例 设 为解析函数，求的值.
)( 2323 cxyxiybxay +++
cba,,
解 设 ivucxyxiybxayzf +=+++= )()()( 2323
故 2323,cxyxvybxayu +=+=
,2bxyxu =,2cxyyv =,3 22 cyxxv +=,3 22 bxayyu +=
由于 解析，所以)(zf xvyuyvxu-==,
即,22 cbcxybxy = =
3,333 2222 -=-= --=+ bcacyxbxay
故,3,3,1 -=-== cba
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例 解方程 0sin =z
解 02 12sin
2
=-=-=
-
iz
iziziz
ie
e
i
eez
12 = ize
ikiz ee p= 22
.p= kz ),2,1,0( L––=k
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例 求出 的值.2)2(-
解 )2ln(22)2( -=- e
[ ])2(2ln2 p+p+= kie
]})12(2sin[])12(2{cos[2ln2 p++p+= kike
),2,1,0( L––=k
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B C -i
,Re()(
D i
)i
c
Czezdz
A
q
pp
q
p
pp
p
==
∫设是从-到的一周，则
2
Re()cos,(sincos)
cossincos
zdzid
Ididipp
qqqq
qq qqp
==?+
=?+=∫∫
(1
B C (1)
),12a
D 1+i444
rg( )
c
Czitzz
i
td
Aippp
=+=
+
∫设是从到的线段，则
arg,(1)4
(1)4
zdzidt
Ii
p
p
==+
=+
此直线上则
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4 B -4
,02
C 8
,1( )
D -8
i
c
Czezdz
A
q qp=?=∫设是单位圆从到则
22
2
0
1(1cos)sin2sin,2
2sin82
dzd
Idp
qqqq
q q
=?+==
==∫故
0 -s
1s
in2 2sin2
in ( )
2
-2sin2
i
zc
zCzedz
e
ABCDi
e
q
pp
==?∫设是圆，则
10z =被积函数除外处处解析，故积分为
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2 1,(1,0)10
sin(
0 B -cos2 C 1-cos2 D cos
1)( )
2-1
c
A
Cyx
zdz
=
+=∫
设是沿抛物线从到（，）的弧段，
则
(1,0)
(1,0)
sin(1)
-cos(1)1cos2
z
z?
+
=+=?
由 解析，积分和路径无关，且原式
2
1
0 B i
()cos(
C -2i D 2i
)
z
A
zzzdz
ppp
=
+=∫
2
2
11
2
0
coscos
2cos2
zz
z
zzd dz
z
izipp
==
=
=+∫∫ 原式
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1
2
2
1
0 B 2 ln() ( ) C -2 D
z
Ae iidz izzz ppp
=
=?∫
1
ln()22
z
ezii
zpp===原式
11-
11
22
-22 A 0 B 2ie C ie D 2tan () i
z
z
z dz
ze
ppp
=
+
=∫
1
' 2
01
2
tan2()2
z
z
ziie
e
pp?=
+
==原式
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0 B 2 C -2
1(
D 2
)
i
z
c
eCzzdz
z
A ppp
===∫为圆周正向和圆周负向组成，则由复合闭路定理知道原式为0
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解
22 2442 zzzz --?++,1124 =--?
.d42 )1cos(2
100
1 zzz
zz
z ++
++
=例计算
1￡z当 时,
故由柯西积分定理得
.0d42 )1cos(2
100
1 =++
++
= zzz
zz
z
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解
0
)1(
1 )1()!1(
2d)1(
=
-
= -
p=
z
n
z n n
i
z
z ;0=
0
)1(
1 )()!1(
2d)2(
=
-
= -
p=
z
nz
z n
z
en iz ze
0)!1(
2
=-
p=
z
ze
n
i,
)!1(
2
-
p=
n
i
.d)2(,d)1( 11 zzezz z n
z
z n ==
为大于1的自然数.n
例计算下列积分所以的奇点和是因为,10 n
z
n z
e
zz =
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( ) ( )cos0:1,cossinzC e dzeCz dp q qqp==∫∫计算证明
[ ]
0
cossin cossin
,22
:,,,
z
z
zC
i
zii i
iC
edziei
Cze
eeied died
ze
q
qqq qqpp
pp
qpp
=
+ +
==
=∈?
==
∫
∫∫∫
解由柯西积分公式得又因为则
()()
()cos
cos
cos
cossinsinsin
cossi sinsin
iid
e ddeq
p
ppq
qqq
q qq
=+
=?
∫
∫∫
()
()
cos
cos
0
cossin2
cos,:cossin
d
td
p
p
qqp
qqp
=
=
∫
∫
于是由于是偶函数可得
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(1)
12
n
n
n i
nz
=+
+ 的性质为（）
( A ) 收敛 （B）无界但非无穷大
( C ) ( D ) 有界但发散∞=∞→ nn zlim
222115
2(1)44n
nzD
n=+→+
（－）由 发散知数列发散，而有界，选
21lim10-1nei
n
eABiCDn?
→∞
＝（）
/2 1 0nie
n
p? 有界，而是无穷小量，故原式为
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2
1
11 5 B C 5 D
(34)( )
5 5
nn
n
i
A
z
∞
=
+∑ 的收敛半径为
22lim(34)5,nnn
n
izzD
→∞
+=? 收敛半径为
-5
11
2
8
02
nn
n
ABzC
z
z
∞
=
<<+∞<<
∑
级数的收敛域为（ ）
3
1
0
18
2
nn
n
z
zz
∞
=
>
<∑
由于级数有有限个负幂项，故而的收敛域为
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6
9
3(9)
3!
()cos,(0)
0
(
1
)
A
fzz
CCD
f
B
==设则
3612(9)11cos1,(0)0
2!4!zzzf=?+?=L 故
3
1 B -1 C 0 D
1 (1),11,( )
(1)
-2
n
n
n
n
azza
A
zz
=+∞
=?∞
>=? ∑设则
22
1 11(1)
1(1)(1)1(1)(1)
1
z zzz
z
==?+
+?
L
3 1a? =?故
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例 求级数
￥
=
--
0
1)12(
n
nn z 的收敛半径与和函数.
解 12 12limlim
1
1
-
-= +
￥fi
+
￥fi n
n
nn
n
n c
c因为,
2
1=R所以
,21时当 <z
zzzn
nn
---=-
￥
=
-
1
1
21
2)12(
1
1故
,2=
,12 <z,1 1
1
1
zzn
n
-=
￥
=
-
￥
=
--
￥
=
- =
1
11
1
1 222
n
nn
n
nn zz
z21
2
-=
.)1)(21( 1 zz --=
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10sin
1sin
z
z
ABCD
=是函数的（）
本性奇点 可去奇点 一级极点 非孤立奇点
11sin0
0
zkkz
zD
p==
=
取，为任意非零整数，都有故在 的任一领域都有该函数的无限个奇点，选
2(1)(1)
z
zzi
ze
ABCD
p=++是函数的（）
本性奇点二级极点 一级极点三级极点
2
'
1()()10
(1)0,
i
z
zi
zzizie
ei
p
pp
=
+=+?+=
+=?≠
及但故是该函数的二级极点
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00
0
()
()1()
fz zz
zzfz
ABCD
j
=
若在的洛朗级数有有限项，但不出现 的正整数幂的项，则是函数的（）
本性奇点极点 解析点 可去奇点
00
lim(),lim()0,
z zz
fzzj
→→
=∞=由 知为可去奇点
1 1
Re(sin,0)( )
0 B 1 C 0.5 D -0.5
zse
z
A
=
1
32
111111sin(1)()
3!
1
ze
zzzzzz=++?+=++LLL
留数为
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ln(1)Re,0)( )
1
0 1 -1 2
z
zs
e
ABCD
+ =
0
ln(1)lim100
1zz
z z
e→
+ ==
，故为可去奇点，留数为
1Re(,0)( )
ln(1)
0 B 1 C -1 D 2
ze
s z
A
+ =
+
0
(1)lim2
ln(1)
z
z
ze
z→
+=
+
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cossinzzz?=∞函数 在 的奇点类型和留数是什么？
cossinzzRz?<<∞∞由于 在 解析，故为本性奇点
1Re((),)
Re(cossin,)0
sfzC
szz
∞=?
∞=故
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)( 2323 cxyxiybxay +++
cba,,
解 设 ivucxyxiybxayzf +=+++= )()()( 2323
故 2323,cxyxvybxayu +=+=
,2bxyxu =,2cxyyv =,3 22 cyxxv +=,3 22 bxayyu +=
由于 解析，所以)(zf xvyuyvxu-==,
即,22 cbcxybxy = =
3,333 2222 -=-= --=+ bcacyxbxay
故,3,3,1 -=-== cba
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例 解方程 0sin =z
解 02 12sin
2
=-=-=
-
iz
iziziz
ie
e
i
eez
12 = ize
ikiz ee p= 22
.p= kz ),2,1,0( L––=k
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例 求出 的值.2)2(-
解 )2ln(22)2( -=- e
[ ])2(2ln2 p+p+= kie
]})12(2sin[])12(2{cos[2ln2 p++p+= kike
),2,1,0( L––=k
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B C -i
,Re()(
D i
)i
c
Czezdz
A
q
pp
q
p
pp
p
==
∫设是从-到的一周，则
2
Re()cos,(sincos)
cossincos
zdzid
Ididipp
qqqq
qq qqp
==?+
=?+=∫∫
(1
B C (1)
),12a
D 1+i444
rg( )
c
Czitzz
i
td
Aippp
=+=
+
∫设是从到的线段，则
arg,(1)4
(1)4
zdzidt
Ii
p
p
==+
=+
此直线上则
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4 B -4
,02
C 8
,1( )
D -8
i
c
Czezdz
A
q qp=?=∫设是单位圆从到则
22
2
0
1(1cos)sin2sin,2
2sin82
dzd
Idp
qqqq
q q
=?+==
==∫故
0 -s
1s
in2 2sin2
in ( )
2
-2sin2
i
zc
zCzedz
e
ABCDi
e
q
pp
==?∫设是圆，则
10z =被积函数除外处处解析，故积分为
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2 1,(1,0)10
sin(
0 B -cos2 C 1-cos2 D cos
1)( )
2-1
c
A
Cyx
zdz
=
+=∫
设是沿抛物线从到（，）的弧段，
则
(1,0)
(1,0)
sin(1)
-cos(1)1cos2
z
z?
+
=+=?
由 解析，积分和路径无关，且原式
2
1
0 B i
()cos(
C -2i D 2i
)
z
A
zzzdz
ppp
=
+=∫
2
2
11
2
0
coscos
2cos2
zz
z
zzd dz
z
izipp
==
=
=+∫∫ 原式
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1
2
2
1
0 B 2 ln() ( ) C -2 D
z
Ae iidz izzz ppp
=
=?∫
1
ln()22
z
ezii
zpp===原式
11-
11
22
-22 A 0 B 2ie C ie D 2tan () i
z
z
z dz
ze
ppp
=
+
=∫
1
' 2
01
2
tan2()2
z
z
ziie
e
pp?=
+
==原式
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0 B 2 C -2
1(
D 2
)
i
z
c
eCzzdz
z
A ppp
===∫为圆周正向和圆周负向组成，则由复合闭路定理知道原式为0
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解
22 2442 zzzz --?++,1124 =--?
.d42 )1cos(2
100
1 zzz
zz
z ++
++
=例计算
1￡z当 时,
故由柯西积分定理得
.0d42 )1cos(2
100
1 =++
++
= zzz
zz
z
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解
0
)1(
1 )1()!1(
2d)1(
=
-
= -
p=
z
n
z n n
i
z
z ;0=
0
)1(
1 )()!1(
2d)2(
=
-
= -
p=
z
nz
z n
z
en iz ze
0)!1(
2
=-
p=
z
ze
n
i,
)!1(
2
-
p=
n
i
.d)2(,d)1( 11 zzezz z n
z
z n ==
为大于1的自然数.n
例计算下列积分所以的奇点和是因为,10 n
z
n z
e
zz =
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( ) ( )cos0:1,cossinzC e dzeCz dp q qqp==∫∫计算证明
[ ]
0
cossin cossin
,22
:,,,
z
z
zC
i
zii i
iC
edziei
Cze
eeied died
ze
q
qqq qqpp
pp
qpp
=
+ +
==
=∈?
==
∫
∫∫∫
解由柯西积分公式得又因为则
()()
()cos
cos
cos
cossinsinsin
cossi sinsin
iid
e ddeq
p
ppq
qqq
q qq
=+
=?
∫
∫∫
()
()
cos
cos
0
cossin2
cos,:cossin
d
td
p
p
qqp
qqp
=
=
∫
∫
于是由于是偶函数可得
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(1)
12
n
n
n i
nz
=+
+ 的性质为（）
( A ) 收敛 （B）无界但非无穷大
( C ) ( D ) 有界但发散∞=∞→ nn zlim
222115
2(1)44n
nzD
n=+→+
（－）由 发散知数列发散，而有界，选
21lim10-1nei
n
eABiCDn?
→∞
＝（）
/2 1 0nie
n
p? 有界，而是无穷小量，故原式为
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2
1
11 5 B C 5 D
(34)( )
5 5
nn
n
i
A
z
∞
=
+∑ 的收敛半径为
22lim(34)5,nnn
n
izzD
→∞
+=? 收敛半径为
-5
11
2
8
02
nn
n
ABzC
z
z
∞
=
<<+∞<<
∑
级数的收敛域为（ ）
3
1
0
18
2
nn
n
z
zz
∞
=
>
<∑
由于级数有有限个负幂项，故而的收敛域为
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6
9
3(9)
3!
()cos,(0)
0
(
1
)
A
fzz
CCD
f
B
==设则
3612(9)11cos1,(0)0
2!4!zzzf=?+?=L 故
3
1 B -1 C 0 D
1 (1),11,( )
(1)
-2
n
n
n
n
azza
A
zz
=+∞
=?∞
>=? ∑设则
22
1 11(1)
1(1)(1)1(1)(1)
1
z zzz
z
==?+
+?
L
3 1a? =?故
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例 求级数
￥
=
--
0
1)12(
n
nn z 的收敛半径与和函数.
解 12 12limlim
1
1
-
-= +
￥fi
+
￥fi n
n
nn
n
n c
c因为,
2
1=R所以
,21时当 <z
zzzn
nn
---=-
￥
=
-
1
1
21
2)12(
1
1故
,2=
,12 <z,1 1
1
1
zzn
n
-=
￥
=
-
￥
=
--
￥
=
- =
1
11
1
1 222
n
nn
n
nn zz
z21
2
-=
.)1)(21( 1 zz --=
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10sin
1sin
z
z
ABCD
=是函数的（）
本性奇点 可去奇点 一级极点 非孤立奇点
11sin0
0
zkkz
zD
p==
=
取，为任意非零整数，都有故在 的任一领域都有该函数的无限个奇点，选
2(1)(1)
z
zzi
ze
ABCD
p=++是函数的（）
本性奇点二级极点 一级极点三级极点
2
'
1()()10
(1)0,
i
z
zi
zzizie
ei
p
pp
=
+=+?+=
+=?≠
及但故是该函数的二级极点
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00
0
()
()1()
fz zz
zzfz
ABCD
j
=
若在的洛朗级数有有限项，但不出现 的正整数幂的项，则是函数的（）
本性奇点极点 解析点 可去奇点
00
lim(),lim()0,
z zz
fzzj
→→
=∞=由 知为可去奇点
1 1
Re(sin,0)( )
0 B 1 C 0.5 D -0.5
zse
z
A
=
1
32
111111sin(1)()
3!
1
ze
zzzzzz=++?+=++LLL
留数为
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ln(1)Re,0)( )
1
0 1 -1 2
z
zs
e
ABCD
+ =
0
ln(1)lim100
1zz
z z
e→
+ ==
，故为可去奇点，留数为
1Re(,0)( )
ln(1)
0 B 1 C -1 D 2
ze
s z
A
+ =
+
0
(1)lim2
ln(1)
z
z
ze
z→
+=
+
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cossinzzz?=∞函数 在 的奇点类型和留数是什么？
cossinzzRz?<<∞∞由于 在 解析，故为本性奇点
1Re((),)
Re(cossin,)0
sfzC
szz
∞=?
∞=故
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