环境质量评价与系统分析湖南环境生物学院环科系彭亮
2,数学模型概述
2.1 数学模型的定义和分类
2.2 数学模型的建立
2.2.1 建立数学模型的过程
2.2.2 对模型的基本要求
2.2.3 数学模型的验证和误差分析
2.3 Excel 在建立数学模型的应用
2.3.1 污水处理的线性回归分析
2.3.2 结构分析和曲线拟合
2.3.3 用 Excel进行参数估计
2.1 数学模型的定义和分类定义,如果一个事物 M 与另一个事物 S 之间，满足两个条件：
M 中包含有一些元素 (分量 )，每个元素 (分量 )分别对应和代表 S 中的一个元素 (分量 )；
M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。
我们则将事物 M 称为事物 S 的模型。满足上述模型条件的具体数学表达式和算法叫做数学模型。
模型的形式模型抽象模型具体模型数学模型,方程式,函数,逻辑式图象模型,流程图,方向图,框图；
计算机程序,计算程序,模拟程序相似模型,(实物放大缩小 )
建筑模型,风洞实验模型模拟模型,电模拟模型讨 论 题用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服，
哪个效果好。
定义：
M 中包含有一些元素 (分量 )，
每个元素 (分量 )分别对应和代表 S 中的一个元素 (分量 )；
M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。
设，一盆水水量 L，
衣服中污染物质量 M，
余水量 L1,残余物比较；
物理简化法；
数学简化法。
2.2 数学模型的建立
2.2.1 建立数学模型的过程
2.2.2 对模型的基本要求
2.2.3 数学模型的验证和误差分析建立数学模型的步骤观测数据组 Ⅰ
模型结构选择模型应用观测数据组 Ⅱ
参数估计 检 验 与 验证图 2-2
模型的结构选择
(1)白箱模型
根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。
(2)灰箱模型
即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。
(3)黑箱模型
即输入 -输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。
根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。
2.3 Excel 在建立数学模型的应用
2.3.1 污水处理的线性回归分析
2.3.2 结构分析和曲线拟合
2.3.3 用 Excel进行参数估计污水处理的线性回归分析
例 2-2 某污水处理厂提供的 3,4月份的日常监测台帐如表 2-4所示，试根据 3月份的数据建立其出水
COD对应入水 COD的线性回归模型，然后用 4月份的数据进行验证。
表 2-5 出水 COD对应入水 COD回归统计结果
Multiple R 0.630237
Intercept 43.25682
X Variable 1 0.136996
标准误差 26.22009
观测值 24
结构分析和曲线拟合
例 2-3 十二胺降解实验数据如表 2-7所示，使用 Excel 工作表进行曲线拟合。
表 2-7 十二胺降解实验数据
解,在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指数模型，拟合结果如图 2-8所示。指数模型又分别指定和不指定是否必须通过初始浓度 2.3 mg/L。注意在图 2-7中有个选项页，如果需要在图中显示出模型的表达式,R2,或者需要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选项页进行操作。
2.3.3 用 Excel进行参数估计
用 Copy计算式结合多元线性回归进行复杂模型参数估值
例 2-4 根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：
试根据表 2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数估值，并讨论其是否可信。
解,首先建立 Excel的工作表，输入已知的实验数据，在新的两列中分别通过输入计算式和用 Copy 命令求得对应的
x10.5 和 ln(x2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计算结果均列入 表 2-8。
21 ln xbxacy
用最优化方法进行复杂模型的参数估值
使用 Excel电子表格，对于因变量 y 相应于自变量 X（可以是包含多个元素的向量）的试验或观测数据，由经验给定参数的初值开始，
计算计算值与观测值之间的误差，用最优化方法进行参数估值，使该参数取值条件下误差的平方和最小。
例 2-5 已知河流平均流速为 4.0km／ h，饱和溶解氧 (DO)为 lO.Omg／ L，河流起点的 BOD(L0)
浓度为 20mg／ L，沿程的溶解氧
(ＤＯ )的测定数据如下：
)()( 00 x
d
x
a
x
a
u
xk
u
xk
da
du
xk
ss eekk
Lk
ecccc
第二章 数学模型概述 学习难点的阐述通过例题 例 2-2学习，进一步 阐述该学习难点，
用 具体计算和图形展示
误差的取值、累积频率曲线；
认识 中值误差 (累积频率为 50％ )的概念和采用来作为衡量模型精确度的度量。
掌握数学建模方法。
50.0
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
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0.2
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0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 10 20 30 40 50
误差的累积频率误差 mg/L
第二章 数学模型概述
学习要点为：
(1) 满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具有高度的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、
生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。
(2) 数学模型的建立过程包括：数据的搜集和初步分析、模型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等。
(3) Microsoft Excel 提供了一组数据分析工具，要使用分析工具库进行 数学模型的验证和误差分析,必须对所提供的分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。
(4) 练习掌握 用 Excel解决环境问题的线性回归分析、曲线拟合及参数估计 等数学建模问题。
难点重点
2,数学模型概述
2.1 数学模型的定义和分类
2.2 数学模型的建立
2.2.1 建立数学模型的过程
2.2.2 对模型的基本要求
2.2.3 数学模型的验证和误差分析
2.3 Excel 在建立数学模型的应用
2.3.1 污水处理的线性回归分析
2.3.2 结构分析和曲线拟合
2.3.3 用 Excel进行参数估计
2.1 数学模型的定义和分类定义,如果一个事物 M 与另一个事物 S 之间，满足两个条件：
M 中包含有一些元素 (分量 )，每个元素 (分量 )分别对应和代表 S 中的一个元素 (分量 )；
M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。
我们则将事物 M 称为事物 S 的模型。满足上述模型条件的具体数学表达式和算法叫做数学模型。
模型的形式模型抽象模型具体模型数学模型,方程式,函数,逻辑式图象模型,流程图,方向图,框图；
计算机程序,计算程序,模拟程序相似模型,(实物放大缩小 )
建筑模型,风洞实验模型模拟模型,电模拟模型讨 论 题用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服，
哪个效果好。
定义：
M 中包含有一些元素 (分量 )，
每个元素 (分量 )分别对应和代表 S 中的一个元素 (分量 )；
M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。
设，一盆水水量 L，
衣服中污染物质量 M，
余水量 L1,残余物比较；
物理简化法；
数学简化法。
2.2 数学模型的建立
2.2.1 建立数学模型的过程
2.2.2 对模型的基本要求
2.2.3 数学模型的验证和误差分析建立数学模型的步骤观测数据组 Ⅰ
模型结构选择模型应用观测数据组 Ⅱ
参数估计 检 验 与 验证图 2-2
模型的结构选择
(1)白箱模型
根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。
(2)灰箱模型
即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。
(3)黑箱模型
即输入 -输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。
根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。
2.3 Excel 在建立数学模型的应用
2.3.1 污水处理的线性回归分析
2.3.2 结构分析和曲线拟合
2.3.3 用 Excel进行参数估计污水处理的线性回归分析
例 2-2 某污水处理厂提供的 3,4月份的日常监测台帐如表 2-4所示，试根据 3月份的数据建立其出水
COD对应入水 COD的线性回归模型，然后用 4月份的数据进行验证。
表 2-5 出水 COD对应入水 COD回归统计结果
Multiple R 0.630237
Intercept 43.25682
X Variable 1 0.136996
标准误差 26.22009
观测值 24
结构分析和曲线拟合
例 2-3 十二胺降解实验数据如表 2-7所示，使用 Excel 工作表进行曲线拟合。
表 2-7 十二胺降解实验数据
解,在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指数模型，拟合结果如图 2-8所示。指数模型又分别指定和不指定是否必须通过初始浓度 2.3 mg/L。注意在图 2-7中有个选项页，如果需要在图中显示出模型的表达式,R2,或者需要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选项页进行操作。
2.3.3 用 Excel进行参数估计
用 Copy计算式结合多元线性回归进行复杂模型参数估值
例 2-4 根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：
试根据表 2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数估值，并讨论其是否可信。
解,首先建立 Excel的工作表，输入已知的实验数据，在新的两列中分别通过输入计算式和用 Copy 命令求得对应的
x10.5 和 ln(x2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计算结果均列入 表 2-8。
21 ln xbxacy
用最优化方法进行复杂模型的参数估值
使用 Excel电子表格，对于因变量 y 相应于自变量 X（可以是包含多个元素的向量）的试验或观测数据，由经验给定参数的初值开始，
计算计算值与观测值之间的误差，用最优化方法进行参数估值，使该参数取值条件下误差的平方和最小。
例 2-5 已知河流平均流速为 4.0km／ h，饱和溶解氧 (DO)为 lO.Omg／ L，河流起点的 BOD(L0)
浓度为 20mg／ L，沿程的溶解氧
(ＤＯ )的测定数据如下：
)()( 00 x
d
x
a
x
a
u
xk
u
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da
du
xk
ss eekk
Lk
ecccc
第二章 数学模型概述 学习难点的阐述通过例题 例 2-2学习，进一步 阐述该学习难点，
用 具体计算和图形展示
误差的取值、累积频率曲线；
认识 中值误差 (累积频率为 50％ )的概念和采用来作为衡量模型精确度的度量。
掌握数学建模方法。
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误差的累积频率误差 mg/L
第二章 数学模型概述
学习要点为：
(1) 满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具有高度的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、
生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。
(2) 数学模型的建立过程包括：数据的搜集和初步分析、模型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等。
(3) Microsoft Excel 提供了一组数据分析工具，要使用分析工具库进行 数学模型的验证和误差分析,必须对所提供的分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。
(4) 练习掌握 用 Excel解决环境问题的线性回归分析、曲线拟合及参数估计 等数学建模问题。
难点重点
