环境质量评价与系统分析安徽工业大学建工学院二○○四年六月八日
8,环境系统最优化
8.1 环境规划和系统最优化
8.2 线性规划的概念
8.3 图解法解二维线性规划问题
8.4 单纯形法解 LP问题
8.5 对偶线性规划模型
8.6 Excel的规划求解
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
8.1 环境规划和系统最优化
8.1.1 城市环境规划
城市开发规划概要
(1)工业规划 (2)自然环境改变 (3)人口变化
土地利用规划
(1)总体规划 (2)工业区划 (3)居住区和商业区划 (4)农业、林业和畜牧业等区划 (5)其他依据和标准
水资源管理规划
(1) 用水规划,水资源保护规划 (水质、水量 )(3)水面利用规划
城市能源规划
(1)能源利用规划 (2)能源环境影响预测 (3)能源环境管理规划
工业污染源控制规划
(1)工业污染源环境影响预测 (2) 控制规划
大气污染综合防治规划及其他
(1)大气环境质量预测 (2)大气污染防治 (3)固体废物，化学品、噪声污染预测及防治
城市交通规划
城市绿化和建立生态调节区特殊保护区
8.1.2 环境系统最优化
Min Z = f(Χ,Ｕ,Θ)
S.t,G(Χ,Ｕ,Θ) = 0 ),...,,()( 21 nXXXFZM inM a x?
mnm
n
n
bXXXg
bXXXg
bXXXg
或或或
,,),...,,(
........,......
,,),...,,(
,,),...,,(
21
2212
1211
最优化模型可以写成更易于理解的一般形式：
S.t
城市污水排水系统优化例
)()()()( ttpppppupupp ACACACACM i nZ
)2()1(
0
iii
i
ti
Q
QQ
Sii CC?
m i nm a x
m i n
'
'
'''
''
'
VVV
DD
D
hHH
D
pp
m i nm a x
m i n
0
m i n22m a x
m i n11m a x
0
0)(
VVV
DD
D
DHDH
FF
zHEz
zHEz
qQA
D
iiuu
u
s.t,污水处理厂约束条件（总流量为各分流量之和，处理效率在工艺相应限制下）；
水质约束条件（控制水质符合环境标准）；
压力输水管约束条件（输水总扬程 =输水净扬程 +水头损失,设计管径属于标准管径系列，最小管径限制，管中水流流速在最小允许流速和最大允许流速之间）。
重力流污水管约束条件,(1)水量连续方程,Q为各管的设计流量,g本段流量； (2)(3)管段的上下游地面标高与管顶标高的差，在允许最大管顶覆土和最小覆土厚度之间；
(4)水流最大充盈度限制； (5) 相邻的上游管段的管底高程高于下游。
其余同压力输水管相应约束条件例 8-1
某金属冶炼厂,每生产 1kg 金属产生 0.3 kg废物，这些废物随废水排放,浓度为 2 kg/m3，废水经部分处理，排入附近河流。
政府对废物实行总量控制，为 10 kg/ d。工厂最大生产能力为
5500kg/d,售价为 $13/kg，生产成本为 $9/kg,废水处理设施的废水处理能力为 700m3/d，处理费用是 $2/m3,废水处理效率与污染物的负荷有关,以 Q 表示废水处理量,单位为
(× 100m3/d)，处理效率为 η＝ 1-0.06Q，试对该问题建立最优化模型，并求解。
0.03Y2
工 厂 污水处理厂
0.3X
0.3X-Y
Y 河流图 8-1 污染物的发生与产量,处理量的关系 。
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X-Y + 0.03Y 2 ≤10；
X≤55； Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 20 40 60
X
Y=14
X=55
0.3X-Y+0.03Y^2=10
可行域
A
B
C
Y
0.3X-Y=0
可行域曲线上的目标值
X Y Z（ $）
33 0 13333
40 2 15640
45 4 17627
50 6 19293
55 9 21193
图 8-2 废水管理问题的可行域
8.2 线性规划的概念
8.2.1 线性规划问题例 8-2 在上节讨论优化问题时,以水处理方案为例建立了最优化模型。该例中,污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线,将例
8-1的问题稍作修改,如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关，
始终为 η=0.85，其他条件仍相同，该如何进行选择。
解：设 X,工厂的金属产量 (× 100 kg/d)；
Y,送往废水处理设施处理的污染物量 (× 100 kg/d)；
建立的最优化模型成为：
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
8.2.2 线性规划问题的标准形式例 8-3农药管理问题。
一个容积为 100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为 6个月,周围有 1000ha 农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害到吃鱼的鹰。环保部门想知道如何管理农田才不致对鹰造成危害，
生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增长。设湖水中的农药浓度为 C 1 (ppm),湖水中的藻类中的农药浓度为 C 2(ppm),食藻鱼体内浓度为 C 3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为
C 4(ppm),鹰的最大耐药浓度为 100ppm。 在 1000ha农田上种植两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下：
Max Z＝ 140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
作物农药施加量
(kg/ha)
农药流失率
%
作物收入
$/ha
作物费用
$/ha
蔬菜 6 15 300 160
粮食 2.5 20 150 50
8.2.2 线性规划问题的标准形式
)...)( 2211 nn XcXcXcZM inM a x
mnmnmm
nn
nn
bXaXaXa
bXaXaXa
bXaXaXa
LP
,,...
,,...
,,...
)(
2211
22222121
11212111
．．．．．．．
0,.,,,,21?nXXX
S.t.
如果将不等式约束条件，全部使用,≤” 表示，称为线性规划问题的 典则形式 。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的 标准形式 。线性规划问题的标准形式可采用如下的矩阵表达式：
0
..
X
BAX
CX
ts
M a xZ
),.,,,,(
),.,,,,(
),.,,,,(
21
21
21
T
m
T
n
n
bbb
XXX
ccc
B
X
C
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.,,
.,,.,,.,,.,,
.,,
.,,
21
22221
11211
A
其中
8.3 图解法解二维线性规划问题
在线性规划问题中，如果只含有两个变量时，称为二维线性规划问题，就可以用图解法求解。
8.3.1 可行域和目标线
线性规划问题图解法过程：
根据线性规划问题的约束条件，画出约束条件函数线，围出满足全部约束条件的解的可行域；
根据线性规划问题的目标函数，对确定的 Z 值（目标值可任意给定），画出目标函数的投影线。变动 Z 值，确定目标函数增大或减小的方向；
根据线性规划问题目标函数极大化或极小化要求，在线性规划问题解的可行域上平行移动目标函数投影线，找到平行线与可行域相接的最终边际点，确定问题的最优解。
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
Max Z＝ 140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2 ≥0
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B(331.25,668.75)
C
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
z=110500
z=102500
z=113250
X1
X2
8.3.2 灵敏度分析由于实际问题中模型参数的不确定性，系统分析关心模型中选择的参数将会对最优解产生影响的灵敏程度，即参数在何等范围内变化时，原解仍然是合理的。
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B
C(702.78,0)
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
X1
X2
z = 5 0 X1+100X2=100000
z = 2 2 0 X1+100X2=154610
8.4 单纯形法解 LP问题
Max Z= 140 X1 + 100 X2 + 0 S1 + 0 S2
632,5= 0.9 X1 + 0.5 X2 + S1 + 0 S2
1000= X1 + X2 + 0 S1 + S2
1.化 LP问题为线性规划问题的标准形式 (LP’)
LP,MaxZ=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0 引入松驰变量 S1,S2; 得 LP'如下,
2,选择初始极点,写出未经迭代的单纯形表 (零级单纯形表 )
Z ＝ 0 ＋ 140 X1 ＋ 100 X2
S1＝ 632.5 － 0.9 X1 － 0.5 X2
S2＝ 1000 － X1 － X2
3.迭代
使零级单纯形表中的一个零变量增值，以改进目标函数，变量的选择以高效为原则，即该变量的增值，会使目标函数得到最迅速的增加。
4.重复迭代过程
Z＝ 98388.8889 -155.555556S1+22.22222X2
X1＝ 702.77778 -1.111111S1-0.555556X2
S2＝ 297.22222 +1.111111S1-0.444444X2
Z＝ 113250.147 -99.99957S1-50.00044S2
X1＝ 668.75668 +2.50002S1-2.25002S2
X2＝ 331.24332 -2.50002S1+1.25002S2
5.判别新解是否为最优解
由目标函数的系数进行判别,S1和 S2的系数均小于零,说明这些变量的增大不会改善 Z值，目标函数已经是最优解。因此，对于单纯形表，如果目标函数关系式中的全部变量系数 (检验数 )均小于或等于零时，目标函数已经是最优解，整个迭代过程结束。
从单纯形表可解读出 LP 的解,
S2=0,S1=0,X1=331.24,X2=668.76 和
Z=113250.15。
8.5 对偶线性规划模型
8.5.1 由算例认识对偶问题
1.原模型 LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
2.用边际值定义新变量设 Y1 为改变农药限制条件的边际值 ($/kg)，
定义 Y2为总种植面积的边际值 ($/ha)，
3.农药管理问题的对偶问题
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
农药管理对偶问题的目标线和可行域
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200
Y1
Y2
0.9Y1+Y2=140
0.5Y1+Y2=100
Z = 6 3 2,5 Y 1 + 1 0 0 0 Y 2
= 1 1 3 2 5 0
( 1 0 0,5 0 )
可行域
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
两种不同目标函数下的原始和对偶模型方案原 始 模 型 对 偶 模 型
1 Max Z=220X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 154610
X1'＝ 702.78,X2'＝ 0
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥220
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 154610
Y1'＝ 244.44,Y2'＝ 0
2 Max Z= 50X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 100000
X1'＝ 0,X2'＝ 1000
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 100000
Y1'＝ 0,Y2'＝ 100
线性规划的对偶模型
3.线性规划原问题和对偶问题的基本性质原型问题是一个极大化规划，则对偶问题是一个极小化规划；
在典则形式中，若极大化的原型问题是,≤” 约束条件，则在极小化对偶规划中是,≥” 约束条件；
原型问题约束方程的个数等于对偶变量的个数，反之亦然；
原型问题约束方程右边的常数分别为对偶问题目标函数的系数，反之亦然；
线性规划对偶问题的对偶是原问题；
若 Ｘ 是线性规划原问题的可行解,Ｙ 是对偶问题的可行解,则 ＣＸ ≤ＹＢ,等于的情况出现在原问题和对偶问题的最优解；
对偶问题的最优解可由原设问题获得时，此最优解可在单纯形表的松弛变量中的检验数中得到，反之，原设问题的最优解可由对偶问题的剩余变量各列中的检验效中得到；
对偶定理：若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且其目标函数值相等。
研究线性规划的对偶问题具有实用意义。通过线性规划对偶问题的研究，能够更加深入认识线性规划问题变量和约束的内容；对变量少但约束多的线性规划问题可通过对偶转换简化求解；应用对偶模型还可以讨论线性规划问题中参数的灵敏度。
8.5.3 影子价格
在典则形式的对偶问题中，对偶 LP 模型的变量 Y1,Y2,....Ym≥0,称为对偶变量。
对偶变量有其经济解释，被称为影子价格。
对偶变量 Yi 是相应于第 i个原始约束条件的边际值，它是第 i 种资源每一个单位对目标值的贡献。
影子价格并不是市场价格，它是在特定最优解条件下某一资源的潜在价格，反映这种资源在实现最优解中的作用和紧迫程度。
8.6 Excel的规划求解
例 8-6 用 Excel的规划求解，解下列非线性问题。
Max Z ＝ 8X1 +12X2 +4X3
S.t,X13+ 4X2+ 3X3＝ 32
7X1- X22+ 3X3＝ 2
X1,X2,X3 ≥0
例 8-5 用 Excel的规划求解，解农药管理问题。
解,(1) 由原模型
LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
例 8-7 有九头鸟、鸡、兔同笼，上有 152头，下有 374脚，问笼中九头鸟、鸡、兔各多少？
Excel的规划求解操作过程
1 在,工具,菜单中，单击,规划求解,命令。
如果,规划求解,命令没有出现在,工具,菜单中，则需要安装,规划求解,加载宏。
2 在,目标单元格,编辑框中，键入单元格引用或目标单元格的名称。
目标单元格必须包含公式。
3 目标单元格中数值可选,最大值,,,,最小值,或指定,目标值,。
4 在,可变单元格,编辑框中，键入每个可变单元格的名称或引用，用逗号分隔不相邻的引用。可变单元格必须直接或间接与目标单元格相联系。
5 在,约束,列表框中，输入相应的约束条件。约束条件是指,规划求解,问题中设置的限制条件。
6 单击,求解,按钮。
7 如果要在工作表中保存求解后的数值，请在,规划求解结果,对话框中，单击,保存规划求解结果,。
8 报告
（ 1）运算结果报告
（ 2）敏感性报告
（ 3）极限值报告
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
8.7.1 污染物排放控制
例 8-9 某区域内有三个排放总悬浮颗粒物 (TSP)的点源，其中两个是燃煤发电厂，另一个是水泥厂的窑炉。发电厂每烧一吨煤排放 95kg
的 TSP，水泥厂每生产一吨水泥排放 85kg的 TSP。水泥厂的产量为
250000 t/a水泥，两个燃煤发电厂的燃煤量分别是 400000 和
300000t/a。 目前三个点源均无控制措施，环保机构希望将该地区的
TSP削减 80%。 点源去除 TSP的可行方法去除效率和相应费用列于表，现需通过成本 -效果分析，以最小费用达到环境目标。
污染控制方法和费用控制方法去除效率％ 电厂 1($/t) 电厂 2($/t) 水泥厂 ($/t)
隔板沉淀槽 59 1.0 1.4 1.1
多级除尘器 74 - - 1.2
长锥除尘器 84 - - 1.5
喷雾洗涤器 94 2.0 2.2 3.0
静电除尘器 97 2.8 3.0 -
决策变量定义方法
j 控制方法 1．电厂 1 2．电厂 2 3．水泥厂不控制隔板沉淀槽多级除尘器长锥除尘器喷雾洗涤器静电除尘器
X10
X11
-
-
X14
X15
X20
X21
-
-
X24
X25
X30
X31
X32
X33
X34
-
大气污染控制的目的是使 TSP 总排放量削减 80%，用燃煤生产排放 TSP系数 95 kg/t 和水泥生产排放 TSP系数 85kg/t求出各污染源未加控制的 TSP 的总排放量：
污染源 1:
400000×95= 38000000 kg/a
污染源 2,300000×95= 28500000 kg/a
污染源 3,250000×85= 21250000 kg/a
总计,87750000 kg/a
最终限量,17550000 kg/a
控制后污染源 1：
95X10+95(0.41)X11+95(0.06)X14+95(0.03)X15
=95X10+39X11+5.7X14+2.9X15
不考虑生产水平的改变,
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝
250000
大气污染控制的规划模型
Min Z＝
1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31
+1.2X32+1.5X33+3.0X34
S.t.
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝ 250000
95X10+39X11+5.7X14+2.9X15+95X20+39X21+5.7X24+
2.9X25+85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34≤17
600000
Xij≥0,i=1,2,3； j=0,1,2,3,4,5
Excel规划求解
A B C D E F G H I J K L M N O P 1
X1
0
X1
1
X1
4
X1
5
X2
0 X21 X24
X2
5
X
30
X3
1
X3
2 X33 X34 ×104 2
可变量 0 24 16 0 0 1 29 0 0 0 22 3 0 Z 3
目标值 0 24 32 0 0 1.4
63.
8 0 0 0
26.
4 4.5 0 152 4
源 1 0 24 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 40 5
源 2 0 0 0 0 0 1 29 0 0 0 0 0 0 30 30 6
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 3 0 25 25 7
TSP控 0
93
6 91 0 0 39 165 0 0 0 486
40.
8 0
175
9
176
0 8
目标值 0 1 2 2.8 0 1.4 2.2 3 0 1.1 1.2 1.5 3 9
源 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 系 10
源 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 数 11
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 矩 12
TSP控 95 39 5.7 2.9 95 39 5.7 2.9 85 35
22.
1
13.
6 5.1 阵 13
8.7.2 大气质量管理的污染物迁移模型
)]
22
(e x p [)0,,( 2
2
2
2
zyzy
Hy
u
QyxC
C(x,y,0):点 (x,y)的大气污染物地面浓度 (g/m3)；
σy:水平方向上 (Y)烟羽浓度的标准差 （ m）；
σz:垂直方向上 (Z)烟羽浓度的标准差 （ m）；
Q,污染源源强 g/s）；
u,平均风速 （ m/s）；
H,有效烟囱高度 （ m）
对于单位源强，大气污染物的地面浓度仅仅是位置关系和气象条件的函数。污染源 i
在下风向任一点 k 处造成的大气污染物的地面浓度
)]22(e x p [1 2
2
2
2
z
i
y
ik
zy
ik
Hy
ut
当气象条件已知，污染源和采样考核点的位置相对固定时,tik 成为常数。
多源在接受点 k 处的最终污染物浓度，是每个污染源单独作用情况的叠加。由
m个污染源采用 n 种控制方法，在接受器 k 处形成的污染物总浓度 为：
m
i
n
j
iji j pikkp XbtC
1 1
通用大气质量管理的污染迁移模型
Xij,污染源 i 采用控制方法 j 的产量或燃料量；
Cij,污染源 i 采用控制方法 j 的年费用；
aij,为一时表示控制方法 j 对污染源 i可行,否则为零；
Si,污染源 i 应达到的总产量或燃料量；
bijp:污染源 i,采用控制方法 j 时,污染物 p 的排放系数；
tik,污染源 i 达到接受器 k 处的污染物迁移因子（单位源强浓度系数）；
C0pk,接受器 k 处,污染物 p 的大气环境质量浓度标准。
这是一个线性规划模型，共具有 m 个污染源,n 种控制方法,q 种污染物,
且在 r个接受器处，应达到大气环境质量浓度标准。；； miSXats
XCM i n Z
i
n
j
ijij
m
i
n
j
ijij
,.,,,2,1..
1
1 1
,0
r...,1,2,.,,k.,...,2,10
1 1；；；；
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i
n
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第八章环境系统最优化学习要点
本章主要讲述环境系统最优化方法、环境问题的线性规划求解算法等内容。
1,应用系统分析方法解决环境问题的显著特点是通过模型化和最优化来协调环境系统中各要素之间的关系，实现经济效益、环境效益和社会效益的统一。常用的最优化方法有线性规划、动态规划与网络分析等。
2,认识线性规划问题的一般形式、典则形式和标准形式。掌握线性规划问题的基本概念：目标函数、约束条件、可行域、目标线、灵敏度、搜索策略、方案和目标值等 。
3,掌握线性规划问题的图解法、单纯形法等基本解法。
4,掌握线性规划问题的 对偶模型和灵敏度分析，并能利用影子价格认识其在原线性规划问题中所具有的意义 。
5,掌握 运用 Excel求解规划问题的方法。根据规划问题的基本概念，正确解读出用 Excel生成的运算结果报告、敏感性报告和极限值报告等。 熟练使用 Excel 规划求解解决大气污染控制的排污问题和污染物扩散问题。
难点重点重点
9,附录
9.1 环境评价的法规与条例名录
9.2 环境影响评价技术导则
9.3 环境空气质量标准
9.4 地表水环境质量标准
9.5 大气污染物综合排放标准
9.6 污水综合排放标准
参考文献
8,环境系统最优化
8.1 环境规划和系统最优化
8.2 线性规划的概念
8.3 图解法解二维线性规划问题
8.4 单纯形法解 LP问题
8.5 对偶线性规划模型
8.6 Excel的规划求解
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
8.1 环境规划和系统最优化
8.1.1 城市环境规划
城市开发规划概要
(1)工业规划 (2)自然环境改变 (3)人口变化
土地利用规划
(1)总体规划 (2)工业区划 (3)居住区和商业区划 (4)农业、林业和畜牧业等区划 (5)其他依据和标准
水资源管理规划
(1) 用水规划,水资源保护规划 (水质、水量 )(3)水面利用规划
城市能源规划
(1)能源利用规划 (2)能源环境影响预测 (3)能源环境管理规划
工业污染源控制规划
(1)工业污染源环境影响预测 (2) 控制规划
大气污染综合防治规划及其他
(1)大气环境质量预测 (2)大气污染防治 (3)固体废物，化学品、噪声污染预测及防治
城市交通规划
城市绿化和建立生态调节区特殊保护区
8.1.2 环境系统最优化
Min Z = f(Χ,Ｕ,Θ)
S.t,G(Χ,Ｕ,Θ) = 0 ),...,,()( 21 nXXXFZM inM a x?
mnm
n
n
bXXXg
bXXXg
bXXXg
或或或
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........,......
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21
2212
1211
最优化模型可以写成更易于理解的一般形式：
S.t
城市污水排水系统优化例
)()()()( ttpppppupupp ACACACACM i nZ
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0
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FF
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zHEz
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D
iiuu
u
s.t,污水处理厂约束条件（总流量为各分流量之和，处理效率在工艺相应限制下）；
水质约束条件（控制水质符合环境标准）；
压力输水管约束条件（输水总扬程 =输水净扬程 +水头损失,设计管径属于标准管径系列，最小管径限制，管中水流流速在最小允许流速和最大允许流速之间）。
重力流污水管约束条件,(1)水量连续方程,Q为各管的设计流量,g本段流量； (2)(3)管段的上下游地面标高与管顶标高的差，在允许最大管顶覆土和最小覆土厚度之间；
(4)水流最大充盈度限制； (5) 相邻的上游管段的管底高程高于下游。
其余同压力输水管相应约束条件例 8-1
某金属冶炼厂,每生产 1kg 金属产生 0.3 kg废物，这些废物随废水排放,浓度为 2 kg/m3，废水经部分处理，排入附近河流。
政府对废物实行总量控制，为 10 kg/ d。工厂最大生产能力为
5500kg/d,售价为 $13/kg，生产成本为 $9/kg,废水处理设施的废水处理能力为 700m3/d，处理费用是 $2/m3,废水处理效率与污染物的负荷有关,以 Q 表示废水处理量,单位为
(× 100m3/d)，处理效率为 η＝ 1-0.06Q，试对该问题建立最优化模型，并求解。
0.03Y2
工 厂 污水处理厂
0.3X
0.3X-Y
Y 河流图 8-1 污染物的发生与产量,处理量的关系 。
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X-Y + 0.03Y 2 ≤10；
X≤55； Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 20 40 60
X
Y=14
X=55
0.3X-Y+0.03Y^2=10
可行域
A
B
C
Y
0.3X-Y=0
可行域曲线上的目标值
X Y Z（ $）
33 0 13333
40 2 15640
45 4 17627
50 6 19293
55 9 21193
图 8-2 废水管理问题的可行域
8.2 线性规划的概念
8.2.1 线性规划问题例 8-2 在上节讨论优化问题时,以水处理方案为例建立了最优化模型。该例中,污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线,将例
8-1的问题稍作修改,如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关，
始终为 η=0.85，其他条件仍相同，该如何进行选择。
解：设 X,工厂的金属产量 (× 100 kg/d)；
Y,送往废水处理设施处理的污染物量 (× 100 kg/d)；
建立的最优化模型成为：
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
8.2.2 线性规划问题的标准形式例 8-3农药管理问题。
一个容积为 100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为 6个月,周围有 1000ha 农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害到吃鱼的鹰。环保部门想知道如何管理农田才不致对鹰造成危害，
生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增长。设湖水中的农药浓度为 C 1 (ppm),湖水中的藻类中的农药浓度为 C 2(ppm),食藻鱼体内浓度为 C 3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为
C 4(ppm),鹰的最大耐药浓度为 100ppm。 在 1000ha农田上种植两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下：
Max Z＝ 140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
作物农药施加量
(kg/ha)
农药流失率
%
作物收入
$/ha
作物费用
$/ha
蔬菜 6 15 300 160
粮食 2.5 20 150 50
8.2.2 线性规划问题的标准形式
)...)( 2211 nn XcXcXcZM inM a x
mnmnmm
nn
nn
bXaXaXa
bXaXaXa
bXaXaXa
LP
,,...
,,...
,,...
)(
2211
22222121
11212111
．．．．．．．
0,.,,,,21?nXXX
S.t.
如果将不等式约束条件，全部使用,≤” 表示，称为线性规划问题的 典则形式 。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的 标准形式 。线性规划问题的标准形式可采用如下的矩阵表达式：
0
..
X
BAX
CX
ts
M a xZ
),.,,,,(
),.,,,,(
),.,,,,(
21
21
21
T
m
T
n
n
bbb
XXX
ccc
B
X
C
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.,,
.,,.,,.,,.,,
.,,
.,,
21
22221
11211
A
其中
8.3 图解法解二维线性规划问题
在线性规划问题中，如果只含有两个变量时，称为二维线性规划问题，就可以用图解法求解。
8.3.1 可行域和目标线
线性规划问题图解法过程：
根据线性规划问题的约束条件，画出约束条件函数线，围出满足全部约束条件的解的可行域；
根据线性规划问题的目标函数，对确定的 Z 值（目标值可任意给定），画出目标函数的投影线。变动 Z 值，确定目标函数增大或减小的方向；
根据线性规划问题目标函数极大化或极小化要求，在线性规划问题解的可行域上平行移动目标函数投影线，找到平行线与可行域相接的最终边际点，确定问题的最优解。
Max Z＝ 400X-100Y
S.t,0.3X－ Y +(1-0.85） Y ≤10；
X≤55；
Y≤14；
0.3X-Y≥0,X≥0,Y≥0；
Max Z＝ 140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2 ≥0
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B(331.25,668.75)
C
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
z=110500
z=102500
z=113250
X1
X2
8.3.2 灵敏度分析由于实际问题中模型参数的不确定性，系统分析关心模型中选择的参数将会对最优解产生影响的灵敏程度，即参数在何等范围内变化时，原解仍然是合理的。
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
A
B
C(702.78,0)
X1+X2=1000
0.9X1+ 0.5X2 =632.5
X1
X2
z = 5 0 X1+100X2=100000
z = 2 2 0 X1+100X2=154610
8.4 单纯形法解 LP问题
Max Z= 140 X1 + 100 X2 + 0 S1 + 0 S2
632,5= 0.9 X1 + 0.5 X2 + S1 + 0 S2
1000= X1 + X2 + 0 S1 + S2
1.化 LP问题为线性规划问题的标准形式 (LP’)
LP,MaxZ=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0 引入松驰变量 S1,S2; 得 LP'如下,
2,选择初始极点,写出未经迭代的单纯形表 (零级单纯形表 )
Z ＝ 0 ＋ 140 X1 ＋ 100 X2
S1＝ 632.5 － 0.9 X1 － 0.5 X2
S2＝ 1000 － X1 － X2
3.迭代
使零级单纯形表中的一个零变量增值，以改进目标函数，变量的选择以高效为原则，即该变量的增值，会使目标函数得到最迅速的增加。
4.重复迭代过程
Z＝ 98388.8889 -155.555556S1+22.22222X2
X1＝ 702.77778 -1.111111S1-0.555556X2
S2＝ 297.22222 +1.111111S1-0.444444X2
Z＝ 113250.147 -99.99957S1-50.00044S2
X1＝ 668.75668 +2.50002S1-2.25002S2
X2＝ 331.24332 -2.50002S1+1.25002S2
5.判别新解是否为最优解
由目标函数的系数进行判别,S1和 S2的系数均小于零,说明这些变量的增大不会改善 Z值，目标函数已经是最优解。因此，对于单纯形表，如果目标函数关系式中的全部变量系数 (检验数 )均小于或等于零时，目标函数已经是最优解，整个迭代过程结束。
从单纯形表可解读出 LP 的解,
S2=0,S1=0,X1=331.24,X2=668.76 和
Z=113250.15。
8.5 对偶线性规划模型
8.5.1 由算例认识对偶问题
1.原模型 LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
2.用边际值定义新变量设 Y1 为改变农药限制条件的边际值 ($/kg)，
定义 Y2为总种植面积的边际值 ($/ha)，
3.农药管理问题的对偶问题
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
农药管理对偶问题的目标线和可行域
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200
Y1
Y2
0.9Y1+Y2=140
0.5Y1+Y2=100
Z = 6 3 2,5 Y 1 + 1 0 0 0 Y 2
= 1 1 3 2 5 0
( 1 0 0,5 0 )
可行域
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
两种不同目标函数下的原始和对偶模型方案原 始 模 型 对 偶 模 型
1 Max Z=220X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 154610
X1'＝ 702.78,X2'＝ 0
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥220
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 154610
Y1'＝ 244.44,Y2'＝ 0
2 Max Z= 50X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
Z'＝ 100000
X1'＝ 0,X2'＝ 1000
MinZ＝ 632.5Y1+1000Y2
0.9Y1+1.0Y2 ≥140
0.5Y1+1.0Y2 ≥100
Y1,Y2≥0
Z'＝ 100000
Y1'＝ 0,Y2'＝ 100
线性规划的对偶模型
3.线性规划原问题和对偶问题的基本性质原型问题是一个极大化规划，则对偶问题是一个极小化规划；
在典则形式中，若极大化的原型问题是,≤” 约束条件，则在极小化对偶规划中是,≥” 约束条件；
原型问题约束方程的个数等于对偶变量的个数，反之亦然；
原型问题约束方程右边的常数分别为对偶问题目标函数的系数，反之亦然；
线性规划对偶问题的对偶是原问题；
若 Ｘ 是线性规划原问题的可行解,Ｙ 是对偶问题的可行解,则 ＣＸ ≤ＹＢ,等于的情况出现在原问题和对偶问题的最优解；
对偶问题的最优解可由原设问题获得时，此最优解可在单纯形表的松弛变量中的检验数中得到，反之，原设问题的最优解可由对偶问题的剩余变量各列中的检验效中得到；
对偶定理：若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且其目标函数值相等。
研究线性规划的对偶问题具有实用意义。通过线性规划对偶问题的研究，能够更加深入认识线性规划问题变量和约束的内容；对变量少但约束多的线性规划问题可通过对偶转换简化求解；应用对偶模型还可以讨论线性规划问题中参数的灵敏度。
8.5.3 影子价格
在典则形式的对偶问题中，对偶 LP 模型的变量 Y1,Y2,....Ym≥0,称为对偶变量。
对偶变量有其经济解释，被称为影子价格。
对偶变量 Yi 是相应于第 i个原始约束条件的边际值，它是第 i 种资源每一个单位对目标值的贡献。
影子价格并不是市场价格，它是在特定最优解条件下某一资源的潜在价格，反映这种资源在实现最优解中的作用和紧迫程度。
8.6 Excel的规划求解
例 8-6 用 Excel的规划求解，解下列非线性问题。
Max Z ＝ 8X1 +12X2 +4X3
S.t,X13+ 4X2+ 3X3＝ 32
7X1- X22+ 3X3＝ 2
X1,X2,X3 ≥0
例 8-5 用 Excel的规划求解，解农药管理问题。
解,(1) 由原模型
LP,Max Z=140X1+ 100X2
S.t,0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
例 8-7 有九头鸟、鸡、兔同笼，上有 152头，下有 374脚，问笼中九头鸟、鸡、兔各多少？
Excel的规划求解操作过程
1 在,工具,菜单中，单击,规划求解,命令。
如果,规划求解,命令没有出现在,工具,菜单中，则需要安装,规划求解,加载宏。
2 在,目标单元格,编辑框中，键入单元格引用或目标单元格的名称。
目标单元格必须包含公式。
3 目标单元格中数值可选,最大值,,,,最小值,或指定,目标值,。
4 在,可变单元格,编辑框中，键入每个可变单元格的名称或引用，用逗号分隔不相邻的引用。可变单元格必须直接或间接与目标单元格相联系。
5 在,约束,列表框中，输入相应的约束条件。约束条件是指,规划求解,问题中设置的限制条件。
6 单击,求解,按钮。
7 如果要在工作表中保存求解后的数值，请在,规划求解结果,对话框中，单击,保存规划求解结果,。
8 报告
（ 1）运算结果报告
（ 2）敏感性报告
（ 3）极限值报告
8.7 规划求解在大气污染控制中应用
8.7.1 污染物排放控制
例 8-9 某区域内有三个排放总悬浮颗粒物 (TSP)的点源，其中两个是燃煤发电厂，另一个是水泥厂的窑炉。发电厂每烧一吨煤排放 95kg
的 TSP，水泥厂每生产一吨水泥排放 85kg的 TSP。水泥厂的产量为
250000 t/a水泥，两个燃煤发电厂的燃煤量分别是 400000 和
300000t/a。 目前三个点源均无控制措施，环保机构希望将该地区的
TSP削减 80%。 点源去除 TSP的可行方法去除效率和相应费用列于表，现需通过成本 -效果分析，以最小费用达到环境目标。
污染控制方法和费用控制方法去除效率％ 电厂 1($/t) 电厂 2($/t) 水泥厂 ($/t)
隔板沉淀槽 59 1.0 1.4 1.1
多级除尘器 74 - - 1.2
长锥除尘器 84 - - 1.5
喷雾洗涤器 94 2.0 2.2 3.0
静电除尘器 97 2.8 3.0 -
决策变量定义方法
j 控制方法 1．电厂 1 2．电厂 2 3．水泥厂不控制隔板沉淀槽多级除尘器长锥除尘器喷雾洗涤器静电除尘器
X10
X11
-
-
X14
X15
X20
X21
-
-
X24
X25
X30
X31
X32
X33
X34
-
大气污染控制的目的是使 TSP 总排放量削减 80%，用燃煤生产排放 TSP系数 95 kg/t 和水泥生产排放 TSP系数 85kg/t求出各污染源未加控制的 TSP 的总排放量：
污染源 1:
400000×95= 38000000 kg/a
污染源 2,300000×95= 28500000 kg/a
污染源 3,250000×85= 21250000 kg/a
总计,87750000 kg/a
最终限量,17550000 kg/a
控制后污染源 1：
95X10+95(0.41)X11+95(0.06)X14+95(0.03)X15
=95X10+39X11+5.7X14+2.9X15
不考虑生产水平的改变,
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝
250000
大气污染控制的规划模型
Min Z＝
1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31
+1.2X32+1.5X33+3.0X34
S.t.
X10 +X11 +X14 +X15＝ 400000
X20 +X21 +X24 +X25＝ 300000
X30 +X31 +X32 +X33+X34＝ 250000
95X10+39X11+5.7X14+2.9X15+95X20+39X21+5.7X24+
2.9X25+85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34≤17
600000
Xij≥0,i=1,2,3； j=0,1,2,3,4,5
Excel规划求解
A B C D E F G H I J K L M N O P 1
X1
0
X1
1
X1
4
X1
5
X2
0 X21 X24
X2
5
X
30
X3
1
X3
2 X33 X34 ×104 2
可变量 0 24 16 0 0 1 29 0 0 0 22 3 0 Z 3
目标值 0 24 32 0 0 1.4
63.
8 0 0 0
26.
4 4.5 0 152 4
源 1 0 24 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 40 5
源 2 0 0 0 0 0 1 29 0 0 0 0 0 0 30 30 6
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 3 0 25 25 7
TSP控 0
93
6 91 0 0 39 165 0 0 0 486
40.
8 0
175
9
176
0 8
目标值 0 1 2 2.8 0 1.4 2.2 3 0 1.1 1.2 1.5 3 9
源 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 系 10
源 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 数 11
源 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 矩 12
TSP控 95 39 5.7 2.9 95 39 5.7 2.9 85 35
22.
1
13.
6 5.1 阵 13
8.7.2 大气质量管理的污染物迁移模型
)]
22
(e x p [)0,,( 2
2
2
2
zyzy
Hy
u
QyxC
C(x,y,0):点 (x,y)的大气污染物地面浓度 (g/m3)；
σy:水平方向上 (Y)烟羽浓度的标准差 （ m）；
σz:垂直方向上 (Z)烟羽浓度的标准差 （ m）；
Q,污染源源强 g/s）；
u,平均风速 （ m/s）；
H,有效烟囱高度 （ m）
对于单位源强，大气污染物的地面浓度仅仅是位置关系和气象条件的函数。污染源 i
在下风向任一点 k 处造成的大气污染物的地面浓度
)]22(e x p [1 2
2
2
2
z
i
y
ik
zy
ik
Hy
ut
当气象条件已知，污染源和采样考核点的位置相对固定时,tik 成为常数。
多源在接受点 k 处的最终污染物浓度，是每个污染源单独作用情况的叠加。由
m个污染源采用 n 种控制方法，在接受器 k 处形成的污染物总浓度 为：
m
i
n
j
iji j pikkp XbtC
1 1
通用大气质量管理的污染迁移模型
Xij,污染源 i 采用控制方法 j 的产量或燃料量；
Cij,污染源 i 采用控制方法 j 的年费用；
aij,为一时表示控制方法 j 对污染源 i可行,否则为零；
Si,污染源 i 应达到的总产量或燃料量；
bijp:污染源 i,采用控制方法 j 时,污染物 p 的排放系数；
tik,污染源 i 达到接受器 k 处的污染物迁移因子（单位源强浓度系数）；
C0pk,接受器 k 处,污染物 p 的大气环境质量浓度标准。
这是一个线性规划模型，共具有 m 个污染源,n 种控制方法,q 种污染物,
且在 r个接受器处，应达到大气环境质量浓度标准。；； miSXats
XCM i n Z
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j
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iji j pik
第八章环境系统最优化学习要点
本章主要讲述环境系统最优化方法、环境问题的线性规划求解算法等内容。
1,应用系统分析方法解决环境问题的显著特点是通过模型化和最优化来协调环境系统中各要素之间的关系，实现经济效益、环境效益和社会效益的统一。常用的最优化方法有线性规划、动态规划与网络分析等。
2,认识线性规划问题的一般形式、典则形式和标准形式。掌握线性规划问题的基本概念：目标函数、约束条件、可行域、目标线、灵敏度、搜索策略、方案和目标值等 。
3,掌握线性规划问题的图解法、单纯形法等基本解法。
4,掌握线性规划问题的 对偶模型和灵敏度分析，并能利用影子价格认识其在原线性规划问题中所具有的意义 。
5,掌握 运用 Excel求解规划问题的方法。根据规划问题的基本概念，正确解读出用 Excel生成的运算结果报告、敏感性报告和极限值报告等。 熟练使用 Excel 规划求解解决大气污染控制的排污问题和污染物扩散问题。
难点重点重点
9,附录
9.1 环境评价的法规与条例名录
9.2 环境影响评价技术导则
9.3 环境空气质量标准
9.4 地表水环境质量标准
9.5 大气污染物综合排放标准
9.6 污水综合排放标准
参考文献
