第二篇 运动学任务,运动学单纯从几何观点描述物体在空间的位置随时间变化的几何性质 —— 运动方程、轨迹、速度、加速度等。
运动的相对性,参照物 -----参考体 ------参考坐标系 ------参考系对任何物体运动的描述都是相对的。
点、刚体第八章 点的运动
§ 1.点的直线运动轨迹：点所走过的路线
xo ·M
x
x = x（ t）运动方程：
平均速度：
t
xv
加速度：
xv
dt
xd
dt
dva
2
2
x
dt
dxv速度：
β
在直线运动中,v,a 都是代数量，当 v,a 同号时，点作加速运动，否则反之。
建立点的 运动方程 是 描述点运动几何性质的 关键 。
若 a为常量,则有,
axvv
attvxx
atvv
2
2
1
2
0
2
2
00
0
例,曲柄连杆机构如图,求滑块 B
的运动规律、速度及加速度。
o
B
A
r lωt
解,分析要求点的轨迹 —— 若为直线运动，则建立直线轴 x，取一固定点作为原点，将要求点置于坐标轴上任意位置（不要放在特殊位置），标出动点在坐标轴上的位置坐标 x，纯粹用几何方法找出 x
的长度，并表成时间 t 的函数，即为运动方程。
x
x
∴ x = rcosωt+ lcosβ
而
t
lr
s i ns i n?
2)s in(1c o s t
l
rltrx
v,a 同学们自己求。
§ 2.点的曲线运动一,矢径法,(用于理论推导 )
M
r
·O
Δ r
r = r (t)运动方程,矢端所描出的曲线即为 M点的轨迹,
平均速度,速度,
rv
rv
a 2
2
dt
d
dt
d加速度：
t?
rv rrv
dt
d
二、直角坐标法 (多用于轨迹为未知之情形 ) M
r
·
r =xi+yj+zk
k
ji
（ x,y,z）
x
y
z
0
·x = x（ t）y = y（ t）Z = z（ t）运动方程：
kjirv zyx
kjirva zyx
222 zyxv
vxc o s
zva
yva
xva
zz
yy
xx
222 zyxa
axc o s
zv
yv
xv
z
y
x
例,半径为 r的圆轮放在粗糙的水平面上，轮心 A以匀速 v0前进，求轮缘上任一点的运动规律。
A
·O ·
M
解,①在轮缘上任取一点 M
（不能是特殊点）；
x
y
② 找一固定点 O建立直角坐标，标出 M点的位置坐标；
D
BC
θ
③ 纯粹用几何方法找出该坐标的长度，
最终表为时间 t的函数 --------即为运动方程。
x=OC=OB-CB
y=MC=AB-AD
=vot-rsinθ
=r-rcosθ
r
MBrtv s i n
0 r
tvrtv 0
0 s i n
r
tvrr 0c o s
速度、加速度请同学们做。
三、自然坐标法 (用于轨迹为已知之情形 ):
1、弧坐标、运动方程 S
(+)
M
s=s(t)
oS：弧坐标运动方程：
自然法：用弧坐标描述点运动的方法称为弧坐标法或自然坐标法，
简称自然法。
2、曲率、自然轴系
M
o
T
Δθ Δs
把 MM '段曲线的平均弯曲程度用 K*表示
K*
│Δs│
Δθ= ———平均曲率,
曲率,
ds
dk 曲率半径,
d
ds
k
1
·
Δr
自然轴系,对于空间任意曲线,其上任一点都有自己的切线和法线,
以弧坐标增加的方向规定为 切线 的正向,沿切线的单位矢量记为 τ,规定过切点指向曲率中心的方向为 主法线 方向,沿主法线的单位矢量记为 n,再取 b= τ× n 为第三个矢量,称为 付法线,此三轴即为 自然轴系,自然轴系为流动坐标系，其 原点 随点 M的运动而 运动，
τ,n,b是变矢量,其 方向 随点 M的运动而 改变 。
M
b
τn
o
(+)
3、速度
M
o
τ
Δs
(+)
tt?
r
0
l i m
dt
d rv?
)(lim 0
0
r?
s
r
t
s
t
τsv
4、加速度
·
Δτ
M
o
τ
Δs
(+)
Δθ
n
C
dt
d va?
dt
sd )(
dt
ds
dt
sd
dt
dss
dt
ds
ds
d
d
d
dt
d
d
dsk
)(limlim
00
edd
e
e
00
lim2
s i n2
lim
n?
n
nss
2?
naa
字母顶上加,—,
表示矢量，以下同。
切向加速度,
sa
aaa n
法向加速度,
22
aaa n
全加速度,
na
atg
nva n?
2
α
全加速度始终位于曲线内凹的一侧,
特殊地,
① ρ=∞,an=0,直线运动,a=aτ,直线运动不必表为弧坐标,
②,v=常量,aτ=0,匀速曲线运动,a=a.n
③,匀变速曲线运动,aτ=常量,则有,
savv
tatvss
tavv
2
2
1
2
0
2
2
00
0
例 1,点作平面曲线运动,速度为 v,其加速度 a与曲率圆所截的弦
MA=l,求证此时
r
vaa
n
2
c o s
解,依题意画图,
C A
M
lr
a
v
α
l
va 22?
r
l 2c o s
例 2,点作平面曲线运动,其速度 v在某一固定方向的投影为常量 C,
求证其加速度,ρ为曲线在 M点处的曲率半径,
M
vn
y
x
α
C
va 3?
Cvv xco s
解,依题意画图,
0?xa yaa? a
r
vaa
n
2
c o s
v
Cc o s
两式相除即得结果,
概念题,
点 M做直线运动，其运动方程曲线为 x-t曲线，
问速度曲线 v-t有几处明显错误?
x(t)
t
v(t)
t
O
O
以后为直线答,① t=0,v≠0
② t=t1,v=0
③ t=t2,v=0
④ t1＜ t ＜ t2,v ＜ 0
⑤ t＞ t3,v=C
M
v 沿切线判断正误,
① 点 M的运动方程为 x =A sinωt,A,ω为常数，则 M点的轨迹必为正弦曲线。
②左图中动点 M作加速运动，右图中动点 M作减速运动
.
a 沿法线
.
v 沿切线
a
M
③ 下列三图中，点沿已知曲线运动，图上标注的 v,a 是否可能?
v沿切线a
v
a v
a
概念题,
1)点做何种运动，出现下列情况之一：
2）点 M沿螺线以匀速 v自外向里运动，问该点运动的加速度是越来越大？还是越来越小？
匀速直线运动
.
v
M
匀速曲线运动直线运动
① ≡0
② ≡0
③ ≡0
概念题,
1)图示点沿曲线 (不是直线 )运动，已知 a 为 常矢量。问点作下列何种运动？
匀变速运动。
②非匀变速运动。
③匀速运动。
2）判断正误
①点作直线运动时，必有
②点作匀速曲线（不是直线）运动，则 （ a） a =0
（ b） =常矢量
（ c） =常量
（ d） v =常矢量
①
a
a
a
s
vva
2
2
0
2?
例,点沿抛物线 y2=4px 运动，沿 y方向的速度为常量 C，求 vx及加速度 a 。
解,轨迹方程两边对 t 求导，
p
C
x
C
p
x
p
C
x
x
p
C
vaa
va
C
p
x
C
p
px
p
yC
v
xpyy
xx
yy
x
222
0
2
4
4
2
42
2
例,点沿半径为 R的圆周作匀加速运动,v0=0，全加速度 a 与切线的夹角为 α，以 β表示点所走过的弧 s 所对的圆心角，求证：
tgα=2β
α
a
β
s
解,根据题意画图：
R
vaa
n
2
s in
aa?c o s
两式相除：
Ra
vtg 2?
sav v τ2202 而
Rs? 又 ∴ tgα=2β
例,点沿半径为 R的圆弧运动,v在直径 AB方向的投影 u是常数，求点 M的 vM及 aM与 φ的关系。
A B
v
M
φ
解,
uvv xs i n
s i n
uv
r
uva
3
2
s i n
c o s
2
22
s inr
u
r
va
n
3
2
22
s inr
uaaa
n
x
例,图示卷杨机构，绳 OB以匀速下拉，求套在固定杆上的套筒 A的速度与加速度，表成 x 的函数。
A
O
B
l
xv
B
解,A作直线运动，
222 lABx
两端对时间求导：
0)(22 BvABxx?
22)( lx
x
v
x
vAB
x BB
x 同学们自己求。
第九章 刚体的简单运动
§ 1,刚体的平行移动 (平动 )
刚体的平动,如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平行,这种运动称为刚体的平行移动,简称 平动 或 移动,
平面平行四连杆机构 o
rA
A
B
A1
B1
A2
B2r
B
aA
aB
vA
vB
BA vv?
BA aa?
当刚体平行移动时,其上各点的轨迹形状相同 ;在同一瞬时,各点的速度、加速度也分别相同,
研究刚体的平动可以归结为研究刚体内一点的运动,
BABA rr
π
§ 2,刚体绕定轴的转动转动,如刚体在运动过程中,其中只有一条直线保持不动,则这种运动称为刚体绕定轴的转动,简称转动,
这条不动的直线,称为刚体的 转轴,简称 轴,z
φ
转角,φ
φ=φ(t)转动方程,
角速度,
dtd
2
2
dt
d
dt
d角加速度,
2
2
1
2
0
2
2
00
0
tt
t
当角加速度为常量时，有,
§ 3,转动刚体内各点的速度和加速度
s
Rs
RRsv
转动刚体内任一点的速度大小,等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积,它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方,
M
v
o R
切向加速度,
RRsa
aaa n
法向加速度,
2
22 )(
RRRRva n
全加速度,
na
atg
2422 Raaa n
速度,α
§ 4,轮系的传动比
vω1
ω2
2211 rrv
1
2
2
1
r
r
12i
传动比：
r1 r2
ω1 ω2
r1 r
2
)1(
60
n2 r p m sn转速 转 /分,； 角速度概念题
1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （ 1）越转越快
（ 2）越转越慢
（ 3）不一定
2）两齿轮啮合时：
接触点的速度 （ 1）相等；（ 2）不相等；（ 3）不一定接触点的切向加速度 （ 1）相等；（ 2）不相等；（ 3）不一定
3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线
4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同练习题,图示连续印刷过程，纸厚为 b，以匀速 v水平输送，试以纸卷的半径表示纸卷的角加速度。
vb
r
解,
d
dr
r
v
dt
d
d
dr
r
v
dt
dr
r
v
r
v
2
22
)减小r(
2
增大时而?
b
d
dr
3
2
2 π r
bv
练习题,一飞轮绕固定轴 O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的夹角恒为 600，当运动开始时，其转角 φ0=0，
初角速度为 ω0，求飞轮的转动方程及角速度与转角的关系。
a
φO
解：
ra60s ina τ
2n 60c o sa?ra
两式相除：
260?
tg
23
23
dt
d
23?
d
d
dt
d
23
d
d
dd 3?
0 30 dd
30 e?
第十章 点的合成 (复合 )运动
§ 1,基本概念点的合成运动研究 一个点 相对于 两个 完全不同的 坐标系 的运动及其之间的关系,
点的合成运动 研究 一个点 相对于 两个 完全不同的 坐标系 的运动及其之间的关系,
牵连运动静系动点
M
动系刚体的运动牵连点,动系上 瞬时 与动点重合 的点,
绝对速度 va
绝对加速度 aa
相对速度 vr
相对加速度 ar
静系通常固结于地面牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为 牵连速度 ve和牵连加速度 ae。
§ 2,点的速度合成定理
A
M
B
M1
M / /
/A
B
rυ
aυ
eυ
/11/ MMMMMM
t
MM
t
MM
t
MM
ttt?
/
1
0
1
0
/
0
li mli mli m
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
rυ
例 1:凸轮半径为 R,沿水平面以匀速 v0向右运动,求 φ=600时杆 AB的速度,
A
B
v0
φ
R
解,
rea vvv
0
0
3
360 vvc tgv
ea
A
B
v0
φ
R
①,正确地选取并明确地 指出 动点和动系：
,动点和动系不能在同一刚体上；
,在某一物体上，动点相对该物体的位置应是不变的点；
,动点的相对运动轨迹要清晰可辨；
,常取两物体的接触点、滑块、套筒、小环、小球等为动点。
③ 对动点进行速度分析并图示,列出速度合成定理,常用 几何法求速度 。
动点,A (AB上 )
动系,凸轮
②,分析三种运动,
绝对运动,直线运动 ;
相对运动,曲线运动 ;
牵连运动,平动
va
ve
vr
rea vvv
vavev
r
0
e
r v
2vv
360s in 0
φ
A B
C
O
D
M
解,动点 M，动系 OD杆
ve
va
vr
23
c o s
OCOMv
e
232
c o s
ea vv 23s i n ar vv
t =1s 时,φ=300
2
36
3
3
1 0 8 OM
例 2,OD杆绕 O转动，转动方程为：
r a dt6s i n3
小环 M套在 OD杆和固定杆 AB上，设 OC=54cm，求 t =1s 时小环 M的绝对速度与相对速度。
rea vvv v
r v
a
ve
例 3：杆 OA长 l，在推杆 BCD以匀速 u 的推动下绕 O转动，求当
OC=x时，杆端 A的速度，表为 x的函数。
b
u
x D
C
B
O
A解,动点 B，动系 OA。 v
e
va
vr
s i n ae vv
θubx
b
22?
OB
v e
OA
22 bx
v e
ubx b 22
u
bx
lbv
A 22
例 4,OA杆绕 O转动,φ=πt / 6 （ rad），小环 M套在 OA杆和半径为
r = 6cm 的固定大圆环上，求当 t=2秒时，小环 M 的 va,ve,vr 。
M
O
A
φ
解,动点 M，动系 OA，牵连为转动，
va
vr 3s i n2rv
e
ct gvv er
2
c o s
ra
v
v
rea vvv
§ 3,牵连 运动 为平动 时点的 加速度合成 定理
z
x
o
M
绝对轨迹相对轨迹
rea vvv
r0 ' vv
dt
d
dt
d ro vvv
dt
d a
rea aaa
推导有中间过程,
略上式为矢量式,最多可能有六项,
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaa
一般用投影式求解,
例,凸轮半径为 R,沿水平面向右运动,当 φ=600时凸轮的速度为 u,加速度为 a,求此时杆 AB的加速度,
A
B
u
φ
R
a
解,解题思路与求速度同,求加速度时一般应先求速度,
在上例中,速度已经求出,为
0
0
3
360 vvc tgv
ea 0er v3
2vv
060s in
动点,A (AB上 ) 动系,凸轮列出加速度合成公式,
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaa
τ
r
n
rea aaaa
将上式向不要求的未知量的垂线方向投影
n
rea ac o s φas i n φa
R
va 2rn
r?
若要求 arτ则可将加速度矢量式向另一轴投影,
注意 !矢量等式投影时,
两端各自投影,
等号照搬。
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaa
例,凸轮半径为 R,沿水平面向右运动,当 φ=600时凸轮的速度为 u,加速度为 a,杆 OA长 l,此时与铅直线的夹角为 300,求此时杆 OA的角加速度 εOA.
解,动点,A (AO上 ) 动系,凸轮
A
u
φ
R
a
O
绝对运动,圆弧运动 ;
相对运动,圆弧运动 ;
牵连运动,平动将上式向不要求的未知量的垂线方向投影
rea vvv
τ
r
n
e
τ
a
n
ra
aaaaa
练习题,图示倾角为 φ=30o的尖劈以匀速 u=200mm/s沿水平面向右运动，使杆 OB绕定轴转动，
BOBOmmr,,32 0 0 求时当,
O
Bu
rθ
φ
vav
r
ve
30c o s2
e
ra
vvv
解,速度分析如图
3
1
r
v a
BO?
aaτa
r
aan
牵连为平动，加速度分析如图
27
3
30
30s i n30c o s
2
tg
aa na
a
练习题,半径为 R的固定半圆环和可以水平移动的竖直杆 AB用小环
M套在一起，位于同一平面内。已知 AB向右的速度为常数 u，求图示位置时，小环 M的绝对加速度的大小和方向。
450
A
B
M
u
解,速度分析如图
vavr
ve
uva 2?
牵连为平动，加速度分析如图
aaτar
aan
R
u
R
va an
a
22 2
R
u
a
R
u
aa
a
n
aa
2
2
22
2
练习题,杆 OA长 40cm，以匀角速 ω=0.5rad /s 绕 O转动，求当 θ=300
时，曲杆 BC的速度和加速度。
解,动点 A(OA上 )，动系 BC。
ω θ
C
B
O
A
va
vr
ve?c o s
ae vv?
c o sl?
scm /3.17?
牵连为平动，
rea aaa
re
n
a aaa
aa
ar
ae?s i nae aa?
22 /530s i n scml
练习题,十字型套筒 K套在固定杆 AB和铅直杆 CD上，曲柄 OC=32
cm并以 φ=t /4 的规律绕 O转动，求当 t=π秒时套筒 K的加速度。
O
K
D
C
B
A
φ
解,动点套筒 K，动系 CD，牵连为平动。
ae
aa
ar
c o n s tφ,tφ
4
1
4
4
ππ 时,φ当t
2 OCaa n
ee
)/(2 2scm?
c o sea aa?
)/(2 2scm?
§ 4,牵连 运动 为转动 时点的 加速度合成 定理其中,ak为科氏加速度,由动系的转动和相对运动共同作用所致,
加速度合成式为矢量式,最多可能有七项,
k
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaaa
一般用投影式求解,
rea vvv
rea aaa
动系 平动 时,
速度,
动系 转动 时,
krea aaaa
rk 2 vωa
s i n α2 ωva rk?
方向,
大小,
也可将 vr沿 ω的转向旋转 900即是,
(推导略 )
C
B
A
O
D
φω
例,弯成直角的曲杆 OAB以常角速 ω绕 O转动,设 OA=r,求 φ=300时 CD
杆的速度和加速度,
解,动点,C(CD上 ),动系,OAB
绝对运动,铅直线运动 ;
相对运动,斜直线运动 ;
牵连运动,转动
rea υυυ
tg 3 0
c o s 3 0
rtg 3 0OCtg 3 0v
ea ωυ
rω32?
k
τ
r
nτ
e
nτ
a
n aaaaaaa
rea
kna a0c o s 3 0ac o s 3 0a e
2
a rω39
10a? 注意 !不要掉了 ak
例,弯成直角的曲杆 OBC绕 O转动，小环 M同时套在曲杆和固定杆
OA上，已知,OB=10cm，曲杆的角速度 ω= 0.5 rad / s，求当 φ=600
时小环 M 的速度和加速度。
φ A
B
MO
C
解,动点小环 M，动系曲杆，牵连运动为转动。
va
vr
ve
10OMv e
31060tgvv ea
2030s i n/er vv
ar
aa
动系 转动 时,
krea aaaa
ak将上式向图示轴投影：
k
n
ea aaa
60c o s60c o s )/(35 2scma
a?
ae
k
τ
r
nτ
e
nτ
a
n aaaaaaa
rea
第十一章 刚体的平面运动
§ 1 基本概念定义,在刚体运动的过程中，刚体上的任一点 (每一点 )与某一固定平面间的距离始终保持不变。这种运动称为 刚体的平面运动 。
Ⅰ
§ 1 基本概念一,定义,在刚体运动的过程中，刚体上的任一点 (每一点 )与某一固定平面间的距离始终保持不变。这种运动称为 刚体的平面运动。
二,平面图形,
Ⅱ
Ⅱ
刚体 找 点 作 直线该直线方位不变 平动该点代表该直线上所有点过该点作 平面 Ⅱ ∥Ⅰ Ⅱ 上无数个点代表了无数条直线 形成该刚体 平面图形
x
y
o
(xo,,yo,) φ
φ( t )
y(t)y
x(t)x
/
/
o
o
三,运动方程,
四,运动的分解,
在平面图形上 任找一 点 0’，
称之为 基点,则 刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕该基点的转动两部分 。其平动与基点的选择有关，而转动与基点的选择无关。
φ1
φ2
2φ1
即,平面运动中的转角 φ、角速度 ω、角加速度 ε与基点的位置无关！
§ 2,平面图形上各点的速度
AV
平面图形上任一点的速度等于随任选基点的平动速度与绕该基点的转动速度的矢量和,
BAAB vvv
1.基点法
A
B
AV
BAV
vB
其中,
ABBA ωABv
其方向垂直于 AB
例,曲柄连杆机构如图所示,OA=r，
以匀角速 ω绕 O转动,AB=l,求当
φ=300时滑块 B的速度。
基点法既可以求刚体上任一点的速度,也可以求刚体作平面运动的角速度,
rea vvv
φO
A
B
其中 ωAB为刚体平面运动的角速度。
的大小、方向已知。Av
解,解题思路将系统置于待求瞬时的位置,而不要放在一般位置； 分析各构件的运动类型 及整个机构运动的传递过程,从运动为已知的构件开始,分析关键连接点的速度,加速度,并标注在图上； 重点研究作平面运动的构件,逐步从已知过渡到未知 。
θ
αφO
A
B
BAAB vvv
r ωv A?
c o sθvc o sαv AB?
θ)c o s ( α BA2B2A2BA v2vvvv
AB
v BA
BA
这里,AB作平面运动,
A点的速度已知。
二,速度投影法
BAAB vvv
0co svco sv AB
刚体上任意两点的速度在该 两点的连线上投影 相等,称之为 速度投影定理,
AV
A
B
AV
BAV
vB
α c o svc o sv
BA
速度投影定理主要用于已知刚体上两点速度的方向及其中一点速度的大小,求另一点速度的大小,但不能用来求角速度 。
例,题目同前。
例,四连杆机构如图,AB=BC=CD=l,AB的角速度为 ω0,求当 θ1=
θ2 =60o时,CD杆的角速度 ωD 。
vB
vC
A
B C
D
ω0
θ1 θ2
三,求平面图形上各点速度的 瞬心法此时，刚体可以看作是绕 C点作瞬时转动。
把 速度瞬时为零的点 称为 速度瞬时中心,
简称 瞬心 。
BAAB vvv
若能找到一点 C，且有 VC=0，则以 C点为基点，有：
BC
BC
BCCB
v
v
vvv
0
AV
A
B
AV
BAV
vB
AV
A
B
C
刚体平面运动时，任意 瞬时 都唯一确定地存在着瞬心。
找到瞬心后，刚体即可看作是绕瞬心作瞬时转动。刚体上任一点的速度就等于刚体绕瞬心作瞬时转动的速度。
确定速度瞬心的几种典型情况：
1.已知刚体上两点速度的方向,且不平行,
C
过两点作速度的垂线,
交点即为瞬心,
2.平行但不相等,
C C
3,凸轮在固定面上只滚不滑时,
接触点即为瞬心,
C
瞬心法既可求速度,也可求角速度,
4,瞬时平动,O
A
B
该瞬时,瞬心在无穷远处
(或无瞬心 ),刚体上各点速度均相等,角速度 ωAB=0,但角加速度 εAB≠0.
瞬心在刚体上不是一个固定点,不同瞬时具有不同的位置,
在给定瞬时其位置是唯一确定的 !
例,机构如图所示,OA=r，
以匀角速 ω
绕 O转动，
AB=l,求当
φ=600、
∠ OAB=900
时轮缘上最高点 D的速度。轮半径为 R，在地面上作纯滚动。
ω
O
A
B
D
φ
R
r
例,机构如图所示,OA=r,以匀角速 ω 绕 O 转动,AB= l,求当 φ =60 0,
∠ OAB=90 0 时轮缘上最高点 D 的速度。轮半径为 R,在地面上作纯滚动。
解,
C
ωBC rv30co sv AB?
C为轮 B的瞬心,有,
AB作平面运动,用速度投影定理求 VB:
BCB Rv
BBCD v2R2v
r
3
34
请思考,当 φ=900时 vD=?
§ 3,平面图形上各点的加速度
Aa
平面图形上任一点的加速度等于随任选基点的平动加速度与绕该基点的转动加速度的矢量和,
BAAB aaa
(求加速度只有 )基点法,
A
B
其中,
AB
τ
BA
2
AB
n
BA
εABa
ωABa
方向垂直于 AB
rea aaa
动系 平动 时,
n
BAa
Aa
BAa
τn
AB BABA aaaa
方向沿 BA
加速度合成式为矢量式，最多可能有六项,
τ
BA
n
BA
τ
A
n
A
τ
B
n
B aaaaaa
一般用投影式求解,
例,半径为 R的圆轮沿直线轨道作纯滚动，已知某瞬时轮心的速度为 v0，加速度为 a0，求轮子上与轨道的接触点 C的加速度。
C
解,轮心 O的加速度已知，则以 O为基点求 aC
Oτ
COCO
n
OC aaaa
CO
a
n
CO
a
大小方向
？
？
？
R
va 20n
CO
CO
τ R εa
CO?
ω,ε
轮心 O点作直线运动，有：
Rε
dt
dωR
dt
d ( R ω)
dt
dva o
0
R
aε 0?∴ ∴ 0COτ aR εa
CO
x
y
将加速度矢量式投影：
0a0aa 0Ocx
2
0
n
cocy R ωaa
∴
2
cyc R ωaa
沿直线轨道只滚不滑的圆轮其速度瞬心的加速度为：
2
c
Ra ω?
其方向由瞬心指向轮心
a0=Rε
aA=Rω2
aBn =Rω2
aBτ=2Rε
练习题,半径为 R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时 ω,ε已知，求此时轮心 O的加速度 a0，与地面的接触点 A的加速度 aA，轮缘上最高点 B处的加速度 aBn,aBτ。
O
B
A
ω
ε
C
练习题,杆长 AB=l，图示位置时,vA,aA已知，求此时的 ωAB,εAB、
vB,aB 。
A
B
vAaA 450
解,AB的瞬心位于 P点，该瞬时：
P
vB
aB
ABBA lvv?
45s i n
aBAτ
aBAn
BA
n
BAAB aaaa
n
BAAB aaa
45co s45s i n
将上式向 BA方向投影：
将上式向 BP方向投影：
45s i n45co s0?
BA
n
BAA aaa
练习题,杆 AB=l,OA= r,α= 300,图示位置时,OA⊥ AB，此时的 ω=ω0,ε= 0,求 vB,aB 。
300
A
O
B
解,AB的瞬心位于 P点，该瞬时：
P
030c o s r ωvv AB
aBAτ
aAn
aB
aBAn?BAnBAAB aaaa
230co s
BA
n
BAB BAaa
将上式向 BA方向投影：
03
30
3
2 ω
l
r ωr ωv
ABB
l
ωra
B 9
32 202?
概念题,
图示平行四连杆机构,ABC为一刚性三角形板，
则 C点的速度为,1) Vc=AC·ω
2) Vc=CO1·ω
3) Vc=AO1·ω
4) Vc=BC·ω
C点的切线加速度为,1)aτ= AO1ε
2) aτ= ACε
3) aτ= CO1ε
4) aτ= BCε
①
A
B
C
ε
ω
②,平动刚体上的 ( )始终保持不变
③,平面运动刚体上的 ( )始终保持不变任一条直线的方位任一点到某一固定平面的距离刚体的平面运动综合练习概念题,
(1)平面运动通常可以分解为 ___动和 ____动,___动与基点的选择无关? ___动与基点的选择有关?
(2).如图已知作平面运动的刚体上 A点的速度 vA，,则 B点的速度可能为图中的哪一种 _________?
vA
A B
300
450
①
②
③
④
⑤
① ⑤
平平 转转概念题,
(1)平面图形某瞬时的角速度 ω，角加速度 ε，速度瞬心为 C，
则 1),vA= vB+______ 2),aA= aB+_______
3),vA=AC?______ 4),vB=_____________
5),AB?ω2=_____ 6),AB?ε=______
① ⑤
vAB aAB
CB?ωω
n
BA
a?
BAa
300
300
600
300
B
A
②
③④
①
⑤
(2)平面图形上 A点的速度为 vA，则 B点速度可能为图中的哪一种?____
概念题,
下列平面图形中，那些速度分布是不可能的?用,√,×,表示
A
B
A
B
vA≠vB
A B
A
A BB
v0=Rω
vA=0
概念题,
半径为 R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时 ω已知，则轮心 O的速度 v0= ———？与地面的接触点 A的速度 vA= ——？ C点速度的大小及方向如何？
O
A
ω
ε
C
RV C 2?
概念题,（ 1）判正误,已知某瞬时平面图形作瞬时平动，则下列表达式是否正确？
0;0;
0;0;
BAABBA
n
BAABBA
aaa
avv
R
vA
2
0
（ 2）图示圆轮边缘 B点绞接杆 AB,A端放在水平地面上，轮与地面只滚不滑，此瞬时 A端速度为 vA,B点位于轮上最高点，则此时圆轮的角速度 ω0= ——？杆的角速度 ωAB= ——？
A
B
O
vA
概念题,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
概念题,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
概念题,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
只滚不滑练习题,机构在图示瞬时，
求该瞬时滑块 C的绝对速度 vc，滑块 B相对于 O2D的相对速度 vr，
O1A的角速度 ω1,AB的角速度 ωAB。
，的角速度为，，∥ 2221221?DOOODODOAO?
O1 O2
A
B
r
lC
D
ω2
解,该瞬时,AB瞬时平动。
0
0 v
AB21
r2
r
l
lv C
练习题,图示机构,OA= 2a,在图示位置时,OB=BA,OA⊥ AC，
求此时套筒 D相对于 BC杆的速度 。
600
A
B
O
D
C
解,分别求出套筒 D和杆 BC的速度，之差即为相对速度。
vA
vDa ω
vv AD
2
30c o s
ve
va v
r
a ω v
vvv
e
BCae
而
30c o s/?
av BCD 15.1
练习题,图示机构中,C作纯滚动，曲柄 O1A以匀角速 ω绕轴 O1转动，
且 O1A=O2B=l,BC=2l，轮半径 R=l/4，求图示位置时轮的角速度 ωC 。
此时,∠ O1O2B=900。
C
B
A
300 300
ω
解,综合题，先考虑合成运动，
动点 A，动系 O2B ve
va vr
lωv a?
l ω
vv ae
2
1
60c o s
l ωvv eB 2
l ωvv
BC
BC
,瞬时平动
ω
R
v C
C 4
vB
vC
练习题,图示机构，已知 vA =0.2m/s,AB=0.4m,求当 AC=BC、
α=300时 CD杆的速度。
A
B
C
D
α vA
解,属综合题，先研究平面运动 P
P为 BCA杆的瞬心所以 AB上 C点的速度如图：
vC
∴ vC= vA
由速度投影定理有：
再以套筒上 C为动点,AB为动系，速度分布如图：
vr
va
ve
rea vvv向图示轴线投影：
60c o s30c o s ea vv?
smmv a /3 3200?
练习题,图示机构，已知 AC=l1,BC=l2，求当 AC⊥ BC时 C点的速度和两杆的角速度，此时 vA,vB已知。
B
CA
vB
vA
解,分别取两个基点 A,B研究 C点：
CAACBB
CAAC
CBBC
vvv v:即
vvv
vvv
y
x
将上式向 x,y轴投影：
CAA
CBB
vvy
vvx
0:
0:
vCA
vCB
即 vB与 vCB,vA与 vCA分别大小相等，方向相反。
∴ vc= 0 即 C点同时为 AC杆和 BC杆的瞬心。
21 l
v
l
v B
BC
A
AC
∴
练习题,曲柄 OA以匀角速 ω0 绕 O转动,OA=r,AB=2r，磙子半径 r，
只滚不滑，求 OA水平时磙子的角速度和角加速度。
O
B
A
ω0
解,AB作平面运动，
vA vB
A,B两点速度投影：
2
60c o s30c o s 0?rvv AB
3
0
B
加速度分析：
n
Aa
n
BAa
BAa
Ba
BA
n
BAAB aaaa
向虚线方向投影：
n
BAAB aaa
30co s30co s
3
2
3
2
30c o s
2
02
0
rr
a
aa
n
BA
AB?
BA
2
0
2
0 77.1)
33
4
1( rra B
2
077.1 B
练习题,曲柄 OA以匀角速 ω0 绕 O转动,OA=r,AB=2r，磙子半径 r，
只滚不滑，求 OA铅直时磙子的角速度和角加速度。
O
B
A
ω0
解,AB瞬时平动,vA
0?rvv AB
0 r
v B
B 加速度分析：
n
Aa
0n?BAa
BAa
Ba
BA
n
BAAB aaaa
向虚线方向投影：
60co s30co s n
AB aa
2
02
1
3
2
ra B
0?BA?
vB
由于 AB瞬时平动，所以有,
2
03
1
B
练习题,半径为 r =30cm 的圆轮在水平轨道上只滚不滑地运动，轮缘上铰接一长为 AB=120cm 的杆，当 OA在铅直位置时，轮心 O的速度
v0=20cm/s，加速度 a0=10cm/s2，求此时点 B的速度和加速度。
O
B
A
解,依题意有：
aO vO
vA
vB
AB 瞬时平动，
02 vvv AB
scm /40?
加速度分析：
BA
n
BAA
n
AB aaaaa
由于 aτBA大小未知，故向其垂线（虚线）方向投影：
30s i n30c o s30c o s n
AAB aaa
0?BA?由于 AB瞬时平动，所以有,
n
Aa
0n?BAa?BAa
Ba
Aa
r
vaaa n
AA
2
0
02,
2/3.12
3
3
3
4020 scma
B
O
300
≠ ＜ ＞t1＜ t ＜ t2
G
β θ ε Σ
④ ⑤ ⑥
∵ ∴ ∞ ≤ ≥ ≈
∑
① ②
≡0
①
α
N
t1＜ t ＜ t2
S
T
τ,n τ,n τ,n
vr
va
vB
300
A
①
mg
YO
XO
T
①②③
④⑤⑥ ⑤ （ x1,y1
）
y
x（ xA,yA）
δrA
RA Rε
0 Rω2
Rω2 2Rε
aaτ
aana
r
Ca
n
Ca
Ca
n
Ca
ve
vC
ve
q=15kN/m M=20kN·m
运动的相对性,参照物 -----参考体 ------参考坐标系 ------参考系对任何物体运动的描述都是相对的。
点、刚体第八章 点的运动
§ 1.点的直线运动轨迹：点所走过的路线
xo ·M
x
x = x（ t）运动方程：
平均速度：
t
xv
加速度：
xv
dt
xd
dt
dva
2
2
x
dt
dxv速度：
β
在直线运动中,v,a 都是代数量，当 v,a 同号时，点作加速运动，否则反之。
建立点的 运动方程 是 描述点运动几何性质的 关键 。
若 a为常量,则有,
axvv
attvxx
atvv
2
2
1
2
0
2
2
00
0
例,曲柄连杆机构如图,求滑块 B
的运动规律、速度及加速度。
o
B
A
r lωt
解,分析要求点的轨迹 —— 若为直线运动，则建立直线轴 x，取一固定点作为原点，将要求点置于坐标轴上任意位置（不要放在特殊位置），标出动点在坐标轴上的位置坐标 x，纯粹用几何方法找出 x
的长度，并表成时间 t 的函数，即为运动方程。
x
x
∴ x = rcosωt+ lcosβ
而
t
lr
s i ns i n?
2)s in(1c o s t
l
rltrx
v,a 同学们自己求。
§ 2.点的曲线运动一,矢径法,(用于理论推导 )
M
r
·O
Δ r
r = r (t)运动方程,矢端所描出的曲线即为 M点的轨迹,
平均速度,速度,
rv
rv
a 2
2
dt
d
dt
d加速度：
t?
rv rrv
dt
d
二、直角坐标法 (多用于轨迹为未知之情形 ) M
r
·
r =xi+yj+zk
k
ji
（ x,y,z）
x
y
z
0
·x = x（ t）y = y（ t）Z = z（ t）运动方程：
kjirv zyx
kjirva zyx
222 zyxv
vxc o s
zva
yva
xva
zz
yy
xx
222 zyxa
axc o s
zv
yv
xv
z
y
x
例,半径为 r的圆轮放在粗糙的水平面上，轮心 A以匀速 v0前进，求轮缘上任一点的运动规律。
A
·O ·
M
解,①在轮缘上任取一点 M
（不能是特殊点）；
x
y
② 找一固定点 O建立直角坐标，标出 M点的位置坐标；
D
BC
θ
③ 纯粹用几何方法找出该坐标的长度，
最终表为时间 t的函数 --------即为运动方程。
x=OC=OB-CB
y=MC=AB-AD
=vot-rsinθ
=r-rcosθ
r
MBrtv s i n
0 r
tvrtv 0
0 s i n
r
tvrr 0c o s
速度、加速度请同学们做。
三、自然坐标法 (用于轨迹为已知之情形 ):
1、弧坐标、运动方程 S
(+)
M
s=s(t)
oS：弧坐标运动方程：
自然法：用弧坐标描述点运动的方法称为弧坐标法或自然坐标法，
简称自然法。
2、曲率、自然轴系
M
o
T
Δθ Δs
把 MM '段曲线的平均弯曲程度用 K*表示
K*
│Δs│
Δθ= ———平均曲率,
曲率,
ds
dk 曲率半径,
d
ds
k
1
·
Δr
自然轴系,对于空间任意曲线,其上任一点都有自己的切线和法线,
以弧坐标增加的方向规定为 切线 的正向,沿切线的单位矢量记为 τ,规定过切点指向曲率中心的方向为 主法线 方向,沿主法线的单位矢量记为 n,再取 b= τ× n 为第三个矢量,称为 付法线,此三轴即为 自然轴系,自然轴系为流动坐标系，其 原点 随点 M的运动而 运动，
τ,n,b是变矢量,其 方向 随点 M的运动而 改变 。
M
b
τn
o
(+)
3、速度
M
o
τ
Δs
(+)
tt?
r
0
l i m
dt
d rv?
)(lim 0
0
r?
s
r
t
s
t
τsv
4、加速度
·
Δτ
M
o
τ
Δs
(+)
Δθ
n
C
dt
d va?
dt
sd )(
dt
ds
dt
sd
dt
dss
dt
ds
ds
d
d
d
dt
d
d
dsk
)(limlim
00
edd
e
e
00
lim2
s i n2
lim
n?
n
nss
2?
naa
字母顶上加,—,
表示矢量，以下同。
切向加速度,
sa
aaa n
法向加速度,
22
aaa n
全加速度,
na
atg
nva n?
2
α
全加速度始终位于曲线内凹的一侧,
特殊地,
① ρ=∞,an=0,直线运动,a=aτ,直线运动不必表为弧坐标,
②,v=常量,aτ=0,匀速曲线运动,a=a.n
③,匀变速曲线运动,aτ=常量,则有,
savv
tatvss
tavv
2
2
1
2
0
2
2
00
0
例 1,点作平面曲线运动,速度为 v,其加速度 a与曲率圆所截的弦
MA=l,求证此时
r
vaa
n
2
c o s
解,依题意画图,
C A
M
lr
a
v
α
l
va 22?
r
l 2c o s
例 2,点作平面曲线运动,其速度 v在某一固定方向的投影为常量 C,
求证其加速度,ρ为曲线在 M点处的曲率半径,
M
vn
y
x
α
C
va 3?
Cvv xco s
解,依题意画图,
0?xa yaa? a
r
vaa
n
2
c o s
v
Cc o s
两式相除即得结果,
概念题,
点 M做直线运动，其运动方程曲线为 x-t曲线，
问速度曲线 v-t有几处明显错误?
x(t)
t
v(t)
t
O
O
以后为直线答,① t=0,v≠0
② t=t1,v=0
③ t=t2,v=0
④ t1＜ t ＜ t2,v ＜ 0
⑤ t＞ t3,v=C
M
v 沿切线判断正误,
① 点 M的运动方程为 x =A sinωt,A,ω为常数，则 M点的轨迹必为正弦曲线。
②左图中动点 M作加速运动，右图中动点 M作减速运动
.
a 沿法线
.
v 沿切线
a
M
③ 下列三图中，点沿已知曲线运动，图上标注的 v,a 是否可能?
v沿切线a
v
a v
a
概念题,
1)点做何种运动，出现下列情况之一：
2）点 M沿螺线以匀速 v自外向里运动，问该点运动的加速度是越来越大？还是越来越小？
匀速直线运动
.
v
M
匀速曲线运动直线运动
① ≡0
② ≡0
③ ≡0
概念题,
1)图示点沿曲线 (不是直线 )运动，已知 a 为 常矢量。问点作下列何种运动？
匀变速运动。
②非匀变速运动。
③匀速运动。
2）判断正误
①点作直线运动时，必有
②点作匀速曲线（不是直线）运动，则 （ a） a =0
（ b） =常矢量
（ c） =常量
（ d） v =常矢量
①
a
a
a
s
vva
2
2
0
2?
例,点沿抛物线 y2=4px 运动，沿 y方向的速度为常量 C，求 vx及加速度 a 。
解,轨迹方程两边对 t 求导，
p
C
x
C
p
x
p
C
x
x
p
C
vaa
va
C
p
x
C
p
px
p
yC
v
xpyy
xx
yy
x
222
0
2
4
4
2
42
2
例,点沿半径为 R的圆周作匀加速运动,v0=0，全加速度 a 与切线的夹角为 α，以 β表示点所走过的弧 s 所对的圆心角，求证：
tgα=2β
α
a
β
s
解,根据题意画图：
R
vaa
n
2
s in
aa?c o s
两式相除：
Ra
vtg 2?
sav v τ2202 而
Rs? 又 ∴ tgα=2β
例,点沿半径为 R的圆弧运动,v在直径 AB方向的投影 u是常数，求点 M的 vM及 aM与 φ的关系。
A B
v
M
φ
解,
uvv xs i n
s i n
uv
r
uva
3
2
s i n
c o s
2
22
s inr
u
r
va
n
3
2
22
s inr
uaaa
n
x
例,图示卷杨机构，绳 OB以匀速下拉，求套在固定杆上的套筒 A的速度与加速度，表成 x 的函数。
A
O
B
l
xv
B
解,A作直线运动，
222 lABx
两端对时间求导：
0)(22 BvABxx?
22)( lx
x
v
x
vAB
x BB
x 同学们自己求。
第九章 刚体的简单运动
§ 1,刚体的平行移动 (平动 )
刚体的平动,如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平行,这种运动称为刚体的平行移动,简称 平动 或 移动,
平面平行四连杆机构 o
rA
A
B
A1
B1
A2
B2r
B
aA
aB
vA
vB
BA vv?
BA aa?
当刚体平行移动时,其上各点的轨迹形状相同 ;在同一瞬时,各点的速度、加速度也分别相同,
研究刚体的平动可以归结为研究刚体内一点的运动,
BABA rr
π
§ 2,刚体绕定轴的转动转动,如刚体在运动过程中,其中只有一条直线保持不动,则这种运动称为刚体绕定轴的转动,简称转动,
这条不动的直线,称为刚体的 转轴,简称 轴,z
φ
转角,φ
φ=φ(t)转动方程,
角速度,
dtd
2
2
dt
d
dt
d角加速度,
2
2
1
2
0
2
2
00
0
tt
t
当角加速度为常量时，有,
§ 3,转动刚体内各点的速度和加速度
s
Rs
RRsv
转动刚体内任一点的速度大小,等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积,它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方,
M
v
o R
切向加速度,
RRsa
aaa n
法向加速度,
2
22 )(
RRRRva n
全加速度,
na
atg
2422 Raaa n
速度,α
§ 4,轮系的传动比
vω1
ω2
2211 rrv
1
2
2
1
r
r
12i
传动比：
r1 r2
ω1 ω2
r1 r
2
)1(
60
n2 r p m sn转速 转 /分,； 角速度概念题
1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （ 1）越转越快
（ 2）越转越慢
（ 3）不一定
2）两齿轮啮合时：
接触点的速度 （ 1）相等；（ 2）不相等；（ 3）不一定接触点的切向加速度 （ 1）相等；（ 2）不相等；（ 3）不一定
3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线
4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同练习题,图示连续印刷过程，纸厚为 b，以匀速 v水平输送，试以纸卷的半径表示纸卷的角加速度。
vb
r
解,
d
dr
r
v
dt
d
d
dr
r
v
dt
dr
r
v
r
v
2
22
)减小r(
2
增大时而?
b
d
dr
3
2
2 π r
bv
练习题,一飞轮绕固定轴 O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的夹角恒为 600，当运动开始时，其转角 φ0=0，
初角速度为 ω0，求飞轮的转动方程及角速度与转角的关系。
a
φO
解：
ra60s ina τ
2n 60c o sa?ra
两式相除：
260?
tg
23
23
dt
d
23?
d
d
dt
d
23
d
d
dd 3?
0 30 dd
30 e?
第十章 点的合成 (复合 )运动
§ 1,基本概念点的合成运动研究 一个点 相对于 两个 完全不同的 坐标系 的运动及其之间的关系,
点的合成运动 研究 一个点 相对于 两个 完全不同的 坐标系 的运动及其之间的关系,
牵连运动静系动点
M
动系刚体的运动牵连点,动系上 瞬时 与动点重合 的点,
绝对速度 va
绝对加速度 aa
相对速度 vr
相对加速度 ar
静系通常固结于地面牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为 牵连速度 ve和牵连加速度 ae。
§ 2,点的速度合成定理
A
M
B
M1
M / /
/A
B
rυ
aυ
eυ
/11/ MMMMMM
t
MM
t
MM
t
MM
ttt?
/
1
0
1
0
/
0
li mli mli m
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
rυ
例 1:凸轮半径为 R,沿水平面以匀速 v0向右运动,求 φ=600时杆 AB的速度,
A
B
v0
φ
R
解,
rea vvv
0
0
3
360 vvc tgv
ea
A
B
v0
φ
R
①,正确地选取并明确地 指出 动点和动系：
,动点和动系不能在同一刚体上；
,在某一物体上，动点相对该物体的位置应是不变的点；
,动点的相对运动轨迹要清晰可辨；
,常取两物体的接触点、滑块、套筒、小环、小球等为动点。
③ 对动点进行速度分析并图示,列出速度合成定理,常用 几何法求速度 。
动点,A (AB上 )
动系,凸轮
②,分析三种运动,
绝对运动,直线运动 ;
相对运动,曲线运动 ;
牵连运动,平动
va
ve
vr
rea vvv
vavev
r
0
e
r v
2vv
360s in 0
φ
A B
C
O
D
M
解,动点 M，动系 OD杆
ve
va
vr
23
c o s
OCOMv
e
232
c o s
ea vv 23s i n ar vv
t =1s 时,φ=300
2
36
3
3
1 0 8 OM
例 2,OD杆绕 O转动，转动方程为：
r a dt6s i n3
小环 M套在 OD杆和固定杆 AB上，设 OC=54cm，求 t =1s 时小环 M的绝对速度与相对速度。
rea vvv v
r v
a
ve
例 3：杆 OA长 l，在推杆 BCD以匀速 u 的推动下绕 O转动，求当
OC=x时，杆端 A的速度，表为 x的函数。
b
u
x D
C
B
O
A解,动点 B，动系 OA。 v
e
va
vr
s i n ae vv
θubx
b
22?
OB
v e
OA
22 bx
v e
ubx b 22
u
bx
lbv
A 22
例 4,OA杆绕 O转动,φ=πt / 6 （ rad），小环 M套在 OA杆和半径为
r = 6cm 的固定大圆环上，求当 t=2秒时，小环 M 的 va,ve,vr 。
M
O
A
φ
解,动点 M，动系 OA，牵连为转动，
va
vr 3s i n2rv
e
ct gvv er
2
c o s
ra
v
v
rea vvv
§ 3,牵连 运动 为平动 时点的 加速度合成 定理
z
x
o
M
绝对轨迹相对轨迹
rea vvv
r0 ' vv
dt
d
dt
d ro vvv
dt
d a
rea aaa
推导有中间过程,
略上式为矢量式,最多可能有六项,
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaa
一般用投影式求解,
例,凸轮半径为 R,沿水平面向右运动,当 φ=600时凸轮的速度为 u,加速度为 a,求此时杆 AB的加速度,
A
B
u
φ
R
a
解,解题思路与求速度同,求加速度时一般应先求速度,
在上例中,速度已经求出,为
0
0
3
360 vvc tgv
ea 0er v3
2vv
060s in
动点,A (AB上 ) 动系,凸轮列出加速度合成公式,
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaa
τ
r
n
rea aaaa
将上式向不要求的未知量的垂线方向投影
n
rea ac o s φas i n φa
R
va 2rn
r?
若要求 arτ则可将加速度矢量式向另一轴投影,
注意 !矢量等式投影时,
两端各自投影,
等号照搬。
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaa
例,凸轮半径为 R,沿水平面向右运动,当 φ=600时凸轮的速度为 u,加速度为 a,杆 OA长 l,此时与铅直线的夹角为 300,求此时杆 OA的角加速度 εOA.
解,动点,A (AO上 ) 动系,凸轮
A
u
φ
R
a
O
绝对运动,圆弧运动 ;
相对运动,圆弧运动 ;
牵连运动,平动将上式向不要求的未知量的垂线方向投影
rea vvv
τ
r
n
e
τ
a
n
ra
aaaaa
练习题,图示倾角为 φ=30o的尖劈以匀速 u=200mm/s沿水平面向右运动，使杆 OB绕定轴转动，
BOBOmmr,,32 0 0 求时当,
O
Bu
rθ
φ
vav
r
ve
30c o s2
e
ra
vvv
解,速度分析如图
3
1
r
v a
BO?
aaτa
r
aan
牵连为平动，加速度分析如图
27
3
30
30s i n30c o s
2
tg
aa na
a
练习题,半径为 R的固定半圆环和可以水平移动的竖直杆 AB用小环
M套在一起，位于同一平面内。已知 AB向右的速度为常数 u，求图示位置时，小环 M的绝对加速度的大小和方向。
450
A
B
M
u
解,速度分析如图
vavr
ve
uva 2?
牵连为平动，加速度分析如图
aaτar
aan
R
u
R
va an
a
22 2
R
u
a
R
u
aa
a
n
aa
2
2
22
2
练习题,杆 OA长 40cm，以匀角速 ω=0.5rad /s 绕 O转动，求当 θ=300
时，曲杆 BC的速度和加速度。
解,动点 A(OA上 )，动系 BC。
ω θ
C
B
O
A
va
vr
ve?c o s
ae vv?
c o sl?
scm /3.17?
牵连为平动，
rea aaa
re
n
a aaa
aa
ar
ae?s i nae aa?
22 /530s i n scml
练习题,十字型套筒 K套在固定杆 AB和铅直杆 CD上，曲柄 OC=32
cm并以 φ=t /4 的规律绕 O转动，求当 t=π秒时套筒 K的加速度。
O
K
D
C
B
A
φ
解,动点套筒 K，动系 CD，牵连为平动。
ae
aa
ar
c o n s tφ,tφ
4
1
4
4
ππ 时,φ当t
2 OCaa n
ee
)/(2 2scm?
c o sea aa?
)/(2 2scm?
§ 4,牵连 运动 为转动 时点的 加速度合成 定理其中,ak为科氏加速度,由动系的转动和相对运动共同作用所致,
加速度合成式为矢量式,最多可能有七项,
k
τ
r
nτ
e
nτ
a
n
rea
aaaaaaa
一般用投影式求解,
rea vvv
rea aaa
动系 平动 时,
速度,
动系 转动 时,
krea aaaa
rk 2 vωa
s i n α2 ωva rk?
方向,
大小,
也可将 vr沿 ω的转向旋转 900即是,
(推导略 )
C
B
A
O
D
φω
例,弯成直角的曲杆 OAB以常角速 ω绕 O转动,设 OA=r,求 φ=300时 CD
杆的速度和加速度,
解,动点,C(CD上 ),动系,OAB
绝对运动,铅直线运动 ;
相对运动,斜直线运动 ;
牵连运动,转动
rea υυυ
tg 3 0
c o s 3 0
rtg 3 0OCtg 3 0v
ea ωυ
rω32?
k
τ
r
nτ
e
nτ
a
n aaaaaaa
rea
kna a0c o s 3 0ac o s 3 0a e
2
a rω39
10a? 注意 !不要掉了 ak
例,弯成直角的曲杆 OBC绕 O转动，小环 M同时套在曲杆和固定杆
OA上，已知,OB=10cm，曲杆的角速度 ω= 0.5 rad / s，求当 φ=600
时小环 M 的速度和加速度。
φ A
B
MO
C
解,动点小环 M，动系曲杆，牵连运动为转动。
va
vr
ve
10OMv e
31060tgvv ea
2030s i n/er vv
ar
aa
动系 转动 时,
krea aaaa
ak将上式向图示轴投影：
k
n
ea aaa
60c o s60c o s )/(35 2scma
a?
ae
k
τ
r
nτ
e
nτ
a
n aaaaaaa
rea
第十一章 刚体的平面运动
§ 1 基本概念定义,在刚体运动的过程中，刚体上的任一点 (每一点 )与某一固定平面间的距离始终保持不变。这种运动称为 刚体的平面运动 。
Ⅰ
§ 1 基本概念一,定义,在刚体运动的过程中，刚体上的任一点 (每一点 )与某一固定平面间的距离始终保持不变。这种运动称为 刚体的平面运动。
二,平面图形,
Ⅱ
Ⅱ
刚体 找 点 作 直线该直线方位不变 平动该点代表该直线上所有点过该点作 平面 Ⅱ ∥Ⅰ Ⅱ 上无数个点代表了无数条直线 形成该刚体 平面图形
x
y
o
(xo,,yo,) φ
φ( t )
y(t)y
x(t)x
/
/
o
o
三,运动方程,
四,运动的分解,
在平面图形上 任找一 点 0’，
称之为 基点,则 刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕该基点的转动两部分 。其平动与基点的选择有关，而转动与基点的选择无关。
φ1
φ2
2φ1
即,平面运动中的转角 φ、角速度 ω、角加速度 ε与基点的位置无关！
§ 2,平面图形上各点的速度
AV
平面图形上任一点的速度等于随任选基点的平动速度与绕该基点的转动速度的矢量和,
BAAB vvv
1.基点法
A
B
AV
BAV
vB
其中,
ABBA ωABv
其方向垂直于 AB
例,曲柄连杆机构如图所示,OA=r，
以匀角速 ω绕 O转动,AB=l,求当
φ=300时滑块 B的速度。
基点法既可以求刚体上任一点的速度,也可以求刚体作平面运动的角速度,
rea vvv
φO
A
B
其中 ωAB为刚体平面运动的角速度。
的大小、方向已知。Av
解,解题思路将系统置于待求瞬时的位置,而不要放在一般位置； 分析各构件的运动类型 及整个机构运动的传递过程,从运动为已知的构件开始,分析关键连接点的速度,加速度,并标注在图上； 重点研究作平面运动的构件,逐步从已知过渡到未知 。
θ
αφO
A
B
BAAB vvv
r ωv A?
c o sθvc o sαv AB?
θ)c o s ( α BA2B2A2BA v2vvvv
AB
v BA
BA
这里,AB作平面运动,
A点的速度已知。
二,速度投影法
BAAB vvv
0co svco sv AB
刚体上任意两点的速度在该 两点的连线上投影 相等,称之为 速度投影定理,
AV
A
B
AV
BAV
vB
α c o svc o sv
BA
速度投影定理主要用于已知刚体上两点速度的方向及其中一点速度的大小,求另一点速度的大小,但不能用来求角速度 。
例,题目同前。
例,四连杆机构如图,AB=BC=CD=l,AB的角速度为 ω0,求当 θ1=
θ2 =60o时,CD杆的角速度 ωD 。
vB
vC
A
B C
D
ω0
θ1 θ2
三,求平面图形上各点速度的 瞬心法此时，刚体可以看作是绕 C点作瞬时转动。
把 速度瞬时为零的点 称为 速度瞬时中心,
简称 瞬心 。
BAAB vvv
若能找到一点 C，且有 VC=0，则以 C点为基点，有：
BC
BC
BCCB
v
v
vvv
0
AV
A
B
AV
BAV
vB
AV
A
B
C
刚体平面运动时，任意 瞬时 都唯一确定地存在着瞬心。
找到瞬心后，刚体即可看作是绕瞬心作瞬时转动。刚体上任一点的速度就等于刚体绕瞬心作瞬时转动的速度。
确定速度瞬心的几种典型情况：
1.已知刚体上两点速度的方向,且不平行,
C
过两点作速度的垂线,
交点即为瞬心,
2.平行但不相等,
C C
3,凸轮在固定面上只滚不滑时,
接触点即为瞬心,
C
瞬心法既可求速度,也可求角速度,
4,瞬时平动,O
A
B
该瞬时,瞬心在无穷远处
(或无瞬心 ),刚体上各点速度均相等,角速度 ωAB=0,但角加速度 εAB≠0.
瞬心在刚体上不是一个固定点,不同瞬时具有不同的位置,
在给定瞬时其位置是唯一确定的 !
例,机构如图所示,OA=r，
以匀角速 ω
绕 O转动，
AB=l,求当
φ=600、
∠ OAB=900
时轮缘上最高点 D的速度。轮半径为 R，在地面上作纯滚动。
ω
O
A
B
D
φ
R
r
例,机构如图所示,OA=r,以匀角速 ω 绕 O 转动,AB= l,求当 φ =60 0,
∠ OAB=90 0 时轮缘上最高点 D 的速度。轮半径为 R,在地面上作纯滚动。
解,
C
ωBC rv30co sv AB?
C为轮 B的瞬心,有,
AB作平面运动,用速度投影定理求 VB:
BCB Rv
BBCD v2R2v
r
3
34
请思考,当 φ=900时 vD=?
§ 3,平面图形上各点的加速度
Aa
平面图形上任一点的加速度等于随任选基点的平动加速度与绕该基点的转动加速度的矢量和,
BAAB aaa
(求加速度只有 )基点法,
A
B
其中,
AB
τ
BA
2
AB
n
BA
εABa
ωABa
方向垂直于 AB
rea aaa
动系 平动 时,
n
BAa
Aa
BAa
τn
AB BABA aaaa
方向沿 BA
加速度合成式为矢量式，最多可能有六项,
τ
BA
n
BA
τ
A
n
A
τ
B
n
B aaaaaa
一般用投影式求解,
例,半径为 R的圆轮沿直线轨道作纯滚动，已知某瞬时轮心的速度为 v0，加速度为 a0，求轮子上与轨道的接触点 C的加速度。
C
解,轮心 O的加速度已知，则以 O为基点求 aC
Oτ
COCO
n
OC aaaa
CO
a
n
CO
a
大小方向
？
？
？
R
va 20n
CO
CO
τ R εa
CO?
ω,ε
轮心 O点作直线运动，有：
Rε
dt
dωR
dt
d ( R ω)
dt
dva o
0
R
aε 0?∴ ∴ 0COτ aR εa
CO
x
y
将加速度矢量式投影：
0a0aa 0Ocx
2
0
n
cocy R ωaa
∴
2
cyc R ωaa
沿直线轨道只滚不滑的圆轮其速度瞬心的加速度为：
2
c
Ra ω?
其方向由瞬心指向轮心
a0=Rε
aA=Rω2
aBn =Rω2
aBτ=2Rε
练习题,半径为 R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时 ω,ε已知，求此时轮心 O的加速度 a0，与地面的接触点 A的加速度 aA，轮缘上最高点 B处的加速度 aBn,aBτ。
O
B
A
ω
ε
C
练习题,杆长 AB=l，图示位置时,vA,aA已知，求此时的 ωAB,εAB、
vB,aB 。
A
B
vAaA 450
解,AB的瞬心位于 P点，该瞬时：
P
vB
aB
ABBA lvv?
45s i n
aBAτ
aBAn
BA
n
BAAB aaaa
n
BAAB aaa
45co s45s i n
将上式向 BA方向投影：
将上式向 BP方向投影：
45s i n45co s0?
BA
n
BAA aaa
练习题,杆 AB=l,OA= r,α= 300,图示位置时,OA⊥ AB，此时的 ω=ω0,ε= 0,求 vB,aB 。
300
A
O
B
解,AB的瞬心位于 P点，该瞬时：
P
030c o s r ωvv AB
aBAτ
aAn
aB
aBAn?BAnBAAB aaaa
230co s
BA
n
BAB BAaa
将上式向 BA方向投影：
03
30
3
2 ω
l
r ωr ωv
ABB
l
ωra
B 9
32 202?
概念题,
图示平行四连杆机构,ABC为一刚性三角形板，
则 C点的速度为,1) Vc=AC·ω
2) Vc=CO1·ω
3) Vc=AO1·ω
4) Vc=BC·ω
C点的切线加速度为,1)aτ= AO1ε
2) aτ= ACε
3) aτ= CO1ε
4) aτ= BCε
①
A
B
C
ε
ω
②,平动刚体上的 ( )始终保持不变
③,平面运动刚体上的 ( )始终保持不变任一条直线的方位任一点到某一固定平面的距离刚体的平面运动综合练习概念题,
(1)平面运动通常可以分解为 ___动和 ____动,___动与基点的选择无关? ___动与基点的选择有关?
(2).如图已知作平面运动的刚体上 A点的速度 vA，,则 B点的速度可能为图中的哪一种 _________?
vA
A B
300
450
①
②
③
④
⑤
① ⑤
平平 转转概念题,
(1)平面图形某瞬时的角速度 ω，角加速度 ε，速度瞬心为 C，
则 1),vA= vB+______ 2),aA= aB+_______
3),vA=AC?______ 4),vB=_____________
5),AB?ω2=_____ 6),AB?ε=______
① ⑤
vAB aAB
CB?ωω
n
BA
a?
BAa
300
300
600
300
B
A
②
③④
①
⑤
(2)平面图形上 A点的速度为 vA，则 B点速度可能为图中的哪一种?____
概念题,
下列平面图形中，那些速度分布是不可能的?用,√,×,表示
A
B
A
B
vA≠vB
A B
A
A BB
v0=Rω
vA=0
概念题,
半径为 R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时 ω已知，则轮心 O的速度 v0= ———？与地面的接触点 A的速度 vA= ——？ C点速度的大小及方向如何？
O
A
ω
ε
C
RV C 2?
概念题,（ 1）判正误,已知某瞬时平面图形作瞬时平动，则下列表达式是否正确？
0;0;
0;0;
BAABBA
n
BAABBA
aaa
avv
R
vA
2
0
（ 2）图示圆轮边缘 B点绞接杆 AB,A端放在水平地面上，轮与地面只滚不滑，此瞬时 A端速度为 vA,B点位于轮上最高点，则此时圆轮的角速度 ω0= ——？杆的角速度 ωAB= ——？
A
B
O
vA
概念题,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
概念题,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
概念题,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
只滚不滑练习题,机构在图示瞬时，
求该瞬时滑块 C的绝对速度 vc，滑块 B相对于 O2D的相对速度 vr，
O1A的角速度 ω1,AB的角速度 ωAB。
，的角速度为，，∥ 2221221?DOOODODOAO?
O1 O2
A
B
r
lC
D
ω2
解,该瞬时,AB瞬时平动。
0
0 v
AB21
r2
r
l
lv C
练习题,图示机构,OA= 2a,在图示位置时,OB=BA,OA⊥ AC，
求此时套筒 D相对于 BC杆的速度 。
600
A
B
O
D
C
解,分别求出套筒 D和杆 BC的速度，之差即为相对速度。
vA
vDa ω
vv AD
2
30c o s
ve
va v
r
a ω v
vvv
e
BCae
而
30c o s/?
av BCD 15.1
练习题,图示机构中,C作纯滚动，曲柄 O1A以匀角速 ω绕轴 O1转动，
且 O1A=O2B=l,BC=2l，轮半径 R=l/4，求图示位置时轮的角速度 ωC 。
此时,∠ O1O2B=900。
C
B
A
300 300
ω
解,综合题，先考虑合成运动，
动点 A，动系 O2B ve
va vr
lωv a?
l ω
vv ae
2
1
60c o s
l ωvv eB 2
l ωvv
BC
BC
,瞬时平动
ω
R
v C
C 4
vB
vC
练习题,图示机构，已知 vA =0.2m/s,AB=0.4m,求当 AC=BC、
α=300时 CD杆的速度。
A
B
C
D
α vA
解,属综合题，先研究平面运动 P
P为 BCA杆的瞬心所以 AB上 C点的速度如图：
vC
∴ vC= vA
由速度投影定理有：
再以套筒上 C为动点,AB为动系，速度分布如图：
vr
va
ve
rea vvv向图示轴线投影：
60c o s30c o s ea vv?
smmv a /3 3200?
练习题,图示机构，已知 AC=l1,BC=l2，求当 AC⊥ BC时 C点的速度和两杆的角速度，此时 vA,vB已知。
B
CA
vB
vA
解,分别取两个基点 A,B研究 C点：
CAACBB
CAAC
CBBC
vvv v:即
vvv
vvv
y
x
将上式向 x,y轴投影：
CAA
CBB
vvy
vvx
0:
0:
vCA
vCB
即 vB与 vCB,vA与 vCA分别大小相等，方向相反。
∴ vc= 0 即 C点同时为 AC杆和 BC杆的瞬心。
21 l
v
l
v B
BC
A
AC
∴
练习题,曲柄 OA以匀角速 ω0 绕 O转动,OA=r,AB=2r，磙子半径 r，
只滚不滑，求 OA水平时磙子的角速度和角加速度。
O
B
A
ω0
解,AB作平面运动，
vA vB
A,B两点速度投影：
2
60c o s30c o s 0?rvv AB
3
0
B
加速度分析：
n
Aa
n
BAa
BAa
Ba
BA
n
BAAB aaaa
向虚线方向投影：
n
BAAB aaa
30co s30co s
3
2
3
2
30c o s
2
02
0
rr
a
aa
n
BA
AB?
BA
2
0
2
0 77.1)
33
4
1( rra B
2
077.1 B
练习题,曲柄 OA以匀角速 ω0 绕 O转动,OA=r,AB=2r，磙子半径 r，
只滚不滑，求 OA铅直时磙子的角速度和角加速度。
O
B
A
ω0
解,AB瞬时平动,vA
0?rvv AB
0 r
v B
B 加速度分析：
n
Aa
0n?BAa
BAa
Ba
BA
n
BAAB aaaa
向虚线方向投影：
60co s30co s n
AB aa
2
02
1
3
2
ra B
0?BA?
vB
由于 AB瞬时平动，所以有,
2
03
1
B
练习题,半径为 r =30cm 的圆轮在水平轨道上只滚不滑地运动，轮缘上铰接一长为 AB=120cm 的杆，当 OA在铅直位置时，轮心 O的速度
v0=20cm/s，加速度 a0=10cm/s2，求此时点 B的速度和加速度。
O
B
A
解,依题意有：
aO vO
vA
vB
AB 瞬时平动，
02 vvv AB
scm /40?
加速度分析：
BA
n
BAA
n
AB aaaaa
由于 aτBA大小未知，故向其垂线（虚线）方向投影：
30s i n30c o s30c o s n
AAB aaa
0?BA?由于 AB瞬时平动，所以有,
n
Aa
0n?BAa?BAa
Ba
Aa
r
vaaa n
AA
2
0
02,
2/3.12
3
3
3
4020 scma
B
O
300
≠ ＜ ＞t1＜ t ＜ t2
G
β θ ε Σ
④ ⑤ ⑥
∵ ∴ ∞ ≤ ≥ ≈
∑
① ②
≡0
①
α
N
t1＜ t ＜ t2
S
T
τ,n τ,n τ,n
vr
va
vB
300
A
①
mg
YO
XO
T
①②③
④⑤⑥ ⑤ （ x1,y1
）
y
x（ xA,yA）
δrA
RA Rε
0 Rω2
Rω2 2Rε
aaτ
aana
r
Ca
n
Ca
Ca
n
Ca
ve
vC
ve
q=15kN/m M=20kN·m
