几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数； naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn?这有理函数是 真分式 ；
,)2( mn?这有理函数是 假分式 ；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
x
xx,
1
1
2 xx
难点 将有理函数化为部分分式之和,
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )(?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21? 都是常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
注 关于部分分式分解如对 kax )( 1? 进行分解时
kax )( 1,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
一项也不能少，因为通分后分子上是 次的 )1(?kx
多项式，可得到 k个方程，定出 k个系数，否则将会得到矛盾的结果。
例如
1)1(
1
22 x
C
x
B
x
A
xx
1)1()1( 2 CxxBxAx
1
0
0
B
BA
CA
1
1
1
C
B
A
但若 1)1( 1 22 x BxAxx
1)1( 2 BxxA
1,0 AA 矛盾
（ 2）分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2
则分解后为 042 qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk
212
22
2
11
)()(?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x,
32 x
B
x
A
),2()3(3 xBxAx?
),23()(3 BAxBAx
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
B
A
65
3
2
xx
x,
3
6
2
5
xx
例 1
2)1(
1
xx
,1)1( 2 x Cx BxA
)1()1()1(1 2 xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1 A 取,1?x 1 B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1 C
.11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx
例 2
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x?
)1)(21(
1
2xx
),21)(()1(1 2 xCBxxA
,)2()2(1 2 ACxCBxBA
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 CBA
,121 2x CBxxA
)1)(21(
1
2xx
整理得例 4 求积分,)1(
1
2 dxxx
dxxx 2)1( 1 dxxxx
1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx
解例 5 求积分解
.)1)(21( 1 2 dxxx
dx
x
x
dx
x
2
1
5
1
5
2
21
5
4
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx
例 6 求积分解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
令 6xet?,ln6 tx,6 dttdx?
dx
eee
xxx?
6321
1
dttttt 61 1 23
dtttt )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt
21
33
1
36
Ctttt a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
2
3)1l n(3ln6 tt dt
tt
td
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A? ;)()3( 2 nqpxx NMx
讨论积分,)( 2
dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx
令 tpx 2
,4
2
2 pqa,
2
MpNb则
dxqpxx NMx n)( 2
dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22
,222 atqpxx,bMtNMx记
,1)2(?n
dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 natn
M,
)(
1
22 dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1(?n dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ;2a r c t a n Ca
px
a
b
注意以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。
如 dxx x 13
2
使用凑微分法比较简单基本思路尽量使分母简单 —— 降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
2co s2s i n2s i n
xxx
2
s e c
2
t a n2
2 x
x
,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
,2s i n2co sco s 22 xxx
二、三角函数有理式的积分
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
令 2ta n xu?
,1 2s i n 2uux,11c o s 2
2
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
（万能置换公式）
例 7 求积分,c o ss i n1
s i n?
dxxx
x
解,1 2s i n 2uux
2
2
1
1c o s
u
ux
,
1
2
2 duudx
由万能置换公式
dxxx x co ss i n1 s i n duuu u )1)(1( 2 2
duuu uuu )1)(1( 112 2
22
duuu uu )1)(1( )1()1( 2
22
duuu 211 duu 1 1
ua r cta n? )1l n(21 2u Cu |1|ln
2t an
xu
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2ta n1|ln C
x
例 8 求积分,s in
1
4? dxx
解（一）,2ta n xu?,1 2s i n 2uux,1 2 2 duudx
dxx4s i n1 duu uuu 4 642 8 331
Cuuuu ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux,1 1 2 duudx
dxx4s i n1
du
u
u
u
24
2
1
1
1
1
duu u 4
21
Cuu 13 1 3,co tco t31 3 Cxx
解（三） 可以不用万能置换公式,
dxx4s i n1 dxxx )co t1(cs c 22
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c )( c o t xd
.co t31co t 3 Cxx
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,
如 dxxxs i n1 co s
若用万能代换，则
dxxxs i n1 co s dttt t )1()1( 12 22
2
化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单
dxxxs i n1 co s )s i n1(s i n1 1 xdx
Cx )s i n1l n (
基本思路尽量使分母简单 —— 分子分母同乘，或使分母变成一项等尽量使 xx co s,si n 的幂次降低万能代换例 9 求积分,s i n3s i n
s i n1?
dx
xx
x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA
dxxx xs i n3s i n s i n1 dxxx xco s2s i n2 s i n1
dxxx x 2co ss i n4 s i n1
dxxx 2co ss i n 141 dxx2co s141
dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1
dxx2co s141
dxxdxxx s i n141co ss i n41 2 dxx2co s141
dxxxdx s i n141)(co sco s141 2 dxx2co s141
xco s4
1?
2t a nln4
1 x?,ta n
4
1 Cx
讨论类型 ),,( n baxxR? ),,( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分?
dx
x
x
x
11
解 tx
x1令
,1 2tx x
三、简单无理函数的积分
,112 tx,12 22 t td tdx
dxx xx 11 dtt ttt 222 121 12 2
2
t
dtt
dtt 1112 2 Cttt 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x?
例 11 求积分,11
1
3 dxxx
解 令 16 xt,6 5 dxdtt
dxxx 3 11 1 dtttt 523 61
dtt t 16
3
Ctttt |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213 dxxx
x
解 先对分母进行有理化原式 dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
dxxx )1213(
)13(1331 xdx )12(1221 xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx
例 13 dxxx3 42 )1()1(
1
解一 dxxx3 42 )1()1( 1
dx
x
xxx?
3
1
1)1)(1(
1
令 3 11 xxt 3
3
1
1
t
tx
dtttdx 23
2
)1(
6
31
21
tx 3
3
1
21
t
tx
dxxx3 42 )1()1( 1
dt
t
t
t
t
t 23
2
23
3 )1(
6
)1(
4
1
dtt 2123 Ct 123
Cxx 3 1123
解二 dxxx3 42 )1()1( 1
dx
x
x
x
2
3
4 )1(
1
1
1
1
令 11 xxt dxxdt 2)1( 2
dxxx3 42 )1()1( 1
dtt 3
4
2
1 Ct 31)3(
2
1
Cxx 3 1123
简单无理式的积分,
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式,
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数； naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn?这有理函数是 真分式 ；
,)2( mn?这有理函数是 假分式 ；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
x
xx,
1
1
2 xx
难点 将有理函数化为部分分式之和,
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )(?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21? 都是常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
注 关于部分分式分解如对 kax )( 1? 进行分解时
kax )( 1,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
一项也不能少，因为通分后分子上是 次的 )1(?kx
多项式，可得到 k个方程，定出 k个系数，否则将会得到矛盾的结果。
例如
1)1(
1
22 x
C
x
B
x
A
xx
1)1()1( 2 CxxBxAx
1
0
0
B
BA
CA
1
1
1
C
B
A
但若 1)1( 1 22 x BxAxx
1)1( 2 BxxA
1,0 AA 矛盾
（ 2）分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2
则分解后为 042 qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk
212
22
2
11
)()(?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x,
32 x
B
x
A
),2()3(3 xBxAx?
),23()(3 BAxBAx
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
B
A
65
3
2
xx
x,
3
6
2
5
xx
例 1
2)1(
1
xx
,1)1( 2 x Cx BxA
)1()1()1(1 2 xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1 A 取,1?x 1 B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1 C
.11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx
例 2
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x?
)1)(21(
1
2xx
),21)(()1(1 2 xCBxxA
,)2()2(1 2 ACxCBxBA
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 CBA
,121 2x CBxxA
)1)(21(
1
2xx
整理得例 4 求积分,)1(
1
2 dxxx
dxxx 2)1( 1 dxxxx
1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx
解例 5 求积分解
.)1)(21( 1 2 dxxx
dx
x
x
dx
x
2
1
5
1
5
2
21
5
4
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx
例 6 求积分解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
令 6xet?,ln6 tx,6 dttdx?
dx
eee
xxx?
6321
1
dttttt 61 1 23
dtttt )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt
21
33
1
36
Ctttt a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
2
3)1l n(3ln6 tt dt
tt
td
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A? ;)()3( 2 nqpxx NMx
讨论积分,)( 2
dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx
令 tpx 2
,4
2
2 pqa,
2
MpNb则
dxqpxx NMx n)( 2
dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22
,222 atqpxx,bMtNMx记
,1)2(?n
dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 natn
M,
)(
1
22 dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1(?n dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ;2a r c t a n Ca
px
a
b
注意以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。
如 dxx x 13
2
使用凑微分法比较简单基本思路尽量使分母简单 —— 降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
2co s2s i n2s i n
xxx
2
s e c
2
t a n2
2 x
x
,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
,2s i n2co sco s 22 xxx
二、三角函数有理式的积分
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
令 2ta n xu?
,1 2s i n 2uux,11c o s 2
2
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
（万能置换公式）
例 7 求积分,c o ss i n1
s i n?
dxxx
x
解,1 2s i n 2uux
2
2
1
1c o s
u
ux
,
1
2
2 duudx
由万能置换公式
dxxx x co ss i n1 s i n duuu u )1)(1( 2 2
duuu uuu )1)(1( 112 2
22
duuu uu )1)(1( )1()1( 2
22
duuu 211 duu 1 1
ua r cta n? )1l n(21 2u Cu |1|ln
2t an
xu
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2ta n1|ln C
x
例 8 求积分,s in
1
4? dxx
解（一）,2ta n xu?,1 2s i n 2uux,1 2 2 duudx
dxx4s i n1 duu uuu 4 642 8 331
Cuuuu ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux,1 1 2 duudx
dxx4s i n1
du
u
u
u
24
2
1
1
1
1
duu u 4
21
Cuu 13 1 3,co tco t31 3 Cxx
解（三） 可以不用万能置换公式,
dxx4s i n1 dxxx )co t1(cs c 22
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c )( c o t xd
.co t31co t 3 Cxx
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,
如 dxxxs i n1 co s
若用万能代换，则
dxxxs i n1 co s dttt t )1()1( 12 22
2
化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单
dxxxs i n1 co s )s i n1(s i n1 1 xdx
Cx )s i n1l n (
基本思路尽量使分母简单 —— 分子分母同乘，或使分母变成一项等尽量使 xx co s,si n 的幂次降低万能代换例 9 求积分,s i n3s i n
s i n1?
dx
xx
x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA
dxxx xs i n3s i n s i n1 dxxx xco s2s i n2 s i n1
dxxx x 2co ss i n4 s i n1
dxxx 2co ss i n 141 dxx2co s141
dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1
dxx2co s141
dxxdxxx s i n141co ss i n41 2 dxx2co s141
dxxxdx s i n141)(co sco s141 2 dxx2co s141
xco s4
1?
2t a nln4
1 x?,ta n
4
1 Cx
讨论类型 ),,( n baxxR? ),,( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分?
dx
x
x
x
11
解 tx
x1令
,1 2tx x
三、简单无理函数的积分
,112 tx,12 22 t td tdx
dxx xx 11 dtt ttt 222 121 12 2
2
t
dtt
dtt 1112 2 Cttt 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x?
例 11 求积分,11
1
3 dxxx
解 令 16 xt,6 5 dxdtt
dxxx 3 11 1 dtttt 523 61
dtt t 16
3
Ctttt |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213 dxxx
x
解 先对分母进行有理化原式 dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
dxxx )1213(
)13(1331 xdx )12(1221 xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx
例 13 dxxx3 42 )1()1(
1
解一 dxxx3 42 )1()1( 1
dx
x
xxx?
3
1
1)1)(1(
1
令 3 11 xxt 3
3
1
1
t
tx
dtttdx 23
2
)1(
6
31
21
tx 3
3
1
21
t
tx
dxxx3 42 )1()1( 1
dt
t
t
t
t
t 23
2
23
3 )1(
6
)1(
4
1
dtt 2123 Ct 123
Cxx 3 1123
解二 dxxx3 42 )1()1( 1
dx
x
x
x
2
3
4 )1(
1
1
1
1
令 11 xxt dxxdt 2)1( 2
dxxx3 42 )1()1( 1
dtt 3
4
2
1 Ct 31)3(
2
1
Cxx 3 1123
简单无理式的积分,
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式,
