1
鲁志波信息工程大学理学院第五讲 层次分析法
2
背景
■ 日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大的作用,各因素的重要性难以量化
■ Saaty于 1970年代提出层次分析法 AHP
(Analytic Hierarchy Process)
■ AHP—一种 定性与定量相结合的,系统化,层次化 的分析方法
3
问题提出例 1 购物
1,买钢笔，一般要依据 质量、颜色、实用性、价格、外形 等方面的因素选择某一支钢笔。
2,下馆子，则要依据馆子的 饭菜质量、区位条件、
档次,饭菜价格、服务质量 等方面因素来选择。
例 2 旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据 景色、费用、食宿条件、旅途 等因素选择去哪个地方。
4
问题的提出例 3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据 个人兴趣、工作环境、
工资待遇、发展前途、住房条件 等因素择业。
例 4 科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的 可行性、应用价值、理论价值、被培养人才 等因素进行选题。
5
层次分析法简介
层次分析法（ AHP）是美国匹兹堡大学教授 A,L.Saaty于
20世纪 70年代提出的一种系统分析方法。他模仿人的决策思维过程，开发一种综合 定性的定量相结合 的分析方法，
主要解决 多因素复杂系统,特别是 难以定量描述的社会系统 的分析方法。
1977年第一届国际数学建模会议上,Saaty发表了,无结构决策问题的建模 —层次分析理论,,开始引起人们注意。
1980年后陆续出版相关的专著和文章，其理论逐步走向成熟。 1982年引入我国，天津大学许树柏等发表我国第一篇介绍 AHP的论文，此后在我国得到广泛的应用。 1988年专门在天津召开国际 AHP学术研讨会，使得在我国得到广泛运用。
6
基本的思路
------先分解后综合的系统思想
整理和综合人们的主观判断，使 定性分析与定量分析有机结合,实现定量化决策。
首先将所要分析的 问题层次化,根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次 聚类组合,形成一个多层分析结构模型，最终归结为 最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）
相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。
7
层次分析法基本原理假定我们已知 n只西瓜的重量和为 1，每只西瓜的重量分别为 W1,W2,…,Wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示 n
只西瓜相对重量关系的比较矩阵：
A= =（ aij） nxn
显然 aii= 1,aij =1/aji,aij =aik/ajk,i,j,k= 1,2,…,n
8
那么就有：
AW= = =nW
即 n是 A的一个特征根，每只西瓜的重量是 A对应于特征根 n的特征向量的各个分量。
9
很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵 具有完全一致的条件下,我们可以通过解特征值问题
AW= λmaxW
求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为 1），从而得到
n 只西瓜的相对重量。
10
问题分析问题,选择旅游景点假期到了,现有桂林、黄山、北戴河 三个旅游地供你选择,如何在三个目的地中选择?
层次分析模型影响决定的因素有景色、费用、居住、饮食和旅途条件等不同的人对这些因素的关注程度是不同的三个旅游景点里这些因素的优劣程度也不同不同的人会选择不同的目的地
11
目标层 O(选择旅游景点 )
P2
黄山
P1
桂林
P3
北戴河准则层方案层
C3
居住
C1
景色
C2
费用
C4
饮食
C5
旅途用层次结构描述问题
12
层次分解时的注意事项
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低 AHP法的结果质量，
甚至导致 AHP法决策失败。
1、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时候可以咨询相关的专家
2、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多
3、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较
13
“选择旅游景点,思维过程的归纳
■ 将决策问题分为 3个层次,目标层 O,准则层 C,方案层 P; 每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示
■ 通过 相互比较 确定各准则对目标的 权重,
及各方案对每一准则的 权重
■ 将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的 权重层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成以上步骤,给出决策问题的定量结果
14
1( ),0,
ij n n ij ji ijaA a a a
模型建立及求解构造成对比较阵元素之间两两对比,对比采用相对尺度设要比较各准则 C1,C2,…,C n对目标 O的重要性
ijji aCC?:
比较尺度比较 Ci 和 Cj 对上层因素 O的影响时如何选取 aij
Saaty等人提出 1~9尺度,即 aij 取值 1,2,…,9 及其互反数 1,1/2,…,1/9
便于定性到定量的转化
15
（ 1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在 5～ 9级之间，采用 1 ～ 9的标度反映了大多数人的判断能力；
（ 2）大量的社会调查表明,1～ 9的比例标度早已为人们所熟悉和采用；
（ 3）科学考察和实践表明,1～ 9的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。
为什么采用 1～ 9级的指标比例呢？
16
判断过程中的问题
1,合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）
2、创造适合于咨询工作的良好环境；（介绍 AHP方法，
提供信息，独立思考）
3、正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构，
设计好表格）
4、及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮次咨询
5、专家数量根据实际情况确定，一般为 20— 50位
17
1~9尺度的含义尺度 1 3 5 7 9
ija
相同 稍强 强 明显强 绝对强的重要性
ji CC,
2 4 6 8
ji CC,~
aij = 1/2,…,1/9 的重要性与上面相反利用 1~9尺度得到成对比较阵
1135/13/1
1125/13/1
3/12/117/14/1
55712
3342/11
A 正互反阵
18
a12=1/2 表明 C1与 C2对目标 O的重要性之比为 1:2
a13=4 表明 C1与 C3对目标 O的重要性之比为 4:1
第二行各元素均不低过 1,说明此人最看重费用因素第一行各元素又比第三、四、五行相应元素大,表明景色因素次之该矩阵中,C2与 C1之比为 2:1,C1与 C3之比为 4:1
C2与 C3之比为 7:1而不是 8:1
成对比较阵不是全部一致的要由 A确定 C1,…,C n对 O的 权向量
19
n
nnn
n
n
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
A
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
完全一致的情况
nwwwW?,,)1( 21 /i j i ja w w?令
12(,,) ~Tnw w w w? 权 向 量
20
wAw
,,,1,2,,.ij jk ika a a i j k n
正互反阵 A被称为 一致阵,若 A满足
■ A的秩为 1,A的唯一非零特征根为 n
■ A的任一列向量都是对应于 n 的特征向量
■ A的归一化特征向量可作为权向量对于 不一致 (但在允许范围内 )的成对比较阵 A,建议用对应于最大特征根?的特征向量作为权向量 w,即一致阵性质一致阵
21
一致性检验一致性检验是对 A确定不一致的允许范围已知,n 阶一致阵的唯一非零特征根为 n
可证,n 阶正互反阵最大特征根n,且?=n时为一致阵
1?
n
nCI?定义 一致性指标
CI 越大,不一致越严重为衡量 CI 的大小,引入 随机一致性指标 RI
随机模拟得到 aij,形成 A,计算 CI 即得 RI
22
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1110
定义 一致性比率 CR = CI/RI
CR<0.1时,通过一致性检验
Saaty的结果旅游问题的准则层对目标的权向量及一致性检验最大特征根?=5.073
特征向量 w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
018.0
15
5073.5?
CI一致性指标
23
随机一致性指标 RI=1.12 (查表 )
一致性比率 CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致性检验同样方法构造第 3层 (方案层 )对第 2层中每个准则的成对比较阵,例如,
12/15/1
212/1
521
1
B,
138
3/113
8/13/11
2
B,
13/13/1
311
311
3
B
,
114/1
113/1
431
4
B,
144
4/111
4/111
5
B
24
其中 Bk中的元素 bij(k)是方案 Pi 与 Pj 对于准则 Ck
的优越性比较尺度。求出相应的归一化特征向量、最大特征根和一致性指标第 3层对第 2层的计算结果
k
)3(kw
k?
kCI
1
0.595
0.277
0.129
3.005
0.003 0.001 0 0.005 0
3.002
0.682
0.236
0.082
2
3
0.142
0.429
0.429
3
3.009
0.175
0.193
0.633
4
3
0.668
0.166
0.166
5
RI=0.58 (n=3) 均通过一致性检验
25
组合权向量方案 P1对目标的组合权重,0.595?0.263+…=0.300
方案层对目标的组合权向量,(0.300,0.246,0.456)T
设想将一块含有金,银,铜的单位重量金属分成 5块 C1,…,C 5,每块所占的比例分别为
(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110),而金在 C1,…,
C5中所占的比例分别为 (0.595,0.082,0.429,
0.633,0.166),则金占整块金属的比例即为相应的两两乘积之和。 选择方案
P3
26
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1(,,)
T
nw w w?
)2()3()3( wWw?
第 1层 O
第 2层 C1,…C n
第 3层 P1,…P m
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )1(,,),1,2,,Tk k k mw w w k n
第 2层对第 1层的权向量第 3层对第 2层各元素的权向量
],,[ )3()3(1)3( nwwW构造矩阵第 3层对第 1层的组合权向量
3个层次的组合权向量
27
更一般地,对于 s个层次的决策问题,第 k
层对第 1层 (设只有一个元素 )的组合权向量为
w(k)=W(k)w(k-1),k=3,4,… s
其中 W(k)是以第 k 层对第 k-1层的权向量为列向量组成的矩阵。
于是第 s层对第 1层的组合权向量为
w(s)=W(s) W(s-1) … W(3) w(2)
28
组合一致性检验在旅游问题中,第 2层对第 1层的成对比较阵
A及第 3层对第 2层的成对比较阵 B1,…,B5都通过一致性检验,但 B1,…,B5是独立给出的,还需检验其组合一致性。
记 B1,…,B5的一致性指标分别为 CI1(3),…,
CI5(3),定义反映了 B1,…,B5对第 1层的整体不一致程度相应的定义
( 3) ( 3) ( 3) ( 2 )15,,R I R I R I w?
( 3) ( 3) ( 3) ( 2 )15,,C I C I C I w?
29
( 3 )
( 3 ) ( )2
( 3 )
CICR CR
RI
经计算,有 ( 3 )
( 3 ) ( )2
( 3 )
0,0 0 1 7 60,0 1 6 0,0 1 9 0,1
0,5 8
CICR CR
RI
第 3层整体通过一致性检验其中 )3(5)3(1,,RIRI?为随机一致性指标 (相等 )
定义第 3层对第 1层的 组合一致性比率
30
层次分析法的基本步骤
1) 建立层次分析结构模型深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层 (目标 —准则 —方案 ),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立
2) 构造成对比较阵用成对比较法和 1~9尺度,构造各层对上一层每一因素的成对比较阵
31
3) 计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量,作一致性检验,若通过,则特征向量为权向量
4)计算组合权向量 (作组合一致性检验 *)
组合权向量可作为决策的定量依据
32
判断矩阵的计算方法通过前面的介绍，我们知道，在层次分析方法中,最根本的计算任务 是求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代数知识去求解，并且能够利用计算机求得任意高精度的结果。
但事实上，层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围。因此，
我们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。
三种方法：和法、根法和幂法
33
判断矩阵和积法计算步骤,
34
14161
4121
621
//
/A
列向量归一化
0910077010
3640308030
5450615060
...
...
...
35
精确计算，得 0133 0900 3220 5880,),.,.,.(w
求和
2680
9720
7601
.
.
,归一化
w?
0890
3240
5870
.
.
.
2680
9740
7691
.
.
.
Aw
0 0930 890 2 6803 240 9 7405 870 7 69131,)......(
36
国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位臵供选择的岗位例 1 国家实力分析例 2 工作选择层次分析法的广泛应用
37
待评价的科技成果直接经济效益
C4
间接经济效益
C5
社会效益
C6
学识水平
C7
学术创新
C8
技术水平
C9
技术创新
C10
效益 C1 水平 C2 规模 C3
科技成果评价例 3 科技成果的综合评价
38
层次分析法的优点和局限性
1 系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、
比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
2 实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，
应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。
39
3 简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
40
1、只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。
2、该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。
3、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，
人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取 专家群体判断的办法 是克服这个缺点的一种途径。
层次分析法的局限性
41
作业：
教材 97页 9
鲁志波信息工程大学理学院第五讲 层次分析法
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背景
■ 日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大的作用,各因素的重要性难以量化
■ Saaty于 1970年代提出层次分析法 AHP
(Analytic Hierarchy Process)
■ AHP—一种 定性与定量相结合的,系统化,层次化 的分析方法
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问题提出例 1 购物
1,买钢笔，一般要依据 质量、颜色、实用性、价格、外形 等方面的因素选择某一支钢笔。
2,下馆子，则要依据馆子的 饭菜质量、区位条件、
档次,饭菜价格、服务质量 等方面因素来选择。
例 2 旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据 景色、费用、食宿条件、旅途 等因素选择去哪个地方。
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问题的提出例 3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据 个人兴趣、工作环境、
工资待遇、发展前途、住房条件 等因素择业。
例 4 科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的 可行性、应用价值、理论价值、被培养人才 等因素进行选题。
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层次分析法简介
层次分析法（ AHP）是美国匹兹堡大学教授 A,L.Saaty于
20世纪 70年代提出的一种系统分析方法。他模仿人的决策思维过程，开发一种综合 定性的定量相结合 的分析方法，
主要解决 多因素复杂系统,特别是 难以定量描述的社会系统 的分析方法。
1977年第一届国际数学建模会议上,Saaty发表了,无结构决策问题的建模 —层次分析理论,,开始引起人们注意。
1980年后陆续出版相关的专著和文章，其理论逐步走向成熟。 1982年引入我国，天津大学许树柏等发表我国第一篇介绍 AHP的论文，此后在我国得到广泛的应用。 1988年专门在天津召开国际 AHP学术研讨会，使得在我国得到广泛运用。
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基本的思路
------先分解后综合的系统思想
整理和综合人们的主观判断，使 定性分析与定量分析有机结合,实现定量化决策。
首先将所要分析的 问题层次化,根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次 聚类组合,形成一个多层分析结构模型，最终归结为 最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）
相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。
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层次分析法基本原理假定我们已知 n只西瓜的重量和为 1，每只西瓜的重量分别为 W1,W2,…,Wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示 n
只西瓜相对重量关系的比较矩阵：
A= =（ aij） nxn
显然 aii= 1,aij =1/aji,aij =aik/ajk,i,j,k= 1,2,…,n
8
那么就有：
AW= = =nW
即 n是 A的一个特征根，每只西瓜的重量是 A对应于特征根 n的特征向量的各个分量。
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很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵 具有完全一致的条件下,我们可以通过解特征值问题
AW= λmaxW
求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为 1），从而得到
n 只西瓜的相对重量。
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问题分析问题,选择旅游景点假期到了,现有桂林、黄山、北戴河 三个旅游地供你选择,如何在三个目的地中选择?
层次分析模型影响决定的因素有景色、费用、居住、饮食和旅途条件等不同的人对这些因素的关注程度是不同的三个旅游景点里这些因素的优劣程度也不同不同的人会选择不同的目的地
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目标层 O(选择旅游景点 )
P2
黄山
P1
桂林
P3
北戴河准则层方案层
C3
居住
C1
景色
C2
费用
C4
饮食
C5
旅途用层次结构描述问题
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层次分解时的注意事项
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低 AHP法的结果质量，
甚至导致 AHP法决策失败。
1、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时候可以咨询相关的专家
2、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多
3、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较
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“选择旅游景点,思维过程的归纳
■ 将决策问题分为 3个层次,目标层 O,准则层 C,方案层 P; 每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示
■ 通过 相互比较 确定各准则对目标的 权重,
及各方案对每一准则的 权重
■ 将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的 权重层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成以上步骤,给出决策问题的定量结果
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1( ),0,
ij n n ij ji ijaA a a a
模型建立及求解构造成对比较阵元素之间两两对比,对比采用相对尺度设要比较各准则 C1,C2,…,C n对目标 O的重要性
ijji aCC?:
比较尺度比较 Ci 和 Cj 对上层因素 O的影响时如何选取 aij
Saaty等人提出 1~9尺度,即 aij 取值 1,2,…,9 及其互反数 1,1/2,…,1/9
便于定性到定量的转化
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（ 1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在 5～ 9级之间，采用 1 ～ 9的标度反映了大多数人的判断能力；
（ 2）大量的社会调查表明,1～ 9的比例标度早已为人们所熟悉和采用；
（ 3）科学考察和实践表明,1～ 9的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。
为什么采用 1～ 9级的指标比例呢？
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判断过程中的问题
1,合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）
2、创造适合于咨询工作的良好环境；（介绍 AHP方法，
提供信息，独立思考）
3、正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构，
设计好表格）
4、及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮次咨询
5、专家数量根据实际情况确定，一般为 20— 50位
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1~9尺度的含义尺度 1 3 5 7 9
ija
相同 稍强 强 明显强 绝对强的重要性
ji CC,
2 4 6 8
ji CC,~
aij = 1/2,…,1/9 的重要性与上面相反利用 1~9尺度得到成对比较阵
1135/13/1
1125/13/1
3/12/117/14/1
55712
3342/11
A 正互反阵
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a12=1/2 表明 C1与 C2对目标 O的重要性之比为 1:2
a13=4 表明 C1与 C3对目标 O的重要性之比为 4:1
第二行各元素均不低过 1,说明此人最看重费用因素第一行各元素又比第三、四、五行相应元素大,表明景色因素次之该矩阵中,C2与 C1之比为 2:1,C1与 C3之比为 4:1
C2与 C3之比为 7:1而不是 8:1
成对比较阵不是全部一致的要由 A确定 C1,…,C n对 O的 权向量
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n
nnn
n
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w
w
w
w
w
w
w
w
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w
w
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21
2
2
2
1
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1
1
1
完全一致的情况
nwwwW?,,)1( 21 /i j i ja w w?令
12(,,) ~Tnw w w w? 权 向 量
20
wAw
,,,1,2,,.ij jk ika a a i j k n
正互反阵 A被称为 一致阵,若 A满足
■ A的秩为 1,A的唯一非零特征根为 n
■ A的任一列向量都是对应于 n 的特征向量
■ A的归一化特征向量可作为权向量对于 不一致 (但在允许范围内 )的成对比较阵 A,建议用对应于最大特征根?的特征向量作为权向量 w,即一致阵性质一致阵
21
一致性检验一致性检验是对 A确定不一致的允许范围已知,n 阶一致阵的唯一非零特征根为 n
可证,n 阶正互反阵最大特征根n,且?=n时为一致阵
1?
n
nCI?定义 一致性指标
CI 越大,不一致越严重为衡量 CI 的大小,引入 随机一致性指标 RI
随机模拟得到 aij,形成 A,计算 CI 即得 RI
22
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1110
定义 一致性比率 CR = CI/RI
CR<0.1时,通过一致性检验
Saaty的结果旅游问题的准则层对目标的权向量及一致性检验最大特征根?=5.073
特征向量 w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
018.0
15
5073.5?
CI一致性指标
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随机一致性指标 RI=1.12 (查表 )
一致性比率 CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致性检验同样方法构造第 3层 (方案层 )对第 2层中每个准则的成对比较阵,例如,
12/15/1
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B,
138
3/113
8/13/11
2
B,
13/13/1
311
311
3
B
,
114/1
113/1
431
4
B,
144
4/111
4/111
5
B
24
其中 Bk中的元素 bij(k)是方案 Pi 与 Pj 对于准则 Ck
的优越性比较尺度。求出相应的归一化特征向量、最大特征根和一致性指标第 3层对第 2层的计算结果
k
)3(kw
k?
kCI
1
0.595
0.277
0.129
3.005
0.003 0.001 0 0.005 0
3.002
0.682
0.236
0.082
2
3
0.142
0.429
0.429
3
3.009
0.175
0.193
0.633
4
3
0.668
0.166
0.166
5
RI=0.58 (n=3) 均通过一致性检验
25
组合权向量方案 P1对目标的组合权重,0.595?0.263+…=0.300
方案层对目标的组合权向量,(0.300,0.246,0.456)T
设想将一块含有金,银,铜的单位重量金属分成 5块 C1,…,C 5,每块所占的比例分别为
(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110),而金在 C1,…,
C5中所占的比例分别为 (0.595,0.082,0.429,
0.633,0.166),则金占整块金属的比例即为相应的两两乘积之和。 选择方案
P3
26
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1(,,)
T
nw w w?
)2()3()3( wWw?
第 1层 O
第 2层 C1,…C n
第 3层 P1,…P m
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )1(,,),1,2,,Tk k k mw w w k n
第 2层对第 1层的权向量第 3层对第 2层各元素的权向量
],,[ )3()3(1)3( nwwW构造矩阵第 3层对第 1层的组合权向量
3个层次的组合权向量
27
更一般地,对于 s个层次的决策问题,第 k
层对第 1层 (设只有一个元素 )的组合权向量为
w(k)=W(k)w(k-1),k=3,4,… s
其中 W(k)是以第 k 层对第 k-1层的权向量为列向量组成的矩阵。
于是第 s层对第 1层的组合权向量为
w(s)=W(s) W(s-1) … W(3) w(2)
28
组合一致性检验在旅游问题中,第 2层对第 1层的成对比较阵
A及第 3层对第 2层的成对比较阵 B1,…,B5都通过一致性检验,但 B1,…,B5是独立给出的,还需检验其组合一致性。
记 B1,…,B5的一致性指标分别为 CI1(3),…,
CI5(3),定义反映了 B1,…,B5对第 1层的整体不一致程度相应的定义
( 3) ( 3) ( 3) ( 2 )15,,R I R I R I w?
( 3) ( 3) ( 3) ( 2 )15,,C I C I C I w?
29
( 3 )
( 3 ) ( )2
( 3 )
CICR CR
RI
经计算,有 ( 3 )
( 3 ) ( )2
( 3 )
0,0 0 1 7 60,0 1 6 0,0 1 9 0,1
0,5 8
CICR CR
RI
第 3层整体通过一致性检验其中 )3(5)3(1,,RIRI?为随机一致性指标 (相等 )
定义第 3层对第 1层的 组合一致性比率
30
层次分析法的基本步骤
1) 建立层次分析结构模型深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层 (目标 —准则 —方案 ),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立
2) 构造成对比较阵用成对比较法和 1~9尺度,构造各层对上一层每一因素的成对比较阵
31
3) 计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量,作一致性检验,若通过,则特征向量为权向量
4)计算组合权向量 (作组合一致性检验 *)
组合权向量可作为决策的定量依据
32
判断矩阵的计算方法通过前面的介绍，我们知道，在层次分析方法中,最根本的计算任务 是求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代数知识去求解，并且能够利用计算机求得任意高精度的结果。
但事实上，层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围。因此，
我们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。
三种方法：和法、根法和幂法
33
判断矩阵和积法计算步骤,
34
14161
4121
621
//
/A
列向量归一化
0910077010
3640308030
5450615060
...
...
...
35
精确计算，得 0133 0900 3220 5880,),.,.,.(w
求和
2680
9720
7601
.
.
,归一化
w?
0890
3240
5870
.
.
.
2680
9740
7691
.
.
.
Aw
0 0930 890 2 6803 240 9 7405 870 7 69131,)......(
36
国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位臵供选择的岗位例 1 国家实力分析例 2 工作选择层次分析法的广泛应用
37
待评价的科技成果直接经济效益
C4
间接经济效益
C5
社会效益
C6
学识水平
C7
学术创新
C8
技术水平
C9
技术创新
C10
效益 C1 水平 C2 规模 C3
科技成果评价例 3 科技成果的综合评价
38
层次分析法的优点和局限性
1 系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、
比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
2 实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，
应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。
39
3 简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
40
1、只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。
2、该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。
3、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，
人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取 专家群体判断的办法 是克服这个缺点的一种途径。
层次分析法的局限性
41
作业：
教材 97页 9
