第三篇 动力学静力学 研究物体的平衡，而不涉及不平衡物体的运动 ;
运动学 研究物体运动的几何性质，而不追究引起物体运动的原因 ;
动力学 将力与运动联系起来，研究作用于物体上的力与物体机械运 动之间的关系。
动力学知识被广泛地应用于机械的设计、制造，矿山的建设、开采，
房屋建筑、水利工程、航空航天等各个方面。
为了研究上的方便，把所研究的物体抽象为质点和质点系（主要是刚体）两大类。
质点：
质点系：
刚体：
第十二章 质点运动微分方程
§ 1,动力学基本定律一、牛顿三定律,
第一定律,惯性定律第二定律,
第三定律,作用力与反作用力定律
m
Fa?
① 加速度 a是矢量 ;
② 加速度与力的关系是瞬时的，加速度随力的变化而变化 ;
③ 当力不作用时，加速度为 0，速度为常矢量，此时物体做惯 性运动，与第一定律相符 ;
④ 对于质量相同的质点，作用力愈大，获得的加速度愈大 ;
同样大的力作用于不同的质量的物体上，质量大的加速度小，质量小的加速度大。即，质量越大，物体的运动状态越不易改变，也即物体的惯性越大。所以，质量是物体惯性的度量。
国际单位制中,力 N,kN
质量 kg
长度、质量、时间为基本单位，力的单位是导出单位。
gp m?
二、惯性系,
牛顿定律不可能适用一切参考系，而只能适用于“绝对运动”
的参考系，古典力学中，认为地球不动（地心学）而将其作为牛顿定律的参考系，也称作为惯性参考系。当天体力学发展起来以后，
又不能以地球作为惯性参考系，而以太阳或其它恒星作为惯性参考系，但在地球表面附近，牛顿定律仍然适用。因此，得出一个抽象的结论,适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。 用起来又太抽象，以后，若无特别声明，则以地球为惯性参考系。
在地面附近，物体都要受到重力 P的作用，由 有
m
Fa?
§ 2,质点运动微分方程（质点动力学基本方程）
Fa?m一、直角坐标形式
kji
kji
ZYX
F
a zyx
三、动力学两类基本问题：
1.已知运动求力,正问题,求导 ;
2.已知力求运动,逆问题,积分,
Yym
Xxm
Fma
Fma nn
)v(FF).3
)t(FF).2
CF).1
)x(FF).4?
)x(Fdtdxdxdvm
dx)x(Fm v d v?
二、自然坐标形式直接积分变形
)x(Fdtdvm?
例 1,矿井中的罐笼内装有质量为 m的物体，现以匀加速 a提升罐笼，
求物体 m受到的约束反力。
a
m
解,动力学的解体思路与静力学的类似，只是把列静力平衡方程换为列运动微分方程。
①,取研究对象,物体 m
②,画受力图：
mg
N
③,建坐标,
0
x
④,列运动微分方程,
Σ Xxm
mgNma
∴ N= mg+ma
其中,mg为静反力,ma为动反力,
属于已知运动求力之情形,
⑤,解方程,
例 2,炮弹以初速 v0发射，不计阻力，求炮弹在重力作用下的运动,
α
解,研究 (任意位置时而不能是特殊位置时的 )炮弹，作受力图，
mg
y
o
x
Yym
Xxm
= 0
= -mg
属第二类问题，力是常量,直接积分,
2
1
cgty
cx
= v0cosα
= - gt + v0sinα
40
2
30
)s in(
2
1
)c o s(
ctvgty
ctvx
即为炮弹的运动方程消去时间即为轨迹方程进而可以讨论最高射程，最远距离等,
例 3,质量为 m的机车在水平面内沿曲线轨道由静止开始运动，牵引力 F=1.2t（ kN），常值阻力 R=2kN，求机车的运动规律。
O （ +）
S
解,受力分析，牵引力 F=1.2t（ kN）
常值阻力 R；重力和地面支反力均沿铅直方向，不予画出；轨道在水平面上沿曲率半径有一支反力。 F
R
Nn
nn
2
NF
s
m
RFFsm
从第一式出发，
dt)2t2.1(smd
s
0
t
3
5 dt)2t2.1(smd
t0不从 0开始,在 t=0时,
F=1.2t=0,t增 F随之增,
直到 F≤R=2kN之前,
机车静止,已用去时间 t=2/1.2=5/3秒,此后机车开始运动,才可用动力学方程,
3
5t2t6.0sm 2
3)
3
5t(
m
2.0s
即为机车的运动方程,
(其他类型的例题见教材 )
第十三章 动量定理
Zzm
Yym
Xxm
质点运动微分方程的直角坐标形式为,
已经看到，对一个质点的运动微分方程的积分在有些问题中已很困难,若对一由 n个质点所构成的质点系，则需列 3n个这样的微分方程组，其难度可想而知,
与运动特征相关的量 —— 动量、动量矩、动能与力特征相关的量 —— 冲量、力矩、功 关系动力学普遍定理动量定理动量矩定理动能定理重点研究刚体在各种运动形式下的运动微分方程
sNsm / skgm / skg 2
§ 1,质点的动量定理
1.质点的动量,k=mv 矢量,量纲为,
2.力的冲量,S =F t 矢量,量纲为,N s
前式中,F为常力,若 F为变力，
则为元冲量,dS =F d t
12tt dtFs
3,质点的动量定理,
Fa?m
Fv?dtdm
dt)d ( m Fv?
sk dd? 即为质点的动量定理的微分形式,
skk?12 -
其积分式为,即为质点的动量定理的积分形式,
将上式投影到直角坐标系上有,
x
t
t x1x2x
sdtFmvmv 2
1
z
t
t
z1z2z
y
t
t
y1y2y
sdtFmvmv
sdtFmvmv
2
1
2
1
若在运动过程中，作用在质点上的合力恒为 0，则该质点动量守恒,
0 12 mm vv
若在运动过程中，作用在质点上的合力在某轴上的投影恒为 0，则该质点在该轴上动量守恒,
0 1x2x mvmv
0
0
1z2z
1y2y
mvmv
mvmv
例,锤重 Q=300N，从高度 H=1.5m处自由落到锻件上，锻件发生变形，历 时 τ=0.01s,求锤对锻件的平均压力,
H
解,研究锤，分析受力,
Q锤由高 H 处自由落下所需时间,
g
H2t?
y
建投影轴，列动量定理,
y1y2y smvmv
ττ,)τ(,*y21 NtQ s,0vt0v )(而时间后经过
kN9.16)1
τ
( tQN *
§ 2,质点系的动量定理
1,质系的动量,
iim vK
2,质系的动量定理,··
·
· ·
···mi
mivi
eiF
iiF
dt)()m(d iieiii FFv
对于第 i个质点有,
dt)()m(d iieiii FFv
dt)()m(d iieiii FFv
dtd FK
FK
dt
d
或
0
即为质点系动量定理的微分形式
SFKK 2
1
t
t
dt12
即为质点系动量定理的积分形式将上式投影到直角坐标系上有,
x1x2x SKK
若在运动过程中，作用在质点系上的合力恒为 0，则该质点系动量守恒,
0 12 KK
若在运动过程中，作用在质点系上的合力在某轴上的投影恒为 0，
则该质点系在该轴上动量守恒,
0 1x2x KK
0
0
1z2z
1y2y
KK
KK
z1z2z
y1y2y
SKK
SKK
通过上面的讨论看出,只有外力才能使质点系的动量发生变化，而 内力不能改变整个质系的动量 ;但是，内力可以改变质点系内部分质点的动量,对仅受内力作用的质点系，如果其中某一部分的动量发生变化，则另一部分的动量也必然变化,
§ 3,质心运动定理
M为质点系的总质量，
VC为质点系质心 C的速度CMV iim vK
质量中心 —— 质心：
i
ii
C p
ypy
i
ii
C p
xpx
i
ii
C p
zpz
i
ii
i
ii
C Σ m
xΣ m
gΣ m
gxΣ mx
i
ii
C Σ m
yΣ my?
i
ii
C m
zmz
Σ
Σ?
kjir CCCC zyx
i
ii
i
iiiiii
C Σm
m
Σm
zmymxm rkji
r
由重心坐标公式有：
即为质心的坐标公式，而其矢径为：
M
ii r
质点系的动量
FKdtd
由质系的动量定理,
FVdtMd C )(
FaCM
YyM
XxM
C
C
FMa
FMa
c
n
c n
有：
即为质心运动定理，其投影式为：
若作用在质点系上的合外力 ΣF=0，则 ac=0,VC=常量，即质系的质心做惯性运动；若初始 vc= 0，则质心保持静止不动。
若作用在质点系上的合外力在某轴上的投影 ΣX=0，则 acx=0，
Vcx=常量，即质系的质心在该轴方向做惯性运动；若初始 vcx= 0，
则质心在该轴方向保持不动。也即质心在该轴方向运动守恒。
例,电机的外壳固定在水平基础上，定子重 P，转子重 p，偏心距 e，
以匀角速 ω绕 O1转动，求基础的支座反力。
P p
ω
e
解,已知运动求力研究电机整体所构成的质点系，主动力已有，画约束反力，
M
建坐标轴，
y
o
xωt
质心坐标为：
Σ
Σ
i
ii
C m
xm x?
i
ii
C Σ m
yΣ my?
p
p
P
tc o se0P
p
p
P
ts ine0P
p
p-x
c?
P
tc o se 2
p
p-y
c?
P
ts i ne 2
YyM
XxM
C
C
代入质心运动定理，即可,
列动力学方程,
p
p
p-pP
p
p-pP
PR
P
ts ine
g
R
P
tc o se
g
Y
2
X
2
g
ts ine
PR
g
tc o se
R
2
Y
2
X
p
-p
p
基础的支座反力为：
静反力动反力例,静止的小船上，一人欲上岸，由船尾走向船头，设人重 P，另两人和船共重 Q，船长 l，岸边无外力且不计水的阻力，求船的位移。
解,研究人、船组成的质点系，分析受力：
P
Q
l
所有外力均沿铅直方向,水平方向合外力投影为零 。
由于系统原处于静止，根据质心运动守恒定理，则系统的 质心在水平方向保持不动 。
d
y
o
x
s
设 人前行 l 时船后移距离为 s
则移动前
QP
)d
2
(Q)d(P
x 1C
ll
则移动后
QP
)sd
2
(Q)ds(P
x 2C
l
2C1C xx?
QP
Ps
l
§ 4,流体在管道内流动时对管壁的动压力设不可压缩的流体在管道内 稳定流动 （定常流动，即管内流体质点在流过同一位置处时的速度和压强都不随时间改变，但各点的速度可不同），流量为 Q（单位时间内流过的体积,m3/s，等于面积乘流速），流体的密度为 ρ（单位体积内的质量），任取一段管道研究，该段管道两端截面面积分别为 s1,s2，流入、流出两截面的流体速度分别为 v1,v2,
A
B
C
D
分析受力：
WN
s1
P2
v1
v2
P1
s2
t 时刻，流体位于 ABCD段，
经过 Δt 时间间隔后，流体流到 A'B'C'D'段，则动量的改变为：
BAABDCCD
CDBABAABDCCDCDBA
A B C DDCBA
)(
KK
KKKK
KKK
11111
22222
tQ)tvs(
tQ)tvs(
vvK
vvK
vK
BAAB
DCCD
m?
)( 12 vvKKK BAABDCCD tQ?
tFS K 而
t )( 2ppNW 1
)()(ρ 2112 ppWvvN Q
上式即为流体对管壁的全反力。
动反力 静反力
)( 12 vvN ρQ
其投影式为：
)(ρ
)(ρ
1y2yy
1x2xx
vvN
vvN
Q
Q
例题见教材,
流体在管道内流动时对管壁的附加动反力为：
第十四章 动量矩定理
§ 1,质点的动量矩定理如前章所述，外力的主矢将引起质点系的动量和质心位置的改变。而我们知道，作用于质点系的外力向一点简化后，得到一主矢和一主矩。那末，主矩对质系的运动有何影响呢？
m
mv
y
o
x
z
牛顿第二定律有：
Fv?dtdm
设该质点在惯性坐标系中的矢径为 r
Frvr dt )d ( m而：
dt
)d ( mm
dt
)d ( mm
dt
d
dt
)md( vrvvvrvrvr
Fv?dtmd )(
变形为：
则在上式中两端左乘 r,得
Frvr dt )md(
即为质点的动量矩定理,o
o
dt
d
m
h
:即
.的力矩O对固定点F为作用在质点上的合力;的 动动量O为质点对固定点
Frm
vrh
o
o m
其中,
投影式为,
z
z
y
y
x
x m
dt
dhm
dt
dh
m
dt
dh
若在运动过程中,作用在质点上的合力对固定点 O的矩恒为 0,则该质点动量矩守恒,h 0 =常数若在运动过程中,作用在质点上的合力对某固定轴的矩恒为 0,则该质点对该轴的动量矩守恒,hz = 常数
§ 2,质点系的动量矩定理
1、质系的动量矩
)( ii0 vrhH io m
投影式
)(ΣΣ vmmhH iizzz
2、转动刚体对转轴的动量矩
z
ω
质点 mi对 z轴的动量矩为,
2iriiiiiiiz mrmr vmrh
整个刚体对 z轴的动量矩为,
)r(r 2i2i iizz mmhH
即，转动刚体对转轴的动量矩为,
zz JH
其中,为刚体对转轴的 转动惯量,
为一常数,
2ii rmzJ
y
o
x
z
3、质点系的动量矩定理
··
·
· ·
···mi
mivi
eiF
iiF
)(dtd iiei0oi FFmh
对于第 i个质点应用质点的动量矩定理，有,
0
0 MH
dt
d
0
即为 质点系的动量矩定理
)(dtd iiei0oi FFmh
)()(dtd ii0ei0oi FmFmh
若在运动过程中，作用在质点系上的合外力对固定点 O的矩恒为 0，则该质点系动量矩守恒。
若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为
0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。
质点系动量矩定理的投影式为：
z
z
dt
d MH
O R解,研究系统，分析受力：
m1g m2g
YO
XO
v1 v2
分析运动：
z
z
dt
d MH
gRmgRm
dt
)RvmRvm(d
21
2211
g
mm
mma
21
21
1?
例,半径为 R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，绳子两端分别挂有质量为 m1和 m2的两重物，设 m1＞ m2,求 m1运动的加速度。滑轮及绳子的质量不计。
§ 3,转动惯量、平移轴定理为刚体对转轴的 转动惯量,为一常数,
2ii rmzJ
同质量一样，转动惯量是刚体固有的物理属性，它与刚体的运动无关，也不来自任何力学定理。一旦转轴确定，转动惯量即为恒定，且恒为正值。
对于连续体
dmrJ M 2Z
若把刚体的总质量 M集中于刚体上某一点处，该点到转轴的距离为 ρ，则有：
2Z MJ
平移轴定理：
2
CZ MdJJ
刚体对任意轴的转动惯量 JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量 JC加上刚体的总质量与两轴间距离 d的平方的乘积。
可见，刚体对质心轴的转动惯量最小。
（证明从略）
ρ,回转半径 或 惯性半径例,均质圆轮质量为 m，半径为 R，求对质心轴 C的转动惯量。
C
R
dθ
r dr
解,取单位厚度的圆轮研究，
取一面积微元 dm
drrddm
dmrJ M 2C
20 3R0C d r dr J
2
C mR2
1J?
∵
∴
对轮缘上任一点，有：
2
CZ MdJJ
222
Z mR2
3mRmR
2
1J
解,取一微元 dx
dxmdm l
dmrJ M 2C
2
l
2
l l dxx
m
J 2C
2
C m12
1J l?
∵
∴
对杆端，有：
2
CZ MdJJ 222Z m3
1)(mm
12
1J l
2
ll
例,均质杆质量为 m，长为 l，求对质心轴 C的转动惯量。
C
dx
x
O x
z
§ 4,刚体定轴转动的微分方程将质点系的动量矩定理
z
z
dt
d MH
应用于刚体定轴转动的情形，有：
及定轴转动的动量矩
zz JH
z
z
dt
)(d MJ
zzzz MJMJ或即为 刚体定轴转动的微分方程 。
与质心运动定理 比较之。
FaCM
例,半径为 R、质量为 m的均质圆轮绕质心轴 z以匀角速 ω0转动。今欲制动，闸瓦压力 Q、摩擦系数 f，求制动所需时间。
Q
ω0
O
解,研究轮子，分析受力：
F
mg
YO
XO
列出动力学方程：
zZJ M
RQfJ O
dt
J
RQfd t
o
O
o
0
f Q R
Jt 0O 问：制动过程中，轮子转过了多少圈？
§ 5,质点系相对于质心的动量矩定理前面所讨论的动量矩定理只适用于惯性参考系，也即，动量矩的矩心、矩轴都是固定不动的。 我们关心的问题是动量矩的矩心可否运动？ 研究表明，动量矩的矩心可以为动点，但随着矩心位置的不同其动量矩定理的形式也不同。 下面讨论对于质心的动量矩定理。
C
C
dt
d MH
上式即为 质点系相对于质心 C的动量矩定理,其形式与对固定点的动量矩定理完全相同。（证明从略）
§ 6,刚体平面运动的微分方程刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动。 这里，以质点系的质心 C为基点，则随质心 C的平动用质心运动定理、绕质心 C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得 刚体平面运动的微分方程,
C
M
C
C
C
J
YyM
XxM
CC
n
MJ
FMa
FMa
c
n
c
FaCM
C
C
dt
d MH
其投影式为：
或：
实际上，动量矩定理除了对固定点 O、固定轴 z、质心 C可以取矩外，还可以对瞬心 P取矩，但是要求瞬心 P到质心 C的距离保持为常量，其公式的形式不变。
OO MJ
zz MJ
CC MJ
PP MJ
O,固定点
z,固定轴
C,质心
P,瞬心，要求 PC=常量在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中，
此式显得特别方便。
例,如图所示，两均质圆轮半径分别为 rA和 rB,重为 PA和 PB,鼓轮
B上作用主动力偶矩 M,A轮与斜面间无相对滑动，求 B轮从静止开始转过 φ角时的角速度 ωB及支座 B处的反力。
α
B
A
M
PA
PB
解,①,分析所给系统的构成及各部分作何种运动，一般应拆开分别研究。
②,先研究 B，作受力图：
YB
XBT
作定轴转动，列动力学方程：
BMB BJ
BrTM
（ 1）
εB
③,再研究 A，作受力图,N
T
F
εA
作平面运动，列动力学方程：
CM
C
C
C
J
YyM
XxM
s inPTFa
g
P
AA
A
AAA FrJ
（ 2）
（ 3）
xy
再列补充方程 —— 一般为运动学关系,
AAA ar
BBAA rr
（ 4）
（ 5）
以上 5个未知量均可求解。从中解出 εB为常量，则有：
B202B 2
欲 求支座反力,则需对轮 B列质心运动定理,
YyM
XxM
C
C
s inTP
c o sT
BB
B
B
B
Y0
g
P
X0
g
P
（ 6）
（ 7）
B
M
PB
YB
XBT
x
y
概念题,圆轮重 Q,受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮质心如何运动?
F
F
F
1).地面光滑时,左图质心保持不动，因为水平方向的和外力为零 ;
右图质心将沿力 F方向运动,
2).地面有摩擦时,左图质心将向右运动，
右图中,a.若主动力 F≤Nf，则质心不动 ;
b.若主动力 F＞ Nf，则质心向右运动,
概念题,
1,两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为 ω1和 ω2,且 ω1 >
ω2,问,1）哪个动量大? 分别为多少?
2）哪个动量矩大? 分别为多少?
答,1）一样大，均为 0
2） Jω1>Jω2
2、汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？
答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。
概念题,
1、均质圆轮半径均为 r，求在下列不同形式下的动量、对 O点的动量矩。
ω ω ω
只滚不滑
C CO
O
O答,1）动量,0,mrω,mrω
2）动量矩,Joω,Joω,Joω
2、质系的动量为零，其动能是否也必为零？质系的动能为零，其动量是否也必为零？
2、三个质点的质量同为 m，同时自点 A以相同的速度 v0沿不同的方向抛出，问该三点落到水平面时的速度的大小和方向是否相同？
答,JZε=Pr,两系统的转动惯量不同，所以角加速度不同。
概念题,
1、两质量同为 m的均质轮，一作用一力 P，一挂一重物重 P，问两轮的角加速度是否相同？是多少？
P
P
O O
答,vx= v0cosα,vy= v0sinα-gt，由于 v0方向不同，所以速度不同。
概念题,
1、怎样用旋转的方法区别生蛋和煮熟的鸡蛋，为什么？
答：旋转时间较长的是熟蛋，时间短的是生蛋。
因为，熟蛋的壳、青、黄为一整体，而生蛋的则相对分离，开始时由于惯性，壳转，青、黄不转，内阻力使其早早停止转动。
2、大队人马过桥时，为什么不能步调一致？
答：共振
3、芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么现象？
为什么？
答：旋转速度更快，因为对 z轴动量矩守恒。
4、开山定向爆破时，根据什么原理确定飞出的石块的落地位置？
质心运动定理。
5、夯实地基的电夯是根据什么原理制成的？
质心运动定理。
概念题,
1、水在直管中流动时对管壁有无动压力？
无。
2、人坐在转椅上，双脚离地，能否用双手将转椅转动？为什么？
不能，因为对 z轴动量矩守恒
3、骑自行车转弯时，车身要向里倾，而船只转弯时，船身却要向外倾，为什么？
？
练习题 1：用两根长度同为 l的细绳将重为 P的物块挂起如图，现突然剪断 BC，求剪断前、后瞬时绳 AB的拉力之比 β。
P
A
B
C600
:
30c o s
0
P T
Σ F m a
a
AB
nn
n
初瞬时解,剪断前：平衡
P T AB30co s2
剪断后剪断前、后瞬时绳 AB的拉力之比：
3
2
TAB
练习题 2,均质杆 AB长 l,B端放在光滑的水平面上，杆在图示位置沿铅直面自由倒下，求 A点的轨迹方程。
A
B
C
解,受力如图,
mg
N
水平方向无外力,质心在水平方向运动守恒如图建立坐标：使 y轴过质心 C
y
x
（ xA,yA）
点 A在坐标轴上的位置为,
0
0
s i n
c o s
2
ly
l
x
A
A
消去 α0 即为点 A的轨迹方程：
2224 lyx
AA
练习题 3,两均质杆 AB=BD=l，质量均为 m，现突然撤去支座 D，求该瞬时 A端的反力。
A B D解,研究 BD，定轴转动
YBε
l
gMJ
BB 2
3
4 0
mgYX
BB再研究 AB：静平衡，
43450 m g l mmgYX AAA
B DC
mg
XB
Σ Fma Σ Fma CnnC
2
2
2 lala CnC
初瞬时,ω=0，
gaa CnC
4
3 0
BB Ymggm X 4
3 0
YA
XA MA
练习题 4,均质圆柱体半径为 r，重为 Q，放在粗糙的水平面上，设质心速度 v0,具有初角速度 ω0,且 rω0 < v0,圆柱与地面间的摩擦系数为 fk,问 （ 1）经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动？ 并求该瞬时圆柱体中心的速度,（ 2）到达只滚不滑状态时圆柱体中心移动了多少距离？
v0ω0
C
解,受力如图,
Q
N
F
用平面运动微分方程,
FrJ
QN
Fx
g
Q
C
C
0
只滚不滑时,?rv
C?
代入后积分上式有,
t
txvv CC
0
0
只滚不滑前，
kNfF?
x
y
3
2
3
00
00
rv
v
gf
rv
t
k
联立以上各式有
S =? 同学们自己做,
练习题,均质杆 AB长 l,B端放在光滑的水平面上,A端挂与固定点 D
处，现突然剪断细绳，杆沿铅直面自由倒下，初瞬时 α0=450，求该瞬时杆端 B处的支反力。
解,受力如图,
水平方向无外力,质心在水平方向运动守恒如图建立坐标：使 y轴过质心 C
y
x
用刚体平面运动微分方程：
c o s
2
l
NJ
mgNym
C
C
在直角坐标中：
s i n2ly C?
将上式对时间求两阶导数即得：
A
B
C
D
mg
N
)c o ss i n(
2
c o s
2
2
l
y
l
y
C
C
初瞬时,0
c o s2ly C 有
而联立解出 N 并将 α=450 代入即可。
练习题,板重 P1，受水平力 F作用，沿水平面运动，板与平面间的动摩擦系数为 f ’。在板上放一重为 P2 的实心圆柱，圆柱与板间无相对滑动，求板的加速度。
F
O
解,拆开系统，分别研究。设轮心的绝对加速度为 aO,运动及受力如图：
再研究板：板的绝对加速度为 a1
OrFJ
PN
Fa
g
P
O
O
2
22
2
2
0
由平面运动的微分方程有：
211
121
1
0 NPN
FFFa
g
P
fNF
raa
11
10?
补充：
ε
x
y
练习题,均质圆柱体重 P，半径为 r，放在倾角为 600的斜面上，一细绳缠绕其上，圆柱体与斜面间的摩擦系数为 f =1/3 。求圆柱体沿斜面下落的加速度。
600
A
C
P
2r
B
解,研究圆柱体，分析受力：
T
F
N
由刚体平面运动的微分方程有：
rPrFJ
PN
TFPa
g
P
D
C
60s in2
60c o s0
60s in
D
此处,D为瞬心
ac
补充：
NfF
ra C
ε
第十五章 动能定理
§ 1,力的功动能定理描述了作用于物体上的力所作的功与物体动能变化之间的关系,
一、常力的功
F
S
α?c o sSFWα是力 F与位移之间的夹角。
功的单位为焦耳（ J）,1J=1Nm
二、变力的元功 M
F
ds c o sdsFW
dr
rF dW
y
o
x
z
r将 F与 dr投影到直角坐标轴上：
kjiF ZYX kjir zyxd ddd
zZyYxXw ddd
由功的定义知，功是代数量。
因此，变力 F在曲线路程上功的总和为：
)ddd(co s 2
1
s MM zZyYxXdsFwW
若物体上同时受几个力作用，则分别计算出每个力的功，其代数和即为总功。
三、几种特殊力的功
1、重力的功
y
o
x
z
M （ x,y,z）
P
)ddd(2
1?
M
M
zZyYxXW
21 Pd00 zz z
Ph
zzP
)( 12
PhW
重力的功与路径无关，而只与物体的始末位置有关,
2、弹性力的功
O
M （ x,y,z）
弹簧系数 k,原长 l0,一端系在固定点 O处,另一端沿任意曲线运动,
)( 0lk rF
00 )( rF lrk
rF dW
rr dlrk 00 )(-
rr d
r
lrk )( 0-
rr
rrrrrr
d
ddd
2
)(
而
r d rrdd 2)()( 22r
drlrk )( 0 -
r d rlrkW r
r
)(2
1
0
)(
2
2
2
2
1
kW
在任一点受力为,
201202 )()(2 lrlrk
F
3、转动刚体上力偶矩的功 z
ω
dφ
r
ds
dsFW
rdF
dm z
2
1
dMW z
当 Mz为 常力偶矩 时，有,
zMW
当力偶矩与转角同向时作正功，
异向时作负功。
4、万有引力的功万有引力定律为,
2r
MmfF?
则，万有引力的功为,
]11[
12 rr
fM mW
(推导从略 )
5、内力的功质点系内各质点之间的相互作用力称之为内力，内力总是成对出现，等值、反向、共线，其合力为零，然而,内力的功一般情况下却不为零！ （证明从略）
6、理想约束力的功不可伸长的绳索、刚性杆、光滑支撑面、光滑铰链、轴承、滚动支座等，其约束反力的元功之和恒为零！ 把这些其约束力不做功的约束称为 理想约束 。 即,理想约束的约束反力不做功！
7,只滚不滑的摩擦力不做功。
§ 2,质点的动能定理一、质点的动能
2
2
1 mvT?
动能是标量，恒取正值。
单位为焦耳 J 。
二,质点的动能定理
Fv?dtdm
两边同时点乘 dr
rFrv dddtdm
rFvv ddm
Wmvd)2(
2
WdT
即为质点动能定理的微分形式。
积分前式，有：
WTT 12
即为质点动能定理的积分形式。
§ 3,质点系的动能定理
1、质系的动能
2
2
1
iii vmTT
2、平动刚体的动能平动时刚体上各点的速度相等，质心 C点的速度为 vC，则平动刚体的动能为：
22 )(
2
1
2
1
Ciii vmvmT
2
2
1
CMvT?
M为质点系的总质量。
3、转动刚体的动能 z
ω2
2
1
ii vmT
2)(
2
1?
ii rmT
22
2
1?
ii rm
2
2
1?
ZJT?
其中,JZ为刚体对转轴的转动惯量。
与平动刚体的动能相对比，只需将对应的平动量换为转动量即可。
与质量 M相对应，转动惯量 JZ则是刚体转动惯性的度量。
4、平面运动刚体的动能刚体的平面运动可以分解为任选基点的平动和绕该基点的转动，
则以质心 C为基点，刚体的平面运动动能就等于随 质心 C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
22
2
1
2
1?
CC JMvT
5、质点系的动能定理设一质点系由 n个质点构成，对第 i个质点有：
i
ii Wvmd
2
2
对整个质点系，有：
WdT
i
ii Wvmd
2
2
则,即为质点系动能定理的微分形式。
积分上式，有：
WTT 12
即为质点系动能定理的积分形式。
动能定理主要用来求解 v,ω,a,ε，不能求反力！
2
2
1?
PJ?
P 为刚体平面运动的瞬心,JP为刚体对瞬心轴的转动惯量。
例,两均质圆轮如图所示，在重物 C的作用下，轮 A与水平面间只滚不滑，求重物 C由静止开始下降了距离 h时 A轮质心的加速度 aA。
C
A
B
解,① 研究整体，不要拆开；
② 只画主动力，不画约束反力；
③ 根据各部分的运动形式，
写出系统初始和末了的动能 T1和 T2；
01?T
系统初始静止，
2
33
22
2 2
1
2
1
2
1 vmJJT
BBAP
P
ωA ω
B
v3将动能整理成同一个运动参数的函数，即建立各运动参数间的关系：
3212 vrr BA
2
2
12
2
22
1
2
12 )
2)(
2
1(
2
1)
2
1(
2
1
211 r
rrmrmrmT A
A
2
13 )2(2
1
Arm
2
1321 )](422
3[
2
1
Armmm
2
2
1
AMv?
④ 计算系统在整个运动过程中所有力所作的功；
ghmW 3?
⑤ 代入动能定理：
WTT 12
ghmMv A 3221?
此式即可求出 vA,要求加速度 aA,直接将此式对时间 t 求一阶导数即可：
AA aMv
33 gvm? hgmvvM AA 322
1
32 vv A?
而
M
gma
A
32?
∴ 即为所求轮心 A的加速度。
PhMv A?2
2
1
讨论：
等效质量 等效力动能定理的最后表达式一般为：
求一阶导数后即为加速度，一般具有如下形式：
M
Pa
A?
§ 4,质点系动力学普遍定理的综合应用一,正确掌握各定理特征：
1、动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力，而与内力无关；
2,动量定理揭示质系质心的运动,反映系统移动时的动力学性质 ;
3,动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转动的动力学性质；
4,动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约束反力。
二、根 据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法：
1,如果给出了系统的始末位置，求 v,ω,a,ε，而不涉及约束反力时，用动能定理；（若涉及反力，也可先由动能定理求出 v,ω,a,ε，后用其他方法求反力）
2,求反力或绳子内力用质心运动定理；
3,对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程；
4,对平面运动刚体可用平面运动微分方程；
5,注意综合应用。
练习题,均质圆柱体重为 P，其中心 O绞接一重为 Q的均质直杆 OA，
放在倾角为 α的斜面上，轮子只滚不滑,OA杆的 A端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离 S时 O点的速度与加速度。
α
O
A
S
解,
22
2
1
2
1
2
1
0
oP v
g
Q
JT
T
s i n)( SQP W
P
22
2
1
4
3
oo vg
Qv
g
P
SPQ gPQ v o 32 s in)(42
PQ
PQga
32
s in)(2
0?
由于轮心 O作直线运动，将上式两端对时间求一阶导数得到：
练习题,均质圆柱体重为 P，放在倾角为 α的斜面上，只滚不滑，轮心 O处系一绳子，跨过重为 W的均质滑轮与重物 Q相连，两轮半径相等，系统初始静止，求轮心 O沿斜面下滑距离 S时 O点的速度与加速度。
解：
222
02
1
2
1
2
1
2
1
0
oAAP v
g
Q
JJT
T
SQP W )s i n(
222
2
1
4
1
4
3
ooo vg
Qv
g
Wv
g
P
P
α
O
A
S
Q
2
1
0
32
)s in(
2?
WPQ
gQPS
v
WPQ
QPg
a
32
)s in(2
0
)s i n(
2
32
2
1 2
0 QPSvg
WPQ
前式两端对时间求到，即得加速度：
练习题,长同为 l 的两根均质杆用铰链 B相连,C端沿光滑铅直墙壁下滑，当 AB由水平位置到达铅直位置时,BC到达水平位置，求该瞬时 C点的速度，系统初始静止。
B`
C
B
A
C`
解,
2
2 2
1
BBJT
01?T
系统到达终了位置时,B`,C`两点的速度分别为：
vB`
vC`
其速度瞬心为 B`点，即该瞬时 0?
Bv
l
v C
B
m g llmglmg W 2232
m g l
l
vml C 2
3
1
2
1
2
2
2
glv C 122
则 AB杆瞬时静止,0?
Av
而练习题,均质杆 AB长 l,B端放在光滑的水平面上,A端挂与固定点 D
处，现突然剪断细绳，杆自由倒下，初瞬时 α0=450，求 A端落地瞬时杆上 A,B两点的速度。
A
B
C
D
解,用动能定理 0
1?T
BA lv
0s i n2?
lmgW?
AB C
vC vA21
2
23
g
l
lv A
2
2 2
1
BBJT
A点着地瞬时，其速度瞬心为 B点，则 0?
Bv
例,质量为 m、半径为 r的均质圆柱体从 θ=0的位置由静止释放，沿半径为 R的大圆面只滚不滑，求圆柱体脱离大圆面时 θ=？
R
O
C
θ
解,脱离时，支反力为零，找出
N= f（ θ），令 N=0，
求力 先求加速度先用动能定理：
01?T
22
2 2
1
2
1
CCC mvJT
P
222
2
)
2
1
(
2
1
2
1
C
CP
mrmr
J
)c o s1)(( RrgmW
2
2 4
3
CmvT?
)c o s1)((43 2 Rrmgmv C
c o s
2
mgN
rR
vm C
分析轮受力：
mg
NF
由质心运动定理有：
)4c o s7(
3
mgN
脱离时：
7
4c o s,0N
练习题,长为 l、重为 Q的均质杆 AB的 A端与一半径为 R、重为 P的均质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦，
系统初始静止,θ0=450，而后自由下落，求轮心 A在初瞬时的加速度。
B
A
θ
解,
222
2
1
2
1
2
1
2
1
0
CCCPP v
g
Q
JJT
T
2
222
)
s in2
(
2
1
)
s in
(
12
1
2
1
4
3
l
vl
g
Q
l
v
l
g
Q
v
g
P
A
A
A
)s in( s i n2 0 lQW WTT
12
C
vA
vB
vC
P
]s in 13123[21 22?gQgPv A
D
)s i n( s i n2 0 lQ ]
s in
1
3
1
2
3[
2
1
2
2
g
Q
g
Pv
A?
上式两端对时间求导,
c o s]
s i n
c o s2
3
[]
s i n
1
3
1
2
3[2
3
2
2 Qlg
Qv
g
Q
g
Pav
AAA
s i nl
v A
C
而
AAAA vQg
Qv
g
Q
g
Pav
s i n
c o s]
s i n
c o s2
3
[]
s i n
1
3
1
2
3[2
3
2
2?
下滑的初瞬时,代如上式，则有, 450,
Av
gQP Qa A 49 3
练习题,半径为 r、质量为 m的均质圆盘在半径为 R=2r 的固定大圆内只滚不滑，求圆盘从位置 A无初速滚落到最低位置 B处时 C点的支承力及摩擦力。
A
B
C
mg
解,受力如图
N
F
mgN Σ F
r
v
m
m g r,Wmv,TT
nB
B
3
7
4
3
0
2
2
21
而
0
0
该瞬时
CC MJ
为求 ε，对瞬心 C应用动量矩定理：
为求 F，对质心 B应用动量矩定理,0该瞬时
0
F
F r
MεJ BB
练习题,长为 l、质量为 m的均质杆从水平位置无初速落下到图示位置 φ时，求杆的角速度和角加速度。
φ
O
A
C
mg
解,
2
2
2
21 62
10 mlJ,TT
O
s i n23 lg
lmgεml M J OO s i n231,2,即又
c o s2lmg W?
c o s32 gl
练习题,在上题中，求 O点的支反力。
X Ymglm OO c o ss in)(2
)c o s91(
4
1
)
4
s in3
2
c o s3
1( 2
22
mgmgY O
s i nc o s)(2 2 OO XmgYlm
φ
O
A
C
mg
解,受力如图
Σ Fma Σ Fma CnnC
Ca
n
Ca
2s i n
8
9 mg
X O
练习题,均质杆 OA长 l,重 P，杆端 A与半径为 R、重为 Q的均质圆轮的轮心绞接，不计摩擦，初始 OA水平，系统静止，求杆自由下落到与水平成 α 角时杆的角速度及角加速度。
O A
α
A`
解,
222
2 2
1
2
1
2
1
AAAOO vg
QJJT
01?T
下面寻求 ωO 与 ωA 及 vA 的关系，分析 A轮受力：
A
εA
Q
AAA Mε J? 0?
c o n s tε A A,?0 00 A?
O?lv A?
222
2 ]3
1[
2
1
Olg
Ql
g
PTs i n)
2( Ql
lPW
s in3 362 lgQP PQ c o s23
36
l
g
QP
PQ?
练习题,均质杆 AB长 l,A端铰接，杆自水平位置无初速下落，当杆通过铅直位置时，突然撤去铰链成为自由体，求：
1）此后质心的轨迹；
2）当杆的质心下落距离 h后，杆共转了多少圈？
AB
h
解,1）撤去支座后，质心为抛射体运动，杆作平面运动，故应先求出脱离时的速度和角速度。
2
2
2
21 62
10 mlJ,TT
A
2lmg W?
gl32
2
3
2
gllv
C
此时,ε=0,∴ ω=常量此时,aτ=0,∴ vc=常量
0
0
mg
脱离后由质心运动定理：
C
M
C
C
C
J
YyM
XxM
∴
l
g
gty
vx
C
C
cC
3
2
3
2
gll
tglx C 23?
2
2
1 gty
C?
∴
消去时间 t 即得质心轨迹为一抛物线。
t
l
g
C
3
当质心下降 h 后，即 yc =h，求出此时的 t,代入
φc,即可求出杆转过的弧度 φh 为
l
h
g
h
l
g
h
623
当质心下降 h 后杆转过的圈数为：
l
hn 6
2
1
练习题,两相同的均质滑轮，半径为 R、重为 P，用绳缠绕如图，系统由静止开始下落,求,1）质心 B的速度与下落距离 h 的关系；
2）质心 B的加速度； 3）若在 A轮上作用一逆时针的力偶矩 M，问在什麽条件下圆轮 B的质心将上升？
B
A
解,1）
222
2
1
2
1
2
1
2
1
0
BBBAA v
g
P
JJT
T
BDB Rvv 而
C
D
ωA
ωB
BA RR h
下来确定 ωA 与 ωB 的关系，为此，分别研究 A,B轮，
受力分别如图：
T
P
T
P
对 A轮应用定轴转动微分方程：
AAA MJ TR?
对 B轮应用相对与质心的动量矩定理：
BBB MJ TR? BA
由于系统初始静止，
将上式积分后有：
BA
BB Rv?2
2
2 8
5
Bvg
PT
PhW?
ghv B
5
8
2） 上式两端对时间求导后有：
ga B
5
4?
3）欲使 B上升，则需 aB ＞ 0
B
εBT
P
AεA
T
P
MA
aB
BDB Raa 而
BA RR
0 BA 要求
TRε J
TRMε J
BB
AA
而
0
BA J
TR
J
TRM 即
BA JJ? 而
TRM 2? 即
PTagP B同时 0?Ba 要
PT? 即
PRM 2
练习题,图示三棱柱 ABC重 P，放在光滑的水平面上，重为 Q的均质圆柱体 O沿斜面 AB滚而不滑，求三棱柱的加速度。
α
O
C B
A解,设三棱柱的绝对速度为 v1,
圆相对于三棱柱的相对速度为 vr，
圆的绝对速度为 vO
v1
vr
v1
vO
2
1
22
1
2
12
1
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
0
Orr Jvvvv
g
Q
v
g
P
T
T
)]c o s223)[(2 1 1221?rr vQvvQvQPg
下面寻求 v1 与 vr 的关系，系统动量在水平方向守恒：
y
x
)c o s(0 1121?rxx vvgQvgPkk,1c o s vQ QPv r
代入动能定理中：
)(]1c o s2 )(3[2 1 2122 QPvQ QPgT
s i nQsW? 式中 s 为圆柱体沿斜面的位移，
s in]1c o s2 )(3[2 212 QsvQ QPg QP
:,,则有并注意到上式两端对时间求导 rvs
g
α-QP
αQ
-a
)c o s23(3
2s in
2?
1
练习题,均质杆长 l,重 Q，不计摩擦，求到达任意位置 β时的角速度
ω、角加速度 ε及 A,B两处的反力。
C
B
A
β
解,
22
2
1
2
1
2
1
0
CCC v
g
Q
JT
T
P
vC
ωC
P点为杆 AB的瞬心
CC v
l
2
2
2
22
2 42
1
12
1
2
1
CC
l
g
Ql
g
QT
22
6
1
Clg
Q
)s i n1(21 Ql W
WTT 12
)s in1(3
l
g
C
C
上式两端对时间求导后有：
c o s23 lg?
C
B
A
β
P
vC
ωC
分析受力如图,N
A
NB
杆质心 C 的轨迹为一半径为
l/2 的圆弧，其圆心位于 O点。
O
加速度分析：
aan
aaτ
由质心运动定理有：
Fma
Fma
C
n
n
C
c o s)(s i n
s i n)(c o s
BA
BA
NQN
NQN
g
Qm?
2
2
2
l
a
l
a
C
n
C
其中：
Qβ
C
C
l
l
2
2
2
将前面求出的有关量代入，联立解出：
)]
3
2
( s i ns i n91[
4
)
3
2
( s i nc o s
4
9
Q
N
QN
B
A
练习题,质量为 m的两小环套在光滑的大环上，初始两小环静止于大环顶部，无初速释放，此时出现一有趣的现象：大环将上升。大环半径 R，质量不计。求大环开始上升时的 θ=？
o
θ θ
解,受力如图，先用动能定理
22
21 )(2
1
2
10Rmmv,TT
)c o s1( m g R W
)θc o s-(12 2 gR即
s i ngR
2 m gT Yym c)2(
mg
T
mg
由质心运动定理：
y
2 m gT )s i nc o s(2 2 RRm 即：
当 T=0 时有,0c o s2c o s3 2
3
2c o s即大环上升时练习题,图示均质杆 AB长 l，质量为 m1,杆的 B端固连质量为 m2的小球，
其大小不计。杆上点 D连一弹簧，刚度系数为 k，使杆在水平位置保持平衡。设初始静止，求给小球 B一个铅直向下的微小初位移 δ 0后杆 AB的运动规律和周期。
解,静平衡时，受力如图：
m2gm1g
kx0
给小球 B一个铅直向下的微小初位移 δ 0后，杆有一微转角 φ,
δ 0φ
OO MJ
3)3(2
0
021
lxkglmlgmJ
O
静平衡时，
320 021
lkxglmlgm
又，
l?0
33
llkJ
O
09
2
klJ O
为谐振动方程。
为一标准的常系数二阶齐次线性微分方程。
02 p
其解为：
)s i n ( 0 ptA
其中：
2
2
02
0 pA
为振幅，与初始条件有关
OJ
klp
9
2
为系统的固有频率
2
922
kl
J
p
T O
为系统振动的周期即为系统的运动规律，也即振动方程练习题,平面机构由两均质杆 AB和 BO组成，两杆长均为 l，质量均为 m，位于铅直平面内。在 AB杆上作用一常值力偶矩 M，设系统初始静止，求系统由图时位置运动到 A端碰到 O点瞬时 A点的速度。
解,
θ θ
M
O
B
A
P
O
B
A
P
分析 AB
杆的速度瞬心：
22
21 2
1
2
10
PPOO JJ,TT
)c o s1(22 lmgM W
22222 ])
2
3(
12
1[
2
1
3
1
2
1
PO
lmmlml
22
6
7
6
1
BB mvmv
2
3
1
Amv?
)c o s1( m g lM
] )c o s1([3 2 m g lMmv A
§ 5、势力场、势能、机械能守恒定律力场,设质点在某一部分空间中处处受到力的作用，且力的大小和方向唯一地取决于该质点所在的位置，则这部分空间称为力场
（与电场、磁场类似）。
一、名词概念势力场,当质点在某力场中运动时，若作用与该质点上的力所作的功只与该点的始末位置有关，而与质点运动的路径无关，则该力场称为势力场，该力称为有势力。
如重力场、弹性力场、牛顿引力场等均为势力场。
势力场也称保守力场，有势力又称保守力。
势能,在势力场中，任意选定某一位置作为基准位置 —— 零位置 (零势能面 )，当质点 从任意位置到达零位置 时有势 力 所作 的功 称为质点在给定零位置的势能。 用 V表示。
二、常见几种势力场中的势能
1、重力场中的势能 通常以地面为零势能面，当物体位于地面以上 h 位置时，则势能为,V = mgh
2、弹性力场中的势能 取弹簧无变形时的位置为零位置，当弹簧的变形为 λ 时，其势能为：
2
2
1?kV?
3、牛顿引力场中的势能 通常取无穷远处为零势能位置，则在任一处 r 的引力势能为：
0,)(21 22221 1 kW?
)11(
12 rr
fM mWrfM mV
由此可见，质点的势能可以表示为质点位置坐标的函数，该函数称为 势能函数,表示为：
),,( zyxVV?
在势力场中，势能函数相等的各点构成一曲面，该曲面称为 等势面,即：
CzyxV?),,(
三、机械能守恒定律
yx
z
o
M1 M2
在势力场中,当质点由位置 M1运动到 M2位置时，若取 O为零位置，则有势力在此过程中所作的功为：
2121 VVW MM
2100
2010
2121
21
VVWWW
VWVW
MMMM
MM
由动能定理有：
2112 21 VVWTT MM
2211 VTVT
即由于 1,2位置是任选的，所以，上式在任意位置均成立，即：
co n s tVTVT 2211 即为 机械能守恒原理 。
若质点系还受非有势力的作用，则机械能将不再守恒。
§ 6、功率、功率方程、机械效率
1,功率,单位时间内力所作的功。用瞬时值定义为：
c o s Fv
dt
d
dt
W
N
vF
rF
单位：焦耳 /秒 = 瓦 1w = 1 J/ s = 1Nm / s,
工程中常用 马力 1 公制马力（ PS） =735.5 w
1 英制马力（ HS） =745.7 w
作用在转动刚体上力的功率
zz Mdt dMdtWN
2,功率方程,任何机器工作时必须输入一定的功，同时，在机器运转过程中要克服阻力而消耗一部分功。因此需要研究功率与机器运动之间的关系。
质点系动能定理的微分形式为：
WdT
两端同除 dt 有,
Ndt WdtdT
即为 功率方程 。
而无出入 NNNN
无出入 NNdt
dTN即即：对系统输入的功率就等于有用功率、无用功率及系统动能变化率的总和。
有用功率当机器启动时,则要求无出入 ＞＞ NNNdt
dT? 0
当机器正常运转时,则要求无出入 NNNdt
dT 0
当机器制动减速时,则要求无出入 ＜＜ NNNdt
dT? 0
3,机械效率,工程中，把有效功率（包括克服有用阻力的功率及使系统动能改变的功率）与输入功率的比值称为机器的机械效率。
1 输入功率有效功率第十六章 达郎伯原理
（ D’Alemberte)(动静法 )
§ 1,质点的达郎伯原理
m
F
N
ma
ma=F+N
F+N- ma=0
令 G = - ma
F+N+G=0
称为 惯性力,则有：
即为质点的 达郎伯原理 。
上式在形式上是一个平衡方程,G 具有力的量纲，是质量和加速度的乘积，因此称为惯性力。
惯性力是人为地、假想地加上去的，并不真实的作用在物体上。
达郎伯原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题,它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。
G
例,动画图见下页。求绳子的拉力 T和倾角 α。
a
α
m
αm
mg
T
ma
解,动静法的解题方法与静力学同．
1).取研究对象 ---力系的汇交点 m
3).建立坐标系
4).列出对应的静力学平衡方程
0
0
Y
X
5).解方程
2）作受力图主动力；
约束反力；
施加惯性力
x
y
惯性力直接与加速度方向画反向，方程中不再代,-”号。
0s i nTma
0c o sTmg
gatg /
22 )/(11 gamgtgmgT
§ 2,质点系的达郎伯原理一、质系的达郎伯原理设一质点系由 n个质点构成，其中第 i个质点的质量为 mi，其上作用有主动力 Fi，约束反力 Ni，再给该质点加上惯性力 Gi= - miai，
则由质点的达郎伯原理有：
0 iii GNF
也即，作用在第 i个质点上的力系为一平衡力系。对于整个质点系，
共有 n个上式，也即质点系中作用于每一个质点上的力系均为平衡力系，则对整个质点系来讲，其整体受到一平衡力系族的作用。
由力系的平衡条件有：平衡力系向任一点简化其主矢和主矩均为零。即：
0 iii GNF
0)()()( ioioio GmNmFm
即为 质点系的达郎伯原理 。
对于离散的质点系，应用时改为投影式，与静力学平衡方程同。
二、刚体惯性力系的简化刚体由无数个质点构成，若对每点去施加惯性力其难度则不难想象。因此，对于刚体的惯性力系，则应设法将其简化。
1、平动刚体 （动画图见下页）
平动时，同一瞬时各点的加速度相同，用质心的加速度 aC表示，
则 平动刚体的惯性力主矢 为：
CiCiii mmm aaaG )(
CM aG
加在质心 C。 （用平行力系中心理论）
主矩为零。
2、转动刚体
（这里只讨论具有垂直于转轴的 质量对称面 的刚体）
z
O
ω
ε
miri
n
iim a
iim a
miri
n
iim a
iim a
设具有质量对称面的刚体绕 z轴转动，
其对称面为过点 O且与 z轴垂直的平面。
x
y
ωε
O
2?
ii rm
iirm
ir
mi
在质量对称面 xoy面上，所有惯性力分为两大类：一是汇交于转轴的离心惯性力系；二是任意分布的切向惯性力系。
将所有惯性力 向转轴 o简化,
x
y
ωε
O
2?
ii rm
iirm
ir
mi
2iiiii rmrrm?
其结果为：
1）作用于 O的 离心惯性力主矢,
n
C
c
ii
n
O
M
M
m
a
r
rG
2
2
2）作用于 O的 切向惯性力主矢,
C
c
iiO
M
M
m
a
r
rG
3） 惯性力主矩,
z
iiO
J
rmM
2
整理上述结果，得：
转动刚体的惯性力主矢
CO M aG -?
加在转轴 O，方向由 O指向质心 C。
转动刚体的惯性力主矩
zJM -?
Jz 为对转轴 Z 的转动惯量,M 的转向与 ε相反。
几种特殊情况：
① 转轴不通过质心,ω匀角速转动：
0a 0;ε τc
n-
c
n
OO M aGG
只有主矢，仍加在转轴 O，没有主矩，
② 转轴通过质心,ω不匀：
CJM -?
只有主矩,O,C重合为固定点，没有主矢
0a a τcnc
③ 转轴通过质心,ω匀：
0;a 0;a 0;ε τcnc主矢、主矩均为零。
3、平面运动刚体 （动画图见下页）
（这里只讨论具有 质量对称面 的刚体，且刚体平行于此对称面作平面运动）
刚体的平面运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，设质心的加速度为 aC、刚体平面运动的角加速度为 ε，则 平面运动刚体的惯性力 可 向质心简化 为 一个主矢和一个主矩,
CC M aG -?
CJM -?
加在质心 C，方向与质心加速度方向相反。
转向与角加速度方向相反。
α
B
A
M
PA
PB
解,
①,物系，应拆开分别研究。
②,先研究 B，作受力图：
YB
XBT
B轮作定轴转动，质心与转轴重合，惯性力主矢为零，加惯性力偶矩，列静力学方程：
εB
JBεB
例,（原动量矩定理中的题目）如图所示，两均质圆轮半径分别为
rA和 rB,重为 PA和 PB,鼓轮 B上作用主动力偶矩 M,A轮与斜面间无相对滑动，求 B轮从静止开始转过 φ角时的角速度 ωB及支座 B处的反力。
0
0
0
B
Y
X
M 0
BB JrTM?B
（ 3）
α
B
A
M
PA
PB
YB
XBT
εB
JBεB
0s i n
0c o s
TPY
TX
BB
B
（ 1）
（ 2）
x
y
③,再研究 A，作受力图：
作平面运动，加惯性力，
列平衡方程：
0
AM
0Y
0X
0s inAAA PTFa
g
P
0 AAA FrJ?
（ 4）
（ 5）
5个方程,7个未知量，再补充运动学关系：
AAA ar
BBAA rr
（ 6）
（ 7）
以上 7个未知量均可求解。从中解出 εB为常量，则有：
B202B 2
N
T
F
εAJAεA
AA am
例,用三根长度同为 l的细绳将重为 P的均质木板挂在水平位置如图，
现突然剪断 BD，求该瞬时其余两根绳的拉力及板质心的加速度。
A B
C
F E D
解,剪断后,AB平动，
惯性力加在质心，剪断瞬时,an=0
P
TA TB
l
g
mgp
ml
pma
2
22
45c o s
4
2 pTT
BA
例,如图所示，均质杆 AB长为 l，重为 P；曲柄 O1A=O2B=r，曲柄重量不计并以匀角速 ω0 转动，求,1）杆 AB运动至最低位置时其质心
C的速度与加速度； 2）该瞬时曲柄作用于杆 AB上 A,B两点的反力。
解,AB平动，
1） vC= vA = r ω0
P
0 BA XX
A B
C
O1 O2
ω0
aC= anA = r ω20
2） AB受力如图：
加惯性力如图：
考虑 O1A（或 O2B）杆，其无质量，
故均为二力杆，或用
)11(
2
1 2
0?rgPYY BA
11 OO MJ
例,质量为 m、半径为 R的均质圆轮在水平面内只滚不滑，轮心 O处系一刚度为 k 的弹簧，弹簧的另一端系于固定点 A处。当弹簧无变形时，圆轮静止。现将圆轮向左拉动 l 后无初速释放，回答下列问题：
A O
l1、轮心的最大速度
2
2
1
4
3
0
xmT
T
解：建坐标如图
22 )(2 xllkW
( 1 ) )(243 222 xllkxm
l
m
kv
lxO 3
2
ma x
x x
2、圆轮的最大角速度
R
l
m
k
R
v
3
2ma x0
ma x?
3、圆轮的最大动量
lmkMvk C
3
2
ma xma x
4、圆轮对质心的最大动量矩
Rlmk
R
l
m
kmRJH
OO 63
2
2
2
ma xma x?
5、圆轮的最大动能
22
m a x0m a x 2
1
4
3 klmvT
6、圆轮对地面的压力
mgN?
7、圆轮与地面间的摩擦力的最大值将（ 1）式对时间求导有：
( 1 ) )(243 222 xllkxm
))((2223 xxlkxxm
( 2 ) )(32 xlmkx
320m a x lmkxx x
3 2m a xm a x lmR kRx
mg
N
F
S
ε
O
FR0 OMJ?
3
m a x
m a x
kl
R
JF O
8、圆轮的固有频率整理（ 2）有：
( 2 ) )(32 xlmkx
( 3 ) 3232 lmkxmkx
（ 3）式即为单自由度强迫振动的运动微分方程，其变量 x前面的系数即为系统自由振动的固有频率 ω的平方。
m
k
3
2
9、圆轮的惯性力主矢的最大值
3
2
m a xm a x
klxmG
10、圆轮惯性力主矩的最大值
3m a xm a x
R k lJM
O
第十七章 虚位移原理（虚功原理）
§ 1,约束方程及其分类虚位移原理为解决受约束质点系（非自由质点系）的平衡问题提供了一种新的方法。另外，虚位移原理更重要的意义还在于它为分析力学的形成和发展奠定了基础。
约束：限制质点系运动（位置和速度）的条件。
约束方程：将约束对质点系的运动的限制用质点系中各质点的位置坐标或速度的数学方程来表示，此方程即称为约束方程。
x
y
o
l
m
例 1：单摆：约束方程为：
0222222 lyxlyx 或
(x,y)
例 2：四连杆机构：约束方程为：
l1
l2
l3m1
m2
x
y
（ x1,y1）
（ x2,y2）
0212121 lyx
0
0)()(
2
3
2
2
2
2
2
2
2
21
2
21
lyx
lyyxx
约束方程的一般形式为,
0);,,;,,(?tzyxzyxf
根据约束方程所含的参数的不同，可将约束分为如下几类,
1、定常约束（稳定约束）,约束方程中不显含时间 t
非定常约束（不稳定约束）：
2、单面约束（非固执约束）,只限制一个方向的运动双面约束（固执约束）：
3、几何约束,约束只限制各质点的几何位置，而不限制速度运动约束：
4、完整约束,几何约束和可以积分成有限形式的运动约束非完整约束：
本章只讨论定常的双面几何约束，其约束方程的形式为：
0),,(?zyxf
§ 2,自由度、广义坐标一、自由度设质点系由 n各质点构成，则需 3n个直角坐标来确定其位置，若质系受到 s个完整约束，则此 3n个坐标必须满足这 s个约束方程：
s j
nizyxf iiij
1
1 0),,(
而只有（ 3n-s）个坐标是独立的。要描述此质点系的位置，只需
k=3n-s个独立的坐标即可。
把完全确定质点系位置的独立坐标的个数称为质点系的 自由度数 。
（此定义只适用于完整系统）
例,曲柄连杆机构
φO
A
Br
l
y
x
（ xA,yA）
（ xB,yB）
0
0)()(
0
222
222
B
BABA
AA
y
lyyxx
ryx
约束方程有：
4个坐标,3个约束方程,1个自由度。
定轴转动刚体有 1个自由度,φ
平面运动刚体有 3个自由度,xc,yc,φ
空间自由刚体有 6个自由度,x,y,z,φ,θ,ψ
二、广义坐标有时用直角坐标表示系统的位置并不方便。如上图中，用 φ作参变量，则可方便唯一的确定系统的位置。各坐标可表为 φ的单值连续函数：
0
s inc o s
s in
c o s
22
B
B
A
A
y
rlrx
ry
rx
2
通常可根据系统的具体情况选取适当的参数来表示系统的位置，
把唯一确定系统位置的独立参数称为 广义坐标 。显然，在完整系统中，广义坐标的数目就等于系统的自由度数。
§ 3,虚位移及其计算设一质点受到固定曲面 f（ x,y,z） =0 的约束，在某时刻 t，
该质点的位置矢径为,r = r（ t）
y
o
x
z
r
δr
n,曲面在该点处的外法线
f（ x,y,z） =0
定义,在给定瞬时，质点为约束所允许的无穷小位移称为质点的 虚位移,用
δr表示。
δ表示等时变分。
为约束所允许的位移即位移发生在该约束曲面上，
该位移仍满足约束方程，
但它不需要经历时间，即在时间不变的情况下发生，
这是一种虚设的位移，它不破坏约束，则可 在该点附近的曲面的切平面上的任意方位发生,因而虚位移通常是一组，而不是一个。
dt是时间间隔，对应的 dr是真实位移,在定常约束的情况下，实位移是虚位移中的一个，也即，虚位移中包含实位移。
虚位移也可定义为 满足变分约束方程的矢径的变分 δr 。
由此可知，约束曲面上的点的虚位移有无限多个，而曲线上的点的虚位移只有两个。
对于质点系，由于各质点之间有一定的约束，所以，质点系内各质点的虚位移也必满足约束方程，其中 独立的虚位移的个数等于质点系的自由度数 。确定系统的虚位移通常有两种方法：
1、几何法：
借助于求实位移的方法，根据约束确定各虚位移间的关系，并注意应用 位移投影定理,刚体上任意两点的虚位移在该两点的连线上投影相等 。
φO
A
Br
l
Ar?
Ar?
Br?
Br?
α
β
co sco s BA rr?
2、坐标变分写出各质点的位置坐标作为广义坐标的函数（即约束方程），
对其变分一次即为各点的虚位移在坐标轴上的投影。
φO
A
Br
l
y
x
（ xA,yA）
（ xB,yB）
0
s inc o s
s in
c o s
22
B
B
A
A
y
rlrx
ry
rx
2
0
]
s i n2
2s i n
s i n[
c o s
s i n
22
2
B
B
A
A
y
rl
r
rx
ry
rx
2
§ 4,虚功、理想约束虚功,作用在质点上的力 F 在其作用点处的虚位移 δr上所作的功：
rFW理想约束,某些约束的约束反力在其对应的虚位移上的虚功之和为零，这样的约束称之为理想约束。
0 rN W在无特别声明的情况下，常见约束均为理想约束。
§ 5,虚位移原理具有完整、双面、定常、理想约束的质点系在给定位置上平衡的必要充分条件是：主动力系在质点系任意虚位移上的虚功之和等于零。
0 iiW rF
其解析式为：
0)( iiiiii zZyYxX
用途：主要用来求平衡时某些主动力（也可求约束反力及摩擦力）。
优点：不考虑约束反力（除非需要时）。
（证明从略）
例,图示平面曲柄连杆机构，求在 φ=300,∠ OAB=900位置平衡时 P
与 M的应满足的条件。
φO
A
B
r l
M
P
解,
①,以整体为研究对象，若不求反力则不必拆开；
②,画出所有主动力（若需求某一约束反力，则解除该约束代之以对应的反力并视其为主动力）；
③,给系统一虚位移，找出各力作用点处虚位移间的关系（若各处虚变形不易观察，则建立该点坐标，对坐标变分一次即为其虚位移（坐标原点应选在无虚位移的固定点））；
rrr BA c o s
④,计算各主动力在对应的虚位移上所作的虚功，代入虚位移原理。
0 ii rF? 0 BrPMW
Ar?
Br
⑤ 消去独立的虚位移，求未知量：
c o s
rPM?
PrM
3
2
例,图示平面等腰三角形机构，在 C点作用主动力 P,系统处于平衡，
求 A,B两处的约束反力。
解,P
A B
C
φφ
A,B两处共有 4个反力，应逐个求之。先求哪个反力，则解除该方向的约束，代之以对应的反力。
暂时不求的则不要解除，仍保持原约束的性质。
这里先求 XA：解除 x方向的约束，代之以对应的反力 XA,y方向约束不变。
P
A B
C
φφ
XA
给 A处一虚位移 δrA,则：
δrA
δrC
)]2180(90c o s [s i nCA rr
co ss i n22s i n CC rr
co s2 CA rr?
P
A B
C
φφ
XA
δrA
δrC计算虚功：
0s i n CAA rPrXW
tgP
r
rPX
A
C
A 2
s in
求 XA也可用坐标变分，坐标原点取在 B点。 坐标原点不能取在动点！
再求 YA,同学们做。求 YA不可用坐标变分，因为 yA=0.
例,图示连续梁，求固定端 A处的约束反力。
解,先求反力偶矩
MA,解除约束如图：
P
2a
GFEDCBA
aa/2 a/2 aa
P
P
GFEDCBA
PMA
0 FCA rPrPMW
0?AM
再求 XA,解除约束如图：
P
GFEDCBA
P
XA
Ar?
0?AX
再求 YA,解除约束如图：
0?AY
P
GFEDCBA
P
YA
Ar?
HG
FE
DC
BA θ
P
例,图示静定桁架，求 1,2,3
杆的内力。
解,先求 S1,解除 1杆约束如图：
S1
HG
FE
DC
BA θ
P
1 2
3
Er?
Gr?
0s i n1 GE rPrSW
co sGE rr?
P t gS?1
HG
FE
DC
BA θ
P
再 求 S2,解除 2杆约束如图：
S2 Fr?
Gr? 0c o s
1 GF rPrSW
GF rr
c o s1
PS?
S3请同学们自己做。
参 考 文 献
1,哈尔滨工业大学理论力学教研组,理论力学 (下册 ),北京,高等教育出版社,1997
2,湖南大学工程力学系李丽娟等 理论力学多媒体 CAI教程,北京,
清华大学出版社,1998
O
300
≠ ＜ ＞t1＜ t ＜ t2
G
β θ ε Σ
④ ⑤ ⑥
∵ ∴ ∞ ≤ ≥ ≈
∑
① ②
≡0
①
α
N
t1＜ t ＜ t2
S
T
τ,n τ,nτ,n
vr
va
vB
300
A
①
mg
YO
XO
T
①②③
④⑤⑥ ⑤ （ x1,y1）
y
x（ xA,yA）
δrA
RA Rε
0 Rω2
Rω2 2Rε
aaτ
aana
r
Ca
n
Ca
Ca
n
Ca
ve
vC
ve
q=15kN/m M=20kN·m
y
运动学 研究物体运动的几何性质，而不追究引起物体运动的原因 ;
动力学 将力与运动联系起来，研究作用于物体上的力与物体机械运 动之间的关系。
动力学知识被广泛地应用于机械的设计、制造，矿山的建设、开采，
房屋建筑、水利工程、航空航天等各个方面。
为了研究上的方便，把所研究的物体抽象为质点和质点系（主要是刚体）两大类。
质点：
质点系：
刚体：
第十二章 质点运动微分方程
§ 1,动力学基本定律一、牛顿三定律,
第一定律,惯性定律第二定律,
第三定律,作用力与反作用力定律
m
Fa?
① 加速度 a是矢量 ;
② 加速度与力的关系是瞬时的，加速度随力的变化而变化 ;
③ 当力不作用时，加速度为 0，速度为常矢量，此时物体做惯 性运动，与第一定律相符 ;
④ 对于质量相同的质点，作用力愈大，获得的加速度愈大 ;
同样大的力作用于不同的质量的物体上，质量大的加速度小，质量小的加速度大。即，质量越大，物体的运动状态越不易改变，也即物体的惯性越大。所以，质量是物体惯性的度量。
国际单位制中,力 N,kN
质量 kg
长度、质量、时间为基本单位，力的单位是导出单位。
gp m?
二、惯性系,
牛顿定律不可能适用一切参考系，而只能适用于“绝对运动”
的参考系，古典力学中，认为地球不动（地心学）而将其作为牛顿定律的参考系，也称作为惯性参考系。当天体力学发展起来以后，
又不能以地球作为惯性参考系，而以太阳或其它恒星作为惯性参考系，但在地球表面附近，牛顿定律仍然适用。因此，得出一个抽象的结论,适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。 用起来又太抽象，以后，若无特别声明，则以地球为惯性参考系。
在地面附近，物体都要受到重力 P的作用，由 有
m
Fa?
§ 2,质点运动微分方程（质点动力学基本方程）
Fa?m一、直角坐标形式
kji
kji
ZYX
F
a zyx
三、动力学两类基本问题：
1.已知运动求力,正问题,求导 ;
2.已知力求运动,逆问题,积分,
Yym
Xxm
Fma
Fma nn
)v(FF).3
)t(FF).2
CF).1
)x(FF).4?
)x(Fdtdxdxdvm
dx)x(Fm v d v?
二、自然坐标形式直接积分变形
)x(Fdtdvm?
例 1,矿井中的罐笼内装有质量为 m的物体，现以匀加速 a提升罐笼，
求物体 m受到的约束反力。
a
m
解,动力学的解体思路与静力学的类似，只是把列静力平衡方程换为列运动微分方程。
①,取研究对象,物体 m
②,画受力图：
mg
N
③,建坐标,
0
x
④,列运动微分方程,
Σ Xxm
mgNma
∴ N= mg+ma
其中,mg为静反力,ma为动反力,
属于已知运动求力之情形,
⑤,解方程,
例 2,炮弹以初速 v0发射，不计阻力，求炮弹在重力作用下的运动,
α
解,研究 (任意位置时而不能是特殊位置时的 )炮弹，作受力图，
mg
y
o
x
Yym
Xxm
= 0
= -mg
属第二类问题，力是常量,直接积分,
2
1
cgty
cx
= v0cosα
= - gt + v0sinα
40
2
30
)s in(
2
1
)c o s(
ctvgty
ctvx
即为炮弹的运动方程消去时间即为轨迹方程进而可以讨论最高射程，最远距离等,
例 3,质量为 m的机车在水平面内沿曲线轨道由静止开始运动，牵引力 F=1.2t（ kN），常值阻力 R=2kN，求机车的运动规律。
O （ +）
S
解,受力分析，牵引力 F=1.2t（ kN）
常值阻力 R；重力和地面支反力均沿铅直方向，不予画出；轨道在水平面上沿曲率半径有一支反力。 F
R
Nn
nn
2
NF
s
m
RFFsm
从第一式出发，
dt)2t2.1(smd
s
0
t
3
5 dt)2t2.1(smd
t0不从 0开始,在 t=0时,
F=1.2t=0,t增 F随之增,
直到 F≤R=2kN之前,
机车静止,已用去时间 t=2/1.2=5/3秒,此后机车开始运动,才可用动力学方程,
3
5t2t6.0sm 2
3)
3
5t(
m
2.0s
即为机车的运动方程,
(其他类型的例题见教材 )
第十三章 动量定理
Zzm
Yym
Xxm
质点运动微分方程的直角坐标形式为,
已经看到，对一个质点的运动微分方程的积分在有些问题中已很困难,若对一由 n个质点所构成的质点系，则需列 3n个这样的微分方程组，其难度可想而知,
与运动特征相关的量 —— 动量、动量矩、动能与力特征相关的量 —— 冲量、力矩、功 关系动力学普遍定理动量定理动量矩定理动能定理重点研究刚体在各种运动形式下的运动微分方程
sNsm / skgm / skg 2
§ 1,质点的动量定理
1.质点的动量,k=mv 矢量,量纲为,
2.力的冲量,S =F t 矢量,量纲为,N s
前式中,F为常力,若 F为变力，
则为元冲量,dS =F d t
12tt dtFs
3,质点的动量定理,
Fa?m
Fv?dtdm
dt)d ( m Fv?
sk dd? 即为质点的动量定理的微分形式,
skk?12 -
其积分式为,即为质点的动量定理的积分形式,
将上式投影到直角坐标系上有,
x
t
t x1x2x
sdtFmvmv 2
1
z
t
t
z1z2z
y
t
t
y1y2y
sdtFmvmv
sdtFmvmv
2
1
2
1
若在运动过程中，作用在质点上的合力恒为 0，则该质点动量守恒,
0 12 mm vv
若在运动过程中，作用在质点上的合力在某轴上的投影恒为 0，则该质点在该轴上动量守恒,
0 1x2x mvmv
0
0
1z2z
1y2y
mvmv
mvmv
例,锤重 Q=300N，从高度 H=1.5m处自由落到锻件上，锻件发生变形，历 时 τ=0.01s,求锤对锻件的平均压力,
H
解,研究锤，分析受力,
Q锤由高 H 处自由落下所需时间,
g
H2t?
y
建投影轴，列动量定理,
y1y2y smvmv
ττ,)τ(,*y21 NtQ s,0vt0v )(而时间后经过
kN9.16)1
τ
( tQN *
§ 2,质点系的动量定理
1,质系的动量,
iim vK
2,质系的动量定理,··
·
· ·
···mi
mivi
eiF
iiF
dt)()m(d iieiii FFv
对于第 i个质点有,
dt)()m(d iieiii FFv
dt)()m(d iieiii FFv
dtd FK
FK
dt
d
或
0
即为质点系动量定理的微分形式
SFKK 2
1
t
t
dt12
即为质点系动量定理的积分形式将上式投影到直角坐标系上有,
x1x2x SKK
若在运动过程中，作用在质点系上的合力恒为 0，则该质点系动量守恒,
0 12 KK
若在运动过程中，作用在质点系上的合力在某轴上的投影恒为 0，
则该质点系在该轴上动量守恒,
0 1x2x KK
0
0
1z2z
1y2y
KK
KK
z1z2z
y1y2y
SKK
SKK
通过上面的讨论看出,只有外力才能使质点系的动量发生变化，而 内力不能改变整个质系的动量 ;但是，内力可以改变质点系内部分质点的动量,对仅受内力作用的质点系，如果其中某一部分的动量发生变化，则另一部分的动量也必然变化,
§ 3,质心运动定理
M为质点系的总质量，
VC为质点系质心 C的速度CMV iim vK
质量中心 —— 质心：
i
ii
C p
ypy
i
ii
C p
xpx
i
ii
C p
zpz
i
ii
i
ii
C Σ m
xΣ m
gΣ m
gxΣ mx
i
ii
C Σ m
yΣ my?
i
ii
C m
zmz
Σ
Σ?
kjir CCCC zyx
i
ii
i
iiiiii
C Σm
m
Σm
zmymxm rkji
r
由重心坐标公式有：
即为质心的坐标公式，而其矢径为：
M
ii r
质点系的动量
FKdtd
由质系的动量定理,
FVdtMd C )(
FaCM
YyM
XxM
C
C
FMa
FMa
c
n
c n
有：
即为质心运动定理，其投影式为：
若作用在质点系上的合外力 ΣF=0，则 ac=0,VC=常量，即质系的质心做惯性运动；若初始 vc= 0，则质心保持静止不动。
若作用在质点系上的合外力在某轴上的投影 ΣX=0，则 acx=0，
Vcx=常量，即质系的质心在该轴方向做惯性运动；若初始 vcx= 0，
则质心在该轴方向保持不动。也即质心在该轴方向运动守恒。
例,电机的外壳固定在水平基础上，定子重 P，转子重 p，偏心距 e，
以匀角速 ω绕 O1转动，求基础的支座反力。
P p
ω
e
解,已知运动求力研究电机整体所构成的质点系，主动力已有，画约束反力，
M
建坐标轴，
y
o
xωt
质心坐标为：
Σ
Σ
i
ii
C m
xm x?
i
ii
C Σ m
yΣ my?
p
p
P
tc o se0P
p
p
P
ts ine0P
p
p-x
c?
P
tc o se 2
p
p-y
c?
P
ts i ne 2
YyM
XxM
C
C
代入质心运动定理，即可,
列动力学方程,
p
p
p-pP
p
p-pP
PR
P
ts ine
g
R
P
tc o se
g
Y
2
X
2
g
ts ine
PR
g
tc o se
R
2
Y
2
X
p
-p
p
基础的支座反力为：
静反力动反力例,静止的小船上，一人欲上岸，由船尾走向船头，设人重 P，另两人和船共重 Q，船长 l，岸边无外力且不计水的阻力，求船的位移。
解,研究人、船组成的质点系，分析受力：
P
Q
l
所有外力均沿铅直方向,水平方向合外力投影为零 。
由于系统原处于静止，根据质心运动守恒定理，则系统的 质心在水平方向保持不动 。
d
y
o
x
s
设 人前行 l 时船后移距离为 s
则移动前
QP
)d
2
(Q)d(P
x 1C
ll
则移动后
QP
)sd
2
(Q)ds(P
x 2C
l
2C1C xx?
QP
Ps
l
§ 4,流体在管道内流动时对管壁的动压力设不可压缩的流体在管道内 稳定流动 （定常流动，即管内流体质点在流过同一位置处时的速度和压强都不随时间改变，但各点的速度可不同），流量为 Q（单位时间内流过的体积,m3/s，等于面积乘流速），流体的密度为 ρ（单位体积内的质量），任取一段管道研究，该段管道两端截面面积分别为 s1,s2，流入、流出两截面的流体速度分别为 v1,v2,
A
B
C
D
分析受力：
WN
s1
P2
v1
v2
P1
s2
t 时刻，流体位于 ABCD段，
经过 Δt 时间间隔后，流体流到 A'B'C'D'段，则动量的改变为：
BAABDCCD
CDBABAABDCCDCDBA
A B C DDCBA
)(
KK
KKKK
KKK
11111
22222
tQ)tvs(
tQ)tvs(
vvK
vvK
vK
BAAB
DCCD
m?
)( 12 vvKKK BAABDCCD tQ?
tFS K 而
t )( 2ppNW 1
)()(ρ 2112 ppWvvN Q
上式即为流体对管壁的全反力。
动反力 静反力
)( 12 vvN ρQ
其投影式为：
)(ρ
)(ρ
1y2yy
1x2xx
vvN
vvN
Q
Q
例题见教材,
流体在管道内流动时对管壁的附加动反力为：
第十四章 动量矩定理
§ 1,质点的动量矩定理如前章所述，外力的主矢将引起质点系的动量和质心位置的改变。而我们知道，作用于质点系的外力向一点简化后，得到一主矢和一主矩。那末，主矩对质系的运动有何影响呢？
m
mv
y
o
x
z
牛顿第二定律有：
Fv?dtdm
设该质点在惯性坐标系中的矢径为 r
Frvr dt )d ( m而：
dt
)d ( mm
dt
)d ( mm
dt
d
dt
)md( vrvvvrvrvr
Fv?dtmd )(
变形为：
则在上式中两端左乘 r,得
Frvr dt )md(
即为质点的动量矩定理,o
o
dt
d
m
h
:即
.的力矩O对固定点F为作用在质点上的合力;的 动动量O为质点对固定点
Frm
vrh
o
o m
其中,
投影式为,
z
z
y
y
x
x m
dt
dhm
dt
dh
m
dt
dh
若在运动过程中,作用在质点上的合力对固定点 O的矩恒为 0,则该质点动量矩守恒,h 0 =常数若在运动过程中,作用在质点上的合力对某固定轴的矩恒为 0,则该质点对该轴的动量矩守恒,hz = 常数
§ 2,质点系的动量矩定理
1、质系的动量矩
)( ii0 vrhH io m
投影式
)(ΣΣ vmmhH iizzz
2、转动刚体对转轴的动量矩
z
ω
质点 mi对 z轴的动量矩为,
2iriiiiiiiz mrmr vmrh
整个刚体对 z轴的动量矩为,
)r(r 2i2i iizz mmhH
即，转动刚体对转轴的动量矩为,
zz JH
其中,为刚体对转轴的 转动惯量,
为一常数,
2ii rmzJ
y
o
x
z
3、质点系的动量矩定理
··
·
· ·
···mi
mivi
eiF
iiF
)(dtd iiei0oi FFmh
对于第 i个质点应用质点的动量矩定理，有,
0
0 MH
dt
d
0
即为 质点系的动量矩定理
)(dtd iiei0oi FFmh
)()(dtd ii0ei0oi FmFmh
若在运动过程中，作用在质点系上的合外力对固定点 O的矩恒为 0，则该质点系动量矩守恒。
若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为
0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。
质点系动量矩定理的投影式为：
z
z
dt
d MH
O R解,研究系统，分析受力：
m1g m2g
YO
XO
v1 v2
分析运动：
z
z
dt
d MH
gRmgRm
dt
)RvmRvm(d
21
2211
g
mm
mma
21
21
1?
例,半径为 R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，绳子两端分别挂有质量为 m1和 m2的两重物，设 m1＞ m2,求 m1运动的加速度。滑轮及绳子的质量不计。
§ 3,转动惯量、平移轴定理为刚体对转轴的 转动惯量,为一常数,
2ii rmzJ
同质量一样，转动惯量是刚体固有的物理属性，它与刚体的运动无关，也不来自任何力学定理。一旦转轴确定，转动惯量即为恒定，且恒为正值。
对于连续体
dmrJ M 2Z
若把刚体的总质量 M集中于刚体上某一点处，该点到转轴的距离为 ρ，则有：
2Z MJ
平移轴定理：
2
CZ MdJJ
刚体对任意轴的转动惯量 JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量 JC加上刚体的总质量与两轴间距离 d的平方的乘积。
可见，刚体对质心轴的转动惯量最小。
（证明从略）
ρ,回转半径 或 惯性半径例,均质圆轮质量为 m，半径为 R，求对质心轴 C的转动惯量。
C
R
dθ
r dr
解,取单位厚度的圆轮研究，
取一面积微元 dm
drrddm
dmrJ M 2C
20 3R0C d r dr J
2
C mR2
1J?
∵
∴
对轮缘上任一点，有：
2
CZ MdJJ
222
Z mR2
3mRmR
2
1J
解,取一微元 dx
dxmdm l
dmrJ M 2C
2
l
2
l l dxx
m
J 2C
2
C m12
1J l?
∵
∴
对杆端，有：
2
CZ MdJJ 222Z m3
1)(mm
12
1J l
2
ll
例,均质杆质量为 m，长为 l，求对质心轴 C的转动惯量。
C
dx
x
O x
z
§ 4,刚体定轴转动的微分方程将质点系的动量矩定理
z
z
dt
d MH
应用于刚体定轴转动的情形，有：
及定轴转动的动量矩
zz JH
z
z
dt
)(d MJ
zzzz MJMJ或即为 刚体定轴转动的微分方程 。
与质心运动定理 比较之。
FaCM
例,半径为 R、质量为 m的均质圆轮绕质心轴 z以匀角速 ω0转动。今欲制动，闸瓦压力 Q、摩擦系数 f，求制动所需时间。
Q
ω0
O
解,研究轮子，分析受力：
F
mg
YO
XO
列出动力学方程：
zZJ M
RQfJ O
dt
J
RQfd t
o
O
o
0
f Q R
Jt 0O 问：制动过程中，轮子转过了多少圈？
§ 5,质点系相对于质心的动量矩定理前面所讨论的动量矩定理只适用于惯性参考系，也即，动量矩的矩心、矩轴都是固定不动的。 我们关心的问题是动量矩的矩心可否运动？ 研究表明，动量矩的矩心可以为动点，但随着矩心位置的不同其动量矩定理的形式也不同。 下面讨论对于质心的动量矩定理。
C
C
dt
d MH
上式即为 质点系相对于质心 C的动量矩定理,其形式与对固定点的动量矩定理完全相同。（证明从略）
§ 6,刚体平面运动的微分方程刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动。 这里，以质点系的质心 C为基点，则随质心 C的平动用质心运动定理、绕质心 C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得 刚体平面运动的微分方程,
C
M
C
C
C
J
YyM
XxM
CC
n
MJ
FMa
FMa
c
n
c
FaCM
C
C
dt
d MH
其投影式为：
或：
实际上，动量矩定理除了对固定点 O、固定轴 z、质心 C可以取矩外，还可以对瞬心 P取矩，但是要求瞬心 P到质心 C的距离保持为常量，其公式的形式不变。
OO MJ
zz MJ
CC MJ
PP MJ
O,固定点
z,固定轴
C,质心
P,瞬心，要求 PC=常量在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中，
此式显得特别方便。
例,如图所示，两均质圆轮半径分别为 rA和 rB,重为 PA和 PB,鼓轮
B上作用主动力偶矩 M,A轮与斜面间无相对滑动，求 B轮从静止开始转过 φ角时的角速度 ωB及支座 B处的反力。
α
B
A
M
PA
PB
解,①,分析所给系统的构成及各部分作何种运动，一般应拆开分别研究。
②,先研究 B，作受力图：
YB
XBT
作定轴转动，列动力学方程：
BMB BJ
BrTM
（ 1）
εB
③,再研究 A，作受力图,N
T
F
εA
作平面运动，列动力学方程：
CM
C
C
C
J
YyM
XxM
s inPTFa
g
P
AA
A
AAA FrJ
（ 2）
（ 3）
xy
再列补充方程 —— 一般为运动学关系,
AAA ar
BBAA rr
（ 4）
（ 5）
以上 5个未知量均可求解。从中解出 εB为常量，则有：
B202B 2
欲 求支座反力,则需对轮 B列质心运动定理,
YyM
XxM
C
C
s inTP
c o sT
BB
B
B
B
Y0
g
P
X0
g
P
（ 6）
（ 7）
B
M
PB
YB
XBT
x
y
概念题,圆轮重 Q,受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮质心如何运动?
F
F
F
1).地面光滑时,左图质心保持不动，因为水平方向的和外力为零 ;
右图质心将沿力 F方向运动,
2).地面有摩擦时,左图质心将向右运动，
右图中,a.若主动力 F≤Nf，则质心不动 ;
b.若主动力 F＞ Nf，则质心向右运动,
概念题,
1,两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为 ω1和 ω2,且 ω1 >
ω2,问,1）哪个动量大? 分别为多少?
2）哪个动量矩大? 分别为多少?
答,1）一样大，均为 0
2） Jω1>Jω2
2、汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？
答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。
概念题,
1、均质圆轮半径均为 r，求在下列不同形式下的动量、对 O点的动量矩。
ω ω ω
只滚不滑
C CO
O
O答,1）动量,0,mrω,mrω
2）动量矩,Joω,Joω,Joω
2、质系的动量为零，其动能是否也必为零？质系的动能为零，其动量是否也必为零？
2、三个质点的质量同为 m，同时自点 A以相同的速度 v0沿不同的方向抛出，问该三点落到水平面时的速度的大小和方向是否相同？
答,JZε=Pr,两系统的转动惯量不同，所以角加速度不同。
概念题,
1、两质量同为 m的均质轮，一作用一力 P，一挂一重物重 P，问两轮的角加速度是否相同？是多少？
P
P
O O
答,vx= v0cosα,vy= v0sinα-gt，由于 v0方向不同，所以速度不同。
概念题,
1、怎样用旋转的方法区别生蛋和煮熟的鸡蛋，为什么？
答：旋转时间较长的是熟蛋，时间短的是生蛋。
因为，熟蛋的壳、青、黄为一整体，而生蛋的则相对分离，开始时由于惯性，壳转，青、黄不转，内阻力使其早早停止转动。
2、大队人马过桥时，为什么不能步调一致？
答：共振
3、芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么现象？
为什么？
答：旋转速度更快，因为对 z轴动量矩守恒。
4、开山定向爆破时，根据什么原理确定飞出的石块的落地位置？
质心运动定理。
5、夯实地基的电夯是根据什么原理制成的？
质心运动定理。
概念题,
1、水在直管中流动时对管壁有无动压力？
无。
2、人坐在转椅上，双脚离地，能否用双手将转椅转动？为什么？
不能，因为对 z轴动量矩守恒
3、骑自行车转弯时，车身要向里倾，而船只转弯时，船身却要向外倾，为什么？
？
练习题 1：用两根长度同为 l的细绳将重为 P的物块挂起如图，现突然剪断 BC，求剪断前、后瞬时绳 AB的拉力之比 β。
P
A
B
C600
:
30c o s
0
P T
Σ F m a
a
AB
nn
n
初瞬时解,剪断前：平衡
P T AB30co s2
剪断后剪断前、后瞬时绳 AB的拉力之比：
3
2
TAB
练习题 2,均质杆 AB长 l,B端放在光滑的水平面上，杆在图示位置沿铅直面自由倒下，求 A点的轨迹方程。
A
B
C
解,受力如图,
mg
N
水平方向无外力,质心在水平方向运动守恒如图建立坐标：使 y轴过质心 C
y
x
（ xA,yA）
点 A在坐标轴上的位置为,
0
0
s i n
c o s
2
ly
l
x
A
A
消去 α0 即为点 A的轨迹方程：
2224 lyx
AA
练习题 3,两均质杆 AB=BD=l，质量均为 m，现突然撤去支座 D，求该瞬时 A端的反力。
A B D解,研究 BD，定轴转动
YBε
l
gMJ
BB 2
3
4 0
mgYX
BB再研究 AB：静平衡，
43450 m g l mmgYX AAA
B DC
mg
XB
Σ Fma Σ Fma CnnC
2
2
2 lala CnC
初瞬时,ω=0，
gaa CnC
4
3 0
BB Ymggm X 4
3 0
YA
XA MA
练习题 4,均质圆柱体半径为 r，重为 Q，放在粗糙的水平面上，设质心速度 v0,具有初角速度 ω0,且 rω0 < v0,圆柱与地面间的摩擦系数为 fk,问 （ 1）经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动？ 并求该瞬时圆柱体中心的速度,（ 2）到达只滚不滑状态时圆柱体中心移动了多少距离？
v0ω0
C
解,受力如图,
Q
N
F
用平面运动微分方程,
FrJ
QN
Fx
g
Q
C
C
0
只滚不滑时,?rv
C?
代入后积分上式有,
t
txvv CC
0
0
只滚不滑前，
kNfF?
x
y
3
2
3
00
00
rv
v
gf
rv
t
k
联立以上各式有
S =? 同学们自己做,
练习题,均质杆 AB长 l,B端放在光滑的水平面上,A端挂与固定点 D
处，现突然剪断细绳，杆沿铅直面自由倒下，初瞬时 α0=450，求该瞬时杆端 B处的支反力。
解,受力如图,
水平方向无外力,质心在水平方向运动守恒如图建立坐标：使 y轴过质心 C
y
x
用刚体平面运动微分方程：
c o s
2
l
NJ
mgNym
C
C
在直角坐标中：
s i n2ly C?
将上式对时间求两阶导数即得：
A
B
C
D
mg
N
)c o ss i n(
2
c o s
2
2
l
y
l
y
C
C
初瞬时,0
c o s2ly C 有
而联立解出 N 并将 α=450 代入即可。
练习题,板重 P1，受水平力 F作用，沿水平面运动，板与平面间的动摩擦系数为 f ’。在板上放一重为 P2 的实心圆柱，圆柱与板间无相对滑动，求板的加速度。
F
O
解,拆开系统，分别研究。设轮心的绝对加速度为 aO,运动及受力如图：
再研究板：板的绝对加速度为 a1
OrFJ
PN
Fa
g
P
O
O
2
22
2
2
0
由平面运动的微分方程有：
211
121
1
0 NPN
FFFa
g
P
fNF
raa
11
10?
补充：
ε
x
y
练习题,均质圆柱体重 P，半径为 r，放在倾角为 600的斜面上，一细绳缠绕其上，圆柱体与斜面间的摩擦系数为 f =1/3 。求圆柱体沿斜面下落的加速度。
600
A
C
P
2r
B
解,研究圆柱体，分析受力：
T
F
N
由刚体平面运动的微分方程有：
rPrFJ
PN
TFPa
g
P
D
C
60s in2
60c o s0
60s in
D
此处,D为瞬心
ac
补充：
NfF
ra C
ε
第十五章 动能定理
§ 1,力的功动能定理描述了作用于物体上的力所作的功与物体动能变化之间的关系,
一、常力的功
F
S
α?c o sSFWα是力 F与位移之间的夹角。
功的单位为焦耳（ J）,1J=1Nm
二、变力的元功 M
F
ds c o sdsFW
dr
rF dW
y
o
x
z
r将 F与 dr投影到直角坐标轴上：
kjiF ZYX kjir zyxd ddd
zZyYxXw ddd
由功的定义知，功是代数量。
因此，变力 F在曲线路程上功的总和为：
)ddd(co s 2
1
s MM zZyYxXdsFwW
若物体上同时受几个力作用，则分别计算出每个力的功，其代数和即为总功。
三、几种特殊力的功
1、重力的功
y
o
x
z
M （ x,y,z）
P
)ddd(2
1?
M
M
zZyYxXW
21 Pd00 zz z
Ph
zzP
)( 12
PhW
重力的功与路径无关，而只与物体的始末位置有关,
2、弹性力的功
O
M （ x,y,z）
弹簧系数 k,原长 l0,一端系在固定点 O处,另一端沿任意曲线运动,
)( 0lk rF
00 )( rF lrk
rF dW
rr dlrk 00 )(-
rr d
r
lrk )( 0-
rr
rrrrrr
d
ddd
2
)(
而
r d rrdd 2)()( 22r
drlrk )( 0 -
r d rlrkW r
r
)(2
1
0
)(
2
2
2
2
1
kW
在任一点受力为,
201202 )()(2 lrlrk
F
3、转动刚体上力偶矩的功 z
ω
dφ
r
ds
dsFW
rdF
dm z
2
1
dMW z
当 Mz为 常力偶矩 时，有,
zMW
当力偶矩与转角同向时作正功，
异向时作负功。
4、万有引力的功万有引力定律为,
2r
MmfF?
则，万有引力的功为,
]11[
12 rr
fM mW
(推导从略 )
5、内力的功质点系内各质点之间的相互作用力称之为内力，内力总是成对出现，等值、反向、共线，其合力为零，然而,内力的功一般情况下却不为零！ （证明从略）
6、理想约束力的功不可伸长的绳索、刚性杆、光滑支撑面、光滑铰链、轴承、滚动支座等，其约束反力的元功之和恒为零！ 把这些其约束力不做功的约束称为 理想约束 。 即,理想约束的约束反力不做功！
7,只滚不滑的摩擦力不做功。
§ 2,质点的动能定理一、质点的动能
2
2
1 mvT?
动能是标量，恒取正值。
单位为焦耳 J 。
二,质点的动能定理
Fv?dtdm
两边同时点乘 dr
rFrv dddtdm
rFvv ddm
Wmvd)2(
2
WdT
即为质点动能定理的微分形式。
积分前式，有：
WTT 12
即为质点动能定理的积分形式。
§ 3,质点系的动能定理
1、质系的动能
2
2
1
iii vmTT
2、平动刚体的动能平动时刚体上各点的速度相等，质心 C点的速度为 vC，则平动刚体的动能为：
22 )(
2
1
2
1
Ciii vmvmT
2
2
1
CMvT?
M为质点系的总质量。
3、转动刚体的动能 z
ω2
2
1
ii vmT
2)(
2
1?
ii rmT
22
2
1?
ii rm
2
2
1?
ZJT?
其中,JZ为刚体对转轴的转动惯量。
与平动刚体的动能相对比，只需将对应的平动量换为转动量即可。
与质量 M相对应，转动惯量 JZ则是刚体转动惯性的度量。
4、平面运动刚体的动能刚体的平面运动可以分解为任选基点的平动和绕该基点的转动，
则以质心 C为基点，刚体的平面运动动能就等于随 质心 C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
22
2
1
2
1?
CC JMvT
5、质点系的动能定理设一质点系由 n个质点构成，对第 i个质点有：
i
ii Wvmd
2
2
对整个质点系，有：
WdT
i
ii Wvmd
2
2
则,即为质点系动能定理的微分形式。
积分上式，有：
WTT 12
即为质点系动能定理的积分形式。
动能定理主要用来求解 v,ω,a,ε，不能求反力！
2
2
1?
PJ?
P 为刚体平面运动的瞬心,JP为刚体对瞬心轴的转动惯量。
例,两均质圆轮如图所示，在重物 C的作用下，轮 A与水平面间只滚不滑，求重物 C由静止开始下降了距离 h时 A轮质心的加速度 aA。
C
A
B
解,① 研究整体，不要拆开；
② 只画主动力，不画约束反力；
③ 根据各部分的运动形式，
写出系统初始和末了的动能 T1和 T2；
01?T
系统初始静止，
2
33
22
2 2
1
2
1
2
1 vmJJT
BBAP
P
ωA ω
B
v3将动能整理成同一个运动参数的函数，即建立各运动参数间的关系：
3212 vrr BA
2
2
12
2
22
1
2
12 )
2)(
2
1(
2
1)
2
1(
2
1
211 r
rrmrmrmT A
A
2
13 )2(2
1
Arm
2
1321 )](422
3[
2
1
Armmm
2
2
1
AMv?
④ 计算系统在整个运动过程中所有力所作的功；
ghmW 3?
⑤ 代入动能定理：
WTT 12
ghmMv A 3221?
此式即可求出 vA,要求加速度 aA,直接将此式对时间 t 求一阶导数即可：
AA aMv
33 gvm? hgmvvM AA 322
1
32 vv A?
而
M
gma
A
32?
∴ 即为所求轮心 A的加速度。
PhMv A?2
2
1
讨论：
等效质量 等效力动能定理的最后表达式一般为：
求一阶导数后即为加速度，一般具有如下形式：
M
Pa
A?
§ 4,质点系动力学普遍定理的综合应用一,正确掌握各定理特征：
1、动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力，而与内力无关；
2,动量定理揭示质系质心的运动,反映系统移动时的动力学性质 ;
3,动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转动的动力学性质；
4,动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约束反力。
二、根 据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法：
1,如果给出了系统的始末位置，求 v,ω,a,ε，而不涉及约束反力时，用动能定理；（若涉及反力，也可先由动能定理求出 v,ω,a,ε，后用其他方法求反力）
2,求反力或绳子内力用质心运动定理；
3,对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程；
4,对平面运动刚体可用平面运动微分方程；
5,注意综合应用。
练习题,均质圆柱体重为 P，其中心 O绞接一重为 Q的均质直杆 OA，
放在倾角为 α的斜面上，轮子只滚不滑,OA杆的 A端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离 S时 O点的速度与加速度。
α
O
A
S
解,
22
2
1
2
1
2
1
0
oP v
g
Q
JT
T
s i n)( SQP W
P
22
2
1
4
3
oo vg
Qv
g
P
SPQ gPQ v o 32 s in)(42
PQ
PQga
32
s in)(2
0?
由于轮心 O作直线运动，将上式两端对时间求一阶导数得到：
练习题,均质圆柱体重为 P，放在倾角为 α的斜面上，只滚不滑，轮心 O处系一绳子，跨过重为 W的均质滑轮与重物 Q相连，两轮半径相等，系统初始静止，求轮心 O沿斜面下滑距离 S时 O点的速度与加速度。
解：
222
02
1
2
1
2
1
2
1
0
oAAP v
g
Q
JJT
T
SQP W )s i n(
222
2
1
4
1
4
3
ooo vg
Qv
g
Wv
g
P
P
α
O
A
S
Q
2
1
0
32
)s in(
2?
WPQ
gQPS
v
WPQ
QPg
a
32
)s in(2
0
)s i n(
2
32
2
1 2
0 QPSvg
WPQ
前式两端对时间求到，即得加速度：
练习题,长同为 l 的两根均质杆用铰链 B相连,C端沿光滑铅直墙壁下滑，当 AB由水平位置到达铅直位置时,BC到达水平位置，求该瞬时 C点的速度，系统初始静止。
B`
C
B
A
C`
解,
2
2 2
1
BBJT
01?T
系统到达终了位置时,B`,C`两点的速度分别为：
vB`
vC`
其速度瞬心为 B`点，即该瞬时 0?
Bv
l
v C
B
m g llmglmg W 2232
m g l
l
vml C 2
3
1
2
1
2
2
2
glv C 122
则 AB杆瞬时静止,0?
Av
而练习题,均质杆 AB长 l,B端放在光滑的水平面上,A端挂与固定点 D
处，现突然剪断细绳，杆自由倒下，初瞬时 α0=450，求 A端落地瞬时杆上 A,B两点的速度。
A
B
C
D
解,用动能定理 0
1?T
BA lv
0s i n2?
lmgW?
AB C
vC vA21
2
23
g
l
lv A
2
2 2
1
BBJT
A点着地瞬时，其速度瞬心为 B点，则 0?
Bv
例,质量为 m、半径为 r的均质圆柱体从 θ=0的位置由静止释放，沿半径为 R的大圆面只滚不滑，求圆柱体脱离大圆面时 θ=？
R
O
C
θ
解,脱离时，支反力为零，找出
N= f（ θ），令 N=0，
求力 先求加速度先用动能定理：
01?T
22
2 2
1
2
1
CCC mvJT
P
222
2
)
2
1
(
2
1
2
1
C
CP
mrmr
J
)c o s1)(( RrgmW
2
2 4
3
CmvT?
)c o s1)((43 2 Rrmgmv C
c o s
2
mgN
rR
vm C
分析轮受力：
mg
NF
由质心运动定理有：
)4c o s7(
3
mgN
脱离时：
7
4c o s,0N
练习题,长为 l、重为 Q的均质杆 AB的 A端与一半径为 R、重为 P的均质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦，
系统初始静止,θ0=450，而后自由下落，求轮心 A在初瞬时的加速度。
B
A
θ
解,
222
2
1
2
1
2
1
2
1
0
CCCPP v
g
Q
JJT
T
2
222
)
s in2
(
2
1
)
s in
(
12
1
2
1
4
3
l
vl
g
Q
l
v
l
g
Q
v
g
P
A
A
A
)s in( s i n2 0 lQW WTT
12
C
vA
vB
vC
P
]s in 13123[21 22?gQgPv A
D
)s i n( s i n2 0 lQ ]
s in
1
3
1
2
3[
2
1
2
2
g
Q
g
Pv
A?
上式两端对时间求导,
c o s]
s i n
c o s2
3
[]
s i n
1
3
1
2
3[2
3
2
2 Qlg
Qv
g
Q
g
Pav
AAA
s i nl
v A
C
而
AAAA vQg
Qv
g
Q
g
Pav
s i n
c o s]
s i n
c o s2
3
[]
s i n
1
3
1
2
3[2
3
2
2?
下滑的初瞬时,代如上式，则有, 450,
Av
gQP Qa A 49 3
练习题,半径为 r、质量为 m的均质圆盘在半径为 R=2r 的固定大圆内只滚不滑，求圆盘从位置 A无初速滚落到最低位置 B处时 C点的支承力及摩擦力。
A
B
C
mg
解,受力如图
N
F
mgN Σ F
r
v
m
m g r,Wmv,TT
nB
B
3
7
4
3
0
2
2
21
而
0
0
该瞬时
CC MJ
为求 ε，对瞬心 C应用动量矩定理：
为求 F，对质心 B应用动量矩定理,0该瞬时
0
F
F r
MεJ BB
练习题,长为 l、质量为 m的均质杆从水平位置无初速落下到图示位置 φ时，求杆的角速度和角加速度。
φ
O
A
C
mg
解,
2
2
2
21 62
10 mlJ,TT
O
s i n23 lg
lmgεml M J OO s i n231,2,即又
c o s2lmg W?
c o s32 gl
练习题,在上题中，求 O点的支反力。
X Ymglm OO c o ss in)(2
)c o s91(
4
1
)
4
s in3
2
c o s3
1( 2
22
mgmgY O
s i nc o s)(2 2 OO XmgYlm
φ
O
A
C
mg
解,受力如图
Σ Fma Σ Fma CnnC
Ca
n
Ca
2s i n
8
9 mg
X O
练习题,均质杆 OA长 l,重 P，杆端 A与半径为 R、重为 Q的均质圆轮的轮心绞接，不计摩擦，初始 OA水平，系统静止，求杆自由下落到与水平成 α 角时杆的角速度及角加速度。
O A
α
A`
解,
222
2 2
1
2
1
2
1
AAAOO vg
QJJT
01?T
下面寻求 ωO 与 ωA 及 vA 的关系，分析 A轮受力：
A
εA
Q
AAA Mε J? 0?
c o n s tε A A,?0 00 A?
O?lv A?
222
2 ]3
1[
2
1
Olg
Ql
g
PTs i n)
2( Ql
lPW
s in3 362 lgQP PQ c o s23
36
l
g
QP
PQ?
练习题,均质杆 AB长 l,A端铰接，杆自水平位置无初速下落，当杆通过铅直位置时，突然撤去铰链成为自由体，求：
1）此后质心的轨迹；
2）当杆的质心下落距离 h后，杆共转了多少圈？
AB
h
解,1）撤去支座后，质心为抛射体运动，杆作平面运动，故应先求出脱离时的速度和角速度。
2
2
2
21 62
10 mlJ,TT
A
2lmg W?
gl32
2
3
2
gllv
C
此时,ε=0,∴ ω=常量此时,aτ=0,∴ vc=常量
0
0
mg
脱离后由质心运动定理：
C
M
C
C
C
J
YyM
XxM
∴
l
g
gty
vx
C
C
cC
3
2
3
2
gll
tglx C 23?
2
2
1 gty
C?
∴
消去时间 t 即得质心轨迹为一抛物线。
t
l
g
C
3
当质心下降 h 后，即 yc =h，求出此时的 t,代入
φc,即可求出杆转过的弧度 φh 为
l
h
g
h
l
g
h
623
当质心下降 h 后杆转过的圈数为：
l
hn 6
2
1
练习题,两相同的均质滑轮，半径为 R、重为 P，用绳缠绕如图，系统由静止开始下落,求,1）质心 B的速度与下落距离 h 的关系；
2）质心 B的加速度； 3）若在 A轮上作用一逆时针的力偶矩 M，问在什麽条件下圆轮 B的质心将上升？
B
A
解,1）
222
2
1
2
1
2
1
2
1
0
BBBAA v
g
P
JJT
T
BDB Rvv 而
C
D
ωA
ωB
BA RR h
下来确定 ωA 与 ωB 的关系，为此，分别研究 A,B轮，
受力分别如图：
T
P
T
P
对 A轮应用定轴转动微分方程：
AAA MJ TR?
对 B轮应用相对与质心的动量矩定理：
BBB MJ TR? BA
由于系统初始静止，
将上式积分后有：
BA
BB Rv?2
2
2 8
5
Bvg
PT
PhW?
ghv B
5
8
2） 上式两端对时间求导后有：
ga B
5
4?
3）欲使 B上升，则需 aB ＞ 0
B
εBT
P
AεA
T
P
MA
aB
BDB Raa 而
BA RR
0 BA 要求
TRε J
TRMε J
BB
AA
而
0
BA J
TR
J
TRM 即
BA JJ? 而
TRM 2? 即
PTagP B同时 0?Ba 要
PT? 即
PRM 2
练习题,图示三棱柱 ABC重 P，放在光滑的水平面上，重为 Q的均质圆柱体 O沿斜面 AB滚而不滑，求三棱柱的加速度。
α
O
C B
A解,设三棱柱的绝对速度为 v1,
圆相对于三棱柱的相对速度为 vr，
圆的绝对速度为 vO
v1
vr
v1
vO
2
1
22
1
2
12
1
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
0
Orr Jvvvv
g
Q
v
g
P
T
T
)]c o s223)[(2 1 1221?rr vQvvQvQPg
下面寻求 v1 与 vr 的关系，系统动量在水平方向守恒：
y
x
)c o s(0 1121?rxx vvgQvgPkk,1c o s vQ QPv r
代入动能定理中：
)(]1c o s2 )(3[2 1 2122 QPvQ QPgT
s i nQsW? 式中 s 为圆柱体沿斜面的位移，
s in]1c o s2 )(3[2 212 QsvQ QPg QP
:,,则有并注意到上式两端对时间求导 rvs
g
α-QP
αQ
-a
)c o s23(3
2s in
2?
1
练习题,均质杆长 l,重 Q，不计摩擦，求到达任意位置 β时的角速度
ω、角加速度 ε及 A,B两处的反力。
C
B
A
β
解,
22
2
1
2
1
2
1
0
CCC v
g
Q
JT
T
P
vC
ωC
P点为杆 AB的瞬心
CC v
l
2
2
2
22
2 42
1
12
1
2
1
CC
l
g
Ql
g
QT
22
6
1
Clg
Q
)s i n1(21 Ql W
WTT 12
)s in1(3
l
g
C
C
上式两端对时间求导后有：
c o s23 lg?
C
B
A
β
P
vC
ωC
分析受力如图,N
A
NB
杆质心 C 的轨迹为一半径为
l/2 的圆弧，其圆心位于 O点。
O
加速度分析：
aan
aaτ
由质心运动定理有：
Fma
Fma
C
n
n
C
c o s)(s i n
s i n)(c o s
BA
BA
NQN
NQN
g
Qm?
2
2
2
l
a
l
a
C
n
C
其中：
Qβ
C
C
l
l
2
2
2
将前面求出的有关量代入，联立解出：
)]
3
2
( s i ns i n91[
4
)
3
2
( s i nc o s
4
9
Q
N
QN
B
A
练习题,质量为 m的两小环套在光滑的大环上，初始两小环静止于大环顶部，无初速释放，此时出现一有趣的现象：大环将上升。大环半径 R，质量不计。求大环开始上升时的 θ=？
o
θ θ
解,受力如图，先用动能定理
22
21 )(2
1
2
10Rmmv,TT
)c o s1( m g R W
)θc o s-(12 2 gR即
s i ngR
2 m gT Yym c)2(
mg
T
mg
由质心运动定理：
y
2 m gT )s i nc o s(2 2 RRm 即：
当 T=0 时有,0c o s2c o s3 2
3
2c o s即大环上升时练习题,图示均质杆 AB长 l，质量为 m1,杆的 B端固连质量为 m2的小球，
其大小不计。杆上点 D连一弹簧，刚度系数为 k，使杆在水平位置保持平衡。设初始静止，求给小球 B一个铅直向下的微小初位移 δ 0后杆 AB的运动规律和周期。
解,静平衡时，受力如图：
m2gm1g
kx0
给小球 B一个铅直向下的微小初位移 δ 0后，杆有一微转角 φ,
δ 0φ
OO MJ
3)3(2
0
021
lxkglmlgmJ
O
静平衡时，
320 021
lkxglmlgm
又，
l?0
33
llkJ
O
09
2
klJ O
为谐振动方程。
为一标准的常系数二阶齐次线性微分方程。
02 p
其解为：
)s i n ( 0 ptA
其中：
2
2
02
0 pA
为振幅，与初始条件有关
OJ
klp
9
2
为系统的固有频率
2
922
kl
J
p
T O
为系统振动的周期即为系统的运动规律，也即振动方程练习题,平面机构由两均质杆 AB和 BO组成，两杆长均为 l，质量均为 m，位于铅直平面内。在 AB杆上作用一常值力偶矩 M，设系统初始静止，求系统由图时位置运动到 A端碰到 O点瞬时 A点的速度。
解,
θ θ
M
O
B
A
P
O
B
A
P
分析 AB
杆的速度瞬心：
22
21 2
1
2
10
PPOO JJ,TT
)c o s1(22 lmgM W
22222 ])
2
3(
12
1[
2
1
3
1
2
1
PO
lmmlml
22
6
7
6
1
BB mvmv
2
3
1
Amv?
)c o s1( m g lM
] )c o s1([3 2 m g lMmv A
§ 5、势力场、势能、机械能守恒定律力场,设质点在某一部分空间中处处受到力的作用，且力的大小和方向唯一地取决于该质点所在的位置，则这部分空间称为力场
（与电场、磁场类似）。
一、名词概念势力场,当质点在某力场中运动时，若作用与该质点上的力所作的功只与该点的始末位置有关，而与质点运动的路径无关，则该力场称为势力场，该力称为有势力。
如重力场、弹性力场、牛顿引力场等均为势力场。
势力场也称保守力场，有势力又称保守力。
势能,在势力场中，任意选定某一位置作为基准位置 —— 零位置 (零势能面 )，当质点 从任意位置到达零位置 时有势 力 所作 的功 称为质点在给定零位置的势能。 用 V表示。
二、常见几种势力场中的势能
1、重力场中的势能 通常以地面为零势能面，当物体位于地面以上 h 位置时，则势能为,V = mgh
2、弹性力场中的势能 取弹簧无变形时的位置为零位置，当弹簧的变形为 λ 时，其势能为：
2
2
1?kV?
3、牛顿引力场中的势能 通常取无穷远处为零势能位置，则在任一处 r 的引力势能为：
0,)(21 22221 1 kW?
)11(
12 rr
fM mWrfM mV
由此可见，质点的势能可以表示为质点位置坐标的函数，该函数称为 势能函数,表示为：
),,( zyxVV?
在势力场中，势能函数相等的各点构成一曲面，该曲面称为 等势面,即：
CzyxV?),,(
三、机械能守恒定律
yx
z
o
M1 M2
在势力场中,当质点由位置 M1运动到 M2位置时，若取 O为零位置，则有势力在此过程中所作的功为：
2121 VVW MM
2100
2010
2121
21
VVWWW
VWVW
MMMM
MM
由动能定理有：
2112 21 VVWTT MM
2211 VTVT
即由于 1,2位置是任选的，所以，上式在任意位置均成立，即：
co n s tVTVT 2211 即为 机械能守恒原理 。
若质点系还受非有势力的作用，则机械能将不再守恒。
§ 6、功率、功率方程、机械效率
1,功率,单位时间内力所作的功。用瞬时值定义为：
c o s Fv
dt
d
dt
W
N
vF
rF
单位：焦耳 /秒 = 瓦 1w = 1 J/ s = 1Nm / s,
工程中常用 马力 1 公制马力（ PS） =735.5 w
1 英制马力（ HS） =745.7 w
作用在转动刚体上力的功率
zz Mdt dMdtWN
2,功率方程,任何机器工作时必须输入一定的功，同时，在机器运转过程中要克服阻力而消耗一部分功。因此需要研究功率与机器运动之间的关系。
质点系动能定理的微分形式为：
WdT
两端同除 dt 有,
Ndt WdtdT
即为 功率方程 。
而无出入 NNNN
无出入 NNdt
dTN即即：对系统输入的功率就等于有用功率、无用功率及系统动能变化率的总和。
有用功率当机器启动时,则要求无出入 ＞＞ NNNdt
dT? 0
当机器正常运转时,则要求无出入 NNNdt
dT 0
当机器制动减速时,则要求无出入 ＜＜ NNNdt
dT? 0
3,机械效率,工程中，把有效功率（包括克服有用阻力的功率及使系统动能改变的功率）与输入功率的比值称为机器的机械效率。
1 输入功率有效功率第十六章 达郎伯原理
（ D’Alemberte)(动静法 )
§ 1,质点的达郎伯原理
m
F
N
ma
ma=F+N
F+N- ma=0
令 G = - ma
F+N+G=0
称为 惯性力,则有：
即为质点的 达郎伯原理 。
上式在形式上是一个平衡方程,G 具有力的量纲，是质量和加速度的乘积，因此称为惯性力。
惯性力是人为地、假想地加上去的，并不真实的作用在物体上。
达郎伯原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题,它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。
G
例,动画图见下页。求绳子的拉力 T和倾角 α。
a
α
m
αm
mg
T
ma
解,动静法的解题方法与静力学同．
1).取研究对象 ---力系的汇交点 m
3).建立坐标系
4).列出对应的静力学平衡方程
0
0
Y
X
5).解方程
2）作受力图主动力；
约束反力；
施加惯性力
x
y
惯性力直接与加速度方向画反向，方程中不再代,-”号。
0s i nTma
0c o sTmg
gatg /
22 )/(11 gamgtgmgT
§ 2,质点系的达郎伯原理一、质系的达郎伯原理设一质点系由 n个质点构成，其中第 i个质点的质量为 mi，其上作用有主动力 Fi，约束反力 Ni，再给该质点加上惯性力 Gi= - miai，
则由质点的达郎伯原理有：
0 iii GNF
也即，作用在第 i个质点上的力系为一平衡力系。对于整个质点系，
共有 n个上式，也即质点系中作用于每一个质点上的力系均为平衡力系，则对整个质点系来讲，其整体受到一平衡力系族的作用。
由力系的平衡条件有：平衡力系向任一点简化其主矢和主矩均为零。即：
0 iii GNF
0)()()( ioioio GmNmFm
即为 质点系的达郎伯原理 。
对于离散的质点系，应用时改为投影式，与静力学平衡方程同。
二、刚体惯性力系的简化刚体由无数个质点构成，若对每点去施加惯性力其难度则不难想象。因此，对于刚体的惯性力系，则应设法将其简化。
1、平动刚体 （动画图见下页）
平动时，同一瞬时各点的加速度相同，用质心的加速度 aC表示，
则 平动刚体的惯性力主矢 为：
CiCiii mmm aaaG )(
CM aG
加在质心 C。 （用平行力系中心理论）
主矩为零。
2、转动刚体
（这里只讨论具有垂直于转轴的 质量对称面 的刚体）
z
O
ω
ε
miri
n
iim a
iim a
miri
n
iim a
iim a
设具有质量对称面的刚体绕 z轴转动，
其对称面为过点 O且与 z轴垂直的平面。
x
y
ωε
O
2?
ii rm
iirm
ir
mi
在质量对称面 xoy面上，所有惯性力分为两大类：一是汇交于转轴的离心惯性力系；二是任意分布的切向惯性力系。
将所有惯性力 向转轴 o简化,
x
y
ωε
O
2?
ii rm
iirm
ir
mi
2iiiii rmrrm?
其结果为：
1）作用于 O的 离心惯性力主矢,
n
C
c
ii
n
O
M
M
m
a
r
rG
2
2
2）作用于 O的 切向惯性力主矢,
C
c
iiO
M
M
m
a
r
rG
3） 惯性力主矩,
z
iiO
J
rmM
2
整理上述结果，得：
转动刚体的惯性力主矢
CO M aG -?
加在转轴 O，方向由 O指向质心 C。
转动刚体的惯性力主矩
zJM -?
Jz 为对转轴 Z 的转动惯量,M 的转向与 ε相反。
几种特殊情况：
① 转轴不通过质心,ω匀角速转动：
0a 0;ε τc
n-
c
n
OO M aGG
只有主矢，仍加在转轴 O，没有主矩，
② 转轴通过质心,ω不匀：
CJM -?
只有主矩,O,C重合为固定点，没有主矢
0a a τcnc
③ 转轴通过质心,ω匀：
0;a 0;a 0;ε τcnc主矢、主矩均为零。
3、平面运动刚体 （动画图见下页）
（这里只讨论具有 质量对称面 的刚体，且刚体平行于此对称面作平面运动）
刚体的平面运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，设质心的加速度为 aC、刚体平面运动的角加速度为 ε，则 平面运动刚体的惯性力 可 向质心简化 为 一个主矢和一个主矩,
CC M aG -?
CJM -?
加在质心 C，方向与质心加速度方向相反。
转向与角加速度方向相反。
α
B
A
M
PA
PB
解,
①,物系，应拆开分别研究。
②,先研究 B，作受力图：
YB
XBT
B轮作定轴转动，质心与转轴重合，惯性力主矢为零，加惯性力偶矩，列静力学方程：
εB
JBεB
例,（原动量矩定理中的题目）如图所示，两均质圆轮半径分别为
rA和 rB,重为 PA和 PB,鼓轮 B上作用主动力偶矩 M,A轮与斜面间无相对滑动，求 B轮从静止开始转过 φ角时的角速度 ωB及支座 B处的反力。
0
0
0
B
Y
X
M 0
BB JrTM?B
（ 3）
α
B
A
M
PA
PB
YB
XBT
εB
JBεB
0s i n
0c o s
TPY
TX
BB
B
（ 1）
（ 2）
x
y
③,再研究 A，作受力图：
作平面运动，加惯性力，
列平衡方程：
0
AM
0Y
0X
0s inAAA PTFa
g
P
0 AAA FrJ?
（ 4）
（ 5）
5个方程,7个未知量，再补充运动学关系：
AAA ar
BBAA rr
（ 6）
（ 7）
以上 7个未知量均可求解。从中解出 εB为常量，则有：
B202B 2
N
T
F
εAJAεA
AA am
例,用三根长度同为 l的细绳将重为 P的均质木板挂在水平位置如图，
现突然剪断 BD，求该瞬时其余两根绳的拉力及板质心的加速度。
A B
C
F E D
解,剪断后,AB平动，
惯性力加在质心，剪断瞬时,an=0
P
TA TB
l
g
mgp
ml
pma
2
22
45c o s
4
2 pTT
BA
例,如图所示，均质杆 AB长为 l，重为 P；曲柄 O1A=O2B=r，曲柄重量不计并以匀角速 ω0 转动，求,1）杆 AB运动至最低位置时其质心
C的速度与加速度； 2）该瞬时曲柄作用于杆 AB上 A,B两点的反力。
解,AB平动，
1） vC= vA = r ω0
P
0 BA XX
A B
C
O1 O2
ω0
aC= anA = r ω20
2） AB受力如图：
加惯性力如图：
考虑 O1A（或 O2B）杆，其无质量，
故均为二力杆，或用
)11(
2
1 2
0?rgPYY BA
11 OO MJ
例,质量为 m、半径为 R的均质圆轮在水平面内只滚不滑，轮心 O处系一刚度为 k 的弹簧，弹簧的另一端系于固定点 A处。当弹簧无变形时，圆轮静止。现将圆轮向左拉动 l 后无初速释放，回答下列问题：
A O
l1、轮心的最大速度
2
2
1
4
3
0
xmT
T
解：建坐标如图
22 )(2 xllkW
( 1 ) )(243 222 xllkxm
l
m
kv
lxO 3
2
ma x
x x
2、圆轮的最大角速度
R
l
m
k
R
v
3
2ma x0
ma x?
3、圆轮的最大动量
lmkMvk C
3
2
ma xma x
4、圆轮对质心的最大动量矩
Rlmk
R
l
m
kmRJH
OO 63
2
2
2
ma xma x?
5、圆轮的最大动能
22
m a x0m a x 2
1
4
3 klmvT
6、圆轮对地面的压力
mgN?
7、圆轮与地面间的摩擦力的最大值将（ 1）式对时间求导有：
( 1 ) )(243 222 xllkxm
))((2223 xxlkxxm
( 2 ) )(32 xlmkx
320m a x lmkxx x
3 2m a xm a x lmR kRx
mg
N
F
S
ε
O
FR0 OMJ?
3
m a x
m a x
kl
R
JF O
8、圆轮的固有频率整理（ 2）有：
( 2 ) )(32 xlmkx
( 3 ) 3232 lmkxmkx
（ 3）式即为单自由度强迫振动的运动微分方程，其变量 x前面的系数即为系统自由振动的固有频率 ω的平方。
m
k
3
2
9、圆轮的惯性力主矢的最大值
3
2
m a xm a x
klxmG
10、圆轮惯性力主矩的最大值
3m a xm a x
R k lJM
O
第十七章 虚位移原理（虚功原理）
§ 1,约束方程及其分类虚位移原理为解决受约束质点系（非自由质点系）的平衡问题提供了一种新的方法。另外，虚位移原理更重要的意义还在于它为分析力学的形成和发展奠定了基础。
约束：限制质点系运动（位置和速度）的条件。
约束方程：将约束对质点系的运动的限制用质点系中各质点的位置坐标或速度的数学方程来表示，此方程即称为约束方程。
x
y
o
l
m
例 1：单摆：约束方程为：
0222222 lyxlyx 或
(x,y)
例 2：四连杆机构：约束方程为：
l1
l2
l3m1
m2
x
y
（ x1,y1）
（ x2,y2）
0212121 lyx
0
0)()(
2
3
2
2
2
2
2
2
2
21
2
21
lyx
lyyxx
约束方程的一般形式为,
0);,,;,,(?tzyxzyxf
根据约束方程所含的参数的不同，可将约束分为如下几类,
1、定常约束（稳定约束）,约束方程中不显含时间 t
非定常约束（不稳定约束）：
2、单面约束（非固执约束）,只限制一个方向的运动双面约束（固执约束）：
3、几何约束,约束只限制各质点的几何位置，而不限制速度运动约束：
4、完整约束,几何约束和可以积分成有限形式的运动约束非完整约束：
本章只讨论定常的双面几何约束，其约束方程的形式为：
0),,(?zyxf
§ 2,自由度、广义坐标一、自由度设质点系由 n各质点构成，则需 3n个直角坐标来确定其位置，若质系受到 s个完整约束，则此 3n个坐标必须满足这 s个约束方程：
s j
nizyxf iiij
1
1 0),,(
而只有（ 3n-s）个坐标是独立的。要描述此质点系的位置，只需
k=3n-s个独立的坐标即可。
把完全确定质点系位置的独立坐标的个数称为质点系的 自由度数 。
（此定义只适用于完整系统）
例,曲柄连杆机构
φO
A
Br
l
y
x
（ xA,yA）
（ xB,yB）
0
0)()(
0
222
222
B
BABA
AA
y
lyyxx
ryx
约束方程有：
4个坐标,3个约束方程,1个自由度。
定轴转动刚体有 1个自由度,φ
平面运动刚体有 3个自由度,xc,yc,φ
空间自由刚体有 6个自由度,x,y,z,φ,θ,ψ
二、广义坐标有时用直角坐标表示系统的位置并不方便。如上图中，用 φ作参变量，则可方便唯一的确定系统的位置。各坐标可表为 φ的单值连续函数：
0
s inc o s
s in
c o s
22
B
B
A
A
y
rlrx
ry
rx
2
通常可根据系统的具体情况选取适当的参数来表示系统的位置，
把唯一确定系统位置的独立参数称为 广义坐标 。显然，在完整系统中，广义坐标的数目就等于系统的自由度数。
§ 3,虚位移及其计算设一质点受到固定曲面 f（ x,y,z） =0 的约束，在某时刻 t，
该质点的位置矢径为,r = r（ t）
y
o
x
z
r
δr
n,曲面在该点处的外法线
f（ x,y,z） =0
定义,在给定瞬时，质点为约束所允许的无穷小位移称为质点的 虚位移,用
δr表示。
δ表示等时变分。
为约束所允许的位移即位移发生在该约束曲面上，
该位移仍满足约束方程，
但它不需要经历时间，即在时间不变的情况下发生，
这是一种虚设的位移，它不破坏约束，则可 在该点附近的曲面的切平面上的任意方位发生,因而虚位移通常是一组，而不是一个。
dt是时间间隔，对应的 dr是真实位移,在定常约束的情况下，实位移是虚位移中的一个，也即，虚位移中包含实位移。
虚位移也可定义为 满足变分约束方程的矢径的变分 δr 。
由此可知，约束曲面上的点的虚位移有无限多个，而曲线上的点的虚位移只有两个。
对于质点系，由于各质点之间有一定的约束，所以，质点系内各质点的虚位移也必满足约束方程，其中 独立的虚位移的个数等于质点系的自由度数 。确定系统的虚位移通常有两种方法：
1、几何法：
借助于求实位移的方法，根据约束确定各虚位移间的关系，并注意应用 位移投影定理,刚体上任意两点的虚位移在该两点的连线上投影相等 。
φO
A
Br
l
Ar?
Ar?
Br?
Br?
α
β
co sco s BA rr?
2、坐标变分写出各质点的位置坐标作为广义坐标的函数（即约束方程），
对其变分一次即为各点的虚位移在坐标轴上的投影。
φO
A
Br
l
y
x
（ xA,yA）
（ xB,yB）
0
s inc o s
s in
c o s
22
B
B
A
A
y
rlrx
ry
rx
2
0
]
s i n2
2s i n
s i n[
c o s
s i n
22
2
B
B
A
A
y
rl
r
rx
ry
rx
2
§ 4,虚功、理想约束虚功,作用在质点上的力 F 在其作用点处的虚位移 δr上所作的功：
rFW理想约束,某些约束的约束反力在其对应的虚位移上的虚功之和为零，这样的约束称之为理想约束。
0 rN W在无特别声明的情况下，常见约束均为理想约束。
§ 5,虚位移原理具有完整、双面、定常、理想约束的质点系在给定位置上平衡的必要充分条件是：主动力系在质点系任意虚位移上的虚功之和等于零。
0 iiW rF
其解析式为：
0)( iiiiii zZyYxX
用途：主要用来求平衡时某些主动力（也可求约束反力及摩擦力）。
优点：不考虑约束反力（除非需要时）。
（证明从略）
例,图示平面曲柄连杆机构，求在 φ=300,∠ OAB=900位置平衡时 P
与 M的应满足的条件。
φO
A
B
r l
M
P
解,
①,以整体为研究对象，若不求反力则不必拆开；
②,画出所有主动力（若需求某一约束反力，则解除该约束代之以对应的反力并视其为主动力）；
③,给系统一虚位移，找出各力作用点处虚位移间的关系（若各处虚变形不易观察，则建立该点坐标，对坐标变分一次即为其虚位移（坐标原点应选在无虚位移的固定点））；
rrr BA c o s
④,计算各主动力在对应的虚位移上所作的虚功，代入虚位移原理。
0 ii rF? 0 BrPMW
Ar?
Br
⑤ 消去独立的虚位移，求未知量：
c o s
rPM?
PrM
3
2
例,图示平面等腰三角形机构，在 C点作用主动力 P,系统处于平衡，
求 A,B两处的约束反力。
解,P
A B
C
φφ
A,B两处共有 4个反力，应逐个求之。先求哪个反力，则解除该方向的约束，代之以对应的反力。
暂时不求的则不要解除，仍保持原约束的性质。
这里先求 XA：解除 x方向的约束，代之以对应的反力 XA,y方向约束不变。
P
A B
C
φφ
XA
给 A处一虚位移 δrA,则：
δrA
δrC
)]2180(90c o s [s i nCA rr
co ss i n22s i n CC rr
co s2 CA rr?
P
A B
C
φφ
XA
δrA
δrC计算虚功：
0s i n CAA rPrXW
tgP
r
rPX
A
C
A 2
s in
求 XA也可用坐标变分，坐标原点取在 B点。 坐标原点不能取在动点！
再求 YA,同学们做。求 YA不可用坐标变分，因为 yA=0.
例,图示连续梁，求固定端 A处的约束反力。
解,先求反力偶矩
MA,解除约束如图：
P
2a
GFEDCBA
aa/2 a/2 aa
P
P
GFEDCBA
PMA
0 FCA rPrPMW
0?AM
再求 XA,解除约束如图：
P
GFEDCBA
P
XA
Ar?
0?AX
再求 YA,解除约束如图：
0?AY
P
GFEDCBA
P
YA
Ar?
HG
FE
DC
BA θ
P
例,图示静定桁架，求 1,2,3
杆的内力。
解,先求 S1,解除 1杆约束如图：
S1
HG
FE
DC
BA θ
P
1 2
3
Er?
Gr?
0s i n1 GE rPrSW
co sGE rr?
P t gS?1
HG
FE
DC
BA θ
P
再 求 S2,解除 2杆约束如图：
S2 Fr?
Gr? 0c o s
1 GF rPrSW
GF rr
c o s1
PS?
S3请同学们自己做。
参 考 文 献
1,哈尔滨工业大学理论力学教研组,理论力学 (下册 ),北京,高等教育出版社,1997
2,湖南大学工程力学系李丽娟等 理论力学多媒体 CAI教程,北京,
清华大学出版社,1998
O
300
≠ ＜ ＞t1＜ t ＜ t2
G
β θ ε Σ
④ ⑤ ⑥
∵ ∴ ∞ ≤ ≥ ≈
∑
① ②
≡0
①
α
N
t1＜ t ＜ t2
S
T
τ,n τ,nτ,n
vr
va
vB
300
A
①
mg
YO
XO
T
①②③
④⑤⑥ ⑤ （ x1,y1）
y
x（ xA,yA）
δrA
RA Rε
0 Rω2
Rω2 2Rε
aaτ
aana
r
Ca
n
Ca
Ca
n
Ca
ve
vC
ve
q=15kN/m M=20kN·m
y
