II、设计部分
第二章 线性多变量系统的运动分析
在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。
2.1 线性系统状态方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
Σ： (2.1）
其中，，且初始条件为。
将方程（2.1）写为
在上式两边左乘e-At，可得
将上式由O积分到t，得
故可求出其解为
(2.2a)
或
(2.2b)
式中为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
(2.3）
类似可求出其解为
(2.4)
一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。
2.2 状态转移矩阵的性质
定义2.1 时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件
(2.5)
的解。
下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质：
1、；
2、；
3、；
4、当A给定后， 唯一；
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
(2.6a)
上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足
即在矩阵乘法可交换的条件下，才可表示为如下矩阵指数函数形式
(2.6b)
显然，定常系统的状态转移矩阵不依赖于初始时刻，其性质仅是上述时变系统的特例。
------------------------------------------------------------------------------
[例2．1] 试求如下线性定常系统
的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t）。
[解] 对于该系统，
其状态转移矩阵由下式确定
由于
其逆矩阵为
因此
=
由于Ф-1（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为
------------------------------------------------------------------------------
[例2.2] 求下列系统的时间响应：
式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。
[解] 对该系统
状态转移矩阵已在例2.1中求得，即
因此，系统对单位阶跃输入的响应为：
或
如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为
------------------------------------------------------------------------------
2.3 向量矩阵分析中的若干结果
本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。
2.3.1凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理
在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
考虑n×n维矩阵A及其特征方程
凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即
(2.7)
为了证明此定理，注意到（λI-A）的伴随矩阵adj(λI-A)是λ的n -1次多项式，即
式中，。由于
可得
从上式可看出，A 和(i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果(λI-A）及其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ，显然λI-A为零。这样
即证明了凯莱-哈密尔顿定理。
2.3.2 最小多项式
按照凯莱-哈密尔顿定理，任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ)，即
使得φ(A）= 0，或者
最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用。
假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式φ(λ)由下式给出：
(2.8)
注意，n×n维矩阵A的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出：
1、根据伴随矩阵adj(λI-A)，写出作为λ的因式分解多项式的adj(λI-A)的各元素；
2、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d(λ)的λ最高阶次系数为1。如果不存在公约式，则d(λ)=1；
3、最小多项式φ(λ)可由|λI-A|除以d(λ)得到。
2.4 矩阵指数函数eAt的计算
前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数eAt。如果给定矩阵A中所有元素的值，MATLAB将提供一种计算eAT的简便方法，其中T为常数。
除了上述方法外，对eAt的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四种计算方法。
2.3.1 方法一：直接计算法(矩阵指数函数)
(2.9)
可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。
2.3.2 方法二：对角线标准形与Jordan标准形法
若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么eAt可由下式给出
式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。
类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则eAt可由下式确定出
eAt = S e J t S –1 (2.11)
------------------------------------------------------------------------------
[例2.3] 考虑如下矩阵A
[解] 该矩阵的特征方程为
因此，矩阵A有三个相重特征值λ=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为
矩阵S的逆为
于是
注意到
可得
eAt = S e J t S –1
即
2.3.3 方法三：拉氏变换法
(2.12)
为了求出eAt，关键是必须首先求出（sI-A）的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。
------------------------------------------------------------------------------
[例2.4] 考虑如下矩阵A
A
试用前面介绍的两种方法计算eAt 。
[解] 方法一 由于A的特征值为0和-2（λ1=0，λ2= -2），故可求得所需的变换矩阵P为
P =
因此，由式(2.10）可得
方法二 由于
可得
因此
------------------------------------------------------------------------------
2.3.4 方法四：化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法)
第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理，化为A的有限项，然后通过求待定时间函数获得的方法。必须指出，这种方法相当系统，而且计算过程简单。
设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式
(2.13)
即可求出。利用式(2.13）求解时，所得是以 (k=0,1,2,…,m-1)和 (i=1,2,3,…，m)的形式表示的。
此外，也可采用如下等价的方法。
将式(2.13)按最后一行展开，容易得到
（2.14）
从而通过求解下列方程组：
·
· (2.15)
·
可确定出(k=0,1,2…，m-1)，进而代入式(2.14)即可求得。
如果A为n×n维矩阵，且具有相异特征值，则所需确定的的个数为m=n，即有
（2.16）
如果A含有相重待征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的的个数小于n，这里将不再进一步介绍。
------------------------------------------------------------------------------
[例2.5] 考虑如下矩阵A
试用化为A的有限项法计算。
[解] 矩阵A的特征方程为
可得相异特征值为λ1=0，λ2= -2。
由式(2.13），可得
即
将上述行列式展开，可得
或
另一种可选用的方法是采用式(2.16）。首先，由
确定待定时间函数和。由于λ1=0，λ2= -2，上述两式变为
求解此方程组，可得
因此，
------------------------------------------------------------------------------
习题
2.1 考虑下列矩阵
试利用三种方法计算。
2.2 给定线性定常系统
式中
且初始条件为
试求该齐次状态方程的解x(t)。
第二章 线性多变量系统的运动分析
在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。
2.1 线性系统状态方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
Σ： (2.1）
其中，，且初始条件为。
将方程（2.1）写为
在上式两边左乘e-At，可得
将上式由O积分到t，得
故可求出其解为
(2.2a)
或
(2.2b)
式中为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
(2.3）
类似可求出其解为
(2.4)
一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。
2.2 状态转移矩阵的性质
定义2.1 时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件
(2.5)
的解。
下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质：
1、；
2、；
3、；
4、当A给定后， 唯一；
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
(2.6a)
上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足
即在矩阵乘法可交换的条件下，才可表示为如下矩阵指数函数形式
(2.6b)
显然，定常系统的状态转移矩阵不依赖于初始时刻，其性质仅是上述时变系统的特例。
------------------------------------------------------------------------------
[例2．1] 试求如下线性定常系统
的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t）。
[解] 对于该系统，
其状态转移矩阵由下式确定
由于
其逆矩阵为
因此
=
由于Ф-1（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为
------------------------------------------------------------------------------
[例2.2] 求下列系统的时间响应：
式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。
[解] 对该系统
状态转移矩阵已在例2.1中求得，即
因此，系统对单位阶跃输入的响应为：
或
如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为
------------------------------------------------------------------------------
2.3 向量矩阵分析中的若干结果
本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。
2.3.1凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理
在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
考虑n×n维矩阵A及其特征方程
凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即
(2.7)
为了证明此定理，注意到（λI-A）的伴随矩阵adj(λI-A)是λ的n -1次多项式，即
式中，。由于
可得
从上式可看出，A 和(i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果(λI-A）及其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ，显然λI-A为零。这样
即证明了凯莱-哈密尔顿定理。
2.3.2 最小多项式
按照凯莱-哈密尔顿定理，任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ)，即
使得φ(A）= 0，或者
最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用。
假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式φ(λ)由下式给出：
(2.8)
注意，n×n维矩阵A的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出：
1、根据伴随矩阵adj(λI-A)，写出作为λ的因式分解多项式的adj(λI-A)的各元素；
2、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d(λ)的λ最高阶次系数为1。如果不存在公约式，则d(λ)=1；
3、最小多项式φ(λ)可由|λI-A|除以d(λ)得到。
2.4 矩阵指数函数eAt的计算
前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数eAt。如果给定矩阵A中所有元素的值，MATLAB将提供一种计算eAT的简便方法，其中T为常数。
除了上述方法外，对eAt的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四种计算方法。
2.3.1 方法一：直接计算法(矩阵指数函数)
(2.9)
可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。
2.3.2 方法二：对角线标准形与Jordan标准形法
若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么eAt可由下式给出
式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。
类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则eAt可由下式确定出
eAt = S e J t S –1 (2.11)
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[例2.3] 考虑如下矩阵A
[解] 该矩阵的特征方程为
因此，矩阵A有三个相重特征值λ=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为
矩阵S的逆为
于是
注意到
可得
eAt = S e J t S –1
即
2.3.3 方法三：拉氏变换法
(2.12)
为了求出eAt，关键是必须首先求出（sI-A）的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。
------------------------------------------------------------------------------
[例2.4] 考虑如下矩阵A
A
试用前面介绍的两种方法计算eAt 。
[解] 方法一 由于A的特征值为0和-2（λ1=0，λ2= -2），故可求得所需的变换矩阵P为
P =
因此，由式(2.10）可得
方法二 由于
可得
因此
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2.3.4 方法四：化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法)
第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理，化为A的有限项，然后通过求待定时间函数获得的方法。必须指出，这种方法相当系统，而且计算过程简单。
设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式
(2.13)
即可求出。利用式(2.13）求解时，所得是以 (k=0,1,2,…,m-1)和 (i=1,2,3,…，m)的形式表示的。
此外，也可采用如下等价的方法。
将式(2.13)按最后一行展开，容易得到
（2.14）
从而通过求解下列方程组：
·
· (2.15)
·
可确定出(k=0,1,2…，m-1)，进而代入式(2.14)即可求得。
如果A为n×n维矩阵，且具有相异特征值，则所需确定的的个数为m=n，即有
（2.16）
如果A含有相重待征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的的个数小于n，这里将不再进一步介绍。
------------------------------------------------------------------------------
[例2.5] 考虑如下矩阵A
试用化为A的有限项法计算。
[解] 矩阵A的特征方程为
可得相异特征值为λ1=0，λ2= -2。
由式(2.13），可得
即
将上述行列式展开，可得
或
另一种可选用的方法是采用式(2.16）。首先，由
确定待定时间函数和。由于λ1=0，λ2= -2，上述两式变为
求解此方程组，可得
因此，
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习题
2.1 考虑下列矩阵
试利用三种方法计算。
2.2 给定线性定常系统
式中
且初始条件为
试求该齐次状态方程的解x(t)。
