2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数，则的零点个数（ ）
0 1 2 3
解：.
分析：
，恒大于0，所以在上是单调递增的.
又因为，根据其单调性可知只有一个零点.
（2）函数在点处的梯度等于（ ）
解；.
分析：由
所以
（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）
. .
. .
解：.
分析；由可知其特征根为.
故对应的特征方程为
所以所求微分方程为,选.
（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
解：
分析：若单调，则由在内单调有界知，单调有界，
因此收敛,应选.
（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵,若，则（ ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆,
解：选
分析：，
故均可逆。
（6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）
0. 1. 2. 3,
解：选
分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为，故的正特征值个数为1。
（7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）
. .
. ,
解：选
分析；
（8）设随机变量，且相关系数，则（ ）
. .
. ,
解：选
分析：用排除法设，由，知道正相关，得，排除、
由，得
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）微分方程满足条件的解是,
解：
分析；由所以，又，所以.
（10）曲线在点处的切线方程为.
解：.
分析：设，斜率，在处，，所以切线方程为，即
（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.
解：.
分析：由题意知的收敛域为，则的收敛域为.
所以的收敛域为.
（12）设曲面是的上侧，则.
解：
分析；
（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.
解：1
分析：
记可逆，故
与有相同的特征值，，故非零的特征值为1。
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
解：
分析；因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限
解,
(16)（本题满分10分）
计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.
解：
(17)（本题满分10分）
已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.
解：
得：
得：
.
(18)（本题满分10分）
函数在连续，，证明在可导，且
.
证,设获得增量，其绝对值足够小，使得，则（如图，图中）在处的函数值为,
由此得函数的增量
再应用积分中值定理，即有等式
这里，在与之间，把上式两端各除以，得函数增量与自变量的比值
由于假设连续，而时，，因此。于是，令对上式两端取极限，左端的极限也应该等于，故的导函数存在，并且
(19)（本题满分10分）
，用余弦级数展开，并求的和解：由为偶函数，则
对
所以
取 ，得
所以
(20)（本题满分11分）
，是三维列向量，为的转置，为的转置
（1）证；（2）若线性相关，则.
解：①为三维列向量，则，
②线性相关，不妨设，
（21）（本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解，求
（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解解：①
②方程组有唯一解由，知，又，故。
记，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解由，有，则，故
的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。
又
，故可取特解为
所以的通解为为任意常数。
（22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记
（1）求
（2）求的概率密度．
解：（1）
（2）当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以 ，则
（23）（本题满分11分）
设是总体为的简单随机样本.记，
，
（1）证 是的无偏估计量.
（2）当时,求.
解：(1)
因为：,,而
,所以 T是的无偏估计
(2) ,,
因为
令
所以
因为 且
,
所以
（1）设函数，则的零点个数（ ）
0 1 2 3
解：.
分析：
，恒大于0，所以在上是单调递增的.
又因为，根据其单调性可知只有一个零点.
（2）函数在点处的梯度等于（ ）
解；.
分析：由
所以
（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）
. .
. .
解：.
分析；由可知其特征根为.
故对应的特征方程为
所以所求微分方程为,选.
（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
解：
分析：若单调，则由在内单调有界知，单调有界，
因此收敛,应选.
（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵,若，则（ ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆,
解：选
分析：，
故均可逆。
（6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）
0. 1. 2. 3,
解：选
分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为，故的正特征值个数为1。
（7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）
. .
. ,
解：选
分析；
（8）设随机变量，且相关系数，则（ ）
. .
. ,
解：选
分析：用排除法设，由，知道正相关，得，排除、
由，得
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）微分方程满足条件的解是,
解：
分析；由所以，又，所以.
（10）曲线在点处的切线方程为.
解：.
分析：设，斜率，在处，，所以切线方程为，即
（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.
解：.
分析：由题意知的收敛域为，则的收敛域为.
所以的收敛域为.
（12）设曲面是的上侧，则.
解：
分析；
（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.
解：1
分析：
记可逆，故
与有相同的特征值，，故非零的特征值为1。
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
解：
分析；因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限
解,
(16)（本题满分10分）
计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.
解：
(17)（本题满分10分）
已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.
解：
得：
得：
.
(18)（本题满分10分）
函数在连续，，证明在可导，且
.
证,设获得增量，其绝对值足够小，使得，则（如图，图中）在处的函数值为,
由此得函数的增量
再应用积分中值定理，即有等式
这里，在与之间，把上式两端各除以，得函数增量与自变量的比值
由于假设连续，而时，，因此。于是，令对上式两端取极限，左端的极限也应该等于，故的导函数存在，并且
(19)（本题满分10分）
，用余弦级数展开，并求的和解：由为偶函数，则
对
所以
取 ，得
所以
(20)（本题满分11分）
，是三维列向量，为的转置，为的转置
（1）证；（2）若线性相关，则.
解：①为三维列向量，则，
②线性相关，不妨设，
（21）（本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解，求
（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解解：①
②方程组有唯一解由，知，又，故。
记，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解由，有，则，故
的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。
又
，故可取特解为
所以的通解为为任意常数。
（22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记
（1）求
（2）求的概率密度．
解：（1）
（2）当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以 ，则
（23）（本题满分11分）
设是总体为的简单随机样本.记，
，
（1）证 是的无偏估计量.
（2）当时,求.
解：(1)
因为：,,而
,所以 T是的无偏估计
(2) ,,
因为
令
所以
因为 且
,
所以
