汽车结构有限元分析授课对象：工学硕士学科专业：车辆工程作 者：马 力主 讲：马 力单 位：武汉理工大学汽车学院电 话,027 – 87870519(H)
027 – 87658368(O)
13037150076
主要参考资料
［ 1］王勖成，邵敏,有限单元法基本原理和数值方法［ M］,清华大学出版社,
2001
［ 2］周中坚，卢耀祖,机械与汽车结构的有限元分析［ M］,同济大学出版社,1997
［ 3］朱伯芳,有限单元原理及其应用,中国水利水电出版社,1998
［ 4］钱伟长，叶开沅,弹性力学,科学出版社,1980.03
［ 5］杨橙，马力，王仲范,复合材料储能飞轮临界转速与极限转速研究 ［ J］,
中国机械工程,2003（ 18）
［ 6］廖芳，马力，杨橙，何耀华,客车骨架强度失效分析 ［ J］,客车技术与研究,2003（ 4）
［ 7］唐少雄，马力，杨代华，柴苍修,内燃机凸轮机构摩擦学仿真设计建模研究 ［ J］,内燃机工程,2002（ 6）
［ 8］柴苍修，马力，王元良，李春光,农用运输车车架有限元强度分析
［ J］,拖拉机与农用运输车,2002（ 1）
主要讲述内容
有限元法概述
弹性力学简介
平面问题有限元法
ANSYS的应用简介
轴对称问题有限元法
板壳问题有限元法
实体问题有限元法
组合结构有限元法
有限元模态分析
有限元疲劳分析
汽车结构有限元分析实例
前言
– 关于有限元法
英文缩写 FEM（ Finite Element Method）
应用中习惯称有限元分析
是一种连续结构离散化数值计算方法
上世纪五十年代由美国飞机工程师提出 （ 1956年,Turner）
– FEM与 CAE
CAE－计算机辅助工程 （ Computer Aided Engineering）
CAE范围更广，还包含其它工程分析方法概 述
– 国内外发展应用简介
方法提出后吸引大量数学力学家进行研究，至今理论相当成熟
目前应用非常广泛
国外
– 发达国家有限元分析软件相当完善，商业化程度很高
– 应用意愿和应用水平很高
国内
– 发展相对较晚
– 研究应用水平发展很快
– 没有公认的、广为流行的、高水平的、功能强大的商业化分析系统
– 就全国范围来讲，汽车行业主动应用意愿与国外相比差距较大
车辆工程中有限元主要应用范围
– 按学科分类
弹性力学
断裂力学
塑性力学
结构分析动力学
流体力学
热力学
电磁学
声学几乎覆盖车辆工程中的各个学科，如果包含交叉学科和边缘学科，范围则更广
– 按汽车结构分析分类
汽车结构强度和刚度分析
– 静强度失效
载荷产生超过屈服极限或强度极限的应力
载荷可是真的静载，也可为动载峰值
– 结构变形
影响运动关系
检查运动干涉
变形过大失效问题
世界著名案例：日本车制动油管常见汽车零部件失效静强度失效疲劳失效共振原因失效
汽车结构模态分析
– 属动力学分析领域
– 分析结构的固有特征
固有频率
固有振型
模态阻尼
模态刚度
– 广范用于汽车结构动态特性设计
– 广泛用于解决汽车结构振动噪声问题系统固有特性输入
（激励）
)(tx
输出
（响应）
)(ty
响应分析
– 时间响应分析
通常在时域内求系统的时间相应
常用于疲劳分析、平顺性分析等
– 频率响应和响应谱分析
多用于随机振动常参数线性系统脉冲响应函数频率响应函数传递函数输入
（激励）
)(?X
输出
（响应）
)(?Y)(th
)(?H
)(sH
)(tx
)(sX )(sY
)(ty
温度场计算
– 包括对流、传导和辐射
– 发动机温度场计算及散热问题
– 保温车（冷藏车）隔热计算
– 热应力分析
噪声振动分析
– 声场分析
– 空腔共鸣
– 制动噪声
– 部件机械振动噪声
汽车空气动力学分析
– 降低空气阻尼、升力等
– 通风换气
– 改善车身表面流场
– 发动机进气及排放现在最高的汽车车速是多少？
你家新房空调放在什么地方最省电？
能否实现在车内后排两老板
（或情侣）
说话司机不易听见而司机说话前者容易听见
汽车结构碰撞、冲击分析
– 碰撞安全性问题
– 车身安全性设计
– 碰撞事故模拟再现
汽车零部件冲压成形
– 成形部件设计
– 模具设计
– 分析开裂、起皱、回弹等问题
（液）流场分析
– 液化石油气罐车乘车坐在什么地方
（相对）最安全
汽车结构可靠性分析
灵敏度分析和结构动态修改
汽车结构优化设计
– 按汽车结构分析的力学特征分类
线性问题计算分析
非线性问题的计算分析
– 几何非线性
– 材料非线性
– 状态非线性
接触问题
弹性力学基本概念
– 基本假设
假设物体是连续的
假设物体是均质的
假设物体是各向同性的
假设物体是完全弹性的
假设物体的位移和应变是微小的第一章 弹性力学简介
– 基本物理量
外力
– 分布力：体力、面力等
– 集中力
应力
应变
位移
x?
y?
z?
x
z
y
xy?
Tzxyzxyzyx
Tzxyzxyzyx
Twvuf?
– 几何方程
几何方程,应变和位移的关系
T
zx
yz
xy
z
y
x
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
x
y
回顾单向拉伸：
ll
– 刚体位移,应变为零的位移
0
0
0
0
0
0
T
zx
yz
xy
z
y
x
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
0
0
0
为积分常数
zyxwvu,,,,,
– 物理方程和弹性矩阵
物理方程,描述应力和应变之间的关系
弹性矩阵
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
)1(2
21
00000
)1(2
21
0000
)1(2
21
000
1
11
1
1
1
)21)(1(
)1(
对称
D＝
D 回顾单向拉伸虎克定理：
E?
– 平衡方程
– 边界条件
力的边界条件
位移边界条件
0
0
0
Z
zyx
Y
zyx
X
zyx
zyzzx
yzyxy
zxxyx
y
z
X
Y
Z
F
N
P
nmlZ
nmlY
nmlX
zyzzx
yzyxy
zxxyx
*uu? *vv? *ww?
应力微元体平衡
*
弹性力学问题归纳（位移法）
– 求解位移函数,它满足
三个平衡方程
六个几何方程
六个物理方程
力的边界条件和位移边界条件
– 数学上是偏微分方程的边值问题
– 全部点的位移集合反映结构的变形
– 弹性结构上有无穷多个点，所以有无穷多个自由度
– 由位移函数可求得应变
– 由应变可求得应力
Twvuzyxf?)},,({
圣维南原理
– 若把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，
但远处所受的影响可忽略不计。
P
P
P
P
P
弹性体虚位移原理
– 虚位移
结构约束所允许的任何微小位移
– 虚应变
虚位移所产生的应变
– 虚功原理
外力在虚位移上所做的功等于弹性体内应力在相应的虚应变上所做的功
*f
*?
d x d y d zFf
V
TT **
第二章 有限元法基思想
引言
– 弹性力学对结构分析的描述（求应力和变形）
十五个偏微分方程
满足边界条件
连续体，无穷多个自由度
– 机械结构复杂性
几何形状复杂
位移边界条件复杂
所受载荷复杂
结构材料复杂
求不出解析解，须用数值计算方法
有限元基本方法
– 结构离散化
离散成有限个单元
单元之间通过节点相连
问题变成
– 求节点位移
– 有限个自由度
网格越密
– 精度越高
– 计算时间越长
– 所需计算机资源越大
单元节点位移用矢量
单元种类很多结构单元节点网格
e?
– 单元分析
假设位移模式
– 得到假设的位移函数矩阵 [N]
– 任一点的位移 用节点位移表示
单元力学特性分析
– 由几何方程得到应变矢量（ [B]为应变矩阵）
– 由物理方程得应力
– 由虚位移原理得到单元刚度矩阵
– 节点力 和节点位移的关系单元 e
节点力单元 e
节点位移
ee Nf
ef
eK
eF
eee KF
ee B
eee SBDD ]][[][
– 整体分析
单刚迭加形成总刚［ K］
单元节点力矢量迭加形成结构节点力矢量
形成结构线性方程组
– 约束处理并求解方程
处理位移约束条件
求解线性方程组的全部节点位移
– 根据所求节点位移计算应力分量
F
KF?
– 有限元应用实例（一）
汽车安全气囊计算
– 有限元应用实例（二）
动力响应 1
– 有限元应用实例（三）
动力响应 2
– 有限元应用实例（四）
接触问题
– 有限元应用实例（五）
加工过程仿真
– 有限元应用实例（六）
冲压成型 1
– 有限元应用实例（七）
冲压成型 2
– 有限元应用实例（八）
热轧
– 有限元应用实例（九）
汽车碰撞 1
– 有限元应用实例（十）
汽车碰撞 2
– 有限元应用实例（十一）
失稳问题
– 有限元应用实例（十二）
碰撞问题
– 有限元应用实例（十三）
冲击 1
– 有限元应用实例（十四）
冲击 2
有限元应用实例（十五）
– 流体力学
– 有限元应用实例（十六）
超弹性
有限元结构分类和计算步骤
– 结构分类
平面问题
– 平面应力
– 平面应变
轴对称问题
杆系结构
– 桁架（平面、空间）
– 刚架（平面、空间）
板壳结构
空间实体结构
组合结构
– 建立力学模型
– 计算过程
前处理（建立计算模型）
– 建立几何模型
– 划分单元网格
选择单元类型
划分网格
– 给定材料常数
– 给定单元实常数
– 施加载荷
– 处理边界条件
提交计算
后处理
– 观察分析位移结果
– 观察分析各种应力
– 其它结果第三章 平面问题的有限元法
平面应力问题
网格划分
单元分析
整体分析
举例及 ANSYS应用初步
平面应变问题
基本思想
– 三维问题,十五个偏微分方程
应力
应变
位移 (先计算位移再计算应变和应力 )
– 二维问题
平面应力问题,想法让与 z有关的应力分量为零
平面应变问题,想法让与 z有关的应变分量为零
位移分量
x?
y?
z?
x
z
y
xy?
Txyyx
Tzxyzxyzyx
Twvuf?
Tzxyzxyzyx
3.1 平面应力问题
Txyyx
Tvuf?
弹性力学平面应力问题方程
– 平衡方程
– 边界条件
– 几何方程,三个偏微分方程
– 物理方程,三个偏微分方程
0
0
0
Z
zyx
Y
zyx
X
zyx
zyzzx
yzyxy
zxxyx
0
0
Y
yx
X
yx
yxy
xyx
nmlZ
nmlY
nmlX
zyzzx
yzyxy
zxxyx
mlY
mlX
yxy
xyx
平面应力问题特点 （ Plane stress)
– 结构特点
载荷沿厚度方向不变化，其合力在中面内
板的两面为自由面（无载荷作用）
板关于中面对称
板可以是变厚度的 t<<a或 t<<b
a
b
t
P
px
y
z
– 位移、应力和应变分量
位移分量,
应力分量
应变分量
Tvuf?
0,0,0 yzzyxzzxz
Txyyx
0,0 yzzyxzzx 由虎克定律求得平面应力问题的由来
yxz
v
u
xy
y
x
y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
0
0
物理方程和弹性矩阵
x?
y?
xy?
yx?
X
y
xy
y
x
xy
y
x
E
2
1
00
01
01
1 2
2
1
00
01
01
1 2?
E
D
3.2 单元网格划分
平面应力单元类型简介
– 3节点三角形单元
– 4节点 4边形单元
– 8节点 4边形曲边单元
节点位移分量
– 每节点 2个位移分量（自由度）
x方向的位移 u，
y方向的位移 v
– 单元位移分量（ 4节点）
i
j
k
l 单元 e
i
j
k
1 2
3
4
5
6
7
8
三角形单元四边形单元
8节点单元
Tllkkjjiie vuvuvuvu
单元网格划分,生成单元节点信息
– 应力梯度变化比较大的地方，网格应密一些
– 有应力集中的地方，网格应密一些
– 单元边界长度不要相差过大
– 单元各边夹角不要太大
– 集中载荷处要设臵节点
– 结构不同材料交界面处要设臵节点并作为单元边界
– 结构厚度突变处要设臵节点并作为单元边界
– 分布载荷突变处要设臵节点
– 施加位移约束处要设臵节点
– 注意单元间的连接
– 举例说明设置节点设置节点 材料 A 材料 B
界面正确这样不行病态单元
a-边长差别太大
b-边长差别太大
c-边夹角太大
a b
c
单元节点信息
– 节点信息
– 单元拓扑信息平板长 2宽 1x
y 1 2 3
456
7 8
1
2 3
4
5
9节点号 约束代 码 x y z 其它
1 000000 0 0 0 0
2 000000 1 0 0 5
3 111000 2 0 0 0
4 111000 2 1 0 0
5 010000 1 1 0 0
6 000000 0 1 0 6
7 000000 0 0.5 0 0
8 000000 1 0.5 0 0
9 000000 2 0.5 0 0
单元号节点
i
节点
j
节点
k
节点
l
材料编号其它常数
1 1 2 8 7 1
2 7 8 5 6 1
3 5 8 9 4 1
4 3 9 8 8 1
5 8 2 3 3 1
3.3 三角形单元分析
单元的节点位移和节点力
– 节点坐标,
– 节点位移
– 节点力
– 目标,单元刚度矩阵 [K]
Tmmjjiie vuvuvu
),(),,(),,( mmjjii yxyxyx
x
y
i
j m
e
Tmmjjiie YXYXYXF?
mX
mY
iX
iY
jX
jY
iv
mu
mv
iu
ju
jv
eee KF?][?
单元位移模式
– 单元位移模式的选取 （线性模式）
– 形函数和形函数矩阵
形函数
yxyxv
yxyxu
654
321
),(
),(
),(),,(),,( mmjjii yxyxyx
),(),,(),,( mmjjii vuvuvu
代入解得
654321,，，，，
e
mji
mjie yxNyxNyxN yxNyxNyxN
yxv
yxuf
),(0),(0),(0
0),(0),(0),(
),(
),(
整理
AycxbayxN iiii 2/)(),(
jmi
mji
jmmji
xxc
yyb
yxyxa
)(
其中
(i=i,j,m)
mm
jj
ii
yx
yx
yx
A
1
1
1
2
1?
A为三角形面积
形函数矩阵
形函数的性质
– 在本节点值等于一,在它节点等于零
– 权性
mj
mji
NN
NNNN
000
000
ee Nf
1),(,0),(,0),(
0),(,1),(,0),(
0),(,0),(,1),(
mmmmmjmmi
jjmjjjjji
iimiijiii
yxNyxNyxN
yxNyxNyxN
yxNyxNyxN
1),(
,,
yxN
mji i
i
j m
i点 x方向单位位移
),( yxNi
– 收敛性讨论
单元内位移模式必须是连续的，公共边上位移必须协调
位移模式必须反映单元的刚体位移
位移模式必须反映单元的常应变
可以证明三节点三角形单元是收敛的
i
jm
p
i
jm
p
单元刚度矩阵
– 单元应变与节点位移的关系,应变矩阵
e
xy
y
x
N
xy
y
x
v
u
xy
y
x
y
u
x
v
y
v
x
u
0
0
0
0
e
m
m
j
j
i
i
mmjjii
mji
mji
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
ccc
bbb
A
000
000
2
1
eB ][?
[B]为应变矩阵
][][][][ mji BBBB?
ii
i
i
i
bc
c
b
A
B 0
0
2
1][
),,( mjii?
– 单元应力与单元节点位移的关系,应力矩阵
– 特点
单元内各点的应力和应变是相等的
三节点三角形单元为常应力（常应变）单元
eBDD
eS
mji BBBDBDS
mji SSS?
ii
ii
ii
i
bc
cb
cb
A
E
S
2
1
2
1)1(2
2
),,( mji
[S]为应力矩阵
单元刚度矩阵及其特性
– 单元刚度矩阵（单刚）
t d x d yF T
A
eTe **
t d xd yBDBF eT
A
eeTe ]][[][ ** e
A
TTe t d x d yBDB
]][[][*
e
A
Te t dx d yBDBF
]][[][
eee KF
A
Te td x d yBDBK ]][[][
e
mm
e
mj
e
mi
e
im
e
jj
e
ji
e
im
e
ij
e
ii
Te
KKK
KKK
KKK
tABDBK
srsrsrsr
srsrsrsr
s
T
r
e
rs
bbcccbbc
bccbccbb
A
EttABDBK
2
1
2
1
2
1
2
1
)1(4 2
mjis mjir,,,,
– 单刚的力学意义
对角元素 的力学意义为：使单元第 i个自由度
（位移分量）产生单位位移而其它位移分量均为零时需要在该自由度上所施加的力。
非对角元素 的力学意义为：使单元第 j个自由度（位移分量）产生单位位移而其它位移分量均为零时第 i个自由度上所产生的力。
)61(ik ii
),61,61( jijik ij
(1,2)
(3,4) (5,6)
自由度编号不动
1方向单位位移这里（ 1方向）
要加多大的力
ek11
(1,2)
(3,4) (5,6)
1方向单位位移不动这里（ 5方向）
要加多大的力
ek51
– 单刚的特性
单元刚度矩阵与位移模式有关
单元刚度矩阵与单元形状、大小和方位有关
单元刚度矩阵与单元的位臵无关
单元刚度矩阵是对称矩阵
刚度矩阵是奇异矩阵,不存在逆矩阵
esrers KK? rsmjismjir ;,,;,,
ejieij kk? j，i，ji 6161
非节点载荷的移植 （静力等效）
– 集中力
等效集中力
最好在集中力处设臵节点
– 分布面力
– 分布体力
i
j
m
x
y
il
jl
l
P
Tije lllPF 0000?
i
j
m q T
e qlF
000
3
10
3
2
2
Te AtF 310310310?
单元迭加整体分析
– 结构平衡方程：
– 总体刚度矩阵 （总刚）
– 结构的节点力矢量,
– 一维存储简介
R存放力的矢量
– R（ 12）是第几号节点的哪个方向的力？
– 第 n号节点的 Y方向的力是线性表 R中的第几号元素？
A存放节点坐标（三维）
– A（ 88）是第几号节点的哪个方向的坐标？
– 第 n号节点的坐标是线性表 A中的第几号元素？
总刚也是一维存储
e
e
FF
e
e
KK
KF?
– 单刚迭加形成总刚
单刚为 矩阵,子块
迭加举例
66? 33? 1
2
3
4
5
6
1
2 3
45
5
66
1
66
5
65
1
65
5
64
1
61
5
56
1
56
54321
55
5
54
4
54
4
53
3
53
3
52
2
52
2
51
1
51
5
46
5
45
4
45
5
44
4
44
4
43
4
35
3
35
4
34
4
33
3
33
3
32
3
25
2
25
3
23
3
22
2
22
2
21
1
16
2
15
1
15
2
12
2
11
1
11
00
00
00
00
00
KKKKKK
KKKKKKKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
K
12*12矩阵,6*6子块
– 总刚的特性
矩阵元素的力学意义与单刚相同
对角元数总是正值
总体刚度矩阵为稀疏矩阵，非零元素均集中在对角元素附近
减小相邻节点编号差值可减小带宽，节省存储单元
总刚为对称矩阵
总刚为奇异矩阵带宽对称
– 边界条件的处理
划零臵一法
– 设已知边界条件为
– 总刚的处理
iu
nin
iii
iii
i
i
n
i
i
i
nnininnn
niiiiiii
niiiiiii
nii
nii
kF
kF
kF
kF
kF
u
u
u
u
u
u
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkkkk
)1(1
)1(1
22
11
1
1
2
1
)1()1(21
)1()1)(1()1)(1(2)1(1)1(
)1()1)(1()1)(1(2)1(1)1(
2)1(2)1(22221
1)1(1)1(11211
0
0
001000
0
0
0
对角元充 1
对应的行和列充 0
充大数法
– 已知边界条件为
n
i
i
n
i
i
i
nninniinnn
niiiiiiiii
iniiiiii
niiiiiiiii
niii
niii
F
F
M
F
F
F
u
u
u
u
u
u
kkkkkk
kkkkkk
kkMkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
1
1
2
1
1
1
2
1
)1()1(21
)1()1)(1()1()1)(1(2)1(1)1(
)1()1(21
)1()1)(1()1()1)(1(2)1(1)1(
2)1(22)1(22221
1)1(11)1(11211
iu
M是很大的数，远大于其它元素如 M=1.0E+30
MukukMuukukuk niniiiiiiiii 1)1(1)1(2211
iu
应力计算及结果整理
– 求解整体结构平衡方程的结构节点位移
总刚用一维变带宽存储技术
常采用波阵法求解
– 根据节点位移求单元应力
3节点三角形单元为常应力单元
可以理解应力为单元中心处的应力
– 结果的整理
采用绕节点平均法求节点应力
插值法求边界节点应力
– 3点的应力可由 2点和 4点插值而得
1
2
3
4 1
3
2
44321
1 4
1
目前国内常见的有限元系统
– 专业有限元分析系统
ANSYS
ADINA
NASTRAN
ABQUS
ALGOR SUPER SAP
– CAD软件挂带
I－ DEAS软件中的有限元系统
PRO/E软件中的有限元系统
UG软件带的有限元系统
3.4 平面应力问题举例及 ANSYS应用初步
有限元软件评价要点
– 单元库
– 材料库
– 算法库
– 前后处理能力
– 数据接口和数据转换标准
与 CAD软件 UG,PRO/E,Parasolid,IGES
有限元软件之间的数据接口
IGES等数据转换标准
– 操作方便性
ANSYS基本功能
– 结构静力分析,弹性、塑性、蠕变、大变形、接触问题
– 结构动力学分析,交变力、冲击或爆炸、随机力（地震）、其它瞬态力（如桥上的运动载荷）
– 热分析,线性非线性热分析－传导、对流、辐射
– 电磁场分析,电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分析、磁力分布、
力、运动效应、电路和能量损失
– 计算流体力学分析,瞬态或稳态
– 声场分析
– 压电分析,电子设备结构动态性能分析
ANSYS高级功能
– 多物理场耦合分析,电－磁－热、压力－结构等
– 优化设计
– 拓扑优化设计（外形优化）
– 单元生死问题
– 可扩展功能,连接用户自己的 FORTRAN程序和子过程
用户摩擦系数
用户塑性屈服准则
用户失效准则
用户优化
其它
ANSYS操作方式
– GUI方式：菜单、对话框操作
– 命令方式：大约有 1200多个命令
– 程序方式,ADPL语言编程自动运行
ANSYS几何建模
– 点（ keypoint）
– 线
– 面
– 体关键点－ Keypoint：几何建模用不参与有限元计算节点－ Node：有限元分析
解题过程及 ANSYS应用
– 有限元解题过程
– ANSYS初步应用
1000
500
P=500N
P=2.0e9Pa
E=2.1e11Pa
泊松比 0.3
板厚 30
计算举例（二）
– 问题
一方板,边长 140mm,板厚 10mm，板中心孔直径为 20mm，
两端受均匀拉伸分布力 1.0E10Pa。材料弹性模量为
we2.0E11Pa，泊松比为 0.3。如图所示，计算结构应力和变形。
140
– 建立几何模型
对称结构，只取其四分之一部分计算
– 选择单元
选平面问题 4节点 8自由度单元
划分网格
– 给定材料常数和单元厚度
– 施加载荷和约束
– 提交计算该线上各点
X方向位移为零 该线上各点
y方向位移为零分布拉力
– 计算结果
Von Miss应力和结构变形＋
原结构轮廓局部应力放大
Von Miss应力
平面应变结构特点 (Plane Strain)
– Z方向尺寸远大于 x,y方向，横截面沿 z轴不变化
– 载荷平行于横截面，且沿 z轴不变化
– 任一横截面均可看成对称面（简化成平面问题）
– 典型结构如大坝
x
y
z
y
x
3.5 平面应变问题
– 位移、应力和应变分量
位移分量,
应变分量
应力分量
Tvuf?
0,0,0 yzzyxzzxz
Txyyx
由虎克定律求得平面应变问题的由来
yxz
v
u
xy
y
x
y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
0
0
0 zxyz
处理方法
– 过程同平面应力
– 计算时材料常数的处理
理论公式上做如下变换
程序应用中
– 选择平面应力选项即可
– 几何模型为结构的横截面
21
EE
1
第三章 轴对称问题的有限元法
结构特点
– 几何结构绕轴线 z对称（完整的旋转体）
– 载荷绕结构对称
– 约束绕轴线对称
– 材料绕轴线对称
力学特点
– Z轴横截面对称
– 环向位移为零
– 应力应变、位移只与 r和 z有关，与 无关
– 简化成平面问题
r
z
r
z
应力和应变分量
– 应力分量：
– 应变分量：
单元节点位移
– 单元类型举例（同平面应力问题）
3节点,4节点,8节点平面问题单元等
– 节点位移（同平面应力问题）
每节点两个自由度,r和 z方向位移
– 载荷
集中力
分布面力
体积力：重力、离心力
Trzzr
Trzzr
i
j
k
l
r
z
Tllkkjjiie vuvuvuvu
r?
z?
rz?
建模注意机器不干实心圆杆空心圆筒
飞轮考虑自重，是否轴对称问题考虑自重，是否轴对称问题
计算举例
– 问题
一厚壁封闭容器，两端为半球形，中部为圆柱形，材料为普通碳素钢，其弹性模量为,泊松比为 。已知圆柱段的长度为 240mm，外径 D＝
100mm，内径 d＝ 60mm。该容器以 的转速绕其轴线旋转，容器内壁受 的均匀内压。计算该容器的应力分布及变形。
– 分析
典型的轴对称问题
可利用结构的对称性
载荷包括内压和离心力
211 /101.2 mNE
3.0
m in/5 6 0 0r
M P ap 2105.1
– 建立几何模型
利用对称性，只取截面的 1／ 2部分
– 划分网格
选择 8节点单元
– 给定单元材料常数
质量密度查表得出
– 施加载荷和约束
内压载荷
离心力通过指定转速来施加此线上各点
r方向的位移为零此线上各点
z方向位移为零内压
– 计算结果
Von Miss
应力云图变形图
－虚线为原结构变形图
－网格线为变形后结构第四章板壳问题有限元法
结构特点
– 薄壁构件,t远小于结构边长
– 受全方位载荷
– 车身为典型的板壳结构
有限元要点（通常情况）
– 几何模型为板壳中面（ t/2处）的形状
– 几何模型无厚度
– 单元和节点均在中面上
– 最大应力发生在结构的上下表面
t
基本假设
– 板壳中面法线在板壳变形后仍为直线，且垂直与变形后的中面
– 板壳中面只有薄膜应力，弯曲应力为零
– 板壳的上下表面上的应力为弯曲应力与中面薄膜应力之和
– 弯曲应力沿截面线性变化
– 应力应变分量
应力分量
应变分量
– 单元类型举例
3节点,4节点单元
8节点曲面单元
– 单元自由度
节点自由度（位移分量）
单元自由度（ 8节点单元 48个自由度）
Tzxyzxyzyx
Tzxyzxyzyx
1
5
2
6
3
7
4
8
Tziyixiiiii wvu 8,7,6,5,4,3,2,1?i
Te 87654321
– 载荷
节点力矢量
集中力、力矩
分布面力
分布体力
– 边界条件
简支
固支
已知位移或转角
– 所需常数
弹性模量
泊松比
板厚
Tziyixiziyixii MMMQQQF? 8,7,6,5,4,3,2,1?i
固支 简支
板壳问题 ANSYS应用举例
– 一圆柱面顶盖薄壳，壳的两边支承在隔墙上，作为简支边。圆柱半径为 1米，边长 2米，圆心角 90度。
弹性模量为 2.1e11,泊松比 0.3，盖顶承受 1e4Pa的法向均布压力。求盖的变形与应力。
边长两米简支边长两米简支板厚 5mm
盖顶受法向均布载荷半径 1米圆心角 90度
计算举例（二）
– 问题
横截面为槽形的悬臂梁如图 1所示。梁长 1m，板厚 5mm,
其弹性模量为,泊松比,分布载荷的分布长度为 500mm，集度为 q=,集中载荷为 p=2000N（作用点在上缘中点处），试计算结构的变形与应力。
211 /101.2 mNE 3.0
24 /101 mN?
– 建立几何模型
当板壳板壳问题计算，几何模型为结构中面
– 网格划分
选择单元,8节点板壳原（ shell）
划分网格
– 给定材料和单元常数
– 施加载荷与约束集中力分布载荷固定端所有节点的六个自由度均被约束
– 计算结果最大
Von Miss
应力处
Von Miss
应力云图局部放大结构变形图与
Von Miss
应力云图原结构变形后结构第五章 空间实体问题有限元法
结构特点
– 3D实体
有限元要点
– 应力分量
– 应变分量
– 单元节点位移
x
y
z
Tzxyzxyzyx
Tzxyzxyzyx
x?
y?
z?
单元举例
– 8节点六面体单元
– 20节点六面体等参元单元
– Tet10节点单元
节点自由度为 3
– X方向的位移 u
– Y方向的位移 v
– Z方向的位移 w
20节点单元自由度为 60
– 所需材料常数
弹性模量和泊松比
– 载荷
集中载荷
分布面力
分布体力六面体单元
等参数单元
– 等参数单元基本概念
8节点平面问题等参数单元
1 2
34
5
6
7
8
x
y
1
2
3
4
5
67
8
]1,1[ ]1,1[
1点坐标 (-1,-1)
4点坐标 (-1,1)
3点坐标 (1,1)
8点坐标 (-1,0)
),( ii yx 8,7,6,5,4,3,2,1?i
变换基本单元
（母单元）
实际单元设则可有位移变换和坐标变换其中形函数为
i?0
i?0
8,7,6,5,4,3,2,1?i
i
i
i
i
i
i
vNv
uNu
),(),(
),(),(
8
1
8
1
i
i
i
i
i
i
yNy
xNx
),(),(
),(),(
8
1
8
1
2/)1)(1)(1(4/)1)(1)(1( 2222220000 iiiiiN
2/)1)(1)(1( 2202 ii
变换形式和参数完全一样
8,7,6,5,4,3,2,1?i
20节点空间等参单元
1
2
3
4
5
6 7
8
9 10
1112
13
14
15
16
17
18 19
20
1
2 3
4
5
6 7
8
9
10
1112
13
14
15
16
17
18 19
20
x
y
z
母单元 实际单元
]1,1[ ]1,1[ ]1,1[
设则可有位移变换和坐标变换其中形函数为
i?0 i?0 8,7,6,5,4,3,2,1?i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
wNw
vNv
uNu
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
8
1
8
1
8
1
4/)1)(1)(1(
4/)1)(1)(1(
4/)1)(1)(1(
8/)2)(1)(1)(1(
00
2
00
2
00
2
222
000000
i
i
i
iiii
N
N
N
N 8,7,6,5,4,3,2,1?i
i?0
i
i
i
i
i
i
i
i
i
zNz
yNy
xNx
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
8
1
8
1
8
1
12,11,10,9?i
16,15,14,13?i
20,19,18,17?i
– 等参单元中的 Jacobi矩阵和高斯积分
Jacobi矩阵
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zx
yz
xy
z
y
x
e
N
xz
yz
xy
z
y
x
w
v
u
xz
yz
xy
z
y
x
0
0
0
00
00
00
0
0
0
00
00
00
z
N
y
N
x
N
J
z
N
y
N
x
N
zyx
zyx
zyx
N
N
N
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
N
N
N
J
z
N
y
N
x
N
1[J]为 jacobi矩阵
高斯积分
dzd x d yBDBK Te
]][[][
1
1
1
1
1
1
]][[][ dddJBDBK Te
n
i
ii fHdf
1
1
1
jijn
i
n
j
i fHHddf,,
1 1
1
1
1
1
n
i
n
j
n
k
kjikji fHHHdddf
1 1 1
1
1
1
1
1
1
,,,,
n i? iH
2
3
3
1?
5
3?
0
1
95
98
一维积分
N
个点二维积分个点三维积分类推,个积分点 还有 4点积分 (n=4),5点积分 (n=5)等3n
2n
有限元网格自动生成的参数变换法
– 方法原理简介
几何结构的分块
– 任何一个形状复杂的平面结构，都可以看成由若干个曲边四边形子块组成
– 任何一个复杂的板壳结构，可以一些曲边四边形薄壳子块组成
– 任何一个空间实体，也可以看作由一些曲面六面体子块组成
1
2
3
4
5
6
7
8
可以是真正具有四条边的四边形，也可以是人为定义的曲边四边形
每一个四边形（六面体）都可以通过前面介绍的参数变换方法由正方形（正六面体）的母单元变换得到
对参数变化范围为 [-1,1]的母单元划分网格，经过变换后即可得到子块的网格
所有子块的网格划分完成后，即可得到整个结构的有限元网格
1
1
11
x
y
1＝?
1
1
1
– 子块网格划分计算方法
平面子块 (3节点或 4节点单元）
– 用 NX表示在 边沿 方向应划分的单元数
– 用 NY表示在 边沿 方向应划分的单元数
– 用权因子 控制 方向所划分单元大小变化
– 用权因子 控制 方向所划分单元大小变化
– 子块内第 K个节点的坐标可由下式计算其中初值
1＝
1
),(),(
),(),(
8
1
8
1
jiiji
i
ik
jiiji
i
ik
yyNy
xxNx
jjj
iii
1
1
10 10
iw)(? ),,4,3,2,1( NXi
jw)(? ),,4,3,2,1( NYj
),,4,3,2,1( NXi
),,4,3,2,1( NYj
),,4,3,2,1( NYNXk
– 其中
空间板壳子块
T
j
j
T
i
i
w
w
w
w
2
2
NY
j
j
T
NX
i
i
T
ww
ww
1
1
),,4,3,2,1( NXi
),,4,3,2,1( NYj
),,4,3,2,1( NYNXk
),(),(
),(),(
),(),(
8
1
8
1
8
1
jiiji
i
ik
jiiji
i
ik
jiiji
i
ik
zzNz
yyNy
xxNx
其它公式和平面子块一样还可以生成 8节点单元，只须增加单元边中间节点的计算即可同理可扩充到 3D六面体子块网格的划分，在此不再赘述
结构有限元网格的形成
– 每个子块网格划分完成后，将其拼集在一起便可得到结构的有限元网格。由于每个子块都是单独划分的，在相邻子块的交线
（面）上会出现一些公共节点，它们坐标一样但编号却不同，
即产生一些虚假节点，必须将其消去，否则就无法用有限元程序进行正确的计算。
– 设任意两个节点 和,对给定的精度 有：
则认为节点 和 是同一个节点，必须将其中的一个节点消去。多余节点消除后，修改所有单元和节点编号即可得到结构的有限元网格。
111,yxp222,yxp?
2121 yyxx
111,yxp222,yxp
111,yxp
222,yxp
子块 A
子块 B
实体问题计算举例
– 问题
图示 U形夹左端固定，圆孔下半部受分布压力作用,，,,图中长度单位为 cm。 用有限元法分析变形及应力。
Paq 100?
PaE 7103 3.0 122 RR?
– 建立几何模型
由于对称性，只取结构的 1／ 2分析即可
– 网格划分
单元选择
– 选用 Tet10节点单元
划分网格
– 给定材料常数
– 施加载荷和约束对称面上各点垂直于对称面的位移为零 —施加约束端面为固支，其上各点的所有自由度都必须约束住分布载荷
– 计算结果虚线为原结构变形结构和 Von Miss
应力云图原孔处的局部放大效果第六章 杆系结构有限元法
杆系结构
– 桁架
平面桁架
空间桁架
杆件与杆件间为铰接
铰接点只传递力而不传递转矩
每根杆件均为二力杆
杆件不产生弯曲变形和弯曲应力
有限元计算采用杆元（杆单元,bar）
桁架结构
– 刚架
平面刚架
空间刚架
杆件与杆件间可理解为焊接
连接点可传递力也可传递转矩
刚架有限元分析采用梁元（ beam）
可当作刚架的常见结构
– 高压线塔
– 客车车身骨架
– 管式摩托车车架
– 自行车车架
– 长江大桥刚架结构
平面刚架的有限元法
– 平面刚架单元（ Beam）
2节点单元
局部坐标为单元坐标
单元建立在杆中心线上
单元为数学意义上的线
单元节点位移
单元节点力
节点力与节点位移的关系
'x
'y
i j
Tjjjiiie vuvu'
Tjjjiiie MYXMYXF?'
)( jj uX
)( ij vY
)( ii uX
)( ii vY
)( iiM?
)( jjM?i
j
eee KF '''
局部坐标系下的单元刚度矩阵
– 可由材料力学直接推出
– 也可假设位移模式和平面问题步骤一样推出
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
K
e
46
0
26
0
12
0
612
0
00
46
0
0
12
0
22
323
2
3
‘
截面面积A
弹性模量E
对 Z轴主惯性矩I
单元长度l
单元长度由机器根据两个节点的坐标自动计算
– 单元节点载荷
节点集中力
节点集中力矩
单元分布力
单元分布力矩
重力
i j
)(xm
'x
i j
'x
)(xq
分布弯曲力矩分布横向力计算机可处理的线性分布可变成另外两种种具体形式
1.均布分布力
2.三角形分布
'y
还可有分布轴力
– 单元刚度矩阵的坐标变换
推导单元刚度矩阵时采用的是单元局部坐标系，它的坐标方向是由单元方向确定的，采用这样的坐标系，对所有单元可得到统一形式的单元刚度矩阵。但实际结构的每一杆件的方位都不一定相同，因此要将局部坐标系下的单元刚度矩阵和节点力变换到结构整体坐标系下才能迭加求解。
设局部坐标系 下的各量为：
整体坐标系 下对应的各量为：
则有：
x
y
'x
'y
o
eee,K，F '''?
eee,K，F?
''' yxo
oxy
eee
eee
KF
KF
'''
如果以 为局部坐标与整体坐标之间的转换矩阵，则有：
由此可得：
即：
其中
T
ee
ee
T
FTF
'
'
eeeee
ee
TKTKTF
T
1'''
1'
1'
TKTK
KF
ee
eee? 整体坐标系下的单元刚度矩阵
ttT 0 0
21
21
mm
llt 分别为两局部坐标轴在整体坐标系中的方向余旋
11,ml 和 22,ml
空间刚架的有限元法
– 2节点空间梁元（ Beam）
2个节点 i和 j定义单元
增加辅助节点 k
单元建立在杆中心线上
单元为数学意义上的线
单元节点位移
单元节点力
每节点 6个自由度，为 12自由度单元
'x
'y
'zi
j
Tzjyjxjjjjziyixiiiie wvuwvu'
Tzjyjxjjjjziyixiiiie MMMZYXMMMZYXF?'
k
– 单元刚度矩阵
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
GI
l
GI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
GI
l
EI
l
EI
l
EA
K
zzzz
yyyy
xx
yyy
zzz
zz
yy
x
y
z
e
4
000
6
0
2
00
6
0
4
0
6
000
2
0
6
00
00000000
12
000
6
0
12
00
12
0
6
000
12
0
00000
4
000
6
0
4
0
6
00
000
12
00
12
0
22
22
323
323
2
2
3
3
'
对称截面面积A
弹性模量E
剪切唐性模量G
扭转惯性矩
xI
对 Z轴主惯性矩
zI
对 y轴主惯性矩
yI
单元长度l
单元长度由机器根据两个节点的坐标自动计算如果要考虑剪切的影响切，则还要给出对 y和 z轴的剪切影响系数以及沿 y和 z轴方向的有效抗剪面积共四个常数
– 单元节点载荷单元节点载荷
节点集中力
节点集中力矩
单元分布力
单元分布力矩
重力
i
j
)(xmz
'x
i
j
'x
)(xqy
分布弯曲力矩分布横向力计算机可处理的线性分布可变成另外两种种具体形式
1.均布分布力
2.三角形分布
'y
'z
'z )(xqz
还有分布力矩
、)(xm
x )(xmy
还可有分布轴力
'y
– 单元矩阵的坐标变换
1' TKTK ee
ee FTF '?
ee T 1'
t
t
t
t
T
000
000
000
000
321
321
321
nnn
mmm
lll
t
分别为三局部坐标轴在整体坐标系中的方向余旋
)3,2,1(,,?inml iii
– 单元局部坐标系的确定
辅助点 k与节点 i和 j可确定局部坐标系
节点 i和 j可确定 轴方向
K取在 平面内
由 可得 轴方向
由 和 轴即可得到 轴
''' yxo
kiji rr?
'z
'x
'x 'z 'y
x
y
z
结构整体坐标系
i
jk
'x
jir
kir
'z
'y
单元局部坐标系
– 辅助节点 k的选取
可以利用结构上已有的节点作为 k点
若 k点不是结构上的点，其六个自由度须全部施加零约束
k点不能在 ij点的连线上辅助点（又叫参考点） k点决定了杆件的放置方位
x
y
z
结构整体坐标系
i
jk 'x
jir
kir
'z
'y
'x
i
j
k
'z
'y
i
k
'x
'y
'z
如果给计算程序输入的对 y轴和 z轴主惯性矩大小（顺序）不变的话，下面 k点选取的方位不同，则表示结构杆件放置的方位不一样。
千万注意不要出错。
ANSYS中可处理的标准截面形状和参数
（一）
ANSYS中可处理的标准截面形状和参数
（二）
第七章 组合问题的有限元法
热应力问题
– 考虑热应力的物理方程其中 为温度变化引起的应变式中 为材料线膨胀系数,为温度的变化
0 D
0?
TT 0001110
T
0 BD
– 考虑热应力时单元的虚功
– 节点力与节点位移关系
d x d y d zBDT 0*
d x d y d zDBd x d y d zBDB TeTTe 0*
d x d y d zDBd x d y d zBDBF TeTe 0
eTTe d x dy d zBDBd x dy d zDBF 0
eeee KRF
d x d y d zTDBR TTe 000111
相当于温度变化而产生的等效节点力，称为热载荷，在有限元计算中给定节点温度即可
预应力问题（初始应力）
– 预应力钢板弹簧
– 复合材料飞轮的预应力
– 客车车身预应力蒙皮
– 预应力钢箱桥梁
– 有限元处理方法实质上与温度应力相同
– ANSYS可以方便处理预应力
– 也可以用设臵节点温度的方法获得预应力
杆件与块件的混合结构
– 如图所示结构，由 A和 B两个实体用水平连杆相互连接而成，目的是要该结构的两部分在水平方向成为整体，具有较大刚度，而在垂直方向又相互独立，
以消除不均匀沉陷所引起的相互影响。
杆单元节点三个自由度，实体单元节点也是三个自由度，问题可方便而自然地解决支撑桩也可简化成杆元连杆为杆元实体单元
梁元和板壳元组合结构
– 加筋薄壳结构问题
结构以薄壳的刚度为主
肋条只起加强筋的作用
壳体与加强筋刚性连接
加强筋截面某主方向与连接处处壳体中面法向一致
i,j节点自由度为线性关系
i
j
薄壳采用板壳单元加强筋采用梁元梁元节点 j当作板壳元节点 i的从属节点
e
i点和 j点的位移关系（约束方程）
– i点（主节点）的位移矢量
– j点（从节点）的位移矢量
– 位移关系
Tziyixiiiii wvu
Tzjyjxjjjjj wvu
ij P
010000
001000
00100
000010
00001
e
e
P
变换矩阵
– 一般情况下的梁元和板壳元的组合
梁单元节点为六个自由度
板壳元节点也为六个自由度
一般情况下可很协调地组合起来
不同节点自由度的单元组合问题
– 实体单元与板壳单元实体，采用 3D
实体单元板壳，采用板壳单元地面上所有节点的全部自由度都被约束按板壳组合结构算，如果不采取特殊的结构处理，
计算伏明霞跳水，会发生什么情况呢？
x
y
z
– 实体单元、杆元与梁元移动吊重实体基础实体元实体基础实体元塔杆－刚架梁元绳索－桁架杆元一定要考虑地基、塔杆和绳索的应力和变形，结构该如何处理呢塔杆－刚架梁元
典型的特殊单元
– 弹簧元
两个节点
每节点 3个位移自由度
有刚度和阻尼两个参数
– 接触单元
点接触单元面接触单元
两物体相互靠近时接触时接触单元起作用（传递力）
两物体相互脱离时单元不起作用（不传递力）
– 绳索元
两物体相互靠近时接触时单元不起作用（不传递力）
两物体相互脱离时单元起作用（传递力）
– 自定义单元刚度矩阵
读入单元刚度矩阵
约束方程
– ANSYS节点间的约束方程简介
ANSYS单元库
– ANSYS单元库简介
练习
– 一边长为一米的方桌如图 1(a)所示。四根桌腿为空心圆管，外径为 50mm，壁厚为 2mm；桌面为 3mm厚的钢板（离地高度为 1米），四边为矩形加强管，横截面高 60mm，宽 50mm,壁厚为 2.5mm，其放臵方位如图 1(b)所示。桌面中心位臵处有一钢块（长宽高：
400-400-200mm），它由四个角点处的四个弹簧支撑在桌面上，钢块中心处作用有一垂直向下的集中载荷 P=1000N。钢块的密度为 7.8E1000kg/m3，弹簧的初始长度为 60mm，刚度为 100N/mm。材料弹性模量和泊松比分别为 和 。试计算结构的变形、内力与应力。
24 /101.2 mmkgE 3.0
加强管重钢块 桌面钢板
P
弹簧钢架桌第六章 有限元动力学分析
有限元动力学方程和质量矩阵
– 动力学方程
［ M］ —结构的质量矩阵
［ C］ —阻尼矩阵
［ K］ —刚度矩阵
FKCM
– 质量矩阵
结构质量矩阵由单元质量矩阵迭加而成
一致质量矩阵
– 对平面问题三节点单元
e
e
mM
dVNNm Te
2/104/104/10
02/104/104/1
4/102/104/10
04/102/104/1
4/104/102/10
04/104/102/1
3
tA
m
e?
采用一致质量矩阵：
1.可以得到更精确的振形
2.计算所得频率值是结构真实频率的上界
3.计算比较复杂，存储量较大
团聚质量矩阵
– 根据精力学平行力分解原则求得
– 等厚度平面三角形单元的团聚质量矩阵
100000
010000
001000
000100
000010
000001
3
tA
m
e?
1.计算比较简单
2.存储量少
3.有使结构频率计算值降低的趋势
4.采用协调元时，由于协调单元有较高的刚度，会使结构计频率计算值偏高
5.这两种相反因素相抵，有时可得到较好的固有频率计算值
模态分析（特征值问题）
– 无阻尼自由振动
– 解的形式
– 广义特征值问题
0 KM
t s in
0][][ 2 MK
– 广义特征值问题的解
固有频率（ n阶,n为结构自由度数）
振型（特征矢量,n阶,n为结构自由度数）
特征矢量的正交性
一般情况下，工程上只对前几阶固有频率和振型感兴趣
n3210
i ni,,4,3,2,1
ijijTi
ijj
T
i
K
M
2?
特征值问题常见求解方法
– 广义雅可比方法
通过一系列变换将质量矩阵和刚度矩阵对角化后求解
此法为求全部特征值的方法
只求少数低阶特征值时，此法不合算
– 逆迭代法
通过一系列迭代求解特征值
一般只用来求前三五阶特征对
求高阶特征对时精度难以满足（精度较低）
– 子空间迭代法
求大型结构前几阶特征对很有效
计算举例
– 问题
一悬壁薄板长 300mm，宽 200mm，厚 2mm，沿短边约束。,,。求前四阶固有频率和振型。
– 分析
典型的板壳问题
211 /101.2 mNE 3.0 33 /108.7 mkg
– 几何建模
– 划分网格
采用 8节点 shell单元
施加约束
– 给定材料常数
– 计算结果,16.171Hz 64.49Hz 119.07Hz 217.49Hz
第一阶
16.17Hz 第二阶64.49Hz
第三阶
119.07Hz
第四阶
217.49
动力响应问题
– 阻尼矩阵
知道结构的各阶特征对和阻尼比 后，阻尼矩阵为
瑞雷阻尼矩阵
i?
i?
n
i
iCC
1
TiiiiiC2?
ii M
第 i阶振型
i?
第 i阶固有频率 ·
i?
可由实验测得 ·
KMC
只要两个阻尼比即可求得
、
响应问题常见求解方法
– 振型迭加法
此法适用于外力只激起较少振型的问题（如地震）
或所需计算响应时间较长的情况
– 逐步积分法
适用于激发较多的振型（如冲击）
适用于计算响应时间短促的情况
ANSYS求时间响应问题
– 谐振动
– 瞬态响应第七章 疲劳问题有限元法
影响疲劳寿命的主要因素
– 一般因素表 7－ 1 影响疲劳强度的因素工作条件 零件状态 材料本质载荷特性加载频率服役温度环境介质缺口效应尺寸效应零件热处理表面粗糙度表面热处理残余应力应变化学成分金相组织纤维方向内部缺陷分布
– 经常碰到的四个影响因素
1）,应力集中的影响 应力集中对疲劳强度有显著影响,
常用疲劳缺口系数来描述其影响；
2）,尺寸的影响 试件尺寸越大疲劳强度就越低 。 通常标准试件比实际零部件的尺寸小,因此疲劳尺寸系数在疲劳分析中必须加以考虑 。
3）,表面状态的影响 疲劳裂纹通常产生于试件表面,因此,零部件的表面状态对其疲劳寿命有显著影响,这种影响程度用表面敏感系数来描述 。
4）,载荷的影响 绝大多数材料的疲劳强度是用标准试件在对称循环正弦波加载情况下得到的,而实际零部件所受载荷却十分复杂,载荷的种类,载荷的频率,平均应力,载荷波形以及载荷中间停歇和持续等因素对结构疲劳寿命均有影响 。
确定疲劳寿命的方法疲劳分析方法都包括三部分内容材料疲劳行为的描述；
循环载荷下结构的响应；
疲劳累积损伤法则材料疲劳性能 循环载荷下结构响应疲劳累积损伤法则疲劳寿命
金属结构材料的 S－ N曲线
Sb
Se
Si
Ni N0 N
S
CNSNS imime0
－ 断裂极限
－ 疲劳极限
－ 通常取值
bS
eS
0N 70 10?N
S－ N曲线可用幂函数表示为
Miner线性累积损伤理论目前有多种疲劳累积损伤法则,但对接触网零部件疲劳分析简单有效的是 Miner线性累积损伤理论,这也是目前工程上广泛采用的理论,该理论在许多国际流行的专业有限元分析系统 （ 如 Ansys） 中均可直接采用 。
根据 Miner线性累积疲劳损伤理论,在大于疲劳极限 而小于静拉伸对应的疲劳强度 的应力 的作用下,
其循环次数达到 时,零件的损伤程度为 。 设应力分为 z级,则在各级应力的作用下的累积损伤度为：
式中 D表示疲劳损伤度 。 若,则表示零件疲劳破坏；若,则表示零件有一定的损伤,但未疲劳破坏 。
eS bS
)( iii Nnn?
i
iNn
z
i i
i
N
nD
1
1?D
1?D
iS
累积疲劳损伤度 D的意义 (以传动系为例 )
– 传动系的累积疲劳损伤度
– 意义
已知上述各量时可计算出汽车传动系的疲劳损伤程度
可计算出设计车辆标志传动系疲劳寿命的行驶里程
– 令 D＝ 1
– 可求得在 作用下至疲劳破坏的循环次数
– 求出在各级应力作用下达到疲劳破坏的总循环次数
– 根据各档平均车速和各档行程利用率求出标志传动系疲劳寿命的汽车行驶里程
0NS
nKSD
m
e
m
m
c
cS
mK
n
计算应力行驶状况系数总循环次数
cS mc
m
emc S NSnKN 0
mc KNn /
有限元法疲劳分析的过程载荷谱确定结构危险部位结构有限元分析危险部位的名义应力谱危险部位的疲劳寿命材料的
S－ N曲线疲劳损伤理论目前国内使用的 Ansys有限元分析系统中的疲劳计算是以 ASME锅炉与压力容器第 4部分、第 8部分第二分册作为计算依据，采用简化了的弹塑性假设和 Miner疲劳累积损伤准则。用户也可利用 Ansys APDL语言直接利用 Ansys按其它行业规范编程计算疲劳强度。
计算举例
D型连接器（ TB第 23部分）几何结构如图 7－ 4所示，采用 Pro/E建模。
根据铁标 TB/T 2075.1-2075.54-2002第 23部分的规定，假设连接器承受 0—
17.6kN的工作载荷。假设结构材料的 S－ N曲线如表 7－ 2所示，设预设循环次 610
危险部位
– S－ N曲线表
– 计算结果
N S
100 236e6
200 232e6
500 228e6
1000 224e6
1500 220e6
2000 216e6
1e04 212e6
1e05 208e6
1e06 204e6
2e06 200e6
3e06 196e6
5e06 192e6
6e06 188e6
7e06 184e6
8e06 180e6
9e06 176e6
1e07 172e6
11e06 168e6
12e06 164e6
15e06 160e6
应力集中系数取 3
计算结果：
允许循环次数＝ 0.2235E07
疲劳损伤度＝ 0.447
第七章 汽车结构有限元分析实例
车架结构的有限元分析（企业委托：农用车）
– 车架结构特点
– 车架载荷及约束
– 网格划分
单元选择
– 主体结构采用 4节点板壳元
– 悬架采用弹簧元
– 纵横梁连接采用约束方程图 2 — 1 车架力载荷与支撑示意图
– 网格划分
节点总数为 10816，结构自由度总数为 64896
– 计算工况
弯曲工况
– 汽车满载（满员），在平直良好的路面上匀速正常行驶
弯扭组合工况
– 汽车满载（满员），四个车轮中三个车轮处于同一平面位臵不变，而另一个车轮向上抬高 60mm
– 计算结果弯曲工况弯扭组合工况
公共客车车身骨架早期失效分析（企业委托）
– 问题的提出
某厂生产的某型公交客车仅在行驶十几万公里后其整体骨架的许多构件均出现早期失效，这直接影响到经营者的经济效益、乘客的安全。使用者和生产厂家为早期失效原因的认定出现较大分歧，从而影响到责任的划分、
维修方案的确定和改进设计的实现，因此迫切需要从理论上和技术上分析失效原因。
– 结构特点
公交客车整体骨架由前围、后围、左侧围、右侧围、顶盖和地板骨架以及底架等七部分组成。前后围骨架、左右侧围骨架、顶盖骨架和地板骨架为全金属格子栅栏结构，由多种不同规格的矩形管组成。车身底架部分采用变宽度梯形车架，由两根冲压制成的等截面槽形纵梁和十一根横梁铆接、焊接而成。用矩形管组成的,牛架,
代替传统的牛腿结构。
– 骨架几何模型和结构损坏情况（部分）
客车车身骨架三维模型图纵梁左后悬架前吊耳处的裂纹照片左后悬架前吊耳近前方牛腿（架）
断裂照片左后悬架前吊耳近后方牛腿（架）
断裂照片
– 有限元计算模型
采用 4节点,24自由度的 3D板壳元来离散整车骨架
得到 124080个板壳单元
共有 122615个节点
局部网格图如右下图所示
– 载荷（全部簧载质量）
发动机、水箱、方向机
离合器、变速器
空调压缩机
电瓶、油箱、储气筒
座椅、门窗
骨架自重
驾乘人员（ 65kg/人）
计算结果
– 牛架应力分布
– 纵梁左后悬架前吊儿处应力分布鲲鹏展翅
考试方式和基本要求
– 自选题目撰写文章
– 2000－ 4000汉字篇幅
– 选已下达过的练习为题无效
重要警示
– 同学间抄袭者和被抄袭者均不及格
– 抄袭公开出版物者不及格
评分优先级（仅供参考）
– 科学真实、认真、规范、文笔、正确、选题、内容
课程成绩
– 考试成绩与已登记练习加权计算课堂授课任务结束祝大家前程似锦！
谢谢大家！
027 – 87658368(O)
13037150076
主要参考资料
［ 1］王勖成，邵敏,有限单元法基本原理和数值方法［ M］,清华大学出版社,
2001
［ 2］周中坚，卢耀祖,机械与汽车结构的有限元分析［ M］,同济大学出版社,1997
［ 3］朱伯芳,有限单元原理及其应用,中国水利水电出版社,1998
［ 4］钱伟长，叶开沅,弹性力学,科学出版社,1980.03
［ 5］杨橙，马力，王仲范,复合材料储能飞轮临界转速与极限转速研究 ［ J］,
中国机械工程,2003（ 18）
［ 6］廖芳，马力，杨橙，何耀华,客车骨架强度失效分析 ［ J］,客车技术与研究,2003（ 4）
［ 7］唐少雄，马力，杨代华，柴苍修,内燃机凸轮机构摩擦学仿真设计建模研究 ［ J］,内燃机工程,2002（ 6）
［ 8］柴苍修，马力，王元良，李春光,农用运输车车架有限元强度分析
［ J］,拖拉机与农用运输车,2002（ 1）
主要讲述内容
有限元法概述
弹性力学简介
平面问题有限元法
ANSYS的应用简介
轴对称问题有限元法
板壳问题有限元法
实体问题有限元法
组合结构有限元法
有限元模态分析
有限元疲劳分析
汽车结构有限元分析实例
前言
– 关于有限元法
英文缩写 FEM（ Finite Element Method）
应用中习惯称有限元分析
是一种连续结构离散化数值计算方法
上世纪五十年代由美国飞机工程师提出 （ 1956年,Turner）
– FEM与 CAE
CAE－计算机辅助工程 （ Computer Aided Engineering）
CAE范围更广，还包含其它工程分析方法概 述
– 国内外发展应用简介
方法提出后吸引大量数学力学家进行研究，至今理论相当成熟
目前应用非常广泛
国外
– 发达国家有限元分析软件相当完善，商业化程度很高
– 应用意愿和应用水平很高
国内
– 发展相对较晚
– 研究应用水平发展很快
– 没有公认的、广为流行的、高水平的、功能强大的商业化分析系统
– 就全国范围来讲，汽车行业主动应用意愿与国外相比差距较大
车辆工程中有限元主要应用范围
– 按学科分类
弹性力学
断裂力学
塑性力学
结构分析动力学
流体力学
热力学
电磁学
声学几乎覆盖车辆工程中的各个学科，如果包含交叉学科和边缘学科，范围则更广
– 按汽车结构分析分类
汽车结构强度和刚度分析
– 静强度失效
载荷产生超过屈服极限或强度极限的应力
载荷可是真的静载，也可为动载峰值
– 结构变形
影响运动关系
检查运动干涉
变形过大失效问题
世界著名案例：日本车制动油管常见汽车零部件失效静强度失效疲劳失效共振原因失效
汽车结构模态分析
– 属动力学分析领域
– 分析结构的固有特征
固有频率
固有振型
模态阻尼
模态刚度
– 广范用于汽车结构动态特性设计
– 广泛用于解决汽车结构振动噪声问题系统固有特性输入
（激励）
)(tx
输出
（响应）
)(ty
响应分析
– 时间响应分析
通常在时域内求系统的时间相应
常用于疲劳分析、平顺性分析等
– 频率响应和响应谱分析
多用于随机振动常参数线性系统脉冲响应函数频率响应函数传递函数输入
（激励）
)(?X
输出
（响应）
)(?Y)(th
)(?H
)(sH
)(tx
)(sX )(sY
)(ty
温度场计算
– 包括对流、传导和辐射
– 发动机温度场计算及散热问题
– 保温车（冷藏车）隔热计算
– 热应力分析
噪声振动分析
– 声场分析
– 空腔共鸣
– 制动噪声
– 部件机械振动噪声
汽车空气动力学分析
– 降低空气阻尼、升力等
– 通风换气
– 改善车身表面流场
– 发动机进气及排放现在最高的汽车车速是多少？
你家新房空调放在什么地方最省电？
能否实现在车内后排两老板
（或情侣）
说话司机不易听见而司机说话前者容易听见
汽车结构碰撞、冲击分析
– 碰撞安全性问题
– 车身安全性设计
– 碰撞事故模拟再现
汽车零部件冲压成形
– 成形部件设计
– 模具设计
– 分析开裂、起皱、回弹等问题
（液）流场分析
– 液化石油气罐车乘车坐在什么地方
（相对）最安全
汽车结构可靠性分析
灵敏度分析和结构动态修改
汽车结构优化设计
– 按汽车结构分析的力学特征分类
线性问题计算分析
非线性问题的计算分析
– 几何非线性
– 材料非线性
– 状态非线性
接触问题
弹性力学基本概念
– 基本假设
假设物体是连续的
假设物体是均质的
假设物体是各向同性的
假设物体是完全弹性的
假设物体的位移和应变是微小的第一章 弹性力学简介
– 基本物理量
外力
– 分布力：体力、面力等
– 集中力
应力
应变
位移
x?
y?
z?
x
z
y
xy?
Tzxyzxyzyx
Tzxyzxyzyx
Twvuf?
– 几何方程
几何方程,应变和位移的关系
T
zx
yz
xy
z
y
x
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
x
y
回顾单向拉伸：
ll
– 刚体位移,应变为零的位移
0
0
0
0
0
0
T
zx
yz
xy
z
y
x
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
xyww
zxvv
yzuu
yx
xz
zy
0
0
0
为积分常数
zyxwvu,,,,,
– 物理方程和弹性矩阵
物理方程,描述应力和应变之间的关系
弹性矩阵
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
)1(2
21
00000
)1(2
21
0000
)1(2
21
000
1
11
1
1
1
)21)(1(
)1(
对称
D＝
D 回顾单向拉伸虎克定理：
E?
– 平衡方程
– 边界条件
力的边界条件
位移边界条件
0
0
0
Z
zyx
Y
zyx
X
zyx
zyzzx
yzyxy
zxxyx
y
z
X
Y
Z
F
N
P
nmlZ
nmlY
nmlX
zyzzx
yzyxy
zxxyx
*uu? *vv? *ww?
应力微元体平衡
*
弹性力学问题归纳（位移法）
– 求解位移函数,它满足
三个平衡方程
六个几何方程
六个物理方程
力的边界条件和位移边界条件
– 数学上是偏微分方程的边值问题
– 全部点的位移集合反映结构的变形
– 弹性结构上有无穷多个点，所以有无穷多个自由度
– 由位移函数可求得应变
– 由应变可求得应力
Twvuzyxf?)},,({
圣维南原理
– 若把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，
但远处所受的影响可忽略不计。
P
P
P
P
P
弹性体虚位移原理
– 虚位移
结构约束所允许的任何微小位移
– 虚应变
虚位移所产生的应变
– 虚功原理
外力在虚位移上所做的功等于弹性体内应力在相应的虚应变上所做的功
*f
*?
d x d y d zFf
V
TT **
第二章 有限元法基思想
引言
– 弹性力学对结构分析的描述（求应力和变形）
十五个偏微分方程
满足边界条件
连续体，无穷多个自由度
– 机械结构复杂性
几何形状复杂
位移边界条件复杂
所受载荷复杂
结构材料复杂
求不出解析解，须用数值计算方法
有限元基本方法
– 结构离散化
离散成有限个单元
单元之间通过节点相连
问题变成
– 求节点位移
– 有限个自由度
网格越密
– 精度越高
– 计算时间越长
– 所需计算机资源越大
单元节点位移用矢量
单元种类很多结构单元节点网格
e?
– 单元分析
假设位移模式
– 得到假设的位移函数矩阵 [N]
– 任一点的位移 用节点位移表示
单元力学特性分析
– 由几何方程得到应变矢量（ [B]为应变矩阵）
– 由物理方程得应力
– 由虚位移原理得到单元刚度矩阵
– 节点力 和节点位移的关系单元 e
节点力单元 e
节点位移
ee Nf
ef
eK
eF
eee KF
ee B
eee SBDD ]][[][
– 整体分析
单刚迭加形成总刚［ K］
单元节点力矢量迭加形成结构节点力矢量
形成结构线性方程组
– 约束处理并求解方程
处理位移约束条件
求解线性方程组的全部节点位移
– 根据所求节点位移计算应力分量
F
KF?
– 有限元应用实例（一）
汽车安全气囊计算
– 有限元应用实例（二）
动力响应 1
– 有限元应用实例（三）
动力响应 2
– 有限元应用实例（四）
接触问题
– 有限元应用实例（五）
加工过程仿真
– 有限元应用实例（六）
冲压成型 1
– 有限元应用实例（七）
冲压成型 2
– 有限元应用实例（八）
热轧
– 有限元应用实例（九）
汽车碰撞 1
– 有限元应用实例（十）
汽车碰撞 2
– 有限元应用实例（十一）
失稳问题
– 有限元应用实例（十二）
碰撞问题
– 有限元应用实例（十三）
冲击 1
– 有限元应用实例（十四）
冲击 2
有限元应用实例（十五）
– 流体力学
– 有限元应用实例（十六）
超弹性
有限元结构分类和计算步骤
– 结构分类
平面问题
– 平面应力
– 平面应变
轴对称问题
杆系结构
– 桁架（平面、空间）
– 刚架（平面、空间）
板壳结构
空间实体结构
组合结构
– 建立力学模型
– 计算过程
前处理（建立计算模型）
– 建立几何模型
– 划分单元网格
选择单元类型
划分网格
– 给定材料常数
– 给定单元实常数
– 施加载荷
– 处理边界条件
提交计算
后处理
– 观察分析位移结果
– 观察分析各种应力
– 其它结果第三章 平面问题的有限元法
平面应力问题
网格划分
单元分析
整体分析
举例及 ANSYS应用初步
平面应变问题
基本思想
– 三维问题,十五个偏微分方程
应力
应变
位移 (先计算位移再计算应变和应力 )
– 二维问题
平面应力问题,想法让与 z有关的应力分量为零
平面应变问题,想法让与 z有关的应变分量为零
位移分量
x?
y?
z?
x
z
y
xy?
Txyyx
Tzxyzxyzyx
Twvuf?
Tzxyzxyzyx
3.1 平面应力问题
Txyyx
Tvuf?
弹性力学平面应力问题方程
– 平衡方程
– 边界条件
– 几何方程,三个偏微分方程
– 物理方程,三个偏微分方程
0
0
0
Z
zyx
Y
zyx
X
zyx
zyzzx
yzyxy
zxxyx
0
0
Y
yx
X
yx
yxy
xyx
nmlZ
nmlY
nmlX
zyzzx
yzyxy
zxxyx
mlY
mlX
yxy
xyx
平面应力问题特点 （ Plane stress)
– 结构特点
载荷沿厚度方向不变化，其合力在中面内
板的两面为自由面（无载荷作用）
板关于中面对称
板可以是变厚度的 t<<a或 t<<b
a
b
t
P
px
y
z
– 位移、应力和应变分量
位移分量,
应力分量
应变分量
Tvuf?
0,0,0 yzzyxzzxz
Txyyx
0,0 yzzyxzzx 由虎克定律求得平面应力问题的由来
yxz
v
u
xy
y
x
y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
0
0
物理方程和弹性矩阵
x?
y?
xy?
yx?
X
y
xy
y
x
xy
y
x
E
2
1
00
01
01
1 2
2
1
00
01
01
1 2?
E
D
3.2 单元网格划分
平面应力单元类型简介
– 3节点三角形单元
– 4节点 4边形单元
– 8节点 4边形曲边单元
节点位移分量
– 每节点 2个位移分量（自由度）
x方向的位移 u，
y方向的位移 v
– 单元位移分量（ 4节点）
i
j
k
l 单元 e
i
j
k
1 2
3
4
5
6
7
8
三角形单元四边形单元
8节点单元
Tllkkjjiie vuvuvuvu
单元网格划分,生成单元节点信息
– 应力梯度变化比较大的地方，网格应密一些
– 有应力集中的地方，网格应密一些
– 单元边界长度不要相差过大
– 单元各边夹角不要太大
– 集中载荷处要设臵节点
– 结构不同材料交界面处要设臵节点并作为单元边界
– 结构厚度突变处要设臵节点并作为单元边界
– 分布载荷突变处要设臵节点
– 施加位移约束处要设臵节点
– 注意单元间的连接
– 举例说明设置节点设置节点 材料 A 材料 B
界面正确这样不行病态单元
a-边长差别太大
b-边长差别太大
c-边夹角太大
a b
c
单元节点信息
– 节点信息
– 单元拓扑信息平板长 2宽 1x
y 1 2 3
456
7 8
1
2 3
4
5
9节点号 约束代 码 x y z 其它
1 000000 0 0 0 0
2 000000 1 0 0 5
3 111000 2 0 0 0
4 111000 2 1 0 0
5 010000 1 1 0 0
6 000000 0 1 0 6
7 000000 0 0.5 0 0
8 000000 1 0.5 0 0
9 000000 2 0.5 0 0
单元号节点
i
节点
j
节点
k
节点
l
材料编号其它常数
1 1 2 8 7 1
2 7 8 5 6 1
3 5 8 9 4 1
4 3 9 8 8 1
5 8 2 3 3 1
3.3 三角形单元分析
单元的节点位移和节点力
– 节点坐标,
– 节点位移
– 节点力
– 目标,单元刚度矩阵 [K]
Tmmjjiie vuvuvu
),(),,(),,( mmjjii yxyxyx
x
y
i
j m
e
Tmmjjiie YXYXYXF?
mX
mY
iX
iY
jX
jY
iv
mu
mv
iu
ju
jv
eee KF?][?
单元位移模式
– 单元位移模式的选取 （线性模式）
– 形函数和形函数矩阵
形函数
yxyxv
yxyxu
654
321
),(
),(
),(),,(),,( mmjjii yxyxyx
),(),,(),,( mmjjii vuvuvu
代入解得
654321,，，，，
e
mji
mjie yxNyxNyxN yxNyxNyxN
yxv
yxuf
),(0),(0),(0
0),(0),(0),(
),(
),(
整理
AycxbayxN iiii 2/)(),(
jmi
mji
jmmji
xxc
yyb
yxyxa
)(
其中
(i=i,j,m)
mm
jj
ii
yx
yx
yx
A
1
1
1
2
1?
A为三角形面积
形函数矩阵
形函数的性质
– 在本节点值等于一,在它节点等于零
– 权性
mj
mji
NN
NNNN
000
000
ee Nf
1),(,0),(,0),(
0),(,1),(,0),(
0),(,0),(,1),(
mmmmmjmmi
jjmjjjjji
iimiijiii
yxNyxNyxN
yxNyxNyxN
yxNyxNyxN
1),(
,,
yxN
mji i
i
j m
i点 x方向单位位移
),( yxNi
– 收敛性讨论
单元内位移模式必须是连续的，公共边上位移必须协调
位移模式必须反映单元的刚体位移
位移模式必须反映单元的常应变
可以证明三节点三角形单元是收敛的
i
jm
p
i
jm
p
单元刚度矩阵
– 单元应变与节点位移的关系,应变矩阵
e
xy
y
x
N
xy
y
x
v
u
xy
y
x
y
u
x
v
y
v
x
u
0
0
0
0
e
m
m
j
j
i
i
mmjjii
mji
mji
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
ccc
bbb
A
000
000
2
1
eB ][?
[B]为应变矩阵
][][][][ mji BBBB?
ii
i
i
i
bc
c
b
A
B 0
0
2
1][
),,( mjii?
– 单元应力与单元节点位移的关系,应力矩阵
– 特点
单元内各点的应力和应变是相等的
三节点三角形单元为常应力（常应变）单元
eBDD
eS
mji BBBDBDS
mji SSS?
ii
ii
ii
i
bc
cb
cb
A
E
S
2
1
2
1)1(2
2
),,( mji
[S]为应力矩阵
单元刚度矩阵及其特性
– 单元刚度矩阵（单刚）
t d x d yF T
A
eTe **
t d xd yBDBF eT
A
eeTe ]][[][ ** e
A
TTe t d x d yBDB
]][[][*
e
A
Te t dx d yBDBF
]][[][
eee KF
A
Te td x d yBDBK ]][[][
e
mm
e
mj
e
mi
e
im
e
jj
e
ji
e
im
e
ij
e
ii
Te
KKK
KKK
KKK
tABDBK
srsrsrsr
srsrsrsr
s
T
r
e
rs
bbcccbbc
bccbccbb
A
EttABDBK
2
1
2
1
2
1
2
1
)1(4 2
mjis mjir,,,,
– 单刚的力学意义
对角元素 的力学意义为：使单元第 i个自由度
（位移分量）产生单位位移而其它位移分量均为零时需要在该自由度上所施加的力。
非对角元素 的力学意义为：使单元第 j个自由度（位移分量）产生单位位移而其它位移分量均为零时第 i个自由度上所产生的力。
)61(ik ii
),61,61( jijik ij
(1,2)
(3,4) (5,6)
自由度编号不动
1方向单位位移这里（ 1方向）
要加多大的力
ek11
(1,2)
(3,4) (5,6)
1方向单位位移不动这里（ 5方向）
要加多大的力
ek51
– 单刚的特性
单元刚度矩阵与位移模式有关
单元刚度矩阵与单元形状、大小和方位有关
单元刚度矩阵与单元的位臵无关
单元刚度矩阵是对称矩阵
刚度矩阵是奇异矩阵,不存在逆矩阵
esrers KK? rsmjismjir ;,,;,,
ejieij kk? j，i，ji 6161
非节点载荷的移植 （静力等效）
– 集中力
等效集中力
最好在集中力处设臵节点
– 分布面力
– 分布体力
i
j
m
x
y
il
jl
l
P
Tije lllPF 0000?
i
j
m q T
e qlF
000
3
10
3
2
2
Te AtF 310310310?
单元迭加整体分析
– 结构平衡方程：
– 总体刚度矩阵 （总刚）
– 结构的节点力矢量,
– 一维存储简介
R存放力的矢量
– R（ 12）是第几号节点的哪个方向的力？
– 第 n号节点的 Y方向的力是线性表 R中的第几号元素？
A存放节点坐标（三维）
– A（ 88）是第几号节点的哪个方向的坐标？
– 第 n号节点的坐标是线性表 A中的第几号元素？
总刚也是一维存储
e
e
FF
e
e
KK
KF?
– 单刚迭加形成总刚
单刚为 矩阵,子块
迭加举例
66? 33? 1
2
3
4
5
6
1
2 3
45
5
66
1
66
5
65
1
65
5
64
1
61
5
56
1
56
54321
55
5
54
4
54
4
53
3
53
3
52
2
52
2
51
1
51
5
46
5
45
4
45
5
44
4
44
4
43
4
35
3
35
4
34
4
33
3
33
3
32
3
25
2
25
3
23
3
22
2
22
2
21
1
16
2
15
1
15
2
12
2
11
1
11
00
00
00
00
00
KKKKKK
KKKKKKKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
K
12*12矩阵,6*6子块
– 总刚的特性
矩阵元素的力学意义与单刚相同
对角元数总是正值
总体刚度矩阵为稀疏矩阵，非零元素均集中在对角元素附近
减小相邻节点编号差值可减小带宽，节省存储单元
总刚为对称矩阵
总刚为奇异矩阵带宽对称
– 边界条件的处理
划零臵一法
– 设已知边界条件为
– 总刚的处理
iu
nin
iii
iii
i
i
n
i
i
i
nnininnn
niiiiiii
niiiiiii
nii
nii
kF
kF
kF
kF
kF
u
u
u
u
u
u
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkkkk
)1(1
)1(1
22
11
1
1
2
1
)1()1(21
)1()1)(1()1)(1(2)1(1)1(
)1()1)(1()1)(1(2)1(1)1(
2)1(2)1(22221
1)1(1)1(11211
0
0
001000
0
0
0
对角元充 1
对应的行和列充 0
充大数法
– 已知边界条件为
n
i
i
n
i
i
i
nninniinnn
niiiiiiiii
iniiiiii
niiiiiiiii
niii
niii
F
F
M
F
F
F
u
u
u
u
u
u
kkkkkk
kkkkkk
kkMkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
1
1
2
1
1
1
2
1
)1()1(21
)1()1)(1()1()1)(1(2)1(1)1(
)1()1(21
)1()1)(1()1()1)(1(2)1(1)1(
2)1(22)1(22221
1)1(11)1(11211
iu
M是很大的数，远大于其它元素如 M=1.0E+30
MukukMuukukuk niniiiiiiiii 1)1(1)1(2211
iu
应力计算及结果整理
– 求解整体结构平衡方程的结构节点位移
总刚用一维变带宽存储技术
常采用波阵法求解
– 根据节点位移求单元应力
3节点三角形单元为常应力单元
可以理解应力为单元中心处的应力
– 结果的整理
采用绕节点平均法求节点应力
插值法求边界节点应力
– 3点的应力可由 2点和 4点插值而得
1
2
3
4 1
3
2
44321
1 4
1
目前国内常见的有限元系统
– 专业有限元分析系统
ANSYS
ADINA
NASTRAN
ABQUS
ALGOR SUPER SAP
– CAD软件挂带
I－ DEAS软件中的有限元系统
PRO/E软件中的有限元系统
UG软件带的有限元系统
3.4 平面应力问题举例及 ANSYS应用初步
有限元软件评价要点
– 单元库
– 材料库
– 算法库
– 前后处理能力
– 数据接口和数据转换标准
与 CAD软件 UG,PRO/E,Parasolid,IGES
有限元软件之间的数据接口
IGES等数据转换标准
– 操作方便性
ANSYS基本功能
– 结构静力分析,弹性、塑性、蠕变、大变形、接触问题
– 结构动力学分析,交变力、冲击或爆炸、随机力（地震）、其它瞬态力（如桥上的运动载荷）
– 热分析,线性非线性热分析－传导、对流、辐射
– 电磁场分析,电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分析、磁力分布、
力、运动效应、电路和能量损失
– 计算流体力学分析,瞬态或稳态
– 声场分析
– 压电分析,电子设备结构动态性能分析
ANSYS高级功能
– 多物理场耦合分析,电－磁－热、压力－结构等
– 优化设计
– 拓扑优化设计（外形优化）
– 单元生死问题
– 可扩展功能,连接用户自己的 FORTRAN程序和子过程
用户摩擦系数
用户塑性屈服准则
用户失效准则
用户优化
其它
ANSYS操作方式
– GUI方式：菜单、对话框操作
– 命令方式：大约有 1200多个命令
– 程序方式,ADPL语言编程自动运行
ANSYS几何建模
– 点（ keypoint）
– 线
– 面
– 体关键点－ Keypoint：几何建模用不参与有限元计算节点－ Node：有限元分析
解题过程及 ANSYS应用
– 有限元解题过程
– ANSYS初步应用
1000
500
P=500N
P=2.0e9Pa
E=2.1e11Pa
泊松比 0.3
板厚 30
计算举例（二）
– 问题
一方板,边长 140mm,板厚 10mm，板中心孔直径为 20mm，
两端受均匀拉伸分布力 1.0E10Pa。材料弹性模量为
we2.0E11Pa，泊松比为 0.3。如图所示，计算结构应力和变形。
140
– 建立几何模型
对称结构，只取其四分之一部分计算
– 选择单元
选平面问题 4节点 8自由度单元
划分网格
– 给定材料常数和单元厚度
– 施加载荷和约束
– 提交计算该线上各点
X方向位移为零 该线上各点
y方向位移为零分布拉力
– 计算结果
Von Miss应力和结构变形＋
原结构轮廓局部应力放大
Von Miss应力
平面应变结构特点 (Plane Strain)
– Z方向尺寸远大于 x,y方向，横截面沿 z轴不变化
– 载荷平行于横截面，且沿 z轴不变化
– 任一横截面均可看成对称面（简化成平面问题）
– 典型结构如大坝
x
y
z
y
x
3.5 平面应变问题
– 位移、应力和应变分量
位移分量,
应变分量
应力分量
Tvuf?
0,0,0 yzzyxzzxz
Txyyx
由虎克定律求得平面应变问题的由来
yxz
v
u
xy
y
x
y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
0
0
0 zxyz
处理方法
– 过程同平面应力
– 计算时材料常数的处理
理论公式上做如下变换
程序应用中
– 选择平面应力选项即可
– 几何模型为结构的横截面
21
EE
1
第三章 轴对称问题的有限元法
结构特点
– 几何结构绕轴线 z对称（完整的旋转体）
– 载荷绕结构对称
– 约束绕轴线对称
– 材料绕轴线对称
力学特点
– Z轴横截面对称
– 环向位移为零
– 应力应变、位移只与 r和 z有关，与 无关
– 简化成平面问题
r
z
r
z
应力和应变分量
– 应力分量：
– 应变分量：
单元节点位移
– 单元类型举例（同平面应力问题）
3节点,4节点,8节点平面问题单元等
– 节点位移（同平面应力问题）
每节点两个自由度,r和 z方向位移
– 载荷
集中力
分布面力
体积力：重力、离心力
Trzzr
Trzzr
i
j
k
l
r
z
Tllkkjjiie vuvuvuvu
r?
z?
rz?
建模注意机器不干实心圆杆空心圆筒
飞轮考虑自重，是否轴对称问题考虑自重，是否轴对称问题
计算举例
– 问题
一厚壁封闭容器，两端为半球形，中部为圆柱形，材料为普通碳素钢，其弹性模量为,泊松比为 。已知圆柱段的长度为 240mm，外径 D＝
100mm，内径 d＝ 60mm。该容器以 的转速绕其轴线旋转，容器内壁受 的均匀内压。计算该容器的应力分布及变形。
– 分析
典型的轴对称问题
可利用结构的对称性
载荷包括内压和离心力
211 /101.2 mNE
3.0
m in/5 6 0 0r
M P ap 2105.1
– 建立几何模型
利用对称性，只取截面的 1／ 2部分
– 划分网格
选择 8节点单元
– 给定单元材料常数
质量密度查表得出
– 施加载荷和约束
内压载荷
离心力通过指定转速来施加此线上各点
r方向的位移为零此线上各点
z方向位移为零内压
– 计算结果
Von Miss
应力云图变形图
－虚线为原结构变形图
－网格线为变形后结构第四章板壳问题有限元法
结构特点
– 薄壁构件,t远小于结构边长
– 受全方位载荷
– 车身为典型的板壳结构
有限元要点（通常情况）
– 几何模型为板壳中面（ t/2处）的形状
– 几何模型无厚度
– 单元和节点均在中面上
– 最大应力发生在结构的上下表面
t
基本假设
– 板壳中面法线在板壳变形后仍为直线，且垂直与变形后的中面
– 板壳中面只有薄膜应力，弯曲应力为零
– 板壳的上下表面上的应力为弯曲应力与中面薄膜应力之和
– 弯曲应力沿截面线性变化
– 应力应变分量
应力分量
应变分量
– 单元类型举例
3节点,4节点单元
8节点曲面单元
– 单元自由度
节点自由度（位移分量）
单元自由度（ 8节点单元 48个自由度）
Tzxyzxyzyx
Tzxyzxyzyx
1
5
2
6
3
7
4
8
Tziyixiiiii wvu 8,7,6,5,4,3,2,1?i
Te 87654321
– 载荷
节点力矢量
集中力、力矩
分布面力
分布体力
– 边界条件
简支
固支
已知位移或转角
– 所需常数
弹性模量
泊松比
板厚
Tziyixiziyixii MMMQQQF? 8,7,6,5,4,3,2,1?i
固支 简支
板壳问题 ANSYS应用举例
– 一圆柱面顶盖薄壳，壳的两边支承在隔墙上，作为简支边。圆柱半径为 1米，边长 2米，圆心角 90度。
弹性模量为 2.1e11,泊松比 0.3，盖顶承受 1e4Pa的法向均布压力。求盖的变形与应力。
边长两米简支边长两米简支板厚 5mm
盖顶受法向均布载荷半径 1米圆心角 90度
计算举例（二）
– 问题
横截面为槽形的悬臂梁如图 1所示。梁长 1m，板厚 5mm,
其弹性模量为,泊松比,分布载荷的分布长度为 500mm，集度为 q=,集中载荷为 p=2000N（作用点在上缘中点处），试计算结构的变形与应力。
211 /101.2 mNE 3.0
24 /101 mN?
– 建立几何模型
当板壳板壳问题计算，几何模型为结构中面
– 网格划分
选择单元,8节点板壳原（ shell）
划分网格
– 给定材料和单元常数
– 施加载荷与约束集中力分布载荷固定端所有节点的六个自由度均被约束
– 计算结果最大
Von Miss
应力处
Von Miss
应力云图局部放大结构变形图与
Von Miss
应力云图原结构变形后结构第五章 空间实体问题有限元法
结构特点
– 3D实体
有限元要点
– 应力分量
– 应变分量
– 单元节点位移
x
y
z
Tzxyzxyzyx
Tzxyzxyzyx
x?
y?
z?
单元举例
– 8节点六面体单元
– 20节点六面体等参元单元
– Tet10节点单元
节点自由度为 3
– X方向的位移 u
– Y方向的位移 v
– Z方向的位移 w
20节点单元自由度为 60
– 所需材料常数
弹性模量和泊松比
– 载荷
集中载荷
分布面力
分布体力六面体单元
等参数单元
– 等参数单元基本概念
8节点平面问题等参数单元
1 2
34
5
6
7
8
x
y
1
2
3
4
5
67
8
]1,1[ ]1,1[
1点坐标 (-1,-1)
4点坐标 (-1,1)
3点坐标 (1,1)
8点坐标 (-1,0)
),( ii yx 8,7,6,5,4,3,2,1?i
变换基本单元
（母单元）
实际单元设则可有位移变换和坐标变换其中形函数为
i?0
i?0
8,7,6,5,4,3,2,1?i
i
i
i
i
i
i
vNv
uNu
),(),(
),(),(
8
1
8
1
i
i
i
i
i
i
yNy
xNx
),(),(
),(),(
8
1
8
1
2/)1)(1)(1(4/)1)(1)(1( 2222220000 iiiiiN
2/)1)(1)(1( 2202 ii
变换形式和参数完全一样
8,7,6,5,4,3,2,1?i
20节点空间等参单元
1
2
3
4
5
6 7
8
9 10
1112
13
14
15
16
17
18 19
20
1
2 3
4
5
6 7
8
9
10
1112
13
14
15
16
17
18 19
20
x
y
z
母单元 实际单元
]1,1[ ]1,1[ ]1,1[
设则可有位移变换和坐标变换其中形函数为
i?0 i?0 8,7,6,5,4,3,2,1?i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
wNw
vNv
uNu
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
8
1
8
1
8
1
4/)1)(1)(1(
4/)1)(1)(1(
4/)1)(1)(1(
8/)2)(1)(1)(1(
00
2
00
2
00
2
222
000000
i
i
i
iiii
N
N
N
N 8,7,6,5,4,3,2,1?i
i?0
i
i
i
i
i
i
i
i
i
zNz
yNy
xNx
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
8
1
8
1
8
1
12,11,10,9?i
16,15,14,13?i
20,19,18,17?i
– 等参单元中的 Jacobi矩阵和高斯积分
Jacobi矩阵
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zx
yz
xy
z
y
x
e
N
xz
yz
xy
z
y
x
w
v
u
xz
yz
xy
z
y
x
0
0
0
00
00
00
0
0
0
00
00
00
z
N
y
N
x
N
J
z
N
y
N
x
N
zyx
zyx
zyx
N
N
N
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
N
N
N
J
z
N
y
N
x
N
1[J]为 jacobi矩阵
高斯积分
dzd x d yBDBK Te
]][[][
1
1
1
1
1
1
]][[][ dddJBDBK Te
n
i
ii fHdf
1
1
1
jijn
i
n
j
i fHHddf,,
1 1
1
1
1
1
n
i
n
j
n
k
kjikji fHHHdddf
1 1 1
1
1
1
1
1
1
,,,,
n i? iH
2
3
3
1?
5
3?
0
1
95
98
一维积分
N
个点二维积分个点三维积分类推,个积分点 还有 4点积分 (n=4),5点积分 (n=5)等3n
2n
有限元网格自动生成的参数变换法
– 方法原理简介
几何结构的分块
– 任何一个形状复杂的平面结构，都可以看成由若干个曲边四边形子块组成
– 任何一个复杂的板壳结构，可以一些曲边四边形薄壳子块组成
– 任何一个空间实体，也可以看作由一些曲面六面体子块组成
1
2
3
4
5
6
7
8
可以是真正具有四条边的四边形，也可以是人为定义的曲边四边形
每一个四边形（六面体）都可以通过前面介绍的参数变换方法由正方形（正六面体）的母单元变换得到
对参数变化范围为 [-1,1]的母单元划分网格，经过变换后即可得到子块的网格
所有子块的网格划分完成后，即可得到整个结构的有限元网格
1
1
11
x
y
1＝?
1
1
1
– 子块网格划分计算方法
平面子块 (3节点或 4节点单元）
– 用 NX表示在 边沿 方向应划分的单元数
– 用 NY表示在 边沿 方向应划分的单元数
– 用权因子 控制 方向所划分单元大小变化
– 用权因子 控制 方向所划分单元大小变化
– 子块内第 K个节点的坐标可由下式计算其中初值
1＝
1
),(),(
),(),(
8
1
8
1
jiiji
i
ik
jiiji
i
ik
yyNy
xxNx
jjj
iii
1
1
10 10
iw)(? ),,4,3,2,1( NXi
jw)(? ),,4,3,2,1( NYj
),,4,3,2,1( NXi
),,4,3,2,1( NYj
),,4,3,2,1( NYNXk
– 其中
空间板壳子块
T
j
j
T
i
i
w
w
w
w
2
2
NY
j
j
T
NX
i
i
T
ww
ww
1
1
),,4,3,2,1( NXi
),,4,3,2,1( NYj
),,4,3,2,1( NYNXk
),(),(
),(),(
),(),(
8
1
8
1
8
1
jiiji
i
ik
jiiji
i
ik
jiiji
i
ik
zzNz
yyNy
xxNx
其它公式和平面子块一样还可以生成 8节点单元，只须增加单元边中间节点的计算即可同理可扩充到 3D六面体子块网格的划分，在此不再赘述
结构有限元网格的形成
– 每个子块网格划分完成后，将其拼集在一起便可得到结构的有限元网格。由于每个子块都是单独划分的，在相邻子块的交线
（面）上会出现一些公共节点，它们坐标一样但编号却不同，
即产生一些虚假节点，必须将其消去，否则就无法用有限元程序进行正确的计算。
– 设任意两个节点 和,对给定的精度 有：
则认为节点 和 是同一个节点，必须将其中的一个节点消去。多余节点消除后，修改所有单元和节点编号即可得到结构的有限元网格。
111,yxp222,yxp?
2121 yyxx
111,yxp222,yxp
111,yxp
222,yxp
子块 A
子块 B
实体问题计算举例
– 问题
图示 U形夹左端固定，圆孔下半部受分布压力作用,，,,图中长度单位为 cm。 用有限元法分析变形及应力。
Paq 100?
PaE 7103 3.0 122 RR?
– 建立几何模型
由于对称性，只取结构的 1／ 2分析即可
– 网格划分
单元选择
– 选用 Tet10节点单元
划分网格
– 给定材料常数
– 施加载荷和约束对称面上各点垂直于对称面的位移为零 —施加约束端面为固支，其上各点的所有自由度都必须约束住分布载荷
– 计算结果虚线为原结构变形结构和 Von Miss
应力云图原孔处的局部放大效果第六章 杆系结构有限元法
杆系结构
– 桁架
平面桁架
空间桁架
杆件与杆件间为铰接
铰接点只传递力而不传递转矩
每根杆件均为二力杆
杆件不产生弯曲变形和弯曲应力
有限元计算采用杆元（杆单元,bar）
桁架结构
– 刚架
平面刚架
空间刚架
杆件与杆件间可理解为焊接
连接点可传递力也可传递转矩
刚架有限元分析采用梁元（ beam）
可当作刚架的常见结构
– 高压线塔
– 客车车身骨架
– 管式摩托车车架
– 自行车车架
– 长江大桥刚架结构
平面刚架的有限元法
– 平面刚架单元（ Beam）
2节点单元
局部坐标为单元坐标
单元建立在杆中心线上
单元为数学意义上的线
单元节点位移
单元节点力
节点力与节点位移的关系
'x
'y
i j
Tjjjiiie vuvu'
Tjjjiiie MYXMYXF?'
)( jj uX
)( ij vY
)( ii uX
)( ii vY
)( iiM?
)( jjM?i
j
eee KF '''
局部坐标系下的单元刚度矩阵
– 可由材料力学直接推出
– 也可假设位移模式和平面问题步骤一样推出
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
K
e
46
0
26
0
12
0
612
0
00
46
0
0
12
0
22
323
2
3
‘
截面面积A
弹性模量E
对 Z轴主惯性矩I
单元长度l
单元长度由机器根据两个节点的坐标自动计算
– 单元节点载荷
节点集中力
节点集中力矩
单元分布力
单元分布力矩
重力
i j
)(xm
'x
i j
'x
)(xq
分布弯曲力矩分布横向力计算机可处理的线性分布可变成另外两种种具体形式
1.均布分布力
2.三角形分布
'y
还可有分布轴力
– 单元刚度矩阵的坐标变换
推导单元刚度矩阵时采用的是单元局部坐标系，它的坐标方向是由单元方向确定的，采用这样的坐标系，对所有单元可得到统一形式的单元刚度矩阵。但实际结构的每一杆件的方位都不一定相同，因此要将局部坐标系下的单元刚度矩阵和节点力变换到结构整体坐标系下才能迭加求解。
设局部坐标系 下的各量为：
整体坐标系 下对应的各量为：
则有：
x
y
'x
'y
o
eee,K，F '''?
eee,K，F?
''' yxo
oxy
eee
eee
KF
KF
'''
如果以 为局部坐标与整体坐标之间的转换矩阵，则有：
由此可得：
即：
其中
T
ee
ee
T
FTF
'
'
eeeee
ee
TKTKTF
T
1'''
1'
1'
TKTK
KF
ee
eee? 整体坐标系下的单元刚度矩阵
ttT 0 0
21
21
mm
llt 分别为两局部坐标轴在整体坐标系中的方向余旋
11,ml 和 22,ml
空间刚架的有限元法
– 2节点空间梁元（ Beam）
2个节点 i和 j定义单元
增加辅助节点 k
单元建立在杆中心线上
单元为数学意义上的线
单元节点位移
单元节点力
每节点 6个自由度，为 12自由度单元
'x
'y
'zi
j
Tzjyjxjjjjziyixiiiie wvuwvu'
Tzjyjxjjjjziyixiiiie MMMZYXMMMZYXF?'
k
– 单元刚度矩阵
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
GI
l
GI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
GI
l
EI
l
EI
l
EA
K
zzzz
yyyy
xx
yyy
zzz
zz
yy
x
y
z
e
4
000
6
0
2
00
6
0
4
0
6
000
2
0
6
00
00000000
12
000
6
0
12
00
12
0
6
000
12
0
00000
4
000
6
0
4
0
6
00
000
12
00
12
0
22
22
323
323
2
2
3
3
'
对称截面面积A
弹性模量E
剪切唐性模量G
扭转惯性矩
xI
对 Z轴主惯性矩
zI
对 y轴主惯性矩
yI
单元长度l
单元长度由机器根据两个节点的坐标自动计算如果要考虑剪切的影响切，则还要给出对 y和 z轴的剪切影响系数以及沿 y和 z轴方向的有效抗剪面积共四个常数
– 单元节点载荷单元节点载荷
节点集中力
节点集中力矩
单元分布力
单元分布力矩
重力
i
j
)(xmz
'x
i
j
'x
)(xqy
分布弯曲力矩分布横向力计算机可处理的线性分布可变成另外两种种具体形式
1.均布分布力
2.三角形分布
'y
'z
'z )(xqz
还有分布力矩
、)(xm
x )(xmy
还可有分布轴力
'y
– 单元矩阵的坐标变换
1' TKTK ee
ee FTF '?
ee T 1'
t
t
t
t
T
000
000
000
000
321
321
321
nnn
mmm
lll
t
分别为三局部坐标轴在整体坐标系中的方向余旋
)3,2,1(,,?inml iii
– 单元局部坐标系的确定
辅助点 k与节点 i和 j可确定局部坐标系
节点 i和 j可确定 轴方向
K取在 平面内
由 可得 轴方向
由 和 轴即可得到 轴
''' yxo
kiji rr?
'z
'x
'x 'z 'y
x
y
z
结构整体坐标系
i
jk
'x
jir
kir
'z
'y
单元局部坐标系
– 辅助节点 k的选取
可以利用结构上已有的节点作为 k点
若 k点不是结构上的点，其六个自由度须全部施加零约束
k点不能在 ij点的连线上辅助点（又叫参考点） k点决定了杆件的放置方位
x
y
z
结构整体坐标系
i
jk 'x
jir
kir
'z
'y
'x
i
j
k
'z
'y
i
k
'x
'y
'z
如果给计算程序输入的对 y轴和 z轴主惯性矩大小（顺序）不变的话，下面 k点选取的方位不同，则表示结构杆件放置的方位不一样。
千万注意不要出错。
ANSYS中可处理的标准截面形状和参数
（一）
ANSYS中可处理的标准截面形状和参数
（二）
第七章 组合问题的有限元法
热应力问题
– 考虑热应力的物理方程其中 为温度变化引起的应变式中 为材料线膨胀系数,为温度的变化
0 D
0?
TT 0001110
T
0 BD
– 考虑热应力时单元的虚功
– 节点力与节点位移关系
d x d y d zBDT 0*
d x d y d zDBd x d y d zBDB TeTTe 0*
d x d y d zDBd x d y d zBDBF TeTe 0
eTTe d x dy d zBDBd x dy d zDBF 0
eeee KRF
d x d y d zTDBR TTe 000111
相当于温度变化而产生的等效节点力，称为热载荷，在有限元计算中给定节点温度即可
预应力问题（初始应力）
– 预应力钢板弹簧
– 复合材料飞轮的预应力
– 客车车身预应力蒙皮
– 预应力钢箱桥梁
– 有限元处理方法实质上与温度应力相同
– ANSYS可以方便处理预应力
– 也可以用设臵节点温度的方法获得预应力
杆件与块件的混合结构
– 如图所示结构，由 A和 B两个实体用水平连杆相互连接而成，目的是要该结构的两部分在水平方向成为整体，具有较大刚度，而在垂直方向又相互独立，
以消除不均匀沉陷所引起的相互影响。
杆单元节点三个自由度，实体单元节点也是三个自由度，问题可方便而自然地解决支撑桩也可简化成杆元连杆为杆元实体单元
梁元和板壳元组合结构
– 加筋薄壳结构问题
结构以薄壳的刚度为主
肋条只起加强筋的作用
壳体与加强筋刚性连接
加强筋截面某主方向与连接处处壳体中面法向一致
i,j节点自由度为线性关系
i
j
薄壳采用板壳单元加强筋采用梁元梁元节点 j当作板壳元节点 i的从属节点
e
i点和 j点的位移关系（约束方程）
– i点（主节点）的位移矢量
– j点（从节点）的位移矢量
– 位移关系
Tziyixiiiii wvu
Tzjyjxjjjjj wvu
ij P
010000
001000
00100
000010
00001
e
e
P
变换矩阵
– 一般情况下的梁元和板壳元的组合
梁单元节点为六个自由度
板壳元节点也为六个自由度
一般情况下可很协调地组合起来
不同节点自由度的单元组合问题
– 实体单元与板壳单元实体，采用 3D
实体单元板壳，采用板壳单元地面上所有节点的全部自由度都被约束按板壳组合结构算，如果不采取特殊的结构处理，
计算伏明霞跳水，会发生什么情况呢？
x
y
z
– 实体单元、杆元与梁元移动吊重实体基础实体元实体基础实体元塔杆－刚架梁元绳索－桁架杆元一定要考虑地基、塔杆和绳索的应力和变形，结构该如何处理呢塔杆－刚架梁元
典型的特殊单元
– 弹簧元
两个节点
每节点 3个位移自由度
有刚度和阻尼两个参数
– 接触单元
点接触单元面接触单元
两物体相互靠近时接触时接触单元起作用（传递力）
两物体相互脱离时单元不起作用（不传递力）
– 绳索元
两物体相互靠近时接触时单元不起作用（不传递力）
两物体相互脱离时单元起作用（传递力）
– 自定义单元刚度矩阵
读入单元刚度矩阵
约束方程
– ANSYS节点间的约束方程简介
ANSYS单元库
– ANSYS单元库简介
练习
– 一边长为一米的方桌如图 1(a)所示。四根桌腿为空心圆管，外径为 50mm，壁厚为 2mm；桌面为 3mm厚的钢板（离地高度为 1米），四边为矩形加强管，横截面高 60mm，宽 50mm,壁厚为 2.5mm，其放臵方位如图 1(b)所示。桌面中心位臵处有一钢块（长宽高：
400-400-200mm），它由四个角点处的四个弹簧支撑在桌面上，钢块中心处作用有一垂直向下的集中载荷 P=1000N。钢块的密度为 7.8E1000kg/m3，弹簧的初始长度为 60mm，刚度为 100N/mm。材料弹性模量和泊松比分别为 和 。试计算结构的变形、内力与应力。
24 /101.2 mmkgE 3.0
加强管重钢块 桌面钢板
P
弹簧钢架桌第六章 有限元动力学分析
有限元动力学方程和质量矩阵
– 动力学方程
［ M］ —结构的质量矩阵
［ C］ —阻尼矩阵
［ K］ —刚度矩阵
FKCM
– 质量矩阵
结构质量矩阵由单元质量矩阵迭加而成
一致质量矩阵
– 对平面问题三节点单元
e
e
mM
dVNNm Te
2/104/104/10
02/104/104/1
4/102/104/10
04/102/104/1
4/104/102/10
04/104/102/1
3
tA
m
e?
采用一致质量矩阵：
1.可以得到更精确的振形
2.计算所得频率值是结构真实频率的上界
3.计算比较复杂，存储量较大
团聚质量矩阵
– 根据精力学平行力分解原则求得
– 等厚度平面三角形单元的团聚质量矩阵
100000
010000
001000
000100
000010
000001
3
tA
m
e?
1.计算比较简单
2.存储量少
3.有使结构频率计算值降低的趋势
4.采用协调元时，由于协调单元有较高的刚度，会使结构计频率计算值偏高
5.这两种相反因素相抵，有时可得到较好的固有频率计算值
模态分析（特征值问题）
– 无阻尼自由振动
– 解的形式
– 广义特征值问题
0 KM
t s in
0][][ 2 MK
– 广义特征值问题的解
固有频率（ n阶,n为结构自由度数）
振型（特征矢量,n阶,n为结构自由度数）
特征矢量的正交性
一般情况下，工程上只对前几阶固有频率和振型感兴趣
n3210
i ni,,4,3,2,1
ijijTi
ijj
T
i
K
M
2?
特征值问题常见求解方法
– 广义雅可比方法
通过一系列变换将质量矩阵和刚度矩阵对角化后求解
此法为求全部特征值的方法
只求少数低阶特征值时，此法不合算
– 逆迭代法
通过一系列迭代求解特征值
一般只用来求前三五阶特征对
求高阶特征对时精度难以满足（精度较低）
– 子空间迭代法
求大型结构前几阶特征对很有效
计算举例
– 问题
一悬壁薄板长 300mm，宽 200mm，厚 2mm，沿短边约束。,,。求前四阶固有频率和振型。
– 分析
典型的板壳问题
211 /101.2 mNE 3.0 33 /108.7 mkg
– 几何建模
– 划分网格
采用 8节点 shell单元
施加约束
– 给定材料常数
– 计算结果,16.171Hz 64.49Hz 119.07Hz 217.49Hz
第一阶
16.17Hz 第二阶64.49Hz
第三阶
119.07Hz
第四阶
217.49
动力响应问题
– 阻尼矩阵
知道结构的各阶特征对和阻尼比 后，阻尼矩阵为
瑞雷阻尼矩阵
i?
i?
n
i
iCC
1
TiiiiiC2?
ii M
第 i阶振型
i?
第 i阶固有频率 ·
i?
可由实验测得 ·
KMC
只要两个阻尼比即可求得
、
响应问题常见求解方法
– 振型迭加法
此法适用于外力只激起较少振型的问题（如地震）
或所需计算响应时间较长的情况
– 逐步积分法
适用于激发较多的振型（如冲击）
适用于计算响应时间短促的情况
ANSYS求时间响应问题
– 谐振动
– 瞬态响应第七章 疲劳问题有限元法
影响疲劳寿命的主要因素
– 一般因素表 7－ 1 影响疲劳强度的因素工作条件 零件状态 材料本质载荷特性加载频率服役温度环境介质缺口效应尺寸效应零件热处理表面粗糙度表面热处理残余应力应变化学成分金相组织纤维方向内部缺陷分布
– 经常碰到的四个影响因素
1）,应力集中的影响 应力集中对疲劳强度有显著影响,
常用疲劳缺口系数来描述其影响；
2）,尺寸的影响 试件尺寸越大疲劳强度就越低 。 通常标准试件比实际零部件的尺寸小,因此疲劳尺寸系数在疲劳分析中必须加以考虑 。
3）,表面状态的影响 疲劳裂纹通常产生于试件表面,因此,零部件的表面状态对其疲劳寿命有显著影响,这种影响程度用表面敏感系数来描述 。
4）,载荷的影响 绝大多数材料的疲劳强度是用标准试件在对称循环正弦波加载情况下得到的,而实际零部件所受载荷却十分复杂,载荷的种类,载荷的频率,平均应力,载荷波形以及载荷中间停歇和持续等因素对结构疲劳寿命均有影响 。
确定疲劳寿命的方法疲劳分析方法都包括三部分内容材料疲劳行为的描述；
循环载荷下结构的响应；
疲劳累积损伤法则材料疲劳性能 循环载荷下结构响应疲劳累积损伤法则疲劳寿命
金属结构材料的 S－ N曲线
Sb
Se
Si
Ni N0 N
S
CNSNS imime0
－ 断裂极限
－ 疲劳极限
－ 通常取值
bS
eS
0N 70 10?N
S－ N曲线可用幂函数表示为
Miner线性累积损伤理论目前有多种疲劳累积损伤法则,但对接触网零部件疲劳分析简单有效的是 Miner线性累积损伤理论,这也是目前工程上广泛采用的理论,该理论在许多国际流行的专业有限元分析系统 （ 如 Ansys） 中均可直接采用 。
根据 Miner线性累积疲劳损伤理论,在大于疲劳极限 而小于静拉伸对应的疲劳强度 的应力 的作用下,
其循环次数达到 时,零件的损伤程度为 。 设应力分为 z级,则在各级应力的作用下的累积损伤度为：
式中 D表示疲劳损伤度 。 若,则表示零件疲劳破坏；若,则表示零件有一定的损伤,但未疲劳破坏 。
eS bS
)( iii Nnn?
i
iNn
z
i i
i
N
nD
1
1?D
1?D
iS
累积疲劳损伤度 D的意义 (以传动系为例 )
– 传动系的累积疲劳损伤度
– 意义
已知上述各量时可计算出汽车传动系的疲劳损伤程度
可计算出设计车辆标志传动系疲劳寿命的行驶里程
– 令 D＝ 1
– 可求得在 作用下至疲劳破坏的循环次数
– 求出在各级应力作用下达到疲劳破坏的总循环次数
– 根据各档平均车速和各档行程利用率求出标志传动系疲劳寿命的汽车行驶里程
0NS
nKSD
m
e
m
m
c
cS
mK
n
计算应力行驶状况系数总循环次数
cS mc
m
emc S NSnKN 0
mc KNn /
有限元法疲劳分析的过程载荷谱确定结构危险部位结构有限元分析危险部位的名义应力谱危险部位的疲劳寿命材料的
S－ N曲线疲劳损伤理论目前国内使用的 Ansys有限元分析系统中的疲劳计算是以 ASME锅炉与压力容器第 4部分、第 8部分第二分册作为计算依据，采用简化了的弹塑性假设和 Miner疲劳累积损伤准则。用户也可利用 Ansys APDL语言直接利用 Ansys按其它行业规范编程计算疲劳强度。
计算举例
D型连接器（ TB第 23部分）几何结构如图 7－ 4所示，采用 Pro/E建模。
根据铁标 TB/T 2075.1-2075.54-2002第 23部分的规定，假设连接器承受 0—
17.6kN的工作载荷。假设结构材料的 S－ N曲线如表 7－ 2所示，设预设循环次 610
危险部位
– S－ N曲线表
– 计算结果
N S
100 236e6
200 232e6
500 228e6
1000 224e6
1500 220e6
2000 216e6
1e04 212e6
1e05 208e6
1e06 204e6
2e06 200e6
3e06 196e6
5e06 192e6
6e06 188e6
7e06 184e6
8e06 180e6
9e06 176e6
1e07 172e6
11e06 168e6
12e06 164e6
15e06 160e6
应力集中系数取 3
计算结果：
允许循环次数＝ 0.2235E07
疲劳损伤度＝ 0.447
第七章 汽车结构有限元分析实例
车架结构的有限元分析（企业委托：农用车）
– 车架结构特点
– 车架载荷及约束
– 网格划分
单元选择
– 主体结构采用 4节点板壳元
– 悬架采用弹簧元
– 纵横梁连接采用约束方程图 2 — 1 车架力载荷与支撑示意图
– 网格划分
节点总数为 10816，结构自由度总数为 64896
– 计算工况
弯曲工况
– 汽车满载（满员），在平直良好的路面上匀速正常行驶
弯扭组合工况
– 汽车满载（满员），四个车轮中三个车轮处于同一平面位臵不变，而另一个车轮向上抬高 60mm
– 计算结果弯曲工况弯扭组合工况
公共客车车身骨架早期失效分析（企业委托）
– 问题的提出
某厂生产的某型公交客车仅在行驶十几万公里后其整体骨架的许多构件均出现早期失效，这直接影响到经营者的经济效益、乘客的安全。使用者和生产厂家为早期失效原因的认定出现较大分歧，从而影响到责任的划分、
维修方案的确定和改进设计的实现，因此迫切需要从理论上和技术上分析失效原因。
– 结构特点
公交客车整体骨架由前围、后围、左侧围、右侧围、顶盖和地板骨架以及底架等七部分组成。前后围骨架、左右侧围骨架、顶盖骨架和地板骨架为全金属格子栅栏结构，由多种不同规格的矩形管组成。车身底架部分采用变宽度梯形车架，由两根冲压制成的等截面槽形纵梁和十一根横梁铆接、焊接而成。用矩形管组成的,牛架,
代替传统的牛腿结构。
– 骨架几何模型和结构损坏情况（部分）
客车车身骨架三维模型图纵梁左后悬架前吊耳处的裂纹照片左后悬架前吊耳近前方牛腿（架）
断裂照片左后悬架前吊耳近后方牛腿（架）
断裂照片
– 有限元计算模型
采用 4节点,24自由度的 3D板壳元来离散整车骨架
得到 124080个板壳单元
共有 122615个节点
局部网格图如右下图所示
– 载荷（全部簧载质量）
发动机、水箱、方向机
离合器、变速器
空调压缩机
电瓶、油箱、储气筒
座椅、门窗
骨架自重
驾乘人员（ 65kg/人）
计算结果
– 牛架应力分布
– 纵梁左后悬架前吊儿处应力分布鲲鹏展翅
考试方式和基本要求
– 自选题目撰写文章
– 2000－ 4000汉字篇幅
– 选已下达过的练习为题无效
重要警示
– 同学间抄袭者和被抄袭者均不及格
– 抄袭公开出版物者不及格
评分优先级（仅供参考）
– 科学真实、认真、规范、文笔、正确、选题、内容
课程成绩
– 考试成绩与已登记练习加权计算课堂授课任务结束祝大家前程似锦！
谢谢大家！
