2004 ～2005 学年第 二 学期
科目,初等数论 考试（查）试题A答案
命题教师：李伟勋 使用班级：02数本1，2，3班
一．1．28 2．147 3． 4．0.95840… 5．72 6．393
7．－1 8． 9． 10．
二．11．A 12．D 13．D 14．C 15．D 16．A 17．D 18．B 19．D 20．C
三．1．解：由于，而，所以原方程有解 1分原方程等价于，又因为，故有
，特解为 3分所有解为 5分
2．解： 1分
∴ 原同余式组等价于，由孙子定理，得 2分
所以 5分
3．解：3为平方非剩余，由互反律，得,1分
3分由孙子定理，得，即 5分
4．解：，且， 3分故原同余式有解，解数为 5分
5．解：，，故13有4个原根 2分令，经过验算得13的一个最小原根为2,2分又∵ 1，5，7，11与12互素，
∴ 13的全部原根为 5分
6．解：由于4是16的约数，从上表可知,1分所以同余式有解，解数为4
原同余式与同解 2分解得,3分反查指标表，得解 5分四．1．证明：令表示不超过a的最高次幂，即,1分则的分母必为，为奇数 2分
3分此时除外均为偶数，故分子和为奇数，而分母和为偶数，故非整数。6分
2．证明：设 2分
∴ 4分
∵ ，∴ 5分取 6分整理，得到，因此 8分
3．证明：
8分
5．证明,是可乘函数，由可乘定理即得 2分 5分因为，故得 8分
2004 ～2005 学年第 二 学期
科目,初等数论 考试（查）试题B答案
命题教师：李伟勋 使用班级：02数本1，2，3班
一．1．7 2．147 3． 4．P为素数 5．96 6．393 7．1 8．g与中的单数 9． 10．
二．11．D 12.A 13．A 14．C 15．B 16．A 17．C 18．B 19．D 20．A
三．1．解：由于，而，所以原方程有解 1分又因为，故有
，特解为 3分所有解为 5分
2．解： 1分
∴ 原同余式组等价于，由孙子定理，得 2分
所以 5分
3．解：3为平方非剩余，由互反律，得,1分
3分由孙子定理，得，即 5分
4．解：，且， 3分故原同余式有解，解数为 5分
5．解：，，故11有4个原根 2分令，经过验算得11的一个最小原根为2,2分又∵ 1，3，7，9与10互素，
∴ 13的全部原根为 5分
6．解：从上表可知，由于（12，16）＝4是4的约数,1分所以同余式有解，解数为4
原同余式与同解 2分解得,3分反查指标表，得解 5分四．1．证明：(此题有多重解法)
∵ 1分
∴ 4分
∴ 6分
2．证明：（数学归纳法）设
（1） 时，，结论成立．
（2） 设时结论成立，即有
，故有
从而
故时，成立。
由（1）（2）得，
3．证明：
7分所以
5．证明：（1），故
（2）设若x1，x2分别通过模ｍ1，ｍ2简化剩余系，则ｍ2x1+ｍ1x2通过模ｍ1ｍ2简化剩余系，即ｍ2x1+ｍ1x2通过（ｍ1ｍ2）个整数。另一方面由于x1通过（ｍ1）个整数，因此ｍ2x1+ｍ1x2通过（ｍ1）（ｍ2）个整数。故（ｍ1ｍ2）=（ｍ1）（ｍ2）。证完
，
科目,初等数论 考试（查）试题A答案
命题教师：李伟勋 使用班级：02数本1，2，3班
一．1．28 2．147 3． 4．0.95840… 5．72 6．393
7．－1 8． 9． 10．
二．11．A 12．D 13．D 14．C 15．D 16．A 17．D 18．B 19．D 20．C
三．1．解：由于，而，所以原方程有解 1分原方程等价于，又因为，故有
，特解为 3分所有解为 5分
2．解： 1分
∴ 原同余式组等价于，由孙子定理，得 2分
所以 5分
3．解：3为平方非剩余，由互反律，得,1分
3分由孙子定理，得，即 5分
4．解：，且， 3分故原同余式有解，解数为 5分
5．解：，，故13有4个原根 2分令，经过验算得13的一个最小原根为2,2分又∵ 1，5，7，11与12互素，
∴ 13的全部原根为 5分
6．解：由于4是16的约数，从上表可知,1分所以同余式有解，解数为4
原同余式与同解 2分解得,3分反查指标表，得解 5分四．1．证明：令表示不超过a的最高次幂，即,1分则的分母必为，为奇数 2分
3分此时除外均为偶数，故分子和为奇数，而分母和为偶数，故非整数。6分
2．证明：设 2分
∴ 4分
∵ ，∴ 5分取 6分整理，得到，因此 8分
3．证明：
8分
5．证明,是可乘函数，由可乘定理即得 2分 5分因为，故得 8分
2004 ～2005 学年第 二 学期
科目,初等数论 考试（查）试题B答案
命题教师：李伟勋 使用班级：02数本1，2，3班
一．1．7 2．147 3． 4．P为素数 5．96 6．393 7．1 8．g与中的单数 9． 10．
二．11．D 12.A 13．A 14．C 15．B 16．A 17．C 18．B 19．D 20．A
三．1．解：由于，而，所以原方程有解 1分又因为，故有
，特解为 3分所有解为 5分
2．解： 1分
∴ 原同余式组等价于，由孙子定理，得 2分
所以 5分
3．解：3为平方非剩余，由互反律，得,1分
3分由孙子定理，得，即 5分
4．解：，且， 3分故原同余式有解，解数为 5分
5．解：，，故11有4个原根 2分令，经过验算得11的一个最小原根为2,2分又∵ 1，3，7，9与10互素，
∴ 13的全部原根为 5分
6．解：从上表可知，由于（12，16）＝4是4的约数,1分所以同余式有解，解数为4
原同余式与同解 2分解得,3分反查指标表，得解 5分四．1．证明：(此题有多重解法)
∵ 1分
∴ 4分
∴ 6分
2．证明：（数学归纳法）设
（1） 时，，结论成立．
（2） 设时结论成立，即有
，故有
从而
故时，成立。
由（1）（2）得，
3．证明：
7分所以
5．证明：（1），故
（2）设若x1，x2分别通过模ｍ1，ｍ2简化剩余系，则ｍ2x1+ｍ1x2通过模ｍ1ｍ2简化剩余系，即ｍ2x1+ｍ1x2通过（ｍ1ｍ2）个整数。另一方面由于x1通过（ｍ1）个整数，因此ｍ2x1+ｍ1x2通过（ｍ1）（ｍ2）个整数。故（ｍ1ｍ2）=（ｍ1）（ｍ2）。证完
，
