2009-7-26 1
真空中的静电场
真空中稳恒电流的磁场
介质中的电场和磁场
电磁感应与电磁场
2009-7-26 2
库仑定律 电场 电场强度
电通量 高斯定理
静电场的环路定理 电势能
等势面 电势与电场强度的关系
静电场中的导体 电容 静电能
2009-7-26 3
0 0.5 1.0
1.5
§ 7.1 库仑定律质子
+e
mr 1510?
24 r
0 0.5 1.0
1.5
中子
+
-
C.e 191061
宏观物体带电量 e 的整数倍。 夸克
1、电荷的量子性
eq
eq
3
2
3
1
mr 1510?
24 r
电子电量一,电荷与 电现象
2009-7-26 4
2、电荷守恒定律 ——电绝缘系统中，电荷的代数和保持常量。
+
-
电子对湮灭
+
-?
电子对产生
3、电荷相对论不变性
+ +
+
电荷为
Q
电荷为 Q
2009-7-26 5
q1 q2
电荷 1 受电荷 2的力
2
21
r
qqKf?
120r
r
有理化
02
21
12 rr
qqKf
2
0
21
4 r
qq
04
1
K令
22120 10858 Nm/C,
真空中的介电常数
12f
3q
13f
i
iff 11
两个点电荷之间的作用力，不会因为第三个电荷的存在而改变叠加原理
1f
二、库仑定律
2009-7-26 6
？PE?
线度足够地小 ——场点确定；
电量充分地小 ——不至于使场源电荷重新分布。
f?P
1,试验电荷
0Q
0Q
fP
大小：单位正电荷受力方向：正电荷受力的方向单位,N/C,V/m
说明
§ 7.2 电场 电场强度
2,Q0只是使场显露出来，即使无 Q0,也存在。E?
一、电场强度 此式为电场强度的定义式
2009-7-26 7
Q
点电荷
0Q
试验电荷
r?
02
0
0
4 rr
QQF
2
04 r
QE
大小方向 rEQ 0
rEQ 01r?
1Q
2F
3F
F?
1F
2
0 r
QE
2Q
3Q 试验电荷受力
321 FFFF
0Q
FE
0
3
0
2
0
1
Q
F
Q
F
Q
F
321 EEE
i
iEE
i i
ii
r
rQ
2
0
0
4
场强叠加原理由 定义
r
rr
0
二、电场叠加原理
2009-7-26 8
电荷连续分布的带电体的场强
02
04
r
r
dQEd
dQ
r
rEdE
QQ
20
04
1
场强叠加原理
dQrxE x 3
04
1
分量式
kEjEiEE zyx
Q
dQ
r?
dL
dS
dV
dQ
2009-7-26 9
例题 求：电偶极子中垂面上任意点的场强
l
解
r
r
E?
E
E
3
04?
r
rQE
3
04?
r
rQE
r
EEE
3
04 r
rrQ
rrl
lrr
3
04 r
lQ
3
04 r
p
E e
lQp
e
定义：偶极矩
r >> l
r+= r-? r+-Q? Q
2009-7-26 10
由对称性
例题
L
均匀带电 细 棒，长 L,电荷线密度?，
求：中垂面上的场强 。
解,
dydQ
r?
Ed?
3
04 r
dQrEd
3
04 r
dyr
jdEidEEd yx
L L L yx dEjdEiEdExdE
ydE
0
co sdEdE x?
2
04 r
dyc o s
x t gy 2c o sxddy
xc o sr
2
2
2
c o s
xr?
x
dc o s
04
10
04
2
x
dc o sE
x x
s in
0
1
2
1?
y
x
0 ix
s inE
0
1
2
2009-7-26 11
当 L
1?- 2?2 2
i
x
E
02
12
04
s ins inxE x
21
04
c o sc o sxE y
一般
1?
L
dydQ
Ed?
2?
y
x
0
a?E?？
2009-7-26 12
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的场强。
R
Q d ldQ
2
Ed?
x//Ed?
Ed
L dEE 0
LL //// dEc o sdEE?
2
04 r
dQdE
EEE //
r
x
2
04 r
dQ
3
04 r
dQx
L
xQ
232204 Rx
ixQ
EE //
r?
EdEdEd //
（ 2） R <<x
2
04 x
iQ
E
0?x 0?E?（ 1）
讨论：
例题
R
next
2009-7-26 13
R
232204 rx
ixdQEd
r x
Ed?
r d rRQdQ 22
R
rx
r d r
R
xQE
0
2
3
22
2
02
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆盘轴线上的场强。
222
0
1
2 Rx
x
R
iQE
当 R >>x
2
02 R
iQE
02?
iE
无 限 大带电平面场强
2
2
R
Q r d r
例题
2009-7-26 14
一、电场线电场中假想的曲线疏密 ——表征场强的大小
（穿过单位垂直截面的电场线数 = 附近的场强大小）
切线方向 ——场强的方向
+
+
+
任何两条电场线不会在无电荷处相交。
§ 7,3 电通量 高斯定理
2009-7-26 15
二、电通量?e
S
S n?
1、均匀电场 nE
ESe
2、均匀电场 nE
=?
co sESe? SE
S
E?
3、非均匀电场、任意曲面
n? dS
SdEd e
Se SdE
单位,Vm
n?
E?
E?
2009-7-26 16
K.F.Gauss——德国物理学家、数学家、天文学家定理,真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数。
Se SdE
分立 iQ
0
1
连续 dQ
0
1
= 0? > 0? < 0
三、高斯定理规定外法线为正向。
2009-7-26 17
对于具有某种对称性的电场，用高斯定理求场强简便。
例题 求电量为 Q、半径为 R的 均匀带电球面 的场强分布。
源球对称 场球对称
Rr Se SdE
Rr?0
RrQ?
0?
SdSE 24 rE
E
Rr?0
Rr
r
Q?
2
04
r
0
E
R
选高斯面
E?E
E?
E?
四、高斯定理的应用
Sd?
2009-7-26 18
例题 求：电量为 Q、半径为 R 的均匀 带电球体的场强分布。
R
解,选择高斯面 ——同心球面
Se SdE
RrQ?
0?
RrQ?
0?
3
3
R
QrQ
r
3
0
3
R
Qr
SdSE 24 rE
E
RrRQr?3
04
RrrQ?2
04
r
0
E
R
2009-7-26 19
？
r
例题 求：电荷线密度为?的 无限长带电直线 的场强分布。
解,选择高斯面 ——同轴柱面
Sd?
E?
E?
Sd?
SdE
上下底面
SdE //侧面,且同一柱面上 E 大小相等。
Se SdE
l
Sd?
Sd?
底侧 SdESdE
0 rlE?2
rE 02
思考,如果线粗细不可忽略，
空间场强分布如何？
0?
l?
2009-7-26 20
E?
求：电荷面密度为?的 无限大均匀带电平面 的场强分布。
解,选择高斯面 ——
与平面正交对称的柱面
SdE侧面
SdE底面
Se SdE
0?
S?
SE?2?
02?
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E?
Sd?
Sd? 且 大小相等；
例题
2009-7-26 21
当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。
例题 求：电荷面密度分别为?1,?2 两个平行放置的 无限大均匀带电平面 的场强分布。
A B C
0
1
1 2?
E
0
2
2 2?
E
x
iE A
0
21
2?
iE B
0
21
2?
iE C
0
21
2?
1E
1E? 1E
2E
2E
2E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2?+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1?
0?
BE当?1 = -?2 =? 0
CA EE
解：
带电平板电容器间的场强
2009-7-26 22
P1
2r
rdFdA
r?
§ 7.4 静电场的环路定理 电势能
rd?
Q0
Q
原点 O
3
04 r
rQE
电场力作功 A 1 –2 =？
试验电荷 Q0从 P1 P2沿任意路径
EQF 0?
3
0
0
4 r
rdrQQ
2
0
0
4 r
drQQ
21 2
0
0
4
r
r r
drQQ
2
1
1
4 0
0
r
rr
QQ?
210
0 11
4 rr
QQ
2
1
p
p
rdFA
L rdE 0
1r
P2
静止点电荷场 是保守力场保守力场一、静电力的功 1.点电荷的电场
2009-7-26 23
2,任意带电体的电场根据电场强度叠加原理，任意带电体在某点产生的电场强度，等于各电荷元单独在该点产生的电场强度的矢量和。
nEEEE
21
实验电荷 q0 在电场中从 a 点沿某一路径 L 移动到 b
点时静电场力作的功为：
b
a
ab ldFA
b
a
ldEq
0
b
a
n ldEEEq
)( 210
ldEqb
a
10 ldEq
b
a
20 ldEq n
b
a
0
静电场力作功与移动实验电荷的具体路径无关
2009-7-26 24
L ldE 0
静电场的环路定理所有的静电场都是 保守力场
ldEqdlEqldEqA
a
Lb
b
La
)(
0
)(
00
21
0
)(
0
2
b
La
dlEq
a
b
b
La
ab dlEqA
)(
0
1
b
La
dlEq
)(
0
2
b
La
dlEq
)(
0
1
静电场的电场线不可能是闭合的，
静电场是无旋有源场。
Q0
L1
L2
2009-7-26 25
S? bE?
a baE?
S?
E?
例：证明静电场中无电荷区域，凡电力线是平行直线的地方，
（既电场强度方向处处相同），电场强度的大小必定处处相等。
证,1,以任意一条电力线为轴，作圆柱形高斯面。
SE侧面
SE aa,b 两个底面
0Se SdE
E?E
在两底面处大小相等；SE b
SESdE aa底 SESdE bb底
Se SdE SdEa底 0 SdEb
底 SdE
侧
ba EE?
0 SdE侧
2009-7-26 26
ldEldEldE
BCAB
2,选取如图所示的矩形闭合路径 ABCD。
0 ldEldE
DACD
ABE a? CDE C
AB CD?aE CE
既垂直于电场线方向上任意两点的电场强度相等。
E?
A B
CD
以上证明同一电场线上各点电场强度的数值处处相等。
此积分为零此积分为零
ABE a? CDE C
2009-7-26 27
保守力作功与路径无关，
只取决于系统的始末 位置 。
存在由位置决定的函数
WP——势能函数保守力作功以损失势能为代价。
20
0
10
0
21 44 r
QQ
r
QQA
系统 —— 电场 + 试验电荷 —— 在 P1 处的电势能为
A1-2= WP1 -WP2
当 r2,位置 2 的电势能为 0，位置 1的电势能为：
二,电势能 电势
1
10
0
01 4 PWr
QQA
势能
1,电势能
2
1
012 dlEqA
点电荷的电场
Wp1
2009-7-26 28
1
0
1
1 r
P ldE
Q
WU
一,定 义
P1 点的电势
1、单位正电荷放在 P1
处，系统的电势能。
2、把单位正电荷从 P1
处移到 0电势（无限远）
处，电场力所做的功。单位,V （ 伏特 ）
二、静 电场中任意两点 P1,P2 间的 电势差
2r
1r?
P2
P1
O
21 rr
ldEldE?
2r
把单位正电荷从 P1 处沿任意路径移到 P2 处电场力做的功。
2112 UUU 2
1
r
r
ldE?
§ 7.5 电势 电势差
2009-7-26 29
0Q把 从 P1处移到 P2 处电场力做的功可表示为
U 1? U 2 Q0?0?A12?0
Q0? 0?A12? 0
U 1? U 2 情况自行讨论在静电场中释放正电荷
向电势低处运动正电荷受力方向?沿电力线方向结论,电力线指向电势减弱的方向。
21 0rr ldEQA
2
10
r
r rdEQ
210 UUQ?
讨论：
2009-7-26 30
1、根据定义例题 求：点电荷电场的电势分布
Q
r? ·P
解,已知
3
04 r
rQE
设无限远处为 0电势，则电场中距离点电荷 r 的 P点处电势为
P r
rdrQrU
3
04
2
04 r
rdQ
r
Q
04
r
QU
04
点电荷电场的电势分布r0
U
三,电势的计算
2009-7-26 31
R
Rr
r
Q
Rr
E
2
04
0
r
0
E
R
例题 求：均匀带电球面的电场的电势分布,
P ·
解,已知设无限远处为 0 电势,
则电场中距离球心 r P
的 P 点处电势为
UP =？
PP r
rdrQU
3
04
2
04 r
drQ
Rr P?
RRrP rQ d rrdU
P
2
04
0
R
Q
04
Rr P?
Pr
P r
Q d rU
2
04 P
r
Q
04
U
to25
2009-7-26 32
求：电荷线密度为? 的 无限长带电直线 的电势分布。
r
E
02
解：由
r rdEU
分析 如果仍选择无限远为电势 0点，积分将趋于无限大。必须选择某一定点为电势 0点 ——通常可选地球。现在选距离线 a 米的 P0点为电势 0点。
a
P0
0P
r
rdEU
a
r
dr
r
U
02
rlnaln
02
例题 3
r
aln
2009-7-26 33
321 UUU
20
2
10
1
44 r
Q
r
Q
点电荷电场的电势 rQrU
04
1r
Q1Q
2r
3 r
2Q
3Q
P
点电荷系 UP =？
根据定义
P rdEU
P rdEEE 321 pPP rdErdErdE 321
分立的点电荷系连续分布的带电体系r
dQdU
04
Q r?
P
Q rdQU
04
i i
i
r
QU
04dQ
2、利用叠加原理
2009-7-26 34
例题 5 已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的电势分布
R r? x
0 P
解：
Q rdQU
04
Q dQr
04
1
r
Q
04
22 xRr
22
04 xR
QU
r
dQdU
04
dQ
x
2009-7-26 35
r
q
r
qpUU
i
ip
00 44
)(
例,计算电偶极子场中任一点 P 的电势
c o s
2
lrr
c o s
2
lrr
2
0
0
2
2
200 4
)c o s
4
(
c o s
4
)(
4 r
rP
l
r
lq
rr
rrq
U ep
c o s00 qlrlqrP e
lr当 可做如下近似：
r
q?
l?
q?
r
r?
p
2009-7-26 36
R
212204 rx
dQdU
r x
r d rRQdQ 22
R
rx
r d r
R
QU
0
2
1
22
2
02
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆盘轴线上的场强。
222
02
xRx
R
QU
当 x >>R
x
QU
04
X = 0
2
2
R
Q r d r
例题
U
02?
RU?
x
2009-7-26 37
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
Q rdQU
04
i i
i
r
QU
04
势0r rdEU
小 结计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
i i
i
r
rQE
3
04
Q rdQrE 3
04
？
2、根据电势的定义 UE 2、是否可 EU
（分立）
（连续）
（分立）
（连续）
2009-7-26 38
1、等势面特点
（ 1）沿等势面移动电荷，电场力不作功 。
（ 2）等势面处处与电力线正交。 +
Ua
Ub U
c
2112 UUQA
P1
P2
rdEQdA
同一等势面上 0
Q?0 E?0 d r?0 rdE
（ 当规定相邻两等势面的电势差为定值 ）
（ 3）等势面稠密处 —— 电势变化快电场强度大同一等势面上 0
电势变化快四,场强和电势的微分关系
—— 电势相等的空间各点所组成的面
2009-7-26 39
2、电势梯度
E?
P1 P2
rd?
P1,P2相距很近，两处场强相等。两点间电势差
rdEUU 21
沿 方向电势增量rd?
drc o sEUUdU 12
c o sEdrdU
电势沿某一方向的减少率
= 场强沿此方向的分量
xEx
U?
yEy
U?
zEz
U?
EkEjEiE zyx Uk
z
Uj
y
Ui
x
U
电势梯度
EU
0 E
dr
dU
沿着 的方向电势空间变化率最大E?
+ +?
2009-7-26 40
2、可有 EU
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
Q rdQU
04
i i
i
r
QU
04
势0r rdEU
小 结计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
i i
i
r
rQE
3
04
Q rdQrE 3
04
2、根据电势的定义 UE
（分立）
（连续）
（分立）
（连续）
xEx
U?
EU
2009-7-26 41
典型电场电势 典型电场的场强
3.高斯定理均匀带电球面
0?E?
3
04 r
rqE
球面内球面外均匀带电无限长直线 rE
02
均匀带电无限大平面 02?
E
均匀带电球面
r
qU
04
R
qU
04
均匀带电无限长直线
02
ln
r
a
U?
均匀带电无限大平面
02?
dEdU
方向垂直于直线方向垂直于平面
2009-7-26 42
xx rdEU
x xR
Q xd x
2
322
04
22
04 xR
Q
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的场强与电势。
R
R
QdldQ
2?
x//Ed?
Ed
L //// dEE
2
04 r
dQdE
EEE //
3
04 r
xQ
2
322
04 Rx
ixQEE
//
例题 6
r?
EdEdEd //
Ed L dEE 0
2009-7-26 43
例题 6 已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的电势解：
Q rdQU
04
Q dQr
04
1
r
Q
04
R
dQ
r x
0 Px
22
04 xR
QU
r
dQdU
04
x
UE
x?
0 yUE y
0 zUE z
232204 Rx
xQ
E
与场强。
2009-7-26 44
思考题 下例说法对否？
举例说明。
（ 1）场强相等的区域，电势处处相等？
（ 2）场强为零处，
电势一定为零？
（ 3）电势为零处，
场强一定为零？
（ 4）场强大处，电势一定高？
Q?
Q
EU 势0
r rdEU
R
a P
0
2009-7-26 45
一,导体静电平衡的条件
§ 7.7 静电场中的导体 电容静电感应：
在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。
2009-7-26 46
静电平衡条件：
静电平衡：
导体内部场强处处为零电场电势导体为一等势体表面场强垂直于导体表面导体表面是一个等势面导体中电荷的宏观定向运动终止，电荷分布不随时间改变。
导体的静电平衡
0?内E?
SdE表面常量?U
2009-7-26 47
电荷分布在导体表面，导体内部场强处处为零。
2.空腔导体
（ 1）腔内无带电体：
电荷分布在导体表面，导体内部及腔体的内表面处处无净电荷。
二,导体上的电荷分布
1,实心导体
+ +
++
+
+
+
++
导体上的电荷分布
2009-7-26 48
（ 2）腔内有带电体：
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
未引入 q时 放入 q后
+
+
+
+
+
+ +
++
+
+
+
++
+q
+
+
导体上的电荷分布
2009-7-26 49
Q
1,导体内部无净电荷 。
2,空腔导体带电荷 Q
腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
导体的内表面电荷 -q，外表面电荷 Q+q
Q=0q -q
+q
腔内有电荷 q,
小结,静电平衡导体的电荷分布
2009-7-26 50
导体的表面场强由高斯定理可证明
0?
外表面E E?
证明,?
Se SE d?
侧面下底上底 SESESE ddd
00d上底 SE 底外表面 SE
由高斯定理
内SS
e q 0/d SE
0/ 底S
0?
外表面E
导体上的电荷分布
2009-7-26 51
孤立导体面电荷分布表面曲率越大，面电荷密度越大。
尖端放电现象导体上的电荷分布
2009-7-26 52
例题 9-1 两个半径分别为 R和 r的球形导体（ R>r），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为 V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。
Q
导体上的电荷分布
2009-7-26 53
解,两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为 Q，小球所带电荷量为 q，
则两球的电势为
Q
导体上的电荷分布
2009-7-26 54
r
q
R
QV
00 4
1
4
1
r
R
q
Q?
可见大球所带电量 Q比小球所带电量 q多 。
两球的电荷密度分别为
24,24 r
q
R
Q
rR
可见电荷面密度和半径成反比,即曲率半径愈小 （ 或曲率愈大 ）,电荷面密度愈大 。
导体上的电荷分布
2009-7-26 55
0?内E CU?
i
iS QsdE
0
1
L ldE 0
i
i,Q 常量原则
1.静电平衡的条件
2.基本性质方程
3.电荷守恒定律高斯定理场强环路定理三、有导体存在时静电场的计算
2009-7-26 56
无限大的带电平面的场中平行放置一无限大金属平板。
P
121
20222
0
2
0
1
0
211
212?
解,设金属板面电荷密度,
21
由对称性和电量守恒导体体内任一点 P场强为零
x
02?
0
1
2?
0
2
2?
例题求：金属板两面电荷面密度
2009-7-26 57
已知：金属球 与金属球壳同心放置,球的半径为 R1,带电为 q ； 壳 的半径分别为 R2,R3 带电为 Q；
求,(1)电量分布；（ 2）场强分布；
（ 3)球 和 球壳 的电势 A Bq
qQ?
2R
3R 1R
例题
q?
解 （ 1）电量均匀分布 A—q；
B内 —-q,外 — Q+q
（ 2）
212
04
RrRrqE A
rRrQqE B 32
04
E
r
E = 0 （其他）
2009-7-26 58
（ 3) 球的电势
q
1R
32104
1
R
Qq
R
q
R
qU
球
304 R
QqU
壳
10
1 4 R
qU
2R
q?
20
2 4 R
qU
qQ?
3R
30
3 4 R
QqU
q
1R
2R
q?
qQ?
3R
30
3 4 R
QqU
r
qU
0
2 4
r
qU
0
1 4
球壳的电势
r
to6
根据叠加原理
2009-7-26 59
1,孤立导体的电容真空中孤立导体球
R
R
qU
04
1
任何孤立导体,q/U与 q,U均无关，定义为电容
RUq 04
电容单位：法拉（ F）
pF10nF10F101F 1296
四、电容 电容器
U
QC?
2009-7-26 60
2,电容器的电容电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。
电容器的两极板常带等量异号电荷。
几种常见电容器及其符号：
电容器的电容
2009-7-26 61
计算电容的一般方法：
q— 其中一个极板电量绝对值
U1-U2—两板电势差电容器的 电容,
先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差，最后代入定义式。
电容器的电容
21 UU
QC
2009-7-26 62
(1)平板电容器几种常见真空电容器及其电容 S
0?
E?
lE dUUd
0?
d
UU
qC
0
0/
d
S?
d
S0
电容与极板面积成正比，与间距成反比。
电容器的电容
2009-7-26 63
(2) 球形电容器
2
04 r
qE
lE dUU
UU
qC
0
AB
BA
RR
RR
04
AR
BR
rrqB
A
R
R
d4 2
0
)11(4
0 BA RR
q
电容器的电容
2009-7-26 64
3、电容器的串联与并联
串联
C1 C2
+Q -Q +Q -Q
UA UB U C
1C
QUU
BA
2C
QUU
CB
21
11
CC
QUU CA
UA UCC
C
QUU
CA
+Q -Q
21
111
CCC
n
i iCC
11一般 n 个电容器串联的等效电容为
+）
等效电容
2009-7-26 65
并联
C
+Q1 -Q 1
C1
C2
+Q2 -Q2U
A UB
BA UU
QC
1
1
BA UUCQ 11
BA UUCQ 22+）
BA UUCCQQ 2121
UA UB
BA UU
QC
BA UUCQ
Q 21 CC?
一般 n 个电容器并联的等效电容为
n
i
iCC
等效电容
2009-7-26 66
§ 7.8 静电场的能量一、电容器中的静电能
+ + + + +
- - - - -
Ed? dq
+q
-q
U1
U2
电容器充电 = 外力不断地把电荷元 dq从负极板迁移到正极板。
dqUUdA 21 dq
C
q?
极板上电荷从 0 ~Q,外力作功
Q dqCqA 0 CQ2
2
根据能量守恒定律，外力作功
A=电容器中储存的静电能 W
C
QW
e 2
2
QCU?2
QU?
21 UUU
2
2CU
2009-7-26 67
2
2
0 Ew
e
能量密度二、电场能量和能量密度
2
QUW
e?
EdU?
SQ
0?
E
VEW e 20
2
VSd?
1、电容器中的能量与电场
2009-7-26 68
面积为 S，带电量为?Q的平行平板。忽略边缘效应,问：将两板从相距 d1 拉到 d2 外力 需要作多少功？
例题解：分析，外力作功 = 电场能量增量
Q S
d1
00
S
QE
VEW e 20
2
VEW 20
2
Q S
d2
12 ddSV
S
ddQWA
0
12
2
2
12
2
0
0
2
ddS
S
Q?
2009-7-26 69
例题
1、求电量为 Q 0、半径为 R的均匀带电球面的静电能 。
解：设 U?= 0
dQUW e
2
1
每一个 dQ 所在处的电势
0 0
0
42
1
Q R
dQQ
R
Q
0
2
8
0
R
2009-7-26 70
例题 一平行板空气电容器的板极面积为 S，间距为
d，用电源充电后两极板上带电分别为 ± Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到 2d。求（ 1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（ 2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为 ε0）。
d
SC
d
SC
2,0201
S
dQW
S
dQ
C
QW
0
2
2
0
2
10
2
1
2
2
1
2
1
2
1
,
板极上带电 ± Q时所储的电能为解 （ 1 ）两极板的间距为 d和 2d时，平行板电容器的电容分别为静电场的能量
2009-7-26 71
S
dQWWW
0
2
12 2
1
－＝
（ 2）设两极板之间的相互吸引力为 F，拉开两极板时所加外力应等于 F，外力所作的功 A=Fd,所以
S
Q
d
AF
0
2
2?
故两极板的间距拉开到 2d后电容器中电场能量的增量为静电场的能量
2009-7-26 72
例 平行板空气电容器每极板的面积 S= 3× 10-2m2,板极间的距离 d = 3× 10-3m 。 今以厚度为 d’
= 1× 10-3m的铜板平行地插入电容器内 。 （ 1） 计算此时电容器的电容； （ 2） 铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？ （ 3）
使电容器充电到两极板的电势差为 300V后与电源断开,再把铜板从电容器中抽出,外界需作功多少功？
d
SC 0解,（ 1）铜板未插入前的电容为
d1 d2
d
d?
+
C1 C2
A B
静电场的能量
2009-7-26 73
设平行板电容器两板极上带有电荷 ± q,铜板平行地两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ± σ,
如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。
两极板 A,B的电势差为
dd
S
VV
qC
BA
0?－
所以铜板插入后的电容 C’为
S ddqVddEdEdEVVU BBA
0
02010?
＝＋－
2） 由上式可见,C’ 的值与 d1和 d2无关 （ d1增大时,
d2减小 。 d1+ d2=d-d' 不变 ）,所以铜板离极板的距离不影响 C’的值静电场的能量
2009-7-26 74
（ 3） 铜板未抽出时,电容器被充电到 U=300V,此时所带电荷量 Q=C’U,电容器中所储静电能为能量的增量 W-W’ 应等于外力所需作的功,即
C
QW 2
2
1?
当电容器与电源切断后再抽出铜板,电容器所储的静电能增为
1
2
2
1
C
QW
静电场的能量
2009-7-26 75
代入已知数据,可算得
JA 61099.2
2
2
0
0
22
22
11
2 dd
UdS
S
dQ
CC
QWWWA
＝＝－－＝＝
静电场的能量
2009-7-26 76
代入已知数据,可算得
JA 61099.2
2
2
0
0
22
22
11
2 dd
UdS
S
dQ
CC
QWWWA
＝＝－－＝＝
静电场的能量
2009-7-26 77
例,
VUFC 1 0 01 11
VUFC 2002 22
+Q1 -Q 1
C1
C2
+Q2 -Q2
把两个电容器并联，计算两个电容器并联前后静电能
)(005.0100100.1
2
1
2
26
2
11
1 J
UCW
)(04.0200100.2
2
1
2
26
2
22
2 J
UCW
)(045.021 JWW
)(2
)(
2 21
2
21
2
CC
QQ
C
Q
W
2211 UCUC?
)(0 4 2.0 J?
2009-7-26 78
平板电容器 电荷面密度为?面积为 S 极板相距
d。 问：不接电源将介电常数为?的 均匀电介质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什么变化？
例题解：
0
1?
E VEW 2
1
0
1 2
VWWW
0
2
12
11
2
S
d
2E VEW
2
22 2
V
0
2
2?
V2
2
Sd
能量减少了 ——电场力作功！
2
2 U
QC?
1U
Qr
0
1
2?
CC?
1Cr?
电容增大了 ——可容纳更多的电荷！
21 UU r
2009-7-26 79
电介质的极化 束缚电荷
电介质中的电场强度 高斯定理
磁介质的分类
顺磁性和抗磁性的微观解释
磁介质中的安培环路定理 磁场强度
2009-7-26 80
§ 9.1 电介质的极化 束缚电荷
UO
Q -QQ -Q
0
U
r
实验发现
rU
U0 1?
r 称电介质的相对介电常数 ——
只与电介质自身的性质有关 。
(1) U0>U?电介质降低了电势 。
(2) 电介质减弱了场强 。
U = Ed
U0=E0d E
0>E00 U
QC?
U
QC?
C0<C
(3) 电介质增大了电容 。
一,电介质的对电场的影响
r
EE
0
2009-7-26 81
电介质：绝缘体，无自由电荷。
电介质极化特点：内部场强一般不为零。
1,有极分子和无极分子电介质有极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心不重合。 负电荷中心正电荷中心无极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心重合。
lqp e ++
H +H
O
l?
二、电介质的分子的电结构
2009-7-26 82
2,电介质的极化
（ 1）无极分子的位移极化加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现分子电矩。
2009-7-26 83
无外电场时，有极分子电矩取向不同，整个介质不带电。
（ 2）有极分子的取向极化电介质的极化在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用，电矩方向转向和外电场方向趋于一致。
2009-7-26 84
+ ++
分离后撤去电场，呈电中性。
介质上的极化电荷 导体上的感应电荷分离后撤去电场，
一般都带电。
少。 多。
内部一小体积可含净电荷。 电荷只分布在表面。
q ++ ++
三,电介质的极化与导体的静电感应对比
1,宏观特点
2009-7-26 85
2,极化机理
+-
无极性
+-
E?
+-
+
lqp e
有极性分 子
E?
材 料极化了！
极化了！
E?
E?
lqp e
Q Q束缚电荷
Q Q束缚电荷
2009-7-26 86
介质中的静电场 E
自由电荷 Q
束缚电荷 Q'
共同作用产生。Q -Q
-Q' Q '
§ 9.2 电 介质中的电场强度
EEE
0
0
0
0?
E
0?
E
00
0
E
平板电容器为例
r
EE
0
0
)11(?
r
S
Q
S
Q
0
0
r
E?
2009-7-26 87
介质球放入后电力线发生弯曲
+++
++
++ E?
2009-7-26 88
S
Q
SdE
0?
S
0
0
§ 9.3 高斯定理 电位移矢量
Q 0 -Q0
s
r
S
0
0
0
0
S
r
SSdE
0
0
作如图封闭圆筒形高斯面：由高斯定理
0QSdDS
电介质中的高斯定理
ED r 0?
000 QSSdES r
定义：电位移矢量 （各向同性电介质）
-Q ' Q '
2009-7-26 89
0QSdDS
D? 电位移矢量自由电荷在均匀、各向同性的介质中
ED r 0
特别 当这些介质充满空间或界面与等势面重合，
所有的计算变得简单。
0
r E?
24 r
QE
Q
24 r
QD
称为电介质的介电常数
2009-7-26 90
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
电位移线与电场线电位移矢量
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
电场线 电位移线电位移线起于正自由电荷，止于于负自由电荷。
2009-7-26 91
r
+Q
r
+Q
E 线 D 线
2009-7-26 92
例题 如图金属球半径为 R1、带电量 +Q；均匀、各向同性介质层外半径 R2,相对介电常数? r ；
R2R1
r
Q
UED,,求,分布
C B A
2
04 r
QE
r
B 2
04 r
QE
C
0?AE
0?AD
大小
24 r
Q
DD cB
0
r
解 由 对称性分析确定 沿矢径方向DE、
ED r 0?
2009-7-26 93
rA rdEU
rdErdErdE RR R CBRr A2
1 2
1
2210
111
4 RRR
Q
rr
rdErdEU R CRr BB
2
2
220
111
4 RRr
Q
rr
rdEU r CC r
Q
04
R2R1
r
Q
C B A
2009-7-26 94
例题
Q -Q
d
d1
平板电容器，两极板间距 d,带电量 ± Q，中间充一层厚度为 d1、介电常数为? 的均匀介质,求：
电场分布、极间电势差和电容；画出 E 线与 D 线。
解
A B
0?
AE?
BE
11 dEddEU BA
Q -Q
-Q ' Q '
E 线
Q -Q
-Q ' Q '
D 线
U
QC
101
0
ddd
S r
U
S
真空中的静电场
真空中稳恒电流的磁场
介质中的电场和磁场
电磁感应与电磁场
2009-7-26 2
库仑定律 电场 电场强度
电通量 高斯定理
静电场的环路定理 电势能
等势面 电势与电场强度的关系
静电场中的导体 电容 静电能
2009-7-26 3
0 0.5 1.0
1.5
§ 7.1 库仑定律质子
+e
mr 1510?
24 r
0 0.5 1.0
1.5
中子
+
-
C.e 191061
宏观物体带电量 e 的整数倍。 夸克
1、电荷的量子性
eq
eq
3
2
3
1
mr 1510?
24 r
电子电量一,电荷与 电现象
2009-7-26 4
2、电荷守恒定律 ——电绝缘系统中，电荷的代数和保持常量。
+
-
电子对湮灭
+
-?
电子对产生
3、电荷相对论不变性
+ +
+
电荷为
Q
电荷为 Q
2009-7-26 5
q1 q2
电荷 1 受电荷 2的力
2
21
r
qqKf?
120r
r
有理化
02
21
12 rr
qqKf
2
0
21
4 r
04
1
K令
22120 10858 Nm/C,
真空中的介电常数
12f
3q
13f
i
iff 11
两个点电荷之间的作用力，不会因为第三个电荷的存在而改变叠加原理
1f
二、库仑定律
2009-7-26 6
？PE?
线度足够地小 ——场点确定；
电量充分地小 ——不至于使场源电荷重新分布。
f?P
1,试验电荷
0Q
0Q
fP
大小：单位正电荷受力方向：正电荷受力的方向单位,N/C,V/m
说明
§ 7.2 电场 电场强度
2,Q0只是使场显露出来，即使无 Q0,也存在。E?
一、电场强度 此式为电场强度的定义式
2009-7-26 7
Q
点电荷
0Q
试验电荷
r?
02
0
0
4 rr
QQF
2
04 r
QE
大小方向 rEQ 0
rEQ 01r?
1Q
2F
3F
F?
1F
2
0 r
QE
2Q
3Q 试验电荷受力
321 FFFF
0Q
FE
0
3
0
2
0
1
Q
F
Q
F
Q
F
321 EEE
i
iEE
i i
ii
r
rQ
2
0
0
4
场强叠加原理由 定义
r
rr
0
二、电场叠加原理
2009-7-26 8
电荷连续分布的带电体的场强
02
04
r
r
dQEd
dQ
r
rEdE
20
04
1
场强叠加原理
dQrxE x 3
04
1
分量式
kEjEiEE zyx
Q
dQ
r?
dL
dS
dV
dQ
2009-7-26 9
例题 求：电偶极子中垂面上任意点的场强
l
解
r
r
E?
E
E
3
04?
r
rQE
3
04?
r
rQE
r
EEE
3
04 r
rrQ
rrl
lrr
3
04 r
lQ
3
04 r
p
E e
lQp
e
定义：偶极矩
r >> l
r+= r-? r+-Q? Q
2009-7-26 10
由对称性
例题
L
均匀带电 细 棒，长 L,电荷线密度?，
求：中垂面上的场强 。
解,
dydQ
r?
Ed?
3
04 r
dQrEd
3
04 r
dyr
jdEidEEd yx
L L L yx dEjdEiEdExdE
ydE
0
co sdEdE x?
2
04 r
dyc o s
x t gy 2c o sxddy
xc o sr
2
2
2
c o s
xr?
x
dc o s
04
10
04
2
x
dc o sE
x x
s in
0
1
2
1?
y
x
0 ix
s inE
0
1
2
2009-7-26 11
当 L
1?- 2?2 2
i
x
E
02
12
04
s ins inxE x
21
04
c o sc o sxE y
一般
1?
L
dydQ
Ed?
2?
y
x
0
a?E?？
2009-7-26 12
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的场强。
R
Q d ldQ
2
Ed?
x//Ed?
Ed
L dEE 0
LL //// dEc o sdEE?
2
04 r
dQdE
EEE //
r
x
2
04 r
dQ
3
04 r
dQx
L
xQ
232204 Rx
ixQ
EE //
r?
EdEdEd //
（ 2） R <<x
2
04 x
iQ
E
0?x 0?E?（ 1）
讨论：
例题
R
next
2009-7-26 13
R
232204 rx
ixdQEd
r x
Ed?
r d rRQdQ 22
R
rx
r d r
R
xQE
0
2
3
22
2
02
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆盘轴线上的场强。
222
0
1
2 Rx
x
R
iQE
当 R >>x
2
02 R
iQE
02?
iE
无 限 大带电平面场强
2
2
R
Q r d r
例题
2009-7-26 14
一、电场线电场中假想的曲线疏密 ——表征场强的大小
（穿过单位垂直截面的电场线数 = 附近的场强大小）
切线方向 ——场强的方向
+
+
+
任何两条电场线不会在无电荷处相交。
§ 7,3 电通量 高斯定理
2009-7-26 15
二、电通量?e
S
S n?
1、均匀电场 nE
ESe
2、均匀电场 nE
=?
co sESe? SE
S
E?
3、非均匀电场、任意曲面
n? dS
SdEd e
Se SdE
单位,Vm
n?
E?
E?
2009-7-26 16
K.F.Gauss——德国物理学家、数学家、天文学家定理,真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数。
Se SdE
分立 iQ
0
1
连续 dQ
0
1
= 0? > 0? < 0
三、高斯定理规定外法线为正向。
2009-7-26 17
对于具有某种对称性的电场，用高斯定理求场强简便。
例题 求电量为 Q、半径为 R的 均匀带电球面 的场强分布。
源球对称 场球对称
Rr Se SdE
Rr?0
RrQ?
0?
SdSE 24 rE
E
Rr?0
Rr
r
Q?
2
04
r
0
E
R
选高斯面
E?E
E?
E?
四、高斯定理的应用
Sd?
2009-7-26 18
例题 求：电量为 Q、半径为 R 的均匀 带电球体的场强分布。
R
解,选择高斯面 ——同心球面
Se SdE
RrQ?
0?
RrQ?
0?
3
3
R
QrQ
r
3
0
3
R
Qr
SdSE 24 rE
E
RrRQr?3
04
RrrQ?2
04
r
0
E
R
2009-7-26 19
？
r
例题 求：电荷线密度为?的 无限长带电直线 的场强分布。
解,选择高斯面 ——同轴柱面
Sd?
E?
E?
Sd?
SdE
上下底面
SdE //侧面,且同一柱面上 E 大小相等。
Se SdE
l
Sd?
Sd?
底侧 SdESdE
0 rlE?2
rE 02
思考,如果线粗细不可忽略，
空间场强分布如何？
0?
l?
2009-7-26 20
E?
求：电荷面密度为?的 无限大均匀带电平面 的场强分布。
解,选择高斯面 ——
与平面正交对称的柱面
SdE侧面
SdE底面
Se SdE
0?
S?
SE?2?
02?
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E?
Sd?
Sd? 且 大小相等；
例题
2009-7-26 21
当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。
例题 求：电荷面密度分别为?1,?2 两个平行放置的 无限大均匀带电平面 的场强分布。
A B C
0
1
1 2?
E
0
2
2 2?
E
x
iE A
0
21
2?
iE B
0
21
2?
iE C
0
21
2?
1E
1E? 1E
2E
2E
2E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2?+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1?
0?
BE当?1 = -?2 =? 0
CA EE
解：
带电平板电容器间的场强
2009-7-26 22
P1
2r
rdFdA
r?
§ 7.4 静电场的环路定理 电势能
rd?
Q0
Q
原点 O
3
04 r
rQE
电场力作功 A 1 –2 =？
试验电荷 Q0从 P1 P2沿任意路径
EQF 0?
3
0
0
4 r
rdrQQ
2
0
0
4 r
drQQ
21 2
0
0
4
r
r r
drQQ
2
1
1
4 0
0
r
rr
QQ?
210
0 11
4 rr
2
1
p
p
rdFA
L rdE 0
1r
P2
静止点电荷场 是保守力场保守力场一、静电力的功 1.点电荷的电场
2009-7-26 23
2,任意带电体的电场根据电场强度叠加原理，任意带电体在某点产生的电场强度，等于各电荷元单独在该点产生的电场强度的矢量和。
nEEEE
21
实验电荷 q0 在电场中从 a 点沿某一路径 L 移动到 b
点时静电场力作的功为：
b
a
ab ldFA
b
a
ldEq
0
b
a
n ldEEEq
)( 210
ldEqb
a
10 ldEq
b
a
20 ldEq n
b
a
0
静电场力作功与移动实验电荷的具体路径无关
2009-7-26 24
L ldE 0
静电场的环路定理所有的静电场都是 保守力场
ldEqdlEqldEqA
a
Lb
b
La
)(
0
)(
00
21
0
)(
0
2
b
La
dlEq
a
b
b
La
ab dlEqA
)(
0
1
b
La
dlEq
)(
0
2
b
La
dlEq
)(
0
1
静电场的电场线不可能是闭合的，
静电场是无旋有源场。
Q0
L1
L2
2009-7-26 25
S? bE?
a baE?
S?
E?
例：证明静电场中无电荷区域，凡电力线是平行直线的地方，
（既电场强度方向处处相同），电场强度的大小必定处处相等。
证,1,以任意一条电力线为轴，作圆柱形高斯面。
SE侧面
SE aa,b 两个底面
0Se SdE
E?E
在两底面处大小相等；SE b
SESdE aa底 SESdE bb底
Se SdE SdEa底 0 SdEb
底 SdE
侧
ba EE?
0 SdE侧
2009-7-26 26
ldEldEldE
BCAB
2,选取如图所示的矩形闭合路径 ABCD。
0 ldEldE
DACD
ABE a? CDE C
AB CD?aE CE
既垂直于电场线方向上任意两点的电场强度相等。
E?
A B
CD
以上证明同一电场线上各点电场强度的数值处处相等。
此积分为零此积分为零
ABE a? CDE C
2009-7-26 27
保守力作功与路径无关，
只取决于系统的始末 位置 。
存在由位置决定的函数
WP——势能函数保守力作功以损失势能为代价。
20
0
10
0
21 44 r
r
QQA
系统 —— 电场 + 试验电荷 —— 在 P1 处的电势能为
A1-2= WP1 -WP2
当 r2,位置 2 的电势能为 0，位置 1的电势能为：
二,电势能 电势
1
10
0
01 4 PWr
QQA
势能
1,电势能
2
1
012 dlEqA
点电荷的电场
Wp1
2009-7-26 28
1
0
1
1 r
P ldE
Q
WU
一,定 义
P1 点的电势
1、单位正电荷放在 P1
处，系统的电势能。
2、把单位正电荷从 P1
处移到 0电势（无限远）
处，电场力所做的功。单位,V （ 伏特 ）
二、静 电场中任意两点 P1,P2 间的 电势差
2r
1r?
P2
P1
O
21 rr
ldEldE?
2r
把单位正电荷从 P1 处沿任意路径移到 P2 处电场力做的功。
2112 UUU 2
1
r
r
ldE?
§ 7.5 电势 电势差
2009-7-26 29
0Q把 从 P1处移到 P2 处电场力做的功可表示为
U 1? U 2 Q0?0?A12?0
Q0? 0?A12? 0
U 1? U 2 情况自行讨论在静电场中释放正电荷
向电势低处运动正电荷受力方向?沿电力线方向结论,电力线指向电势减弱的方向。
21 0rr ldEQA
2
10
r
r rdEQ
210 UUQ?
讨论：
2009-7-26 30
1、根据定义例题 求：点电荷电场的电势分布
Q
r? ·P
解,已知
3
04 r
rQE
设无限远处为 0电势，则电场中距离点电荷 r 的 P点处电势为
P r
rdrQrU
3
04
2
04 r
rdQ
r
Q
04
r
QU
04
点电荷电场的电势分布r0
U
三,电势的计算
2009-7-26 31
R
Rr
r
Q
Rr
E
2
04
0
r
0
E
R
例题 求：均匀带电球面的电场的电势分布,
P ·
解,已知设无限远处为 0 电势,
则电场中距离球心 r P
的 P 点处电势为
UP =？
PP r
rdrQU
3
04
2
04 r
drQ
Rr P?
RRrP rQ d rrdU
P
2
04
0
R
Q
04
Rr P?
Pr
P r
Q d rU
2
04 P
r
Q
04
U
to25
2009-7-26 32
求：电荷线密度为? 的 无限长带电直线 的电势分布。
r
E
02
解：由
r rdEU
分析 如果仍选择无限远为电势 0点，积分将趋于无限大。必须选择某一定点为电势 0点 ——通常可选地球。现在选距离线 a 米的 P0点为电势 0点。
a
P0
0P
r
rdEU
a
r
dr
r
U
02
rlnaln
02
例题 3
r
aln
2009-7-26 33
321 UUU
20
2
10
1
44 r
Q
r
Q
点电荷电场的电势 rQrU
04
1r
Q1Q
2r
3 r
2Q
3Q
P
点电荷系 UP =？
根据定义
P rdEU
P rdEEE 321 pPP rdErdErdE 321
分立的点电荷系连续分布的带电体系r
dQdU
04
Q r?
P
Q rdQU
04
i i
i
r
QU
04dQ
2、利用叠加原理
2009-7-26 34
例题 5 已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的电势分布
R r? x
0 P
解：
Q rdQU
04
Q dQr
04
1
r
Q
04
22 xRr
22
04 xR
QU
r
dQdU
04
dQ
x
2009-7-26 35
r
q
r
qpUU
i
ip
00 44
)(
例,计算电偶极子场中任一点 P 的电势
c o s
2
lrr
c o s
2
lrr
2
0
0
2
2
200 4
)c o s
4
(
c o s
4
)(
4 r
rP
l
r
lq
rr
rrq
U ep
c o s00 qlrlqrP e
lr当 可做如下近似：
r
q?
l?
q?
r
r?
p
2009-7-26 36
R
212204 rx
dQdU
r x
r d rRQdQ 22
R
rx
r d r
R
QU
0
2
1
22
2
02
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆盘轴线上的场强。
222
02
xRx
R
QU
当 x >>R
x
QU
04
X = 0
2
2
R
Q r d r
例题
U
02?
RU?
x
2009-7-26 37
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
Q rdQU
04
i i
i
r
QU
04
势0r rdEU
小 结计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
i i
i
r
rQE
3
04
Q rdQrE 3
04
？
2、根据电势的定义 UE 2、是否可 EU
（分立）
（连续）
（分立）
（连续）
2009-7-26 38
1、等势面特点
（ 1）沿等势面移动电荷，电场力不作功 。
（ 2）等势面处处与电力线正交。 +
Ua
Ub U
c
2112 UUQA
P1
P2
rdEQdA
同一等势面上 0
Q?0 E?0 d r?0 rdE
（ 当规定相邻两等势面的电势差为定值 ）
（ 3）等势面稠密处 —— 电势变化快电场强度大同一等势面上 0
电势变化快四,场强和电势的微分关系
—— 电势相等的空间各点所组成的面
2009-7-26 39
2、电势梯度
E?
P1 P2
rd?
P1,P2相距很近，两处场强相等。两点间电势差
rdEUU 21
沿 方向电势增量rd?
drc o sEUUdU 12
c o sEdrdU
电势沿某一方向的减少率
= 场强沿此方向的分量
xEx
U?
yEy
U?
zEz
U?
EkEjEiE zyx Uk
z
Uj
y
Ui
x
U
电势梯度
EU
0 E
dr
dU
沿着 的方向电势空间变化率最大E?
+ +?
2009-7-26 40
2、可有 EU
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
Q rdQU
04
i i
i
r
QU
04
势0r rdEU
小 结计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
i i
i
r
rQE
3
04
Q rdQrE 3
04
2、根据电势的定义 UE
（分立）
（连续）
（分立）
（连续）
xEx
U?
EU
2009-7-26 41
典型电场电势 典型电场的场强
3.高斯定理均匀带电球面
0?E?
3
04 r
rqE
球面内球面外均匀带电无限长直线 rE
02
均匀带电无限大平面 02?
E
均匀带电球面
r
qU
04
R
qU
04
均匀带电无限长直线
02
ln
r
a
U?
均匀带电无限大平面
02?
dEdU
方向垂直于直线方向垂直于平面
2009-7-26 42
xx rdEU
x xR
Q xd x
2
322
04
22
04 xR
Q
已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的场强与电势。
R
R
QdldQ
2?
x//Ed?
Ed
L //// dEE
2
04 r
dQdE
EEE //
3
04 r
xQ
2
322
04 Rx
ixQEE
//
例题 6
r?
EdEdEd //
Ed L dEE 0
2009-7-26 43
例题 6 已知：总电量 Q ； 半径 R 。
求,均匀带电圆环轴线上的电势解：
Q rdQU
04
Q dQr
04
1
r
Q
04
R
dQ
r x
0 Px
22
04 xR
QU
r
dQdU
04
x
UE
x?
0 yUE y
0 zUE z
232204 Rx
xQ
E
与场强。
2009-7-26 44
思考题 下例说法对否？
举例说明。
（ 1）场强相等的区域，电势处处相等？
（ 2）场强为零处，
电势一定为零？
（ 3）电势为零处，
场强一定为零？
（ 4）场强大处，电势一定高？
Q?
Q
EU 势0
r rdEU
R
a P
0
2009-7-26 45
一,导体静电平衡的条件
§ 7.7 静电场中的导体 电容静电感应：
在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。
2009-7-26 46
静电平衡条件：
静电平衡：
导体内部场强处处为零电场电势导体为一等势体表面场强垂直于导体表面导体表面是一个等势面导体中电荷的宏观定向运动终止，电荷分布不随时间改变。
导体的静电平衡
0?内E?
SdE表面常量?U
2009-7-26 47
电荷分布在导体表面，导体内部场强处处为零。
2.空腔导体
（ 1）腔内无带电体：
电荷分布在导体表面，导体内部及腔体的内表面处处无净电荷。
二,导体上的电荷分布
1,实心导体
+ +
++
+
+
+
++
导体上的电荷分布
2009-7-26 48
（ 2）腔内有带电体：
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
未引入 q时 放入 q后
+
+
+
+
+
+ +
++
+
+
+
++
+q
+
+
导体上的电荷分布
2009-7-26 49
Q
1,导体内部无净电荷 。
2,空腔导体带电荷 Q
腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
导体的内表面电荷 -q，外表面电荷 Q+q
Q=0q -q
+q
腔内有电荷 q,
小结,静电平衡导体的电荷分布
2009-7-26 50
导体的表面场强由高斯定理可证明
0?
外表面E E?
证明,?
Se SE d?
侧面下底上底 SESESE ddd
00d上底 SE 底外表面 SE
由高斯定理
内SS
e q 0/d SE
0/ 底S
0?
外表面E
导体上的电荷分布
2009-7-26 51
孤立导体面电荷分布表面曲率越大，面电荷密度越大。
尖端放电现象导体上的电荷分布
2009-7-26 52
例题 9-1 两个半径分别为 R和 r的球形导体（ R>r），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为 V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。
Q
导体上的电荷分布
2009-7-26 53
解,两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为 Q，小球所带电荷量为 q，
则两球的电势为
Q
导体上的电荷分布
2009-7-26 54
r
q
R
QV
00 4
1
4
1
r
R
q
Q?
可见大球所带电量 Q比小球所带电量 q多 。
两球的电荷密度分别为
24,24 r
q
R
Q
rR
可见电荷面密度和半径成反比,即曲率半径愈小 （ 或曲率愈大 ）,电荷面密度愈大 。
导体上的电荷分布
2009-7-26 55
0?内E CU?
i
iS QsdE
0
1
L ldE 0
i
i,Q 常量原则
1.静电平衡的条件
2.基本性质方程
3.电荷守恒定律高斯定理场强环路定理三、有导体存在时静电场的计算
2009-7-26 56
无限大的带电平面的场中平行放置一无限大金属平板。
P
121
20222
0
2
0
1
0
211
212?
解,设金属板面电荷密度,
21
由对称性和电量守恒导体体内任一点 P场强为零
x
02?
0
1
2?
0
2
2?
例题求：金属板两面电荷面密度
2009-7-26 57
已知：金属球 与金属球壳同心放置,球的半径为 R1,带电为 q ； 壳 的半径分别为 R2,R3 带电为 Q；
求,(1)电量分布；（ 2）场强分布；
（ 3)球 和 球壳 的电势 A Bq
qQ?
2R
3R 1R
例题
q?
解 （ 1）电量均匀分布 A—q；
B内 —-q,外 — Q+q
（ 2）
212
04
RrRrqE A
rRrQqE B 32
04
E
r
E = 0 （其他）
2009-7-26 58
（ 3) 球的电势
q
1R
32104
1
R
R
q
R
qU
球
304 R
QqU
壳
10
1 4 R
qU
2R
q?
20
2 4 R
qU
qQ?
3R
30
3 4 R
QqU
q
1R
2R
q?
qQ?
3R
30
3 4 R
QqU
r
qU
0
2 4
r
qU
0
1 4
球壳的电势
r
to6
根据叠加原理
2009-7-26 59
1,孤立导体的电容真空中孤立导体球
R
R
qU
04
1
任何孤立导体,q/U与 q,U均无关，定义为电容
RUq 04
电容单位：法拉（ F）
pF10nF10F101F 1296
四、电容 电容器
U
QC?
2009-7-26 60
2,电容器的电容电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。
电容器的两极板常带等量异号电荷。
几种常见电容器及其符号：
电容器的电容
2009-7-26 61
计算电容的一般方法：
q— 其中一个极板电量绝对值
U1-U2—两板电势差电容器的 电容,
先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差，最后代入定义式。
电容器的电容
21 UU
QC
2009-7-26 62
(1)平板电容器几种常见真空电容器及其电容 S
0?
E?
lE dUUd
0?
d
UU
qC
0
0/
d
S?
d
S0
电容与极板面积成正比，与间距成反比。
电容器的电容
2009-7-26 63
(2) 球形电容器
2
04 r
qE
lE dUU
UU
qC
0
AB
BA
RR
RR
04
AR
BR
rrqB
A
R
R
d4 2
0
)11(4
0 BA RR
q
电容器的电容
2009-7-26 64
3、电容器的串联与并联
串联
C1 C2
+Q -Q +Q -Q
UA UB U C
1C
QUU
BA
2C
QUU
CB
21
11
CC
QUU CA
UA UCC
C
QUU
CA
+Q -Q
21
111
CCC
n
i iCC
11一般 n 个电容器串联的等效电容为
+）
等效电容
2009-7-26 65
并联
C
+Q1 -Q 1
C1
C2
+Q2 -Q2U
A UB
BA UU
QC
1
1
BA UUCQ 11
BA UUCQ 22+）
BA UUCCQQ 2121
UA UB
BA UU
QC
BA UUCQ
Q 21 CC?
一般 n 个电容器并联的等效电容为
n
i
iCC
等效电容
2009-7-26 66
§ 7.8 静电场的能量一、电容器中的静电能
+ + + + +
- - - - -
Ed? dq
+q
-q
U1
U2
电容器充电 = 外力不断地把电荷元 dq从负极板迁移到正极板。
dqUUdA 21 dq
C
q?
极板上电荷从 0 ~Q,外力作功
Q dqCqA 0 CQ2
2
根据能量守恒定律，外力作功
A=电容器中储存的静电能 W
C
QW
e 2
2
QCU?2
QU?
21 UUU
2
2CU
2009-7-26 67
2
2
0 Ew
e
能量密度二、电场能量和能量密度
2
QUW
e?
EdU?
SQ
0?
E
VEW e 20
2
VSd?
1、电容器中的能量与电场
2009-7-26 68
面积为 S，带电量为?Q的平行平板。忽略边缘效应,问：将两板从相距 d1 拉到 d2 外力 需要作多少功？
例题解：分析，外力作功 = 电场能量增量
Q S
d1
00
S
QE
VEW e 20
2
VEW 20
2
Q S
d2
12 ddSV
S
ddQWA
0
12
2
2
12
2
0
0
2
ddS
S
Q?
2009-7-26 69
例题
1、求电量为 Q 0、半径为 R的均匀带电球面的静电能 。
解：设 U?= 0
dQUW e
2
1
每一个 dQ 所在处的电势
0 0
0
42
1
Q R
dQQ
R
Q
0
2
8
0
R
2009-7-26 70
例题 一平行板空气电容器的板极面积为 S，间距为
d，用电源充电后两极板上带电分别为 ± Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到 2d。求（ 1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（ 2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为 ε0）。
d
SC
d
SC
2,0201
S
dQW
S
dQ
C
QW
0
2
2
0
2
10
2
1
2
2
1
2
1
2
1
,
板极上带电 ± Q时所储的电能为解 （ 1 ）两极板的间距为 d和 2d时，平行板电容器的电容分别为静电场的能量
2009-7-26 71
S
dQWWW
0
2
12 2
1
－＝
（ 2）设两极板之间的相互吸引力为 F，拉开两极板时所加外力应等于 F，外力所作的功 A=Fd,所以
S
Q
d
AF
0
2
2?
故两极板的间距拉开到 2d后电容器中电场能量的增量为静电场的能量
2009-7-26 72
例 平行板空气电容器每极板的面积 S= 3× 10-2m2,板极间的距离 d = 3× 10-3m 。 今以厚度为 d’
= 1× 10-3m的铜板平行地插入电容器内 。 （ 1） 计算此时电容器的电容； （ 2） 铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？ （ 3）
使电容器充电到两极板的电势差为 300V后与电源断开,再把铜板从电容器中抽出,外界需作功多少功？
d
SC 0解,（ 1）铜板未插入前的电容为
d1 d2
d
d?
+
C1 C2
A B
静电场的能量
2009-7-26 73
设平行板电容器两板极上带有电荷 ± q,铜板平行地两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ± σ,
如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。
两极板 A,B的电势差为
dd
S
VV
qC
BA
0?－
所以铜板插入后的电容 C’为
S ddqVddEdEdEVVU BBA
0
02010?
＝＋－
2） 由上式可见,C’ 的值与 d1和 d2无关 （ d1增大时,
d2减小 。 d1+ d2=d-d' 不变 ）,所以铜板离极板的距离不影响 C’的值静电场的能量
2009-7-26 74
（ 3） 铜板未抽出时,电容器被充电到 U=300V,此时所带电荷量 Q=C’U,电容器中所储静电能为能量的增量 W-W’ 应等于外力所需作的功,即
C
QW 2
2
1?
当电容器与电源切断后再抽出铜板,电容器所储的静电能增为
1
2
2
1
C
QW
静电场的能量
2009-7-26 75
代入已知数据,可算得
JA 61099.2
2
2
0
0
22
22
11
2 dd
UdS
S
dQ
CC
QWWWA
＝＝－－＝＝
静电场的能量
2009-7-26 76
代入已知数据,可算得
JA 61099.2
2
2
0
0
22
22
11
2 dd
UdS
S
dQ
CC
QWWWA
＝＝－－＝＝
静电场的能量
2009-7-26 77
例,
VUFC 1 0 01 11
VUFC 2002 22
+Q1 -Q 1
C1
C2
+Q2 -Q2
把两个电容器并联，计算两个电容器并联前后静电能
)(005.0100100.1
2
1
2
26
2
11
1 J
UCW
)(04.0200100.2
2
1
2
26
2
22
2 J
UCW
)(045.021 JWW
)(2
)(
2 21
2
21
2
CC
C
Q
W
2211 UCUC?
)(0 4 2.0 J?
2009-7-26 78
平板电容器 电荷面密度为?面积为 S 极板相距
d。 问：不接电源将介电常数为?的 均匀电介质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什么变化？
例题解：
0
1?
E VEW 2
1
0
1 2
VWWW
0
2
12
11
2
S
d
2E VEW
2
22 2
V
0
2
2?
V2
2
Sd
能量减少了 ——电场力作功！
2
2 U
QC?
1U
Qr
0
1
2?
CC?
1Cr?
电容增大了 ——可容纳更多的电荷！
21 UU r
2009-7-26 79
电介质的极化 束缚电荷
电介质中的电场强度 高斯定理
磁介质的分类
顺磁性和抗磁性的微观解释
磁介质中的安培环路定理 磁场强度
2009-7-26 80
§ 9.1 电介质的极化 束缚电荷
UO
Q -QQ -Q
0
U
r
实验发现
rU
U0 1?
r 称电介质的相对介电常数 ——
只与电介质自身的性质有关 。
(1) U0>U?电介质降低了电势 。
(2) 电介质减弱了场强 。
U = Ed
U0=E0d E
0>E00 U
QC?
U
QC?
C0<C
(3) 电介质增大了电容 。
一,电介质的对电场的影响
r
EE
0
2009-7-26 81
电介质：绝缘体，无自由电荷。
电介质极化特点：内部场强一般不为零。
1,有极分子和无极分子电介质有极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心不重合。 负电荷中心正电荷中心无极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心重合。
lqp e ++
H +H
O
l?
二、电介质的分子的电结构
2009-7-26 82
2,电介质的极化
（ 1）无极分子的位移极化加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现分子电矩。
2009-7-26 83
无外电场时，有极分子电矩取向不同，整个介质不带电。
（ 2）有极分子的取向极化电介质的极化在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用，电矩方向转向和外电场方向趋于一致。
2009-7-26 84
+ ++
分离后撤去电场，呈电中性。
介质上的极化电荷 导体上的感应电荷分离后撤去电场，
一般都带电。
少。 多。
内部一小体积可含净电荷。 电荷只分布在表面。
q ++ ++
三,电介质的极化与导体的静电感应对比
1,宏观特点
2009-7-26 85
2,极化机理
+-
无极性
+-
E?
+-
+
lqp e
有极性分 子
E?
材 料极化了！
极化了！
E?
E?
lqp e
Q Q束缚电荷
Q Q束缚电荷
2009-7-26 86
介质中的静电场 E
自由电荷 Q
束缚电荷 Q'
共同作用产生。Q -Q
-Q' Q '
§ 9.2 电 介质中的电场强度
EEE
0
0
0
0?
E
0?
E
00
0
E
平板电容器为例
r
EE
0
0
)11(?
r
S
Q
S
Q
0
0
r
E?
2009-7-26 87
介质球放入后电力线发生弯曲
+++
++
++ E?
2009-7-26 88
S
Q
SdE
0?
S
0
0
§ 9.3 高斯定理 电位移矢量
Q 0 -Q0
s
r
S
0
0
0
0
S
r
SSdE
0
0
作如图封闭圆筒形高斯面：由高斯定理
0QSdDS
电介质中的高斯定理
ED r 0?
000 QSSdES r
定义：电位移矢量 （各向同性电介质）
-Q ' Q '
2009-7-26 89
0QSdDS
D? 电位移矢量自由电荷在均匀、各向同性的介质中
ED r 0
特别 当这些介质充满空间或界面与等势面重合，
所有的计算变得简单。
0
r E?
24 r
QE
Q
24 r
QD
称为电介质的介电常数
2009-7-26 90
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
电位移线与电场线电位移矢量
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
电场线 电位移线电位移线起于正自由电荷，止于于负自由电荷。
2009-7-26 91
r
+Q
r
+Q
E 线 D 线
2009-7-26 92
例题 如图金属球半径为 R1、带电量 +Q；均匀、各向同性介质层外半径 R2,相对介电常数? r ；
R2R1
r
Q
UED,,求,分布
C B A
2
04 r
QE
r
B 2
04 r
QE
C
0?AE
0?AD
大小
24 r
Q
DD cB
0
r
解 由 对称性分析确定 沿矢径方向DE、
ED r 0?
2009-7-26 93
rA rdEU
rdErdErdE RR R CBRr A2
1 2
1
2210
111
4 RRR
Q
rr
rdErdEU R CRr BB
2
2
220
111
4 RRr
Q
rr
rdEU r CC r
Q
04
R2R1
r
Q
C B A
2009-7-26 94
例题
Q -Q
d
d1
平板电容器，两极板间距 d,带电量 ± Q，中间充一层厚度为 d1、介电常数为? 的均匀介质,求：
电场分布、极间电势差和电容；画出 E 线与 D 线。
解
A B
0?
AE?
BE
11 dEddEU BA
Q -Q
-Q ' Q '
E 线
Q -Q
-Q ' Q '
D 线
U
QC
101
0
ddd
S r
U
S
