单链表的结点类(ListNode class)和链表类(List class)的类定义。
template <class Type> class List; //前视的类定义
template <class Type> class ListNode { //链表结点类的定义
friend class List<Type>; //List类作为友元类定义
private:
Type data; //数据域
ListNode<Type> *link; //链指针域
public:
ListNode ( ),link (NULL) { } //仅初始化指针成员的构造函数
ListNode ( const Type& item ),data (item),link (NULL) { }
//初始化数据与指针成员的构造函数
ListNode<Type> * getNode ( const Type& item,ListNode<Type> *next = NULL )
//以item和next建立一个新结点
ListNode<Type> * getLink ( ) { return link; } //取得结点的下一结点地址
Type getData ( ) { return data; } //取得结点中的数据
void setLink ( ListNode<Type> * next ) { link = next; } //修改结点的link指针
void setData ( Type value ) { data = value; } //修改结点的data值
};
template <class Type> class List { //单链表类定义
private:
ListNode<Type> *first,*current; //链表的表头指针和当前元素指针
public:
List ( const Type& value ) { first = current = new ListNode<Type> ( value ); }
//构造函数
~List ( ) { MakeEmpty ( ); delete first; } //析构函数
void MakeEmpty ( ); //将链表置为空表
int Length ( ) const; //计算链表的长度
ListNode<Type> * Find ( Type value ); //搜索含数据value的元素并成为当前元素
ListNode<Type> * Locate( int i ); //搜索第i个元素的地址并置为当前元素
Type * GetData ( ); //取出表中当前元素的值
int Insert ( Type value ); //将value插在表当前位置之后并成为当前元素
Type *Remove ( ); //将链表中的当前元素删去,填补者为当前元素
ListNode<Type> * Firster ( ) { current = first; return first; } //当前指针定位于表头结点
Type *First ( ); //当前指针定位于表中第一个元素并返回其值
Type *Next ( ); //将当前指针进到表中下一个元素并返回其值
int NotNull ( ) { return current != NULL; } //表中当前元素空否？空返回1,不空返回0
int NextNotNull ( ) { return current != NULL && current->link != NULL; }
//当前元素下一元素空否？空返回1,不空返回0
};
3-1线性表可用顺序表或链表存储。试问：
(1) 两种存储表示各有哪些主要优缺点?
(2) 如果有n个表同时并存，并且在处理过程中各表的长度会动态发生变化，表的总数也可能自动改变、在此情况下，应选用哪种存储表示？为什么？
(3) 若表的总数基本稳定，且很少进行插入和删除，但要求以最快的速度存取表中的元素，这时，应采用哪种存储表示？为什么？
【解答】
(1) 顺序存储表示是将数据元素存放于一个连续的存储空间中，实现顺序存取或(按下标)直接存取。它的存储效率高，存取速度快。但它的空间大小一经定义，在程序整个运行期间不会发生改变，因此，不易扩充。同时，由于在插入或删除时，为保持原有次序，平均需要移动一半(或近一半)元素，修改效率不高。
链接存储表示的存储空间一般在程序的运行过程中动态分配和释放，且只要存储器中还有空间，就不会产生存储溢出的问题。同时在插入和删除时不需要保持数据元素原来的物理顺序，只需要保持原来的逻辑顺序，因此不必移动数据，只需修改它们的链接指针，修改效率较高。但存取表中的数据元素时，只能循链顺序访问，因此存取效率不高。
(2) 如果有n个表同时并存，并且在处理过程中各表的长度会动态发生变化，表的总数也可能自动改变、在此情况下，应选用链接存储表示。
如果采用顺序存储表示，必须在一个连续的可用空间中为这n个表分配空间。初始时因不知道哪个表增长得快，必须平均分配空间。在程序运行过程中，有的表占用的空间增长得快，有的表占用的空间增长得慢；有的表很快就用完了分配给它的空间，有的表才用了少量的空间，在进行元素的插入时就必须成片地移动其他的表的空间，以空出位置进行插入；在元素删除时，为填补空白，也可能移动许多元素。这个处理过程极其繁琐和低效。
如果采用链接存储表示，一个表的存储空间可以连续，可以不连续。表的增长通过动态存储分配解决，只要存储器未满，就不会有表溢出的问题；表的收缩可以通过动态存储释放实现，释放的空间还可以在以后动态分配给其他的存储申请要求，非常灵活方便。对于n个表(包括表的总数可能变化)共存的情形，处理十分简便和快捷。所以选用链接存储表示较好。
(3) 应采用顺序存储表示。因为顺序存储表示的存取速度快，但修改效率低。若表的总数基本稳定，且很少进行插入和删除，但要求以最快的速度存取表中的元素，这时采用顺序存储表示较好。
3-2 针对带表头结点的单链表，试编写下列函数。
(1) 定位函数Locate：在单链表中寻找第i个结点。若找到，则函数返回第i个结点的地址；若找不到，则函数返回NULL。
(2) 求最大值函数max：通过一趟遍历在单链表中确定值最大的结点。
(3) 统计函数number：统计单链表中具有给定值x的所有元素。
(4) 建立函数create：根据一维数组a[n]建立一个单链表，使单链表中各元素的次序与a[n]中各元素的次序相同，要求该程序的时间复杂性为O(n)。
(5) 整理函数tidyup：在非递减有序的单链表中删除值相同的多余结点。
【解答】
(1) 实现定位函数的算法如下：
template <class Type> ListNode <Type> * List <Type>,,Locate ( int i ) {
//取得单链表中第i个结点地址,i从1开始计数,i <= 0时返回指针NULL
if ( i <= 0 ) return NULL; //位置i在表中不存在
ListNode <Type> * p = first; int k = 0; //从表头结点开始检测
while ( p != NULL && k < i ) { p = p->link; k++; } //循环,p == NULL表示链短,无第i个结点
return p; //若p != NULL,则k == i,返回第i个结点地址
}
(2) 实现求最大值的函数如下：
template <class Type> ListNode <Type> * List <Type>,,Max ( ) {
//在单链表中进行一趟检测，找出具有最大值的结点地址,如果表空,返回指针NULL
if ( first->link == NULL ) return NULL; //空表,返回指针NULL
ListNode <Type> * pmax = first->link,p = first->link->link; //假定第一个结点中数据具有最大值
while ( p != NULL ) { //循环,下一个结点存在
if ( p->data > pmax->data ) pmax = p; //指针pmax记忆当前找到的具最大值结点
p = p->link; //检测下一个结点
}
return pmax;
}
(3) 实现统计单链表中具有给定值x的所有元素的函数如下：
template <class Type> int List <Type>,,Count ( Type& x ) {
//在单链表中进行一趟检测，找出具有最大值的结点地址,如果表空,返回指针NULL
int n = 0;
ListNode <Type> * p = first->link; //从第一个结点开始检测
while ( p != NULL ) { //循环,下一个结点存在
if ( p->data == x ) n++; //找到一个,计数器加1
p = p->link; //检测下一个结点
}
return n;
}
(4) 实现从一维数组A[n]建立单链表的函数如下：
template <class Type> void List <Type>,,Create ( Type A[ ],int n ) {
//根据一维数组A[n]建立一个单链表，使单链表中各元素的次序与A[n]中各元素的次序相同
ListNode<Type> * p;
first = p = new ListNode<Type>; //创建表头结点
for ( int i = 0; i < n; i++ ) {
p->link = new ListNode<Type> ( A[i] ); //链入一个新结点,值为A[i]
p = p->link; //指针p总指向链中最后一个结点
}
p->link = NULL;
}
采用递归方法实现时，需要通过引用参数将已建立的单链表各个结点链接起来。为此，在递归地扫描数组A[n]的过程中，先建立单链表的各个结点，在退出递归时将结点地址p（被调用层的形参）带回上一层（调用层）的实参p->link。
template<Type> void List<Type>,,create ( Type A[ ],int n,int i,ListNode<Type> *& p ) {
//私有函数：递归调用建立单链表
if ( i == n ) p = NULL;
else { p = new ListNode<Type>( A[i] ); //建立链表的新结点
create ( A,n,i+1,p->link ); //递归返回时p->link中放入下层p的内容
}
}
template<Type> void List<Type>,,create ( Type A[ ],int n ) {
//外部调用递归过程的共用函数
first = current = new ListNode<Type>; //建立表头结点
create ( A,n,0,first->link ); //递归建立单链表
}
(5) 实现在非递减有序的单链表中删除值相同的多余结点的函数如下：
template <class Type> void List <Type>,,tidyup ( ) {
ListNode<Type> * p = first->link,temp; //检测指针,初始时指向链表第一个结点
while ( p != NULL && p->link != NULL ) //循环检测链表
if ( p->data == p->link->data ) { //若相邻结点所包含数据的值相等
temp = p->first; p->link = temp->link; //为删除后一个值相同的结点重新拉链
delete temp; //删除后一个值相同的结点
}
else p = p->link; //指针p进到链表下一个结点
}
3-3 设ha和hb分别是两个带表头结点的非递减有序单链表的表头指针,试设计一个算法,将这两个有序链表合并成一个非递增有序的单链表。要求结果链表仍使用原来两个链表的存储空间,不另外占用其它的存储空间。表中允许有重复的数据。
【解答】
#include <iostream.h>
template <class Type> class List;
template <class Type> class ListNode {
friend class List<Type>;
public:
ListNode ( ); //构造函数
ListNode ( const Type& item ); //构造函数
private:
Type data;
ListNode<Type> *link;
};
template <class Type> class List {
public:
List ( const Type finishied ); //建立链表
void Browse ( ); //打印链表
void Merge ( List<Type> &hb ); //连接链表
private:
ListNode<Type> *first,*last;
};
//各成员函数的实现
template <class Type>
ListNode<Type>,,ListNode ( ),link ( NULL ) { }
//构造函数,仅初始化指针成员。
template <class Type> ListNode<Type>,,ListNode ( const Type & item ),data ( item ),link ( NULL ) { }
//构造函数,初始化数据与指针成员。
template <class Type> List<Type>,,List ( const Type finishied ) {
//创建一个带表头结点的有序单链表,finished是停止建表输入标志,是所有输入值中不可能出现的数值。
first = last = new ListNode<Type>( ); //创建表头结点
Type value; ListNode<Type> *p,*q,*s;
cin >> value;
while ( value != finished ) { //循环建立各个结点
s = new ListNode<Type>( value );
q = first; p = first->link;
while ( p != NULL && p->data <= value )
{ q = p; p = p->link; } //寻找新结点插入位置
q->link = s; s->link = p; //在q,p间插入新结点
if ( p == NULL ) last = s;
cin >> value;
}
}
template <class Type> void List<Type>,,Browse ( ) {
//浏览并输出链表的内容
cout<<"\nThe List is,\n";
ListNode<Type> *p = first->link;
while ( p != NULL ) {
cout << p->data;
if ( p != last ) cout << "->";
else cout << endl;
p = p->link;
}
}
template <class Type> void List <Type>,,Merge ( List<Type>& hb) {
//将当前链表this与链表hb按逆序合并，结果放在当前链表this中。
ListNode<Type> *pa,*pb,*q,*p;
pa = first->link; pb = hb.first->link; //检测指针跳过表头结点
first->link = NULL; //结果链表初始化
while ( pa != NULL && pb != NULL ) { //当两链表都未结束时
if ( pa->data <= pb->data )
{ q = pa; pa = pa->link; } //从pa链中摘下
else
{ q = pb; pb = pb->link; } //从pb链中摘下
q→link = first->link; first->link = q; //链入结果链的链头
}
p = ( pa != NULL )? pa,pb; //处理未完链的剩余部分
while ( p != NULL ) {
q = p; p = p->link;
q->link = first->link; first->link = q;
}
}
3-4 设有一个表头指针为h的单链表。试设计一个算法，通过遍历一趟链表，将链表中所有结点的链接方向逆转，如下图所示。要求逆转结果链表的表头指针h指向原链表的最后一个结点。
【解答1】
template<class Type> void List<Type>,,Inverse ( ) {
if ( first == NULL ) return;
ListNode<Type> *p = first->link,*pr = NULL;
while ( p != NULL ) {
first->link = pr; //逆转first指针
pr = first; first = p; p = p->link; //指针前移
}
first->link = pr;
}
【解答2】
template<class Type> void List<Type>,,Inverse ( ) {
ListNode<Type> *p,*head = new ListNode<Type> ( ); //创建表头结点,其link域默认为NULL
while ( first != NULL ) {
p = first; first = first->link; //摘下first链头结点
p->link = head->link; head->link = p; //插入head链前端
}
first = head->link; delete head; //重置first,删去表头结点
}
3-5 从左到右及从右到左遍历一个单链表是可能的，其方法是在从左向右遍历的过程中将连接方向逆转，如右图所示。在图中的指针p指向当前正在访问的结点，指针pr指向指针p所指结点的左侧的结点。此时，指针p所指结点左侧的所有结点的链接方向都已逆转。
(1) 编写一个算法，从任一给定的位置(pr,p)开始，将指针p右移k个结点。如果p移出链表，则将p置为0，并让pr停留在链表最右边的结点上。
(2) 编写一个算法，从任一给定的位置(pr,p)开始，将指针p左移k个结点。如果p移出链表，则将p置为0，并让pr停留在链表最左边的结点上。
【解答】
(1) 指针p右移k个结点
template<class Type> void List<Type>,,
siftToRight ( ListNode<Type> *& p,ListNode<Type> *& pr,int k ) {
if ( p == NULL && pr != first ) { //已经在链的最右端
cout << "已经在链的最右端，不能再右移。" << endl;
return;
}
int i; ListNode<Type> *q;
if ( p == NULL ) //从链头开始
{ i = 1; pr = NULL; p = first; } //重置p到链头也算一次右移
else i = 0;
while ( p != NULL && i < k ) { //右移k个结点
q = p->link; p->link = pr; //链指针p→link逆转指向pr
pr = p; p = q; i++; //指针pr,p右移
}
cout << "右移了" << i << "个结点。" << endl;
}
(2) 指针p左移k个结点
template<class Type> void List<Type>,:
siftToLeft ( ListNode<Type> *& p,ListNode<Type> *& pr,int k ) {
if ( p == NULL && pr == first ) { //已经在链的最左端
cout << "已经在链的最左端，不能再左移。" << endl;
return;
}
int i = 0; ListNode<Type> *q;
while ( pr != NULL && i < k ) { //左移k个结点
q = pr->link; pr->link = p; //链指针pr->link逆转指向p
p = pr; pr = q; i++; //指针pr,p左移
}
cout << "左移了" << i << "个结点。" << endl;
if ( i < k ) { pr = p; p = NULL; } //指针p移出表外，重置p,pr
}
3-6 试写出用单链表表示的字符串类及字符串结点类的定义，并依次实现它的构造函数、以及计算串长度、串赋值、判断两串相等、求子串、两串连接、求子串在串中位置等7个成员函数。要求每个字符串结点中只存放一个字符。
【解答】
//用单链表表示的字符串类string1的头文件string1.h
#include <iostream.h>
const int maxLen = 300; //字符串最大长度为300（理论上可以无限长）
class string1 {
public:
string1 ( ); //构造空字符串
string1 ( char * obstr ); //从字符数组建立字符串
~string1 ( ); //析构函数
int Length ( ) const { return curLen; } //求字符串长度
string1& operator = ( string1& ob ); //串赋值
int operator == ( string1& ob ); //判两串相等
char& operator [ ] ( int i ); //取串中字符
string1& operator ( ) ( int pos,int len ); //取子串
string1& operator += ( string1& ob ); //串连接
int Find ( string1& ob ); //求子串在串中位置(模式匹配)
friend ostream& operator << ( ostream& os,string1& ob );
friend istream& operator >> ( istream& is,string1& ob );
private:
ListNode<char>*chList; //用单链表存储的字符串
int curLen; //当前字符串长度
}
//单链表表示的字符串类string1成员函数的实现，在文件string1.cpp中
#include <iostream.h>
#include "string1.h"
string1,,string1( ) { //构造函数
chList = new ListNode<char> ( '\0' );
curLen = 0;
}
string1,,string1( char *obstr ) { //复制构造函数
curLen = 0;
ListNode<char> *p = chList = new ListNode<char> ( *obstr );
while ( *obstr != '\0' ) {
obstr++;
p = p->link = new ListNode<char> ( *obstr );
curLen++;
}
}
string1& string1,,operator = ( string1& ob ) { //串赋值
ListNode<char> *p = ob.chList;
ListNode<char> *q = chList = new ListNode<char> ( p->data );
curLen = ob.curLen;
while ( p->data != '\0' ) {
p = p->link;
q = q->link = new ListNode<char> ( p->data );
}
return *this;
}
int string1,,operator == ( string1& ob ) { //判两串相等
if ( curLen != ob.curLen ) return 0;
ListNode <char> *p = chList,*q = ob.chList;
for ( int i = 0; i < curLen; i++ )
if ( p->data != q->data ) return 0;
else { p = p->link; q = q->link; }
return 1;
}
char& string1,,operator [ ] ( int i ) { //取串中字符
if ( i >= 0 && i < curLen ) {
ListNode <char> *p = chList; int k = 0;
while ( p != NULL && k < i ) { p = p->link; k++; }
if ( p != NULL ) return p->data;
}
return '\0';
}
string1& string1,,operator ( ) ( int pos,int len ) { //取子串
string1 temp;
if ( pos >= 0 && len >= 0 && pos < curLen && pos + len - 1 < curLen ) {
ListNode<char> *q,*p = chList;
for ( int k = 0; k < pos; k++; ) p = p->link; //定位于第pos结点
q = temp.chList = new ListNode<char> ( p->data );
for ( int i = 1; i < len; i++ ) { //取长度为len的子串
p = p->link;
q = q->link = new ListNode<char> ( p->data );
}
q->link = new ListNode<char> ( '\0' ); //建立串结束符
temp.curLen = len;
}
else { temp.curLen = 0; temp.chList = new ListNode<char> ( '\0' ); }
return *temp;
}
string1& string1,,operator += ( string1& ob ) { //串连接
if ( curLen + ob.curLen > maxLen ) len = maxLen - curLen;
else len = ob.curLen; //传送字符数
ListNode<char> *q = ob.chList,*p = chList;
for ( int k = 0; k < curLen - 1; k++; ) p = p->link; //this串的串尾
k = 0;
for ( k = 0; k < len; k++ ) { //连接
p = p->link = new ListNode<char> ( q->data );
q = q->link;
}
p→link = new ListNode<char> ( '\0' );
}
int string1,,Find ( string1& ob ) { //求子串在串中位置(模式匹配)
int slen = curLen,oblen = ob.curLen,i = slen - oblen;
string1 temp = this;
while ( i > -1 )
if ( temp( i,oblen ) == ob ) break;
else i-- ;
return i;
}
3-7 如果用循环链表表示一元多项式，试编写一个函数Polynomial,,Calc(x)，计算多项式在x处的值。
【解答】
下面给出表示多项式的循环链表的类定义。作为私有数据成员，在链表的类定义中封装了3个链接指针：first、last和current，分别指示链表的表头结点、链尾结点和最后处理到的结点。
enum Boolean { False,True }
class Polynomal; //多项式前视类定义
class Term { //项类定义
friend class Polynomal;
private,
double coef,expn; //系数与指数
Term *link; //项链接指针
public:
Term ( double c = 0,double e = 0,Term * next = NULL ),coef (c),expn(e),link (next) { }
}
class Polynomal { //多项式类定义
private,
Term *first,*current; //头指针,当前指针
int n; //多项式阶数
public,
Polynomal ( ); //构造函数
~Polynomal ( ); //析构函数
int Length ( ) const; //计算多项式项数
Boolean IsEmpty ( ) { return first->link == first; } //判是否零多项式
Boolean Find ( const double& value ); //在多项式中寻找其指数值等于value的项
double getExpn ( ) ( ) const; //返回当前项中存放的指数值
double getCoef ( ) ( ) const; //返回当前项中存放的系数值
void Firster ( ) { current = first; } //将当前指针置于头结点
Boolean First ( ); //将当前指针指向链表的第一个结点
Boolean Next ( ); //将当前指针指到当前结点的后继结点
Boolean Prior ( ); //将当前指针指到当前结点的前驱结点
void Insert ( const double coef,double expn ); //插入新结点
void Remove ( ); //删除当前结点
double Calc ( double x ); //求多项式的值
friend Polynomial operator + ( Polynomial &,Polynomial & );
friend Polynomial operator * ( Polynomial &,Polynomial & );
};
对于多项式Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + an-1xn-1 + anxn，可用Horner规则将它改写求值：
Pn(x) = a0 + (a1x + ( a2 + ( a3 + … + ( an-1 + an*x )*x … )*x )*x )*x
因为不是顺序表，必须采用递归算法实现：
double Polynomal,,Value ( Term *p,double x ) {
//私有函数：递归求子多项式的值
if ( p->link == first ) return p->coef;
else return p->coef + x * Value ( p->link,x );
}
double Polynomal,,Calc ( double x ) {
//共有函数：递归求多项式的值
Term * pc = first->link;
if ( pc == first ) cout << 0 << endl;
else cout << Value ( pc,x ) << endl;
}
但是，当多项式中许多项的系数为0时，变成稀疏多项式，如P50(x) = a0 + a13x13 + a35x35 + a50x50，为节省存储起见，链表中不可能保存有零系数的结点。此时，求值函数要稍加改变：
#include <math.h>
double Polynomal,,Value ( Term *p,double e,double x ) {
//私有函数：递归求子多项式的值。pow(x,y)是求x的y次幂的函数,它的原型在“math.h”中
if ( p->link == first ) return p->coef;
else return p->coef + pow( x,p->expn – e ) * Value ( p->link,p->expn,x );
}
double Polynomal,,Calc ( double x ) {
//共有函数：递归求多项式的值
Term * pc = first->link;
if ( pc == first ) cout << 0 << endl;
else cout << Value ( pc,0,x ) << endl;
}
3-8 设a和b是两个用带有表头结点的循环链表表示的多项式。试编写一个算法，计算这两个多项式的乘积c = a*b，要求计算后多项式a与b保持原状。如果这两个多项式的项数分别为n与m,试说明该算法的执行时间为O(nm2)或O(n2m)。但若a和b是稠密的,即其很少有系数为零的项,那么试说明该乘积算法的时间代价为O(nm)。
【解答】
假设
则它们的乘积为
例如，a = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4,b = 6 + 7x + 8x2 + 9x3,它们的乘积
c = (1+2x+3x2+4x3+5x4)*(6+7x+8x2+9x3) =
= 1*6 + (1*7+2*6)x +(1*8+2*7+3*6)x2+(1*9+2*8+3*7+4*6)x3+(2*9+3*8+4*7+5*6)x4+
+(3*9+4*8+5*7)x5+(4*9+5*8)x6+5*9x7
在求解过程中，固定一个ai，用它乘所有bj，得到xi+j的系数的一部分。这是一个二重循环。
i = 0,
i = 1,
i = 2,
i = 3,
i = 4,
根据以上思想得到的算法如下：
Polynomal& Polynomal,,operator * ( Polynomal& a,Polynomal& b ) {
Term * pa = a.first->link,pb,pc,fc; //pa与pb是两个多项式链表的检测指针
first = fc = pc = new Term; //fc是每固定一个ai时ai结点指针,pc是存放指针
while ( pa != NULL ) { //每一个ai与b中所有项分别相乘
pb = b.first->link;
while ( pb != NULL ) { //扫描多项式b所有项
temp = pa->data * pb->data; //计算ai * bj
if ( pc->link != NULL ) pc->link->data = pc->link->data + temp-> //累加
else pc->link = new Term (temp); //增加项,事实上,每次pa变化,链结点要随之增加
pc = pc->link; pb = pb->link;
}
pc = fc = fc->link; pa = pa->link; //处理多项式a 的下一ai
}
pc->link = NULL;
return *this;
}
这个算法有一个二重循环，内层循环中语句的重复执行次数是O(n*m)。其中，n是第一个多项式的阶数，m是第二个多项式的阶数。这是稠密多项式的情形。
对于稀疏多项式的情形请自行考虑。
3-9 计算多项式 Pn (x) = a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + …… + an-1 x + an的值，通常使用的方法是一种嵌套的方法。它可以描述为如下的迭代形式：b0 = a0,bi+1 = x * bi + ai+1,i = 0,1,…,n-1。若设bn = pn （x）,则问题可以写为如下形式：Pn (x) = x * Pn-1 (x) + an,此处,Pn-1 (x) = a0 xn-1 + a1 xn-2 + …… + an-2 x + an-1，这是问题的递归形式。试编写一个递归函数，计算这样的多项式的值。
【解答】
如果用循环链表方式存储多项式，求解方法与3-7题相同。如果用数组方式存储多项式，当零系数不多时，可用顺序存放各项系数的一维数组存储多项式的信息，指数用数组元素的下标表示
0
1
2
3
i
n-2
n-1
coef
a0
a1
a2
a3
…
ai
…
an-2
an-1
多项式的类定义如下：
struct Polynomal {
double * coef;
int n;
}
这样可得多项式的解法：
double Polynomal,,Value ( int i,double x ) {
//私有函数：递归求子多项式的值
if ( i == n-1 ) return coef[n-1];
else return coef[i] + x * Value ( i+1,x );
}
double Polynomal,,Calc ( double x ) {
//共有函数：递归求多项式的值
if ( n == 0 ) cout << 0 << endl;
else cout << Value ( 0,x ) << endl;
}
3-10 试设计一个实现下述要求的Locate运算的函数。设有一个带表头结点的双向链表L，每个结点有4个数据成员：指向前驱结点的指针prior、指向后继结点的指针next、存放数据的成员data和访问频度freq。所有结点的freq初始时都为0。每当在链表上进行一次Locate (L,x)操作时，令元素值为x的结点的访问频度freq加1，并将该结点前移，链接到与它的访问频度相等的结点后面，使得链表中所有结点保持按访问频度递减的顺序排列，以使频繁访问的结点总是靠近表头。
【解答】
#include <iostream.h>
//双向循环链表结点的构造函数
DblNode (Type value,DblNode<Type> *left,DblNode<Type> *right ),
data ( value ),freq ( 0 ),lLink ( left ),rLink ( right ) { }
DblNode (Type value ),
data ( value ),freq ( 0 ),lLink ( NULL ),rLink ( NULL ) { }
template <class Type>
DblList<Type>,,DblList ( Type uniqueVal ) {
first = new DblNode<Type>( uniqueVal );
first->rLink = first->lLink = first; //创建表头结点
current = NULL;
cout << "开始建立双向循环链表：\n";
Type value; cin >> value;
while ( value != uniqueVal ) { //每次新结点插入在表头结点后面
first->rLink = new DblNode<Type>( value,first,first->rLink );
cin >> value;
}
}
template <class Type>
void DblList<Type>,,Locate ( Type & x ) {
//定位
DblNode<Type> *p = first->rLink;
while ( p != first && p->data != x ) p = p->rLink;
if ( p != first ) { //链表中存在x
p→freq++; //该结点的访问频度加1
current = p; //从链表中摘下这个结点
current->lLink->rLink = current->rLink;
current->rLink->lLink = current->lLink;
p = current->lLink; //寻找从新插入的位置
while ( p != first && current->freq > p->freq )
p = p->lLink;
current->rLink = p->rLink; //插入在p之后
current->lLink = p;
p->rLink->lLink = current;
p->rLink = current;
}
else cout<<"Sorry,Not find!\n"; //没找到
}
3-11 利用双向循环链表的操作改写2-2题，解决约瑟夫(Josephus)问题。
【解答】
#include <iostream.h>
#include,DblList.h”
Template <class Type> void DblList <Type>,,Josephus ( int n,int m ) {
DblNode<Type> p = first,temp;
for ( int i = 0; i < n-1; i++ ) { //循环n-1趟，让n-1个人出列
for ( int j = 0; j < m-1; j++ ) p = p->rLink; //让p向后移动m-1次
cout <<,Delete person,<< p->data << endl;
p->lLink->rLink = p->rLink; //从链中摘下p
p->rLink->lLink = p->lLink;
temp = p->rlink; delete p; p = temp; //删除p所指结点后,p改指下一个出发点
}
cout <<,The winner is,<< p->data << endl;
}
void main ( ) {
DblList<int> dlist; //定义循环链表dlist并初始化
int n,m; //n是总人数，m是报数值
cout <<,Enter the Number of Contestants?”;
cin >> n >> m;
for ( int i = 1; i <= n; i++ ) dlist.insert (i); //建立数据域为1,2,… 的循环链表
dlist.Josephus (n,m); //解决约瑟夫问题，打印胜利者编号
}
3-12 试设计一个算法，改造一个带表头结点的双向链表，所有结点的原有次序保持在各个结点的rLink域中，并利用lLink域把所有结点按照其值从小到大的顺序连接起来。
【解答】
template<Type> void DblList<Type>,,sort ( ) {
DblNode<Type> *
s = first->link; //指针s指向待插入结点,初始时指向第一个结点
while ( s != NULL ) { //处理所有结点
pre = first; p = first->lLink; //指针p指向待比较的结点,pre是p的前驱指针
while ( p != NULL && s->data < p->data ) //循lLink链寻找结点 *s的插入位置
{ pre = p; p = p->lLink; }
pre->lLink = s; s->lLink = p; //结点 *s在lLink方向插入到 *pre与 *p之间
}
}
template <class Type> class List; //前视的类定义
template <class Type> class ListNode { //链表结点类的定义
friend class List<Type>; //List类作为友元类定义
private:
Type data; //数据域
ListNode<Type> *link; //链指针域
public:
ListNode ( ),link (NULL) { } //仅初始化指针成员的构造函数
ListNode ( const Type& item ),data (item),link (NULL) { }
//初始化数据与指针成员的构造函数
ListNode<Type> * getNode ( const Type& item,ListNode<Type> *next = NULL )
//以item和next建立一个新结点
ListNode<Type> * getLink ( ) { return link; } //取得结点的下一结点地址
Type getData ( ) { return data; } //取得结点中的数据
void setLink ( ListNode<Type> * next ) { link = next; } //修改结点的link指针
void setData ( Type value ) { data = value; } //修改结点的data值
};
template <class Type> class List { //单链表类定义
private:
ListNode<Type> *first,*current; //链表的表头指针和当前元素指针
public:
List ( const Type& value ) { first = current = new ListNode<Type> ( value ); }
//构造函数
~List ( ) { MakeEmpty ( ); delete first; } //析构函数
void MakeEmpty ( ); //将链表置为空表
int Length ( ) const; //计算链表的长度
ListNode<Type> * Find ( Type value ); //搜索含数据value的元素并成为当前元素
ListNode<Type> * Locate( int i ); //搜索第i个元素的地址并置为当前元素
Type * GetData ( ); //取出表中当前元素的值
int Insert ( Type value ); //将value插在表当前位置之后并成为当前元素
Type *Remove ( ); //将链表中的当前元素删去,填补者为当前元素
ListNode<Type> * Firster ( ) { current = first; return first; } //当前指针定位于表头结点
Type *First ( ); //当前指针定位于表中第一个元素并返回其值
Type *Next ( ); //将当前指针进到表中下一个元素并返回其值
int NotNull ( ) { return current != NULL; } //表中当前元素空否？空返回1,不空返回0
int NextNotNull ( ) { return current != NULL && current->link != NULL; }
//当前元素下一元素空否？空返回1,不空返回0
};
3-1线性表可用顺序表或链表存储。试问：
(1) 两种存储表示各有哪些主要优缺点?
(2) 如果有n个表同时并存，并且在处理过程中各表的长度会动态发生变化，表的总数也可能自动改变、在此情况下，应选用哪种存储表示？为什么？
(3) 若表的总数基本稳定，且很少进行插入和删除，但要求以最快的速度存取表中的元素，这时，应采用哪种存储表示？为什么？
【解答】
(1) 顺序存储表示是将数据元素存放于一个连续的存储空间中，实现顺序存取或(按下标)直接存取。它的存储效率高，存取速度快。但它的空间大小一经定义，在程序整个运行期间不会发生改变，因此，不易扩充。同时，由于在插入或删除时，为保持原有次序，平均需要移动一半(或近一半)元素，修改效率不高。
链接存储表示的存储空间一般在程序的运行过程中动态分配和释放，且只要存储器中还有空间，就不会产生存储溢出的问题。同时在插入和删除时不需要保持数据元素原来的物理顺序，只需要保持原来的逻辑顺序，因此不必移动数据，只需修改它们的链接指针，修改效率较高。但存取表中的数据元素时，只能循链顺序访问，因此存取效率不高。
(2) 如果有n个表同时并存，并且在处理过程中各表的长度会动态发生变化，表的总数也可能自动改变、在此情况下，应选用链接存储表示。
如果采用顺序存储表示，必须在一个连续的可用空间中为这n个表分配空间。初始时因不知道哪个表增长得快，必须平均分配空间。在程序运行过程中，有的表占用的空间增长得快，有的表占用的空间增长得慢；有的表很快就用完了分配给它的空间，有的表才用了少量的空间，在进行元素的插入时就必须成片地移动其他的表的空间，以空出位置进行插入；在元素删除时，为填补空白，也可能移动许多元素。这个处理过程极其繁琐和低效。
如果采用链接存储表示，一个表的存储空间可以连续，可以不连续。表的增长通过动态存储分配解决，只要存储器未满，就不会有表溢出的问题；表的收缩可以通过动态存储释放实现，释放的空间还可以在以后动态分配给其他的存储申请要求，非常灵活方便。对于n个表(包括表的总数可能变化)共存的情形，处理十分简便和快捷。所以选用链接存储表示较好。
(3) 应采用顺序存储表示。因为顺序存储表示的存取速度快，但修改效率低。若表的总数基本稳定，且很少进行插入和删除，但要求以最快的速度存取表中的元素，这时采用顺序存储表示较好。
3-2 针对带表头结点的单链表，试编写下列函数。
(1) 定位函数Locate：在单链表中寻找第i个结点。若找到，则函数返回第i个结点的地址；若找不到，则函数返回NULL。
(2) 求最大值函数max：通过一趟遍历在单链表中确定值最大的结点。
(3) 统计函数number：统计单链表中具有给定值x的所有元素。
(4) 建立函数create：根据一维数组a[n]建立一个单链表，使单链表中各元素的次序与a[n]中各元素的次序相同，要求该程序的时间复杂性为O(n)。
(5) 整理函数tidyup：在非递减有序的单链表中删除值相同的多余结点。
【解答】
(1) 实现定位函数的算法如下：
template <class Type> ListNode <Type> * List <Type>,,Locate ( int i ) {
//取得单链表中第i个结点地址,i从1开始计数,i <= 0时返回指针NULL
if ( i <= 0 ) return NULL; //位置i在表中不存在
ListNode <Type> * p = first; int k = 0; //从表头结点开始检测
while ( p != NULL && k < i ) { p = p->link; k++; } //循环,p == NULL表示链短,无第i个结点
return p; //若p != NULL,则k == i,返回第i个结点地址
}
(2) 实现求最大值的函数如下：
template <class Type> ListNode <Type> * List <Type>,,Max ( ) {
//在单链表中进行一趟检测，找出具有最大值的结点地址,如果表空,返回指针NULL
if ( first->link == NULL ) return NULL; //空表,返回指针NULL
ListNode <Type> * pmax = first->link,p = first->link->link; //假定第一个结点中数据具有最大值
while ( p != NULL ) { //循环,下一个结点存在
if ( p->data > pmax->data ) pmax = p; //指针pmax记忆当前找到的具最大值结点
p = p->link; //检测下一个结点
}
return pmax;
}
(3) 实现统计单链表中具有给定值x的所有元素的函数如下：
template <class Type> int List <Type>,,Count ( Type& x ) {
//在单链表中进行一趟检测，找出具有最大值的结点地址,如果表空,返回指针NULL
int n = 0;
ListNode <Type> * p = first->link; //从第一个结点开始检测
while ( p != NULL ) { //循环,下一个结点存在
if ( p->data == x ) n++; //找到一个,计数器加1
p = p->link; //检测下一个结点
}
return n;
}
(4) 实现从一维数组A[n]建立单链表的函数如下：
template <class Type> void List <Type>,,Create ( Type A[ ],int n ) {
//根据一维数组A[n]建立一个单链表，使单链表中各元素的次序与A[n]中各元素的次序相同
ListNode<Type> * p;
first = p = new ListNode<Type>; //创建表头结点
for ( int i = 0; i < n; i++ ) {
p->link = new ListNode<Type> ( A[i] ); //链入一个新结点,值为A[i]
p = p->link; //指针p总指向链中最后一个结点
}
p->link = NULL;
}
采用递归方法实现时，需要通过引用参数将已建立的单链表各个结点链接起来。为此，在递归地扫描数组A[n]的过程中，先建立单链表的各个结点，在退出递归时将结点地址p（被调用层的形参）带回上一层（调用层）的实参p->link。
template<Type> void List<Type>,,create ( Type A[ ],int n,int i,ListNode<Type> *& p ) {
//私有函数：递归调用建立单链表
if ( i == n ) p = NULL;
else { p = new ListNode<Type>( A[i] ); //建立链表的新结点
create ( A,n,i+1,p->link ); //递归返回时p->link中放入下层p的内容
}
}
template<Type> void List<Type>,,create ( Type A[ ],int n ) {
//外部调用递归过程的共用函数
first = current = new ListNode<Type>; //建立表头结点
create ( A,n,0,first->link ); //递归建立单链表
}
(5) 实现在非递减有序的单链表中删除值相同的多余结点的函数如下：
template <class Type> void List <Type>,,tidyup ( ) {
ListNode<Type> * p = first->link,temp; //检测指针,初始时指向链表第一个结点
while ( p != NULL && p->link != NULL ) //循环检测链表
if ( p->data == p->link->data ) { //若相邻结点所包含数据的值相等
temp = p->first; p->link = temp->link; //为删除后一个值相同的结点重新拉链
delete temp; //删除后一个值相同的结点
}
else p = p->link; //指针p进到链表下一个结点
}
3-3 设ha和hb分别是两个带表头结点的非递减有序单链表的表头指针,试设计一个算法,将这两个有序链表合并成一个非递增有序的单链表。要求结果链表仍使用原来两个链表的存储空间,不另外占用其它的存储空间。表中允许有重复的数据。
【解答】
#include <iostream.h>
template <class Type> class List;
template <class Type> class ListNode {
friend class List<Type>;
public:
ListNode ( ); //构造函数
ListNode ( const Type& item ); //构造函数
private:
Type data;
ListNode<Type> *link;
};
template <class Type> class List {
public:
List ( const Type finishied ); //建立链表
void Browse ( ); //打印链表
void Merge ( List<Type> &hb ); //连接链表
private:
ListNode<Type> *first,*last;
};
//各成员函数的实现
template <class Type>
ListNode<Type>,,ListNode ( ),link ( NULL ) { }
//构造函数,仅初始化指针成员。
template <class Type> ListNode<Type>,,ListNode ( const Type & item ),data ( item ),link ( NULL ) { }
//构造函数,初始化数据与指针成员。
template <class Type> List<Type>,,List ( const Type finishied ) {
//创建一个带表头结点的有序单链表,finished是停止建表输入标志,是所有输入值中不可能出现的数值。
first = last = new ListNode<Type>( ); //创建表头结点
Type value; ListNode<Type> *p,*q,*s;
cin >> value;
while ( value != finished ) { //循环建立各个结点
s = new ListNode<Type>( value );
q = first; p = first->link;
while ( p != NULL && p->data <= value )
{ q = p; p = p->link; } //寻找新结点插入位置
q->link = s; s->link = p; //在q,p间插入新结点
if ( p == NULL ) last = s;
cin >> value;
}
}
template <class Type> void List<Type>,,Browse ( ) {
//浏览并输出链表的内容
cout<<"\nThe List is,\n";
ListNode<Type> *p = first->link;
while ( p != NULL ) {
cout << p->data;
if ( p != last ) cout << "->";
else cout << endl;
p = p->link;
}
}
template <class Type> void List <Type>,,Merge ( List<Type>& hb) {
//将当前链表this与链表hb按逆序合并，结果放在当前链表this中。
ListNode<Type> *pa,*pb,*q,*p;
pa = first->link; pb = hb.first->link; //检测指针跳过表头结点
first->link = NULL; //结果链表初始化
while ( pa != NULL && pb != NULL ) { //当两链表都未结束时
if ( pa->data <= pb->data )
{ q = pa; pa = pa->link; } //从pa链中摘下
else
{ q = pb; pb = pb->link; } //从pb链中摘下
q→link = first->link; first->link = q; //链入结果链的链头
}
p = ( pa != NULL )? pa,pb; //处理未完链的剩余部分
while ( p != NULL ) {
q = p; p = p->link;
q->link = first->link; first->link = q;
}
}
3-4 设有一个表头指针为h的单链表。试设计一个算法，通过遍历一趟链表，将链表中所有结点的链接方向逆转，如下图所示。要求逆转结果链表的表头指针h指向原链表的最后一个结点。
【解答1】
template<class Type> void List<Type>,,Inverse ( ) {
if ( first == NULL ) return;
ListNode<Type> *p = first->link,*pr = NULL;
while ( p != NULL ) {
first->link = pr; //逆转first指针
pr = first; first = p; p = p->link; //指针前移
}
first->link = pr;
}
【解答2】
template<class Type> void List<Type>,,Inverse ( ) {
ListNode<Type> *p,*head = new ListNode<Type> ( ); //创建表头结点,其link域默认为NULL
while ( first != NULL ) {
p = first; first = first->link; //摘下first链头结点
p->link = head->link; head->link = p; //插入head链前端
}
first = head->link; delete head; //重置first,删去表头结点
}
3-5 从左到右及从右到左遍历一个单链表是可能的，其方法是在从左向右遍历的过程中将连接方向逆转，如右图所示。在图中的指针p指向当前正在访问的结点，指针pr指向指针p所指结点的左侧的结点。此时，指针p所指结点左侧的所有结点的链接方向都已逆转。
(1) 编写一个算法，从任一给定的位置(pr,p)开始，将指针p右移k个结点。如果p移出链表，则将p置为0，并让pr停留在链表最右边的结点上。
(2) 编写一个算法，从任一给定的位置(pr,p)开始，将指针p左移k个结点。如果p移出链表，则将p置为0，并让pr停留在链表最左边的结点上。
【解答】
(1) 指针p右移k个结点
template<class Type> void List<Type>,,
siftToRight ( ListNode<Type> *& p,ListNode<Type> *& pr,int k ) {
if ( p == NULL && pr != first ) { //已经在链的最右端
cout << "已经在链的最右端，不能再右移。" << endl;
return;
}
int i; ListNode<Type> *q;
if ( p == NULL ) //从链头开始
{ i = 1; pr = NULL; p = first; } //重置p到链头也算一次右移
else i = 0;
while ( p != NULL && i < k ) { //右移k个结点
q = p->link; p->link = pr; //链指针p→link逆转指向pr
pr = p; p = q; i++; //指针pr,p右移
}
cout << "右移了" << i << "个结点。" << endl;
}
(2) 指针p左移k个结点
template<class Type> void List<Type>,:
siftToLeft ( ListNode<Type> *& p,ListNode<Type> *& pr,int k ) {
if ( p == NULL && pr == first ) { //已经在链的最左端
cout << "已经在链的最左端，不能再左移。" << endl;
return;
}
int i = 0; ListNode<Type> *q;
while ( pr != NULL && i < k ) { //左移k个结点
q = pr->link; pr->link = p; //链指针pr->link逆转指向p
p = pr; pr = q; i++; //指针pr,p左移
}
cout << "左移了" << i << "个结点。" << endl;
if ( i < k ) { pr = p; p = NULL; } //指针p移出表外，重置p,pr
}
3-6 试写出用单链表表示的字符串类及字符串结点类的定义，并依次实现它的构造函数、以及计算串长度、串赋值、判断两串相等、求子串、两串连接、求子串在串中位置等7个成员函数。要求每个字符串结点中只存放一个字符。
【解答】
//用单链表表示的字符串类string1的头文件string1.h
#include <iostream.h>
const int maxLen = 300; //字符串最大长度为300（理论上可以无限长）
class string1 {
public:
string1 ( ); //构造空字符串
string1 ( char * obstr ); //从字符数组建立字符串
~string1 ( ); //析构函数
int Length ( ) const { return curLen; } //求字符串长度
string1& operator = ( string1& ob ); //串赋值
int operator == ( string1& ob ); //判两串相等
char& operator [ ] ( int i ); //取串中字符
string1& operator ( ) ( int pos,int len ); //取子串
string1& operator += ( string1& ob ); //串连接
int Find ( string1& ob ); //求子串在串中位置(模式匹配)
friend ostream& operator << ( ostream& os,string1& ob );
friend istream& operator >> ( istream& is,string1& ob );
private:
ListNode<char>*chList; //用单链表存储的字符串
int curLen; //当前字符串长度
}
//单链表表示的字符串类string1成员函数的实现，在文件string1.cpp中
#include <iostream.h>
#include "string1.h"
string1,,string1( ) { //构造函数
chList = new ListNode<char> ( '\0' );
curLen = 0;
}
string1,,string1( char *obstr ) { //复制构造函数
curLen = 0;
ListNode<char> *p = chList = new ListNode<char> ( *obstr );
while ( *obstr != '\0' ) {
obstr++;
p = p->link = new ListNode<char> ( *obstr );
curLen++;
}
}
string1& string1,,operator = ( string1& ob ) { //串赋值
ListNode<char> *p = ob.chList;
ListNode<char> *q = chList = new ListNode<char> ( p->data );
curLen = ob.curLen;
while ( p->data != '\0' ) {
p = p->link;
q = q->link = new ListNode<char> ( p->data );
}
return *this;
}
int string1,,operator == ( string1& ob ) { //判两串相等
if ( curLen != ob.curLen ) return 0;
ListNode <char> *p = chList,*q = ob.chList;
for ( int i = 0; i < curLen; i++ )
if ( p->data != q->data ) return 0;
else { p = p->link; q = q->link; }
return 1;
}
char& string1,,operator [ ] ( int i ) { //取串中字符
if ( i >= 0 && i < curLen ) {
ListNode <char> *p = chList; int k = 0;
while ( p != NULL && k < i ) { p = p->link; k++; }
if ( p != NULL ) return p->data;
}
return '\0';
}
string1& string1,,operator ( ) ( int pos,int len ) { //取子串
string1 temp;
if ( pos >= 0 && len >= 0 && pos < curLen && pos + len - 1 < curLen ) {
ListNode<char> *q,*p = chList;
for ( int k = 0; k < pos; k++; ) p = p->link; //定位于第pos结点
q = temp.chList = new ListNode<char> ( p->data );
for ( int i = 1; i < len; i++ ) { //取长度为len的子串
p = p->link;
q = q->link = new ListNode<char> ( p->data );
}
q->link = new ListNode<char> ( '\0' ); //建立串结束符
temp.curLen = len;
}
else { temp.curLen = 0; temp.chList = new ListNode<char> ( '\0' ); }
return *temp;
}
string1& string1,,operator += ( string1& ob ) { //串连接
if ( curLen + ob.curLen > maxLen ) len = maxLen - curLen;
else len = ob.curLen; //传送字符数
ListNode<char> *q = ob.chList,*p = chList;
for ( int k = 0; k < curLen - 1; k++; ) p = p->link; //this串的串尾
k = 0;
for ( k = 0; k < len; k++ ) { //连接
p = p->link = new ListNode<char> ( q->data );
q = q->link;
}
p→link = new ListNode<char> ( '\0' );
}
int string1,,Find ( string1& ob ) { //求子串在串中位置(模式匹配)
int slen = curLen,oblen = ob.curLen,i = slen - oblen;
string1 temp = this;
while ( i > -1 )
if ( temp( i,oblen ) == ob ) break;
else i-- ;
return i;
}
3-7 如果用循环链表表示一元多项式，试编写一个函数Polynomial,,Calc(x)，计算多项式在x处的值。
【解答】
下面给出表示多项式的循环链表的类定义。作为私有数据成员，在链表的类定义中封装了3个链接指针：first、last和current，分别指示链表的表头结点、链尾结点和最后处理到的结点。
enum Boolean { False,True }
class Polynomal; //多项式前视类定义
class Term { //项类定义
friend class Polynomal;
private,
double coef,expn; //系数与指数
Term *link; //项链接指针
public:
Term ( double c = 0,double e = 0,Term * next = NULL ),coef (c),expn(e),link (next) { }
}
class Polynomal { //多项式类定义
private,
Term *first,*current; //头指针,当前指针
int n; //多项式阶数
public,
Polynomal ( ); //构造函数
~Polynomal ( ); //析构函数
int Length ( ) const; //计算多项式项数
Boolean IsEmpty ( ) { return first->link == first; } //判是否零多项式
Boolean Find ( const double& value ); //在多项式中寻找其指数值等于value的项
double getExpn ( ) ( ) const; //返回当前项中存放的指数值
double getCoef ( ) ( ) const; //返回当前项中存放的系数值
void Firster ( ) { current = first; } //将当前指针置于头结点
Boolean First ( ); //将当前指针指向链表的第一个结点
Boolean Next ( ); //将当前指针指到当前结点的后继结点
Boolean Prior ( ); //将当前指针指到当前结点的前驱结点
void Insert ( const double coef,double expn ); //插入新结点
void Remove ( ); //删除当前结点
double Calc ( double x ); //求多项式的值
friend Polynomial operator + ( Polynomial &,Polynomial & );
friend Polynomial operator * ( Polynomial &,Polynomial & );
};
对于多项式Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + an-1xn-1 + anxn，可用Horner规则将它改写求值：
Pn(x) = a0 + (a1x + ( a2 + ( a3 + … + ( an-1 + an*x )*x … )*x )*x )*x
因为不是顺序表，必须采用递归算法实现：
double Polynomal,,Value ( Term *p,double x ) {
//私有函数：递归求子多项式的值
if ( p->link == first ) return p->coef;
else return p->coef + x * Value ( p->link,x );
}
double Polynomal,,Calc ( double x ) {
//共有函数：递归求多项式的值
Term * pc = first->link;
if ( pc == first ) cout << 0 << endl;
else cout << Value ( pc,x ) << endl;
}
但是，当多项式中许多项的系数为0时，变成稀疏多项式，如P50(x) = a0 + a13x13 + a35x35 + a50x50，为节省存储起见，链表中不可能保存有零系数的结点。此时，求值函数要稍加改变：
#include <math.h>
double Polynomal,,Value ( Term *p,double e,double x ) {
//私有函数：递归求子多项式的值。pow(x,y)是求x的y次幂的函数,它的原型在“math.h”中
if ( p->link == first ) return p->coef;
else return p->coef + pow( x,p->expn – e ) * Value ( p->link,p->expn,x );
}
double Polynomal,,Calc ( double x ) {
//共有函数：递归求多项式的值
Term * pc = first->link;
if ( pc == first ) cout << 0 << endl;
else cout << Value ( pc,0,x ) << endl;
}
3-8 设a和b是两个用带有表头结点的循环链表表示的多项式。试编写一个算法，计算这两个多项式的乘积c = a*b，要求计算后多项式a与b保持原状。如果这两个多项式的项数分别为n与m,试说明该算法的执行时间为O(nm2)或O(n2m)。但若a和b是稠密的,即其很少有系数为零的项,那么试说明该乘积算法的时间代价为O(nm)。
【解答】
假设
则它们的乘积为
例如，a = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4,b = 6 + 7x + 8x2 + 9x3,它们的乘积
c = (1+2x+3x2+4x3+5x4)*(6+7x+8x2+9x3) =
= 1*6 + (1*7+2*6)x +(1*8+2*7+3*6)x2+(1*9+2*8+3*7+4*6)x3+(2*9+3*8+4*7+5*6)x4+
+(3*9+4*8+5*7)x5+(4*9+5*8)x6+5*9x7
在求解过程中，固定一个ai，用它乘所有bj，得到xi+j的系数的一部分。这是一个二重循环。
i = 0,
i = 1,
i = 2,
i = 3,
i = 4,
根据以上思想得到的算法如下：
Polynomal& Polynomal,,operator * ( Polynomal& a,Polynomal& b ) {
Term * pa = a.first->link,pb,pc,fc; //pa与pb是两个多项式链表的检测指针
first = fc = pc = new Term; //fc是每固定一个ai时ai结点指针,pc是存放指针
while ( pa != NULL ) { //每一个ai与b中所有项分别相乘
pb = b.first->link;
while ( pb != NULL ) { //扫描多项式b所有项
temp = pa->data * pb->data; //计算ai * bj
if ( pc->link != NULL ) pc->link->data = pc->link->data + temp-> //累加
else pc->link = new Term (temp); //增加项,事实上,每次pa变化,链结点要随之增加
pc = pc->link; pb = pb->link;
}
pc = fc = fc->link; pa = pa->link; //处理多项式a 的下一ai
}
pc->link = NULL;
return *this;
}
这个算法有一个二重循环，内层循环中语句的重复执行次数是O(n*m)。其中，n是第一个多项式的阶数，m是第二个多项式的阶数。这是稠密多项式的情形。
对于稀疏多项式的情形请自行考虑。
3-9 计算多项式 Pn (x) = a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + …… + an-1 x + an的值，通常使用的方法是一种嵌套的方法。它可以描述为如下的迭代形式：b0 = a0,bi+1 = x * bi + ai+1,i = 0,1,…,n-1。若设bn = pn （x）,则问题可以写为如下形式：Pn (x) = x * Pn-1 (x) + an,此处,Pn-1 (x) = a0 xn-1 + a1 xn-2 + …… + an-2 x + an-1，这是问题的递归形式。试编写一个递归函数，计算这样的多项式的值。
【解答】
如果用循环链表方式存储多项式，求解方法与3-7题相同。如果用数组方式存储多项式，当零系数不多时，可用顺序存放各项系数的一维数组存储多项式的信息，指数用数组元素的下标表示
0
1
2
3
i
n-2
n-1
coef
a0
a1
a2
a3
…
ai
…
an-2
an-1
多项式的类定义如下：
struct Polynomal {
double * coef;
int n;
}
这样可得多项式的解法：
double Polynomal,,Value ( int i,double x ) {
//私有函数：递归求子多项式的值
if ( i == n-1 ) return coef[n-1];
else return coef[i] + x * Value ( i+1,x );
}
double Polynomal,,Calc ( double x ) {
//共有函数：递归求多项式的值
if ( n == 0 ) cout << 0 << endl;
else cout << Value ( 0,x ) << endl;
}
3-10 试设计一个实现下述要求的Locate运算的函数。设有一个带表头结点的双向链表L，每个结点有4个数据成员：指向前驱结点的指针prior、指向后继结点的指针next、存放数据的成员data和访问频度freq。所有结点的freq初始时都为0。每当在链表上进行一次Locate (L,x)操作时，令元素值为x的结点的访问频度freq加1，并将该结点前移，链接到与它的访问频度相等的结点后面，使得链表中所有结点保持按访问频度递减的顺序排列，以使频繁访问的结点总是靠近表头。
【解答】
#include <iostream.h>
//双向循环链表结点的构造函数
DblNode (Type value,DblNode<Type> *left,DblNode<Type> *right ),
data ( value ),freq ( 0 ),lLink ( left ),rLink ( right ) { }
DblNode (Type value ),
data ( value ),freq ( 0 ),lLink ( NULL ),rLink ( NULL ) { }
template <class Type>
DblList<Type>,,DblList ( Type uniqueVal ) {
first = new DblNode<Type>( uniqueVal );
first->rLink = first->lLink = first; //创建表头结点
current = NULL;
cout << "开始建立双向循环链表：\n";
Type value; cin >> value;
while ( value != uniqueVal ) { //每次新结点插入在表头结点后面
first->rLink = new DblNode<Type>( value,first,first->rLink );
cin >> value;
}
}
template <class Type>
void DblList<Type>,,Locate ( Type & x ) {
//定位
DblNode<Type> *p = first->rLink;
while ( p != first && p->data != x ) p = p->rLink;
if ( p != first ) { //链表中存在x
p→freq++; //该结点的访问频度加1
current = p; //从链表中摘下这个结点
current->lLink->rLink = current->rLink;
current->rLink->lLink = current->lLink;
p = current->lLink; //寻找从新插入的位置
while ( p != first && current->freq > p->freq )
p = p->lLink;
current->rLink = p->rLink; //插入在p之后
current->lLink = p;
p->rLink->lLink = current;
p->rLink = current;
}
else cout<<"Sorry,Not find!\n"; //没找到
}
3-11 利用双向循环链表的操作改写2-2题，解决约瑟夫(Josephus)问题。
【解答】
#include <iostream.h>
#include,DblList.h”
Template <class Type> void DblList <Type>,,Josephus ( int n,int m ) {
DblNode<Type> p = first,temp;
for ( int i = 0; i < n-1; i++ ) { //循环n-1趟，让n-1个人出列
for ( int j = 0; j < m-1; j++ ) p = p->rLink; //让p向后移动m-1次
cout <<,Delete person,<< p->data << endl;
p->lLink->rLink = p->rLink; //从链中摘下p
p->rLink->lLink = p->lLink;
temp = p->rlink; delete p; p = temp; //删除p所指结点后,p改指下一个出发点
}
cout <<,The winner is,<< p->data << endl;
}
void main ( ) {
DblList<int> dlist; //定义循环链表dlist并初始化
int n,m; //n是总人数，m是报数值
cout <<,Enter the Number of Contestants?”;
cin >> n >> m;
for ( int i = 1; i <= n; i++ ) dlist.insert (i); //建立数据域为1,2,… 的循环链表
dlist.Josephus (n,m); //解决约瑟夫问题，打印胜利者编号
}
3-12 试设计一个算法，改造一个带表头结点的双向链表，所有结点的原有次序保持在各个结点的rLink域中，并利用lLink域把所有结点按照其值从小到大的顺序连接起来。
【解答】
template<Type> void DblList<Type>,,sort ( ) {
DblNode<Type> *
s = first->link; //指针s指向待插入结点,初始时指向第一个结点
while ( s != NULL ) { //处理所有结点
pre = first; p = first->lLink; //指针p指向待比较的结点,pre是p的前驱指针
while ( p != NULL && s->data < p->data ) //循lLink链寻找结点 *s的插入位置
{ pre = p; p = p->lLink; }
pre->lLink = s; s->lLink = p; //结点 *s在lLink方向插入到 *pre与 *p之间
}
}
