数学建模实例：人口预报问题
1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1 美国人口统计数据年（公元）
人口（百万）
1790
3.9
1800
5.3
1810
7.2
1820
9.6
1830
12.9
1840
17.1
1850
23.2
年（公元）
人口（百万）
1860
31.4
1870
38.6
1880
50.2
1890
62.9
1900
76.0
1910
92.0
1920
106.5
年（公元）
人口（百万）
1930
123.2
1940
131.7
1950
150.7
1960
179.3
1970
204.0
1980
226.5
1990
251.4
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型,记时刻t=0时人口数为x0,时刻t的人口为，由于量大，可视为连续、可微函数.t到时间内人口的增量为：
于是满足微分方程：
（1）
[3] 模型求解,解微分方程（1）得
（2）
表明：时，（r>0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307,
[5] 模型检验：
将x0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
实际人口
（百万）
指数增长模型
预测人口（百万）
误差（%）
1790
3.9
1800
5.3
1810
7.2
7.3
1.4
1820
9.6
10.0
4.2
1830
12.9
13.7
6.2
1840
17.1
18.7
9.4
1850
23.2
25.6
10.3
1860
31.4
35.0
10.8
1870
38.6
47.8
23.8
1880
50.2
65.5
30.5
1890
62.9
89.6
42.4
1900
76.0
122.5
61.2
1910
92.0
167.6
82.1
1920
106.5
229.3
115.3
从表2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个,
3,阻滞增长模型（Logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率r为人口的函数（减函数），最简单假定（线性函数），r叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量.
[2]建立模型：
当时，增长率应为0，即=0，于是，代入得：
（3）
将（3）式代入（1）得：
模型为, （4）
[3] 模型的求解,解方程组（4）得 （5）
根据方程（4）作出 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律,
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790-1980的数据对r和xm拟合得：r=0.2072,xm=464.
[5] 模型检验：
将r=0.2072,xm=464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
t=0,1,2,… (6)
用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
年
实际人口
（百万）
阻滞增长模型
公式（5）
公式（6）
预测人口（百万）
误差（%）
预测人口（百万）
误差（%）
1790
3.9
1800
5.3
5.9025
0.1137
3.9000
0.2642
1810
7.2
7.2614
0.0085
6.5074
0.0962
1820
9.6
8.9332
0.0695
8.6810
0.0957
1830
12.9
10.9899
0.1481
11.4153
0.1151
1840
17.1
13.5201
0.2094
15.1232
0.1156
1850
23.2
16.6328
0.2831
19.8197
0.1457
1860
31.4
20.4621
0.3483
26.5228
0.1553
1870
38.6
25.1731
0.3478
35.4528
0.0815
1880
50.2
30.9687
0.3831
43.5329
0.1328
1890
62.9
38.0986
0.3943
56.1884
0.1067
1900
76.0
46.8699
0.3833
70.1459
0.0770
1910
92.0
57.6607
0.3733
84.7305
0.0790
1920
106.5
70.9359
0.3339
102.4626
0.0379
1930
123.2
87.2674
0.2917
118.9509
0.0345
1940
131.7
107.3588
0.1848
137.8810
0.0469
1950
150.7
132.0759
0.1236
148.7978
0.0126
1960
179.3
162.4835
0.0938
170.2765
0.0503
1970
204.0
199.8919
0.0201
201.1772
0.0138
1980
226.5
245.9127
0.0857
227.5748
0.0047
1990
251.4
302.5288
0.2034
250.4488
0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083,xm=457.6,用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1 美国人口统计数据年（公元）
人口（百万）
1790
3.9
1800
5.3
1810
7.2
1820
9.6
1830
12.9
1840
17.1
1850
23.2
年（公元）
人口（百万）
1860
31.4
1870
38.6
1880
50.2
1890
62.9
1900
76.0
1910
92.0
1920
106.5
年（公元）
人口（百万）
1930
123.2
1940
131.7
1950
150.7
1960
179.3
1970
204.0
1980
226.5
1990
251.4
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型,记时刻t=0时人口数为x0,时刻t的人口为，由于量大，可视为连续、可微函数.t到时间内人口的增量为：
于是满足微分方程：
（1）
[3] 模型求解,解微分方程（1）得
（2）
表明：时，（r>0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307,
[5] 模型检验：
将x0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
实际人口
（百万）
指数增长模型
预测人口（百万）
误差（%）
1790
3.9
1800
5.3
1810
7.2
7.3
1.4
1820
9.6
10.0
4.2
1830
12.9
13.7
6.2
1840
17.1
18.7
9.4
1850
23.2
25.6
10.3
1860
31.4
35.0
10.8
1870
38.6
47.8
23.8
1880
50.2
65.5
30.5
1890
62.9
89.6
42.4
1900
76.0
122.5
61.2
1910
92.0
167.6
82.1
1920
106.5
229.3
115.3
从表2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个,
3,阻滞增长模型（Logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率r为人口的函数（减函数），最简单假定（线性函数），r叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量.
[2]建立模型：
当时，增长率应为0，即=0，于是，代入得：
（3）
将（3）式代入（1）得：
模型为, （4）
[3] 模型的求解,解方程组（4）得 （5）
根据方程（4）作出 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律,
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790-1980的数据对r和xm拟合得：r=0.2072,xm=464.
[5] 模型检验：
将r=0.2072,xm=464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
t=0,1,2,… (6)
用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
年
实际人口
（百万）
阻滞增长模型
公式（5）
公式（6）
预测人口（百万）
误差（%）
预测人口（百万）
误差（%）
1790
3.9
1800
5.3
5.9025
0.1137
3.9000
0.2642
1810
7.2
7.2614
0.0085
6.5074
0.0962
1820
9.6
8.9332
0.0695
8.6810
0.0957
1830
12.9
10.9899
0.1481
11.4153
0.1151
1840
17.1
13.5201
0.2094
15.1232
0.1156
1850
23.2
16.6328
0.2831
19.8197
0.1457
1860
31.4
20.4621
0.3483
26.5228
0.1553
1870
38.6
25.1731
0.3478
35.4528
0.0815
1880
50.2
30.9687
0.3831
43.5329
0.1328
1890
62.9
38.0986
0.3943
56.1884
0.1067
1900
76.0
46.8699
0.3833
70.1459
0.0770
1910
92.0
57.6607
0.3733
84.7305
0.0790
1920
106.5
70.9359
0.3339
102.4626
0.0379
1930
123.2
87.2674
0.2917
118.9509
0.0345
1940
131.7
107.3588
0.1848
137.8810
0.0469
1950
150.7
132.0759
0.1236
148.7978
0.0126
1960
179.3
162.4835
0.0938
170.2765
0.0503
1970
204.0
199.8919
0.0201
201.1772
0.0138
1980
226.5
245.9127
0.0857
227.5748
0.0047
1990
251.4
302.5288
0.2034
250.4488
0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083,xm=457.6,用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
