,则必由于 F中有函数依赖 V→ W在 r上不成立所致 。 由 r的构成可知,V必定是 XF+ 的子集,而 W不是 XF+ 的子集,可是由第 （ 1）
步,W? XF+,矛盾 。 所以 r必是 R<U,F>的一个关系 。
Armstrong公理系统的有效性与完备性 (续 )
(3) )/* 若 f 不能用 Armstrong公理推导出来,f? F+
/* 而不能用 Armstrong公理推导出来的 f,在 r上不成立。
若 X→ Y 不能由 F从 Armstrong公理导出，则 Y 不是
XF+ 的子集。（引理 5.2）
因此必有 Y 的子集 Y’ 满足 Y’? U-XF+,则 X→ Y在
r 中不成立，即 X→ Y必不为 R<U,F> 蕴含
/* 因为 F+中的全部函数依赖在 r上成立。
Armstrong公理系统的有效性与完备性 (续 )
Armstrong公理的完备性及有效性说明,
“蕴含,==,导出,等价的概念
F+ ==由 F出发借助 Armstrong公理导出的函数依赖的集合
5,函数依赖集等价定义 5.14 如果 G+=F+，就说函数依赖集
F覆盖 G（ F是 G的覆盖，或 G是 F的覆盖），
或 F与 G等价 。
函数依赖集等价的充要条件引理 5.3 F+ = G+ 的充分必要条件是
F? G+,和 G? F+
证,必要性显然，只证充分性。
（ 1）若 F?G+,则 XF+? XG++ 。
（ 2）任取 X→ Y?F+ 则有 Y? XF+? XG++ 。
所以 X→ Y? (G+） += G+。即 F+? G+。
（ 3）同理可证 G+? F+,所以 F+ = G+。
函数依赖集等价
要判定 F? G+,只须逐一对 F中的函数依赖 X→ Y,考察 Y 是否属于 XG++ 就行了 。
因此引理 5.3 给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法 。
6,最小依赖集定义 5.15 如果函数依赖集 F满足下列条件,则称 F为一个 极小函数依赖集 。 亦称为 最小依赖集 或 最小覆盖 。
(1) F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性 。
(2) F中不存在这样的函数依赖 X→ A,使得 F与
F-{X→ A}等价 。
(3) F中不存在这样的函数依赖 X→ A,X有真子集 Z使得 F-{X→ A}∪ {Z→ A}与 F等价 。
最小依赖集
[例 2] 对于 5.l节中的关系模式 S<U,F>,其中：
U={ SNO,SDEPT,MN,CNAME,G }，
F={ SNO→ SDEPT,SDEPT→ MN，
（ SNO,CNAME） → G }
设 F’={SNO→ SDEPT,SNO→ MN，
SDEPT→ MN,(SNO,CNAME)→ G，
(SNO,SDEPT)→ SDEPT}
F是最小覆盖，而 F ’不是。
因为,F ’-{SNO→ MN}与 F?等价
F ’-{(SNO,SDEPT)→ SDEPT}也与 F?等价
F ’-{(SNO,SDEPT)→ SDEPT}
∪ {SNO→ SDEPT}也与 F?等价
7,极小化过程定理 5.3 每一个函数依赖集 F均等价于一个极小函数依赖集 Fm。 此 Fm称为 F的最小依赖集证,构造性证明,依据定义分三步对 F进行,极小化处理,,找出 F的一个最小依赖集 。
(1)逐一检查 F中各函数依赖 FDi,X→ Y，
若 Y=A1A2 … Ak,k > 2，
则用 { X→ Aj |j=1,2,…,k} 来取代 X→ Y。
引理 5.1保证了 F变换前后的等价性 。
极小化过程
(2)逐一检查 F中各函数依赖 FDi,X→ A，
令 G=F-{X→ A}，
若 A?XG+,则从 F中去掉此函数依赖。
由于 F与 G =F-{X→ A}等价的充要条件是 A?XG+
因此 F变换前后是等价的。
极小化过程
(3)逐一取出 F中各函数依赖 FDi,X→ A，
设 X=B1B2… Bm，
逐一考查 Bi （ i=l,2,…,m）,
若 A?（ X-Bi ） F+,
则以 X-Bi 取代 X。
由于 F与 F-{X→ A}∪ {Z→ A}等价的充要条件是
A?ZF+,其中 Z=X-Bi
因此 F变换前后是等价的。
极小化过程由定义，最后剩下的 F就一定是极小依赖集。
因为对 F的每一次,改造,都保证了改造前后的两个函数依赖集等价，因此剩下的 F与原来的 F等价。 证毕
定理 5.3的证明过程 也是求 F极小依赖集的过程极小化过程
[例 3] F = {A→ B,B→ A,B→ C，
A→ C,C→ A}
Fm1,Fm2都是 F的最小依赖集：
Fm1= {A→ B,B→ C,C→ A}
Fm2= {A→ B,B→ A,A→ C,C→ A}
F的最小依赖集 Fm不一定是唯一的它与对各函数依赖 FDi 及 X→ A中 X各属性的处置顺序有关极小化过程
极小化过程 ( 定理 5.3的证明 )也是检验 F
是否为极小依赖集的一个算法
若改造后的 F与原来的 F相同，说明 F本身就是一个最小依赖集极小化过程
在 R<U,F>中可以用与 F等价的依赖集 G
来取代 F
原因：两个关系模式 R1 <U,F>，
R2<U,G>，如果 F与 G等价，那么 R1
的关系一定是 R2的关系。反过来,R2
的关系也一定是 R1的关系。
第五章 关系数据理论
5.1 数据依赖
5.2 规范化
5.3 数据依赖的公理系统
5.4 模式的分解
5.4 模式的分解
把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模式的方法并不是唯一的
只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，分解方法才有意义关系模式分解的标准三种模式分解的等价定义
⒈ 分解具有无损连接性
⒉ 分解要保持函数依赖
⒊ 分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性模式的分解（续）
定义 5.16 关系模式 R<U,F>的一个分解：
ρ={ R1<U1,F1>,R2<U2,F2>,…,Rn<Un,Fn>}
U=U1∪ U2∪ … ∪ Un,且不存在 Ui? Uj,Fi 为 F在 Ui 上的投影定义 5.17 函数依赖集合 {X→ Y | X→ Y? F+∧ XY?Ui}
的一个 覆盖 Fi 叫作 F 在属性 Ui 上的投影模式的分解（续）
例,SL（ Sno,Sdept,Sloc）
F={ Sno→ Sdept,Sdept→ Sloc,Sno→ Sloc}
SL? 2NF
存在插入异常,删除异常,冗余度大和修改复杂等问题分解方法可以有多种模式的分解（续）
SL ──────────────────
Sno Sdept Sloc
──────────────────
95001 CS A
95002 IS B
95003 MA C
95004 IS B
95005 PH B
──────────────────
模式的分解（续）
1,SL分解为下面三个关系模式：
SN(Sno)
SD(Sdept)
SO(Sloc)
分解后的关系为：
SN ────── SD ────── SO ──────
Sno Sdept Sloc
────── ────── ──────
95001 CS A
95002 IS B
95003 MA C
95004 PH ─────
95005 ──────
──────
模式的分解（续）
分解后的数据库 丢失了许多信息例如无法查询 95001学生所在系或所在宿舍 。
如果分解后的关系可以通过自然连接恢复为原来的关系,那么这种分解就没有 丢失信息模式的分解（续）
2,SL分解为下面二个关系模式：
NL(Sno,Sloc)
DL(Sdept,Sloc)
分解后的关系为：
NL ──────────── DL ────────────
Sno Sloc Sdept Sloc
──────────── ────────────
95001 A CS A
95002 B IS B
95003 C MA C
95004 B PH B
95005 B ────────────
──────────
模式的分解（续）
NL DL
─────────────
Sno Sloc Sdept
─────────────
95001 A CS
95002 B IS
95002 B PH
95003 C MA
95004 B IS
95004 B PH
95005 B IS
95005 B PH
模式的分解（续）
NL DL比原来的 SL关系多了 3个元组无法知道 95002,95004,95005
究竟是哪个系的学生元组增加了，信息丢失了第三种分解方法
3,将 SL分解为下面二个关系模式：
ND(Sno,Sdept)
NL(Sno,Sloc)
分解后的关系为：
模式的分解（续）
ND ──────────── NL ──────────
Sno Sdept Sno Sloc
──────────── ──────────
95001 CS 95001 A
95002 IS 95002 B
95003 MA 95003 C
95004 IS 95004 B
95005 PH 95005 B
──────────── ───────────
模式的分解（续）
ND NL
──────────────
Sno Sdept Sloc
──────────────
95001 CS A
95002 IS B
95003 MA C
95004 CS A
95005 PH B
──────────────
与 SL关系一样，因此没有丢失信息具有无损连接性的模式分解
关系模式 R<U,F>的一个分解 ρ={ R1<U1,F1>，
R2<U2,F2>,…,Rn<Un,Fn>}
若 R与 R1,R2,…,Rn自然连接的结果相等，则称关系模式 R的这个分解 ρ具有无损连接性（ Lossless join）
具有无损连接性的分解保证不丢失信息
无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题模式的分解（续）
第三种分解方法具有无损连接性问题,
这种分解方法没有保持原关系中的函数依赖
SL中的函数依赖 Sdept→ Sloc
没有投影到关系模式 ND,NL上保持函数依赖的模式分解设关系模式 R<U,F>被分解为若干个关系模式
R1<U1,F1>,R2<U2,F2>,…,Rn<Un,Fn>
（其中 U=U1∪ U2∪ … ∪ Un，且不存在 Ui? Uj,Fi为 F在 Ui
上的投影），若 F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分解得到的某个关系模式中的函数依赖 Fi所逻辑蕴含，则称关系模式 R的这个分解是保持函数依赖的（ Preserve
dependency）。
第四种分解方法将 SL分解为下面二个关系模式：
ND(Sno,Sdept)
DL(Sdept,Sloc)
这种分解方法就保持了函数依赖。
模式的分解（续）
如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不丢失信息。
如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或解决各种异常情况。
分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定能够保持函数依赖。同样，保持函数依赖的分解也不一定具有无损连接性。
模式的分解（续）
第一种分解方法既不具有无损连接性，也未保持函数依赖，它不是原关系模式的一个等价分解第二种分解方法保持了函数依赖，但不具有无损连接性第三种分解方法具有无损连接性，但未持函数依赖第四种分解方法既具有无损连接性，又保持了函数依赖分解算法
算法 5.2 判别一个分解的无损连接性
算法 5.3 （ 合成法 ） 转换为 3NF的保持函数依赖的分解 。
算法 5.4 转换为 3NF既有无损连接性又保持函数依赖的分解
算法 5.5 转换为 BCNF的无损连接分解 （ 分解法 ）
算法 5.6 达到 4NF的具有无损连接性的分
解 P196 图 5,11
分解算法
解 P196 图 5,11
若要求分解具有无损连接性，那么模式分解一定能够达到 4NF。
若要求分解保持函数依赖，那么模式分解一定能够达到 3NF，但不一定能够达到 BCNF。
若要求分解既具有无损连接性，又保持函数依赖，则模式分解一定能够达到 3NF，但不一定能够达到 BCNF。
泛关系假设
,假设已知一个模式 Sφ，它仅由单个关系模式组成，问题是要设计一个模式 SD，
它与 Sφ?等价 ’,但在某些方面更好一些,
从一个关系模式出发，而不是从一组关系模式出发实行分解
,等价,的定义也是一组关系模式与一个关系模式的,等价,
小结 (续 )
规范化理论为数据库设计提供了理论的指南和工具
也仅仅是指南和工具
并不是规范化程度越高,模式就越好
必须结合应用环境和现实世界的具体情况合理地选择数据库模式
