1
2
第十章 位 移 法
§ 10— 1 概述
§ 10— 2 等截面直杆的转角位移方程
§ 10— 3 位移法的基本未知量和基本结构
§ 10— 4 位移法的典型方程及计算步骤
§ 10— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
§ 10— 6 对称性的利用
3
§ 10— 1 概 述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，
位移法建立于上世纪初。
力法 ——
位移法 ——以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
以多余未知力为基本未知量，
由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。
返 回
4
位移法的基本概念以图示刚架为例予以说明
1 2
3
EI=常数
P
2l 2l
刚架在荷载 P作用下将发生如虚线所示的变形。
Z1
Z1
在刚结点 1处发生转角 Z1，结点没有线位移。则 12杆可以视为一根两端固定的梁（见图）。
1
P
Z1 2
其受荷载 P作用和支座 1发生转角 Z1
这两种情况下的内力均可以由力法求。同理,13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见图）。
1
3
Z1
而在固定端 1处发生了转角 Z1，其内力同样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以
Z1为基本未知量，设法首先求出 Z1，
则各杆的内力即可求出。 这就是位移法的基本思路 。
Z1
返 回
5
由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：
（ 1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。
（ 2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。
（ 3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。 返 回
6
§ 10— 2 等截面直杆的转角位移方程本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移 (线位移、角位移 )时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力 (弯矩、剪力 )。为了应用方便，首先推导杆端弯矩公式。
如图所示，两端固定的等截面梁,A B
LEI
P t
1t
2
A′
B′
A
B?AB
除受荷载及温度变化外，
两支座还发生位移：转角?A、
B及侧移△ AB 。转角?A,?B顺时针为正,△ AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。
在位移法中，为了计算方便，弯矩的符号规定如下：弯矩是以对杆端顺时针为正 (对结点或对支座以逆时针为正 )。图中所示均为正值。
MAB
A
MBA
B返 回
7
A B
LEI
P t
1
t2
A′
B′
A
B?AB
用力法解此问题，选取基本结构如图。
P t
1
t2
X1
X2 X3
多余未知力为 X1,X2。
力法典型方程为
11X1+?12X2+ △ 1P+ △ 1t+ △ 1△ =?A
21X1+?22X2+ △ 2P+ △ 2t +△ 2△ =?B
为计算系数和自由项，作,
,MP图。
1M 图1
2M 图
1
MP图X
A XB
由图乘法算出：
，
，
AB
由图知这里,?AB称为弦转角，顺时针为正。 △ 1t,△ 2t 由第七章公式计算。 返 回
8
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得
X1=
X2=
令 称为杆件的 线刚度 。此外，用 MAB代替 X1，用
MBA代替 X2，上式可写成
MAB= 4i?A+2i?B－
MBA= 4i?B +2i?A－
(10— 1）
式中
(10— 2）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端弯矩，称为 固 端弯矩 。 返 回
9
MAB= 4i?A+2i?B __
MBA= 4i?B +2i?A__ (10— 1）
式 (10— 1）是 两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常称为 转角位移方程 。
对于一端固定另一端简支的等截面梁 (见图 ),其 转角位移方程可由 式 (10— 1）导出，设 B端为铰支，则因
A B
EI
P
t1
t2
l
MBA= 4i?B +2i?A__ =0
可见,?B可表示为?A、△ AB的函数。将此式代入式 (10— 1)第一式，得
MAB=3i?A (10— 3）（ 转角位移方程 ）
式中 （ 10— 4）（ 固端弯矩 ）
杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。
有返 回
10
§ 10— 3 位移法的基本未知量和基本结构在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
1.位移法的基本未知量这样,结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目 。
例如图示刚架
1 2 3
4 5 6
独立的结点角位移数目为 2。
返 回
11
(2)独立线位移数目的确定在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移 (侧移 )。例如 (见图 a）
1 2 3
4 5 6
4,5,6 三个固定 端 都是不动的点，结点 1,2,3均无竖向位移。
又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移 △ 。
P
△ △ △
(a)
事实上，图 (a)所示结构的独立线位移数目，与图 (b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b)
将结构的刚结点 (包括固定支座 )都变成铰结点 (成为铰结体系 ),
则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目 (见图 b)。 返 回
12
2.位移法的基本结构用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁 (或可定杆件 )。通常的做法是，在每个刚结点上假想地加上一个 附加刚臂 (仅阻止刚结点转动 ),同时在有线位移的结点上加 上 附加支座链杆 (阻止结点移动 )。
1 2 3
4 5 6例如 ( 见图 a)
(a)
又例如 (见图 b)
(b)
2
3 4
5 6 7
共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。
基本结构如图所示。
1
基本未知量三个。
返 回
13
§ 10— 4 位移法的典型方程及计算步骤以图 (a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的方程及具体计算步骤。
P
L
2l
2l
1 2
3 4
EI=常数基本未知量为,Z1,Z2 。
Z1
Z2
基本结构如图 (b)所示。
(a) (b)基本结构
1 2
3 4
= Z1
Z2R1=0
=0
P
R1— 附加刚臂上的反力矩
R2— 附加链杆上的反力据叠加原理,
=
Z
1
R211 2
3 4
1
3 4
P
R2P
12 2
3 4
则有
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
R22
R2
R12R
11
R1PZ
2
返 回
14
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
式中第一个下标表示该反力的位置，
第二个下标表示引起该反力的原因。
设以 r11,r12分别表示由单位位移 所引起的刚臂上的反力矩,以 r21,r22分别表示由单位位移 所引起的链杆上的反力，则上式可写成
r11Z1+ r12Z2+R1P=0
r21Z1+ r22Z2+R2P=0 (10— 5)
这就是求解 Z1,Z2的方程，即 位移法基本方程 (典型方程 )。
它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零 (静力平衡条件 )。 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：
r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0
····························
ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0
····························
rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0
(10— 6）
返 回
15
r11Z1+ ·· + r1iZi+ ·· + r1nZn+R1P=0
····················································
ri 1Z1+ ·· + ri iZi+ ·· + ri nZn+Ri P=0
····················································
rn1Z1+ ·· + rniZi+ ·· + rnnZn+RnP=0
(10— 6）
在上述典型方程中,rii 称为 主系数,rij(i≠j) 称为 副系数 。 RiP称为 自由项 。主系数恒为正，副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (i≠j) 。
由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加联系的反力 (或反力矩 )，显然，结构刚度愈大，这些反力 (或反力矩 )愈大，故这些系数又称为结构的刚度系数 。因此位移法典型方程又称为结构的 刚度方程,
位移法也称为 刚度法 。 返 回
16
以及载荷作用下的弯矩图为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表 10— 1，绘出基本结构在 和 MP图：
1
3 4
2 1
3 4
2 1
3 4
2
11?Z
图1M
4i
2i
3i
图2M
l
i6
l
i6
l
i3
12?Z
P
MP图
8
Pl
系数和自由项可分为两类,?附加刚臂上的反力矩 r11,r12、和
R 1P；?是附加链杆上的反力 r21,r22和 R2P。
r21
r22
R2P
(a) (b) (c)
可分别在图 (a),(b),(c)
中取结点 1为隔离体，
1 1 1
r11
3i
4i
r12
0
R1P
0
8Pl
由力矩平衡方程 ∑M1=0求得,r11=7i,
R1P= 。
r11=7i,R1P=，
对于附加链杆上的反力，可分别在图 (a),(b),(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表 10— 1查出杆端剪力，
1 2 1 2 1 2
l
i6 0
2
12
l
i
2
3
l
i2
P 0
由方程 ∑X=0求得 r21=－ R2P=－ P/2
r21
r22 R2P
R 1Pr12
r11
返 回
17
将系数和自由项代入典型方程 (10— 5)有解此方程得所得均为正值，说明 Z 1,Z2与所设方向相同。
最后弯矩图由叠加法绘制：
例如杆端弯矩 M31为
M图
1 2
3 4
Pl552183
P Pl55260
Pl55227
Pl55227
Pl55266
M图绘出后,Q,N图即可由平衡条件绘出 (略）。 返 回
18
最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。
结 论由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：
(1) 确定结构的基本未知量的数目 (独立的结点角位移和线位移 )，
并引入附加联系而得到基本结构。
(2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下 (或支座位移、温度变化等其它外因作用下 )的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。 返 回
19
例 10— 1 图示刚架的支座 A产生了水平位移 a、竖向位移 b=4a
及转角?=a/L，试绘其弯矩图。
A
BC EI
2EI
L
A′
a?
解,基本未知量 Z 1(结点 C转角 )；
Z 1
基本结构如图示；
A
BC Z 1
基本结构建立位移法典型方程,r
11Z1+R1△ =0
为计算系数和自由项，作和 M△ 图 (设 EI/L=i)
A
BC Z 1=1
图1M
b
8i
4i
3i A
BC
M△ 图基本结构由于支座位移产生的固端弯矩 (由表 10— 1)查得
20i?
16i?
12i?
8i
3i
由 求得 r11=8i+3i=11i
由 M△ 图求得
12i?
16i?
R1△ =16i?+12i?=28i?
R1△
r11
R1△
返 回
20
将上述系数和自由项代入典型方程，
便有
11iZ1+28i?=0
解得 Z
1=
刚架的最后弯矩图为
A
BC
A
BC Z 1=1
图1M
8i
4i
3i
A
BC
M△ 图
20i?
16i?
12i?
例如：
MAC= 4i× +20i?
=
i11108
i1148
M图
R1△
返 回
21
§ 10— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩 (或反力 )等于零的条件，
建立位移法的基本方程。
我们也可以不通过基本结构，直接由平衡条件建立位移法基本方程。
举例说明如下
1 2
3 4
P
2L
2L
L
i
i i
取结点 1，由 ∑ M1=0及截取两柱顶端以上横梁部分，由 ∑ X=0 (见图 )得
M12M
13
1
1 2← ←
Q24Q13
∑M1=M13+M12=0 (a)
∑X=Q13+Q24=0 (b)
由转角位移方程及表 10— 1得将以上四式代入式 (a),(b)得这与 § 10— 4节所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质相同，只是处理方法上不同。 返 回
22
§ 10— 6 对称性的利用在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论,对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的 。在位移法中，同样可以利用这一结论简化计算。
例如：
P P/2 P/2
Z1 Z1
P/2 P/2
Z2 Z
2
+
‖
Z3
Z1
P/2 P/2
Z2
‖
Z3
返 回
2
第十章 位 移 法
§ 10— 1 概述
§ 10— 2 等截面直杆的转角位移方程
§ 10— 3 位移法的基本未知量和基本结构
§ 10— 4 位移法的典型方程及计算步骤
§ 10— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
§ 10— 6 对称性的利用
3
§ 10— 1 概 述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，
位移法建立于上世纪初。
力法 ——
位移法 ——以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
以多余未知力为基本未知量，
由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。
返 回
4
位移法的基本概念以图示刚架为例予以说明
1 2
3
EI=常数
P
2l 2l
刚架在荷载 P作用下将发生如虚线所示的变形。
Z1
Z1
在刚结点 1处发生转角 Z1，结点没有线位移。则 12杆可以视为一根两端固定的梁（见图）。
1
P
Z1 2
其受荷载 P作用和支座 1发生转角 Z1
这两种情况下的内力均可以由力法求。同理,13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见图）。
1
3
Z1
而在固定端 1处发生了转角 Z1，其内力同样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以
Z1为基本未知量，设法首先求出 Z1，
则各杆的内力即可求出。 这就是位移法的基本思路 。
Z1
返 回
5
由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：
（ 1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。
（ 2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。
（ 3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。 返 回
6
§ 10— 2 等截面直杆的转角位移方程本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移 (线位移、角位移 )时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力 (弯矩、剪力 )。为了应用方便，首先推导杆端弯矩公式。
如图所示，两端固定的等截面梁,A B
LEI
P t
1t
2
A′
B′
A
B?AB
除受荷载及温度变化外，
两支座还发生位移：转角?A、
B及侧移△ AB 。转角?A,?B顺时针为正,△ AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。
在位移法中，为了计算方便，弯矩的符号规定如下：弯矩是以对杆端顺时针为正 (对结点或对支座以逆时针为正 )。图中所示均为正值。
MAB
A
MBA
B返 回
7
A B
LEI
P t
1
t2
A′
B′
A
B?AB
用力法解此问题，选取基本结构如图。
P t
1
t2
X1
X2 X3
多余未知力为 X1,X2。
力法典型方程为
11X1+?12X2+ △ 1P+ △ 1t+ △ 1△ =?A
21X1+?22X2+ △ 2P+ △ 2t +△ 2△ =?B
为计算系数和自由项，作,
,MP图。
1M 图1
2M 图
1
MP图X
A XB
由图乘法算出：
，
，
AB
由图知这里,?AB称为弦转角，顺时针为正。 △ 1t,△ 2t 由第七章公式计算。 返 回
8
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得
X1=
X2=
令 称为杆件的 线刚度 。此外，用 MAB代替 X1，用
MBA代替 X2，上式可写成
MAB= 4i?A+2i?B－
MBA= 4i?B +2i?A－
(10— 1）
式中
(10— 2）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端弯矩，称为 固 端弯矩 。 返 回
9
MAB= 4i?A+2i?B __
MBA= 4i?B +2i?A__ (10— 1）
式 (10— 1）是 两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常称为 转角位移方程 。
对于一端固定另一端简支的等截面梁 (见图 ),其 转角位移方程可由 式 (10— 1）导出，设 B端为铰支，则因
A B
EI
P
t1
t2
l
MBA= 4i?B +2i?A__ =0
可见,?B可表示为?A、△ AB的函数。将此式代入式 (10— 1)第一式，得
MAB=3i?A (10— 3）（ 转角位移方程 ）
式中 （ 10— 4）（ 固端弯矩 ）
杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。
有返 回
10
§ 10— 3 位移法的基本未知量和基本结构在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
1.位移法的基本未知量这样,结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目 。
例如图示刚架
1 2 3
4 5 6
独立的结点角位移数目为 2。
返 回
11
(2)独立线位移数目的确定在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移 (侧移 )。例如 (见图 a）
1 2 3
4 5 6
4,5,6 三个固定 端 都是不动的点，结点 1,2,3均无竖向位移。
又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移 △ 。
P
△ △ △
(a)
事实上，图 (a)所示结构的独立线位移数目，与图 (b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b)
将结构的刚结点 (包括固定支座 )都变成铰结点 (成为铰结体系 ),
则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目 (见图 b)。 返 回
12
2.位移法的基本结构用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁 (或可定杆件 )。通常的做法是，在每个刚结点上假想地加上一个 附加刚臂 (仅阻止刚结点转动 ),同时在有线位移的结点上加 上 附加支座链杆 (阻止结点移动 )。
1 2 3
4 5 6例如 ( 见图 a)
(a)
又例如 (见图 b)
(b)
2
3 4
5 6 7
共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。
基本结构如图所示。
1
基本未知量三个。
返 回
13
§ 10— 4 位移法的典型方程及计算步骤以图 (a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的方程及具体计算步骤。
P
L
2l
2l
1 2
3 4
EI=常数基本未知量为,Z1,Z2 。
Z1
Z2
基本结构如图 (b)所示。
(a) (b)基本结构
1 2
3 4
= Z1
Z2R1=0
=0
P
R1— 附加刚臂上的反力矩
R2— 附加链杆上的反力据叠加原理,
=
Z
1
R211 2
3 4
1
3 4
P
R2P
12 2
3 4
则有
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
R22
R2
R12R
11
R1PZ
2
返 回
14
R1=R11+R12+R1P=0
R2=R21+R22+R2P=0
式中第一个下标表示该反力的位置，
第二个下标表示引起该反力的原因。
设以 r11,r12分别表示由单位位移 所引起的刚臂上的反力矩,以 r21,r22分别表示由单位位移 所引起的链杆上的反力，则上式可写成
r11Z1+ r12Z2+R1P=0
r21Z1+ r22Z2+R2P=0 (10— 5)
这就是求解 Z1,Z2的方程，即 位移法基本方程 (典型方程 )。
它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零 (静力平衡条件 )。 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：
r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0
····························
ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0
····························
rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0
(10— 6）
返 回
15
r11Z1+ ·· + r1iZi+ ·· + r1nZn+R1P=0
····················································
ri 1Z1+ ·· + ri iZi+ ·· + ri nZn+Ri P=0
····················································
rn1Z1+ ·· + rniZi+ ·· + rnnZn+RnP=0
(10— 6）
在上述典型方程中,rii 称为 主系数,rij(i≠j) 称为 副系数 。 RiP称为 自由项 。主系数恒为正，副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (i≠j) 。
由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加联系的反力 (或反力矩 )，显然，结构刚度愈大，这些反力 (或反力矩 )愈大，故这些系数又称为结构的刚度系数 。因此位移法典型方程又称为结构的 刚度方程,
位移法也称为 刚度法 。 返 回
16
以及载荷作用下的弯矩图为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表 10— 1，绘出基本结构在 和 MP图：
1
3 4
2 1
3 4
2 1
3 4
2
11?Z
图1M
4i
2i
3i
图2M
l
i6
l
i6
l
i3
12?Z
P
MP图
8
Pl
系数和自由项可分为两类,?附加刚臂上的反力矩 r11,r12、和
R 1P；?是附加链杆上的反力 r21,r22和 R2P。
r21
r22
R2P
(a) (b) (c)
可分别在图 (a),(b),(c)
中取结点 1为隔离体，
1 1 1
r11
3i
4i
r12
0
R1P
0
8Pl
由力矩平衡方程 ∑M1=0求得,r11=7i,
R1P= 。
r11=7i,R1P=，
对于附加链杆上的反力，可分别在图 (a),(b),(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表 10— 1查出杆端剪力，
1 2 1 2 1 2
l
i6 0
2
12
l
i
2
3
l
i2
P 0
由方程 ∑X=0求得 r21=－ R2P=－ P/2
r21
r22 R2P
R 1Pr12
r11
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17
将系数和自由项代入典型方程 (10— 5)有解此方程得所得均为正值，说明 Z 1,Z2与所设方向相同。
最后弯矩图由叠加法绘制：
例如杆端弯矩 M31为
M图
1 2
3 4
Pl552183
P Pl55260
Pl55227
Pl55227
Pl55266
M图绘出后,Q,N图即可由平衡条件绘出 (略）。 返 回
18
最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。
结 论由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：
(1) 确定结构的基本未知量的数目 (独立的结点角位移和线位移 )，
并引入附加联系而得到基本结构。
(2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下 (或支座位移、温度变化等其它外因作用下 )的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。 返 回
19
例 10— 1 图示刚架的支座 A产生了水平位移 a、竖向位移 b=4a
及转角?=a/L，试绘其弯矩图。
A
BC EI
2EI
L
A′
a?
解,基本未知量 Z 1(结点 C转角 )；
Z 1
基本结构如图示；
A
BC Z 1
基本结构建立位移法典型方程,r
11Z1+R1△ =0
为计算系数和自由项，作和 M△ 图 (设 EI/L=i)
A
BC Z 1=1
图1M
b
8i
4i
3i A
BC
M△ 图基本结构由于支座位移产生的固端弯矩 (由表 10— 1)查得
20i?
16i?
12i?
8i
3i
由 求得 r11=8i+3i=11i
由 M△ 图求得
12i?
16i?
R1△ =16i?+12i?=28i?
R1△
r11
R1△
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20
将上述系数和自由项代入典型方程，
便有
11iZ1+28i?=0
解得 Z
1=
刚架的最后弯矩图为
A
BC
A
BC Z 1=1
图1M
8i
4i
3i
A
BC
M△ 图
20i?
16i?
12i?
例如：
MAC= 4i× +20i?
=
i11108
i1148
M图
R1△
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21
§ 10— 5 直接由平衡条件建立位移法基本方程用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩 (或反力 )等于零的条件，
建立位移法的基本方程。
我们也可以不通过基本结构，直接由平衡条件建立位移法基本方程。
举例说明如下
1 2
3 4
P
2L
2L
L
i
i i
取结点 1，由 ∑ M1=0及截取两柱顶端以上横梁部分，由 ∑ X=0 (见图 )得
M12M
13
1
1 2← ←
Q24Q13
∑M1=M13+M12=0 (a)
∑X=Q13+Q24=0 (b)
由转角位移方程及表 10— 1得将以上四式代入式 (a),(b)得这与 § 10— 4节所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质相同，只是处理方法上不同。 返 回
22
§ 10— 6 对称性的利用在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论,对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的 。在位移法中，同样可以利用这一结论简化计算。
例如：
P P/2 P/2
Z1 Z1
P/2 P/2
Z2 Z
2
+
‖
Z3
Z1
P/2 P/2
Z2
‖
Z3
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