第三章 测量误差的基本知识
3-1 概述一,测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的,外界环境,观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因,都可能导致测量误差的产生 。 通常把测量仪器,观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来,称为观测条件 。 观测条件不理想和不断变化,是产生测量误差的根本原因 。 通常把观测条件相同的各次观测,称为等精度观测；观测条件不同的各次观测,称为不等精度观测 。
第三章 测量误差的基本知识具体来说,测量误差主要来自以下三个方面：
(1) 外界条件 主要指观测环境中气温,气压,空气湿度和清晰度,风力以及大气折光等因素的不断变化,导致测量结果中带有误差 。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中,不能保证仪器的结构能满足各种几何关系,这样的仪器必然会给测量带来误差 。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同,也会在仪器对中,整平和瞄准等方面产生误差 。
测量误差按其对测量结果影响的性质,可分为系统误差和偶然误差 。
第三章 测量误差的基本知识二,系统误差在相同的观测条件下,对某量进行了 n次观测,如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化,这种误差称为系统误差 。 系统误差一般具有累积性 。
系统误差产生的主要原因之一,是由于仪器设备制造不完善 。 例如,用一把名义长度为 50m的钢尺去量距,经检定钢尺的实际长度为 50.005 m,则每量尺,就带有
+0.005 m的误差 (“+”表示在所量距离值中应加上 ),丈量的尺段越多,所产生的误差越大 。 所以这种误差与所丈量的距离成正比 。
第三章 测量误差的基本知识再如,在水准测量时,当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时,对水准尺的读数所产生的误差为 l*i″ /ρ ″
（ ρ ″ =206265″,是一弧度对应的秒值 ),它与水准仪至水准尺之间的距离 l成正比,所以这种误差按某种规律变化 。
系统误差具有明显的规律性和累积性,对测量结果的影响很大 。 但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律,
所以可以采取措施加以消除或减少其影响 。
第三章 测量误差的基本知识三,偶然误差在相同的观测条件下,对某量进行了 n次观测,如果误差出现的大小和符号均不一定,则这种误差称为偶然误差,又称为随机误差 。 例如,用经纬仪测角时的照准误差,
钢尺量距时的读数误差等,都属于偶然误差 。
偶然误差,就其个别值而言,在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号 。 但若在一定的观测条件下,对某量进行多次观测,误差列却呈现出一定的规律性,称为统计规律 。 而且,随着观测次数的增加,偶然误差的规律性表现得更加明显 。
第三章 测量误差的基本知识偶然误差具有如下四个特征：
① 在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 (本例为 1.6″ )；
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多
(或概率大 )；
③ 绝对值相等的正,负误差出现的机会相等；
④ 在相同条件下,同一量的等精度观测,其偶然误差的算术平均值,随着观测次数的无限增大而趋于零,
第三章 测量误差的基本知识第一个特性说明偶然误差的,有界性,。 它说明偶然误差的绝对值有个限值,若超过这个限值,说明观测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的
,密集性,,即越是靠近 0″,误差分布越密集；第三个特性反映了偶然误差的对称性,即在各个区间内,正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的
,抵偿性,,它可由第三特性导出,即在大量的偶然误差中,正负误差有相互抵消的特征 。 因此,当 n无限增大时,
偶然误差的算术平均值应趋于零 。
第三章 测量误差的基本知识
3-2 衡量精度的指标测量成果中都不可避免地含有误差,在测量工作中,
使用,精度,来判断观测成果质量好坏的 。 所谓精度,就是指误差分布的密集或离散程度 。 误差分布密集,误差就小,精度就高；反之,误差分布离散,误差就大,精度就低 。
一,中误差及其计算
1 中误差的定义在相同的观测条件下,对同一未知量进行 n次观测,
所得各个真误差平方的平均值,再取其平方根,称为中误差,用 m表示,即：
式中 ［ ΔΔ］ 为真误差 Δ 的平方和,n为观测次数 。
第三章 测量误差的基本知识一组观测中的每一个观测值,都具有相同的精度 。 也就是说,中误差仅是一组真误差的代表值,代表了这一组测量中任一个观测值的精度 。 所以,通常把 m称为观测值中误差或一次观测值中误差 。
2 用真误差计算中误差有时,我们可以知道某些量的真值,这样,就可很容易地求得观测值的真误差 。 例如,三角形内角和的真值为
180°,通过观测三角形的三个内角,就可以求得三角形内角和的真误差 (即三角形的闭合差 ),据此,就可以利用上式计算中误差 。
第三章 测量误差的基本知识
3 用改正数计算中误差利用,改正数,来求中误差 。 所谓改正数,就是最或是值与观测值之差,用 v表示,即：
v=x-l
式中 v为观测值的改正数； l为观测值； x为观测值的最或是值 。
设对某个量进行 n次观测,观测值为 li（ i=1,2… n)，
则它的最或是值就是 n个观测值的算术平均值,即于是改正数为 vi＝ x－ lI （ i＝１,２ … n） 根据误差理论的推导 (此处从略 ),可得白塞尔公式：
上式求得的为一次观测值的中误差 。
第三章 测量误差的基本知识二,相对误差中误差和真误差都是绝对误差,误差的大小与观测量的大小无关 。 然而,有些量如长度,绝对误差不能全面反映观测精度,因为长度丈量的误差与长度大小有关 。 例如,
分别丈量了两段不同长度的距离,一段为 100m,另一段为
200m,但中误差皆为 ± 0.02m。 显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同 。 为此,需要引入,相对误差,的概念,以便能更客观地反映实际测量精度 。
相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比,用 K表示 。 相对误差习惯于用分子为 1的分数形式表示,
分母愈大,表示相对误差愈小,精度也就愈高 。
第三章 测量误差的基本知识三,极限误差根据偶然误差的第一个特性,在一定的观测条件下,
偶然误差的绝对值不会超过一定的限值,这个限值就是极限误差,简称限差 。 限差是偶然误差的限制值,用作观测成果取舍的标准 。 如果观测值的偶然误差超过限差,则认为该观测值不合格,应舍去不用 。 因此,测量上常取三倍中误差作为极限误差 Δ 限,也称允许误差,即,Δ 限 =3m
第三章 测量误差的基本知识
3-3 误差传播定律对于能直接观测的量 (如角度,距离,高差等 ),经过多次观测后,便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差,作为评定观测值精度的标准 。 但在实际工作中,某些未知量不可能或不便于直接进行观测,而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来,这些未知量即为观测值的函数 。 例如,在水准测量中,两点间的高差
h=a-b,则 h是直接观测值 a和 b的函数；在三角高程测量的计算公式中,如果觇标高 v等于仪器高 i,则 h=ltanδ,这时,高差 h就是观测值 l和 δ 的函数,等等 。
本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下,
如何求观测值函数中误差的问题 。 阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律,称为误差传播定律 。
第三章 测量误差的基本知识一,线性函数
1 倍数函数设有函数 Z=Kx
式中 x为直接观测值,其中误差为 mx；Ｋ为常数； Z为观测值 x的函数 。
若对 x作 n次同精度观测,则有：
mＺ 2＝Ｋ 2mx2 或 mＺ ＝Ｋ mx
上式表明：对于倍数函数,函数的中误差等于观测值中误差的 K倍 。
第三章 测量误差的基本知识
2 和,差函数设有函数 Z=x± y
式中,x,y为两个相互独立的观测值,均作了 n次观测,其中误差分别为 mx和 my。 用同样的方法可推导出,
3 一般线性函数设有函数 Z=K１ x１ ± K2x２ ± … ± Knxn
式中,K１,K２ … Kn为常数 ;x１,x２ … xn为独立观测值,其相应的中误差分别为 m１,m２ … mn。 根据倍数函数与和差函数的中误差公式,可列出求一般线性函数中误差的公式为：
mＺ 2＝ （ Ｋ１ m１ ） ２＋ （ Ｋ２ m２ ） ２＋ … ＋
（ Ｋ nmn） ２
第三章 测量误差的基本知识二,非线性函数设有非线性函数 Z=f(x１,x２ … xn）
式中,x１,x２ … xn为独立观测值,其相应的中误差分别为 m１,m２ … mn。
则有上式是误差传播定律的一般形式,其他形式的函数都是它的特例,所以该式具有普遍意义 。
第三章 测量误差的基本知识
3-4 算术平均值及其中误差在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测,其观测值分别为 l１,
l２,…,ln,观测值的真值为 X,则观测值的真误差为：
Δ １＝ l１－Ｘ,
Δ ２＝ l２－Ｘ,…………,Δ n＝ ln－Ｘ,将等式两边取和并除以观测次数 n,得：
[Δ ]/n＝ [l]/n-X
式中 ［ l］ /n称为算术平均值,习惯上以 x表示；当观测次数 n无限增大时,根据偶然误差的第四特性,式中
［ Δ ］ /n趋于零 。 于是有,x=X。
第三章 测量误差的基本知识上式表明,当观测次数无限增多时,各个观测值的算术平均值趋近于未知量的真值 。 当 n为有限值时,通常取算术平均值为最可靠值 (最或是值 ),并以它作为测量的最后成果 。
算术平均值的一般表达式为,x=（ l１＋ l２＋ … ＋ ln）
/n＝ [l]/n
由于观测值 li的真误差 Δ i一般是不知道的,所以实际工作中常采用观测值的改正数 vi来计算中误差 。 各观测值的改正数,v１＝ x－ l１,v２＝ x－ l２,……………
vn＝ x－ ln,将上式两边求和,有,［ v］ =nx-［ l］
因 x=[l]/n,所以 ［ v］ =0。 此式可作为改正数计算正确性的检查 。
算得改正数后,可计算观测值的中误差：
第三章 测量误差的基本知识由于算术平均值是观测值的线性函数,即：
因是同精度观测,各观测值的中误差均为 m。 设算术平均值的中误差为 M,则按线性函数中误差传播定律公式,得：
即上式表明,算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比,
或者说,算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍 。
第五章 测量误差的基本知识
3-1 概述一,测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的,外界环境,观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因,都可能导致测量误差的产生 。 通常把测量仪器,观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来,称为观测条件 。 观测条件不理想和不断变化,是产生测量误差的根本原因 。 通常把观测条件相同的各次观测,称为等精度观测；观测条件不同的各次观测,称为不等精度观测 。
第三章 测量误差的基本知识具体来说,测量误差主要来自以下三个方面：
(1) 外界条件 主要指观测环境中气温,气压,空气湿度和清晰度,风力以及大气折光等因素的不断变化,导致测量结果中带有误差 。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中,不能保证仪器的结构能满足各种几何关系,这样的仪器必然会给测量带来误差 。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同,也会在仪器对中,整平和瞄准等方面产生误差 。
测量误差按其对测量结果影响的性质,可分为系统误差和偶然误差 。
第三章 测量误差的基本知识二,系统误差在相同的观测条件下,对某量进行了 n次观测,如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化,这种误差称为系统误差 。 系统误差一般具有累积性 。
系统误差产生的主要原因之一,是由于仪器设备制造不完善 。 例如,用一把名义长度为 50m的钢尺去量距,经检定钢尺的实际长度为 50.005 m,则每量尺,就带有
+0.005 m的误差 (“+”表示在所量距离值中应加上 ),丈量的尺段越多,所产生的误差越大 。 所以这种误差与所丈量的距离成正比 。
第三章 测量误差的基本知识再如,在水准测量时,当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时,对水准尺的读数所产生的误差为 l*i″ /ρ ″
（ ρ ″ =206265″,是一弧度对应的秒值 ),它与水准仪至水准尺之间的距离 l成正比,所以这种误差按某种规律变化 。
系统误差具有明显的规律性和累积性,对测量结果的影响很大 。 但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律,
所以可以采取措施加以消除或减少其影响 。
第三章 测量误差的基本知识三,偶然误差在相同的观测条件下,对某量进行了 n次观测,如果误差出现的大小和符号均不一定,则这种误差称为偶然误差,又称为随机误差 。 例如,用经纬仪测角时的照准误差,
钢尺量距时的读数误差等,都属于偶然误差 。
偶然误差,就其个别值而言,在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号 。 但若在一定的观测条件下,对某量进行多次观测,误差列却呈现出一定的规律性,称为统计规律 。 而且,随着观测次数的增加,偶然误差的规律性表现得更加明显 。
第三章 测量误差的基本知识偶然误差具有如下四个特征：
① 在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 (本例为 1.6″ )；
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多
(或概率大 )；
③ 绝对值相等的正,负误差出现的机会相等；
④ 在相同条件下,同一量的等精度观测,其偶然误差的算术平均值,随着观测次数的无限增大而趋于零,
第三章 测量误差的基本知识第一个特性说明偶然误差的,有界性,。 它说明偶然误差的绝对值有个限值,若超过这个限值,说明观测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的
,密集性,,即越是靠近 0″,误差分布越密集；第三个特性反映了偶然误差的对称性,即在各个区间内,正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的
,抵偿性,,它可由第三特性导出,即在大量的偶然误差中,正负误差有相互抵消的特征 。 因此,当 n无限增大时,
偶然误差的算术平均值应趋于零 。
第三章 测量误差的基本知识
3-2 衡量精度的指标测量成果中都不可避免地含有误差,在测量工作中,
使用,精度,来判断观测成果质量好坏的 。 所谓精度,就是指误差分布的密集或离散程度 。 误差分布密集,误差就小,精度就高；反之,误差分布离散,误差就大,精度就低 。
一,中误差及其计算
1 中误差的定义在相同的观测条件下,对同一未知量进行 n次观测,
所得各个真误差平方的平均值,再取其平方根,称为中误差,用 m表示,即：
式中 ［ ΔΔ］ 为真误差 Δ 的平方和,n为观测次数 。
第三章 测量误差的基本知识一组观测中的每一个观测值,都具有相同的精度 。 也就是说,中误差仅是一组真误差的代表值,代表了这一组测量中任一个观测值的精度 。 所以,通常把 m称为观测值中误差或一次观测值中误差 。
2 用真误差计算中误差有时,我们可以知道某些量的真值,这样,就可很容易地求得观测值的真误差 。 例如,三角形内角和的真值为
180°,通过观测三角形的三个内角,就可以求得三角形内角和的真误差 (即三角形的闭合差 ),据此,就可以利用上式计算中误差 。
第三章 测量误差的基本知识
3 用改正数计算中误差利用,改正数,来求中误差 。 所谓改正数,就是最或是值与观测值之差,用 v表示,即：
v=x-l
式中 v为观测值的改正数； l为观测值； x为观测值的最或是值 。
设对某个量进行 n次观测,观测值为 li（ i=1,2… n)，
则它的最或是值就是 n个观测值的算术平均值,即于是改正数为 vi＝ x－ lI （ i＝１,２ … n） 根据误差理论的推导 (此处从略 ),可得白塞尔公式：
上式求得的为一次观测值的中误差 。
第三章 测量误差的基本知识二,相对误差中误差和真误差都是绝对误差,误差的大小与观测量的大小无关 。 然而,有些量如长度,绝对误差不能全面反映观测精度,因为长度丈量的误差与长度大小有关 。 例如,
分别丈量了两段不同长度的距离,一段为 100m,另一段为
200m,但中误差皆为 ± 0.02m。 显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同 。 为此,需要引入,相对误差,的概念,以便能更客观地反映实际测量精度 。
相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比,用 K表示 。 相对误差习惯于用分子为 1的分数形式表示,
分母愈大,表示相对误差愈小,精度也就愈高 。
第三章 测量误差的基本知识三,极限误差根据偶然误差的第一个特性,在一定的观测条件下,
偶然误差的绝对值不会超过一定的限值,这个限值就是极限误差,简称限差 。 限差是偶然误差的限制值,用作观测成果取舍的标准 。 如果观测值的偶然误差超过限差,则认为该观测值不合格,应舍去不用 。 因此,测量上常取三倍中误差作为极限误差 Δ 限,也称允许误差,即,Δ 限 =3m
第三章 测量误差的基本知识
3-3 误差传播定律对于能直接观测的量 (如角度,距离,高差等 ),经过多次观测后,便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差,作为评定观测值精度的标准 。 但在实际工作中,某些未知量不可能或不便于直接进行观测,而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来,这些未知量即为观测值的函数 。 例如,在水准测量中,两点间的高差
h=a-b,则 h是直接观测值 a和 b的函数；在三角高程测量的计算公式中,如果觇标高 v等于仪器高 i,则 h=ltanδ,这时,高差 h就是观测值 l和 δ 的函数,等等 。
本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下,
如何求观测值函数中误差的问题 。 阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律,称为误差传播定律 。
第三章 测量误差的基本知识一,线性函数
1 倍数函数设有函数 Z=Kx
式中 x为直接观测值,其中误差为 mx；Ｋ为常数； Z为观测值 x的函数 。
若对 x作 n次同精度观测,则有：
mＺ 2＝Ｋ 2mx2 或 mＺ ＝Ｋ mx
上式表明：对于倍数函数,函数的中误差等于观测值中误差的 K倍 。
第三章 测量误差的基本知识
2 和,差函数设有函数 Z=x± y
式中,x,y为两个相互独立的观测值,均作了 n次观测,其中误差分别为 mx和 my。 用同样的方法可推导出,
3 一般线性函数设有函数 Z=K１ x１ ± K2x２ ± … ± Knxn
式中,K１,K２ … Kn为常数 ;x１,x２ … xn为独立观测值,其相应的中误差分别为 m１,m２ … mn。 根据倍数函数与和差函数的中误差公式,可列出求一般线性函数中误差的公式为：
mＺ 2＝ （ Ｋ１ m１ ） ２＋ （ Ｋ２ m２ ） ２＋ … ＋
（ Ｋ nmn） ２
第三章 测量误差的基本知识二,非线性函数设有非线性函数 Z=f(x１,x２ … xn）
式中,x１,x２ … xn为独立观测值,其相应的中误差分别为 m１,m２ … mn。
则有上式是误差传播定律的一般形式,其他形式的函数都是它的特例,所以该式具有普遍意义 。
第三章 测量误差的基本知识
3-4 算术平均值及其中误差在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测,其观测值分别为 l１,
l２,…,ln,观测值的真值为 X,则观测值的真误差为：
Δ １＝ l１－Ｘ,
Δ ２＝ l２－Ｘ,…………,Δ n＝ ln－Ｘ,将等式两边取和并除以观测次数 n,得：
[Δ ]/n＝ [l]/n-X
式中 ［ l］ /n称为算术平均值,习惯上以 x表示；当观测次数 n无限增大时,根据偶然误差的第四特性,式中
［ Δ ］ /n趋于零 。 于是有,x=X。
第三章 测量误差的基本知识上式表明,当观测次数无限增多时,各个观测值的算术平均值趋近于未知量的真值 。 当 n为有限值时,通常取算术平均值为最可靠值 (最或是值 ),并以它作为测量的最后成果 。
算术平均值的一般表达式为,x=（ l１＋ l２＋ … ＋ ln）
/n＝ [l]/n
由于观测值 li的真误差 Δ i一般是不知道的,所以实际工作中常采用观测值的改正数 vi来计算中误差 。 各观测值的改正数,v１＝ x－ l１,v２＝ x－ l２,……………
vn＝ x－ ln,将上式两边求和,有,［ v］ =nx-［ l］
因 x=[l]/n,所以 ［ v］ =0。 此式可作为改正数计算正确性的检查 。
算得改正数后,可计算观测值的中误差：
第三章 测量误差的基本知识由于算术平均值是观测值的线性函数,即：
因是同精度观测,各观测值的中误差均为 m。 设算术平均值的中误差为 M,则按线性函数中误差传播定律公式,得：
即上式表明,算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比,
或者说,算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍 。
第五章 测量误差的基本知识
