王晓峰著《线性代数》习题解答第一章
1. 解下列方程组,并在直角坐标系中作出图示.
1); 2); 3).
解,1) 将第一个方程减去第二个方程,得2y=-1,y=-1/2,再代入第个方程解得x=1+1/2=3/2,绘出图示如下图所示,两直线相将于一点方程有唯一解.
2) 将第二个方程除以3得,与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组,无解,绘出图示如下图所示
3) 将第2个方程除以2,可以得到第一个方程,令y=t为任意实数,则x=1+t,方程组的解集为(1+t,t),图示如下图所示,方程的解集为一条直线.
2,用Gauss消元法解下列线性方程组.
1) 2)
3) 4)
解,1) 对增广矩阵进行变换:
则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=10-3t,x2=5t-7,方程有无穷多解,解集为
(10-3t,5t-7,t).
2) 对增广矩阵进行变换:
则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=-t,x2=2t-1,
解集为(-t,2t-1,t).
3) 对增广矩阵进行变换:
方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.
4) 此为齐次方程,对系数矩阵进行变换
可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.
3,确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.
1) 无解: 2) 有唯一解:
3) 有无穷多解:
解:
1) 对增广矩阵作变换:
因此,要使方程组无解,须使8-3k=0,解得k=8/3,即当k取值为8/3时,方程无解.
2) 对增广矩阵作变换:
因此,如要方程组有唯一解,必须有,即.
3) 对增广矩阵作变换
因此,如要方程组有无穷多解,必须4-4k=0,即当k=1时,方程组才有无穷多解.
4,证明,如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0,那么a=b=c=0.
证,既然对所有的实数x都有ax2+bx+c=0成立,那么具体地分别取x=0,x=1,x=2代入上式也成立,则有
,这是关于a,b,c的齐次线性方程组,对其系数矩阵作变换:
看出此方程只有唯一零解,因此有a=b=c=0.
5,讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷多解.
1) 2)
3) 4)
解,1) 方程组有一个自由变元x2,因此方程组有无穷多解.
2) 方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解.
3) 第三个方程0=4说明此方程无解.
4) 方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解.
6,对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..
1) 2)
3)
解,1) 对增广矩阵进行变换:
方程组无解.
2) 对增广矩阵进行变换
可以看出y和w为自由变元,则令y=s,w=t,s与t为任意常数,则x=100-3s+96t,
z=54+52t,方程的解集表示为(100-3s+96t,s,54+52t,t).
3) 对增广矩阵进行变换
可知y与z为自由变元,令y=s,z=t,s与t均为任意实数,则
,方程组的解集为
7,对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.
1) 2)
解,1) 对系数矩阵作初等变换.
方程只有零解,x=y=z=0.
2) 对系数矩阵作初等变换
因此,w为自由变元,令w=t为任意实数,则x=-2t,y=0,z=t,方程组的解集为
(2t,0,t,t).
8,设一线性方程组的增广矩阵为
求α的值使得此方程组有唯一解.
解,对增方矩阵求初等变换
因此,此方程组要有唯一解,就必须满足α+2≠0,即α≠-2.
9,设一线性方程组的增广矩阵为
1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由.
2) β取何值时方程组有无穷多解?
解,1) 此方程一定有解,因为此方程是齐次方程,至少有零解.
2) 对此增广矩阵做初等变换
因此,只有当β+5=0,即β=-5时,方程才有无穷多解.
10,求λ的值使得下述方程组有非零解.
解,对系数矩阵作初等行变换:
因此,要使方程有非零解,必须有(λ-2)2+1=0,但(λ-2)2+1≥0对λ取任何实数值总是成立,因此必有(λ-2)2+1≠0,因此,无论λ取什么值此方程组都不会有非零解.
11,求出下列电路网络中电流I1,I2,I3的值.
解,根据基尔霍夫定律可得如下方程组:
对增广矩阵做初等行变换
最后得I1=7/13,I2=22/13,I3=15/13
12,一城市局部交通流如图所示.(单位,辆/小时)
1) 建立数学模型
2) 要控制x2至多200辆/小时,并且x3至多50辆小时是可行的吗?
解,1} 将上图的四个结点命名为A,B,C,D,如下图所示:
则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样,这样这四个结点可列出四个方程如下:
对增广矩阵进行变换:
可见x3和x5为自由变量,因此令x3=s,x5=t,其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值),则可得x1=500-s-t,x2=s+t-200,x4=350-t.
2) 令x2=200,x3=s=50,代入上面的x2的表达式,得200=50+t-200,求出t=350,
则x1=500-s-t=100,x4=0,是可行的.
13,在应用三的货物交换经济模型中,如果交换系统由下表给出,试确定农作物的价值x1,农具及工具的价值x2,织物的价值x3的比值.
解,根据上表可得关于x1,x2,x3的三个齐次方程如下:
对系数矩阵做行初等变换:
可见方程有非零解,x3为自由变量,令x3=t为任意正实数,则有x1=x2=x3=t,即三种价值的比值为1:1:1,
第二章
1,写出下列方程组的矩阵形式:
1) x1-2x2+5x3=-1; 2)
3)
解:
1) ; 2) ;
3)
2,设
,
求,1) 3A-2B;
2) 若X满足AT+XT=BT,求X..
解,1)
2)
因X满足AT+XT=BT,等号两边同时转置,有
A+X=B,
等号两边同时减去A,得
X=B-A,
因此有
3,计算下列矩阵的乘积:
1) ; 2) ;
3) ; 4)
解:
1)
2)
3)
4)
4,设
求,1) (A+B)(A-B);
2) A2-B2.
比较1)和2)的结果,可得出什么结论?
解,1)
2)
可得出的结论,大家知道,在代数公式上有a2-b2=(a+b)(a-b),而将此公式中的a和b换成矩阵A与B,就不一定成立了,这是因为矩阵乘法一般不满足交换律,即一般AB≠BA,当然也就有A2-B2≠(A+B)(A-B).
5,已知矩阵A,B,C,求矩阵X,Y使其满足下列方程:
解,将此方程编上号,用类似解线性方程组一样的办法来解,
将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加,右边和右边相加,等号还是成立,得:
3X=C+(A+B)T
两边同乘1/3,得
(3)
(2)式等号两边都加上X,得
Y=(A+B)T-X (4)
将(3)式代入到(4)式,得
因此
6,如矩阵AB=BA,则称A与B可交换,试证:
1) 如果B1,B2都与A可交换,那么B1+B2,B1B2,也与A可交换;
2) 如果B与A可交换,那么B的k(k>0)次幂Bk也与A可交换.
证,1) 因B1,B2都与A可交换,即AB1=B1A,AB2=B2A,则
(B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)
即B1+B2与A可交换,而且
(B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2),
因此B1B2与A可交换.
2)因B与A可交换,即AB=BA,则用归纳法,当k=1时,有B1=B,结论显然成立.
假设当k=m时假设成立,即ABm=BmA,
则当k=m+1时,有
ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A,
结论也成立.
7,如矩阵A=AT,则称A为对称矩阵.
设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证,已知A=AT,B=BT,
充分性,假设AB=BA,则(AB)T=BTAT=BA=AB,因此AB为对称矩阵.
必要性,如果AB为对称矩阵,即(AB)T=AB,则因
(AB)T=BTAT=BA,可得BA=AB.
8,设
其中ai≠aj,当i≠j (i,j = 1,2,…,n),试证,与A可交换的矩阵一定是对角矩阵.
证:
假设矩阵B={bij}n与A可交换,即有BA=AB,而BA相乘得到的矩阵为B的第j列所有元素都乘上aj得到的矩阵,AB相乘得到的矩阵为B的第i行元素都乘上ai得到的矩阵,即
BA={ajbij}n,AB={aibij}n,但对于任给的i,j,i≠j,因AB=BA,因此有ajbij=aibij,因ai≠aj,所以必有bij=0,即B只能是对角矩阵.
9,检验以下两个矩阵是否互为可逆矩阵?
解,计算AB和BA如下:
因此A与B确实互为逆矩阵.
10,设A,B,C为n阶方阵,且C非奇异,满足C-1AC=B,求证Bm=C-1AmC (m为正整数).
证,用归纳法,当m=1时条件已经成立为C-1AC=B,假设当m=k时,命题成立,即有
Bk=C-1AkC,则当m=k+1时,有
Bk+1= BkB= C-1AkCC-1AC= C-1Ak(CC-1)AC= C-1AkIAC= C-1AkAC= C-1Ak+1C,
命题得证.
11,若n阶矩阵A满足A2-2A-4I=0,试证A+I可逆,并求(A+I)-1.
证,将A2-2A-4I=0改写为A2-2A-3I=I,
先解一元二次方程组x2-2x-3=0,根据公式
其中a=1,b=-2,c=-3,则,因此可将多项式x2-2x-3因式分解为
x2-2x-3=(x-3)(x+1),那么,根据矩阵相乘相加的性质也就能将A2-2A-3I因式分解为
A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I),因此我们有
(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I,即A+I与A-3I 互为逆矩阵,
(A+I)-1=A-3I.
12,证明,如果A=AB,但B不是单位矩阵,则A必为奇异矩阵.
证,用反证法,假设A为可逆,其逆为A-1,则对于A=AB两边同时左乘A-1,得
A-1A=A-1AB,即I=B,这与B不是单位矩阵相矛盾,因此A必为奇异矩阵.
13,判别下列矩阵是否初等矩阵?
1) , 2)
3) , 4)
解,1) 是初等矩阵P(2(-2)),
2) 是初等矩阵P(1,3),
3) 不是初等矩阵,
4) 是初等矩阵P(3(-4),2).
14,求3阶方阵A满足
解,从等式看出A左乘一矩阵相当于对此矩阵作初等行变换r3×(-5)+r1,因此A为一相应的初等矩阵,即
15,设A,B,C均为n阶可逆矩阵,且ABC=I,证明BCA=I
证,因B,C为可逆矩阵,则BC也是可逆矩阵,且(BC)-1=C-1B-1,
因ABC=I,对此等式两边右乘(BC)-1,即ABC(BC)-1=I(BC)-1,
因为BC(BC)-1=I,因此上式化简为A=(BC)-1,因此当然有
BCA=BC(BC)-1=I.
16,设A,B均为n阶方阵,且,证明,A2=A的充分必要条件是B2=I.
证,充分性,假设B2=I,则
必要性,如果A2=A,则有
等式两边乘4得
,
等式两边同时减去2B+I得
B2=I
证毕.
17,如果n阶矩阵A满足A2=A,且A≠I,则A为奇异矩阵.
证,用反证法,假设A为可逆,其逆为A-1,则上式两边左乘(或者右乘)A-1,得
AAA-1=AA-1,即A=I,但这与A≠I相矛盾,因此A的逆不存在,即A为奇异矩阵.
18,求下列矩阵的逆矩阵:
1) ; 2)
3)
解,用对[A|I]进行行初等变换为[I|A-1]的办法来求:
1)
因此,最后得
2)
因此有
3)
因此,最后得
19,解下列矩阵方程,求出未知矩阵X.
1) 2)
解,令,则要解的方程为AX=B
将方程两边左乘上A的逆A-1,可得A-1AX=A-1B,即
X=A-1B
下面求A-1:
因此有
因此
2) 令则矩阵方程为XA=B
设A的逆存在为A-1,则方程两边右乘A-1,得XAA-1=BA-1,
即
X=BA-1
下面求A-1:
因此,
最后得
20,求矩阵X满足AX=A+2X,其中
解,将方程两边减去2X,得AX-2X=A
因2X=2IX,因此上面的方程可以从右边提取公因子X,得
(A-2I)X=A
假设A-2I可逆,则方程两边同时左乘(A-2I)-1,得(A-2I)-1(A-2I)X=(A-2I)-1A,
即X=(A-2I)-1A
设B=A-2I,则X=B-1A,而
下面用行初等变换求B的逆B-1:
则
最后得
验算:
21,利用分块的方法,求下列矩阵的乘积:
1) ; 2)
解:
1) 将乘积分块为
其中
2) 将乘积分块为
第三章
1,计算下列行列式:
1) ; 2) ; 3)
解,1) ;
2) ;
3) .
2,计算下列三阶行列式:
1) ; 2) ; 3)
解,1) 将行列式按第一列展开
2) 将行列式按第二行展开
3)
3,计算下列行列式:
1) ; 2) ;
3)
解,1) 将行列式按第一列展开后,得到的各子式再按第二列展开,这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0,因此后三列任何三阶子式均为0,整个行列式的值D=0.
2) 将行列式按第一列展开得
3) 先对第一列展开,然后对第二列展开,得
4,利用行列式的性质计算下列行列式
1) ; 2) ;
3)
解,下面都将所求行列式的值设为D.
1) 因为第1行加到第2行以后,第2行将和第4行相等,因此行列式的值D=0;
2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a,d,f,再从第1,2,3列提取公因子b,c,e,得
3) 将第2,3,4列都展开,并统统减去第1列,得
再将第3列减去2倍的第2列,第4列减去3倍的第2列,得
5,把下列行列式化为上三角形行列式,并计算其值
1) ; 2)
解:
1)
2)
6,计算下列n阶行列式
1) 2)
解,1) 设此行列式的值为D,将第2,3,…,n列均加于第一列,则第一列的所有元素均为
,将此公因式提出,因此有
再令第n行减去第n-1行,第n-1行减去第n-2行,…,第2行减去第1行,可得
2) 此题和第3题的2)一样,因此有
7,证明下列行列式
1)
2)
证,1)
2) 用归纳法,设Dn为所求行列式值,当n=1时,
,等式成立.
假设当n=k时假设成立,即有
当n=k+1时,
证毕.
8,求矩阵的伴随矩阵A*,并求A-1.
解,
因此得
A的行列式为
因此有
9,设A为三阶方阵,A*是A的伴随矩阵,且|A|=1/2,求行列式|(3A)-1-2A*|的值.
解,因,以及,还有,
则
10,设A为n阶可逆阵,A2=|A|I,证明,A的伴随矩阵A*=A.
证,因A可逆,则在等式A2=|A|I两边乘A-1,得A=|A|A-1,即
,而因为,所以有A=A*,证毕.
11,用克莱姆法则解下列方程组.
(1) (2)
解,(1) 方程的系数矩阵A为
,常数向量,则求A的逆矩阵:
因此得
则方程的解X为
即x1=3,x2=4,x3=5.
(2) 方程的系数矩阵A为
,常数向量
先求A的逆A-1:
因此有
则
即x1=0,x2=2,x3=0,x4=0.
12,如果齐次线性方程组有非零解,k应取什么值?
解,此方程组的系数矩阵A为
要使方程组有非零解,必须有det(A)=0.
而
因此,只有当k=5或者k=2或者k=8时,此方程组才有非零解.
13,问λ,μ取何值时,齐次线性方程组
有非零解?
解,此方程组的系数矩阵A为
,要使方程组有非零解,必须det(A)=0,
而
因此,只有当λ=1或者μ=0时,方程组才有非零解.
1,设α1=(1,1,1),α2=(-1,2,1),α3=(2,3,4),求β=3α1+2α2-α3
解,β=3α1+2α2-α3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4)
=(3-2-2,3+4-3,3+2-4)=(-1,4,1)
2,设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α),求α,其中
α1=(2,5,1,3),α2=(10,1,5,10),α3=(4,1,-1,1)
解,将上述方程整理:
3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α
-3α+2α-5α=-3α1-2α2+5α3
(-3+2-5)α=-3α1-2α2+5α3
-6α=-3α1-2α2+5α3
最后得
3,设R为全体实数的集合,并且设
,
.
问V1,V2是否向量空间? 为什么?
解,(一般的技巧,凡是对Rn作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间,而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点,就不是向量子空间).
V1是向量空间,且是Rn的向量子空间,因为,而任给,设
则令,
则因
,
则,
因为,而
则,
因此,V1是Rn的向量子空间.
而V2不是向量空间,是因为,零向量O不属于V2,.
4,试证,由所生成的向量空间就是R3
证,因为,只须证,
任给,试求实数x1,x2,x3使
x1α1+x2α2+x3α3=D,即
x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3)
也就是解线性方程组
对其增广矩阵进行行初等变换成阶梯形矩阵:
可见方程有解,因此得证.
5,判数下列向量是线性相关还是线性无关.
1) α1=(1,1),α2=(2,2);
2) α1=(2,3),α2=(1,4),α3=(5,6);
3) α1=(1,1,1),α2=(2,1,3),α3=(0,1,2);
4) α1=(a11,0,0,…,0),α2=(0,a22,0,…,0),…,αn=(0,0,…,ann);
解,
1) 考察齐次方程x1α1+x2α2=O,
即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),
整理得(x1+2x2,x1+2x2)=(0,0),
再写成如下的形式:
对系数矩阵进行行初等变换:
存在一自由变量x2,方程有非零解,因此α1,α2线性相关.
2) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O
即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=(0,0)
整理得(2x1+x2+5x3,3x1+4x2+6x3)=(0,0)
再写成如下形式:
则因方程数少于变元数,必有非零解,因此α1,α2,α3线性相关.
3) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O
即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)
整理得(x1+2x2,x1+x2+x3,x1+3x2+2x3)=(0,0,0)
再写成如下形式:
对系数矩阵进行初等行变换
方程没有自由变量,只有唯一零解,因此α1,α2,α3线性无关.
4) 考察齐次方程x1α1+x2α2+…+xnαn=O,
即x1(a11,0,0,…,0,0)+x2(0,a22,0,…,0,0)+…+xn(0,0,…,0,ann)=(0,0,…,0)
整理得(a11x1,a22x2,…annxn)=(0,0,…,0)
再写成如下形式:
由于,此齐次方程组只有零解,因此α1,α2,…,αn线性无关.
6,设β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,证明向量组β1,β2,β3,β4线性相关.
证,只须证明齐次方程
x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=O (1)
有非零解,即证明了向量组β1,β2,β3,β4线性相关,
将β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1代入(1)式,得
x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α4)+x4(α4+α1)=O
整理后得
(x1+x4)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3+(x3+x4)α4=O
因此,只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的α1,α2,α3,α4,的系数等于0,则命题得证.
也就是要使
(2)
解此齐次方程组,对系数矩阵进行行初等变换得:
方程有一个自由变量x4,因此方程组(2)有非零解,此解也就满足方程组(1),因此β1,β2,β3,β4线性相关.
7,设向量组α1,α2,…,αs 线性无关,证明向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs也线性无关.
证,考察齐次方程组
x1α1+x2(α1+α2)+…+xs(α1+α2+…+αs)=O (1)
整理后得
(x1+x2+…+xs)α1+(x2+…+xs)α2+…+xsαs=O (2)
因为α1,α2,…,αs线性无关,因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的α1,α2,…,αs的各个系数为0,即
此齐次方程组的系数矩阵为上三角方阵,对角线上元素全为1,因此只有零解,即齐次方程组(1)也只有零解,因此向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs线性无关.
8,设α1,α2,α3是一组3维向量,已知3维单位坐标向量
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
能由α1,α2,α3线性表出,证明α1,α2,α3线性无关.
证,用反证法,假设α1,α2,α3线性相关,则存在不全为零的数x1,x2,x3,使得
x1α1+x2α2+x3α3=O
不妨假设x1≠0,则可得,既然α1可由α2,α3线性表出,即
α1,α2,α3可由α2,α3线性表出,则根据题意e1,e2,e3又可被α1,α2,α3线性表出,则e1,e2,e3可被α2,α3线性表出,则三个向量可被少于三个的向量线性表出,其必线性相关,但我们知道e1,e2,e3线性无关,因此导出矛盾,这就证明了α1,α2,α3必线性无关.
9,设n维向量组α1,α2,…,αm线性相关,证明,任意加上h个n维向量αm+1,αm+2,…,αm+h构成的向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.
证,因向量组α1,α2,…,αm线性相关,因此必有不全为零的数x1,x2,…,xm使得
x1α1+x2α2+…+xmαm=O,
因此,选取m+h个数,前面m个与x1,x2,…,xm相同,后面h个数为0,则这样的m+h个数仍然是不全为零,且有
x1α1+x2α2+…+xmαm+0αm+1+0αm+2+…+0αm+h=O
所以向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.
10,判断下述向量组是否线性相关?
α1=(1,0,…,0,a1),α2=(0,1,…,0,a2),…,αn=(0,0,…,1,an)
解,因为向量组α1,α2,…,αn是由单位坐标向量组
e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…,en=(0,0,…,1)
增加一个分量构成的Rn+1中的向量组,而因为e1,e2,…,en线性无关,因此α1,α2,…,αn也线性无关.
11,验证α1=(1,-1,0),α2=(2,1,3),α3=(3,1,2)是R3的一个基,并把β=(5,0,7)用这个基线性表示。
解,如果将α1,α2,α3看作列向量拼成的矩阵
有逆存在,则它们必是R3的一个基,因此试求此矩阵的逆如下:
因此A有逆存在为
因此α1,α2,α3线性无关确实是R3的一个基,则任给一列向量D=(d1,d2,d3),将其作为列向量,则解方程组AX=D,可得X=A-1D,具体用β代入D,可得
即解得β在这基α1,α2,α3下的坐标为2,3,-1,即
β=2α1+3α2-α3,不难验证确实有
(5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)
12,判断Rn的子集S={X=(x1,x2,…,xn),其中xn=0}是否Rn的子空间? 如果是子空间,写出该子空间的基和维数.
解,任取S中两个元素X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn),即xn=yn=0,则X+Y的第n个分量xn+yn=0,因此X+Y(S,再任取S中的一个元素X和一实数k,则kX的第n个分量kxn=0,即kX(S,因此S是Rn的子空间.
实际上,S是齐次方程0x1+0x2+…+xn=0的解集,此齐次方程共有n-1个自由变元,将这n-1个自由变元依次取1而其它变元为0,就可以得到S的基或者说是齐次方程xn=0的基础解系.因此,S的维数为n-1,其中的基或者说齐次方程xn=0的基础解系为:
ξ1=(1,0,…,0,0),ξ2=(0,1,…,0,0),…,ξn-1=(0,0,…,1,0).
13,在R3中,设S1是由α1=(1,1,1),α2=(2,3,4)生成的子空间,S2是由β1=(3,4,5),β2=(0,1,2)生成的子空间,证明S1=S2,并说出该子空间的维数.
解,要证明S1=S2只须证明α1,α2与β1,β2相互等价,也就是要验证α1,α2能够被β1,β2线性表出,同时β1,β2也能够被α1,α2线性表出.
首先验证α1,α2能够被β1,β2线性表出,先验证α1能够被β1,β2线性表出,就是要解线性方程组
x1β1+x2β2=α1,写成标准的线性方程组的形式为
对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:
方程有唯一解x1=1/3,x2=-1/3,因此α1能够被β1,β2线性表出为
(1)
再验证α2能够被β1,β2线性表出,就是要解线性方程组x1β1+x2β2=α1,写成标准线性方程组的形式为
对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:
方程有唯一解x1=2/3,x2=1/3,因此α1能够被β1,β2线性表出为
(2)
将(1)式和(2)式等号两边分别相加,得
而(1)式两边乘-2再加到(2)式,可得
因此β1,β2也能够被α1,α2线性表出,所以两个向量组生成的子空间S2=S2.
下面讨论α1,α2是否线性无关,即解齐次方程x1α1+x2α2=O,即解如下方程:
对此方程的系数矩阵作行初等变换
可见方程没有自由变量,只有唯一零解,因此α1,α2线性无关,构成S1的一组基,因此S1的维数是2.
14,设α1,α2,…,αn是Rn的一个基,A为n阶可逆矩阵,求证Aα1,Aα2,…,Aαn也是Rn的一个基.
解,这种表述方法是将所有的向量看作是列向量,即n行一列的矩阵,任给一向量β(Rn,当然有A-1β(Rn,又因α1,α2,…,αn是Rn的一个基,因此向量A-1β可以由α1,α2,…,αn线性表出,即存在一组数c1,c2,…,cn使得
A-1β=c1α1+c2α2+…+cnαn
则在上式两边同时左乘矩阵A,可得
β=c1Aα1+c2Aα2+…+cnAαn
即β可由Aα1,Aα2,…,Aαn线性表出.
下面证Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关,用反证法,如若不然,假设Aα1,Aα2,…,Aαn线性相关,齐次方程组
x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=O
有非零解,则方程两边左乘A-1可得
x1α1+x2α2+…+xnαn=O
也有非零解,导出α1,α2,…,αn线性相关,这与α1,α2,…,αn是Rn的一个基相矛盾,因此Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关,从而也是Rn的一个基.
15,证明,同一个向量组的任意两个极大无关组等价.
证,假设向量组α1,α2,…,αn的秩为r,它的两个极大无关组为β1,β2,…,βr和γ1,γ2,…,γr,则因为向量组β1,β2,…,βr中的每一个向量都是向量组α1,α2,…,αn中的向量,当然就能够被向量组
γ1,γ2,…,γr线性表出,反之亦然,因此向量组β1,β2,…,βr和向量组γ1,γ2,…,γr相互间等价.
16,证明,等价的向量组有相同的秩.
证,假设向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价,其中向量组α1,α2,…,αn的秩为r,不妨假设其头r个向量α1,α2,…,αr为它的一个极大无关组,而向量组β1,β2,…,βm的秩为s,不妨假设其头s个向量β1,β2,…,βs为它的一个极大无关组,则因为向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价,必有它们的极大无关组α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs相互等价,则两个线性无关的向量组相互等价,必有它们的个数相同,即r=s.
17,设向量β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出,但向量β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出,试证,向量组α1,α2,…,αr-1,αr与α1,α2,…,αr-1,β有相同的秩.
证,因β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出,即存在一组数c1,c2,…,cr-1,cr使得
β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1+crαr (1)
现证明cr(0,如若不然,cr=0,则上式就成为β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1,但这与题意所述β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出相矛盾,
因此将(1)式的两边减β,然后两边减crαr,两边再乘(-1/cr),可得
即αr可由向量组α1,α2,…,αr-1,β线性表出,当然向量组α1,α2,…,αr-1,β也可由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出,这两个向量组等价,因此必有相同的秩.
18,求下列向量组的秩,并求出它的一个极大无关组:
1) α1=(2,0,1,1),α2=(-1,-1,0,1),α3=(1,-1,0,0),α4=(0,-2,-1,-1)
2) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7)
解,
1) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=O,化成AX=O的形式,对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵,首项变元的个数为向量组的秩,而首项变元对应的向量构成极大无关组.
则首项变元x1,x2,x3对应的向量α1,α2,α3构成极大无关组,因此向量组的秩为3.
2) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3=O,化成AX=O的形式,对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵,首项变元的个数为向量组的秩,而首项变元对应的向量构成极大无关组.
首项变元数为2个，因此秩为2，首项变元x1,x2对应的向量α1,α2构成极大无关组.
19,求下列矩阵的秩
1) ; 2)
解,求矩阵A的秩,就是求A作为系数矩阵的齐次方程组AX=O的解中首项变元的数目,因此将A作行初等变换变成阶梯矩阵后,不为零的行数就是A的秩.
1)
因此A的秩为2
2)
秩为3.
20,求下列齐次线性方程组的基础解系,并写出其通解:
1) 2)
解,1) 对系数矩阵作行初行变换:
x4为自由变元,令x4=t,t为任意常数,则有
写成向量形式为:
,基础解系为
2) 对系数矩阵作初等行变换
有两个自由变元x2和x4,令x2=s,x4=t,s,t为任意常数,则
x1=-2x2+x4,x3=0,写成向量形式有
,基础解系为
21,求解下列非齐次线性方程组：
1) 2)
解,1) 对其增广矩阵作行初等变换:
因此,方程无解.
2) 对其增广矩阵作行初等变换:
方程有两个首项变元x1和x4,两个自由变元x2和x3,令x2=s,x3=t,其中s,t为任意常数,则
,将解写成向量形式,有
22,当a1,a2,b1,b2满足什么条件时,下述方程组有解,当方程组有解时,求出其通解.
解,对增广矩阵进行行初等变换,
因此,为使方程有解,必须有a1+a2-b1-b2=0,这时有a2=b1+b2-a1,方程有一个自由变元x4,令x4=t,t为任意常数,则x1=a1-b2+x4=a1-b2+t,x2=b2-t,x3=a2-t,写成向量形式,就是
23,设三维向量空间里的两个基底分别为α1,α2,α3与β1,β2,β3,且
1) 若向量ξ=2β1-β2+3β3,求ξ对于基底α1,α2,α3的坐标;
2) 若向量η=2α1-α2+3α3,求η对于基底β1,β2,β3的坐标.
解,将两个基底拼成按列分块的矩阵,即令A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3),则A与B均为三阶方阵,则按题意知A与B的关系为
其中
则
1)
即ξ对于基底α1,α2,α3的坐标为3,4,4
2)
由B=AC知A=BC-1,先求C-1如下:
求出
则有
因此η对基底β1,β2,β3的坐标为11/2,-5,13/2.
第五章
1,求如下矩阵的特征值和特征向量:
1) ; 2) ; 3)
解,(注,对于三阶以上矩阵,没有多少可以解出特征值的好办法,通常是尝试0,1,2,-1,-2这几个值是否特征值,通过这样的尝试找出一个特征值之后,通过因式分解将多项式化为二次方程再解余下的两个根).
1) 特征方程为
解出两个特征值为:
即两个特征值λ1=1,λ2=-5,
对λ1=1,解齐次线性方程组
,容易看出方程有一个自由变元x2,令x2=t为任意常数,则x1=x2=t,因此通解为,则求得λ1=1对应的特征向量为t(1,1)T.
对λ2=5,解齐次线性方程组
,此方程也有一个自由变元x2,令x2=t为任意常数,则
因此通解为,则求得λ2=5对应的特征向量为t(-2,1)T
2) 特证方程为
因此特征值为λ1=λ2=7,λ3=-2.
对于特征值λ1=λ2=7,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换,
方程有两个自由变元x2,x3,令x2=s,x4=t,s,t为任意实数,则
写成向量形式有
,
因此特征值λ1=λ2=7对应的特征向量为s(-1/2,1,0)T,t(-1,0,1)T.
对于特征值λ3=-2,解下面的齐次方程
对系数矩阵作行初等变换
有一个自由变元x3,令x3=t为任意常数,则
x1=x3=t,x2=(1/2)x3=(1/2)t,写成向量形式,得
因此特征值λ3=-2对应的特征向量为t(1,1/2,1).
3) 特征方程为
因此A的三个特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=2a-1.
对于特征值λ1=1,解齐次方程
对其系数矩阵作初等行变换,
有一个自由变量x2,令x2=t为任意常数,则x3=0,x1=(1/3)(a+2)x2-(2a-1)x3=(1/3)(a+2)t,写成向量形式,得
即对于应特征值λ1=1的特征向量为t((a+2)/3,1,0)T.
对于特征值λ2=2,解齐次方程
对系数矩阵作初等行变换,
方程有一个自由变量x3,令x3=t为任意常数,则x1=x2=2x3=2t,写成向量形式,得
即对应于特征值λ2=2的特征向量为t(2,2,1)T.
对于特征值λ3=2a-1,解齐次方程
对其系数矩阵作行初等变换
这是为了方便起见使矩阵变成一个"倒"的阶梯形,可以看出x1为自由变元,令x1=t为任意常数,则x2=x1=t,x3=(a-1)x1=(a-1)t,写成向量形式:
因此,λ3=2a-1对应的特征向量为t(1,1,a-1)T.
2,已知A为n阶方阵且A2=A,求A的特征值.
解,设A的一个特征值为λ,对应的特征向量为X,则有AX=λX,又将题意中的条件A2=A代入此式,得A2X=λX,但A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X,因此有
λX=λ2X,即λ2X-λX=(λ2-λ)X=O,因为X为特征向量则必不为零向量,因此只能有
λ2-λ=0,即λ(λ-1)=0,
因此,A的特征值只能取0或者1值.
3,A是3阶实对称矩阵,A的特征值为1,-1,0,其中λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及(a,a+1,1)T,求矩阵A.
解,此题原本不适宜在这一章做,因为A是实对称矩阵,则必有它的各个不同特征值对应的特征向量相互正交,因此特征向量(1,a,1)与(a,a+1,1)正交,即对应分量相乘相加后等于0,即
,因此a=-1,λ=1和λ=0对应的特征向量为
α1=(1,-1,1)T及α2=(-1,0,1)T,则因剩下的那个特征向量,即λ=-1对应的特征向量α3=(x1,x2,x3)T必与α1和α2正交,由此可得下面的齐次方程组:
对其系数矩阵作行初等变换,
方程有一个自由变量x3,令x3=t为任意常数,则x1=x3=t,x2=2x3=2t,写成向量形式,有
,因此t(1,2,1)T为特征值-1对应的特征向量,可令α3=(1,2,1).T
将这三个向量规范化得
则令
则必有,因此有
4,已知有三个线性无关的特征向量,求x.
解,特征方程为
因此,A有三个特征值λ1=λ2=1,λ3=-1,因此,x的选值必须使特征值为重根1的时候对应的齐次方程有两个自由变量,才能够得到两个线性无关的特征向量.
因为待定数为x,因此齐次方程就用y1,y2,y3来作变元,则特征值为1对应的齐次方程为:
对系数矩阵作行初等变换
如要方程有两个自由变元,必须x=0.
5,判断第一题中各矩阵是否可对角化,如可对角化,求可逆矩阵T,使得T-1AT为对角阵.
解,各矩阵是否可对角化的等价条件是要有与矩阵阶数一样多的线性无关的特征向量.
1) 矩阵A有两个线性无关的特征向量α1=(1,1)T,α2=(-2,1)T,因此可对角化,
2) 矩阵A有三个线性无关的特征向量α1=(-1/2,1,0)T,α2=(-1,0,1)T,α3=(1,1/2,1)T,因此可对角化,
3) A的三个特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=2a-1,当λ3(1且λ3(2时,特征方程没有重根,三个特征值不同,因此对应的必有三个线性无关的特征向量,A可对角化,三个特征向量为
α1=((a+2)/3,1,0)T,α2=(2,2,1)T,α3=(1,1,a-1)T,因此
而当λ3=2a-1=1时,a=1,这时候α1=α3=(1,1,0)T,则不够三个线性无关的特征向量,矩阵A不能被对角化.
当λ3=2a-1=2时,a=3/2,这时候α3=(1,1,1/2)T=(1/2)α2,即与α2线性相关,这样就还是不够三个线性无关的特征向量,矩阵A也不能被对角化.
6,已知有特征值1和-1,问A是否能对角化?
解,将已知的特征值1和-1分别代入特征方程,可得关于a和b的两个方程,
先将特征值1代入特征方程得
得a=-1,
再将特征值-1代入特征方程得
将a=-1代入上式,得
因此有a=-1,b=-3,则
看A除了1和-1外还有没有其它的特征值,再重解特征方程,
因此知道矩阵A除了1和-1这两个特征值外还有一个特征值-2,这样三个不同的特征值必有三个线性无关的特征向量,A可对角化.
7,已知能对角化,求An(n(1).
解,先求A的特征方程
由此可见A有三个特征值,λ1=0,λ2=λ3=1,因此,因为A能够对角化,必须对应于重根λ2=λ3=1有两个线性无关的特征向量,对于特征值1解下面的齐次方程求对应的特征向量,
对其系数矩阵作行初等变换,
可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系,就必须有两个自由变量,y3已经是一个自由变量,因此需要y2也是自由变量,这就要求上面矩阵的第二行全为零,即x+2=0
得x=-2,矩阵.
这时候,A能对角化,所以存在方阵T使,
上式两边同时左乘T及右乘T-1可得
注意到
因此有
8,设A,B是n阶方阵,证明AB与BA具有相同的特征值.
证,假设AB之一可逆，比如A可逆，则命题是成立的，因为AB的特征多项式为
因此AB和BA的特征多项式相同，当然其特征值也就相同。而如果B可逆，同样有
如果A与B都不可逆，如果它们之一是零矩阵O，AB=BA=O，当然都有特征值0。而如果它们都不是零矩阵，那么，对矩阵A进行一系列行变换和一系列的列变换之后，总能得到一个对角矩阵，从左上角到右下角是先是1再是，也就是说存在着可逆矩阵P和Q使得
，
即,也将矩阵按与同样的办法分块,假设
则
而
因此,AB与BA的特征多项式相等,它们的特征值也一样.
9,已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1,α2,α3是相应的特征向量,如果α1+α2+α3仍是A的特征向量,证明λ1=λ2=λ3.
证,如α1,α2,α3及α1+α2+α3都是A的特征向量,假设α1+α2+α3对应的特征值为λ,则有
Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3,和
A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3) (1)
但
A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 (2)
将(1),(2)两式左边与右边分别相减,得
λ(α1+α2+α3)-λ1α1-λ2α2-λ3α3=O
整理后得
(λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2+(λ-λ3)α3=O
而因为α1,α2,α3是对应于三个特征值的特征向量,则必线性无关,因此上式要成立必须α1,α2,α3的系数都为0,即
则必有λ1=λ2=λ3,证毕.
第六章
1,求由下列向量所构成的标准正交基:
1) α1=(2,0)T,α2=(1,1)T
2) α1=(3,4)T,α2=(2,3)T
3) α1=(2,0,0)T,α2=(0,1,1)T,α3=(5,6,0)T.
解,用斯密特正交化方法,
1) β1=α1=(2,0)T,
再进行规范化,令
则ε1,ε2构成标准成交基.
2) β1=α1=(3,4)T,
再进行规范化,令
3) β1=(2,0,0)T,
另有
因此对β1,β2,β3作规范化得
2,在四维向量空间中找出一单位向量α与下列向量都正交。
α1=(1,1,-1,1)T,α2=(1,-1,-1,1)T,α3=(2,1,1,3)T
解,假设X=(x1,x2,x3,x4)T与α1,α2,α3都正交,则必有<αi,X>=0,i=1,2,3,这构成了如下的齐次方程组:
对系数矩阵做初等行变换,
方程有一个自由变量x4,令x4=t为任意常数,则x1=-(4/3)x4=-(4/3)t
x2=0,x3=-(1/3)x4=-(1/3)t,写成向量形式,得
不妨取t=3,则X=(-4,0,-1,3)T,并有
将X单位化得到α,
3,下列矩阵是否正交矩阵? 若是,求出它的逆矩阵.
1) 2)
解,1) 不是,因为第一列和第二列构成的列向量
的内积
,它们不正交,因此不是正交矩阵.
2) 设
则
因此是正交矩阵.
4,用施密特正交化方法将向量空间的一个基α1=(1,-1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(1,-1,1)T化成标准正交基,并求α=(1,2,3)T在该基下的坐标.
解,β1=α1=(1,-1,0)T,
对β1,β2,β3进行规范化得标准正交基为
求α=(1,2,3)T在该基下的坐标就是求解非齐次方程组
x1ε1+x2ε2+x3ε3=α,
写成线性方程组的规范形式,就是
其系数矩阵为正交矩阵,
即有
则方程的解为
即
5,设α,β是任意两个n维向量,证明柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式:
证,考虑关于变元t的一元二次方程
此方程或者只有0解或者无实数解,将方程整理,
(1)
我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0的解为
,因此方程只有0解或者无解的条件为,套用到(1)式,我们知道必有
即
也就是
6,设A=I-2XXT,X为n维向量,|X|=1,I为n阶单位矩阵,证明A为正交矩阵.
证,只须证明AAT=I,则A就是正交矩阵了,而
AAT=(I-2XXT)(I-2XXT)T=(I-2XXT)(I-2XXT)
=I-2XXT-2XXT+4XXTXXT=I-4XXT+4XXTXXT=I
7,证明§6.2施密特正交化方法中给出的向量组β1,β2,…,βm为正交向量组.
证,用归纳法,当m=1时,因为只有一个向量,当然正交,结果成立,假设当m=k-1时,结果成立,即β1,β2,…,βk-1相互正交,即<βi,βj>=0,i≠j,i,j=1,2,…,k-1,则令
任给正整数i<k,有
则β1,β2,…,βk相互正交.
第七章
1,写出下列二次型的矩阵.
1)
2)
解,1) 二次型矩阵为
2) 二次型矩阵为
2,写出如下矩阵所对应的二次型.
1) ; 2)
解,1) 对应的二次型为
2) 对应的二次型为
3,试将二次型写成矩阵形式,其中是算术平均值.
解,根据题意
因此对应的二次型矩阵A为
,则令
则此二次型表示为XTAX.
4,用初等变换将下列二次型化为标准型.
1) ;
2)
解,1) 对应的矩阵为
对(A|I)进行初等变换如下:
故有
使得
则令线性替换
则有.
2) 对应的矩阵为
,对(A|I)作初等变换如下:
故有
,
使得
令线性替换
,则
5,用正交变换的方法将二次型化为标准型,并写出所用正交变换.
1)
2) ;
解,1) 二次型的矩阵为
求其特征值,求解特征方程|A-λI|=0,而
因此,矩阵A的三个特征值为λ1=3,λ2=-1,λ3=0,现求各特征值对应的特征向量.
对于特征值λ1=3,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换:
方程有一个自由变量x3,令x3=t为任意实数,则x1=(1/2)x3=(1/2)t,x2=-(1/2)x3=-(1/2)t.得特征向量为
,对其进行单位化,得向量
对于特征值λ2=-1,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换:
方程有自由变量x2,令x2=t为任意实数,则x1=x2=t,x3=0,得特征向量为
对其进行规格化得
对于λ3=0,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换:
方程有一个自由变元x3,令x3=t为任意实数,则x1=-x3=-t,x2=x3=t,则对应的特征向量为
对其规格化得
最后得正交矩阵
则作线性替换
,使得
2) 二次型的矩阵为
求其特征值,求解特征方程|A-λI|=0,而
解得三个特征值为
对于,解齐次方程组
对系数矩阵做行初等变换:
有一自由变元x3,令x3=t为任意实数,则x1=-3x3=-3t,,得特征向量
,
对β1做规格化得规格化的特征向量
对于,解齐次方程组
令x1为自由变元,并令x1=t为任意实数,则x2=0,x3=3x1=3t,得到特征向量
,且有
对β2作规格化得规格化特征向量
对于,解齐次方程组
对系数矩阵做行初等变换:
方程有一个自由变元x3,令x3=1,可得x1=-3x3=-3,,因此得特征向量
,而,则对β3作规格化得特征向量
因此得正交矩阵
满足,作线性替换,
可得,
6,二次型经正交变换后化为标准型
,求a,b的值.
解,二次型矩阵A为
因此二次型经正交变换后化为标准型,因此A的3个特征值为3,3,b.
考虑其中的已知的一个特征值3,则必有,而且特征值3一定为此特征方程的重根,因此方程(A-3I)X=O的基础解系必只有3-2=1个线性无关的向量,即矩阵A-3I的秩
r(A-3I)=1,即A-3I的行向量中最大线性无关组的个数为1个,即只能找到一个线性无关的向量,说明另外两个行向量都与之线性相关,则根据两个线性相关的向量必然有对应分量成比例的定理,矩阵A-3I的第二行与第三行必与第一行成比例,而
,因此看出必有a=-2才满足这一点,即a=-2,则
,解A的特征方程,
,知道矩阵A有一个特征值为-3,而我们知道A只有两个不同的特征值3和b,因此只有b=-3,
7,判定二次型的正定性.
1)
2)
解,1) 二次型的矩阵为
,其特征方程为
我们已经得到一个特征值为1外,还要解一元二次方程,得另两个特征值为
,则存在一个小于0的特征值,则此二次型即非正定的,也非负定的.
2) 此二次型的矩阵为
则A的特征多项式为
将第2行到第n行都加到第1行,得
,
将上式的第1行乘上(-1/2)加到所有其余行,得
则此矩阵的两个特征值(n+1)/2和1/2都大于零,则此二次型正定.
8,已知A是n阶可逆矩阵,证明ATA是n阶正定矩阵.
证,因为(ATA)T=AT(AT)T=ATA为对称矩阵,其对应的二次型为
XT(ATA)X=(AX)T(AX)=|AX|2≥0,其中X=(x1,x2,…,xn)T(Rn.
又因为A可逆,因此齐次方程组AX=O只有零解,也即当且仅当X=O才有
XT(ATA)X=(AX)T(AX)=|AX|2=0,即二次型XT(ATA)X正定,或者等价地矩阵ATA正定.
9,已知A,A-I都是n阶实对称正定矩阵,证明I-A-1也是正定矩阵.
证,设A的n个特征值为λ1,λ2,…,λn,因A正定,因此有λi>0,且存在正交矩阵Q,QQT=I,
使得
,其中,则
,
因此λ1-1,λ2-1,…,λn-1是A-I的特征值,而因A-I正定,必有λi-1>0,或λi>1,i=1,2,…,n.
而
因此为I-A-1的各个特征值,而如前所述,因λi>1,i=1,2,…,n,则必有,即I-A-1的各个特征值大于零,即I-A-1为正定阵.
10,已知A是n阶实对称矩阵,λ1,λ2,…,λn是A的特征值,问当t为何值时,矩阵A+tI是正定,半正定,负定,半负定,不定的.
解,设λ1,λ2,…,λn中的最大值为λmax,最小值为λmin,存在着正交矩阵Q,QQT=I,使得
,其中,则
即λ1+t,λ2+t,…,λn+t是A+tI的特征值,
当t小到很小以致于所有特征值是负值时,A+tI是负定的,即当t<-λmax时A+tI负定,
而当t正好等于负的最大的特征值的时候,即当t=-λmax时,A+tI存在着一个零特征值使它不可逆,而所有特征值仍然不大于0,因此是半负定的.
当t大到一定程度,使所有的特征值都是正的时候,A+tI是正定的,即当t>-λmin时,A+tI正定,
而当t正好等于负的最小值时,即当t=-λmin时,A+tI存在着一个零特征值使它不可逆,而所有的特征值仍然不小于0,因此是半正定的.
如果t介乎于负的最大特征值和最小特征值之间,即当-λmax<t<-λmin时,A+tI不定.
第八章
1,验证
1) 全体级的实矩阵的集合关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.
2) 给定实数轴上一闭区间[a,b](a<b),取C[a,b]为[a,b]上的全体连续函数的集合,则C[a,b]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.
证,1) 任给三级矩阵,任给二实数,因有
A+B=B+A,
(A+B)+C=A+(B+C)
O+A=A
A+(-A)=O
k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
(kl)A=k(lA)
1A=A
因此,关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.
2) 任给三个在闭区间[a,b]上的连续函数,任给二实数,并用O(x)在此闭区间上的函数值总取0值的函数,即O(x)=0,a(x(b,f(x)的负函数则为-f(x)因有
f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)]
O(x)+f(x)=f(x)
f(x)+[-f(x)]=O(x)
k[f(x)+g(x)]=kf(x)+kg(x)
(k+l)f(x)=kf(x)+lf(x)
(kl)f(x)=k[lf(x)]
1f(x)=f(x)
因此,C[a,b]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.
2,取上一题中的n×m个元素Eij为(i,j)位元素为1,其它全为零的矩阵,i=1,2,…,n; j=1,2,…,m,验证这n×m个元素为Mn×m(R)的一个基,从而Mn×m(R)的维数为n×m.
证,首先验证n×m个元素线性无关,考察关于kij,i=1,2,…,n; j=1,2,…,m的齐次方程
,这n×m个相加的矩阵中的每一个kijEij都是只有一个第i行第j列的元素为kij,其余元素为0,这样就有
,只有当kij=0,i=1,2,…,n; j=1,2,…,m时才有{kij}m×n=Om×n,因此知这n×m个元素Eij线性无关,
此外,任何,都有
从而这n×m个元素为Mn×m(R)的一个基,从而Mn×m(R)的维数为n×m.
3,判断下述变换中哪些是线性变换.
1) 线性空间V中,是一固定向量.
2) 线性空间V中,是一固定向量。
3) R3中,A((x1,x2,x3)=(2x1+x2,x3-x2,x1).
4) R3中,A((x1,x2,x3)=(x12,x1+x2,x3).
5) 全体实系数多项式构成的线性空间R[x]中,A(f(x))=f(x-a),a是一固定的数.
6) 同上,R[x]中,A(f(x))=f(x2).
解,1) 如果α(O,则不是线性变换,因AO=α并没有将零向量映射为零向量.
2) 如果α(O,则不是线性变换,同样因为AO=α.
3) 任给α,β(R3,α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),k为任意实数,则
A(α+β)=A(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=(2(a1+b1)+(a2+b2),(a3+b3)-(a2+b2),(a1+b1))
=(2a1+a2,a3-a2,a1)+(2a1+a2,a3-a2,a1)=A(α)+A(β)
A(kα)=A(ka1,ka2,ka3)=(2ka1+ka2,ka3-ka2,ka1)=k(2a1+a2,a3-a2,a1)=kA(α)
因此A为线性变换.
4) 不是线性变换,第一个分量产生平方项x12是非线性的原因,因此找任何一个第一个分量不为零的向量作反例即可,因此令α=(1,0,0),并给出实数2,
则Aα=A(1,0,0)=(1,1,0),而A(2α)=A(2,0,0)=(4,2,0)((2,2,0)=2Aα.
5) 任给实系数多项式f(x),g(x)(R[x],任给实数k(R,
A(f(x))=f(x-a),A(g(x))=g(x-a),
A(f(x)+g(x))=f(x-a)+g(x-a)=A(f(x))+A(g(x)),
A(kf(x))=kf(x-a)=kA(f(x)),
因此A是线性变换.
6) 任给实系数多项式f(x),g(x)(R[x],任给实数k(R,
A(f(x))=f(x2),A(g(x))=g(x2),
A(f(x)+g(x))=f(x2)+g(x2)=A(f(x))+A(g(x)),
A(kf(x))=kf(x2)=kA(f(x)),
因此A是线性变换.
4,在R[x]中,,验证A,B均是线性变换,且
AB-BA=E,其中,E是指恒等变换.
证,
因此有
即AB-BA=E.
5,设矩阵
定义R3上的一个线性变换A使得A在基α1=(-1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,-1)T下的矩阵为A.
解,设R3中的任意一向量β在α1,α2,α3,下的坐标向量为(b1,b2,b3)T,即
,则有
现求(α1,α2,α3)-1如下,
即有
最后得
6,设A,B为R3中如下定义的线性变换:
A(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x1+x2+x3,-x2+x3)
B(x1,x2,x3)=(x2+x3,x1+x3,x1+x2)
分别求A,B和AB在基ε1=(1,0,0)T,ε2=(0,1,0)T,ε3=(0,0,1)T下的矩阵.
解,
其中就是A在基ε1,ε2,ε3下的矩阵,
其中就是B在基ε1,ε2,ε3下的矩阵,
因此,就是AB在基ε1,ε2,ε3下的矩阵.
7,设R3中一线性变换A在基α1=(1,-2,1)T,α2=(0,2,-1)T,α3=(-1,0,3)T下的矩阵为
求A在基β1=(1,1,1)T,β2=(1,1,0)T,β3=(1,0,0)T下的矩阵.
解,设由基α1,α2,α3 到基β1,β2,β3下的过渡矩阵为T,则
(α1,α2,α3)T=(β1,β2,β3)
因此,对分块矩阵(α1,α2,α3|β1,β2,β3)作行初等变换使左边一半变换为单位矩阵时,右边的一半的内容即为T,
因此
再求过渡矩阵的逆T-1,因为(β1,β2,β3)T-1=(α1,α2,α3),因此对分块矩阵(β1,β2,β3|α1,α2,α3)作行初等变换使左边成为单位矩阵,则右边即为T-1,
因此
任给ξ(R3,设其在基α1,α2,α3下的坐标向量为(x1,x2,x3)T,即
ξ=(α1,α2,α3)(x1,x2,x3)T=(β1,β2,β3)T-1(x1,x2,x3)T=(β1,β2,β3)(c1,c2,c3)T,
其中(c1,c2,c3)T为ξ在基β1,β2,β3下的坐标向量,满足
(c1,c2,c3)T=T-1(x1,x2,x3)T,或(x1,x2,x3)T=T(c1,c2,c3)T
有A(ξ)=(α1,α2,α3)A(x1,x2,x3)T=(β1,β2,β3)T-1AT(c1,c2,c3)T,
其中
即A在基β1,β2,β3下的矩阵为
8,设A为7题中的线性变换,并设向量γ=(2,-3,1)T,求γ和A(γ)在基β1,β2,β3下的坐标.
解,设γ在在基β1,β2,β3下的坐标为(x1,x2,x3),则解非齐次方程x1β1+x2β2+x3β3=γ,写成齐次方程组的标准形式:
由下面的方程往上面的方程依次解可得x1=1,x2=-3-1=-4,x3=2-1+4=5,即γ在基β1,β2,β3下的坐标为(1,-4,5),γ=β1-4β2+5β3,
而上题已经求得A(γ)在基β1,β2,β3下的矩阵B为
因此A(γ)在基β1,β2,β3下的坐标为
9,求6题中线性变换B的逆变换。
解,6题已经解出B的在基ε1=(1,0,0)T,ε2=(0,1,0)T,ε3=(0,0,1)T下的矩阵B为
因此,B的逆变换在同样基下的矩阵为B-1,下面求B-1,对分块矩阵(B|I)作行初等变换:
因此
因
即
10,设R4中线性变换A在一基ε1,ε2,ε3,ε4下的矩阵为
1) 分别求A的值域和核的一个基.
2) A可逆吗?
解,任给R4中的一向量ξ,设其在基ε1,ε2,ε3,ε4下的坐标向量为X=(x1,x2,x3,x4)T,则Aξ在同样基下的坐标向量为
Y=AX,
为研究A的值域,可先上式中Y的值域,将E1=(1,0,0,0)T,E2=(0,1,0,0)T,E3=(0,0,1,0)T,
E4=(0,0,0,1)T,这四个线性无关的向量代入上式,得到的四个向量β1,β2,β3,β4正好是A的各个列向量,即β1=AE1,β2=AE2,β3=AE3,β1=AE3,A=(β1,β2,β3,β4),下面对A做行初等变换来研究它的各个列向量间的线性关系.
可见向量组β1,β2,β3为A的各个列向量的极大无关组,而
因此,矩阵相乘Y=AX中当X取R4中的一切值时,Y的值域为span(β1,β2,β3),相对应地,A的值域就是
span((ε1,ε2,ε3,ε4)β1,(ε1,ε2,ε3,ε4)β2,(ε1,ε2,ε3,ε4)β3)=
=span(-ε1+2ε2-3ε4,ε2-ε3+ε4,2ε1-ε2+3ε3+3ε4)
现在求A的核,则考察齐次方程AX=O,按上面的变换有一个自由变元x4=t为任意常数时,
x1=0,x2=-t/2,x3=-t/2,写成向量形式有
这是A的核的所有向量的坐标向量的形式,因此A的核为
.
2) 因为A在基ε1,ε2,ε3,ε4下矩阵A不可逆,所以A也不可逆.
11,证明,非零向量是一线性变换A的核中元素当且仅当它是A的属于零特征值的特征向量.
证,假设向量α(Ker(A),即有Aα=O=0α,即α为A的关于特征值0的特征向量,此外,假设β为A的关于特征值0的特征向量,即Aβ=0β=O,则β(Ker(A),证毕.
12,证明,如果向量ξ1,ξ2,…,ξr是n维线性空间V上的线性变换A的属于特征值0的线性无关的特征向量,ξr+1,…,ξn是A的非零特征值的线性无关的特征向量,(即A可对角化),则
Ker(A)=Span(ξ1,ξ2,…,ξr)
A(V)=Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn)
证,因为A的不同特征值间的特征向量间线性无关,因此有ξ1,ξ2,…,ξn是n维线性空间V上的n个线性无关的向量,自然可以做V上的一个基,则任给α(V,其在这组基上的坐标为x1,x2,…,xn,即α=x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn,则
A(α)=A(x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn)==x1Aξ1+x2Aξ2+…+xrAξr+xr+1Aξr+1+…+xnAξn=
=O+xr+1λr+1ξr+1+…+xnλnξn(Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn) (1)
其中λr+1,…,λn为对应特征向量ξr+1,ξr+1,…,ξn的特征值,根据假设它们都不为零.
反过来,任给β(Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn),即β=yr+1ξr+1+…+ynξn,则有
这就证明了A(V)=Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn)
现证明Ker(A)=Span(ξ1,ξ2,…,ξr)
假设α=x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn(Ker(A),即A(α)=O,按(1)式有
xr+1λr+1ξr+1+…+xnλnξn=O,因ξr+1,ξr+1,…,ξn线性无关,且λr+1,…,λn都不为0,则必有
xr+1=xr+2=…=xn=0,则α=x1ξ1+x2ξ2+…+xrξr(Span(ξ1,ξ2,…,ξr),
反过来,假设有β(Span(ξ1,ξ2,…,ξr),即β=y1ξ1+y2ξ2+…+yrξr,必有
A(β)=A(y1ξ1+y2ξ2+…+ynξn)==y1Aξ1+y2Aξ2+…+yrAξr=O,
即β(Ker(A).
因此有Ker(A)=Span(ξ1,ξ2,…,ξr)
证毕.
13,求R3上的线性变换A的特征值和特征向量,这里,A在基ε1,ε2,ε3下矩阵为
1) 2)
解,1) 先求A的特征值和特征向量,A的特征多项式为
因此A有两个特征值λ1=-2,λ2=λ3=1,
对于λ1=-2,解齐次方程(A+2I)X=O,对系数矩阵A+2I作行初等变换,
有一个自由变元x3=t为任意常数,x1=x2=0,写成向量形式
因此对应于λ1=2的特征向量为t(0,0,1)T.
对于λ2=λ3=1,解齐次方程(A-I)X=O,对系数矩阵A-I作行初等变换
方程有一个自由变元x3=t为任意常数,x1=(3/20)t,x2=-(3/10)t,写成向量形式,
因此λ2=λ3=1的特征向量为t(3/20,-3/10,1)T,
综上所述,A的特征值为λ1=-2,λ2=λ3=1,其中
λ1=-2对应的特征值向量为tε3,
λ2=λ3=1对应的特征向量为
2) A的特征多项式为
A的特征值为λ1=0,λ2=λ3=1,
对于λ1=0,解齐次方程AX=O,对A作行初等变换
方程有一个自由变元x3=t为任意常数,则x1=x2=t,可知t(1,1,1)T为λ1=0对应的特征向量.
对于λ2=λ3=1,解齐次方程(A-I)X=O,对A-I作行初等变换
方程有两个自由变元x2=s,x3=t,s,t为任意实数,则x1=(s/2)+t,写成向量形式,
即λ2=λ3=1对应于两个线性无关的特征向量s(1/2,1,0)T和t(1,0,1)T.
综上所述,A的对应于λ1=0的特征向量为t(ε1+ε2+ε3),对应于λ2=λ3=1的特征向量为
和
14,上题中,哪一个线性变换在适当的基下的矩阵为对角形,并求相应的过渡矩阵T使得
T-1AT为对角形.
解,1)中的线性变换只有两个线性无关的特征向量,因此A无法对角化.
2) 中的线性变换有三个线性无关的特征向量,因此可对角化,令矩阵T由λ1=0,λ2=λ3=1的特征向量按列向量拼成,即
,则必有
1. 解下列方程组,并在直角坐标系中作出图示.
1); 2); 3).
解,1) 将第一个方程减去第二个方程,得2y=-1,y=-1/2,再代入第个方程解得x=1+1/2=3/2,绘出图示如下图所示,两直线相将于一点方程有唯一解.
2) 将第二个方程除以3得,与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组,无解,绘出图示如下图所示
3) 将第2个方程除以2,可以得到第一个方程,令y=t为任意实数,则x=1+t,方程组的解集为(1+t,t),图示如下图所示,方程的解集为一条直线.
2,用Gauss消元法解下列线性方程组.
1) 2)
3) 4)
解,1) 对增广矩阵进行变换:
则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=10-3t,x2=5t-7,方程有无穷多解,解集为
(10-3t,5t-7,t).
2) 对增广矩阵进行变换:
则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=-t,x2=2t-1,
解集为(-t,2t-1,t).
3) 对增广矩阵进行变换:
方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.
4) 此为齐次方程,对系数矩阵进行变换
可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.
3,确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.
1) 无解: 2) 有唯一解:
3) 有无穷多解:
解:
1) 对增广矩阵作变换:
因此,要使方程组无解,须使8-3k=0,解得k=8/3,即当k取值为8/3时,方程无解.
2) 对增广矩阵作变换:
因此,如要方程组有唯一解,必须有,即.
3) 对增广矩阵作变换
因此,如要方程组有无穷多解,必须4-4k=0,即当k=1时,方程组才有无穷多解.
4,证明,如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0,那么a=b=c=0.
证,既然对所有的实数x都有ax2+bx+c=0成立,那么具体地分别取x=0,x=1,x=2代入上式也成立,则有
,这是关于a,b,c的齐次线性方程组,对其系数矩阵作变换:
看出此方程只有唯一零解,因此有a=b=c=0.
5,讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷多解.
1) 2)
3) 4)
解,1) 方程组有一个自由变元x2,因此方程组有无穷多解.
2) 方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解.
3) 第三个方程0=4说明此方程无解.
4) 方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解.
6,对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..
1) 2)
3)
解,1) 对增广矩阵进行变换:
方程组无解.
2) 对增广矩阵进行变换
可以看出y和w为自由变元,则令y=s,w=t,s与t为任意常数,则x=100-3s+96t,
z=54+52t,方程的解集表示为(100-3s+96t,s,54+52t,t).
3) 对增广矩阵进行变换
可知y与z为自由变元,令y=s,z=t,s与t均为任意实数,则
,方程组的解集为
7,对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.
1) 2)
解,1) 对系数矩阵作初等变换.
方程只有零解,x=y=z=0.
2) 对系数矩阵作初等变换
因此,w为自由变元,令w=t为任意实数,则x=-2t,y=0,z=t,方程组的解集为
(2t,0,t,t).
8,设一线性方程组的增广矩阵为
求α的值使得此方程组有唯一解.
解,对增方矩阵求初等变换
因此,此方程组要有唯一解,就必须满足α+2≠0,即α≠-2.
9,设一线性方程组的增广矩阵为
1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由.
2) β取何值时方程组有无穷多解?
解,1) 此方程一定有解,因为此方程是齐次方程,至少有零解.
2) 对此增广矩阵做初等变换
因此,只有当β+5=0,即β=-5时,方程才有无穷多解.
10,求λ的值使得下述方程组有非零解.
解,对系数矩阵作初等行变换:
因此,要使方程有非零解,必须有(λ-2)2+1=0,但(λ-2)2+1≥0对λ取任何实数值总是成立,因此必有(λ-2)2+1≠0,因此,无论λ取什么值此方程组都不会有非零解.
11,求出下列电路网络中电流I1,I2,I3的值.
解,根据基尔霍夫定律可得如下方程组:
对增广矩阵做初等行变换
最后得I1=7/13,I2=22/13,I3=15/13
12,一城市局部交通流如图所示.(单位,辆/小时)
1) 建立数学模型
2) 要控制x2至多200辆/小时,并且x3至多50辆小时是可行的吗?
解,1} 将上图的四个结点命名为A,B,C,D,如下图所示:
则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样,这样这四个结点可列出四个方程如下:
对增广矩阵进行变换:
可见x3和x5为自由变量,因此令x3=s,x5=t,其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值),则可得x1=500-s-t,x2=s+t-200,x4=350-t.
2) 令x2=200,x3=s=50,代入上面的x2的表达式,得200=50+t-200,求出t=350,
则x1=500-s-t=100,x4=0,是可行的.
13,在应用三的货物交换经济模型中,如果交换系统由下表给出,试确定农作物的价值x1,农具及工具的价值x2,织物的价值x3的比值.
解,根据上表可得关于x1,x2,x3的三个齐次方程如下:
对系数矩阵做行初等变换:
可见方程有非零解,x3为自由变量,令x3=t为任意正实数,则有x1=x2=x3=t,即三种价值的比值为1:1:1,
第二章
1,写出下列方程组的矩阵形式:
1) x1-2x2+5x3=-1; 2)
3)
解:
1) ; 2) ;
3)
2,设
,
求,1) 3A-2B;
2) 若X满足AT+XT=BT,求X..
解,1)
2)
因X满足AT+XT=BT,等号两边同时转置,有
A+X=B,
等号两边同时减去A,得
X=B-A,
因此有
3,计算下列矩阵的乘积:
1) ; 2) ;
3) ; 4)
解:
1)
2)
3)
4)
4,设
求,1) (A+B)(A-B);
2) A2-B2.
比较1)和2)的结果,可得出什么结论?
解,1)
2)
可得出的结论,大家知道,在代数公式上有a2-b2=(a+b)(a-b),而将此公式中的a和b换成矩阵A与B,就不一定成立了,这是因为矩阵乘法一般不满足交换律,即一般AB≠BA,当然也就有A2-B2≠(A+B)(A-B).
5,已知矩阵A,B,C,求矩阵X,Y使其满足下列方程:
解,将此方程编上号,用类似解线性方程组一样的办法来解,
将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加,右边和右边相加,等号还是成立,得:
3X=C+(A+B)T
两边同乘1/3,得
(3)
(2)式等号两边都加上X,得
Y=(A+B)T-X (4)
将(3)式代入到(4)式,得
因此
6,如矩阵AB=BA,则称A与B可交换,试证:
1) 如果B1,B2都与A可交换,那么B1+B2,B1B2,也与A可交换;
2) 如果B与A可交换,那么B的k(k>0)次幂Bk也与A可交换.
证,1) 因B1,B2都与A可交换,即AB1=B1A,AB2=B2A,则
(B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)
即B1+B2与A可交换,而且
(B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2),
因此B1B2与A可交换.
2)因B与A可交换,即AB=BA,则用归纳法,当k=1时,有B1=B,结论显然成立.
假设当k=m时假设成立,即ABm=BmA,
则当k=m+1时,有
ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A,
结论也成立.
7,如矩阵A=AT,则称A为对称矩阵.
设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证,已知A=AT,B=BT,
充分性,假设AB=BA,则(AB)T=BTAT=BA=AB,因此AB为对称矩阵.
必要性,如果AB为对称矩阵,即(AB)T=AB,则因
(AB)T=BTAT=BA,可得BA=AB.
8,设
其中ai≠aj,当i≠j (i,j = 1,2,…,n),试证,与A可交换的矩阵一定是对角矩阵.
证:
假设矩阵B={bij}n与A可交换,即有BA=AB,而BA相乘得到的矩阵为B的第j列所有元素都乘上aj得到的矩阵,AB相乘得到的矩阵为B的第i行元素都乘上ai得到的矩阵,即
BA={ajbij}n,AB={aibij}n,但对于任给的i,j,i≠j,因AB=BA,因此有ajbij=aibij,因ai≠aj,所以必有bij=0,即B只能是对角矩阵.
9,检验以下两个矩阵是否互为可逆矩阵?
解,计算AB和BA如下:
因此A与B确实互为逆矩阵.
10,设A,B,C为n阶方阵,且C非奇异,满足C-1AC=B,求证Bm=C-1AmC (m为正整数).
证,用归纳法,当m=1时条件已经成立为C-1AC=B,假设当m=k时,命题成立,即有
Bk=C-1AkC,则当m=k+1时,有
Bk+1= BkB= C-1AkCC-1AC= C-1Ak(CC-1)AC= C-1AkIAC= C-1AkAC= C-1Ak+1C,
命题得证.
11,若n阶矩阵A满足A2-2A-4I=0,试证A+I可逆,并求(A+I)-1.
证,将A2-2A-4I=0改写为A2-2A-3I=I,
先解一元二次方程组x2-2x-3=0,根据公式
其中a=1,b=-2,c=-3,则,因此可将多项式x2-2x-3因式分解为
x2-2x-3=(x-3)(x+1),那么,根据矩阵相乘相加的性质也就能将A2-2A-3I因式分解为
A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I),因此我们有
(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I,即A+I与A-3I 互为逆矩阵,
(A+I)-1=A-3I.
12,证明,如果A=AB,但B不是单位矩阵,则A必为奇异矩阵.
证,用反证法,假设A为可逆,其逆为A-1,则对于A=AB两边同时左乘A-1,得
A-1A=A-1AB,即I=B,这与B不是单位矩阵相矛盾,因此A必为奇异矩阵.
13,判别下列矩阵是否初等矩阵?
1) , 2)
3) , 4)
解,1) 是初等矩阵P(2(-2)),
2) 是初等矩阵P(1,3),
3) 不是初等矩阵,
4) 是初等矩阵P(3(-4),2).
14,求3阶方阵A满足
解,从等式看出A左乘一矩阵相当于对此矩阵作初等行变换r3×(-5)+r1,因此A为一相应的初等矩阵,即
15,设A,B,C均为n阶可逆矩阵,且ABC=I,证明BCA=I
证,因B,C为可逆矩阵,则BC也是可逆矩阵,且(BC)-1=C-1B-1,
因ABC=I,对此等式两边右乘(BC)-1,即ABC(BC)-1=I(BC)-1,
因为BC(BC)-1=I,因此上式化简为A=(BC)-1,因此当然有
BCA=BC(BC)-1=I.
16,设A,B均为n阶方阵,且,证明,A2=A的充分必要条件是B2=I.
证,充分性,假设B2=I,则
必要性,如果A2=A,则有
等式两边乘4得
,
等式两边同时减去2B+I得
B2=I
证毕.
17,如果n阶矩阵A满足A2=A,且A≠I,则A为奇异矩阵.
证,用反证法,假设A为可逆,其逆为A-1,则上式两边左乘(或者右乘)A-1,得
AAA-1=AA-1,即A=I,但这与A≠I相矛盾,因此A的逆不存在,即A为奇异矩阵.
18,求下列矩阵的逆矩阵:
1) ; 2)
3)
解,用对[A|I]进行行初等变换为[I|A-1]的办法来求:
1)
因此,最后得
2)
因此有
3)
因此,最后得
19,解下列矩阵方程,求出未知矩阵X.
1) 2)
解,令,则要解的方程为AX=B
将方程两边左乘上A的逆A-1,可得A-1AX=A-1B,即
X=A-1B
下面求A-1:
因此有
因此
2) 令则矩阵方程为XA=B
设A的逆存在为A-1,则方程两边右乘A-1,得XAA-1=BA-1,
即
X=BA-1
下面求A-1:
因此,
最后得
20,求矩阵X满足AX=A+2X,其中
解,将方程两边减去2X,得AX-2X=A
因2X=2IX,因此上面的方程可以从右边提取公因子X,得
(A-2I)X=A
假设A-2I可逆,则方程两边同时左乘(A-2I)-1,得(A-2I)-1(A-2I)X=(A-2I)-1A,
即X=(A-2I)-1A
设B=A-2I,则X=B-1A,而
下面用行初等变换求B的逆B-1:
则
最后得
验算:
21,利用分块的方法,求下列矩阵的乘积:
1) ; 2)
解:
1) 将乘积分块为
其中
2) 将乘积分块为
第三章
1,计算下列行列式:
1) ; 2) ; 3)
解,1) ;
2) ;
3) .
2,计算下列三阶行列式:
1) ; 2) ; 3)
解,1) 将行列式按第一列展开
2) 将行列式按第二行展开
3)
3,计算下列行列式:
1) ; 2) ;
3)
解,1) 将行列式按第一列展开后,得到的各子式再按第二列展开,这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0,因此后三列任何三阶子式均为0,整个行列式的值D=0.
2) 将行列式按第一列展开得
3) 先对第一列展开,然后对第二列展开,得
4,利用行列式的性质计算下列行列式
1) ; 2) ;
3)
解,下面都将所求行列式的值设为D.
1) 因为第1行加到第2行以后,第2行将和第4行相等,因此行列式的值D=0;
2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a,d,f,再从第1,2,3列提取公因子b,c,e,得
3) 将第2,3,4列都展开,并统统减去第1列,得
再将第3列减去2倍的第2列,第4列减去3倍的第2列,得
5,把下列行列式化为上三角形行列式,并计算其值
1) ; 2)
解:
1)
2)
6,计算下列n阶行列式
1) 2)
解,1) 设此行列式的值为D,将第2,3,…,n列均加于第一列,则第一列的所有元素均为
,将此公因式提出,因此有
再令第n行减去第n-1行,第n-1行减去第n-2行,…,第2行减去第1行,可得
2) 此题和第3题的2)一样,因此有
7,证明下列行列式
1)
2)
证,1)
2) 用归纳法,设Dn为所求行列式值,当n=1时,
,等式成立.
假设当n=k时假设成立,即有
当n=k+1时,
证毕.
8,求矩阵的伴随矩阵A*,并求A-1.
解,
因此得
A的行列式为
因此有
9,设A为三阶方阵,A*是A的伴随矩阵,且|A|=1/2,求行列式|(3A)-1-2A*|的值.
解,因,以及,还有,
则
10,设A为n阶可逆阵,A2=|A|I,证明,A的伴随矩阵A*=A.
证,因A可逆,则在等式A2=|A|I两边乘A-1,得A=|A|A-1,即
,而因为,所以有A=A*,证毕.
11,用克莱姆法则解下列方程组.
(1) (2)
解,(1) 方程的系数矩阵A为
,常数向量,则求A的逆矩阵:
因此得
则方程的解X为
即x1=3,x2=4,x3=5.
(2) 方程的系数矩阵A为
,常数向量
先求A的逆A-1:
因此有
则
即x1=0,x2=2,x3=0,x4=0.
12,如果齐次线性方程组有非零解,k应取什么值?
解,此方程组的系数矩阵A为
要使方程组有非零解,必须有det(A)=0.
而
因此,只有当k=5或者k=2或者k=8时,此方程组才有非零解.
13,问λ,μ取何值时,齐次线性方程组
有非零解?
解,此方程组的系数矩阵A为
,要使方程组有非零解,必须det(A)=0,
而
因此,只有当λ=1或者μ=0时,方程组才有非零解.
1,设α1=(1,1,1),α2=(-1,2,1),α3=(2,3,4),求β=3α1+2α2-α3
解,β=3α1+2α2-α3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4)
=(3-2-2,3+4-3,3+2-4)=(-1,4,1)
2,设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α),求α,其中
α1=(2,5,1,3),α2=(10,1,5,10),α3=(4,1,-1,1)
解,将上述方程整理:
3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α
-3α+2α-5α=-3α1-2α2+5α3
(-3+2-5)α=-3α1-2α2+5α3
-6α=-3α1-2α2+5α3
最后得
3,设R为全体实数的集合,并且设
,
.
问V1,V2是否向量空间? 为什么?
解,(一般的技巧,凡是对Rn作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间,而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点,就不是向量子空间).
V1是向量空间,且是Rn的向量子空间,因为,而任给,设
则令,
则因
,
则,
因为,而
则,
因此,V1是Rn的向量子空间.
而V2不是向量空间,是因为,零向量O不属于V2,.
4,试证,由所生成的向量空间就是R3
证,因为,只须证,
任给,试求实数x1,x2,x3使
x1α1+x2α2+x3α3=D,即
x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3)
也就是解线性方程组
对其增广矩阵进行行初等变换成阶梯形矩阵:
可见方程有解,因此得证.
5,判数下列向量是线性相关还是线性无关.
1) α1=(1,1),α2=(2,2);
2) α1=(2,3),α2=(1,4),α3=(5,6);
3) α1=(1,1,1),α2=(2,1,3),α3=(0,1,2);
4) α1=(a11,0,0,…,0),α2=(0,a22,0,…,0),…,αn=(0,0,…,ann);
解,
1) 考察齐次方程x1α1+x2α2=O,
即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),
整理得(x1+2x2,x1+2x2)=(0,0),
再写成如下的形式:
对系数矩阵进行行初等变换:
存在一自由变量x2,方程有非零解,因此α1,α2线性相关.
2) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O
即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=(0,0)
整理得(2x1+x2+5x3,3x1+4x2+6x3)=(0,0)
再写成如下形式:
则因方程数少于变元数,必有非零解,因此α1,α2,α3线性相关.
3) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O
即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)
整理得(x1+2x2,x1+x2+x3,x1+3x2+2x3)=(0,0,0)
再写成如下形式:
对系数矩阵进行初等行变换
方程没有自由变量,只有唯一零解,因此α1,α2,α3线性无关.
4) 考察齐次方程x1α1+x2α2+…+xnαn=O,
即x1(a11,0,0,…,0,0)+x2(0,a22,0,…,0,0)+…+xn(0,0,…,0,ann)=(0,0,…,0)
整理得(a11x1,a22x2,…annxn)=(0,0,…,0)
再写成如下形式:
由于,此齐次方程组只有零解,因此α1,α2,…,αn线性无关.
6,设β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,证明向量组β1,β2,β3,β4线性相关.
证,只须证明齐次方程
x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=O (1)
有非零解,即证明了向量组β1,β2,β3,β4线性相关,
将β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1代入(1)式,得
x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α4)+x4(α4+α1)=O
整理后得
(x1+x4)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3+(x3+x4)α4=O
因此,只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的α1,α2,α3,α4,的系数等于0,则命题得证.
也就是要使
(2)
解此齐次方程组,对系数矩阵进行行初等变换得:
方程有一个自由变量x4,因此方程组(2)有非零解,此解也就满足方程组(1),因此β1,β2,β3,β4线性相关.
7,设向量组α1,α2,…,αs 线性无关,证明向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs也线性无关.
证,考察齐次方程组
x1α1+x2(α1+α2)+…+xs(α1+α2+…+αs)=O (1)
整理后得
(x1+x2+…+xs)α1+(x2+…+xs)α2+…+xsαs=O (2)
因为α1,α2,…,αs线性无关,因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的α1,α2,…,αs的各个系数为0,即
此齐次方程组的系数矩阵为上三角方阵,对角线上元素全为1,因此只有零解,即齐次方程组(1)也只有零解,因此向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs线性无关.
8,设α1,α2,α3是一组3维向量,已知3维单位坐标向量
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
能由α1,α2,α3线性表出,证明α1,α2,α3线性无关.
证,用反证法,假设α1,α2,α3线性相关,则存在不全为零的数x1,x2,x3,使得
x1α1+x2α2+x3α3=O
不妨假设x1≠0,则可得,既然α1可由α2,α3线性表出,即
α1,α2,α3可由α2,α3线性表出,则根据题意e1,e2,e3又可被α1,α2,α3线性表出,则e1,e2,e3可被α2,α3线性表出,则三个向量可被少于三个的向量线性表出,其必线性相关,但我们知道e1,e2,e3线性无关,因此导出矛盾,这就证明了α1,α2,α3必线性无关.
9,设n维向量组α1,α2,…,αm线性相关,证明,任意加上h个n维向量αm+1,αm+2,…,αm+h构成的向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.
证,因向量组α1,α2,…,αm线性相关,因此必有不全为零的数x1,x2,…,xm使得
x1α1+x2α2+…+xmαm=O,
因此,选取m+h个数,前面m个与x1,x2,…,xm相同,后面h个数为0,则这样的m+h个数仍然是不全为零,且有
x1α1+x2α2+…+xmαm+0αm+1+0αm+2+…+0αm+h=O
所以向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.
10,判断下述向量组是否线性相关?
α1=(1,0,…,0,a1),α2=(0,1,…,0,a2),…,αn=(0,0,…,1,an)
解,因为向量组α1,α2,…,αn是由单位坐标向量组
e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…,en=(0,0,…,1)
增加一个分量构成的Rn+1中的向量组,而因为e1,e2,…,en线性无关,因此α1,α2,…,αn也线性无关.
11,验证α1=(1,-1,0),α2=(2,1,3),α3=(3,1,2)是R3的一个基,并把β=(5,0,7)用这个基线性表示。
解,如果将α1,α2,α3看作列向量拼成的矩阵
有逆存在,则它们必是R3的一个基,因此试求此矩阵的逆如下:
因此A有逆存在为
因此α1,α2,α3线性无关确实是R3的一个基,则任给一列向量D=(d1,d2,d3),将其作为列向量,则解方程组AX=D,可得X=A-1D,具体用β代入D,可得
即解得β在这基α1,α2,α3下的坐标为2,3,-1,即
β=2α1+3α2-α3,不难验证确实有
(5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)
12,判断Rn的子集S={X=(x1,x2,…,xn),其中xn=0}是否Rn的子空间? 如果是子空间,写出该子空间的基和维数.
解,任取S中两个元素X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn),即xn=yn=0,则X+Y的第n个分量xn+yn=0,因此X+Y(S,再任取S中的一个元素X和一实数k,则kX的第n个分量kxn=0,即kX(S,因此S是Rn的子空间.
实际上,S是齐次方程0x1+0x2+…+xn=0的解集,此齐次方程共有n-1个自由变元,将这n-1个自由变元依次取1而其它变元为0,就可以得到S的基或者说是齐次方程xn=0的基础解系.因此,S的维数为n-1,其中的基或者说齐次方程xn=0的基础解系为:
ξ1=(1,0,…,0,0),ξ2=(0,1,…,0,0),…,ξn-1=(0,0,…,1,0).
13,在R3中,设S1是由α1=(1,1,1),α2=(2,3,4)生成的子空间,S2是由β1=(3,4,5),β2=(0,1,2)生成的子空间,证明S1=S2,并说出该子空间的维数.
解,要证明S1=S2只须证明α1,α2与β1,β2相互等价,也就是要验证α1,α2能够被β1,β2线性表出,同时β1,β2也能够被α1,α2线性表出.
首先验证α1,α2能够被β1,β2线性表出,先验证α1能够被β1,β2线性表出,就是要解线性方程组
x1β1+x2β2=α1,写成标准的线性方程组的形式为
对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:
方程有唯一解x1=1/3,x2=-1/3,因此α1能够被β1,β2线性表出为
(1)
再验证α2能够被β1,β2线性表出,就是要解线性方程组x1β1+x2β2=α1,写成标准线性方程组的形式为
对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:
方程有唯一解x1=2/3,x2=1/3,因此α1能够被β1,β2线性表出为
(2)
将(1)式和(2)式等号两边分别相加,得
而(1)式两边乘-2再加到(2)式,可得
因此β1,β2也能够被α1,α2线性表出,所以两个向量组生成的子空间S2=S2.
下面讨论α1,α2是否线性无关,即解齐次方程x1α1+x2α2=O,即解如下方程:
对此方程的系数矩阵作行初等变换
可见方程没有自由变量,只有唯一零解,因此α1,α2线性无关,构成S1的一组基,因此S1的维数是2.
14,设α1,α2,…,αn是Rn的一个基,A为n阶可逆矩阵,求证Aα1,Aα2,…,Aαn也是Rn的一个基.
解,这种表述方法是将所有的向量看作是列向量,即n行一列的矩阵,任给一向量β(Rn,当然有A-1β(Rn,又因α1,α2,…,αn是Rn的一个基,因此向量A-1β可以由α1,α2,…,αn线性表出,即存在一组数c1,c2,…,cn使得
A-1β=c1α1+c2α2+…+cnαn
则在上式两边同时左乘矩阵A,可得
β=c1Aα1+c2Aα2+…+cnAαn
即β可由Aα1,Aα2,…,Aαn线性表出.
下面证Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关,用反证法,如若不然,假设Aα1,Aα2,…,Aαn线性相关,齐次方程组
x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=O
有非零解,则方程两边左乘A-1可得
x1α1+x2α2+…+xnαn=O
也有非零解,导出α1,α2,…,αn线性相关,这与α1,α2,…,αn是Rn的一个基相矛盾,因此Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关,从而也是Rn的一个基.
15,证明,同一个向量组的任意两个极大无关组等价.
证,假设向量组α1,α2,…,αn的秩为r,它的两个极大无关组为β1,β2,…,βr和γ1,γ2,…,γr,则因为向量组β1,β2,…,βr中的每一个向量都是向量组α1,α2,…,αn中的向量,当然就能够被向量组
γ1,γ2,…,γr线性表出,反之亦然,因此向量组β1,β2,…,βr和向量组γ1,γ2,…,γr相互间等价.
16,证明,等价的向量组有相同的秩.
证,假设向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价,其中向量组α1,α2,…,αn的秩为r,不妨假设其头r个向量α1,α2,…,αr为它的一个极大无关组,而向量组β1,β2,…,βm的秩为s,不妨假设其头s个向量β1,β2,…,βs为它的一个极大无关组,则因为向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价,必有它们的极大无关组α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs相互等价,则两个线性无关的向量组相互等价,必有它们的个数相同,即r=s.
17,设向量β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出,但向量β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出,试证,向量组α1,α2,…,αr-1,αr与α1,α2,…,αr-1,β有相同的秩.
证,因β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出,即存在一组数c1,c2,…,cr-1,cr使得
β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1+crαr (1)
现证明cr(0,如若不然,cr=0,则上式就成为β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1,但这与题意所述β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出相矛盾,
因此将(1)式的两边减β,然后两边减crαr,两边再乘(-1/cr),可得
即αr可由向量组α1,α2,…,αr-1,β线性表出,当然向量组α1,α2,…,αr-1,β也可由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出,这两个向量组等价,因此必有相同的秩.
18,求下列向量组的秩,并求出它的一个极大无关组:
1) α1=(2,0,1,1),α2=(-1,-1,0,1),α3=(1,-1,0,0),α4=(0,-2,-1,-1)
2) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7)
解,
1) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=O,化成AX=O的形式,对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵,首项变元的个数为向量组的秩,而首项变元对应的向量构成极大无关组.
则首项变元x1,x2,x3对应的向量α1,α2,α3构成极大无关组,因此向量组的秩为3.
2) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3=O,化成AX=O的形式,对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵,首项变元的个数为向量组的秩,而首项变元对应的向量构成极大无关组.
首项变元数为2个，因此秩为2，首项变元x1,x2对应的向量α1,α2构成极大无关组.
19,求下列矩阵的秩
1) ; 2)
解,求矩阵A的秩,就是求A作为系数矩阵的齐次方程组AX=O的解中首项变元的数目,因此将A作行初等变换变成阶梯矩阵后,不为零的行数就是A的秩.
1)
因此A的秩为2
2)
秩为3.
20,求下列齐次线性方程组的基础解系,并写出其通解:
1) 2)
解,1) 对系数矩阵作行初行变换:
x4为自由变元,令x4=t,t为任意常数,则有
写成向量形式为:
,基础解系为
2) 对系数矩阵作初等行变换
有两个自由变元x2和x4,令x2=s,x4=t,s,t为任意常数,则
x1=-2x2+x4,x3=0,写成向量形式有
,基础解系为
21,求解下列非齐次线性方程组：
1) 2)
解,1) 对其增广矩阵作行初等变换:
因此,方程无解.
2) 对其增广矩阵作行初等变换:
方程有两个首项变元x1和x4,两个自由变元x2和x3,令x2=s,x3=t,其中s,t为任意常数,则
,将解写成向量形式,有
22,当a1,a2,b1,b2满足什么条件时,下述方程组有解,当方程组有解时,求出其通解.
解,对增广矩阵进行行初等变换,
因此,为使方程有解,必须有a1+a2-b1-b2=0,这时有a2=b1+b2-a1,方程有一个自由变元x4,令x4=t,t为任意常数,则x1=a1-b2+x4=a1-b2+t,x2=b2-t,x3=a2-t,写成向量形式,就是
23,设三维向量空间里的两个基底分别为α1,α2,α3与β1,β2,β3,且
1) 若向量ξ=2β1-β2+3β3,求ξ对于基底α1,α2,α3的坐标;
2) 若向量η=2α1-α2+3α3,求η对于基底β1,β2,β3的坐标.
解,将两个基底拼成按列分块的矩阵,即令A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3),则A与B均为三阶方阵,则按题意知A与B的关系为
其中
则
1)
即ξ对于基底α1,α2,α3的坐标为3,4,4
2)
由B=AC知A=BC-1,先求C-1如下:
求出
则有
因此η对基底β1,β2,β3的坐标为11/2,-5,13/2.
第五章
1,求如下矩阵的特征值和特征向量:
1) ; 2) ; 3)
解,(注,对于三阶以上矩阵,没有多少可以解出特征值的好办法,通常是尝试0,1,2,-1,-2这几个值是否特征值,通过这样的尝试找出一个特征值之后,通过因式分解将多项式化为二次方程再解余下的两个根).
1) 特征方程为
解出两个特征值为:
即两个特征值λ1=1,λ2=-5,
对λ1=1,解齐次线性方程组
,容易看出方程有一个自由变元x2,令x2=t为任意常数,则x1=x2=t,因此通解为,则求得λ1=1对应的特征向量为t(1,1)T.
对λ2=5,解齐次线性方程组
,此方程也有一个自由变元x2,令x2=t为任意常数,则
因此通解为,则求得λ2=5对应的特征向量为t(-2,1)T
2) 特证方程为
因此特征值为λ1=λ2=7,λ3=-2.
对于特征值λ1=λ2=7,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换,
方程有两个自由变元x2,x3,令x2=s,x4=t,s,t为任意实数,则
写成向量形式有
,
因此特征值λ1=λ2=7对应的特征向量为s(-1/2,1,0)T,t(-1,0,1)T.
对于特征值λ3=-2,解下面的齐次方程
对系数矩阵作行初等变换
有一个自由变元x3,令x3=t为任意常数,则
x1=x3=t,x2=(1/2)x3=(1/2)t,写成向量形式,得
因此特征值λ3=-2对应的特征向量为t(1,1/2,1).
3) 特征方程为
因此A的三个特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=2a-1.
对于特征值λ1=1,解齐次方程
对其系数矩阵作初等行变换,
有一个自由变量x2,令x2=t为任意常数,则x3=0,x1=(1/3)(a+2)x2-(2a-1)x3=(1/3)(a+2)t,写成向量形式,得
即对于应特征值λ1=1的特征向量为t((a+2)/3,1,0)T.
对于特征值λ2=2,解齐次方程
对系数矩阵作初等行变换,
方程有一个自由变量x3,令x3=t为任意常数,则x1=x2=2x3=2t,写成向量形式,得
即对应于特征值λ2=2的特征向量为t(2,2,1)T.
对于特征值λ3=2a-1,解齐次方程
对其系数矩阵作行初等变换
这是为了方便起见使矩阵变成一个"倒"的阶梯形,可以看出x1为自由变元,令x1=t为任意常数,则x2=x1=t,x3=(a-1)x1=(a-1)t,写成向量形式:
因此,λ3=2a-1对应的特征向量为t(1,1,a-1)T.
2,已知A为n阶方阵且A2=A,求A的特征值.
解,设A的一个特征值为λ,对应的特征向量为X,则有AX=λX,又将题意中的条件A2=A代入此式,得A2X=λX,但A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X,因此有
λX=λ2X,即λ2X-λX=(λ2-λ)X=O,因为X为特征向量则必不为零向量,因此只能有
λ2-λ=0,即λ(λ-1)=0,
因此,A的特征值只能取0或者1值.
3,A是3阶实对称矩阵,A的特征值为1,-1,0,其中λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及(a,a+1,1)T,求矩阵A.
解,此题原本不适宜在这一章做,因为A是实对称矩阵,则必有它的各个不同特征值对应的特征向量相互正交,因此特征向量(1,a,1)与(a,a+1,1)正交,即对应分量相乘相加后等于0,即
,因此a=-1,λ=1和λ=0对应的特征向量为
α1=(1,-1,1)T及α2=(-1,0,1)T,则因剩下的那个特征向量,即λ=-1对应的特征向量α3=(x1,x2,x3)T必与α1和α2正交,由此可得下面的齐次方程组:
对其系数矩阵作行初等变换,
方程有一个自由变量x3,令x3=t为任意常数,则x1=x3=t,x2=2x3=2t,写成向量形式,有
,因此t(1,2,1)T为特征值-1对应的特征向量,可令α3=(1,2,1).T
将这三个向量规范化得
则令
则必有,因此有
4,已知有三个线性无关的特征向量,求x.
解,特征方程为
因此,A有三个特征值λ1=λ2=1,λ3=-1,因此,x的选值必须使特征值为重根1的时候对应的齐次方程有两个自由变量,才能够得到两个线性无关的特征向量.
因为待定数为x,因此齐次方程就用y1,y2,y3来作变元,则特征值为1对应的齐次方程为:
对系数矩阵作行初等变换
如要方程有两个自由变元,必须x=0.
5,判断第一题中各矩阵是否可对角化,如可对角化,求可逆矩阵T,使得T-1AT为对角阵.
解,各矩阵是否可对角化的等价条件是要有与矩阵阶数一样多的线性无关的特征向量.
1) 矩阵A有两个线性无关的特征向量α1=(1,1)T,α2=(-2,1)T,因此可对角化,
2) 矩阵A有三个线性无关的特征向量α1=(-1/2,1,0)T,α2=(-1,0,1)T,α3=(1,1/2,1)T,因此可对角化,
3) A的三个特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=2a-1,当λ3(1且λ3(2时,特征方程没有重根,三个特征值不同,因此对应的必有三个线性无关的特征向量,A可对角化,三个特征向量为
α1=((a+2)/3,1,0)T,α2=(2,2,1)T,α3=(1,1,a-1)T,因此
而当λ3=2a-1=1时,a=1,这时候α1=α3=(1,1,0)T,则不够三个线性无关的特征向量,矩阵A不能被对角化.
当λ3=2a-1=2时,a=3/2,这时候α3=(1,1,1/2)T=(1/2)α2,即与α2线性相关,这样就还是不够三个线性无关的特征向量,矩阵A也不能被对角化.
6,已知有特征值1和-1,问A是否能对角化?
解,将已知的特征值1和-1分别代入特征方程,可得关于a和b的两个方程,
先将特征值1代入特征方程得
得a=-1,
再将特征值-1代入特征方程得
将a=-1代入上式,得
因此有a=-1,b=-3,则
看A除了1和-1外还有没有其它的特征值,再重解特征方程,
因此知道矩阵A除了1和-1这两个特征值外还有一个特征值-2,这样三个不同的特征值必有三个线性无关的特征向量,A可对角化.
7,已知能对角化,求An(n(1).
解,先求A的特征方程
由此可见A有三个特征值,λ1=0,λ2=λ3=1,因此,因为A能够对角化,必须对应于重根λ2=λ3=1有两个线性无关的特征向量,对于特征值1解下面的齐次方程求对应的特征向量,
对其系数矩阵作行初等变换,
可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系,就必须有两个自由变量,y3已经是一个自由变量,因此需要y2也是自由变量,这就要求上面矩阵的第二行全为零,即x+2=0
得x=-2,矩阵.
这时候,A能对角化,所以存在方阵T使,
上式两边同时左乘T及右乘T-1可得
注意到
因此有
8,设A,B是n阶方阵,证明AB与BA具有相同的特征值.
证,假设AB之一可逆，比如A可逆，则命题是成立的，因为AB的特征多项式为
因此AB和BA的特征多项式相同，当然其特征值也就相同。而如果B可逆，同样有
如果A与B都不可逆，如果它们之一是零矩阵O，AB=BA=O，当然都有特征值0。而如果它们都不是零矩阵，那么，对矩阵A进行一系列行变换和一系列的列变换之后，总能得到一个对角矩阵，从左上角到右下角是先是1再是，也就是说存在着可逆矩阵P和Q使得
，
即,也将矩阵按与同样的办法分块,假设
则
而
因此,AB与BA的特征多项式相等,它们的特征值也一样.
9,已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1,α2,α3是相应的特征向量,如果α1+α2+α3仍是A的特征向量,证明λ1=λ2=λ3.
证,如α1,α2,α3及α1+α2+α3都是A的特征向量,假设α1+α2+α3对应的特征值为λ,则有
Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3,和
A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3) (1)
但
A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 (2)
将(1),(2)两式左边与右边分别相减,得
λ(α1+α2+α3)-λ1α1-λ2α2-λ3α3=O
整理后得
(λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2+(λ-λ3)α3=O
而因为α1,α2,α3是对应于三个特征值的特征向量,则必线性无关,因此上式要成立必须α1,α2,α3的系数都为0,即
则必有λ1=λ2=λ3,证毕.
第六章
1,求由下列向量所构成的标准正交基:
1) α1=(2,0)T,α2=(1,1)T
2) α1=(3,4)T,α2=(2,3)T
3) α1=(2,0,0)T,α2=(0,1,1)T,α3=(5,6,0)T.
解,用斯密特正交化方法,
1) β1=α1=(2,0)T,
再进行规范化,令
则ε1,ε2构成标准成交基.
2) β1=α1=(3,4)T,
再进行规范化,令
3) β1=(2,0,0)T,
另有
因此对β1,β2,β3作规范化得
2,在四维向量空间中找出一单位向量α与下列向量都正交。
α1=(1,1,-1,1)T,α2=(1,-1,-1,1)T,α3=(2,1,1,3)T
解,假设X=(x1,x2,x3,x4)T与α1,α2,α3都正交,则必有<αi,X>=0,i=1,2,3,这构成了如下的齐次方程组:
对系数矩阵做初等行变换,
方程有一个自由变量x4,令x4=t为任意常数,则x1=-(4/3)x4=-(4/3)t
x2=0,x3=-(1/3)x4=-(1/3)t,写成向量形式,得
不妨取t=3,则X=(-4,0,-1,3)T,并有
将X单位化得到α,
3,下列矩阵是否正交矩阵? 若是,求出它的逆矩阵.
1) 2)
解,1) 不是,因为第一列和第二列构成的列向量
的内积
,它们不正交,因此不是正交矩阵.
2) 设
则
因此是正交矩阵.
4,用施密特正交化方法将向量空间的一个基α1=(1,-1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(1,-1,1)T化成标准正交基,并求α=(1,2,3)T在该基下的坐标.
解,β1=α1=(1,-1,0)T,
对β1,β2,β3进行规范化得标准正交基为
求α=(1,2,3)T在该基下的坐标就是求解非齐次方程组
x1ε1+x2ε2+x3ε3=α,
写成线性方程组的规范形式,就是
其系数矩阵为正交矩阵,
即有
则方程的解为
即
5,设α,β是任意两个n维向量,证明柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式:
证,考虑关于变元t的一元二次方程
此方程或者只有0解或者无实数解,将方程整理,
(1)
我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0的解为
,因此方程只有0解或者无解的条件为,套用到(1)式,我们知道必有
即
也就是
6,设A=I-2XXT,X为n维向量,|X|=1,I为n阶单位矩阵,证明A为正交矩阵.
证,只须证明AAT=I,则A就是正交矩阵了,而
AAT=(I-2XXT)(I-2XXT)T=(I-2XXT)(I-2XXT)
=I-2XXT-2XXT+4XXTXXT=I-4XXT+4XXTXXT=I
7,证明§6.2施密特正交化方法中给出的向量组β1,β2,…,βm为正交向量组.
证,用归纳法,当m=1时,因为只有一个向量,当然正交,结果成立,假设当m=k-1时,结果成立,即β1,β2,…,βk-1相互正交,即<βi,βj>=0,i≠j,i,j=1,2,…,k-1,则令
任给正整数i<k,有
则β1,β2,…,βk相互正交.
第七章
1,写出下列二次型的矩阵.
1)
2)
解,1) 二次型矩阵为
2) 二次型矩阵为
2,写出如下矩阵所对应的二次型.
1) ; 2)
解,1) 对应的二次型为
2) 对应的二次型为
3,试将二次型写成矩阵形式,其中是算术平均值.
解,根据题意
因此对应的二次型矩阵A为
,则令
则此二次型表示为XTAX.
4,用初等变换将下列二次型化为标准型.
1) ;
2)
解,1) 对应的矩阵为
对(A|I)进行初等变换如下:
故有
使得
则令线性替换
则有.
2) 对应的矩阵为
,对(A|I)作初等变换如下:
故有
,
使得
令线性替换
,则
5,用正交变换的方法将二次型化为标准型,并写出所用正交变换.
1)
2) ;
解,1) 二次型的矩阵为
求其特征值,求解特征方程|A-λI|=0,而
因此,矩阵A的三个特征值为λ1=3,λ2=-1,λ3=0,现求各特征值对应的特征向量.
对于特征值λ1=3,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换:
方程有一个自由变量x3,令x3=t为任意实数,则x1=(1/2)x3=(1/2)t,x2=-(1/2)x3=-(1/2)t.得特征向量为
,对其进行单位化,得向量
对于特征值λ2=-1,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换:
方程有自由变量x2,令x2=t为任意实数,则x1=x2=t,x3=0,得特征向量为
对其进行规格化得
对于λ3=0,解齐次方程
对系数矩阵作行初等变换:
方程有一个自由变元x3,令x3=t为任意实数,则x1=-x3=-t,x2=x3=t,则对应的特征向量为
对其规格化得
最后得正交矩阵
则作线性替换
,使得
2) 二次型的矩阵为
求其特征值,求解特征方程|A-λI|=0,而
解得三个特征值为
对于,解齐次方程组
对系数矩阵做行初等变换:
有一自由变元x3,令x3=t为任意实数,则x1=-3x3=-3t,,得特征向量
,
对β1做规格化得规格化的特征向量
对于,解齐次方程组
令x1为自由变元,并令x1=t为任意实数,则x2=0,x3=3x1=3t,得到特征向量
,且有
对β2作规格化得规格化特征向量
对于,解齐次方程组
对系数矩阵做行初等变换:
方程有一个自由变元x3,令x3=1,可得x1=-3x3=-3,,因此得特征向量
,而,则对β3作规格化得特征向量
因此得正交矩阵
满足,作线性替换,
可得,
6,二次型经正交变换后化为标准型
,求a,b的值.
解,二次型矩阵A为
因此二次型经正交变换后化为标准型,因此A的3个特征值为3,3,b.
考虑其中的已知的一个特征值3,则必有,而且特征值3一定为此特征方程的重根,因此方程(A-3I)X=O的基础解系必只有3-2=1个线性无关的向量,即矩阵A-3I的秩
r(A-3I)=1,即A-3I的行向量中最大线性无关组的个数为1个,即只能找到一个线性无关的向量,说明另外两个行向量都与之线性相关,则根据两个线性相关的向量必然有对应分量成比例的定理,矩阵A-3I的第二行与第三行必与第一行成比例,而
,因此看出必有a=-2才满足这一点,即a=-2,则
,解A的特征方程,
,知道矩阵A有一个特征值为-3,而我们知道A只有两个不同的特征值3和b,因此只有b=-3,
7,判定二次型的正定性.
1)
2)
解,1) 二次型的矩阵为
,其特征方程为
我们已经得到一个特征值为1外,还要解一元二次方程,得另两个特征值为
,则存在一个小于0的特征值,则此二次型即非正定的,也非负定的.
2) 此二次型的矩阵为
则A的特征多项式为
将第2行到第n行都加到第1行,得
,
将上式的第1行乘上(-1/2)加到所有其余行,得
则此矩阵的两个特征值(n+1)/2和1/2都大于零,则此二次型正定.
8,已知A是n阶可逆矩阵,证明ATA是n阶正定矩阵.
证,因为(ATA)T=AT(AT)T=ATA为对称矩阵,其对应的二次型为
XT(ATA)X=(AX)T(AX)=|AX|2≥0,其中X=(x1,x2,…,xn)T(Rn.
又因为A可逆,因此齐次方程组AX=O只有零解,也即当且仅当X=O才有
XT(ATA)X=(AX)T(AX)=|AX|2=0,即二次型XT(ATA)X正定,或者等价地矩阵ATA正定.
9,已知A,A-I都是n阶实对称正定矩阵,证明I-A-1也是正定矩阵.
证,设A的n个特征值为λ1,λ2,…,λn,因A正定,因此有λi>0,且存在正交矩阵Q,QQT=I,
使得
,其中,则
,
因此λ1-1,λ2-1,…,λn-1是A-I的特征值,而因A-I正定,必有λi-1>0,或λi>1,i=1,2,…,n.
而
因此为I-A-1的各个特征值,而如前所述,因λi>1,i=1,2,…,n,则必有,即I-A-1的各个特征值大于零,即I-A-1为正定阵.
10,已知A是n阶实对称矩阵,λ1,λ2,…,λn是A的特征值,问当t为何值时,矩阵A+tI是正定,半正定,负定,半负定,不定的.
解,设λ1,λ2,…,λn中的最大值为λmax,最小值为λmin,存在着正交矩阵Q,QQT=I,使得
,其中,则
即λ1+t,λ2+t,…,λn+t是A+tI的特征值,
当t小到很小以致于所有特征值是负值时,A+tI是负定的,即当t<-λmax时A+tI负定,
而当t正好等于负的最大的特征值的时候,即当t=-λmax时,A+tI存在着一个零特征值使它不可逆,而所有特征值仍然不大于0,因此是半负定的.
当t大到一定程度,使所有的特征值都是正的时候,A+tI是正定的,即当t>-λmin时,A+tI正定,
而当t正好等于负的最小值时,即当t=-λmin时,A+tI存在着一个零特征值使它不可逆,而所有的特征值仍然不小于0,因此是半正定的.
如果t介乎于负的最大特征值和最小特征值之间,即当-λmax<t<-λmin时,A+tI不定.
第八章
1,验证
1) 全体级的实矩阵的集合关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.
2) 给定实数轴上一闭区间[a,b](a<b),取C[a,b]为[a,b]上的全体连续函数的集合,则C[a,b]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.
证,1) 任给三级矩阵,任给二实数,因有
A+B=B+A,
(A+B)+C=A+(B+C)
O+A=A
A+(-A)=O
k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
(kl)A=k(lA)
1A=A
因此,关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.
2) 任给三个在闭区间[a,b]上的连续函数,任给二实数,并用O(x)在此闭区间上的函数值总取0值的函数,即O(x)=0,a(x(b,f(x)的负函数则为-f(x)因有
f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)]
O(x)+f(x)=f(x)
f(x)+[-f(x)]=O(x)
k[f(x)+g(x)]=kf(x)+kg(x)
(k+l)f(x)=kf(x)+lf(x)
(kl)f(x)=k[lf(x)]
1f(x)=f(x)
因此,C[a,b]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.
2,取上一题中的n×m个元素Eij为(i,j)位元素为1,其它全为零的矩阵,i=1,2,…,n; j=1,2,…,m,验证这n×m个元素为Mn×m(R)的一个基,从而Mn×m(R)的维数为n×m.
证,首先验证n×m个元素线性无关,考察关于kij,i=1,2,…,n; j=1,2,…,m的齐次方程
,这n×m个相加的矩阵中的每一个kijEij都是只有一个第i行第j列的元素为kij,其余元素为0,这样就有
,只有当kij=0,i=1,2,…,n; j=1,2,…,m时才有{kij}m×n=Om×n,因此知这n×m个元素Eij线性无关,
此外,任何,都有
从而这n×m个元素为Mn×m(R)的一个基,从而Mn×m(R)的维数为n×m.
3,判断下述变换中哪些是线性变换.
1) 线性空间V中,是一固定向量.
2) 线性空间V中,是一固定向量。
3) R3中,A((x1,x2,x3)=(2x1+x2,x3-x2,x1).
4) R3中,A((x1,x2,x3)=(x12,x1+x2,x3).
5) 全体实系数多项式构成的线性空间R[x]中,A(f(x))=f(x-a),a是一固定的数.
6) 同上,R[x]中,A(f(x))=f(x2).
解,1) 如果α(O,则不是线性变换,因AO=α并没有将零向量映射为零向量.
2) 如果α(O,则不是线性变换,同样因为AO=α.
3) 任给α,β(R3,α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),k为任意实数,则
A(α+β)=A(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=(2(a1+b1)+(a2+b2),(a3+b3)-(a2+b2),(a1+b1))
=(2a1+a2,a3-a2,a1)+(2a1+a2,a3-a2,a1)=A(α)+A(β)
A(kα)=A(ka1,ka2,ka3)=(2ka1+ka2,ka3-ka2,ka1)=k(2a1+a2,a3-a2,a1)=kA(α)
因此A为线性变换.
4) 不是线性变换,第一个分量产生平方项x12是非线性的原因,因此找任何一个第一个分量不为零的向量作反例即可,因此令α=(1,0,0),并给出实数2,
则Aα=A(1,0,0)=(1,1,0),而A(2α)=A(2,0,0)=(4,2,0)((2,2,0)=2Aα.
5) 任给实系数多项式f(x),g(x)(R[x],任给实数k(R,
A(f(x))=f(x-a),A(g(x))=g(x-a),
A(f(x)+g(x))=f(x-a)+g(x-a)=A(f(x))+A(g(x)),
A(kf(x))=kf(x-a)=kA(f(x)),
因此A是线性变换.
6) 任给实系数多项式f(x),g(x)(R[x],任给实数k(R,
A(f(x))=f(x2),A(g(x))=g(x2),
A(f(x)+g(x))=f(x2)+g(x2)=A(f(x))+A(g(x)),
A(kf(x))=kf(x2)=kA(f(x)),
因此A是线性变换.
4,在R[x]中,,验证A,B均是线性变换,且
AB-BA=E,其中,E是指恒等变换.
证,
因此有
即AB-BA=E.
5,设矩阵
定义R3上的一个线性变换A使得A在基α1=(-1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,-1)T下的矩阵为A.
解,设R3中的任意一向量β在α1,α2,α3,下的坐标向量为(b1,b2,b3)T,即
,则有
现求(α1,α2,α3)-1如下,
即有
最后得
6,设A,B为R3中如下定义的线性变换:
A(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x1+x2+x3,-x2+x3)
B(x1,x2,x3)=(x2+x3,x1+x3,x1+x2)
分别求A,B和AB在基ε1=(1,0,0)T,ε2=(0,1,0)T,ε3=(0,0,1)T下的矩阵.
解,
其中就是A在基ε1,ε2,ε3下的矩阵,
其中就是B在基ε1,ε2,ε3下的矩阵,
因此,就是AB在基ε1,ε2,ε3下的矩阵.
7,设R3中一线性变换A在基α1=(1,-2,1)T,α2=(0,2,-1)T,α3=(-1,0,3)T下的矩阵为
求A在基β1=(1,1,1)T,β2=(1,1,0)T,β3=(1,0,0)T下的矩阵.
解,设由基α1,α2,α3 到基β1,β2,β3下的过渡矩阵为T,则
(α1,α2,α3)T=(β1,β2,β3)
因此,对分块矩阵(α1,α2,α3|β1,β2,β3)作行初等变换使左边一半变换为单位矩阵时,右边的一半的内容即为T,
因此
再求过渡矩阵的逆T-1,因为(β1,β2,β3)T-1=(α1,α2,α3),因此对分块矩阵(β1,β2,β3|α1,α2,α3)作行初等变换使左边成为单位矩阵,则右边即为T-1,
因此
任给ξ(R3,设其在基α1,α2,α3下的坐标向量为(x1,x2,x3)T,即
ξ=(α1,α2,α3)(x1,x2,x3)T=(β1,β2,β3)T-1(x1,x2,x3)T=(β1,β2,β3)(c1,c2,c3)T,
其中(c1,c2,c3)T为ξ在基β1,β2,β3下的坐标向量,满足
(c1,c2,c3)T=T-1(x1,x2,x3)T,或(x1,x2,x3)T=T(c1,c2,c3)T
有A(ξ)=(α1,α2,α3)A(x1,x2,x3)T=(β1,β2,β3)T-1AT(c1,c2,c3)T,
其中
即A在基β1,β2,β3下的矩阵为
8,设A为7题中的线性变换,并设向量γ=(2,-3,1)T,求γ和A(γ)在基β1,β2,β3下的坐标.
解,设γ在在基β1,β2,β3下的坐标为(x1,x2,x3),则解非齐次方程x1β1+x2β2+x3β3=γ,写成齐次方程组的标准形式:
由下面的方程往上面的方程依次解可得x1=1,x2=-3-1=-4,x3=2-1+4=5,即γ在基β1,β2,β3下的坐标为(1,-4,5),γ=β1-4β2+5β3,
而上题已经求得A(γ)在基β1,β2,β3下的矩阵B为
因此A(γ)在基β1,β2,β3下的坐标为
9,求6题中线性变换B的逆变换。
解,6题已经解出B的在基ε1=(1,0,0)T,ε2=(0,1,0)T,ε3=(0,0,1)T下的矩阵B为
因此,B的逆变换在同样基下的矩阵为B-1,下面求B-1,对分块矩阵(B|I)作行初等变换:
因此
因
即
10,设R4中线性变换A在一基ε1,ε2,ε3,ε4下的矩阵为
1) 分别求A的值域和核的一个基.
2) A可逆吗?
解,任给R4中的一向量ξ,设其在基ε1,ε2,ε3,ε4下的坐标向量为X=(x1,x2,x3,x4)T,则Aξ在同样基下的坐标向量为
Y=AX,
为研究A的值域,可先上式中Y的值域,将E1=(1,0,0,0)T,E2=(0,1,0,0)T,E3=(0,0,1,0)T,
E4=(0,0,0,1)T,这四个线性无关的向量代入上式,得到的四个向量β1,β2,β3,β4正好是A的各个列向量,即β1=AE1,β2=AE2,β3=AE3,β1=AE3,A=(β1,β2,β3,β4),下面对A做行初等变换来研究它的各个列向量间的线性关系.
可见向量组β1,β2,β3为A的各个列向量的极大无关组,而
因此,矩阵相乘Y=AX中当X取R4中的一切值时,Y的值域为span(β1,β2,β3),相对应地,A的值域就是
span((ε1,ε2,ε3,ε4)β1,(ε1,ε2,ε3,ε4)β2,(ε1,ε2,ε3,ε4)β3)=
=span(-ε1+2ε2-3ε4,ε2-ε3+ε4,2ε1-ε2+3ε3+3ε4)
现在求A的核,则考察齐次方程AX=O,按上面的变换有一个自由变元x4=t为任意常数时,
x1=0,x2=-t/2,x3=-t/2,写成向量形式有
这是A的核的所有向量的坐标向量的形式,因此A的核为
.
2) 因为A在基ε1,ε2,ε3,ε4下矩阵A不可逆,所以A也不可逆.
11,证明,非零向量是一线性变换A的核中元素当且仅当它是A的属于零特征值的特征向量.
证,假设向量α(Ker(A),即有Aα=O=0α,即α为A的关于特征值0的特征向量,此外,假设β为A的关于特征值0的特征向量,即Aβ=0β=O,则β(Ker(A),证毕.
12,证明,如果向量ξ1,ξ2,…,ξr是n维线性空间V上的线性变换A的属于特征值0的线性无关的特征向量,ξr+1,…,ξn是A的非零特征值的线性无关的特征向量,(即A可对角化),则
Ker(A)=Span(ξ1,ξ2,…,ξr)
A(V)=Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn)
证,因为A的不同特征值间的特征向量间线性无关,因此有ξ1,ξ2,…,ξn是n维线性空间V上的n个线性无关的向量,自然可以做V上的一个基,则任给α(V,其在这组基上的坐标为x1,x2,…,xn,即α=x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn,则
A(α)=A(x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn)==x1Aξ1+x2Aξ2+…+xrAξr+xr+1Aξr+1+…+xnAξn=
=O+xr+1λr+1ξr+1+…+xnλnξn(Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn) (1)
其中λr+1,…,λn为对应特征向量ξr+1,ξr+1,…,ξn的特征值,根据假设它们都不为零.
反过来,任给β(Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn),即β=yr+1ξr+1+…+ynξn,则有
这就证明了A(V)=Span(ξr+1,ξr+1,…,ξn)
现证明Ker(A)=Span(ξ1,ξ2,…,ξr)
假设α=x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn(Ker(A),即A(α)=O,按(1)式有
xr+1λr+1ξr+1+…+xnλnξn=O,因ξr+1,ξr+1,…,ξn线性无关,且λr+1,…,λn都不为0,则必有
xr+1=xr+2=…=xn=0,则α=x1ξ1+x2ξ2+…+xrξr(Span(ξ1,ξ2,…,ξr),
反过来,假设有β(Span(ξ1,ξ2,…,ξr),即β=y1ξ1+y2ξ2+…+yrξr,必有
A(β)=A(y1ξ1+y2ξ2+…+ynξn)==y1Aξ1+y2Aξ2+…+yrAξr=O,
即β(Ker(A).
因此有Ker(A)=Span(ξ1,ξ2,…,ξr)
证毕.
13,求R3上的线性变换A的特征值和特征向量,这里,A在基ε1,ε2,ε3下矩阵为
1) 2)
解,1) 先求A的特征值和特征向量,A的特征多项式为
因此A有两个特征值λ1=-2,λ2=λ3=1,
对于λ1=-2,解齐次方程(A+2I)X=O,对系数矩阵A+2I作行初等变换,
有一个自由变元x3=t为任意常数,x1=x2=0,写成向量形式
因此对应于λ1=2的特征向量为t(0,0,1)T.
对于λ2=λ3=1,解齐次方程(A-I)X=O,对系数矩阵A-I作行初等变换
方程有一个自由变元x3=t为任意常数,x1=(3/20)t,x2=-(3/10)t,写成向量形式,
因此λ2=λ3=1的特征向量为t(3/20,-3/10,1)T,
综上所述,A的特征值为λ1=-2,λ2=λ3=1,其中
λ1=-2对应的特征值向量为tε3,
λ2=λ3=1对应的特征向量为
2) A的特征多项式为
A的特征值为λ1=0,λ2=λ3=1,
对于λ1=0,解齐次方程AX=O,对A作行初等变换
方程有一个自由变元x3=t为任意常数,则x1=x2=t,可知t(1,1,1)T为λ1=0对应的特征向量.
对于λ2=λ3=1,解齐次方程(A-I)X=O,对A-I作行初等变换
方程有两个自由变元x2=s,x3=t,s,t为任意实数,则x1=(s/2)+t,写成向量形式,
即λ2=λ3=1对应于两个线性无关的特征向量s(1/2,1,0)T和t(1,0,1)T.
综上所述,A的对应于λ1=0的特征向量为t(ε1+ε2+ε3),对应于λ2=λ3=1的特征向量为
和
14,上题中,哪一个线性变换在适当的基下的矩阵为对角形,并求相应的过渡矩阵T使得
T-1AT为对角形.
解,1)中的线性变换只有两个线性无关的特征向量,因此A无法对角化.
2) 中的线性变换有三个线性无关的特征向量,因此可对角化,令矩阵T由λ1=0,λ2=λ3=1的特征向量按列向量拼成,即
,则必有
