第 6章 MATLAB数据分析与多项式计算
6.1 数据统计处理
6.2 数据插值
6.3 曲线拟合
6.4 离散傅立叶变换
6.5 多项式计算
6.1 数据统计处理
6.1.1 最大值和最小值
MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为 max和 min，两个函数的调用格式和操作过程类似。
1．求向量的最大值和最小值求一个向量 X的最大值的函数有两种调用格式，
分别是：
(1) y=max(X)：返回向量 X的最大值存入 y，
如果 X中包含复数元素，则按模取最大值。
(2) [y,I]=max(X)：返回向量 X的最大值存入 y，最大值的序号存入 I，如果 X中包含复数元素，则按模取最大值。
求向量 X的最小值的函数是 min(X)，用法和 max(X)
完全相同。
例 6-1 求向量 x的最大值。
命令如下：
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x) %求向量 x中的最大值
[y,l]=max(x) %求向量 x中的最大值及其该元素的位置
2．求矩阵的最大值和最小值求矩阵 A的最大值的函数有 3种调用格式，分别是：
(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第 i个元素是矩阵 A的第 i列上的最大值。
(2) [Y,U]=max(A)：返回行向量 Y和 U,Y向量记录 A的每列的最大值,U向量记录每列最大值的行号。
(3) max(A,[],dim),dim取 1或 2。 dim取 1时，
该函数和 max(A)完全相同； dim取 2时，该函数返回一个列向量，其第 i个元素是 A矩阵的第 i行上的最大值。
求最小值的函数是 min，其用法和 max完全相同。
例 6-2 分别求 3× 4矩阵 x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。
3．两个向量或矩阵对应元素的比较函数 max和 min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：
(1) U=max(A,B),A,B是两个同型的向量或矩阵，结果 U是与
A,B同型的向量或矩阵,U的每个元素等于 A,B对应元素的较大者。
(2) U=max(A,n),n是一个标量，结果 U是与 A同型的向量或矩阵,U的每个元素等于 A对应元素和 n中的较大者。
min函数的用法和 max完全相同。
例 6-3 求两个 2× 3矩阵 x,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵 p。
6.1.2 求和与求积数据序列求和与求积的函数是 sum和 prod，
其使用方法类似。设 X是一个向量,A是一个矩阵，函数的调用格式为：
sum(X)：返回向量 X各元素的和。
prod(X)：返回向量 X各元素的乘积。
sum(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A
的第 i列的元素和。
prod(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A
的第 i列的元素乘积。
sum(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于
sum(A)；当 dim为 2时，返回一个列向量，
其第 i个元素是 A的第 i行的各元素之和。
prod(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于
prod(A)；当 dim为 2时，返回一个列向量，
其第 i个元素是 A的第 i行的各元素乘积。
例 6-4 求矩阵 A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。
6.1.3 平均值和中值求数据序列平均值的函数是 mean，求数据序列中值的函数是 median。两个函数的调用格式为：
mean(X)：返回向量 X的算术平均值。
median(X)：返回向量 X的中值。
mean(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A的第 i列的算术平均值。
median(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A的第 i列的中值。
mean(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 mean(A)；当 dim
为 2时，返回一个列向量，其第 i个元素是 A的第 i行的算术平均值。
median(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 median(A)；当
dim为 2时，返回一个列向量，其第 i个元素是 A的第 i行的中值。
例 6-5 分别求向量 x与 y的平均值和中值。
6.1.4 累加和与累乘积在 MATLAB中，使用 cumsum和 cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：
cumsum(X)：返回向量 X累加和向量。
cumprod(X)：返回向量 X累乘积向量。
cumsum(A)：返回一个矩阵，其第 i列是 A的第 i列的累加和向量。
cumprod(A)：返回一个矩阵，其第 i列是 A的第 i列的累乘积向量。
cumsum(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 cumsum(A)；
当 dim为 2时，返回一个矩阵，其第 i行是 A的第 i行的累加和向量。
cumprod(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 cumprod(A)；
当 dim为 2时，返回一个向量，其第 i行是 A的第 i行的累乘积向量。
例 6-6 求 s的值。
6.1.5 标准方差与相关系数
1．求标准方差在 MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数 std。
对于向量 X,std(X)返回一个标准方差。对于矩阵 A，
std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵 A各列或各行的标准方差。 std函数的一般调用格式为：
Y=std(A,flag,dim)
其中 dim取 1或 2。当 dim=1时，求各列元素的标准方差；当
dim=2时，则求各行元素的标准方差。 flag取 0或 1，当
flag=0时，按 σ1所列公式计算标准方差，当 flag=1时，按
σ2所列公式计算标准方差。缺省 flag=0,dim=1。
例 6-7 对二维矩阵 x，从不同维方向求出其标准方差。
2．相关系数
MATLAB提供了 corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。 corrcoef函数的调用格式为：
corrcoef(X)：返回从矩阵 X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵 X一样。它把矩阵 X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。
corrcoef(X,Y)：在这里,X,Y是向量，它们与
corrcoef([X,Y])的作用一样。
例 6-8 生成满足正态分布的 10000× 5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，
再求这 5列随机数据的相关系数矩阵。
命令如下：
X=randn(10000,5);
M=mean(X)
D=std(X)
R=corrcoef(X)
6.1.6 排序
MATLAB中对向量 X是排序函数是 sort(X)，函数返回一个对 X中的元素按升序排列的新向量。
sort函数也可以对矩阵 A的各列或各行重新排序，其调用格式为：
[Y,I]=sort(A,dim)
其中 dim指明对 A的列还是行进行排序。若 dim=1，
则按列排；若 dim=2，则按行排。 Y是排序后的矩阵，而 I记录 Y中的元素在 A中位置。
例 6-9 对二维矩阵做各种排序。
6.2 数据插值
6.2.1 一维数据插值在 MATLAB中，实现这些插值的函数是 interp1，其调用格式为：
Y1=interp1(X,Y,X1,'method')
函数根据 X,Y的值，计算函数在 X1处的值。 X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量，描述欲插值的点,Y1是一个与 X1等长的插值结果。 method是插值方法，允许的取值有‘ linear’、
‘ nearest’、‘ cubic’、‘ spline’。
注意,X1的取值范围不能超出 X的给定范围，
否则，会给出,NaN”错误。
例 6-10 用不同的插值方法计算在 π/2点的值。
MATLAB中有一个专门的 3次样条插值函数
Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数 Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。
例 6-11 某观测站测得某日 6:00时至 18:00时之间每隔 2小时的室内外温度 (℃ )，用 3次样条插值分别求得该日室内外 6:30
至 17:30时之间每隔 2小时各点的近似温度 (℃ )。
设时间变量 h为一行向量，温度变量 t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：
h =6:2:18;
t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';
XI =6.5:2:17.5
YI=interp1(h,t,XI,‘spline’) % 用 3次样条插值计算
6.2.2 二维数据插值在 MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数
interp2，其调用格式为：
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')
其中 X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，
Z是与参数采样点对应的函数值,X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。 Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。 X,Y,Z也可以是矩阵形式。
同样,X1,Y1的取值范围不能超出 X,Y的给定范围，
否则，会给出,NaN”错误。
例 6-12 设 z=x2+y2，对 z函数在 [0,1]× [0,2]区域内进行插值。
例 6-13 某实验对一根长 10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用 x表示测量点 0:2.5:10(米 )，用 h表示测量时间
0:30:60(秒 )，用 T表示测试所得各点的温度 (℃ )。试用线性插值求出在一分钟内每隔 20秒、钢轨每隔 1米处的温度 TI。
命令如下：
x=0:2.5:10;
h=[0:30:60]';
T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
xi=[0:10];
hi=[0:20:60]';
TI=interp2(x,h,T,xi,hi)
6.3 曲线拟合在 MATLAB中，用 polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用 polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。
polyfit函数的调用格式为：
[P,S]=polyfit(X,Y,m)
函数根据采样点 X和采样点函数值 Y，产生一个 m次多项式 P
及其在采样点的误差向量 S。其中 X,Y是两个等长的向量，
P是一个长度为 m+1的向量,P的元素为多项式系数。
polyval函数的功能是按多项式的系数计算 x点多项式的值，
将在 6.5.3节中详细介绍。
例 6-14 已知数据表 [t,y]，试求 2次拟合多项式 p(t)，然后求
ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10 各点的函数近似值。
6.4 离散傅立叶变换
6.4.1 离散傅立叶变换算法简要
6.4.2 离散傅立叶变换的实现一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：
(1) fft(X)：返回向量 X的离散傅立叶变换。设
X的长度 (即元素个数 )为 N，若 N为 2的幂次，
则为以 2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非 2幂次的算法。对于矩阵
X,fft(X)应用于矩阵的每一列。
(2) fft(X,N)：计算 N点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为 N，若 X的长度小于 N，则不足部分补上零；若大于 N，则删去超出 N
的那些元素。对于矩阵 X，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为 N。
(3) fft(X,[],dim)或 fft(X,N,dim)：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与 FFT(X,N)基本相同。只是当参数 dim=1时，该函数作用于 X的每一列；当 dim=2时，则作用于 X的每一行。
值得一提的是，当已知给出的样本数 N0不是 2
的幂次时，可以取一个 N使它大于 N0且是 2
的幂次，然后利用函数格式 fft(X,N)或
fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。
相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是 ifft。
ifft(F)返回 F的一维离散傅立叶逆变换；
ifft(F,N)为 N点逆变换； ifft(F,[],dim)或
ifft(F,N,dim)则由 N或 dim确定逆变换的点数或操作方向。
例 6-15 给定数学函数
x(t)=12sin(2π× 10t+π/4)+5cos(2π× 40t)
取 N=128，试对 t从 0~1秒采样，用 fft作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅 -频率图。
在 0~1秒时间范围内采样 128点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从 0到 N-1，故在实际应用时下标应该前移 1。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅 | F(k)|是关于 N/2对称的，故只须使 k从 0到 N/2即可。
程序如下：
N=128; % 采样点数
T=1; % 采样时间终点
t=linspace(0,T,N); % 给出 N个采样时间 ti(I=1:N)
x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采样点样本值 x
dt=t(2)-t(1); % 采样周期
f=1/dt; % 采样频率 (Hz)
X=fft(x); % 计算 x的快速傅立叶变换 X
F=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)
f=f*(0:N/2)/N; % 使频率轴 f从零开始
plot(f,abs(F),'-*') % 绘制振幅 -频率图
xlabel('Frequency');
ylabel('|F(k)|')
6.5 多项式计算
6.5.1 多项式的四则运算
1．多项式的加减运算
2．多项式乘法运算函数 conv(P1,P2)用于求多项式 P1和 P2的乘积。
这里,P1,P2是两个多项式系数向量。
例 6-16 求多项式 x4+8x3-10与多项式 2x2-x+3的乘积。
3．多项式除法函数 [Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式 P1和 P2作除法运算。其中 Q返回多项式 P1除以 P2的商式,r返回 P1除以 P2的余式。这里,Q和 r仍是多项式系数向量。
deconv是 conv的逆函数，即有 P1=conv(P2,Q)+r。
例 6-17 求多项式 x4+8x3-10除以多项式 2x2-x+3的结果。
6.5.2 多项式的导函数对多项式求导数的函数是：
p=polyder(P)：求多项式 P的导函数
p=polyder(P,Q)：求 P·Q的导函数
[p,q]=polyder(P,Q)：求 P/Q的导函数，导函数的分子存入 p，分母存入 q。
上述函数中，参数 P,Q是多项式的向量表示，结果
p,q也是多项式的向量表示。
例 6-18 求有理分式的导数。
命令如下：
P=[1];
Q=[1,0,5];
[p,q]=polyder(P,Q)
6.5.3 多项式的求值
MATLAB提供了两种求多项式值的函数,polyval与
polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量 P
和自变量 x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。
1．代数多项式求值
polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：
Y=polyval(P,x)
若 x为一数值，则求多项式在该点的值；若 x
为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
例 6-19 已知多项式 x4+8x3-10，分别取 x=1.2
和一个 2× 3矩阵为自变量计算该多项式的值。
2．矩阵多项式求值
polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与 polyval
相同，但含义不同。 polyvalm函数要求 x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设 A为方阵,P代表多项式 x3-
5x2+8，那么 polyvalm(P,A)的含义是：
A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
而 polyval(P,A)的含义是：
A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
例 6-20 仍以多项式 x4+8x3-10为例，取一个 2× 2矩阵为自变量分别用 polyval和 polyvalm计算该多项式的值。
6.5.4 多项式求根
n次多项式具有 n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。
MATLAB提供的 roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：
x=roots(P)
其中 P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量 x，即 x(1),x(2),…,x(n) 分别代表多项式的 n
个根。
例 6-21 求多项式 x4+8x3-10的根。
命令如下：
A=[1,8,0,0,-10];
x=roots(A)
若已知多项式的全部根，则可以用 poly函数建立起该多项式，其调用格式为：
P=poly(x)
若 x为具有 n个元素的向量，则 poly(x)建立以 x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量 P。
例 6-22 已知 f(x)
(1) 计算 f(x)=0 的全部根。
(2) 由方程 f(x)=0的根构造一个多项式 g(x)，并与 f(x)进行对比。
命令如下：
P=[3,0,4,-5,-7.2,5];
X=roots(P) %求方程 f(x)=0的根
G=poly(X) %求多项式 g(x)
6.1 数据统计处理
6.2 数据插值
6.3 曲线拟合
6.4 离散傅立叶变换
6.5 多项式计算
6.1 数据统计处理
6.1.1 最大值和最小值
MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为 max和 min，两个函数的调用格式和操作过程类似。
1．求向量的最大值和最小值求一个向量 X的最大值的函数有两种调用格式，
分别是：
(1) y=max(X)：返回向量 X的最大值存入 y，
如果 X中包含复数元素，则按模取最大值。
(2) [y,I]=max(X)：返回向量 X的最大值存入 y，最大值的序号存入 I，如果 X中包含复数元素，则按模取最大值。
求向量 X的最小值的函数是 min(X)，用法和 max(X)
完全相同。
例 6-1 求向量 x的最大值。
命令如下：
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x) %求向量 x中的最大值
[y,l]=max(x) %求向量 x中的最大值及其该元素的位置
2．求矩阵的最大值和最小值求矩阵 A的最大值的函数有 3种调用格式，分别是：
(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第 i个元素是矩阵 A的第 i列上的最大值。
(2) [Y,U]=max(A)：返回行向量 Y和 U,Y向量记录 A的每列的最大值,U向量记录每列最大值的行号。
(3) max(A,[],dim),dim取 1或 2。 dim取 1时，
该函数和 max(A)完全相同； dim取 2时，该函数返回一个列向量，其第 i个元素是 A矩阵的第 i行上的最大值。
求最小值的函数是 min，其用法和 max完全相同。
例 6-2 分别求 3× 4矩阵 x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。
3．两个向量或矩阵对应元素的比较函数 max和 min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：
(1) U=max(A,B),A,B是两个同型的向量或矩阵，结果 U是与
A,B同型的向量或矩阵,U的每个元素等于 A,B对应元素的较大者。
(2) U=max(A,n),n是一个标量，结果 U是与 A同型的向量或矩阵,U的每个元素等于 A对应元素和 n中的较大者。
min函数的用法和 max完全相同。
例 6-3 求两个 2× 3矩阵 x,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵 p。
6.1.2 求和与求积数据序列求和与求积的函数是 sum和 prod，
其使用方法类似。设 X是一个向量,A是一个矩阵，函数的调用格式为：
sum(X)：返回向量 X各元素的和。
prod(X)：返回向量 X各元素的乘积。
sum(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A
的第 i列的元素和。
prod(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A
的第 i列的元素乘积。
sum(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于
sum(A)；当 dim为 2时，返回一个列向量，
其第 i个元素是 A的第 i行的各元素之和。
prod(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于
prod(A)；当 dim为 2时，返回一个列向量，
其第 i个元素是 A的第 i行的各元素乘积。
例 6-4 求矩阵 A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。
6.1.3 平均值和中值求数据序列平均值的函数是 mean，求数据序列中值的函数是 median。两个函数的调用格式为：
mean(X)：返回向量 X的算术平均值。
median(X)：返回向量 X的中值。
mean(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A的第 i列的算术平均值。
median(A)：返回一个行向量，其第 i个元素是 A的第 i列的中值。
mean(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 mean(A)；当 dim
为 2时，返回一个列向量，其第 i个元素是 A的第 i行的算术平均值。
median(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 median(A)；当
dim为 2时，返回一个列向量，其第 i个元素是 A的第 i行的中值。
例 6-5 分别求向量 x与 y的平均值和中值。
6.1.4 累加和与累乘积在 MATLAB中，使用 cumsum和 cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：
cumsum(X)：返回向量 X累加和向量。
cumprod(X)：返回向量 X累乘积向量。
cumsum(A)：返回一个矩阵，其第 i列是 A的第 i列的累加和向量。
cumprod(A)：返回一个矩阵，其第 i列是 A的第 i列的累乘积向量。
cumsum(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 cumsum(A)；
当 dim为 2时，返回一个矩阵，其第 i行是 A的第 i行的累加和向量。
cumprod(A,dim)：当 dim为 1时，该函数等同于 cumprod(A)；
当 dim为 2时，返回一个向量，其第 i行是 A的第 i行的累乘积向量。
例 6-6 求 s的值。
6.1.5 标准方差与相关系数
1．求标准方差在 MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数 std。
对于向量 X,std(X)返回一个标准方差。对于矩阵 A，
std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵 A各列或各行的标准方差。 std函数的一般调用格式为：
Y=std(A,flag,dim)
其中 dim取 1或 2。当 dim=1时，求各列元素的标准方差；当
dim=2时，则求各行元素的标准方差。 flag取 0或 1，当
flag=0时，按 σ1所列公式计算标准方差，当 flag=1时，按
σ2所列公式计算标准方差。缺省 flag=0,dim=1。
例 6-7 对二维矩阵 x，从不同维方向求出其标准方差。
2．相关系数
MATLAB提供了 corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。 corrcoef函数的调用格式为：
corrcoef(X)：返回从矩阵 X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵 X一样。它把矩阵 X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。
corrcoef(X,Y)：在这里,X,Y是向量，它们与
corrcoef([X,Y])的作用一样。
例 6-8 生成满足正态分布的 10000× 5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，
再求这 5列随机数据的相关系数矩阵。
命令如下：
X=randn(10000,5);
M=mean(X)
D=std(X)
R=corrcoef(X)
6.1.6 排序
MATLAB中对向量 X是排序函数是 sort(X)，函数返回一个对 X中的元素按升序排列的新向量。
sort函数也可以对矩阵 A的各列或各行重新排序，其调用格式为：
[Y,I]=sort(A,dim)
其中 dim指明对 A的列还是行进行排序。若 dim=1，
则按列排；若 dim=2，则按行排。 Y是排序后的矩阵，而 I记录 Y中的元素在 A中位置。
例 6-9 对二维矩阵做各种排序。
6.2 数据插值
6.2.1 一维数据插值在 MATLAB中，实现这些插值的函数是 interp1，其调用格式为：
Y1=interp1(X,Y,X1,'method')
函数根据 X,Y的值，计算函数在 X1处的值。 X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量，描述欲插值的点,Y1是一个与 X1等长的插值结果。 method是插值方法，允许的取值有‘ linear’、
‘ nearest’、‘ cubic’、‘ spline’。
注意,X1的取值范围不能超出 X的给定范围，
否则，会给出,NaN”错误。
例 6-10 用不同的插值方法计算在 π/2点的值。
MATLAB中有一个专门的 3次样条插值函数
Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数 Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。
例 6-11 某观测站测得某日 6:00时至 18:00时之间每隔 2小时的室内外温度 (℃ )，用 3次样条插值分别求得该日室内外 6:30
至 17:30时之间每隔 2小时各点的近似温度 (℃ )。
设时间变量 h为一行向量，温度变量 t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：
h =6:2:18;
t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';
XI =6.5:2:17.5
YI=interp1(h,t,XI,‘spline’) % 用 3次样条插值计算
6.2.2 二维数据插值在 MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数
interp2，其调用格式为：
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')
其中 X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，
Z是与参数采样点对应的函数值,X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。 Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。 X,Y,Z也可以是矩阵形式。
同样,X1,Y1的取值范围不能超出 X,Y的给定范围，
否则，会给出,NaN”错误。
例 6-12 设 z=x2+y2，对 z函数在 [0,1]× [0,2]区域内进行插值。
例 6-13 某实验对一根长 10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用 x表示测量点 0:2.5:10(米 )，用 h表示测量时间
0:30:60(秒 )，用 T表示测试所得各点的温度 (℃ )。试用线性插值求出在一分钟内每隔 20秒、钢轨每隔 1米处的温度 TI。
命令如下：
x=0:2.5:10;
h=[0:30:60]';
T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
xi=[0:10];
hi=[0:20:60]';
TI=interp2(x,h,T,xi,hi)
6.3 曲线拟合在 MATLAB中，用 polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用 polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。
polyfit函数的调用格式为：
[P,S]=polyfit(X,Y,m)
函数根据采样点 X和采样点函数值 Y，产生一个 m次多项式 P
及其在采样点的误差向量 S。其中 X,Y是两个等长的向量，
P是一个长度为 m+1的向量,P的元素为多项式系数。
polyval函数的功能是按多项式的系数计算 x点多项式的值，
将在 6.5.3节中详细介绍。
例 6-14 已知数据表 [t,y]，试求 2次拟合多项式 p(t)，然后求
ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10 各点的函数近似值。
6.4 离散傅立叶变换
6.4.1 离散傅立叶变换算法简要
6.4.2 离散傅立叶变换的实现一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：
(1) fft(X)：返回向量 X的离散傅立叶变换。设
X的长度 (即元素个数 )为 N，若 N为 2的幂次，
则为以 2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非 2幂次的算法。对于矩阵
X,fft(X)应用于矩阵的每一列。
(2) fft(X,N)：计算 N点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为 N，若 X的长度小于 N，则不足部分补上零；若大于 N，则删去超出 N
的那些元素。对于矩阵 X，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为 N。
(3) fft(X,[],dim)或 fft(X,N,dim)：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与 FFT(X,N)基本相同。只是当参数 dim=1时，该函数作用于 X的每一列；当 dim=2时，则作用于 X的每一行。
值得一提的是，当已知给出的样本数 N0不是 2
的幂次时，可以取一个 N使它大于 N0且是 2
的幂次，然后利用函数格式 fft(X,N)或
fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。
相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是 ifft。
ifft(F)返回 F的一维离散傅立叶逆变换；
ifft(F,N)为 N点逆变换； ifft(F,[],dim)或
ifft(F,N,dim)则由 N或 dim确定逆变换的点数或操作方向。
例 6-15 给定数学函数
x(t)=12sin(2π× 10t+π/4)+5cos(2π× 40t)
取 N=128，试对 t从 0~1秒采样，用 fft作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅 -频率图。
在 0~1秒时间范围内采样 128点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从 0到 N-1，故在实际应用时下标应该前移 1。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅 | F(k)|是关于 N/2对称的，故只须使 k从 0到 N/2即可。
程序如下：
N=128; % 采样点数
T=1; % 采样时间终点
t=linspace(0,T,N); % 给出 N个采样时间 ti(I=1:N)
x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采样点样本值 x
dt=t(2)-t(1); % 采样周期
f=1/dt; % 采样频率 (Hz)
X=fft(x); % 计算 x的快速傅立叶变换 X
F=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)
f=f*(0:N/2)/N; % 使频率轴 f从零开始
plot(f,abs(F),'-*') % 绘制振幅 -频率图
xlabel('Frequency');
ylabel('|F(k)|')
6.5 多项式计算
6.5.1 多项式的四则运算
1．多项式的加减运算
2．多项式乘法运算函数 conv(P1,P2)用于求多项式 P1和 P2的乘积。
这里,P1,P2是两个多项式系数向量。
例 6-16 求多项式 x4+8x3-10与多项式 2x2-x+3的乘积。
3．多项式除法函数 [Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式 P1和 P2作除法运算。其中 Q返回多项式 P1除以 P2的商式,r返回 P1除以 P2的余式。这里,Q和 r仍是多项式系数向量。
deconv是 conv的逆函数，即有 P1=conv(P2,Q)+r。
例 6-17 求多项式 x4+8x3-10除以多项式 2x2-x+3的结果。
6.5.2 多项式的导函数对多项式求导数的函数是：
p=polyder(P)：求多项式 P的导函数
p=polyder(P,Q)：求 P·Q的导函数
[p,q]=polyder(P,Q)：求 P/Q的导函数，导函数的分子存入 p，分母存入 q。
上述函数中，参数 P,Q是多项式的向量表示，结果
p,q也是多项式的向量表示。
例 6-18 求有理分式的导数。
命令如下：
P=[1];
Q=[1,0,5];
[p,q]=polyder(P,Q)
6.5.3 多项式的求值
MATLAB提供了两种求多项式值的函数,polyval与
polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量 P
和自变量 x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。
1．代数多项式求值
polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：
Y=polyval(P,x)
若 x为一数值，则求多项式在该点的值；若 x
为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
例 6-19 已知多项式 x4+8x3-10，分别取 x=1.2
和一个 2× 3矩阵为自变量计算该多项式的值。
2．矩阵多项式求值
polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与 polyval
相同，但含义不同。 polyvalm函数要求 x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设 A为方阵,P代表多项式 x3-
5x2+8，那么 polyvalm(P,A)的含义是：
A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
而 polyval(P,A)的含义是：
A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
例 6-20 仍以多项式 x4+8x3-10为例，取一个 2× 2矩阵为自变量分别用 polyval和 polyvalm计算该多项式的值。
6.5.4 多项式求根
n次多项式具有 n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。
MATLAB提供的 roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：
x=roots(P)
其中 P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量 x，即 x(1),x(2),…,x(n) 分别代表多项式的 n
个根。
例 6-21 求多项式 x4+8x3-10的根。
命令如下：
A=[1,8,0,0,-10];
x=roots(A)
若已知多项式的全部根，则可以用 poly函数建立起该多项式，其调用格式为：
P=poly(x)
若 x为具有 n个元素的向量，则 poly(x)建立以 x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量 P。
例 6-22 已知 f(x)
(1) 计算 f(x)=0 的全部根。
(2) 由方程 f(x)=0的根构造一个多项式 g(x)，并与 f(x)进行对比。
命令如下：
P=[3,0,4,-5,-7.2,5];
X=roots(P) %求方程 f(x)=0的根
G=poly(X) %求多项式 g(x)
