浙江大学复变函数与积分变换贾厚玉
mjhy@zju.edu.cn
浙江大学第一章 复数与复变函数第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 级数第五章 留数第六章 保角映射第七章 Laplace变换浙江大学第一章 复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续浙江大学复数及其代数运算
a) 复数：一对有序实数（ x,y），记为 z=x+ i y
12i规定：
212121,yyxxzz
)()( 212121 yyixxzz
)()( 2121212121 xyyxiyyxxzz
浙江大学
22
11
2
1
iyx
iyx
z
z
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
22
22
22
11
iyx
iyx
iyx
iyx
2
2
2
2
21122121
yx
yxyxiyyxx
浙江大学
c) 共轭复数：
iyxz,iyxz 互为共轭复数
,zz? 22 yxzz
,Re22 zxzz ziiyzz Im22
2121 zzzz 2121 zzzz?
2
1
2
1
z
z
z
z
容易验证浙江大学
d) 复平面一对有序实数（ x,y） 平面上一点 P
复数 z = x + i y
x
y
z = x + i y
O
实轴,虚轴、复平面
Z 平面,w 平面浙江大学
e) 复数的几种表示法几何表示,平面上一矢量与一复数 z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。
x
y
O
21 zz?
1z
2z
2121 zzzz加法运算浙江大学
x
y
O
21 zz?
1z
2z
2z?
2121 zzzz
减法运算浙江大学复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数 z，
s in
c o s
ry
rx
x
y
yxr
a r c t a n
22
则复数 z 可表示为三角式, s inc o s irz
irez?指数式,
zr?
z A r g
复数的 模复数的 幅角浙江大学讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把的幅角称为 Arg z的主值。记为
0
za r g0
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。
3）当 r = 1时，复数 z称为单位复数。
利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
浙江大学
),s in( c o s 1111 irz设 )s in( c o s 2222 irz
)s i n) ( c o ss i n( c o s 22112121 iirrzz
)]s i n ()[ c o s ( 212121 irr
定理
2121 zzzz?
)()()( 2121 zA r gzA r gzzA r g
注意 多值性
x
y
O
1z
2z
21zz
浙江大学指数形式表示
)(212121 2121 iii errererzz
推广至有限个复数的乘法
)(
21
2121
21
21
n
n
i
n
i
n
ii
n
errr
erererzzz
浙江大学除法运算 0
1?z
1
1
2
2 zz
zz?
1
1
2
2 zz
z
z?
1
1
2
2 A r g A r g A r g zz
zz
,
1
2
1
2
z
z
z
z
12
1
2 A r g- A r g A r g zz
z
z?
)(
1
2
1
2 12 ie
r
r
z
z或者浙江大学例：已知正三角形的两个顶点为,1
1?z iz 22
求三角形的另一个顶点。
x
y
O
1z
2z
3z 31213 )(
i
ezzzz
)
2
3
2
1)(1( ii
iz
2
31
2
33
3
iz
2
31
2
33
3
i
2
31
2
31
浙江大学复数的乘幂
n个相同复数 z的乘积成为 z的 n次幂 nz
)s i n( c o s ninrzzzz nn
复数的方根设?irez? 为已知复数,n为正整数，则称满足方程
zw n?
的所有 w值为 z的 n次方根，并且记为 n zw?
浙江大学设, iew? 则
iinn ree?
rn iin ee?
,n r,2 kn,2,1,0k
即
,n r,2
n
k,2,1,0k
)2s i n2( c o s
12
n
ki
n
krerw nn kin
浙江大学当 k＝ 0,1,2,…,n－ 1时，得到 n个相异的根：
)s in( c o s
1
0 ninrw
n
)2s i n2( c o s
1
1 ninrw
n
))1(2s i n)1(2( c o s
1
1 n
ni
n
nrw n
n
)4s i n4( c o s
1
2 ninrw
n
浙江大学例：
3 8?
)s in( c o s28 3 i
)3 2s i n3 2( c o s283 kik
2,1,0?k
即
2
1
0
31
2
31
83
k
k
k
i
i
浙江大学复球面与无穷远点
z
P
N球极平面射影法取一个在原点 O与 z平面相切的球面，
过 O点作 z平面的垂线与球面交于 N
点（称为北极或者球极）。
}{\2 NS 平面z
zP
对于平面上的任一点 z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于 P。
浙江大学从几何上可以看出：
Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点 z
的模越大，球面上相应的点则越靠近北极 N。
由此我们引进一个理想“点”
与北极 N对应。称之为无穷远点
扩充复平面 ＝ 复平面＋?
,, zz
约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外
,0,, 等也没有意义。
N
浙江大学复平面点集与区域
（ 1）邻域 }:{),(
00 rzzCzrzB
（ 2）去心邻域 }0:{}{\),(
000 rzzCzzrzB
（ 3）内点点 z是点集 E的内点存在 z的某个 r邻域含于 E内，即 ErzB?),(
0
（ 4）外点点 z是点集 E的外点 存在 z的某个 r邻域不含 E内的点
ErzB ),( 0
浙江大学
（ 5）边界点 点 z 既非 E 的内点，又非 E 的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有 E的内点，
又同时含有 E的外点。
（ 6）开集 点集 E中的点全是内点
（ 7）闭集 开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。
（ 8）连通集 E中任意两点可以用一条全在 E中的曲线连接起来。
（ 9）区域 非空的连通开集浙江大学
（ 10）有界区域如果存在正数 M，使得对于一切 D中的点 z，有
Mz?
（ 11） 简单曲线、光滑曲线
ttiytxtzzz ),()()(:点集称为 z平面上的一条有向曲线。
)(tzz?
)(?zA?
)(?zB?
则称 D为有界区域。
浙江大学简单曲线,)()(,
2121 tztztt
简单闭曲线：
光滑曲线,存在、连续且不全为零)(),( tytx
（ 12）单连通区域设 D为复平面上的区域，若在 D内的任意简单闭曲线的内部仍属于 D，则称 D为 单连通区域,否则称 多连通区域 。
没有交叉点。
浙江大学平面图形的复数表示很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）
来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。
例,Z平面上以原点为中心,R为半径的圆周方程为
Rz?
Z平面上以 z_0为中心,R为半径的圆周方程为
Rzz 0
浙江大学例,（ 1）连接 z
1 和 z2两点的线段的参数方程为
)10( ),( 121 tzztzz
（ 2）过两点 z1 和 z2的直线 L的参数方程为
)( ),( 121 tzztzz
（ 3） z1,z2,z3 三点共线得充要条件为
)(t,
12
13 为一非零实数t
zz
zz?
浙江大学例,考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。
（ 1） 22 ziz
该方程表示到点 2i和－ 2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点 2i 和－ 2的线段的垂直平分线，
它的方程为 y = － x。
（ 2） 4)I m ( zi
设 z = x+ iy,
4))1(I m ()I m ( yixzi
3y
浙江大学
（ 3）
4)a r g (
iz
)arg( iz? 表示实轴方向与由点 i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为 45度的一条半射线。（不包括 i点）
（ 4） 1Re 2?z
ix yyxiyxz 2)()( 2222
1Re 222 yxz
1Im 2?z
浙江大学例,指出不等式
4a r g0
iz
iz 中点 z的轨迹所在范围。
解：
2222
22
)1(
2
)1(
1
yx
xi
yx
yx
iz
iz
因为,
4a r g0
iz
iz 所以
0)1( 2)1( 1 2222
22
yx xyx yx
于是有
xyx
yx
x
21
01
02
22
22
2)1(
1
0
22
22
yx
yx
x
浙江大学它表示在圆 2)1( 22 yx
外且属于左半平面的所有点的集合
i
浙江大学复 变 函 数复变函数的定义设 D 是复变数 z的一个集合，对于 D 中的每一个 z，按照一定的规律，有一个或多个复数 w的值与之对应，则称
w为定义在 D 上的 复变函数,记做
D)(z )( zfw
单值函数 f(z),对于 D中的每个 z，有且仅有一个 w与之对应。
多值函数 f(z),对于 D中的每个 z，有两个或两个以上 w 与之对应。
浙江大学
GD,)( zfw
定义：
我们主要考虑 单值函数
f(z)是 单射 （或一对一映射）
对于任意,21 zz? ).()( 21 zfzf?
f(z)是 满射 GDf?)(
f(z)是 双射 f(z) 既是 单射，又是满射。
浙江大学
GD,)( zfw iyxz
),(),( yxivyxuivuw
22 iyxzw
i222 xyyx
例,
xyyxvyxyxu 2),(,),( 22
)2s i n2( c o s22 irzw
浙江大学
0rz?
2zw?
2
0rw?
zarg
0r
2arg?w
2
0r
浙江大学
2zw?
ayx 22
bxy?2
au?
bv?
2zw?
浙江大学复变函数的极限与连续函数的极限定义：设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域,0
0 rzz
如果有一确定的数 A存在，对于任意给定的,0
相应地必有一正数,? 使得当 时有 00 zz
Azf )(
那么称 A为 f (z) 当 z 趋向 z0时的极限，记作
Azfzz )(lim
0
浙江大学
)(zf
几何意义,当变点 z一旦进入 z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z)就落入 A的预先给定的小邻域内。
关于极限的计算，有下面的定理。
注意,z趋于 z0的方式是任意的，就是说，无论 z从什么方向，
以何种方式趋向于 z0,f(z)都要趋向于同一个常数。
浙江大学定理一 ibaAzf
zz )(lim 0
ayxu
yy
xx?
),(lim
0
0
byxv
yy
xx?
),(lim
0
0
定理二
)(lim)(lim)]()([lim
000
zgzfzgzf zzzzzz
)(lim)(lim)]()([lim
000
zgzfzgzf zzzzzz
)(lim
)(lim
)(
)(lim
0
0
0 zg
zf
zg
zf
zz
zz
zz
浙江大学例 证明函数
z
zzf Re)(? 当 z趋于 0时的极限不存在。
解法一 令 z=x+iy,则
22
Re)(
yx
x
z
zzf
0),(,),(
22
yxv
yx
xyxu
22200 1
1
)(
lim),(lim
kkxx
xyxu
kxy
x
kxy
x?
所以极限不存在。
浙江大学解法 2 利用复数的三角表示式
c o sc o sRe)( rrz zzf
当 z沿着不同的射线zarg 趋于零时,f(z) 趋于不同的值。
如 0a r gz
2a r g
z
1)(?zf
0)(?zf
极限不存在。
浙江大学函数的连续
),()(lim 0
0
zfzfzz如果 那么 f(z)在 z0处连续。
如果 f(z)在 D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。
定理,f(z)在 z0处连续的充分必要条件是 u(x,y),v(x,y)
在（ x0,y0）处连续。
连续函数的四则运算、复合运算都成立 。
有界闭区域上的连续函数的最值定理。
浙江大学例：
1
22lim
21?
z
zzzz
z )1)(1(
)1)(2(lim
1
zz
zz
z 2
3
1
2lim
1
z
z
z
例,研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性
00?z 因为 无意义，0a r g z 故在原点不连续。
0,0 xxz 且 不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。
其余地方均连续。
浙江大学例,证明：若 |z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0,则 z1,z2,z3是内接于单位圆 |z|=1的一个正三角形的三顶点。
证明,由于,1
321 zzz 所以 z1,z2,z3
位于单位圆上。又 0
321 zzz
得,321 zzz
13321 zzzz
即
))((1 2121221 zzzzzz
122122212121 ||||))(( zzzzzzzzzz
11221 zzzz
补充例子浙江大学
))(( 2121221 zzzzzz
12212221 |||| zzzzzz
3)1(2
321 zz
同理可以得到
.31332 zzzz
得证。
浙江大学
x证明
2121 zzzz
y
))(( 2121221 zzzzzz
22122111 zzzzzzzz
222111 )R e (2 zzzzzz
222111 2 zzzzzz
2
221
2
1 2 zzzz221 zz
yxz
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浙江大学第一章 复数与复变函数第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 级数第五章 留数第六章 保角映射第七章 Laplace变换浙江大学第一章 复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续浙江大学复数及其代数运算
a) 复数：一对有序实数（ x,y），记为 z=x+ i y
12i规定：
212121,yyxxzz
)()( 212121 yyixxzz
)()( 2121212121 xyyxiyyxxzz
浙江大学
22
11
2
1
iyx
iyx
z
z
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
22
22
22
11
iyx
iyx
iyx
iyx
2
2
2
2
21122121
yx
yxyxiyyxx
浙江大学
c) 共轭复数：
iyxz,iyxz 互为共轭复数
,zz? 22 yxzz
,Re22 zxzz ziiyzz Im22
2121 zzzz 2121 zzzz?
2
1
2
1
z
z
z
z
容易验证浙江大学
d) 复平面一对有序实数（ x,y） 平面上一点 P
复数 z = x + i y
x
y
z = x + i y
O
实轴,虚轴、复平面
Z 平面,w 平面浙江大学
e) 复数的几种表示法几何表示,平面上一矢量与一复数 z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。
x
y
O
21 zz?
1z
2z
2121 zzzz加法运算浙江大学
x
y
O
21 zz?
1z
2z
2z?
2121 zzzz
减法运算浙江大学复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数 z，
s in
c o s
ry
rx
x
y
yxr
a r c t a n
22
则复数 z 可表示为三角式, s inc o s irz
irez?指数式,
zr?
z A r g
复数的 模复数的 幅角浙江大学讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把的幅角称为 Arg z的主值。记为
0
za r g0
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。
3）当 r = 1时，复数 z称为单位复数。
利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
浙江大学
),s in( c o s 1111 irz设 )s in( c o s 2222 irz
)s i n) ( c o ss i n( c o s 22112121 iirrzz
)]s i n ()[ c o s ( 212121 irr
定理
2121 zzzz?
)()()( 2121 zA r gzA r gzzA r g
注意 多值性
x
y
O
1z
2z
21zz
浙江大学指数形式表示
)(212121 2121 iii errererzz
推广至有限个复数的乘法
)(
21
2121
21
21
n
n
i
n
i
n
ii
n
errr
erererzzz
浙江大学除法运算 0
1?z
1
1
2
2 zz
zz?
1
1
2
2 zz
z
z?
1
1
2
2 A r g A r g A r g zz
zz
,
1
2
1
2
z
z
z
z
12
1
2 A r g- A r g A r g zz
z
z?
)(
1
2
1
2 12 ie
r
r
z
z或者浙江大学例：已知正三角形的两个顶点为,1
1?z iz 22
求三角形的另一个顶点。
x
y
O
1z
2z
3z 31213 )(
i
ezzzz
)
2
3
2
1)(1( ii
iz
2
31
2
33
3
iz
2
31
2
33
3
i
2
31
2
31
浙江大学复数的乘幂
n个相同复数 z的乘积成为 z的 n次幂 nz
)s i n( c o s ninrzzzz nn
复数的方根设?irez? 为已知复数,n为正整数，则称满足方程
zw n?
的所有 w值为 z的 n次方根，并且记为 n zw?
浙江大学设, iew? 则
iinn ree?
rn iin ee?
,n r,2 kn,2,1,0k
即
,n r,2
n
k,2,1,0k
)2s i n2( c o s
12
n
ki
n
krerw nn kin
浙江大学当 k＝ 0,1,2,…,n－ 1时，得到 n个相异的根：
)s in( c o s
1
0 ninrw
n
)2s i n2( c o s
1
1 ninrw
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))1(2s i n)1(2( c o s
1
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ni
n
nrw n
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)4s i n4( c o s
1
2 ninrw
n
浙江大学例：
3 8?
)s in( c o s28 3 i
)3 2s i n3 2( c o s283 kik
2,1,0?k
即
2
1
0
31
2
31
83
k
k
k
i
i
浙江大学复球面与无穷远点
z
P
N球极平面射影法取一个在原点 O与 z平面相切的球面，
过 O点作 z平面的垂线与球面交于 N
点（称为北极或者球极）。
}{\2 NS 平面z
zP
对于平面上的任一点 z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于 P。
浙江大学从几何上可以看出：
Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点 z
的模越大，球面上相应的点则越靠近北极 N。
由此我们引进一个理想“点”
与北极 N对应。称之为无穷远点
扩充复平面 ＝ 复平面＋?
,, zz
约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外
,0,, 等也没有意义。
N
浙江大学复平面点集与区域
（ 1）邻域 }:{),(
00 rzzCzrzB
（ 2）去心邻域 }0:{}{\),(
000 rzzCzzrzB
（ 3）内点点 z是点集 E的内点存在 z的某个 r邻域含于 E内，即 ErzB?),(
0
（ 4）外点点 z是点集 E的外点 存在 z的某个 r邻域不含 E内的点
ErzB ),( 0
浙江大学
（ 5）边界点 点 z 既非 E 的内点，又非 E 的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有 E的内点，
又同时含有 E的外点。
（ 6）开集 点集 E中的点全是内点
（ 7）闭集 开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。
（ 8）连通集 E中任意两点可以用一条全在 E中的曲线连接起来。
（ 9）区域 非空的连通开集浙江大学
（ 10）有界区域如果存在正数 M，使得对于一切 D中的点 z，有
Mz?
（ 11） 简单曲线、光滑曲线
ttiytxtzzz ),()()(:点集称为 z平面上的一条有向曲线。
)(tzz?
)(?zA?
)(?zB?
则称 D为有界区域。
浙江大学简单曲线,)()(,
2121 tztztt
简单闭曲线：
光滑曲线,存在、连续且不全为零)(),( tytx
（ 12）单连通区域设 D为复平面上的区域，若在 D内的任意简单闭曲线的内部仍属于 D，则称 D为 单连通区域,否则称 多连通区域 。
没有交叉点。
浙江大学平面图形的复数表示很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）
来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。
例,Z平面上以原点为中心,R为半径的圆周方程为
Rz?
Z平面上以 z_0为中心,R为半径的圆周方程为
Rzz 0
浙江大学例,（ 1）连接 z
1 和 z2两点的线段的参数方程为
)10( ),( 121 tzztzz
（ 2）过两点 z1 和 z2的直线 L的参数方程为
)( ),( 121 tzztzz
（ 3） z1,z2,z3 三点共线得充要条件为
)(t,
12
13 为一非零实数t
zz
zz?
浙江大学例,考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。
（ 1） 22 ziz
该方程表示到点 2i和－ 2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点 2i 和－ 2的线段的垂直平分线，
它的方程为 y = － x。
（ 2） 4)I m ( zi
设 z = x+ iy,
4))1(I m ()I m ( yixzi
3y
浙江大学
（ 3）
4)a r g (
iz
)arg( iz? 表示实轴方向与由点 i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为 45度的一条半射线。（不包括 i点）
（ 4） 1Re 2?z
ix yyxiyxz 2)()( 2222
1Re 222 yxz
1Im 2?z
浙江大学例,指出不等式
4a r g0
iz
iz 中点 z的轨迹所在范围。
解：
2222
22
)1(
2
)1(
1
yx
xi
yx
yx
iz
iz
因为,
4a r g0
iz
iz 所以
0)1( 2)1( 1 2222
22
yx xyx yx
于是有
xyx
yx
x
21
01
02
22
22
2)1(
1
0
22
22
yx
yx
x
浙江大学它表示在圆 2)1( 22 yx
外且属于左半平面的所有点的集合
i
浙江大学复 变 函 数复变函数的定义设 D 是复变数 z的一个集合，对于 D 中的每一个 z，按照一定的规律，有一个或多个复数 w的值与之对应，则称
w为定义在 D 上的 复变函数,记做
D)(z )( zfw
单值函数 f(z),对于 D中的每个 z，有且仅有一个 w与之对应。
多值函数 f(z),对于 D中的每个 z，有两个或两个以上 w 与之对应。
浙江大学
GD,)( zfw
定义：
我们主要考虑 单值函数
f(z)是 单射 （或一对一映射）
对于任意,21 zz? ).()( 21 zfzf?
f(z)是 满射 GDf?)(
f(z)是 双射 f(z) 既是 单射，又是满射。
浙江大学
GD,)( zfw iyxz
),(),( yxivyxuivuw
22 iyxzw
i222 xyyx
例,
xyyxvyxyxu 2),(,),( 22
)2s i n2( c o s22 irzw
浙江大学
0rz?
2zw?
2
0rw?
zarg
0r
2arg?w
2
0r
浙江大学
2zw?
ayx 22
bxy?2
au?
bv?
2zw?
浙江大学复变函数的极限与连续函数的极限定义：设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域,0
0 rzz
如果有一确定的数 A存在，对于任意给定的,0
相应地必有一正数,? 使得当 时有 00 zz
Azf )(
那么称 A为 f (z) 当 z 趋向 z0时的极限，记作
Azfzz )(lim
0
浙江大学
)(zf
几何意义,当变点 z一旦进入 z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z)就落入 A的预先给定的小邻域内。
关于极限的计算，有下面的定理。
注意,z趋于 z0的方式是任意的，就是说，无论 z从什么方向，
以何种方式趋向于 z0,f(z)都要趋向于同一个常数。
浙江大学定理一 ibaAzf
zz )(lim 0
ayxu
yy
xx?
),(lim
0
0
byxv
yy
xx?
),(lim
0
0
定理二
)(lim)(lim)]()([lim
000
zgzfzgzf zzzzzz
)(lim)(lim)]()([lim
000
zgzfzgzf zzzzzz
)(lim
)(lim
)(
)(lim
0
0
0 zg
zf
zg
zf
zz
zz
zz
浙江大学例 证明函数
z
zzf Re)(? 当 z趋于 0时的极限不存在。
解法一 令 z=x+iy,则
22
Re)(
yx
x
z
zzf
0),(,),(
22
yxv
yx
xyxu
22200 1
1
)(
lim),(lim
kkxx
xyxu
kxy
x
kxy
x?
所以极限不存在。
浙江大学解法 2 利用复数的三角表示式
c o sc o sRe)( rrz zzf
当 z沿着不同的射线zarg 趋于零时,f(z) 趋于不同的值。
如 0a r gz
2a r g
z
1)(?zf
0)(?zf
极限不存在。
浙江大学函数的连续
),()(lim 0
0
zfzfzz如果 那么 f(z)在 z0处连续。
如果 f(z)在 D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。
定理,f(z)在 z0处连续的充分必要条件是 u(x,y),v(x,y)
在（ x0,y0）处连续。
连续函数的四则运算、复合运算都成立 。
有界闭区域上的连续函数的最值定理。
浙江大学例：
1
22lim
21?
z
zzzz
z )1)(1(
)1)(2(lim
1
zz
zz
z 2
3
1
2lim
1
z
z
z
例,研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性
00?z 因为 无意义，0a r g z 故在原点不连续。
0,0 xxz 且 不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。
其余地方均连续。
浙江大学例,证明：若 |z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0,则 z1,z2,z3是内接于单位圆 |z|=1的一个正三角形的三顶点。
证明,由于,1
321 zzz 所以 z1,z2,z3
位于单位圆上。又 0
321 zzz
得,321 zzz
13321 zzzz
即
))((1 2121221 zzzzzz
122122212121 ||||))(( zzzzzzzzzz
11221 zzzz
补充例子浙江大学
))(( 2121221 zzzzzz
12212221 |||| zzzzzz
3)1(2
321 zz
同理可以得到
.31332 zzzz
得证。
浙江大学
x证明
2121 zzzz
y
))(( 2121221 zzzzzz
22122111 zzzzzzzz
222111 )R e (2 zzzzzz
222111 2 zzzzzz
2
221
2
1 2 zzzz221 zz
yxz
