1
,量子力学教程,
习题解答
2
,量子力学教程,
习题解答说明
为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的,量子力学教程,的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章第七章
3
目录
第一章 绪论
第二章 波函数和薛定谔方程
第三章 力学量的算符表示
第四章 态和力学量的表象
第五章 微扰理论
第六章 弹性散射
第七章 自旋和全同粒子
4
1,1,由黑体辐射公式导出维恩位移定律：
CmbbTm 03109.2,
。
证明,由普朗克黑体辐射公式,
d
e
c
h
d
kT
h
1
18
3
3
,
及
c
、
d
c
d
2
得
1
18
5
kT
hc
e
hc
,
令
kT
hc
x
,再由
0?
d
d
，得
,所满足的超越方程为
1
5
x
x
e
xe
用图解法求得 97.4?x,即得
97.4?
kT
hc
m
，将数据代入求得
Cm109.2,03bbTm?
第一章 绪论
5
1,2,在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3 e V,求 de B r ogl i e 波长,
解：
0
10
A7,0 9m1009.7
2
mE
h
p
h
#
1,3,氦原子的动能为
kTE
2
3
，求
KT 1?
时氦原子的 de B r ogl i e 波长。
解：
0
10
A63.12m1063.12
32
m k T
h
mE
h
p
h
其中
kg1066.10 0 3.4 27m
，
123 KJ1038.1k
#
1,4 利用玻尔 — 索末菲量子化条件，求,
（ 1 ）一维谐振子的能量。
（ 2 ）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场
T10?B
，玻尔磁子
123 TJ109 2 3.0
B?
,求动能的量子化间隔
E?
，并与
K4?T
及
K1 0 0?T
的热运动能量相比较。
解,（ 1 ） 方法 1,谐振子的能量
22
2
2
1
2
q
p
E
6
可以化为
1
22
2
2
2
2
2
E
q
E
p
的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为
2
2
,2
E
bEa
，相空间面积为
,2,1,0,
2
nnh
EE
abp dq
所以，能量
,2,1,0, nnhE?
方法 2,一维谐振子的运动方程为
02 qq?
，其解为
tAq s i n
速度为
tAq c os
，动量为
tAqp c o s
，则相积分为
nh
TA
dtt
A
dttAp d q
TT
2
)c o s1(
2
c o s
22
0
22
0
222
，
,2,1,0?n
nh
T
nhA
E
2
22,
,2,1,0?n
7
（ 2 ）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由
R
v
evB
2
，得
eB
v
R
再由量子化条件
,3,2,1,nnhpdq
，以
22
,eB RRRvp
分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为
nhe B RRvdpdp
2
2
0
22
，
,2,1?n
，由此得半径为
eB
n
R
，
,2,1?n
。
电子的动能为
Bn
eB
n
Be
e B R
vE
B
22
2
2
2
1
2
1
2
1
动能间隔为
JBE B 23109
热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 kTE?,所以当 K4?T 时,JE 231052.4 ；当
K1 0 0?T 时,JE 211038.1 。
8
1,5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相 等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？
解：转化条件为
2ch e
，其中
e?
为电子的静止质量，而
c?,所以
c
h
e?
，即有
0
831
34
m a x A02 4.0103101.9
1062 6.6?
c
e c
h?
（电子的康普顿波长）。
9
第二章 波函数和薛定谔方程
2,1,证明在定态中，几率流与时 间无关。
证：对于定态，可令
)]r()r()r()r([
m2
i
]e)r(e)r(e)r(e)r([
m2
i
)(
m2
i
J
e)r(
)t(f)r()tr(
**
Et
i
Et
i
**
Et
i
Et
i
**
Et
i
）（）（
，
可见 tJ 与? 无关。
10
2,2 由下列定态波函数计算几率流密度,
i k ri k r
e
r
e
r
1
)2(
1
)1(
21
从所得结果说明
1?
表示向外传播的球面波，
2?
表示向内 ( 即向原点 ) 传播的球面波。
解：
分量只有和 rJJ 21
在球坐标中
s i nr
1
e
r
1
e
r
r
0
r
mr
k
r
mr
k
r
r
ik
rrr
ik
rrm
i
re
rr
e
r
e
rr
e
rm
i
m
i
J
i k ri k ri k ri k r
3
0
2
0
22
0
1
*
1
*
111
)]
11
(
1
)
11
(
1
[
2
)]
1
(
1
)
1
(
1
[
2
)(
2
)1(
rJ 1
与同向。表示向外传播的球面波。
11
r
mr
k
r
mr
k
r
r
ik
rrr
ik
rrm
i
re
rr
e
r
e
rr
e
rm
i
m
i
J
i k ri k ri k ri k r
3
0
2
0
22
0
*
2
*
222
)]
11
(
1
)
11
(
1
[
2
)]
1
(
1
)
1
(
1
[
2
)(
2
)2(
可见，
rJ 与2
反向。表示向内 ( 即向原点 ) 传播的球面波。
补充：设
i k xex?)(?
，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
dxdx *?
∴波函数不能按
1)( 2
dxx?
方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
12
表示粒子在空间各处出现的几率相同。
12
2,3 一粒子在一维势场
ax
ax
x
xU
，
，
，
0 0
0
)(
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：
txU 与)(
无关，是定态问题。其定态 S — 方程
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
m
在各区域的具体形式为
Ⅰ：
)()()()(
2
0
1112
22
xExxUx
dx
d
m
x
①
Ⅱ：
)()(
2
0
222
22
xEx
dx
d
m
ax
②
13
Ⅲ,
)()()()(
2
3332
22
xExxUx
dx
d
m
ax
③
由于 ( 1),( 3) 方程中，由于
)( xU
，要等式成立，必须
0)(1?x?
0)(2?x?
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程 ( 2 ) 可变为
0)(
2)(
222
2
2
x
mE
dx
xd
令
2
2 2
mE
k?
，得
0)(
)(
2
2
2
2
2
xk
dx
xd
其解为
kxBkxAx c o ss i n)(2
④
14
根据波函数的标准条件确定系数 A,B,由连续性条件，得
)0()0( 12
⑤
)()( 32 aa
⑥
⑤
0 B
⑥
0s i n kaA
),3,2,1(
0s i n
0
nnka
ka
A
∴
x
a
n
Ax
s i n)(
2
由归一化条件
1)(
2
dxx?
得
1s i n
0
22
a
x d x
a
n
A
由
mn
a
b
a
x d x
a
n
x
a
m
2
s i ns i n
15
x
a
n
a
x
a
A
s i n
2
)(
2
2
2
2 2
mE
k?
),3,2,1(
2
2
2
22
nn
ma
E
n
可见 E 是量子化的。
对应于
nE
的归一化的定态波函数为
axax
axxe
a
n
atx
tE
i
n
n
,,0
0,s i n
2
),(
16
2,4,证明（ 2,6 - 14 ）式中的归一化常数是
a
A
1
证：
ax
axax
a
n
A
n
,0
),(s i n
由归一化，得
aA
ax
a
n
n
aA
aA
dxax
a
nA
x
A
dxax
a
n
A
dxax
a
n
Adx
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
2
2
2
22
2
22
2
)(s i n
2
)(c o s
22
)](c o s1[
2
1
)(s i n1
∴归一化常数
a
A
1
17
2,5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：
22
2
1
2
2
)(
x
xex
22
22
2
3
22
2
11
2
2
4)()(
x
x
ex
exxx
22
]22[
2
)(
32
3
1 x
exx
dx
xd
令
0
)(
1
dx
xd?
，得
xxx
1
0
由
)(1 x?
的表达式可知，
xx 0,
时，
0)(1?x?
。显然不是最大几率的位置。
22
22
)]251[(
4
)]22(2)62[(
2
)(
4422
3
32222
3
2
1
2
x
x
exx
exxxx
dx
xd
而
0
14
2
)(
3
2
1
2
1
2
edx
xd
x
,可见
1
x
是所求几率最大的位置。
#
18
2,6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称,
)()( xUxU
，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态 S - 方程为
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
①
将式中的
)( xx?以代换，得
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
②
利用
)()( xUxU
，得
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
③
比较①、③式可知，
)()( xx 和?
都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数 。由于它们描写的是同一个状态，因此
)()( xx 和?
之间只能相差一个常数
c
。方程①、③可相互进行空间反演
)( xx
而得其对方，由①经
xx
反演，可得③,
)()( xcx
④
由③再经
xx
反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
)()( xcx
⑤
④乘 ⑤，得
)x()x(c)x()x( 2
,可见，
12?c
,所以
1c
当
1c
时，
)x()x(
，
)( x
具有偶宇称,
当
1c
时，
)()( xx
，
)( x
具有奇宇称,
当势场满足
)()( xUxU
时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
19
2,7 一粒子在一维势阱中
ax
axU
xU
,0
,0
)(
0
运动，求束缚态 (
00 UE
) 的能级所满足的方程。
解：粒子所满足的 S - 方程为
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
按势能
)( xU
的形式分区域的具体形式为
Ⅰ,
)x(E)x(U)x(
dx
d
2
11012
22
ax
①
Ⅱ：
)()(
2
222
22
xEx
dx
d
axa
②
Ⅲ：
)x(E)x(U)x(
dx
d
2
33032
22
xa
③
20
整理后，得
Ⅰ,
0
)(2
12
0
1
EU
④
Ⅱ,,
0
E 2
222
⑤
Ⅲ：
0
)(2
32
0
3
EU
⑥
令
2
2
22
02
1
2
)(2
E
k
EU
k
则
Ⅰ,
01211 k
⑦
Ⅱ,,
02222 k
⑧
Ⅲ：
01213 k
⑨
各方程的解为
xkxk
3
222
xkxk
1
11
11
FeEe
xkco sDxks i nC
BeAe
21
由波函数的有限性，有
0 )(
0 )(
3
1
E
A
有限有限
因此
xk
3
xk
1
1
1
Fe
Be
由波函数的连续性，有
)13( Fekaks i nDkakc o sCk),a()a(
)12( Feakc o sDaks i nC),a()a(
)11( aks i nDkakc o sCkBek),a()a(
)10( akc o sDaks i nCBe),a()a(
ak
1222232
ak
2232
2222
ak
121
22
ak
21
1
1
1
1
整理 (10),(11),(12),(13) 式，并合并成方程组，得
0FekaDks i nkaCkc o sk0
0FeaDkc o saCks i n0
00D aks i nkaCkc o skBek
00aDkc o saCks i nBe
ak
12222
ak
22
2222
ak
1
22
ak
1
1
1
1
22
解此方程即可得出 B,C,D,F,进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
0
Bekaks i nkakc o sk0
eakc o saks i n0
0aks i nkakc o skek
0akc o saks i ne
ak
12222
ak
22
2222
ak
1
22
ak
1
1
1
1
]ak2c o skk2ak2s i n)kk[(e
]ak2s i nkak2s i nkak2c o skk2[e
]aks i nekakc o saks i nek
akc o sekakc o saks i nek[ek
]akc o saks i nekaks i nekk
akc o saks i nekakc o sekk[e
ekaks i nkakc o sk
eakc o saks i n
0akc o saks i n
ek
ekaks i nkakc o sk
eakc o saks i n
0aks i nkakc o sk
e0
2212
2
1
2
2
ak2
2
2
12
2
2221
ak2
2
2ak
222
ak
1
2
2ak
222
ak
1
ak
1
22
ak2
22
2ak
21
22
ak2
22
2ak
21
ak
ak
12222
ak
22
22
ak
1
ak
12222
ak
22
2222
ak
1
1
11
111
11
111
1
11
1
11
∵
012 ake
∴
02c o s22s i n)( 22122122 akkkakkk
即
022)( 2122122 kkaktgkk
为所求束缚态能级所满足的方程。
23
方法二,接（ 13 ）式
aks i nD
k
k
akco sC
k
k
akco sDaks i nC
2
1
2
2
1
2
22
aks i nD
k
k
akco sC
k
k
akco sDaks i nC
2
1
2
2
1
2
22
02c o sk2 2s i n)(
02c o s
2
2s i n) 1(
0c o ss i nc o ss i nc o ss i n
0)c o ss i n)(s i nc o s(
0)c o ss i n)(s i nc o s(
)c o ss i n)(s i nc o s(
0
)c o ss i n(s i nc o s
c o ss i ns i nc o s
2212
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
222
2
1
2
2
2
1
2
22
2
1
2
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
akkakkk
ak
k
k
ak
k
k
akakak
k
k
ak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
24
另一解法,
(11) - (13)
)(s i n2 1122 FBekakDk ak
(10)+(12)
)FB(eakc o sD2 ak2 1
)a( kat g kk
)12()10(
)13()11(
122
(11)+(13)
aikeBFkakCk 1)(co s2
122
(12) - (10)
aik
2
1e)BF(aks i nC2
令
，,akak 22
则
)d( ct g
)c( tg
或
)f(
aU2
)kk(
2
2
02
2
2
1
22
合并
)b()a(,
,
2
1
2
2
21
2
2
2
kk
kk
aktg
利用
aktg1
at g k2
ak2tg
2
2
2
2
（ b ）
k a c t gk k
) 10 ( ) 12 (
) 13 ( ) 11 (
1 2 2
25
2 - 7 一粒子在一维势阱
ax
axU
xU
,0
,0
)(
0
中运动，求束缚态
)0( 0UE
的能级所满足的方程。
解：（最简方法 - 平移坐标轴法 ）
Ⅰ：
1101
2
2
EU
（ χ ≤ 0 ）
Ⅱ：
22
2
2
E
（ 0 ＜ χ ＜ 2
a
）
Ⅲ：
3303
2
2
EU
（ χ ≥ 2
a
）
0
)(2
0
2
0
)(2
3
2
0
3
2
2
2
1
2
0
1
EU
E
EU
( 3 ) 0k
E2k ( 2 ) 0k
)EU(2k ( 1 ) 0k
3
2
13
22
22
2
22
2
0
2
11
2
11
束缚态
0
＜ E ＜
0U
26
xkxk
xkxk
FeEe
xkDxkC
BeAe
11
11
3
222
1
c o ss i n
0 )(
0 )(
3
1
E
B
有限有限
因此
xk
xk
Fe
Ae
1
1
3
1
由波函数的连续性，有
)7( Feak2c o sDak2s i nC),a2()a2(
)6( Fekak2s i nDkak2c o sCk),a2()a2(
)5( CkAk),0()0(
)4( DA),0()0(
ak2
2232
ak2
1222232
2121
21
1
1
(7) 代入 (6)
akD
k
k
akC
k
k
akDakC
2
1
2
2
1
2
22
2s i n2co s2co s2s i n
利用 (4),(5),得
27
0ak2c o skk2ak2s i n)kk(
)kk(
0ak2c o s2ak2s i n)
k
k
k
k
(
0A
0]ak2c o s2ak2s i n)
k
k
k
k
[(A
ak2s i nD
k
k
ak2c o sAak2c o sAak2s i nA
k
k
2212
2
1
2
2
21
22
1
2
2
1
22
1
2
2
1
2
1
2
222
2
1
即得两边乘上
28
2,8 分子间的范德 瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
，
，
，
，
,0
,
0,
0,
)(
1
0
xb
bxaU
axU
x
xU
求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。
定态 S - 方程为
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
对各区域的具体形式为
Ⅰ：
)0( )(
2
111
2
xExU
Ⅱ：
)0(
2
2202
2
axEU
Ⅲ：
)(
2
3313
2
bxaEU
29
Ⅳ：
)( 0
2
44
2
xbE
对于区域 Ⅰ，
)( xU
，粒子不可能到达此区域，故
0)(1?x?
而,
0
)( 2
22
0
2
EU
①
0
)( 2
32
1
3
EU
②
0
2
424
E
③
对于束缚态来说，有
0 EU
∴
02212 k
2
02
1
)( 2
EU
k
④
03233 k
2
12
3
)( 2
EU
k
⑤
04244 k
22
4 /2?Ek
⑥
各方程的解分别为
xkxk
xkxk
FeEe
xkDxkC
BeAe
33
11
4
223
2
co ss i n
30
由波函数的有限性，得
0 )(4 E有限，?
∴
xkFe 3
4
由波函数及其一阶导数的连续，得
AB )0()0( 21
∴
)( 332 xkxk eeA
akDakCeeAaa xkxk 2232 co ss i n)()()( 33
⑦
akDkakCkeeAkaa akak 2222133 s i nco s)()()( 33
⑧
bkFebkDbkCbb 3
2243 c o ss i n)()(
⑨
bkeFkbkDkbkCkbb 3
3222243 c o ss i n)()(
⑩
由⑦、⑧，得
akDakC
akDakC
ee
ee
k
k
akak
akak
22
22
2
1
c oss i n
c osc os
11
11
(11)
由 ⑨、⑩得
DbkkCbkkDbkkCbkk )c o s()s i n()s i n()c o s( 23232222
0)s i nco s()s i nco s(
22
3
2
22
3
2
Dbkbk
k
k
Cbkbk
k
k
(12)
令
2
1
11
11
k
k
ee
ee
akak
akak
，则①式变为
0)s i nc o s()c o ss i n( 2222 DakakCakak
31
联立 ( 12 ),( 13) 得，要此方程组有非零解，必须
0
)s i nc os()c oss i n(
)c oss i n()s i nc os(
2222
22
3
2
22
3
2
akakakak
bkbk
k
k
bkbk
k
k
)()1()(
0)1) ( ((co s))((s i n
0co sco ss i nco s
)co ss i ns i ns i ns i ns i n
co ss i ns i ns i nco sco s
0)co ss i n(
)co ss i n()s i nco s)(s i nco s(
3
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2222
22
3
2
22
3
2
22
2222
3
2
22
3
2
22
3
2
2222
3
2
22
k
k
k
k
abtgk
k
k
abk
k
k
abk
akbkakbk
akbk
k
k
akbk
k
k
akbk
akbkakbk
k
k
akbk
k
k
bkbk
k
k
akakbkbk
k
k
akak即
32
把
代入即得
)()1()(
11
11
11
11
2
1
3
2
3
2
2 akak
akak
akak
akak
ee
ee
k
k
k
k
ee
ee
k
k
abt gk
此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。
#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
））
（
）
（
bkakekbkakekbk
akekbkakekkeek
bkakekbkakekkbk
akekbkakekkee
ekbkkbkk
ebkbk
akak
eek
ekbkkbkk
ebkbk
akkakk
ee
ekbkkbkk
ebkbk
akkakkkee
akakee
bkbk
bkbkbkbk
akak
akakakak
ak
akakak
ak
akakak
ak
ak
akak
akak
2222232
2222321
22
2
222322
2
2
22232
32222
22
22
1
32222
22
2222
32222
22
22222
22
s i ns i ns i nco sco s
co sco ss i n)(
s i nco ss i ns i nco s
s i nco sco s)(
s i nco s
co ss i n
0co ss i n
)(
s i nco s
co ss i n
0s i nco s
)(0
0
s i nco s0
co ss i n0
0s i nco s)(
0co ss i n)(
33
3311
33
3311
3
311
3
311
3
3
11
11
33
0
)](s i n)()(c o s)[(
)](s i n)()(c o s)([
)](c o s)(s i n)[(
)](s i n)(c o s)[(
31
31
311
311
231
2
22231
231
2
22231
221231
2
2
2232
bkak
bkak
bkakak
bkakak
eabkkkkabkkkke
eabkkkkabkkkke
eabkkkabkkkee
eabkkabkkkee
0)(
)()()]()[(
0)]()()[(
)]()()([
231
2
231231
2
2
2
31
2
2
231
2
2231
231
2
2231
11
3
3
kkk
ekkkabt g kkkkekkk
eabt g kkkkkkk
eabt g kkkkkkk
akak
bk
bk
此即为所求方程。
34
第三章 力学量的算符表示
3,1 一维谐振子处在基态 tix
ex
22
22
)(
，求,
( 1 )势能的平均值
22
2
1
xU；
( 2 )动能的平均值
2
2
p
T?；
( 3 )动量的几率分布函数。
解,( 1)
dxexxU
x
22
2222
2
1
2
1?
2
2
2
22
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
4
1
0
1
2
2
)12(5312
aa
n
dxex
nn
axn
( 2 )
dxxpx
p
T )(?)(
2
1
2
2*
2
35
dxe
dx
d
e
xx
2222
2
1
2
2
22
1
)(
2
1
dxex
x
22
)1(
2
222
2
][
2
2222
222
2
dxexdxe
xx
]
2
[
2
3
22
2
4422
2
2
2
2
2
4
1
或
4
1
4
1
2
1
UET
( 3 )
dxxxpc p )()()(
*
2
1
22
2
1
dxee
Px
i
x
36
dxee
Px
i
x
22
2
1
2
1?
dxe
pip
x
22
2
2
2
2
2
)(
2
1
2
1
dxee
ip
x
p
2
2
2
22
2
)(
2
1
2
2
1
2
2
1 22
2
2?
p
e
22
2
2
1
p
e
动量几率分布函数为
22
2
1
)()(
2
p
epcp
#
3,2,氢原子处在基态
0
/
3
0
1
),,(
ar
e
a
r
，求,
( 1 ) r 的平均值； ( 2 ) 势能
r
e
2
的平均值； ( 3 ) 最可几半径； ( 4 ) 动能的平均值；
( 5 ) 动量的几率分布函数。
解,( 1 )
drddrre
a
drrr
ar
s i n
1
),,(
0
2
2
0 0
/2
3
0
2
0
37
0
/23
3
0
0
4
drar
a
ar
0
1
!
n
axn
a
n
dxex
0
4
0
3
0
2
3
2
!34
a
a
a
0
2
2
0
3
0
2
0
/2
3
0
2
0
2
0 0
/2
3
0
2
0
2
0 0
2/2
3
0
22
2
14
4
s i n
s i n
1
)()2(
0
0
0
a
e
a
a
e
drre
a
e
dd r dre
a
e
dd r dre
ra
e
r
e
U
ar
ar
ar
( 3 ) 电子出现在 r + dr 球壳内出现的几率为
0
2
0
22
s i n)],,([)( dd r drrdrr
drre
a
ar 2/2
3
0
0
4
2/2
3
0
0
4
)( re
a
r
ar?
38
0
/2
0
3
0
)
2
2(
4)( ar
rer
aadr
rd?
令
0321
,,0 0
)(
arrr
dr
rd
,
当
0)(,0 21 rrr?时，
为几率最小位置
0
/22
2
00
3
0
2
2
)
48
2(
4)( ar
er
a
r
aadr
rd?
0
8)(
2
3
0
2
2
0
e
adr
rd
ar
∴
0ar?
是最可几半径。
( 4 )
2
2
2
2
2
1
pT
0
2
0 0
2/2/
3
0
2
s i n)(
1
2
00
ddr dree
a
T
arar?
0
2
0 0
2/2
2
/
3
0
2
s i n)]([
11
2
00
ddr dre
dr
d
r
dr
d
r
e
a
arar?
22
2
2
2
si n
1
)(s in
si n
1
)(
1
r
r
rr
39
0
/
0
2
0
3
0
2
)2(
1
(
2
4
0
dre
a
r
r
aa
ar
2
0
22
0
2
0
4
0
2
2
)
44
2(
2
4
a
aa
a
( 5 )
drrpc p ),,()()( *
2
00
c o s
0
2/
3
0
2/3
s i n
1
)2(
1
)(
0
ddedrre
a
pc
pr
i
ar?
0
c o s
0
/2
3
0
2/3
)co s(
)2(
2
0
dedrer
a
pr
i
ar?
0
0
c o s
/2
3
0
2/3
0
)2(
2
pr
i
ar
e
i pr
drer
a
0
/
3
0
2/3
)(
)2(
2
0
dreere
ipa
pr
i
pr
i
ar
0 1
!
n
axn
a
n
dxex
40
]
)
1
(
1
)
1
(
1
[
)2(
2
2
0
2
0
3
0
2/3
p
i
a
p
i
a
ipa
2
2
2
2
0
0
33
0 )
1
(
4
2
1
p
a
a
ip
ipa
2222
0
44
0
0
33
0
)(2
4
pa
a
aa?
2222
0
2/3
0
)(
)2(
pa
a
动量几率分布函数
422
0
2
53
02
)(
8
)()(
pa
a
pcp
#
3,3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
0eer JJ
2
s i n
mne
r
me
J
41
证：电子的电流密度为
)(
2
**
mnmnmnmne
i
eJeJ
在球极坐标中为
s i n
11
r
ee
rr
e
r
式中
eee r
、、
为单位矢量
])
s i n
11
(
)
s i n
11
([
2
*
*
mnrmn
mnrmne
r
ee
rr
e
r
ee
rr
e
i
eJeJ
)]
s i n
1
s i n
1
()
1
1
()([
2
***
***
mnmnmnmnmnmn
mnmnmnmnmnmnr
rr
e
r
r
e
rr
e
ie
mn
中的
r
和
部分是实数。
∴
eimim
r
ie
J
mnmne
)(
s i n2
22
e
r
me
mn
2
s i n
可见，
0eer JJ
2
s i n
mne
r
me
J
42
3,4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。
( 1 ) 求一圆周电流的磁矩。
( 2 ) 证明氢原子磁矩为
)(
2
)(
2
C G S
c
me
SI
me
MM
z
原子磁矩与角动量之比为
)(
2
)(
2
C G S
c
e
SI
e
L
M
z
z
这个比值称为回转磁比率。
解,( 1 ) 一圆周电流的磁矩为
AdSJiAdM e
（
i
为圆周电流，
A
为圆周所围面积）
22
)s i n(
s i n
rdS
r
me
mn
43
dSr
me
mn
2
s i n
d r dr
me
mn
22
s i n
)(?r dr ddS?
( 2 ) 氢原子的磁矩为
0 0
22
s i n d r dr
me
dMM
mn?
0 0
22
s i n2
2
d r dr
me
mn?
dd r dr
me
mn
2
0 0 0
22
s i n
2
2
me?
)( SI
在
C G S
单位制中
c
me
M
2
原子磁矩与角动量之比为
)(
2
SI
e
L
M
L
M
zz
z
)(
2
C G S
c
e
L
M
z
z
44
3,5 一刚性转子转动惯量为 I,它的能量的经典表示式是
I
L
H
2
2
,L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数,
( 1) 转子绕一固定轴转动,
( 2) 转子绕一固定点转动,
解,( 1) 设该固定 轴沿 Z 轴方向，则有
22
ZLL?
哈米顿算符
2
22
2
2
2
1
d
d
I
L
I
H
Z
,其本征方程为 (
tH 与?
无关，属定态问题 )
)(
2)(
)()(
2
22
2
2
22
IE
d
d
E
d
d
I
令
2
2
2
IE
m?
，则
0)(
)(
2
2
2
m
d
d
取其解为
imAe?)(
(
m
可正可负可为零 )
45
由波函数的单值性，应有
imim ee )2()()2(
即
12mie
,∴ m = 0,±1,±2,…
转子的定态能量为
I
m
E
m
2
22
( m = 0,±1,±2,…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为
im
m Ae?
,A 为归一化常数，由归一化条件
2
1
21
2
2
0
2
2
0
*
A
AdAd
mm
∴ 转子的归一化波函数为
im
m
e
2
1
综上所述，除 m = 0 外，能级是二重简并的。
46
( 2) 取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
2?
2
1
L
I
H?
tH 与?
无关，属定态问题，其本征方程为
),(),(?
2
1 2
EYYL
I
( 式中
),(Y
设为 H? 的本征函数,E 为其本征值 )
),(2),(? 2 I EYYL?
令 2
2IE
，则有
),(),(? 22 YYL
此即为角动量 2?L 的本征方程，其本征值为
),2,1,0( )1( 222L
其波函数为球谐函数
imm
mm ePNY )( c o s),(
∴ 转子的定态能量为
2
)1(
2
I
E
可见，能量是分立的，且是
)12(
重简并的。
47
3,6 设 t = 0 时，粒子的状态为
]co s[ s i n)( 212 kxkxAx
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：
]c o s)2c o s1([]c o s[ s i n)(
2
1
2
1
2
12 kxkxAkxkxAx
]c o s2c o s1[
2
kxkx
A
)]()(1[
2
2
122
2
1 i k xi k xkxikxi
eeee
A
2
1
][
2
2
2
1
2
12
2
12
2
10
i k xi k xkxikxixi
eeeee
A
可见，动量
np
的可能值为
kkkk 2 2 0
动能
2
2
n
p
的可能值为
2
2
2
2
0
22222222
kkkk
对应的几率
n?
应为
2)
16
16
16
16
4
(
22222
AAAAA
2
)
8
1
8
1
8
1
8
1
2
1
( A?
上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得
2
2
2)
16
4
4
(1
222
AAA
n
n
∴
/1?A
48
∴ 动量
p
的平均值为
02
16
2
16
2
16
22
16
20
2222
A
k
A
k
A
k
A
k
pp
n
nn
n
n
n
pp
T?
22
22
2
8
1
2
2
8
12
0
2222
kk
8
5
22
k
49
3,7 一维运动粒子的状态是
0,0
0,
)(
x
xA x e
x
x
当当
其中
0
，求,( 1 ) 粒子动量的几率分布函数； ( 2) 粒子的平均动量。
解,( 1 ) 先求归一化常数，由
0
2222
)(1 dxexAdxx
x?
2
3
4
1
A
∴
2/32A
xxex 22/32)(
)0(?x
0)(?x?
)0(?x
dxxxedxxepc
xiki k x
)(2)
2
1
()(
2
1
)(
)(2/32/1
dxe
ik
e
ik
x
xikxik )(
0
)(2/1
3
1
[)
2
2
(
2
2/1
3
2
2/1
3
)(
1
)
2
2
(
)(
)
2
2
(
p
i
ik
x
动量几率分布函数为
2222
33
2
2
2
2
3
2
)(
12
)(
12
)()(
pp
pcp
50
( 2 )
dxedx dxeidxxpxp xx )(4)(?)( 3*
dxexxi x 23 )1(4
dxexxi x 223 )(4
)
4
1
4
1(4
22
3
i
0?
3,8,在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a,如果粒子的状态由波函数
)()( xaAxx
描写,A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数 )( x? 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量 的本征函数和本征值为
51
axx
axx
a
n
ax
,0,0
0,s i n
2
)(
2
222
2 a
n
E
n
) 3 2 1(?，，，?n
动量的几率分布函数为
2
)(
n
CE
a
n
dxxx
a
n
dxxxC
0
*
)(s i n)()(?
先把
)( x?
归一化，由归一化条件,
aa
dxxaxaxAdxxaxAdxx
0
2222
0
222
)2()()(1?
a
dxxaxxaA
0
43222
)2(
30
)
523
(
5
2
555
2
a
A
aaa
A
∴
5
30
a
A?
∴
a
n
dxxaxx
a
n
aa
C
0
5
)(s i n
302?
]s i ns i n[
152
0
2
0
3
xxd
a
n
xxxd
a
n
xa
a
aa
52
a
x
a
n
n
a
x
a
n
x
n
a
x
a
n
x
n
a
x
a
n
n
a
x
a
n
x
n
a
a
0
33
3
22
2
2
22
32
3
]c o s
2
s i n
2
c o ss i nc o s[
152
])1(1[
154
33
n
n
∴
2
66
2
])1(1[
2 4 0
)(
n
n
n
CE
,6,4,20
5 3 1
9 6 0
66
n
n
n
，
，，，，
a
dxx
p
xdxxHxE
0
2
)(
2
)()(?)(?
a
dxaxx
dx
d
axx
a0
2
22
5
)](
2
[)(
30
)
32
(
30
)(
30
33
5
2
05
2
aa
a
dxaxx
a
a
2
2
5
a?
53
3,9,设氢原子处于状态
),()(
2
3
),()(
2
1
),,(
11211021
YrRYrRr
求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现 的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
2
2
22
2
2
82
ss
e
n
e
E
)2(?n
角动量平方有确定值为
222 2)1(L
)1(
角动量 Z 分量的可能值为
01?ZL2ZL
其相应的几率分别为
4
1
,
4
3
其平均值为
4
3
4
3
0
4
1
Z
L
54
3,10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
ar
ar
rU
,0;,
)(
求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在
ar?
的区域，
)( rU
，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
0
(
ar?
)
由于在
ar?
的区域内，
0)(?rU
。只求角动量为零的情况，即
0
，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度
,
无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与
r
有关，而与
,
无关。设为
)( r?
，则粒子的能量的本征方程为
E
dr
d
r
dr
d
r
)(
1
2
2
2
令
2
2 2
,)(
E
krErU
，得
55
0
2
2
2
uk
dr
ud
其通解为
kr
r
B
kr
r
A
r
krBkrAru
s i nc o s)(
s i nc o s)(
波函数的有限性条件知,
)0(?
有限，则
A = 0
∴
kr
r
B
r s i n)(
由波函数的连续性条件，有
0s i n 0)( ka
a
B
a?
∵
0?B
∴
),2,1( nnka?
a
n
k
∴
2
22
2
2
a
n
E
n
r
a
n
r
B
r
s i n)(?
其中 B 为归一化，由归一化条件得
56
2
0
22
0
2
2
00
2s i n4
s i n)(1
aBr d r
a
n
B
drrrdd
a
a
∴
a
B
2
1
∴ 归一化的波函数
r
r
a
n
a
r
s i n
2
1
)(?
#
3,11,求第 3,6 题中粒子位置和动量的测不准关系
)()( 22 px
解,
0?p
222
4
5
2?kTp
57
0]c o s
2
1
[ s i n
222
dxkxkxxAx
dxkxkxxAx
22222
]c o s
2
1
[ s i n
)()()()(
222222
ppxxpx
3,12,粒子处于状态
]
4
e x p [)
2
1
()(
2
2
0
2/1
2
x
xp
i
x
式中
为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系
)()( 22 px
解,① 先把
)( x?
归一化，由归一化条件，得
)
2
(
2
1
2
1
1
2
)
2
(
2
2
2
2
22
2
x
dedxe
xx
2/1
2
2
)
2
1
(
2
1
∴
2
1
2
/
58
∴ 是归一化的
]
2
e x p [)(
2
0
xxp
i
x
② 动量平均值为
dxexp
i
eidx
dx
d
ip
xxp
i
xxp
i 2
0
2
0
2
0
2
) ()(*
dxexp
i
i
x
2
0
) (
dxxeidxep
xx
22
0
0p?
③
)()( 22 px
dxxedxxx
x
2
*
（奇被积函数）
59
dxeexdxexx
xxx
222
22
2
1
2
1
2
1
dxe
dx
d
edx
dx
d
p
xxp
i
xxp
i
*
2
0
2
0
2
2
2
22
dxexdxxepi
p
xx
2)(
22
222
0
2
02
)
2
(
2
1
)(0)(
2
0
222
2
02
p
p
2
1
)(
2
22
xxx
60
22
0202
222
2)2()(
ppppp
2222
4
1
22
1)()(
px
61
第四章 态和力学量的表象
4,1,求在动量表象中角动量
xL
的矩阵元和
2
xL
的矩阵元。
解：
depzpyeL
rp
i
yz
rp
i
ppx
)()
2
1
()(
3
dezpype
rp
i
yz
rp
i
)()
2
1
(
3
de
p
p
p
pie
rp
i
z
y
y
z
rp
i
))(()
2
1
(
3
de
p
p
p
pi
rpp
i
z
y
y
z
）（
3
)
2
1
)()((
)()( pp
p
p
p
pi
y
z
z
y
62
dLxL pxpppx
2*2
)()(
depzpye
rp
i
yz
rp
i
23
)()
2
1
(
depzpypzpye
rp
i
yzyz
rp
i
))(()
2
1
(
3
de
p
p
p
pipzpye
rp
i
y
z
z
yyz
rp
i
))()(()
2
1
(
3
depzpye
p
p
p
pi
rp
i
yz
rp
i
y
z
z
y
)()
2
1
)()((
3
de
p
p
p
p
rpp
i
y
z
z
y
）（
322
)
2
1
()(
)()(
22
pp
p
p
p
p
y
z
z
y
63
4,2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：
x
a
n
a
xu
n
s i n
2
)(?
能量：
2
222
2 a
n
E
n
对角元：
2
s i n
2
0
2 ax d x
a
m
x
a
x
a
mm
cnun
u
nu
n
n u d uu s i nc o s
1
c o s
2
当时,nm?
a
mn dx
a
n
xx
a
m
a
x
0
)( s i n)( s i n
2
64
1)1(
)(
4
)(
1
)(
1
1)1(
]
)(
s i n
)(
)(
c o s
)(
[
]
)(
s i n
)(
)(
c o s
)(
[
1
)(
c o s
)(
c o s
1
2222
222
0
22
2
0
22
2
0
nm
nm
a
a
a
nm
mna
nmnm
a
x
a
nm
nm
ax
x
a
nm
nm
a
x
a
nm
nm
ax
x
a
nm
nm
a
a
dxx
a
nm
x
a
nm
x
a
65
anm
mni
nmnm
a
a
n
i
x
a
nm
nm
a
x
a
nm
nm
a
a
n
i
dxx
a
nm
x
a
nm
a
n
i
x d x
a
n
x
a
m
a
n
i
x d x
a
n
dx
d
x
a
m
a
idxxupxup
nm
nm
a
a
a
a
nmmn
)(
2
1)1(
]1)1(
)(
1
)(
1
)(
c o s
)(
)(
c o s
)(
)(
s i n
)(
s i n
c o ss i n
2
s i ns i n
2
)(?)(
22
2
0
2
0
2
0
2
0
*
Cnm unmnm unmn u d umu )(2 )c o s ()(2 )c o s (c o ss i n
66
4,3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
解：定态薛定谔方程为
),(),(
2
),(
2
1
2
2
2
22
tpECtpC
p
tpC
dp
d
即
0),()
2
(),(
2
1
2
2
2
22
tpC
p
EtpC
dp
d
两边乘以
2
，得
0),()
2
(),(
1
1
2
2
2
tpC
pE
tpC
dp
d
令
1
,
1
pp
67
E2?
0),()(),( 222 tpCtpCdd
tEi
n
p
n
n
nepHeNtpC
nE
)(),(
)(
2221
21
nN
2/12/1 )!2( nN nn
跟课本 P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为式中为归一化因子，即
68
22222222 21221?2 1? xxxpH
dxxHxH pppp )(?)(*
dxexxe xpipxi )212(2 1 22222
dxexdxepi xppixppi )(22)(22 2 1212 1)(2
dxepippp xppi )(22222 )(2 121)(2
dxepippp xppi )(22222 1)(21)(2
)(21)(2 22222 pppppp
4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：
69
4,5 设已知在
ZLL
2 和的共同表象中，算符
yx LL
和的矩阵分别为
010
101
010
2
x
L
00
0
00
2
2
i
ii
i
L
y
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵
yx LL 和对角化。
解：
xL
的久期方程为
00
2
0
22
0
2
23
70
321 0,，
∴
xL
的本征值为
，，0
xL
的本征方程
3
2
1
3
2
1
010
101
010
2
a
a
a
a
a
a
其中
3
2
1
a
a
a
设为
xL
的本征函数
ZLL
2 和共同表象中的矩阵当
01
时，有
0
0
0
010
101
010
2
3
2
1
a
a
a
0
0
0
0
2
213
2
31
2
aaa
a
aa
a
，
∴
1
1
0
0
a
a
由归一化条件
2
1
1
1
*
1
*
100
20),0,(1 a
a
a
aa?
取
2
1
1
a
71
2
1
0
2
1
0
对应于
xL?
的本征值 0 。
当
2?
时，有
3
2
1
3
2
1
010
101
010
2
a
a
a
a
a
a
13
32
12
3
2
1
2
31
2
2
2
2
1
)(
2
1
2
1
aa
aa
aa
a
a
a
a
aa
a
∴
1
1
1
2
a
a
a
由归一化条件
2
1
1
1
1
*
1
*
1
*
1
42),2,(1 a
a
a
a
aaa?
72
取
2
1
1
a
∴ 归一化的
2
1
2
1
2
1
对应于
xL
的本征值
当
2?
时，有
3
2
1
3
2
1
010
101
010
2
a
a
a
a
a
a
13
32
12
3
2
1
2
31
1
2
2
2
1
)(
2
1
2
1
aa
aa
aa
a
a
a
a
aa
a
∴
1
1
1
2
a
a
a
由归一化条件
2
1
1
1
1
*
1
*
1
*
1
42),2,(1 a
a
a
a
aaa?
取
2
1
1
a
73
∴ 归一化的
2
1
2
1
2
1
对应于
xL
的本征值
由以上结果可知，从
ZLL
2 和的共同表象变到
xL
表象的变换矩阵为
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
S
∴ 对角化的矩阵为
SLSL xx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
010
101
010
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
x
L
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
000
2
74
00
00
000
200
020
000
2
按照与上同样的方法可得
yL
的本征值为
，，0
yL
的归一化的本征函数为
2
1
0
2
1
0
2
1
2
2
1
i
2
1
2
2
1
i
从
ZLL
2 和的共同表象变到
yL
表象的变换矩阵为
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
22
0
2
1
2
1
2
1
i
i
S
ii
S
利用 S 可使
yL
对角化
00
00
000
SLSL
yy
75
4,6,求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为
J
t
∴
)**(
2
i
J
而
)**(
2
i
J
)**(
2
22
i
)
**
(
1
TT
i
∴
*)
*(
TT
t
i
*)
*(
)(
*
TT
t
i
写成矩阵形式为
0)
(
)(
)(
**
TTTT
t
i
TT
t
i
76
第五章 微扰理论
5,1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为
0r
、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对
0rr?
的区域有影响，对
0rr?
的区域无影响。据题意知
)()(? 0 rUrUH
其中
)(0 rU
是不考虑这种效应的势能分布，即
r
ze
rU
0
2
4
）（
)( rU
为考虑这种效应后的势能分布，在
0rr?
区域,
r
Ze
rU
0
2
4
)(
在
0rr?
区域，
)( rU
可由下式得出,
r
E d rerU )(
77
)(
4
)(,
43
4
4
1
02
0
03
00
3
3
03
42
0
rr
r
Ze
rrr
r
Ze
r
r
Ze
r
E
0
0
)(
r
r
r
E d reE d rerU
0
0
2
0
2
3
00
2
1
44 r
r
r
dr
r
Ze
r d r
r
Ze
)3(
84
)(
8
22
03
00
2
00
2
22
03
00
2
rr
r
Ze
r
Ze
rr
r
Ze
)( 0rr?
78
)( 0
)(
4
)3(
8)()(
0
0
0
2
22
03
00
2
0
rr
rr
r
Ze
rr
r
Ze
rUrUH
由于
0r
很小，所以
)(
2
0
2
2
)0(
rUHH
，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态
r
a
Z
e
a
Z
0
2/1
3
0
3
)0(
1
)(
）
dHE
)0(
1
*)0(
1
)1(
1
0
0
0
2
2
0
2
22
03
00
2
3
0
3
4]
4
)3(
8
[
r
r
a
Z
drre
r
Ze
rr
r
Ze
a
Z
∴
0ar
，故 10
2
r
a
Z
e 。
∴
00
0
3
00
24
0
422
03
0
3
00
24
)1(
1
)3(
2
rr
r d r
a
eZ
drrrr
ra
eZ
E
2
03
00
245
05
03
0
3
00
24
2
)
5
(
2
r
a
eZr
r
ra
eZ
2
03
00
24
10
r
a
eZ
2
03
0
24
5
2
r
a
eZ
s
79
5,2 转动惯量为 I,电偶极矩为
D
的空间转子处在均匀电场在
中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：取
的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为
co s?
2
1
2
2
2
DL
I
D
I
L
H
取
c o s?,?
2
1
2)0( DHL
I
H
，则
HHH )0(
由于电场较小，又把
H
视为微扰，用微扰法求得此问题。
)0(?
H
的本征值为
2( ( ) )
)1(
2
1
I
E
本征函数为
),()0( mY
)0(?H 的基态能量为
000?）（E
，为非简并情况。根 据定态非简并微扰论可知
)0()0(
0
2
0)2(
0
H
EE
E
ddYDYdHH m s i n)c o s(? 00
*)0(
0
)0*(
0
ddYYD m s i n) ( c o s 00
*
ddYYD
m
s i n
4
1
3
4
10
*
ddYY
D
s i n
3
10
*
0?
1
3
D
ID
ID
EE
E
22
2
2
12
22
'
)0()0(
0
2
0')2(
0
3
1
)1(3
2
H
80
其中
de
i
re
e
a
dFF
ar
rp
i
kmmk
0
/
3
0
2/3*
)
2
(
1
)
2
1
(?
取电子电离后的动量方向为 Z 方向,
取
、
p?
所在平面为
xoz
面，则有
zyxr zyx
)c o s)(c o s()c o ss i n)(s i n( rr
c o sc o s c o ss i ns i n rr
derre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
0
/
c o s
3
0
2/3
)c o sc o s c o ss i ns i n (
2
1
)
2
1
(
0 0
2
0
2/
c o s
3
0
2/3
s i n)c o sc o s c o ss i ns i n(
2
1
)
2
1
(
0
dd r drerre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
O
θ
α
x
y
r?
z （
p?
）
81
5,3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：
0201 EE 及
，现在受到微扰 H 的作用，微扰矩阵元为
bHHaHH 22112112,；
ba,
都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得
nnn HE
)1(
m mn
mn
n
EE
H
E
)0()0(
2
')2(
得
bHEbHE 22)1(0211)1(01
0201
2
001
2
1')2(
01
EE
a
EE
H
E
m m
m
0102
2
002
2
1')2(
02
EE
a
EE
H
E
m m
m
∴ 能量的二级修正值为
0201
2
011
EE
a
bEE
0102
2
022
EE
a
bEE
82
5,4 设在
0?t
时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为
t s i n
，
及
均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。 求这单色光的最小频率和在时刻
t
跃迁到电离态的几率。
解,① 当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为
2
4
1m i nm i n
2?
s
e
EEhv
h
e
v
s
2
4
m i n
2?
34
19
1062.6
106.16.13
Hz15103.3
②
0?t
时，氢原 子处于基态，其波函数为
0
/
3
0
1 ar
k
e
a
在
t
时刻,
rp
i
m
e
2/3
)
2
1
(
微扰
)(
2
s i n)(?
titi
ee
i
re
tretH
)(? titi eeF
其中
i
re
F
2
在 t 时刻跃迁到电离态的几率为
83
2)( taW
mmk
t ti
mkm tdeH
i
ta mk
0
1
)(?
t titimk
tdee
i
F
mkmk
0
)()( )(
]
11
[
)()(
mk
ti
mk
ti
mk
mkmk eeF
对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项,
mk
ti
mk
m
mkeF
ta
1
)(
)(
2
)()(
2
2
2
)(
)1)(1(
)(
mk
titi
mk
mmk
mkmk eeF
taW
22
2
12
2
)(
)(s i n4
mk
mkmk
tF
84
其中
de
i
re
e
a
dFF
ar
rp
i
kmmk
0/
3
0
2/3*
)
2
(
1
)
2
1
(?
取电子电离后的动量方向为 Z 方向,
取,
p?
所在平面为 xoz 面，则有
zyxr zyx
)c o s)(c o s()c o ss i n)(s i n( rr
c o sc o s c o ss i ns i n rr
derre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
0/
c o s
3
0
2/3
)c o sc o s c o ss i ns i n (
2
1
)
2
1
(?
O
θ
α
x
y
r?
z （
p?
）
85
0 0
2
0
2/
c o s
3
0
2/3
s i n)c o sc o s c o ss i ns i n(
2
1
)
2
1
(
0
dd r drerre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
0 0
2
0
/3
c o s
3
0
2/3
)s i nco s co s(
2
1
)
2
1
(
0
dd r dere
i
e
a
ar
rp
i
0
c o s
0
/3
3
0
2/3
s i nc o s[2
2
c o s1
)
2
1
(
0
dedrer
i
e
a
rp
i
ar?
0
22
2
/3
3
0
)]()([
22
c o s
0
dree
rp
ee
i p r
er
ai
e rp
i
rp
i
rp
i
rp
i
ar
3
2
2
2
0
0
3
0 )
1
(
116
22
c o s
p
a
ia
p
ai
e
3222
0
2/7
0
)(8
)(c o s16
pa
ape
∴
22
2
12
2
)(
)(s i n4
mk
mkmk
mk
tF
W
2
2
12
6222
0
2
57
0
2222
)(
)(s i n
)(
c os12 8
mk
mk
t
pa
aep
86
0 0
2
0
/3
c o s
3
0
2/3
)s i nco s co s(
2
1
)
2
1
( 0
dd r dere
i
e
a
ar
rp
i
0
c o s
0
/3
3
0
2/3
s i nc o s[2
2
c o s1
)
2
1
( 0 dedrer
i
e
a
rp
i
ar?
0
22
2
/3
3
0
)]()([
22
c o s
0 dree
rp
ee
i p r
er
ai
e rp
i
rp
i
rp
i
rp
i
ar
3
2
2
2
0
0
3
0 )
1
(
116
22
c o s
p
a
ia
p
ai
e
3222
0
2/7
0
)(8
)(c o s16
pa
ape
∴
22
2
12
2
)(
)(s i n4
mk
mkmk
mk
tF
W
2
2
12
6222
0
2
57
0
2222
)(
)(s i n
)(
c os12 8
mk
mk
t
pa
aep
87
5,5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
)(0,
0,0
/
0
为 大 于 零 的 参 数当当
te
t
t
求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率。
解：对于 2p 态，
1
，
m
可取
1,0?
三值，其相应的状态为
121211210
氢原子处在 2p 态的几率也就是从
1 0 0?
跃迁到
121211210,、
的几率之和。
由
t
ti
mkm
tdeH
i
ta mk
0
1
)(
dHH 1 0 0
*
2 1 01 0 0,2 1 0
)co s)(?( rteH
dYRrteYR 0010
*
1021 c o s)(
( 取
方向为 Z 轴方向 )
2
0 0
00
*
10
0
10
3
21
s i nc o s)( ddYYdrRrRte
)
3
1
( c o s
1000
YY
fte
ddYYfte
)(
3
1
s i n
3
1
)(
2
0 0
10
*
10
0
0
3
10
*
21
681
256
)()( adrrrRrRf
0
2
3
42/3
00
2/3
0
0
)
1
(
3
2
)
2
1
( drer
aaa
r
a
88
0
5
05
5
4
0 681
256
3
241
6
1
aa
a
！
ftedHH )(
3
1?
1 00
*
2 101 00,2 10
00
)(
24 3
212 8
681
25 6
3
)(
atea
te
0 10 0
*
21 110 0,21 1 c o s)( drteH
2
0 0 00
*
110 10
3
21 s i nc o s)( ddYYdrRrRte
2
0 0
10
*
11
0
10
3
21
s i n
3
1
)( ddYYdrRrRte
= 0
dHH 100* 121100,121?
0
2
0 00
*
110 10
3
21 s i nc o s)( ddYYdrRrRte
0
2
0
10
*
11
0
10
3
21
s i n
3
1
)( ddYYdrRrRte
= 0
89
由上述结果可知，
0211100W
,
01211 00W
∴
1211 0 02 1 11 0 02 1 01 0 021 WWWW ps
2
0
100,2102210100
21
1
t
ti
tdeHW
2
0
/2
00
2
2
21)()
243
128
(
2
t
tti
tdeeea
2
2
21
2
2
0
2
0
22
2
1
1
)
2 4 3
1 2 8
(
2
21
t
ti
e
ae
当t 时,
2
2
21
2
0
2
0
22
221
1
1
)
243
128
(
2
ae
ps
其中
0
2
3
4
3
4
1221
8
3
8
3
)
4
1
1(
2
)(
1
a
eee
EE
sss
90
5,6 计算氢原子由 第一激发态到基态的自发发射几率。
解,
2
3
32
3
4
mk
mks
mk
r
c
e
A
由选择定则
1
，知
ss 12?
是禁戒的故只需计算
sp 12?
的几率
12
21
EE?
3
4
3
4
8
3
)
4
1
1(
2
ss
ee
而
2
21
2
21
2
21
2
21 zyxr
2p 有三个状态,即
121211210,,
( 1) 先计算 z 的矩阵元
c o srz?
dYdrrrRrRz
mm 00
*
1
0
3
10
*
2110 0,21
c o s)()()(
dYYf m 00
*
1
3
1
0
3
1
m
f
fz
3
1
)(
100,210
0)( 100,211?z
0)( 100,121z
91
( 2 )计算 x 的矩阵元
)(s i n
2
c o ss i n
ii
ee
r
rx
dYeeYdrrrRrRx
ii
mm 00
*
1
0
3
10
*
21100,21
)( s i n)()(
2
1
)(
dYYf m ) Y(
3
2
2
1
1111
*
1
)(
6
1
11?
mm
f
i
eY s i n
8
3
11
i
eY
s i n
8
3
11
4
1
00
Y
0)( 1 0 0,2 1 0 x
fx
6
1
)(
100,211
fx
6
1
)(
1 0 0,121
( 3) 计算
y
的矩阵元
)(s i n
2
1
s i ns i n
ii
eer
i
ry
dYeeYdrrrRrR
i
y
ii
mm 00
*
1
0
3
10
*
211 0 0,21
)(s i n)()(
2
1
)(
)(
3
2
2
1
11?
mm
f
i
)(
6
1
11?
mm
f
i
0)( 1 0 0,2 1 0 y
f
i
y
6
)(
100,211
f
i
y
6
)(
1 00,121
22
22
2
12
)
3
1
6
2
6
2( ff
ff
r
sp
92
( 4) 计算
f
0
0
3
10
*
21
681
256
)()( adrrrRrRf
0
2
3
42/3
00
2/3
0
0
)
1
(
3
2
)
2
1
( drer
aaa
r
a
3
2
3
2
681
256
3
241
6
1
4
7
00
5
05
5
4
0
aaa
a
！
2
09
15
2
3
2
af?
2
213
3
21
2
12
3
4
r
c
e
A
s
sp
2
09
15
3
3
4
3
2
3
2
)
8
3
(
3
4
a
e
c
e
ss
2
2
2
310
143
7
8
)
(
3
2
s
s
ec
e
19
36
10
7
8
1091.1
3
2?
s
c
e
s
ss
A
910
21
1052.01023.5
1
93
5,7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。
解：
2112212 sppsp ANJ
2
4
63
10
7
8
2
8
3
3
2
ss
p
e
c
e
N
38
142
6
5
2
3
2
c
e
N sp
eV2.1021
2
0
43
10
6
5
2
3
2
ac
e
N sp
WN p 92 101.3
若
9
2 10
pN
，则
WJ 1.321?
94
5,8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解,
22
mkmkmk xrA
dxxx kmmk *
由
]
2
1
2
[
1
11
kkk
kk
x
mnnm dx
*
]
2
1
2
[
1
1,1,
kmkmmk
kk
x
1 km 时,
0?mkx
即选择定则为 1 kmm
95
7,1,证明,izyx 证：由对易关系
zxyyx i2
及反对易关系
0 xyyx
,得
zyx i
上式两边乘
z
，得
2 zzyx i
∵
1? 2?z?
∴
izyx
第七章 自旋与全同粒子
96
7,2 求在自旋态
)(21 zS?
中，
xS?
和
yS?
的测不准关系,
)()( 22?
yx SS
解：在
zS?
表象中
)(
21 z
S?
、
xS?
、
yS?
的矩阵表示分别为
0
1)(
2
1 zS?
01
10
2
xS
0
0
2
i
iS
y
∴ 在
)(
2
1 zS?
态中
0
0
1
01
10
2
)0 1(
2
1
2
1
xx SS
97
40
1
01
10
201
10
2
)0 1(?
2
22
2
1
2
1
xx SS
4)(
22
22
xxx SSS?
00100
2
)0 1(?
2
1
2
1
i
iSS
yy
40
1
0
0
20
0
2)0 1(
2
22
2
1
2
1
i
i
i
iSS
yy
4)(
22
22
yyy SSS?
16)()(
4
22
yx SS
98
16)()(
4
22
yx SS
讨论：由
xS?
、
yS?
的对易关系
[
xS?
，
yS?
]
zSi
要求
4
)()(
22
22 z
yx
S
SS
①
在
)(
2
1 zS?
态中，
2
zS
∴
16
)()(
4
22
yx SS
可见①式符合上式的要求。
99
7,3,求
0
0
2
01
10
2
i
iSS
yx
及的本征值和所属的本征函数。
解：
xS
的久期方程为
0
2
2
2
0)
2
( 22
∴
xS
的本征值为
2
。
100
设对应于本征值
2
的本征函数为
1
1
2/1 b
a
由本征方程
2/12/1 2
xS
,得
1
1
1
1
201
10
2 b
a
b
a
11
1
1
1
1 ab
b
a
a
b
由归一化条件 12/12/1,得
1),(
1
1*
1
*
1
a
a
aa
101
即
12 21?a
∴
2
1
2
1
11 ba
对应于本征值
2
的本征函数为
1
1
2
1
2/1?
设对应于本征值
2
的本征函数为
2
2
2/1 b
a
由本征方程
2
2
2/12/1 2
b
a
S x
22
2
2
2
2 ab
b
a
a
b
102
由归一化条件，得
1),(
2
2*
2
*
2
a
aaa
同理可求得
yS?
的本征值为
2
。其相应的本征函数分别为
i
1
2
1
2
1
i
1
2
1
2
1?
即
12 22?a
∴
2
1
2
1
22 ba
对应于本征值
2
的本征函数为
1
1
2
1
2/1?
103
7,4 求自旋角动量
)c o s,c o s,( c o s
方向的投影
c o s?c o s?c o s zyxn SSSS
本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量
zS
有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？
zS
的平均值是多少？
解：在 zS? 表象,nS? 的矩阵元为
c os10 01
2
c os00
2
c os01 10
2
i
iS
n
104
c o sc o sc o s
c o sc o sc o s
2 i
i
S n?
其相应的久期方程为
0
c o s
2
)c o s( c o s
2
)c o s( c o s
2
c o s
2?
i
i
即
0)c o s( c o s4c o s4 22
2
2
2
2
0
4
2
2 )1c o sc o sc o s( 222利用
105
2
所以
nS?
的本征值为
2
。
设对应于
2
nS
的本征函数的矩阵表示为
b
aS
n )(21?
，
则
b
a
b
a
i
i
2c osc osc os
c osc osc os
2
bbia c o s)c o s( c o s
co s1
co sco s
ib
由归一化条件，得
106
22** ),(1
2
1
2
1 bab
a
ba
1
c o s1
c o sc o s 2
2
2?
aia
1c o s1 2 2 a?
取
2
co s1a,得
)c os1(2
c osc os
ib
)c o s1(2
c o sc o s
1
c o s1
)(
2
1
i
S
n
107
)c o s1(2
c o sc o s
1
c o s1
)(
2
1
i
S n
2
1
2
1
)c o s1(2
c o sc o s
2
c o s1
1
0
)c o s1(2
c o sc o s
0
1
2
c o s1
)(
2
1
i
i
S
n
可见,
zS?
的可能值为
2 2
相应的几率为
2
c o s1
2
co s1
)co s1(2
co sco s 22?
c os22c os122c os12zS
108
同理可求得 对应于
2nS
的本征函数为在此态中，
zS?
的可能值为
2 2
相应的几率为
2
c o s1
2
c o s1
)c o s1(2
c o sc o s
2
c o s1
)(
2
1
i
S
n
c o s2zS
109
7,5 设氢的状态是
),()(
2
3
),()(
2
1
1021
1121
YrR
YrR
①求轨道角动量 z 分量
z
L
和自旋角动量 z 分量
z
S
的平均值；
②求总磁矩
S
e
L
e
M
2
的 z 分量的平均值（用 玻尔磁矩子表示）。
110
解,ψ可改写成
1
0
),()(
2
3
0
1
),()(
2
1
10211121 YrRYrR
)(),()(
2
3)(),()(
2
1
2
11021
2
11121 zz SYrRSYrR
从 ψ 的表达式中可看出
zL?
的可能值为? 0
相应的几率为
4
1
4
3
4
zL
111
zS?
的可能值为
2
2
相应的几率
2
iC
为
4
1
4
3
44
3
24
1
2
2
ziiz SCS
② )
4(422
eeSeLeM
zzz
BM
e
4
1
42
112
7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解：体系可能的状态有 4 个。设两个 单粒子态为
i?
，
j?
，则体系可能的状态为
)()()( 3211 qqq iii
)()()( 3212 qqq jjj
113
)]()()(
)()()()()()([
3
1
132
2313213
qqq
qqqqqq
jii
jiijii
)]()()(
)()()()()()([
3
1
132
2313214
qqq
qqqqqq
ijj
ijjijj
114
7.7 证明 )3()2()1(,,SSS 和 A? 组成的正交归一系。
解：
)]()([)]()([ 22/112/122/112/1)1()1( zzzzSS SSSS
)S()S()S()S( z22/1z12/1z12/1z22/1
)S()S( z22/1z22/1
= 1
)]()([)]()([ 22/112/122/112/1)2()1( zzzzSS SSSS
)S()S()S()S( z22/1z12/1z12/1z22/1
= 0
115
)]()()()([
)]()([
2
1
22/112/122/112/1
22/112/1
)3()1(
zzzz
zzSS
SSSS
SS
)]()()()(
)()()()([
2
1
22/112/112/122/1
22/112/112/122/1
zzzz
zzzz
SSSS
SSSS
]0)()([
2
1
22/122/1
zz SS
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
116
)]()()()([
)]()()()([
2
1
22/112/122/112/1
22/112/122/112/1
)3()3(
zzzz
zzzzSS
SSSS
SSSS
)]S()S([)]S()S([21 z12/1z22/1z22/1z12/1
)]S()S([)]S()S([21 z12/1z12/1z12/1z22/1
)]S()S([)]S()S([21 z12/1z22/1z12/1z22/1
1210021
)]()([)]()([21 22/112/122/112/1 zzzz SSSS
117
7,8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是
22
2
1
)( rrU
。如果电子之间的库仑能和
)( rU
相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿 x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
解：电子波函数的空间部分满足定态 S-方程
)()()()(
2
2
rErrUr
)()(
2
1)()(
2
22
2
2
2
2
2
22
rErrr
zyx
118
)()(
2
1)()(
2
22
2
2
2
2
2
22
rErrr
zyx
考虑到 2222 zyxr,令
)z(Z)y(Y)x(X)r(
E X Y ZX Y ZzyxX Y Zzyx )(21)(2 22222
2
2
2
2
22
Ez
x
Z
Z
y
x
Y
Y
x
x
X
X
)
2
11
2
(
)
2
11
2
()
2
11
2
(
22
2
22
22
2
22
22
2
22
xExx
X
X
)
2
11
2(
22
2
22
119
)()(
22
2
1
xHeNxX nxnn
)()(
22
2
1
yHeNyY mymm
)()(
22
2
1
zHeNzZ z
)()()()(
22
2
1
zHyHxHeNNNr mnrmnnm
yEyx
Y
Y
)
2
11
2(
22
2
22
zEzx
Z
Z
)
2
11
2(
22
2
22
zyx EEEE
120
)()()()(
22
2
1
zHyHxHeNNNr mnrmnnm
)mn(E 23nm
其中
!22/1 nN nn?
,
对于基态 0mn,10?H
22 r
2
1
2/3
0 0 00 e)()r(
对于沿 χ 方 向 的 第 一 激 发 态 01mn,,
xxH 2)1（
121
22
2
1
4/3
2/5
1 0 01 2
2)( rxer?
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
) ) ](()()([
2
1),(
2011211021 rrrrrrS
][
)(
2
1
1
)(
2
1
22/3
4 2
2
2
1
22
2
2
1
2 rrrr
exex
)(
2
1
122/3
4 2
2
2
1
2
)(
rr
exx
22 r
2
1
2/3
0 0 00 e)()r(
122
)]r()r()r()r([
2
1)r,r(
1120211021A
)rr(21
122/3
4 2
2
2
1
2
e)xx(
而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即
)3(
S)2(S)1(S,、
和
A?
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态：
A21S1 )r,r(
123
三重态：
)3(
214
)2(
213
)1(
212
),(
),(
),(
SA
SA
SA
rr
rr
rr
,量子力学教程,
习题解答
2
,量子力学教程,
习题解答说明
为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的,量子力学教程,的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章第七章
3
目录
第一章 绪论
第二章 波函数和薛定谔方程
第三章 力学量的算符表示
第四章 态和力学量的表象
第五章 微扰理论
第六章 弹性散射
第七章 自旋和全同粒子
4
1,1,由黑体辐射公式导出维恩位移定律：
CmbbTm 03109.2,
。
证明,由普朗克黑体辐射公式,
d
e
c
h
d
kT
h
1
18
3
3
,
及
c
、
d
c
d
2
得
1
18
5
kT
hc
e
hc
,
令
kT
hc
x
,再由
0?
d
d
，得
,所满足的超越方程为
1
5
x
x
e
xe
用图解法求得 97.4?x,即得
97.4?
kT
hc
m
，将数据代入求得
Cm109.2,03bbTm?
第一章 绪论
5
1,2,在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3 e V,求 de B r ogl i e 波长,
解：
0
10
A7,0 9m1009.7
2
mE
h
p
h
#
1,3,氦原子的动能为
kTE
2
3
，求
KT 1?
时氦原子的 de B r ogl i e 波长。
解：
0
10
A63.12m1063.12
32
m k T
h
mE
h
p
h
其中
kg1066.10 0 3.4 27m
，
123 KJ1038.1k
#
1,4 利用玻尔 — 索末菲量子化条件，求,
（ 1 ）一维谐振子的能量。
（ 2 ）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场
T10?B
，玻尔磁子
123 TJ109 2 3.0
B?
,求动能的量子化间隔
E?
，并与
K4?T
及
K1 0 0?T
的热运动能量相比较。
解,（ 1 ） 方法 1,谐振子的能量
22
2
2
1
2
q
p
E
6
可以化为
1
22
2
2
2
2
2
E
q
E
p
的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为
2
2
,2
E
bEa
，相空间面积为
,2,1,0,
2
nnh
EE
abp dq
所以，能量
,2,1,0, nnhE?
方法 2,一维谐振子的运动方程为
02 qq?
，其解为
tAq s i n
速度为
tAq c os
，动量为
tAqp c o s
，则相积分为
nh
TA
dtt
A
dttAp d q
TT
2
)c o s1(
2
c o s
22
0
22
0
222
，
,2,1,0?n
nh
T
nhA
E
2
22,
,2,1,0?n
7
（ 2 ）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由
R
v
evB
2
，得
eB
v
R
再由量子化条件
,3,2,1,nnhpdq
，以
22
,eB RRRvp
分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为
nhe B RRvdpdp
2
2
0
22
，
,2,1?n
，由此得半径为
eB
n
R
，
,2,1?n
。
电子的动能为
Bn
eB
n
Be
e B R
vE
B
22
2
2
2
1
2
1
2
1
动能间隔为
JBE B 23109
热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 kTE?,所以当 K4?T 时,JE 231052.4 ；当
K1 0 0?T 时,JE 211038.1 。
8
1,5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相 等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？
解：转化条件为
2ch e
，其中
e?
为电子的静止质量，而
c?,所以
c
h
e?
，即有
0
831
34
m a x A02 4.0103101.9
1062 6.6?
c
e c
h?
（电子的康普顿波长）。
9
第二章 波函数和薛定谔方程
2,1,证明在定态中，几率流与时 间无关。
证：对于定态，可令
)]r()r()r()r([
m2
i
]e)r(e)r(e)r(e)r([
m2
i
)(
m2
i
J
e)r(
)t(f)r()tr(
**
Et
i
Et
i
**
Et
i
Et
i
**
Et
i
）（）（
，
可见 tJ 与? 无关。
10
2,2 由下列定态波函数计算几率流密度,
i k ri k r
e
r
e
r
1
)2(
1
)1(
21
从所得结果说明
1?
表示向外传播的球面波，
2?
表示向内 ( 即向原点 ) 传播的球面波。
解：
分量只有和 rJJ 21
在球坐标中
s i nr
1
e
r
1
e
r
r
0
r
mr
k
r
mr
k
r
r
ik
rrr
ik
rrm
i
re
rr
e
r
e
rr
e
rm
i
m
i
J
i k ri k ri k ri k r
3
0
2
0
22
0
1
*
1
*
111
)]
11
(
1
)
11
(
1
[
2
)]
1
(
1
)
1
(
1
[
2
)(
2
)1(
rJ 1
与同向。表示向外传播的球面波。
11
r
mr
k
r
mr
k
r
r
ik
rrr
ik
rrm
i
re
rr
e
r
e
rr
e
rm
i
m
i
J
i k ri k ri k ri k r
3
0
2
0
22
0
*
2
*
222
)]
11
(
1
)
11
(
1
[
2
)]
1
(
1
)
1
(
1
[
2
)(
2
)2(
可见，
rJ 与2
反向。表示向内 ( 即向原点 ) 传播的球面波。
补充：设
i k xex?)(?
，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
dxdx *?
∴波函数不能按
1)( 2
dxx?
方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
12
表示粒子在空间各处出现的几率相同。
12
2,3 一粒子在一维势场
ax
ax
x
xU
，
，
，
0 0
0
)(
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：
txU 与)(
无关，是定态问题。其定态 S — 方程
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
m
在各区域的具体形式为
Ⅰ：
)()()()(
2
0
1112
22
xExxUx
dx
d
m
x
①
Ⅱ：
)()(
2
0
222
22
xEx
dx
d
m
ax
②
13
Ⅲ,
)()()()(
2
3332
22
xExxUx
dx
d
m
ax
③
由于 ( 1),( 3) 方程中，由于
)( xU
，要等式成立，必须
0)(1?x?
0)(2?x?
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程 ( 2 ) 可变为
0)(
2)(
222
2
2
x
mE
dx
xd
令
2
2 2
mE
k?
，得
0)(
)(
2
2
2
2
2
xk
dx
xd
其解为
kxBkxAx c o ss i n)(2
④
14
根据波函数的标准条件确定系数 A,B,由连续性条件，得
)0()0( 12
⑤
)()( 32 aa
⑥
⑤
0 B
⑥
0s i n kaA
),3,2,1(
0s i n
0
nnka
ka
A
∴
x
a
n
Ax
s i n)(
2
由归一化条件
1)(
2
dxx?
得
1s i n
0
22
a
x d x
a
n
A
由
mn
a
b
a
x d x
a
n
x
a
m
2
s i ns i n
15
x
a
n
a
x
a
A
s i n
2
)(
2
2
2
2 2
mE
k?
),3,2,1(
2
2
2
22
nn
ma
E
n
可见 E 是量子化的。
对应于
nE
的归一化的定态波函数为
axax
axxe
a
n
atx
tE
i
n
n
,,0
0,s i n
2
),(
16
2,4,证明（ 2,6 - 14 ）式中的归一化常数是
a
A
1
证：
ax
axax
a
n
A
n
,0
),(s i n
由归一化，得
aA
ax
a
n
n
aA
aA
dxax
a
nA
x
A
dxax
a
n
A
dxax
a
n
Adx
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
2
2
2
22
2
22
2
)(s i n
2
)(c o s
22
)](c o s1[
2
1
)(s i n1
∴归一化常数
a
A
1
17
2,5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：
22
2
1
2
2
)(
x
xex
22
22
2
3
22
2
11
2
2
4)()(
x
x
ex
exxx
22
]22[
2
)(
32
3
1 x
exx
dx
xd
令
0
)(
1
dx
xd?
，得
xxx
1
0
由
)(1 x?
的表达式可知，
xx 0,
时，
0)(1?x?
。显然不是最大几率的位置。
22
22
)]251[(
4
)]22(2)62[(
2
)(
4422
3
32222
3
2
1
2
x
x
exx
exxxx
dx
xd
而
0
14
2
)(
3
2
1
2
1
2
edx
xd
x
,可见
1
x
是所求几率最大的位置。
#
18
2,6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称,
)()( xUxU
，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态 S - 方程为
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
①
将式中的
)( xx?以代换，得
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
②
利用
)()( xUxU
，得
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
③
比较①、③式可知，
)()( xx 和?
都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数 。由于它们描写的是同一个状态，因此
)()( xx 和?
之间只能相差一个常数
c
。方程①、③可相互进行空间反演
)( xx
而得其对方，由①经
xx
反演，可得③,
)()( xcx
④
由③再经
xx
反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
)()( xcx
⑤
④乘 ⑤，得
)x()x(c)x()x( 2
,可见，
12?c
,所以
1c
当
1c
时，
)x()x(
，
)( x
具有偶宇称,
当
1c
时，
)()( xx
，
)( x
具有奇宇称,
当势场满足
)()( xUxU
时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
19
2,7 一粒子在一维势阱中
ax
axU
xU
,0
,0
)(
0
运动，求束缚态 (
00 UE
) 的能级所满足的方程。
解：粒子所满足的 S - 方程为
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
按势能
)( xU
的形式分区域的具体形式为
Ⅰ,
)x(E)x(U)x(
dx
d
2
11012
22
ax
①
Ⅱ：
)()(
2
222
22
xEx
dx
d
axa
②
Ⅲ：
)x(E)x(U)x(
dx
d
2
33032
22
xa
③
20
整理后，得
Ⅰ,
0
)(2
12
0
1
EU
④
Ⅱ,,
0
E 2
222
⑤
Ⅲ：
0
)(2
32
0
3
EU
⑥
令
2
2
22
02
1
2
)(2
E
k
EU
k
则
Ⅰ,
01211 k
⑦
Ⅱ,,
02222 k
⑧
Ⅲ：
01213 k
⑨
各方程的解为
xkxk
3
222
xkxk
1
11
11
FeEe
xkco sDxks i nC
BeAe
21
由波函数的有限性，有
0 )(
0 )(
3
1
E
A
有限有限
因此
xk
3
xk
1
1
1
Fe
Be
由波函数的连续性，有
)13( Fekaks i nDkakc o sCk),a()a(
)12( Feakc o sDaks i nC),a()a(
)11( aks i nDkakc o sCkBek),a()a(
)10( akc o sDaks i nCBe),a()a(
ak
1222232
ak
2232
2222
ak
121
22
ak
21
1
1
1
1
整理 (10),(11),(12),(13) 式，并合并成方程组，得
0FekaDks i nkaCkc o sk0
0FeaDkc o saCks i n0
00D aks i nkaCkc o skBek
00aDkc o saCks i nBe
ak
12222
ak
22
2222
ak
1
22
ak
1
1
1
1
22
解此方程即可得出 B,C,D,F,进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
0
Bekaks i nkakc o sk0
eakc o saks i n0
0aks i nkakc o skek
0akc o saks i ne
ak
12222
ak
22
2222
ak
1
22
ak
1
1
1
1
]ak2c o skk2ak2s i n)kk[(e
]ak2s i nkak2s i nkak2c o skk2[e
]aks i nekakc o saks i nek
akc o sekakc o saks i nek[ek
]akc o saks i nekaks i nekk
akc o saks i nekakc o sekk[e
ekaks i nkakc o sk
eakc o saks i n
0akc o saks i n
ek
ekaks i nkakc o sk
eakc o saks i n
0aks i nkakc o sk
e0
2212
2
1
2
2
ak2
2
2
12
2
2221
ak2
2
2ak
222
ak
1
2
2ak
222
ak
1
ak
1
22
ak2
22
2ak
21
22
ak2
22
2ak
21
ak
ak
12222
ak
22
22
ak
1
ak
12222
ak
22
2222
ak
1
1
11
111
11
111
1
11
1
11
∵
012 ake
∴
02c o s22s i n)( 22122122 akkkakkk
即
022)( 2122122 kkaktgkk
为所求束缚态能级所满足的方程。
23
方法二,接（ 13 ）式
aks i nD
k
k
akco sC
k
k
akco sDaks i nC
2
1
2
2
1
2
22
aks i nD
k
k
akco sC
k
k
akco sDaks i nC
2
1
2
2
1
2
22
02c o sk2 2s i n)(
02c o s
2
2s i n) 1(
0c o ss i nc o ss i nc o ss i n
0)c o ss i n)(s i nc o s(
0)c o ss i n)(s i nc o s(
)c o ss i n)(s i nc o s(
0
)c o ss i n(s i nc o s
c o ss i ns i nc o s
2212
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
222
2
1
2
2
2
1
2
22
2
1
2
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
22
1
2
akkakkk
ak
k
k
ak
k
k
akakak
k
k
ak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
akak
k
k
24
另一解法,
(11) - (13)
)(s i n2 1122 FBekakDk ak
(10)+(12)
)FB(eakc o sD2 ak2 1
)a( kat g kk
)12()10(
)13()11(
122
(11)+(13)
aikeBFkakCk 1)(co s2
122
(12) - (10)
aik
2
1e)BF(aks i nC2
令
，,akak 22
则
)d( ct g
)c( tg
或
)f(
aU2
)kk(
2
2
02
2
2
1
22
合并
)b()a(,
,
2
1
2
2
21
2
2
2
kk
kk
aktg
利用
aktg1
at g k2
ak2tg
2
2
2
2
（ b ）
k a c t gk k
) 10 ( ) 12 (
) 13 ( ) 11 (
1 2 2
25
2 - 7 一粒子在一维势阱
ax
axU
xU
,0
,0
)(
0
中运动，求束缚态
)0( 0UE
的能级所满足的方程。
解：（最简方法 - 平移坐标轴法 ）
Ⅰ：
1101
2
2
EU
（ χ ≤ 0 ）
Ⅱ：
22
2
2
E
（ 0 ＜ χ ＜ 2
a
）
Ⅲ：
3303
2
2
EU
（ χ ≥ 2
a
）
0
)(2
0
2
0
)(2
3
2
0
3
2
2
2
1
2
0
1
EU
E
EU
( 3 ) 0k
E2k ( 2 ) 0k
)EU(2k ( 1 ) 0k
3
2
13
22
22
2
22
2
0
2
11
2
11
束缚态
0
＜ E ＜
0U
26
xkxk
xkxk
FeEe
xkDxkC
BeAe
11
11
3
222
1
c o ss i n
0 )(
0 )(
3
1
E
B
有限有限
因此
xk
xk
Fe
Ae
1
1
3
1
由波函数的连续性，有
)7( Feak2c o sDak2s i nC),a2()a2(
)6( Fekak2s i nDkak2c o sCk),a2()a2(
)5( CkAk),0()0(
)4( DA),0()0(
ak2
2232
ak2
1222232
2121
21
1
1
(7) 代入 (6)
akD
k
k
akC
k
k
akDakC
2
1
2
2
1
2
22
2s i n2co s2co s2s i n
利用 (4),(5),得
27
0ak2c o skk2ak2s i n)kk(
)kk(
0ak2c o s2ak2s i n)
k
k
k
k
(
0A
0]ak2c o s2ak2s i n)
k
k
k
k
[(A
ak2s i nD
k
k
ak2c o sAak2c o sAak2s i nA
k
k
2212
2
1
2
2
21
22
1
2
2
1
22
1
2
2
1
2
1
2
222
2
1
即得两边乘上
28
2,8 分子间的范德 瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
，
，
，
，
,0
,
0,
0,
)(
1
0
xb
bxaU
axU
x
xU
求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。
定态 S - 方程为
)()()()(
2
2
22
xExxUx
dx
d
对各区域的具体形式为
Ⅰ：
)0( )(
2
111
2
xExU
Ⅱ：
)0(
2
2202
2
axEU
Ⅲ：
)(
2
3313
2
bxaEU
29
Ⅳ：
)( 0
2
44
2
xbE
对于区域 Ⅰ，
)( xU
，粒子不可能到达此区域，故
0)(1?x?
而,
0
)( 2
22
0
2
EU
①
0
)( 2
32
1
3
EU
②
0
2
424
E
③
对于束缚态来说，有
0 EU
∴
02212 k
2
02
1
)( 2
EU
k
④
03233 k
2
12
3
)( 2
EU
k
⑤
04244 k
22
4 /2?Ek
⑥
各方程的解分别为
xkxk
xkxk
FeEe
xkDxkC
BeAe
33
11
4
223
2
co ss i n
30
由波函数的有限性，得
0 )(4 E有限，?
∴
xkFe 3
4
由波函数及其一阶导数的连续，得
AB )0()0( 21
∴
)( 332 xkxk eeA
akDakCeeAaa xkxk 2232 co ss i n)()()( 33
⑦
akDkakCkeeAkaa akak 2222133 s i nco s)()()( 33
⑧
bkFebkDbkCbb 3
2243 c o ss i n)()(
⑨
bkeFkbkDkbkCkbb 3
3222243 c o ss i n)()(
⑩
由⑦、⑧，得
akDakC
akDakC
ee
ee
k
k
akak
akak
22
22
2
1
c oss i n
c osc os
11
11
(11)
由 ⑨、⑩得
DbkkCbkkDbkkCbkk )c o s()s i n()s i n()c o s( 23232222
0)s i nco s()s i nco s(
22
3
2
22
3
2
Dbkbk
k
k
Cbkbk
k
k
(12)
令
2
1
11
11
k
k
ee
ee
akak
akak
，则①式变为
0)s i nc o s()c o ss i n( 2222 DakakCakak
31
联立 ( 12 ),( 13) 得，要此方程组有非零解，必须
0
)s i nc os()c oss i n(
)c oss i n()s i nc os(
2222
22
3
2
22
3
2
akakakak
bkbk
k
k
bkbk
k
k
)()1()(
0)1) ( ((co s))((s i n
0co sco ss i nco s
)co ss i ns i ns i ns i ns i n
co ss i ns i ns i nco sco s
0)co ss i n(
)co ss i n()s i nco s)(s i nco s(
3
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2222
22
3
2
22
3
2
22
2222
3
2
22
3
2
22
3
2
2222
3
2
22
k
k
k
k
abtgk
k
k
abk
k
k
abk
akbkakbk
akbk
k
k
akbk
k
k
akbk
akbkakbk
k
k
akbk
k
k
bkbk
k
k
akakbkbk
k
k
akak即
32
把
代入即得
)()1()(
11
11
11
11
2
1
3
2
3
2
2 akak
akak
akak
akak
ee
ee
k
k
k
k
ee
ee
k
k
abt gk
此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。
#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
））
（
）
（
bkakekbkakekbk
akekbkakekkeek
bkakekbkakekkbk
akekbkakekkee
ekbkkbkk
ebkbk
akak
eek
ekbkkbkk
ebkbk
akkakk
ee
ekbkkbkk
ebkbk
akkakkkee
akakee
bkbk
bkbkbkbk
akak
akakakak
ak
akakak
ak
akakak
ak
ak
akak
akak
2222232
2222321
22
2
222322
2
2
22232
32222
22
22
1
32222
22
2222
32222
22
22222
22
s i ns i ns i nco sco s
co sco ss i n)(
s i nco ss i ns i nco s
s i nco sco s)(
s i nco s
co ss i n
0co ss i n
)(
s i nco s
co ss i n
0s i nco s
)(0
0
s i nco s0
co ss i n0
0s i nco s)(
0co ss i n)(
33
3311
33
3311
3
311
3
311
3
3
11
11
33
0
)](s i n)()(c o s)[(
)](s i n)()(c o s)([
)](c o s)(s i n)[(
)](s i n)(c o s)[(
31
31
311
311
231
2
22231
231
2
22231
221231
2
2
2232
bkak
bkak
bkakak
bkakak
eabkkkkabkkkke
eabkkkkabkkkke
eabkkkabkkkee
eabkkabkkkee
0)(
)()()]()[(
0)]()()[(
)]()()([
231
2
231231
2
2
2
31
2
2
231
2
2231
231
2
2231
11
3
3
kkk
ekkkabt g kkkkekkk
eabt g kkkkkkk
eabt g kkkkkkk
akak
bk
bk
此即为所求方程。
34
第三章 力学量的算符表示
3,1 一维谐振子处在基态 tix
ex
22
22
)(
，求,
( 1 )势能的平均值
22
2
1
xU；
( 2 )动能的平均值
2
2
p
T?；
( 3 )动量的几率分布函数。
解,( 1)
dxexxU
x
22
2222
2
1
2
1?
2
2
2
22
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
4
1
0
1
2
2
)12(5312
aa
n
dxex
nn
axn
( 2 )
dxxpx
p
T )(?)(
2
1
2
2*
2
35
dxe
dx
d
e
xx
2222
2
1
2
2
22
1
)(
2
1
dxex
x
22
)1(
2
222
2
][
2
2222
222
2
dxexdxe
xx
]
2
[
2
3
22
2
4422
2
2
2
2
2
4
1
或
4
1
4
1
2
1
UET
( 3 )
dxxxpc p )()()(
*
2
1
22
2
1
dxee
Px
i
x
36
dxee
Px
i
x
22
2
1
2
1?
dxe
pip
x
22
2
2
2
2
2
)(
2
1
2
1
dxee
ip
x
p
2
2
2
22
2
)(
2
1
2
2
1
2
2
1 22
2
2?
p
e
22
2
2
1
p
e
动量几率分布函数为
22
2
1
)()(
2
p
epcp
#
3,2,氢原子处在基态
0
/
3
0
1
),,(
ar
e
a
r
，求,
( 1 ) r 的平均值； ( 2 ) 势能
r
e
2
的平均值； ( 3 ) 最可几半径； ( 4 ) 动能的平均值；
( 5 ) 动量的几率分布函数。
解,( 1 )
drddrre
a
drrr
ar
s i n
1
),,(
0
2
2
0 0
/2
3
0
2
0
37
0
/23
3
0
0
4
drar
a
ar
0
1
!
n
axn
a
n
dxex
0
4
0
3
0
2
3
2
!34
a
a
a
0
2
2
0
3
0
2
0
/2
3
0
2
0
2
0 0
/2
3
0
2
0
2
0 0
2/2
3
0
22
2
14
4
s i n
s i n
1
)()2(
0
0
0
a
e
a
a
e
drre
a
e
dd r dre
a
e
dd r dre
ra
e
r
e
U
ar
ar
ar
( 3 ) 电子出现在 r + dr 球壳内出现的几率为
0
2
0
22
s i n)],,([)( dd r drrdrr
drre
a
ar 2/2
3
0
0
4
2/2
3
0
0
4
)( re
a
r
ar?
38
0
/2
0
3
0
)
2
2(
4)( ar
rer
aadr
rd?
令
0321
,,0 0
)(
arrr
dr
rd
,
当
0)(,0 21 rrr?时，
为几率最小位置
0
/22
2
00
3
0
2
2
)
48
2(
4)( ar
er
a
r
aadr
rd?
0
8)(
2
3
0
2
2
0
e
adr
rd
ar
∴
0ar?
是最可几半径。
( 4 )
2
2
2
2
2
1
pT
0
2
0 0
2/2/
3
0
2
s i n)(
1
2
00
ddr dree
a
T
arar?
0
2
0 0
2/2
2
/
3
0
2
s i n)]([
11
2
00
ddr dre
dr
d
r
dr
d
r
e
a
arar?
22
2
2
2
si n
1
)(s in
si n
1
)(
1
r
r
rr
39
0
/
0
2
0
3
0
2
)2(
1
(
2
4
0
dre
a
r
r
aa
ar
2
0
22
0
2
0
4
0
2
2
)
44
2(
2
4
a
aa
a
( 5 )
drrpc p ),,()()( *
2
00
c o s
0
2/
3
0
2/3
s i n
1
)2(
1
)(
0
ddedrre
a
pc
pr
i
ar?
0
c o s
0
/2
3
0
2/3
)co s(
)2(
2
0
dedrer
a
pr
i
ar?
0
0
c o s
/2
3
0
2/3
0
)2(
2
pr
i
ar
e
i pr
drer
a
0
/
3
0
2/3
)(
)2(
2
0
dreere
ipa
pr
i
pr
i
ar
0 1
!
n
axn
a
n
dxex
40
]
)
1
(
1
)
1
(
1
[
)2(
2
2
0
2
0
3
0
2/3
p
i
a
p
i
a
ipa
2
2
2
2
0
0
33
0 )
1
(
4
2
1
p
a
a
ip
ipa
2222
0
44
0
0
33
0
)(2
4
pa
a
aa?
2222
0
2/3
0
)(
)2(
pa
a
动量几率分布函数
422
0
2
53
02
)(
8
)()(
pa
a
pcp
#
3,3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
0eer JJ
2
s i n
mne
r
me
J
41
证：电子的电流密度为
)(
2
**
mnmnmnmne
i
eJeJ
在球极坐标中为
s i n
11
r
ee
rr
e
r
式中
eee r
、、
为单位矢量
])
s i n
11
(
)
s i n
11
([
2
*
*
mnrmn
mnrmne
r
ee
rr
e
r
ee
rr
e
i
eJeJ
)]
s i n
1
s i n
1
()
1
1
()([
2
***
***
mnmnmnmnmnmn
mnmnmnmnmnmnr
rr
e
r
r
e
rr
e
ie
mn
中的
r
和
部分是实数。
∴
eimim
r
ie
J
mnmne
)(
s i n2
22
e
r
me
mn
2
s i n
可见，
0eer JJ
2
s i n
mne
r
me
J
42
3,4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。
( 1 ) 求一圆周电流的磁矩。
( 2 ) 证明氢原子磁矩为
)(
2
)(
2
C G S
c
me
SI
me
MM
z
原子磁矩与角动量之比为
)(
2
)(
2
C G S
c
e
SI
e
L
M
z
z
这个比值称为回转磁比率。
解,( 1 ) 一圆周电流的磁矩为
AdSJiAdM e
（
i
为圆周电流，
A
为圆周所围面积）
22
)s i n(
s i n
rdS
r
me
mn
43
dSr
me
mn
2
s i n
d r dr
me
mn
22
s i n
)(?r dr ddS?
( 2 ) 氢原子的磁矩为
0 0
22
s i n d r dr
me
dMM
mn?
0 0
22
s i n2
2
d r dr
me
mn?
dd r dr
me
mn
2
0 0 0
22
s i n
2
2
me?
)( SI
在
C G S
单位制中
c
me
M
2
原子磁矩与角动量之比为
)(
2
SI
e
L
M
L
M
zz
z
)(
2
C G S
c
e
L
M
z
z
44
3,5 一刚性转子转动惯量为 I,它的能量的经典表示式是
I
L
H
2
2
,L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数,
( 1) 转子绕一固定轴转动,
( 2) 转子绕一固定点转动,
解,( 1) 设该固定 轴沿 Z 轴方向，则有
22
ZLL?
哈米顿算符
2
22
2
2
2
1
d
d
I
L
I
H
Z
,其本征方程为 (
tH 与?
无关，属定态问题 )
)(
2)(
)()(
2
22
2
2
22
IE
d
d
E
d
d
I
令
2
2
2
IE
m?
，则
0)(
)(
2
2
2
m
d
d
取其解为
imAe?)(
(
m
可正可负可为零 )
45
由波函数的单值性，应有
imim ee )2()()2(
即
12mie
,∴ m = 0,±1,±2,…
转子的定态能量为
I
m
E
m
2
22
( m = 0,±1,±2,…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为
im
m Ae?
,A 为归一化常数，由归一化条件
2
1
21
2
2
0
2
2
0
*
A
AdAd
mm
∴ 转子的归一化波函数为
im
m
e
2
1
综上所述，除 m = 0 外，能级是二重简并的。
46
( 2) 取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
2?
2
1
L
I
H?
tH 与?
无关，属定态问题，其本征方程为
),(),(?
2
1 2
EYYL
I
( 式中
),(Y
设为 H? 的本征函数,E 为其本征值 )
),(2),(? 2 I EYYL?
令 2
2IE
，则有
),(),(? 22 YYL
此即为角动量 2?L 的本征方程，其本征值为
),2,1,0( )1( 222L
其波函数为球谐函数
imm
mm ePNY )( c o s),(
∴ 转子的定态能量为
2
)1(
2
I
E
可见，能量是分立的，且是
)12(
重简并的。
47
3,6 设 t = 0 时，粒子的状态为
]co s[ s i n)( 212 kxkxAx
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：
]c o s)2c o s1([]c o s[ s i n)(
2
1
2
1
2
12 kxkxAkxkxAx
]c o s2c o s1[
2
kxkx
A
)]()(1[
2
2
122
2
1 i k xi k xkxikxi
eeee
A
2
1
][
2
2
2
1
2
12
2
12
2
10
i k xi k xkxikxixi
eeeee
A
可见，动量
np
的可能值为
kkkk 2 2 0
动能
2
2
n
p
的可能值为
2
2
2
2
0
22222222
kkkk
对应的几率
n?
应为
2)
16
16
16
16
4
(
22222
AAAAA
2
)
8
1
8
1
8
1
8
1
2
1
( A?
上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得
2
2
2)
16
4
4
(1
222
AAA
n
n
∴
/1?A
48
∴ 动量
p
的平均值为
02
16
2
16
2
16
22
16
20
2222
A
k
A
k
A
k
A
k
pp
n
nn
n
n
n
pp
T?
22
22
2
8
1
2
2
8
12
0
2222
kk
8
5
22
k
49
3,7 一维运动粒子的状态是
0,0
0,
)(
x
xA x e
x
x
当当
其中
0
，求,( 1 ) 粒子动量的几率分布函数； ( 2) 粒子的平均动量。
解,( 1 ) 先求归一化常数，由
0
2222
)(1 dxexAdxx
x?
2
3
4
1
A
∴
2/32A
xxex 22/32)(
)0(?x
0)(?x?
)0(?x
dxxxedxxepc
xiki k x
)(2)
2
1
()(
2
1
)(
)(2/32/1
dxe
ik
e
ik
x
xikxik )(
0
)(2/1
3
1
[)
2
2
(
2
2/1
3
2
2/1
3
)(
1
)
2
2
(
)(
)
2
2
(
p
i
ik
x
动量几率分布函数为
2222
33
2
2
2
2
3
2
)(
12
)(
12
)()(
pp
pcp
50
( 2 )
dxedx dxeidxxpxp xx )(4)(?)( 3*
dxexxi x 23 )1(4
dxexxi x 223 )(4
)
4
1
4
1(4
22
3
i
0?
3,8,在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a,如果粒子的状态由波函数
)()( xaAxx
描写,A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数 )( x? 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量 的本征函数和本征值为
51
axx
axx
a
n
ax
,0,0
0,s i n
2
)(
2
222
2 a
n
E
n
) 3 2 1(?，，，?n
动量的几率分布函数为
2
)(
n
CE
a
n
dxxx
a
n
dxxxC
0
*
)(s i n)()(?
先把
)( x?
归一化，由归一化条件,
aa
dxxaxaxAdxxaxAdxx
0
2222
0
222
)2()()(1?
a
dxxaxxaA
0
43222
)2(
30
)
523
(
5
2
555
2
a
A
aaa
A
∴
5
30
a
A?
∴
a
n
dxxaxx
a
n
aa
C
0
5
)(s i n
302?
]s i ns i n[
152
0
2
0
3
xxd
a
n
xxxd
a
n
xa
a
aa
52
a
x
a
n
n
a
x
a
n
x
n
a
x
a
n
x
n
a
x
a
n
n
a
x
a
n
x
n
a
a
0
33
3
22
2
2
22
32
3
]c o s
2
s i n
2
c o ss i nc o s[
152
])1(1[
154
33
n
n
∴
2
66
2
])1(1[
2 4 0
)(
n
n
n
CE
,6,4,20
5 3 1
9 6 0
66
n
n
n
，
，，，，
a
dxx
p
xdxxHxE
0
2
)(
2
)()(?)(?
a
dxaxx
dx
d
axx
a0
2
22
5
)](
2
[)(
30
)
32
(
30
)(
30
33
5
2
05
2
aa
a
dxaxx
a
a
2
2
5
a?
53
3,9,设氢原子处于状态
),()(
2
3
),()(
2
1
),,(
11211021
YrRYrRr
求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现 的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
2
2
22
2
2
82
ss
e
n
e
E
)2(?n
角动量平方有确定值为
222 2)1(L
)1(
角动量 Z 分量的可能值为
01?ZL2ZL
其相应的几率分别为
4
1
,
4
3
其平均值为
4
3
4
3
0
4
1
Z
L
54
3,10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
ar
ar
rU
,0;,
)(
求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在
ar?
的区域，
)( rU
，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
0
(
ar?
)
由于在
ar?
的区域内，
0)(?rU
。只求角动量为零的情况，即
0
，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度
,
无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与
r
有关，而与
,
无关。设为
)( r?
，则粒子的能量的本征方程为
E
dr
d
r
dr
d
r
)(
1
2
2
2
令
2
2 2
,)(
E
krErU
，得
55
0
2
2
2
uk
dr
ud
其通解为
kr
r
B
kr
r
A
r
krBkrAru
s i nc o s)(
s i nc o s)(
波函数的有限性条件知,
)0(?
有限，则
A = 0
∴
kr
r
B
r s i n)(
由波函数的连续性条件，有
0s i n 0)( ka
a
B
a?
∵
0?B
∴
),2,1( nnka?
a
n
k
∴
2
22
2
2
a
n
E
n
r
a
n
r
B
r
s i n)(?
其中 B 为归一化，由归一化条件得
56
2
0
22
0
2
2
00
2s i n4
s i n)(1
aBr d r
a
n
B
drrrdd
a
a
∴
a
B
2
1
∴ 归一化的波函数
r
r
a
n
a
r
s i n
2
1
)(?
#
3,11,求第 3,6 题中粒子位置和动量的测不准关系
)()( 22 px
解,
0?p
222
4
5
2?kTp
57
0]c o s
2
1
[ s i n
222
dxkxkxxAx
dxkxkxxAx
22222
]c o s
2
1
[ s i n
)()()()(
222222
ppxxpx
3,12,粒子处于状态
]
4
e x p [)
2
1
()(
2
2
0
2/1
2
x
xp
i
x
式中
为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系
)()( 22 px
解,① 先把
)( x?
归一化，由归一化条件，得
)
2
(
2
1
2
1
1
2
)
2
(
2
2
2
2
22
2
x
dedxe
xx
2/1
2
2
)
2
1
(
2
1
∴
2
1
2
/
58
∴ 是归一化的
]
2
e x p [)(
2
0
xxp
i
x
② 动量平均值为
dxexp
i
eidx
dx
d
ip
xxp
i
xxp
i 2
0
2
0
2
0
2
) ()(*
dxexp
i
i
x
2
0
) (
dxxeidxep
xx
22
0
0p?
③
)()( 22 px
dxxedxxx
x
2
*
（奇被积函数）
59
dxeexdxexx
xxx
222
22
2
1
2
1
2
1
dxe
dx
d
edx
dx
d
p
xxp
i
xxp
i
*
2
0
2
0
2
2
2
22
dxexdxxepi
p
xx
2)(
22
222
0
2
02
)
2
(
2
1
)(0)(
2
0
222
2
02
p
p
2
1
)(
2
22
xxx
60
22
0202
222
2)2()(
ppppp
2222
4
1
22
1)()(
px
61
第四章 态和力学量的表象
4,1,求在动量表象中角动量
xL
的矩阵元和
2
xL
的矩阵元。
解：
depzpyeL
rp
i
yz
rp
i
ppx
)()
2
1
()(
3
dezpype
rp
i
yz
rp
i
)()
2
1
(
3
de
p
p
p
pie
rp
i
z
y
y
z
rp
i
))(()
2
1
(
3
de
p
p
p
pi
rpp
i
z
y
y
z
）（
3
)
2
1
)()((
)()( pp
p
p
p
pi
y
z
z
y
62
dLxL pxpppx
2*2
)()(
depzpye
rp
i
yz
rp
i
23
)()
2
1
(
depzpypzpye
rp
i
yzyz
rp
i
))(()
2
1
(
3
de
p
p
p
pipzpye
rp
i
y
z
z
yyz
rp
i
))()(()
2
1
(
3
depzpye
p
p
p
pi
rp
i
yz
rp
i
y
z
z
y
)()
2
1
)()((
3
de
p
p
p
p
rpp
i
y
z
z
y
）（
322
)
2
1
()(
)()(
22
pp
p
p
p
p
y
z
z
y
63
4,2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：
x
a
n
a
xu
n
s i n
2
)(?
能量：
2
222
2 a
n
E
n
对角元：
2
s i n
2
0
2 ax d x
a
m
x
a
x
a
mm
cnun
u
nu
n
n u d uu s i nc o s
1
c o s
2
当时,nm?
a
mn dx
a
n
xx
a
m
a
x
0
)( s i n)( s i n
2
64
1)1(
)(
4
)(
1
)(
1
1)1(
]
)(
s i n
)(
)(
c o s
)(
[
]
)(
s i n
)(
)(
c o s
)(
[
1
)(
c o s
)(
c o s
1
2222
222
0
22
2
0
22
2
0
nm
nm
a
a
a
nm
mna
nmnm
a
x
a
nm
nm
ax
x
a
nm
nm
a
x
a
nm
nm
ax
x
a
nm
nm
a
a
dxx
a
nm
x
a
nm
x
a
65
anm
mni
nmnm
a
a
n
i
x
a
nm
nm
a
x
a
nm
nm
a
a
n
i
dxx
a
nm
x
a
nm
a
n
i
x d x
a
n
x
a
m
a
n
i
x d x
a
n
dx
d
x
a
m
a
idxxupxup
nm
nm
a
a
a
a
nmmn
)(
2
1)1(
]1)1(
)(
1
)(
1
)(
c o s
)(
)(
c o s
)(
)(
s i n
)(
s i n
c o ss i n
2
s i ns i n
2
)(?)(
22
2
0
2
0
2
0
2
0
*
Cnm unmnm unmn u d umu )(2 )c o s ()(2 )c o s (c o ss i n
66
4,3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
解：定态薛定谔方程为
),(),(
2
),(
2
1
2
2
2
22
tpECtpC
p
tpC
dp
d
即
0),()
2
(),(
2
1
2
2
2
22
tpC
p
EtpC
dp
d
两边乘以
2
，得
0),()
2
(),(
1
1
2
2
2
tpC
pE
tpC
dp
d
令
1
,
1
pp
67
E2?
0),()(),( 222 tpCtpCdd
tEi
n
p
n
n
nepHeNtpC
nE
)(),(
)(
2221
21
nN
2/12/1 )!2( nN nn
跟课本 P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为式中为归一化因子，即
68
22222222 21221?2 1? xxxpH
dxxHxH pppp )(?)(*
dxexxe xpipxi )212(2 1 22222
dxexdxepi xppixppi )(22)(22 2 1212 1)(2
dxepippp xppi )(22222 )(2 121)(2
dxepippp xppi )(22222 1)(21)(2
)(21)(2 22222 pppppp
4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：
69
4,5 设已知在
ZLL
2 和的共同表象中，算符
yx LL
和的矩阵分别为
010
101
010
2
x
L
00
0
00
2
2
i
ii
i
L
y
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵
yx LL 和对角化。
解：
xL
的久期方程为
00
2
0
22
0
2
23
70
321 0,，
∴
xL
的本征值为
，，0
xL
的本征方程
3
2
1
3
2
1
010
101
010
2
a
a
a
a
a
a
其中
3
2
1
a
a
a
设为
xL
的本征函数
ZLL
2 和共同表象中的矩阵当
01
时，有
0
0
0
010
101
010
2
3
2
1
a
a
a
0
0
0
0
2
213
2
31
2
aaa
a
aa
a
，
∴
1
1
0
0
a
a
由归一化条件
2
1
1
1
*
1
*
100
20),0,(1 a
a
a
aa?
取
2
1
1
a
71
2
1
0
2
1
0
对应于
xL?
的本征值 0 。
当
2?
时，有
3
2
1
3
2
1
010
101
010
2
a
a
a
a
a
a
13
32
12
3
2
1
2
31
2
2
2
2
1
)(
2
1
2
1
aa
aa
aa
a
a
a
a
aa
a
∴
1
1
1
2
a
a
a
由归一化条件
2
1
1
1
1
*
1
*
1
*
1
42),2,(1 a
a
a
a
aaa?
72
取
2
1
1
a
∴ 归一化的
2
1
2
1
2
1
对应于
xL
的本征值
当
2?
时，有
3
2
1
3
2
1
010
101
010
2
a
a
a
a
a
a
13
32
12
3
2
1
2
31
1
2
2
2
1
)(
2
1
2
1
aa
aa
aa
a
a
a
a
aa
a
∴
1
1
1
2
a
a
a
由归一化条件
2
1
1
1
1
*
1
*
1
*
1
42),2,(1 a
a
a
a
aaa?
取
2
1
1
a
73
∴ 归一化的
2
1
2
1
2
1
对应于
xL
的本征值
由以上结果可知，从
ZLL
2 和的共同表象变到
xL
表象的变换矩阵为
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
S
∴ 对角化的矩阵为
SLSL xx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
010
101
010
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
x
L
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
000
2
74
00
00
000
200
020
000
2
按照与上同样的方法可得
yL
的本征值为
，，0
yL
的归一化的本征函数为
2
1
0
2
1
0
2
1
2
2
1
i
2
1
2
2
1
i
从
ZLL
2 和的共同表象变到
yL
表象的变换矩阵为
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
22
0
2
1
2
1
2
1
i
i
S
ii
S
利用 S 可使
yL
对角化
00
00
000
SLSL
yy
75
4,6,求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为
J
t
∴
)**(
2
i
J
而
)**(
2
i
J
)**(
2
22
i
)
**
(
1
TT
i
∴
*)
*(
TT
t
i
*)
*(
)(
*
TT
t
i
写成矩阵形式为
0)
(
)(
)(
**
TTTT
t
i
TT
t
i
76
第五章 微扰理论
5,1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为
0r
、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对
0rr?
的区域有影响，对
0rr?
的区域无影响。据题意知
)()(? 0 rUrUH
其中
)(0 rU
是不考虑这种效应的势能分布，即
r
ze
rU
0
2
4
）（
)( rU
为考虑这种效应后的势能分布，在
0rr?
区域,
r
Ze
rU
0
2
4
)(
在
0rr?
区域，
)( rU
可由下式得出,
r
E d rerU )(
77
)(
4
)(,
43
4
4
1
02
0
03
00
3
3
03
42
0
rr
r
Ze
rrr
r
Ze
r
r
Ze
r
E
0
0
)(
r
r
r
E d reE d rerU
0
0
2
0
2
3
00
2
1
44 r
r
r
dr
r
Ze
r d r
r
Ze
)3(
84
)(
8
22
03
00
2
00
2
22
03
00
2
rr
r
Ze
r
Ze
rr
r
Ze
)( 0rr?
78
)( 0
)(
4
)3(
8)()(
0
0
0
2
22
03
00
2
0
rr
rr
r
Ze
rr
r
Ze
rUrUH
由于
0r
很小，所以
)(
2
0
2
2
)0(
rUHH
，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态
r
a
Z
e
a
Z
0
2/1
3
0
3
)0(
1
)(
）
dHE
)0(
1
*)0(
1
)1(
1
0
0
0
2
2
0
2
22
03
00
2
3
0
3
4]
4
)3(
8
[
r
r
a
Z
drre
r
Ze
rr
r
Ze
a
Z
∴
0ar
，故 10
2
r
a
Z
e 。
∴
00
0
3
00
24
0
422
03
0
3
00
24
)1(
1
)3(
2
rr
r d r
a
eZ
drrrr
ra
eZ
E
2
03
00
245
05
03
0
3
00
24
2
)
5
(
2
r
a
eZr
r
ra
eZ
2
03
00
24
10
r
a
eZ
2
03
0
24
5
2
r
a
eZ
s
79
5,2 转动惯量为 I,电偶极矩为
D
的空间转子处在均匀电场在
中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：取
的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为
co s?
2
1
2
2
2
DL
I
D
I
L
H
取
c o s?,?
2
1
2)0( DHL
I
H
，则
HHH )0(
由于电场较小，又把
H
视为微扰，用微扰法求得此问题。
)0(?
H
的本征值为
2( ( ) )
)1(
2
1
I
E
本征函数为
),()0( mY
)0(?H 的基态能量为
000?）（E
，为非简并情况。根 据定态非简并微扰论可知
)0()0(
0
2
0)2(
0
H
EE
E
ddYDYdHH m s i n)c o s(? 00
*)0(
0
)0*(
0
ddYYD m s i n) ( c o s 00
*
ddYYD
m
s i n
4
1
3
4
10
*
ddYY
D
s i n
3
10
*
0?
1
3
D
ID
ID
EE
E
22
2
2
12
22
'
)0()0(
0
2
0')2(
0
3
1
)1(3
2
H
80
其中
de
i
re
e
a
dFF
ar
rp
i
kmmk
0
/
3
0
2/3*
)
2
(
1
)
2
1
(?
取电子电离后的动量方向为 Z 方向,
取
、
p?
所在平面为
xoz
面，则有
zyxr zyx
)c o s)(c o s()c o ss i n)(s i n( rr
c o sc o s c o ss i ns i n rr
derre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
0
/
c o s
3
0
2/3
)c o sc o s c o ss i ns i n (
2
1
)
2
1
(
0 0
2
0
2/
c o s
3
0
2/3
s i n)c o sc o s c o ss i ns i n(
2
1
)
2
1
(
0
dd r drerre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
O
θ
α
x
y
r?
z （
p?
）
81
5,3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：
0201 EE 及
，现在受到微扰 H 的作用，微扰矩阵元为
bHHaHH 22112112,；
ba,
都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得
nnn HE
)1(
m mn
mn
n
EE
H
E
)0()0(
2
')2(
得
bHEbHE 22)1(0211)1(01
0201
2
001
2
1')2(
01
EE
a
EE
H
E
m m
m
0102
2
002
2
1')2(
02
EE
a
EE
H
E
m m
m
∴ 能量的二级修正值为
0201
2
011
EE
a
bEE
0102
2
022
EE
a
bEE
82
5,4 设在
0?t
时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为
t s i n
，
及
均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。 求这单色光的最小频率和在时刻
t
跃迁到电离态的几率。
解,① 当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为
2
4
1m i nm i n
2?
s
e
EEhv
h
e
v
s
2
4
m i n
2?
34
19
1062.6
106.16.13
Hz15103.3
②
0?t
时，氢原 子处于基态，其波函数为
0
/
3
0
1 ar
k
e
a
在
t
时刻,
rp
i
m
e
2/3
)
2
1
(
微扰
)(
2
s i n)(?
titi
ee
i
re
tretH
)(? titi eeF
其中
i
re
F
2
在 t 时刻跃迁到电离态的几率为
83
2)( taW
mmk
t ti
mkm tdeH
i
ta mk
0
1
)(?
t titimk
tdee
i
F
mkmk
0
)()( )(
]
11
[
)()(
mk
ti
mk
ti
mk
mkmk eeF
对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项,
mk
ti
mk
m
mkeF
ta
1
)(
)(
2
)()(
2
2
2
)(
)1)(1(
)(
mk
titi
mk
mmk
mkmk eeF
taW
22
2
12
2
)(
)(s i n4
mk
mkmk
tF
84
其中
de
i
re
e
a
dFF
ar
rp
i
kmmk
0/
3
0
2/3*
)
2
(
1
)
2
1
(?
取电子电离后的动量方向为 Z 方向,
取,
p?
所在平面为 xoz 面，则有
zyxr zyx
)c o s)(c o s()c o ss i n)(s i n( rr
c o sc o s c o ss i ns i n rr
derre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
0/
c o s
3
0
2/3
)c o sc o s c o ss i ns i n (
2
1
)
2
1
(?
O
θ
α
x
y
r?
z （
p?
）
85
0 0
2
0
2/
c o s
3
0
2/3
s i n)c o sc o s c o ss i ns i n(
2
1
)
2
1
(
0
dd r drerre
i
e
a
F
ar
rp
i
mk
0 0
2
0
/3
c o s
3
0
2/3
)s i nco s co s(
2
1
)
2
1
(
0
dd r dere
i
e
a
ar
rp
i
0
c o s
0
/3
3
0
2/3
s i nc o s[2
2
c o s1
)
2
1
(
0
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i
e
a
rp
i
ar?
0
22
2
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3
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22
c o s
0
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rp
ee
i p r
er
ai
e rp
i
rp
i
rp
i
rp
i
ar
3
2
2
2
0
0
3
0 )
1
(
116
22
c o s
p
a
ia
p
ai
e
3222
0
2/7
0
)(8
)(c o s16
pa
ape
∴
22
2
12
2
)(
)(s i n4
mk
mkmk
mk
tF
W
2
2
12
6222
0
2
57
0
2222
)(
)(s i n
)(
c os12 8
mk
mk
t
pa
aep
86
0 0
2
0
/3
c o s
3
0
2/3
)s i nco s co s(
2
1
)
2
1
( 0
dd r dere
i
e
a
ar
rp
i
0
c o s
0
/3
3
0
2/3
s i nc o s[2
2
c o s1
)
2
1
( 0 dedrer
i
e
a
rp
i
ar?
0
22
2
/3
3
0
)]()([
22
c o s
0 dree
rp
ee
i p r
er
ai
e rp
i
rp
i
rp
i
rp
i
ar
3
2
2
2
0
0
3
0 )
1
(
116
22
c o s
p
a
ia
p
ai
e
3222
0
2/7
0
)(8
)(c o s16
pa
ape
∴
22
2
12
2
)(
)(s i n4
mk
mkmk
mk
tF
W
2
2
12
6222
0
2
57
0
2222
)(
)(s i n
)(
c os12 8
mk
mk
t
pa
aep
87
5,5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
)(0,
0,0
/
0
为 大 于 零 的 参 数当当
te
t
t
求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率。
解：对于 2p 态，
1
，
m
可取
1,0?
三值，其相应的状态为
121211210
氢原子处在 2p 态的几率也就是从
1 0 0?
跃迁到
121211210,、
的几率之和。
由
t
ti
mkm
tdeH
i
ta mk
0
1
)(
dHH 1 0 0
*
2 1 01 0 0,2 1 0
)co s)(?( rteH
dYRrteYR 0010
*
1021 c o s)(
( 取
方向为 Z 轴方向 )
2
0 0
00
*
10
0
10
3
21
s i nc o s)( ddYYdrRrRte
)
3
1
( c o s
1000
YY
fte
ddYYfte
)(
3
1
s i n
3
1
)(
2
0 0
10
*
10
0
0
3
10
*
21
681
256
)()( adrrrRrRf
0
2
3
42/3
00
2/3
0
0
)
1
(
3
2
)
2
1
( drer
aaa
r
a
88
0
5
05
5
4
0 681
256
3
241
6
1
aa
a
！
ftedHH )(
3
1?
1 00
*
2 101 00,2 10
00
)(
24 3
212 8
681
25 6
3
)(
atea
te
0 10 0
*
21 110 0,21 1 c o s)( drteH
2
0 0 00
*
110 10
3
21 s i nc o s)( ddYYdrRrRte
2
0 0
10
*
11
0
10
3
21
s i n
3
1
)( ddYYdrRrRte
= 0
dHH 100* 121100,121?
0
2
0 00
*
110 10
3
21 s i nc o s)( ddYYdrRrRte
0
2
0
10
*
11
0
10
3
21
s i n
3
1
)( ddYYdrRrRte
= 0
89
由上述结果可知，
0211100W
,
01211 00W
∴
1211 0 02 1 11 0 02 1 01 0 021 WWWW ps
2
0
100,2102210100
21
1
t
ti
tdeHW
2
0
/2
00
2
2
21)()
243
128
(
2
t
tti
tdeeea
2
2
21
2
2
0
2
0
22
2
1
1
)
2 4 3
1 2 8
(
2
21
t
ti
e
ae
当t 时,
2
2
21
2
0
2
0
22
221
1
1
)
243
128
(
2
ae
ps
其中
0
2
3
4
3
4
1221
8
3
8
3
)
4
1
1(
2
)(
1
a
eee
EE
sss
90
5,6 计算氢原子由 第一激发态到基态的自发发射几率。
解,
2
3
32
3
4
mk
mks
mk
r
c
e
A
由选择定则
1
，知
ss 12?
是禁戒的故只需计算
sp 12?
的几率
12
21
EE?
3
4
3
4
8
3
)
4
1
1(
2
ss
ee
而
2
21
2
21
2
21
2
21 zyxr
2p 有三个状态,即
121211210,,
( 1) 先计算 z 的矩阵元
c o srz?
dYdrrrRrRz
mm 00
*
1
0
3
10
*
2110 0,21
c o s)()()(
dYYf m 00
*
1
3
1
0
3
1
m
f
fz
3
1
)(
100,210
0)( 100,211?z
0)( 100,121z
91
( 2 )计算 x 的矩阵元
)(s i n
2
c o ss i n
ii
ee
r
rx
dYeeYdrrrRrRx
ii
mm 00
*
1
0
3
10
*
21100,21
)( s i n)()(
2
1
)(
dYYf m ) Y(
3
2
2
1
1111
*
1
)(
6
1
11?
mm
f
i
eY s i n
8
3
11
i
eY
s i n
8
3
11
4
1
00
Y
0)( 1 0 0,2 1 0 x
fx
6
1
)(
100,211
fx
6
1
)(
1 0 0,121
( 3) 计算
y
的矩阵元
)(s i n
2
1
s i ns i n
ii
eer
i
ry
dYeeYdrrrRrR
i
y
ii
mm 00
*
1
0
3
10
*
211 0 0,21
)(s i n)()(
2
1
)(
)(
3
2
2
1
11?
mm
f
i
)(
6
1
11?
mm
f
i
0)( 1 0 0,2 1 0 y
f
i
y
6
)(
100,211
f
i
y
6
)(
1 00,121
22
22
2
12
)
3
1
6
2
6
2( ff
ff
r
sp
92
( 4) 计算
f
0
0
3
10
*
21
681
256
)()( adrrrRrRf
0
2
3
42/3
00
2/3
0
0
)
1
(
3
2
)
2
1
( drer
aaa
r
a
3
2
3
2
681
256
3
241
6
1
4
7
00
5
05
5
4
0
aaa
a
！
2
09
15
2
3
2
af?
2
213
3
21
2
12
3
4
r
c
e
A
s
sp
2
09
15
3
3
4
3
2
3
2
)
8
3
(
3
4
a
e
c
e
ss
2
2
2
310
143
7
8
)
(
3
2
s
s
ec
e
19
36
10
7
8
1091.1
3
2?
s
c
e
s
ss
A
910
21
1052.01023.5
1
93
5,7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。
解：
2112212 sppsp ANJ
2
4
63
10
7
8
2
8
3
3
2
ss
p
e
c
e
N
38
142
6
5
2
3
2
c
e
N sp
eV2.1021
2
0
43
10
6
5
2
3
2
ac
e
N sp
WN p 92 101.3
若
9
2 10
pN
，则
WJ 1.321?
94
5,8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解,
22
mkmkmk xrA
dxxx kmmk *
由
]
2
1
2
[
1
11
kkk
kk
x
mnnm dx
*
]
2
1
2
[
1
1,1,
kmkmmk
kk
x
1 km 时,
0?mkx
即选择定则为 1 kmm
95
7,1,证明,izyx 证：由对易关系
zxyyx i2
及反对易关系
0 xyyx
,得
zyx i
上式两边乘
z
，得
2 zzyx i
∵
1? 2?z?
∴
izyx
第七章 自旋与全同粒子
96
7,2 求在自旋态
)(21 zS?
中，
xS?
和
yS?
的测不准关系,
)()( 22?
yx SS
解：在
zS?
表象中
)(
21 z
S?
、
xS?
、
yS?
的矩阵表示分别为
0
1)(
2
1 zS?
01
10
2
xS
0
0
2
i
iS
y
∴ 在
)(
2
1 zS?
态中
0
0
1
01
10
2
)0 1(
2
1
2
1
xx SS
97
40
1
01
10
201
10
2
)0 1(?
2
22
2
1
2
1
xx SS
4)(
22
22
xxx SSS?
00100
2
)0 1(?
2
1
2
1
i
iSS
yy
40
1
0
0
20
0
2)0 1(
2
22
2
1
2
1
i
i
i
iSS
yy
4)(
22
22
yyy SSS?
16)()(
4
22
yx SS
98
16)()(
4
22
yx SS
讨论：由
xS?
、
yS?
的对易关系
[
xS?
，
yS?
]
zSi
要求
4
)()(
22
22 z
yx
S
SS
①
在
)(
2
1 zS?
态中，
2
zS
∴
16
)()(
4
22
yx SS
可见①式符合上式的要求。
99
7,3,求
0
0
2
01
10
2
i
iSS
yx
及的本征值和所属的本征函数。
解：
xS
的久期方程为
0
2
2
2
0)
2
( 22
∴
xS
的本征值为
2
。
100
设对应于本征值
2
的本征函数为
1
1
2/1 b
a
由本征方程
2/12/1 2
xS
,得
1
1
1
1
201
10
2 b
a
b
a
11
1
1
1
1 ab
b
a
a
b
由归一化条件 12/12/1,得
1),(
1
1*
1
*
1
a
a
aa
101
即
12 21?a
∴
2
1
2
1
11 ba
对应于本征值
2
的本征函数为
1
1
2
1
2/1?
设对应于本征值
2
的本征函数为
2
2
2/1 b
a
由本征方程
2
2
2/12/1 2
b
a
S x
22
2
2
2
2 ab
b
a
a
b
102
由归一化条件，得
1),(
2
2*
2
*
2
a
aaa
同理可求得
yS?
的本征值为
2
。其相应的本征函数分别为
i
1
2
1
2
1
i
1
2
1
2
1?
即
12 22?a
∴
2
1
2
1
22 ba
对应于本征值
2
的本征函数为
1
1
2
1
2/1?
103
7,4 求自旋角动量
)c o s,c o s,( c o s
方向的投影
c o s?c o s?c o s zyxn SSSS
本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量
zS
有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？
zS
的平均值是多少？
解：在 zS? 表象,nS? 的矩阵元为
c os10 01
2
c os00
2
c os01 10
2
i
iS
n
104
c o sc o sc o s
c o sc o sc o s
2 i
i
S n?
其相应的久期方程为
0
c o s
2
)c o s( c o s
2
)c o s( c o s
2
c o s
2?
i
i
即
0)c o s( c o s4c o s4 22
2
2
2
2
0
4
2
2 )1c o sc o sc o s( 222利用
105
2
所以
nS?
的本征值为
2
。
设对应于
2
nS
的本征函数的矩阵表示为
b
aS
n )(21?
，
则
b
a
b
a
i
i
2c osc osc os
c osc osc os
2
bbia c o s)c o s( c o s
co s1
co sco s
ib
由归一化条件，得
106
22** ),(1
2
1
2
1 bab
a
ba
1
c o s1
c o sc o s 2
2
2?
aia
1c o s1 2 2 a?
取
2
co s1a,得
)c os1(2
c osc os
ib
)c o s1(2
c o sc o s
1
c o s1
)(
2
1
i
S
n
107
)c o s1(2
c o sc o s
1
c o s1
)(
2
1
i
S n
2
1
2
1
)c o s1(2
c o sc o s
2
c o s1
1
0
)c o s1(2
c o sc o s
0
1
2
c o s1
)(
2
1
i
i
S
n
可见,
zS?
的可能值为
2 2
相应的几率为
2
c o s1
2
co s1
)co s1(2
co sco s 22?
c os22c os122c os12zS
108
同理可求得 对应于
2nS
的本征函数为在此态中，
zS?
的可能值为
2 2
相应的几率为
2
c o s1
2
c o s1
)c o s1(2
c o sc o s
2
c o s1
)(
2
1
i
S
n
c o s2zS
109
7,5 设氢的状态是
),()(
2
3
),()(
2
1
1021
1121
YrR
YrR
①求轨道角动量 z 分量
z
L
和自旋角动量 z 分量
z
S
的平均值；
②求总磁矩
S
e
L
e
M
2
的 z 分量的平均值（用 玻尔磁矩子表示）。
110
解,ψ可改写成
1
0
),()(
2
3
0
1
),()(
2
1
10211121 YrRYrR
)(),()(
2
3)(),()(
2
1
2
11021
2
11121 zz SYrRSYrR
从 ψ 的表达式中可看出
zL?
的可能值为? 0
相应的几率为
4
1
4
3
4
zL
111
zS?
的可能值为
2
2
相应的几率
2
iC
为
4
1
4
3
44
3
24
1
2
2
ziiz SCS
② )
4(422
eeSeLeM
zzz
BM
e
4
1
42
112
7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解：体系可能的状态有 4 个。设两个 单粒子态为
i?
，
j?
，则体系可能的状态为
)()()( 3211 qqq iii
)()()( 3212 qqq jjj
113
)]()()(
)()()()()()([
3
1
132
2313213
qqq
qqqqqq
jii
jiijii
)]()()(
)()()()()()([
3
1
132
2313214
qqq
qqqqqq
ijj
ijjijj
114
7.7 证明 )3()2()1(,,SSS 和 A? 组成的正交归一系。
解：
)]()([)]()([ 22/112/122/112/1)1()1( zzzzSS SSSS
)S()S()S()S( z22/1z12/1z12/1z22/1
)S()S( z22/1z22/1
= 1
)]()([)]()([ 22/112/122/112/1)2()1( zzzzSS SSSS
)S()S()S()S( z22/1z12/1z12/1z22/1
= 0
115
)]()()()([
)]()([
2
1
22/112/122/112/1
22/112/1
)3()1(
zzzz
zzSS
SSSS
SS
)]()()()(
)()()()([
2
1
22/112/112/122/1
22/112/112/122/1
zzzz
zzzz
SSSS
SSSS
]0)()([
2
1
22/122/1
zz SS
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
116
)]()()()([
)]()()()([
2
1
22/112/122/112/1
22/112/122/112/1
)3()3(
zzzz
zzzzSS
SSSS
SSSS
)]S()S([)]S()S([21 z12/1z22/1z22/1z12/1
)]S()S([)]S()S([21 z12/1z12/1z12/1z22/1
)]S()S([)]S()S([21 z12/1z22/1z12/1z22/1
1210021
)]()([)]()([21 22/112/122/112/1 zzzz SSSS
117
7,8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是
22
2
1
)( rrU
。如果电子之间的库仑能和
)( rU
相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿 x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
解：电子波函数的空间部分满足定态 S-方程
)()()()(
2
2
rErrUr
)()(
2
1)()(
2
22
2
2
2
2
2
22
rErrr
zyx
118
)()(
2
1)()(
2
22
2
2
2
2
2
22
rErrr
zyx
考虑到 2222 zyxr,令
)z(Z)y(Y)x(X)r(
E X Y ZX Y ZzyxX Y Zzyx )(21)(2 22222
2
2
2
2
22
Ez
x
Z
Z
y
x
Y
Y
x
x
X
X
)
2
11
2
(
)
2
11
2
()
2
11
2
(
22
2
22
22
2
22
22
2
22
xExx
X
X
)
2
11
2(
22
2
22
119
)()(
22
2
1
xHeNxX nxnn
)()(
22
2
1
yHeNyY mymm
)()(
22
2
1
zHeNzZ z
)()()()(
22
2
1
zHyHxHeNNNr mnrmnnm
yEyx
Y
Y
)
2
11
2(
22
2
22
zEzx
Z
Z
)
2
11
2(
22
2
22
zyx EEEE
120
)()()()(
22
2
1
zHyHxHeNNNr mnrmnnm
)mn(E 23nm
其中
!22/1 nN nn?
,
对于基态 0mn,10?H
22 r
2
1
2/3
0 0 00 e)()r(
对于沿 χ 方 向 的 第 一 激 发 态 01mn,,
xxH 2)1（
121
22
2
1
4/3
2/5
1 0 01 2
2)( rxer?
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
) ) ](()()([
2
1),(
2011211021 rrrrrrS
][
)(
2
1
1
)(
2
1
22/3
4 2
2
2
1
22
2
2
1
2 rrrr
exex
)(
2
1
122/3
4 2
2
2
1
2
)(
rr
exx
22 r
2
1
2/3
0 0 00 e)()r(
122
)]r()r()r()r([
2
1)r,r(
1120211021A
)rr(21
122/3
4 2
2
2
1
2
e)xx(
而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即
)3(
S)2(S)1(S,、
和
A?
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态：
A21S1 )r,r(
123
三重态：
)3(
214
)2(
213
)1(
212
),(
),(
),(
SA
SA
SA
rr
rr
rr
