第三部分 曲线运动 万有引力
第一讲 基本知识介绍
一、曲线运动
1、概念、性质
2、参量特征二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成
1、法则与对象
2、两种分解的思路
a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）
建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。
b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）
基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。
动力学方程，其中改变速度的大小（速率），改变速度的方向。且= m，其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。
三、两种典型的曲线运动
1、抛体运动（类抛体运动）
关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。
2、圆周运动匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。
变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。
四、万有引力定律
1、定律内容
2、条件
a、基本条件
b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——“剥皮法则”
c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加五、开普勒三定律天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。
六、宇宙速度、天体运动
1、第一宇宙速度的常规求法
2、从能量角度求第二、第三宇宙速度万有引力势能EP = －G
3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识第二讲 重要模型与专题
一、小船渡河物理情形：在宽度为d的河中，水流速度v2恒定。岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v1渡河，但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。
模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v1和水相对河岸的速度v2合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v1的方向），速度矢量合成如图1
（学生活动）用余弦定理可求v合的大小
v合=
（学生活动）用正弦定理可求v合的方向。令v合与河岸下游夹角为α，则
α= arcsin
1、求渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法解法一,t =
其中v合可用正弦定理表达，故有 t = =
解法二,t = = =
此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y，然后先将v1分解（v2无需分解），再合成，如图2所示。而且不难看出，合运动在x、y方向的分量vx和vy与v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下关系
vy = v1y
vx = v2 - v1x
由于合运动沿y方向的分量Sy ≡ d,故有解法三,t = = =
t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论当θ= 90°时，渡河时间的最小值 tmin =
（从“解法三”我们最容易理解t为什么与v2无关，故tmin也与v2无关。这个结论是意味深长的。）
2、求渡河的位移和最小位移在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即
S合 = = =
但S合（θ）函数比较复杂，寻求S合的极小值并非易事。因此，我们可以从其它方面作一些努力。
将S合沿x、y方向分解成Sx和Sy,因为Sy ≡ d,要S合极小，只要Sx极小就行了。而Sx（θ）函数可以这样求——
解法一,Sx = vxt =（v2 - v1x） =（v2 – v1cosθ）
为求极值，令cosθ= p,则sinθ= ，再将上式两边平方、整理，得到
这是一个关于p的一元二次方程，要p有解，须满足Δ≥0,即
≥
整理得 ≥
所以，Sxmin=,代入Sx（θ）函数可知，此时cosθ=
最后，Smin= = d
此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v2＜v1时，Smin＜d,这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。
解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析从图2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。
我们可以通过v1与v2合成v合矢量图探讨v合与下游河岸夹角的最大可能。
先进行平行四边形到三角形的变换，如图3所示。
当θ变化时，v合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示。
从图4不难看出，只有当v合和虚线半圆周相切时，v合与v2（下游）的夹角才会最大。此时，v合⊥v1,v1、v2和v合构成一个直角三角形，αmax = arcsin
并且，此时：θ= arccos
有了αmax的值，结合图1可以求出：S合min = d
最后解决v2＜v1时结果不切实际的问题。从图4可以看出，当v2＜v1时，v合不可能和虚线半圆周相切（或αmax = arcsin无解），结合实际情况，αmax取90°
即：v2＜v1时，S合min = d,此时，θ= arccos
结论：若v1＜v2,θ= arccos时，S合min = d
若v2＜v1,θ= arccos时，S合min = d
二、滑轮小船物理情形：如图5所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度v1和小船速度v2的大小关系。
模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v1,考查绳与船相连的端点运动情况，v1和v2必有一个运动的合成与分解的问题。
（学生活动）如果v1恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。
结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2→v1 。当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到v2＞v1 。故“船速增大”才是正确结论。
故只能引入瞬时方位角θ，看v1和v2的瞬时关系。
（学生活动）v1和v2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？
针对如图6所示的两种典型方案，初步评说——甲图中v2 = v1cosθ，船越靠岸，θ越大，v2越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。
错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。仔细比较这两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律——
合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。
解法一：在图6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v2合运动，端点参与绳子的缩短运动v1和随绳子的转动v转,从而肯定乙方案是正确的。
即：v2 = v1 / cosθ
解法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来，AB是绳的初识位置，AC是绳的末位置，在AB上取=得D点，并连接CD。显然，图中BC是船的位移大小，DB是绳子的缩短长度。由于过程极短，等腰三角形ACD的顶角∠A→0，则底角∠ACD→90°，△CDB趋于直角三角形。将此三角放大成图7（乙），得出：S2 = S1 / cosθ 。
鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2 t,S1 = v1 t 。
所以：v2 = v1 / cosθ
三、斜抛运动的最大射程物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为v0,方向可以选择，试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。
模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。
设初速度方向与水平面夹θ角，建立水平、竖直的x、y轴，将运动学参量沿x、y分解。针对抛出到落回原高度的过程
0 = Sy = v0y t + （-g）t2
Sx = v0x t
解以上两式易得：Sx = sin2θ
结论：当抛射角θ= 45°时，最大射程Sxmax =
（学生活动）若v0,θ确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。
运动学求解——考查竖直分运动即可；能量求解——注意小球在最高点应具备的速度v0x,然后对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。结论：Hm = 。
四、物体脱离圆弧的讨论物理情形：如图8所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一小球。当小球在最低点时，给球一个vo = 2的水平初速，试求所能到达的最大高度。
模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。能量关系的运用，也是对常规知识的复习。
（学生活动）小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点C？
通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过B点、但不能到达C点（vC ≥），即小球必然在BC之间的某点脱离圆弧。
（学生活动）小球会不会在BC之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？
尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC之间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度vD不可能为零），但用动力学的工具分析，是本模型的重点——
在BC阶段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图9所示。沿轨迹的切向、法向分别建τ、n坐标，然后将重力G沿τ、n分解为Gτ和Gn分量，T为绳子张力。法向动力学方程为
T + Gn = ΣFn = man = m
由于T≥0,Gn＞0,故v≠0 。（学生活动：若换一个v0值，在AB阶段，v = 0是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在BC阶段v = 0也是可能出现的。）
下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为D，对应方位角为θ，如图8所示。由于在D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力T为零，而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足
Gn = Gsinθ= m ①
在再针对A→D过程，小球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面）：
m+ 0 = mg ( L + Lsinθ) +m ②
代入v0值解①、②两式得：θ= arcsin,（同时得到：vD = ）小球脱离D点后将以vD为初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点（相对A）可以用两种方法求得。
解法一：运动学途径。
先求小球斜抛的最大高度，hm = =
代入θ和vD的值得：hm = L
小球相对A的总高度：Hm = L + Lsinθ+ hm = L
解法二：能量途径小球在斜抛的最高点仍具有vD的水平分量，即vDsinθ= 。对A→最高点的过程用机械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面），有
m+ 0 = + mg Hm
容易得到：Hm = L
五、万有引力的计算物理情形：如图9所示，半径为R的均质球质量为M，球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。
模型分析：无论是“基本条件”还是“拓展条件”，本模型都很难直接符合，因此必须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照应万有引力的拓展条件之外，着重介绍“填补法”的应用。
空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为R/2的球的叠加：一个的质量为+M/8,一个的质量为－M/8 。然后，前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体，命名为B 。
既然A、B两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条件”中的定势来计算了。只是有一点需要说明，B物的质量既然负值，它和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥——成了“万有斥力”了。具体过程如下
FAm = G
FBm = G = －G
最后，两物之间的万有引力 F = FAm + FBm = G－G
需要指出的是，在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路，那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在O、O′的连线上距离O点左侧R/14处，然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力
F = G
然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路。
六、天体运动的计算物理情形：地球和太阳的质量分别为m和M,地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a,半短轴为b,如图11所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度，以及轨迹在A、C两点的曲率半径。
模型分析：求解天体运动的本来模式，常常要用到开普勒定律（定量）、机械能守恒（万有引力势能）、椭圆的数学常识等等，相对高考要求有很大的不同。
地球轨道的离心率很小（其值≈0.0167,其中c为半焦距），这是我们常常能将它近似为圆的原因。为了方便说明问题，在图11中，我们将离心率夸大了。
针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒
m+（－）= m+（－）
比较A、B两点，应用开普勒第二定律，有：vA（a－c）= vB（a + c）
结合椭圆的基本关系：c =
解以上三式可得：vA = ,vB =
再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有
m+（－）= m+（－）
代入vA值可解得：vC =
为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学（法向）方程。
在A点，F万 = ΣFn = m an,设轨迹在A点的曲率半径为ρA,即：G= m
代入vA值可解得：ρA =
在C点，方程复杂一些，须将万有引力在τ、n方向分解，如图12所示。
然后，F万n =ΣFn = m an,即：F万cosθ= m
即：G· = m
代入vC值可解得：ρC =
值得注意的是，如果针对A、C两点用开普勒第二定律，由于C点处的矢径r和瞬时速度vC不垂直，方程不能写作vA（a－c）= vC a 。
正确的做法是：将vC分解出垂直于矢径的分量（分解方式可参看图12，但分解的平行四边形未画出）vC cosθ，再用vA（a－c）=（vC cosθ）a,化简之后的形式成为
vA（a－c）= vC b
要理解这个关系，有一定的难度，所以建议最好不要对A、C两点用开普勒第二定律
第三讲 典型例题解析
教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社，2002年8月第一版。
例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。
第一讲 基本知识介绍
一、曲线运动
1、概念、性质
2、参量特征二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成
1、法则与对象
2、两种分解的思路
a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）
建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。
b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）
基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。
动力学方程，其中改变速度的大小（速率），改变速度的方向。且= m，其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。
三、两种典型的曲线运动
1、抛体运动（类抛体运动）
关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。
2、圆周运动匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。
变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。
四、万有引力定律
1、定律内容
2、条件
a、基本条件
b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——“剥皮法则”
c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加五、开普勒三定律天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。
六、宇宙速度、天体运动
1、第一宇宙速度的常规求法
2、从能量角度求第二、第三宇宙速度万有引力势能EP = －G
3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识第二讲 重要模型与专题
一、小船渡河物理情形：在宽度为d的河中，水流速度v2恒定。岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v1渡河，但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。
模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v1和水相对河岸的速度v2合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v1的方向），速度矢量合成如图1
（学生活动）用余弦定理可求v合的大小
v合=
（学生活动）用正弦定理可求v合的方向。令v合与河岸下游夹角为α，则
α= arcsin
1、求渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法解法一,t =
其中v合可用正弦定理表达，故有 t = =
解法二,t = = =
此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y，然后先将v1分解（v2无需分解），再合成，如图2所示。而且不难看出，合运动在x、y方向的分量vx和vy与v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下关系
vy = v1y
vx = v2 - v1x
由于合运动沿y方向的分量Sy ≡ d,故有解法三,t = = =
t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论当θ= 90°时，渡河时间的最小值 tmin =
（从“解法三”我们最容易理解t为什么与v2无关，故tmin也与v2无关。这个结论是意味深长的。）
2、求渡河的位移和最小位移在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即
S合 = = =
但S合（θ）函数比较复杂，寻求S合的极小值并非易事。因此，我们可以从其它方面作一些努力。
将S合沿x、y方向分解成Sx和Sy,因为Sy ≡ d,要S合极小，只要Sx极小就行了。而Sx（θ）函数可以这样求——
解法一,Sx = vxt =（v2 - v1x） =（v2 – v1cosθ）
为求极值，令cosθ= p,则sinθ= ，再将上式两边平方、整理，得到
这是一个关于p的一元二次方程，要p有解，须满足Δ≥0,即
≥
整理得 ≥
所以，Sxmin=,代入Sx（θ）函数可知，此时cosθ=
最后，Smin= = d
此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v2＜v1时，Smin＜d,这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。
解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析从图2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。
我们可以通过v1与v2合成v合矢量图探讨v合与下游河岸夹角的最大可能。
先进行平行四边形到三角形的变换，如图3所示。
当θ变化时，v合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示。
从图4不难看出，只有当v合和虚线半圆周相切时，v合与v2（下游）的夹角才会最大。此时，v合⊥v1,v1、v2和v合构成一个直角三角形，αmax = arcsin
并且，此时：θ= arccos
有了αmax的值，结合图1可以求出：S合min = d
最后解决v2＜v1时结果不切实际的问题。从图4可以看出，当v2＜v1时，v合不可能和虚线半圆周相切（或αmax = arcsin无解），结合实际情况，αmax取90°
即：v2＜v1时，S合min = d,此时，θ= arccos
结论：若v1＜v2,θ= arccos时，S合min = d
若v2＜v1,θ= arccos时，S合min = d
二、滑轮小船物理情形：如图5所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度v1和小船速度v2的大小关系。
模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v1,考查绳与船相连的端点运动情况，v1和v2必有一个运动的合成与分解的问题。
（学生活动）如果v1恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。
结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2→v1 。当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到v2＞v1 。故“船速增大”才是正确结论。
故只能引入瞬时方位角θ，看v1和v2的瞬时关系。
（学生活动）v1和v2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？
针对如图6所示的两种典型方案，初步评说——甲图中v2 = v1cosθ，船越靠岸，θ越大，v2越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。
错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。仔细比较这两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律——
合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。
解法一：在图6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v2合运动，端点参与绳子的缩短运动v1和随绳子的转动v转,从而肯定乙方案是正确的。
即：v2 = v1 / cosθ
解法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来，AB是绳的初识位置，AC是绳的末位置，在AB上取=得D点，并连接CD。显然，图中BC是船的位移大小，DB是绳子的缩短长度。由于过程极短，等腰三角形ACD的顶角∠A→0，则底角∠ACD→90°，△CDB趋于直角三角形。将此三角放大成图7（乙），得出：S2 = S1 / cosθ 。
鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2 t,S1 = v1 t 。
所以：v2 = v1 / cosθ
三、斜抛运动的最大射程物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为v0,方向可以选择，试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。
模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。
设初速度方向与水平面夹θ角，建立水平、竖直的x、y轴，将运动学参量沿x、y分解。针对抛出到落回原高度的过程
0 = Sy = v0y t + （-g）t2
Sx = v0x t
解以上两式易得：Sx = sin2θ
结论：当抛射角θ= 45°时，最大射程Sxmax =
（学生活动）若v0,θ确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。
运动学求解——考查竖直分运动即可；能量求解——注意小球在最高点应具备的速度v0x,然后对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。结论：Hm = 。
四、物体脱离圆弧的讨论物理情形：如图8所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一小球。当小球在最低点时，给球一个vo = 2的水平初速，试求所能到达的最大高度。
模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。能量关系的运用，也是对常规知识的复习。
（学生活动）小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点C？
通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过B点、但不能到达C点（vC ≥），即小球必然在BC之间的某点脱离圆弧。
（学生活动）小球会不会在BC之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？
尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC之间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度vD不可能为零），但用动力学的工具分析，是本模型的重点——
在BC阶段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图9所示。沿轨迹的切向、法向分别建τ、n坐标，然后将重力G沿τ、n分解为Gτ和Gn分量，T为绳子张力。法向动力学方程为
T + Gn = ΣFn = man = m
由于T≥0,Gn＞0,故v≠0 。（学生活动：若换一个v0值，在AB阶段，v = 0是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在BC阶段v = 0也是可能出现的。）
下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为D，对应方位角为θ，如图8所示。由于在D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力T为零，而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足
Gn = Gsinθ= m ①
在再针对A→D过程，小球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面）：
m+ 0 = mg ( L + Lsinθ) +m ②
代入v0值解①、②两式得：θ= arcsin,（同时得到：vD = ）小球脱离D点后将以vD为初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点（相对A）可以用两种方法求得。
解法一：运动学途径。
先求小球斜抛的最大高度，hm = =
代入θ和vD的值得：hm = L
小球相对A的总高度：Hm = L + Lsinθ+ hm = L
解法二：能量途径小球在斜抛的最高点仍具有vD的水平分量，即vDsinθ= 。对A→最高点的过程用机械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面），有
m+ 0 = + mg Hm
容易得到：Hm = L
五、万有引力的计算物理情形：如图9所示，半径为R的均质球质量为M，球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。
模型分析：无论是“基本条件”还是“拓展条件”，本模型都很难直接符合，因此必须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照应万有引力的拓展条件之外，着重介绍“填补法”的应用。
空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为R/2的球的叠加：一个的质量为+M/8,一个的质量为－M/8 。然后，前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体，命名为B 。
既然A、B两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条件”中的定势来计算了。只是有一点需要说明，B物的质量既然负值，它和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥——成了“万有斥力”了。具体过程如下
FAm = G
FBm = G = －G
最后，两物之间的万有引力 F = FAm + FBm = G－G
需要指出的是，在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路，那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在O、O′的连线上距离O点左侧R/14处，然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力
F = G
然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路。
六、天体运动的计算物理情形：地球和太阳的质量分别为m和M,地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a,半短轴为b,如图11所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度，以及轨迹在A、C两点的曲率半径。
模型分析：求解天体运动的本来模式，常常要用到开普勒定律（定量）、机械能守恒（万有引力势能）、椭圆的数学常识等等，相对高考要求有很大的不同。
地球轨道的离心率很小（其值≈0.0167,其中c为半焦距），这是我们常常能将它近似为圆的原因。为了方便说明问题，在图11中，我们将离心率夸大了。
针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒
m+（－）= m+（－）
比较A、B两点，应用开普勒第二定律，有：vA（a－c）= vB（a + c）
结合椭圆的基本关系：c =
解以上三式可得：vA = ,vB =
再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有
m+（－）= m+（－）
代入vA值可解得：vC =
为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学（法向）方程。
在A点，F万 = ΣFn = m an,设轨迹在A点的曲率半径为ρA,即：G= m
代入vA值可解得：ρA =
在C点，方程复杂一些，须将万有引力在τ、n方向分解，如图12所示。
然后，F万n =ΣFn = m an,即：F万cosθ= m
即：G· = m
代入vC值可解得：ρC =
值得注意的是，如果针对A、C两点用开普勒第二定律，由于C点处的矢径r和瞬时速度vC不垂直，方程不能写作vA（a－c）= vC a 。
正确的做法是：将vC分解出垂直于矢径的分量（分解方式可参看图12，但分解的平行四边形未画出）vC cosθ，再用vA（a－c）=（vC cosθ）a,化简之后的形式成为
vA（a－c）= vC b
要理解这个关系，有一定的难度，所以建议最好不要对A、C两点用开普勒第二定律
第三讲 典型例题解析
教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社，2002年8月第一版。
例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。
