考研数学冲刺·概率论与数理统计
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一、基本概念总结
1、概念网络图
2、最重要的5个概念
（1）古典概型（由比例引入概率）
例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？
（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）
例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
乙箱中次品件数X的数学期望。
从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。
（3）分布函数（将概率与函数联系起来）
（4）离散与连续的关系
例5：见“数字特征”的公式。
（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）
样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。
例6：样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：，完成了一个从样本到总体的推断过程。
二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个）
1、概率
（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。
例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？
（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例8：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：
（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。
例9：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？
例10：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？
（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。
例11：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？
例12：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？
（5）“先后放回取”是“二项分布”。
例13：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？
（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。
例14：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。
（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
，。
（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例15：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中
求X的边缘密度。
（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。
例16：设随机变量（X，Y）的分布密度为
试求U=X-Y的分布密度。
（10）均匀分布用“几何概型”计算。
例17：设随机变量（X，Y）的分布密度为
试求P(X+Y>1)。
（11）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。
（12）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。
例19：设，为两个随机事件,且,,,令
求
(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布;
(Ⅱ) 与的相关系数 ;
(Ⅲ) 的概率分布,
（13）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。
例20,连续型随机变量：E(XY)＝
（14）应用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。
例21：市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？
（15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
2、统计
（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。
连续型：
离散型：
例22：设总体X的概率分别为
其中θ（0<θ<）是未知参数，利用总体X的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。
例23：设是总体的一个样本，试证
（1）
（2）
（3）
都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。
（3）标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，
、分布取面积对称的分位数。
三、选择题常考的5个混淆概念
1、乘法公式和条件概率例24：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？
2、独立和互斥设A≠?,B≠?，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。
例25：对于任意二事件A和B，
若AB=Φ，则A，B一定不独立。
若AB=Φ，则A，B一定独立。
若AB≠Φ，则A，B一定独立。
（D） 若AB≠Φ，则A，B有可能独立。
3、独立和不相关
独立是不相关的充分条件。
(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。
4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；
也不能推出 X+Y 为一维正态分布。
例26：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设
（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数；
（3）问X与Z是否相互独立？为什么？
例27：设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则
（A）X与Y一定独立。 （B）（X，Y）服从二维正态分布。
（C）X与Y未必独立。 （D）X+Y服从一维正态分布。
5、几个大数定律的区别
切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
例28：设{X1,X2,……Xn，……}是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2,……），则随机变量序列{ X1,22X2,……n2Xn，……}：
(A) 服从切比雪夫大数定律。
(B) 服从辛钦大数定律。
(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。
(D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。
四、解答题常考的6个题型
1、全概和贝叶斯公式
例29：在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求该电子元件损坏的概率α；
该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。
表中Φ（x）是标准正态分布函数。
2、二项分布例30：设测量误差X~N（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。
[附表]：
3、二维随机变量例31：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
Y
X 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则
A、a=0.2,b=0.3 B、a=0.1,b=0.4
C、a=0.3,b=0.2 D、a=0.4,b=0.1
例32：设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求
(Ⅰ) 随机变量和的联合概率密度；
(Ⅱ) 的概率密度；
(Ⅲ) 概率．
4、数字特征例33：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。
例34：今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X与Y是否独立；（3）令U=max (X,Y),V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。
例35：设为独立同分布的随机变量，且均服从N（0，1）。记
求： （I）
（II）
(III)
5、应用题例36：设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。
问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
6、最大似然估计例37：设随机变量的分布函数为
其中参数,设为来自总体的简单随机样本，
(Ⅰ) 当时,求未知参数的矩估计量；
(Ⅱ) 当时,求未知参数的最大似然估计量；
(Ⅲ) 当时,求未知参数的最大似然估计量。
五、考试的2个技巧
1、填空题和选择题的答题技巧例38：设随机变量独立同分布，则行列式
的数学期望＝ 。
例39：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件
（A）相互独立。 （B）相互独立。
（C）两两独立。 （D）两两独立。
2、答题顺序
填空题→计算题→选择题→证明题；
概率,线代→高数。
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一、基本概念总结
1、概念网络图
2、最重要的5个概念
（1）古典概型（由比例引入概率）
例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？
（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）
例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
乙箱中次品件数X的数学期望。
从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。
（3）分布函数（将概率与函数联系起来）
（4）离散与连续的关系
例5：见“数字特征”的公式。
（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）
样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。
例6：样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：，完成了一个从样本到总体的推断过程。
二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个）
1、概率
（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。
例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？
（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例8：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：
（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。
例9：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？
例10：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？
（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。
例11：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？
例12：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？
（5）“先后放回取”是“二项分布”。
例13：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？
（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。
例14：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。
（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
，。
（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例15：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中
求X的边缘密度。
（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。
例16：设随机变量（X，Y）的分布密度为
试求U=X-Y的分布密度。
（10）均匀分布用“几何概型”计算。
例17：设随机变量（X，Y）的分布密度为
试求P(X+Y>1)。
（11）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。
（12）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。
例19：设，为两个随机事件,且,,,令
求
(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布;
(Ⅱ) 与的相关系数 ;
(Ⅲ) 的概率分布,
（13）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。
例20,连续型随机变量：E(XY)＝
（14）应用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。
例21：市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？
（15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
2、统计
（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。
连续型：
离散型：
例22：设总体X的概率分别为
其中θ（0<θ<）是未知参数，利用总体X的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。
例23：设是总体的一个样本，试证
（1）
（2）
（3）
都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。
（3）标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，
、分布取面积对称的分位数。
三、选择题常考的5个混淆概念
1、乘法公式和条件概率例24：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？
2、独立和互斥设A≠?,B≠?，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。
例25：对于任意二事件A和B，
若AB=Φ，则A，B一定不独立。
若AB=Φ，则A，B一定独立。
若AB≠Φ，则A，B一定独立。
（D） 若AB≠Φ，则A，B有可能独立。
3、独立和不相关
独立是不相关的充分条件。
(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。
4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；
也不能推出 X+Y 为一维正态分布。
例26：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设
（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数；
（3）问X与Z是否相互独立？为什么？
例27：设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则
（A）X与Y一定独立。 （B）（X，Y）服从二维正态分布。
（C）X与Y未必独立。 （D）X+Y服从一维正态分布。
5、几个大数定律的区别
切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
例28：设{X1,X2,……Xn，……}是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2,……），则随机变量序列{ X1,22X2,……n2Xn，……}：
(A) 服从切比雪夫大数定律。
(B) 服从辛钦大数定律。
(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。
(D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。
四、解答题常考的6个题型
1、全概和贝叶斯公式
例29：在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求该电子元件损坏的概率α；
该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。
表中Φ（x）是标准正态分布函数。
2、二项分布例30：设测量误差X~N（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。
[附表]：
3、二维随机变量例31：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
Y
X 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则
A、a=0.2,b=0.3 B、a=0.1,b=0.4
C、a=0.3,b=0.2 D、a=0.4,b=0.1
例32：设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求
(Ⅰ) 随机变量和的联合概率密度；
(Ⅱ) 的概率密度；
(Ⅲ) 概率．
4、数字特征例33：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。
例34：今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X与Y是否独立；（3）令U=max (X,Y),V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。
例35：设为独立同分布的随机变量，且均服从N（0，1）。记
求： （I）
（II）
(III)
5、应用题例36：设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。
问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
6、最大似然估计例37：设随机变量的分布函数为
其中参数,设为来自总体的简单随机样本，
(Ⅰ) 当时,求未知参数的矩估计量；
(Ⅱ) 当时,求未知参数的最大似然估计量；
(Ⅲ) 当时,求未知参数的最大似然估计量。
五、考试的2个技巧
1、填空题和选择题的答题技巧例38：设随机变量独立同分布，则行列式
的数学期望＝ 。
例39：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件
（A）相互独立。 （B）相互独立。
（C）两两独立。 （D）两两独立。
2、答题顺序
填空题→计算题→选择题→证明题；
概率,线代→高数。
