第
2,3,4
章质点动力学
（ 4课时 ）
第一篇力学第 2,3,4 章 质点动力学
§ 2,3,4—1 三个定律
§ 2,3,4—2 三个定理三个守恒定律第 2,3,4 章 质点动力学
§ 2,3,4— 1 三个定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第三定律
§ 2,3,4— 2
动量定理角动量定理动能定理三个守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律机械能守恒定律
1
三个定理
§ 2,3,4— 1 三个定律
1.牛顿第一定律任何物体都保持静止的或沿一条直线作匀速运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
2.牛顿第二定律运动的变化与所加的动力成正比 ;并且发生在这力所沿的直线的方向上。
3.牛顿第三定律对于每一个作用，总有一个相等的反作用与它对抗；
或者说两个物体之间的相互作用永远相等，且指向对方。
牛顿第一定律定性地指出了力和运动的关系 (力的作用改变物体的运动状态 ),第二定律进一步给出了力和运动的定量关系，第三定律则明确了力是物体间的相互作用。
2重点讨论牛顿第二定律注意
4,牛顿第二定律的数学表达式
dt
dt
vdm?
amdtvdm?
m为变量
m为常量
10 这里,m‖为变量,指的是相对论中质量随速度变化。
dt
dmv
dt
dmv
dt
vdmF,
― dm ‖喷出之 后 或添加之 前 对地的速度,v?
经典物理中变质量问题服从的动力学方程是密歇尔斯基方程：
dm
3
vdv
喷出 —— dm 本身为,–‖
添加 —— dm本身为,+‖
动画动画
dt vmd )(
dt
dmv
（例：火箭，煤车 …… ）
讨论：
30 非惯性系中，必须引入,惯性力”的概念，牛顿第二定律才能继续沿用。
20 牛顿第二定律只适用于质点及惯性系。
动画
gm?
0?，球对车a?
N?
a?m,a?
aa，
4问题出在：在非惯性系中用了牛顿第二定律！
奇怪?
0F?
*若在 加速平动参照系：
5
a?
00 球对地a F
没问题！
地面上的观察者认为没有问题，小球所受合力为零，
它 的加速度也为零。
动画惯性力*f
哦！
am
车厢中的观察者以车厢为参照系（非惯性系）他认为，
小球受三个力的作用：
其合力为,*惯性力fNgmF 其中,
:?F? 质点在非惯性系受的所有力的合力
*
惯性力f
:，am?
,amF 这就是 非惯性系 的牛顿第二定律
gm?
N?
6
为非惯性系对惯性系的加速度a
是质点对非惯性系的加速度,a?
,gm?,N? * 惯性力f?
非惯性系中引入惯性力后，牛二律的形式与惯性系一致。
,ma?
真实力 虚拟力
am
*f?*f?
**若在匀速转动的 参照系：
如图：一木块静止在一个水平匀速转动的转盘上，转盘相对地面以角速度?，
求在转动参照系的惯性力。
地面参照系的观察者：
木块作匀速圆周运动 nmaf?向心静摩擦向心 ff? 2?mr在转盘上：
木块静止不动，即 0a?
amF 0? *fF 惯性力真实力
真实力惯性力 Ff
*
静摩擦f
rmr?2
namf?
*
惯性力即,——惯性离心力惯性离心力 = – 向心力 作用与反作用？
NO！
7
mr
5,牛顿第二定律的应用：
例 1.一质量为 m 的物体，以 v0 的初速度沿与水平方向成
角的方向抛出，空气的阻力与物体的动量成正比，比例系数为 k,求物体的 运动轨迹。
解,建立坐标系如图研究对象,m‖受力,vkm gm,
gm?
vkm?
运动方程,（矢量方程）
gm?
运动方程的分量式：
xk m vx,
yk m vmgy,8
m
dt
dvm x
dt
dvm y
vkm? dt
vdm
)1(kdtvdv
x
x
)2(dt
kvg
dv
y
y
由（ 1）
dtkv
dv
x
x
gm?
vkm?
co s0 ktx evv
t ktx dtevdx 000 c os
)1(c o s0 kte
k
vx
9
dt
dx?
dt
dvkvg y
y
dt
dvkv x
x
0
t
co s0v
xv
由（ 2）
tv
v
y
y dt
kvg
dv
y
0sin0
])s i n[(1 0 gekvg
k
v kty
gm?
vkm?
t kty dtgekvgkdy 0 00 ])s i n[(1
k
gtekvg
k
y kt )1)(s in(1 02
10
)2(dt
kvg
dv
y
y
dt
dy?
动画
11
)1(c o s0 kte
k
vx
k
gtekvg
k
y kt )1)(s in(1 02
运动轨迹例 2.一条质量为 M 长为 L 的均匀链条，放在一光滑的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌子的边缘在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况下链条刚刚离开桌面时的 速度,
（ 1）在刚刚下落时，链条为一直线形式
F?
x
研究对象：整条链条建立坐标：如图受力分析,F? )( gxLM
运动方程：
dt
dvMxg
L
M?
解,（ 1）链条在运动过程中，各部分的速度、
加速度都相同。
dt
dvx
L
g?
12
o
X
M L
动画
dt
dx
dx
dvx
L
g?
dx
dvvx
L
g?
vL v d vxdxLg 00
2
2
2
1
2 v
L
L
g?
gLv?
研究对象：链条的落下部分建立坐标：如图受力分析,F?
运动方程：
x
F?
O
X
) ( gxLM
m
dt
dvmF
dt
dmv
dt
dvm
dt
mvdF )(?
dt
dmv
dt
dmv
dt
vdmF '
（ 2）在刚刚下落时，链条盘在桌子边缘
13
dt
dvx
L
g?
,?v
dt
dmv
dt
dvmF
dt
mvdF )(?即：
）（
所以，运动方程为：
vx
L
M
dt
d
gx
L
M
)( xvdxg dt?
两边同乘 x v,
)(21 222 vxddtvgx
)(21 222)(00 2 vxddxgx xvx
331 gx
xgv 322?
当 x = L 时 L 3
2 gv?
（ 3）解释上述两种速度不同的原因。 第（ 1）问速度是：
14
0,?v
dt
dmv
dt
dmv
dt
vdmF '
gLv?
22
2
1 vx
例 3,一光滑的劈，质量为 M,斜面倾角为?,并位于光滑的水平面上，另一质量为 m 的小块物体，沿劈的斜面无摩擦地滑下,求 劈对地的加速度。
M?
解,研究对象,m,Mm
设 M对 地 的加速度为 1a?
2a?
以 劈 为参照系，建立坐标如图
,x
,y
x
y
mg
1N
*1f
Mg
2N
'1N
*
2f
1a
受力分析：如图
2a?
m 对 M的加速度为
15
动画运动方程：
对 m：,
,x )1(
2?ma?
:,y )2(0
对 M：,x )3(01Ma?
M对 M
:y
m对 M
16
s i n mg
c o smg
s i n'1N
)4(0co s'12 MgNN
,x
,y
mg
1N
*1f
2a?
x
y
Mg
2N
'1N
*
2f
1a
c o s *1f
1N s i n*1f
*2f?
,1'1 NN?将?*1f,1ma?*2f 1Ma 代入（ 2）（ 3）
s i nco s 11 mamgN
11 s i n MaN
21 s in
c oss in
mM
mga
M对地附,将上式代入（ 1）得
gmM mMa 22 s ins in)(
m对 M：
m对地：
21 aaa
17
)1(2?ma co ss i n *1fmg
)2(0 s i nco s *11 fNmg
)3(0 *2'1 s i n fN
)4(0co s'12 MgNN
（ 2）
（ 3）
6,牛顿第二定律解题类型：
Favr
dtdvmtF )(
对一维运动或用分量式求解时
dtdvmvF )(
dxdvmvdtdvmxF )(
vvxx m v d vdxxF 00 )(
)(tv
m
18
vvtt m d vdttF 00 )( )(tv
vvtt dvvF mdt 00 )()(tv
)( xv?
§ 2,3,4— 2 三个定理 三个守恒定律
1,动量定理 （对质点）
微分形式,PddtF
积分形式, 2
1
2
1
P
P
t
t PddtF
1212 vmvmPP
2,动量守恒定律 （对质点系）
时当 F i 0
ii vm
19
在 t1到 t2一段时间内，质点所受的合外力的冲量等于在这段时间内质点动量的增量。
*动量定理
*角动量定理
*动能定理
*动量守恒定律
*角动量守恒定律
*机械能守恒定律当质点系所受的合外力为零时，系统的总动量保持不变。
= 恒矢量 nn vmvmvm 2211
动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：
,0 时 ixF
,0 时 iyF
,0 时 izF
10 动量守恒定律成立的条件：
*系统根本不受外力或合外力为零。
*系统所受内力很大，外力可以忽略不计。
*系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒（总动量不一定守恒） 。
20 动量守恒定律适用范围：
20
常数 nxnxx vmvmvm?2211
常数 nynyy vmvmvm?2211
常数 nznzz vmvmvm?2211
惯性系，宏观、微观都适用。
注意
3,角动量定理
（ 1）角动量（矢量）
0
r?
vm?
L?
定义：
―角动量”也叫“动量矩”
力矩Fr
动量矩prL
s i nr m vL?
12 smkg
方向：垂直于 共同决定的平面pr,
r? F
0
21
vmrL
pr
回顾 1,动量定理 2,动量守恒定律
20 质点作圆周运动时对圆心的角动量 大小,
)( rrmr mvL
r mv
L
10 同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。
0
r?
vm?
L?
22
2rm
vmrL
注意
（ 2）角动量定理
Lddt
2
1
t
t dt
12 LL
分量式为：
xxtt x LLdt 1221
yytt y LLdt 1221
zztt z LLdt 1221 23
微分形式：
积分形式：
122121 PPPddtF
p
p
t
t
PddtF
与动量定理类比有：
在 t1到 t2这段时间内，作用在质点上的合力矩对某一定点的冲量矩，等于质点在这段时间内对同一点的角动量的增量。
4,角动量守恒定律 若 0
则
12 LL
恒矢量或? L?
10 0
F 0
Fr //
20 是普遍规律，宏观、微观都适用。
30 有心力,运动质点所受的力总是通过一个固定点。
力心
F?
特征,,// Fr
质点对力心的角动量永远守恒！
r?
40 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。
50 角动量守恒，不见得动量守恒。
r?
F?
24
12
2
1
LL
dttt
质点所受的合外力对某固定点的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。
Fr
Pr
! 恒矢量?L?
讨论例 4,在光滑的水平桌面上有一小孔 0，一细绳穿过小孔，
其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳，
求小球的速率 v2 f拉解,小球受力：
12 LL
2211 mvrmvr?
显然 12 vv?
开始时小球绕孔运动，半径为 r1,速率为 v1,
1r
25
因 f 拉 为有心力
1
2
1
2 vr
r
v? 动画
2r
1v0当半径变为 r2 时
f 拉
12 LL?即：
―行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积”
26
例 5,用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：
动画解,设在时间?t 内，行星的矢径扫过扇形面积?s
s i n21 rrS? rr 21
面积速度：
t
S
dt
ds
t?
0
lim t rr
t?
2
1lim
0
vrdt rdr
2121 vmrL 恒矢量
vrdtdS21恒量命题得证。
r r?
太阳行星 S?
5,动能定理 功恒力的功
A
r?
（ 1） 变力的功：
27
恒力的功变力的功
dA
变力 将质点由 a 移动到 b，所作的 总功FabA
rdF
o
rd?
a
b?
abA
ba F dr c os?
dsFba c o s
rdF
c o sFr
rd? F?将曲线 a b 分成无数段线元，在任意一线元 上变力对质点所作的元功为
c o sba rdF?ab
r?
,r?
rF
F?
F?
力对质点所作的功，与始、末位置有关，与路径有关。
* 弹力的功
axbx
x
0
F?
弹力是变力
bx axab F d xA
kxF
)2121( 22 ab kxkx 21 2kxE p?令
)( papbab EEA
是位置的函数,
―弹性势能,
结论：保守力所作的功，等于势能增量的负值。保守力作功只与始、末位置有关，与路径无关 。 28
dxkxbx ax
（ 2）保守力的功动画
pE
（ 保守力,重力、弹力、万有引力等）
动画
* 重力的功
mga
b
)( abab m g ym g yA
m g yE p?令
)( papbab EEA
* 万有引力的功
F?r
r
MmGF?
2
)]()[(
ab
ab r
G M m
r
G M mA
a b
rG M mE p令
M
m
)( papbab EEA
是位置的函数，
“重力势能”
是位置的函数，
“引力势能”
29
x0
y可以证明：
可以证明：
ay
by
pE
pE
20 保守力将质点由 a 沿任意路径移动到 b 再由 b 沿任意路径移回到 a 点，那么
10 如何求 变力的功？
30 保守力的功与路径无关,记住 重力、弹力、万有引力功的表达式，理解由此引入的 势能 概念 。
0)( aaa b a EEA
保守力的环流为零！
a
b
0 rdFA aba 保即：
30
A rdFba dsFba c o s
注意
40 质点在任一位置的势能，等于把质点由 该位置 移到势能为零的参考点 的过程中,保守力所作的功。 如：
)( papbbaab EErdFA
)0( paE 31
令 0?pbE
paE
0
pE
a
pa rdFE
即
)]()[(
ab
ab r
G M m
r
G M mA
rGM mE p
万有引力势能
)( abab m g ym g yA m g yE p?重力势能
)2121( 22 abab kxkxA
2
1 2kxE
p?弹性势能质点的动能定理微分形式 )21( 2mvdrdF
积分形式 22
2
1
2
1
ab
b
a mvmvrdF
kkakbab EEEA（合外力的功）
质点系的动能定理,kkakb EEEAA 内外
kakb EEAAA 非保内保内外
)()( kakbpapb EEEEAA 非保内外或写成：
功能原理：
6,机械能守恒定律,
由上式 AA 0 非保内外若恒量 ab EE
只有保守内力作功时，系统的总机械能保持不变。 32
EEEAA ab 非保内外
0E
即
5,动能定理各外力与各内力对质点系所作的总功之代数和等于质点系动能的增量。
时间累积效应
dtPdF
1221 PPdtFtt
1221 LLdttt
0F?
0
12
21 kk EErdF 122121 EErdfrdF 内非外动量守恒21 PP
角动量守恒21 LL
机械能守恒21 EE?
00 内非外 AA
空间累积效应牛二律，瞬时效应
33
动量定理角动量定理动能定理范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）。
10 各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。
20 由牛顿第二定律推出：
动量定理动能定理 机械能守恒定律动量守恒定律功能原理角动量定理 角动量守恒定律解决问题的思路按此顺序倒过来,首先考虑用守恒定律解决问题。 若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。
30 有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，
注意各势能零点的位置,不同势能零点位置可以同,也可以不同。（ 问,一般选哪里为势能零点？） 34
注意
40 有些问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面、小球刚好脱离圆形轨道、木块刚好不下滑等）。
解题时先建立 运动 满足的 方程,再加上 临界条件 （往往是某些力为零或 v,a 为零等）。
50 特别注意用 高等数学 来解的问题。凡有 极值 问题要用 求导 的方法 。
例 6,质量为 m 的小球系在线的一端，线的另一端固定，线长 L,
先拉动小球，使线水平张直，然后松手让小 球落下求：线摆下?角时，小球的速率 v b
和线的张力 T
a
b
L?
35
bv
T
解法一,用牛顿第二定律研究对象：小球
Tgm,
)1(c o s?dtdvmmamg
)2(s i n
2
LvmmaTmg n
用 d S 乘方程（ 1）的两边：
dvdtdSdSgc o s
2
2
1s i n
bvgL
s in2 gLv b
将上述结果代入（ 2）
s i n3 mgT
建立自然坐标如图受力分析,运动方程：
bv v d vLd g 00 c o s
36
a
b
L
d n?
gm?
T
ds
解法二,用动能定理研究对象：小球
22
( 2
1
2
1
abab mvmvA合外力的功）
2
2
1s i n
bmvm g L
s in2 gLv b
解法三,用机械能守恒定律研究对象：小球、线、地球组成的系统。
只有重力作功,Ea = Eb，机械能守恒。
令 b 处势能为零 2
2
1s i n
bmvm g L
s in2 gLv b 37
a
b
L
d n?
gm?
T
ds
x
y
0
S
例 7,飞机降落时的着地速度大小 v0 =90km/h,方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数 μ =0.1,迎面空气阻力为
cxv 2，升力为 cyv 2（ v为飞机在跑道上的滑行速度 c x,c y
为常数），已知飞机的升阻比 k=c y /c x= 5，
求,飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离 S
（设飞机刚着地时对地面无压力）
38
解,以飞机着地点为坐标原点，飞机滑行方向为 x 轴正向,设飞机质量为 m，着地后地面对飞机的支持力为 N.
mg
N
2vcx f
2vcy
飞机着地后受力分析：
运动方程：
动画
)( 2vcmgNf y
水平方向上：
dx
dvmv
dt
dvmvcvcmg
xy
22 )(?
dxvcmv
y
2
x )(cmg
dv
39
摩擦力在竖直方向上,N+cyv 2—mg = 0 N = mg — cyv 2
s/m h/km vv x 0 25900 时
0( vsx 滑行距离）时，
0 0 02v s
yx
dx
v)c(cmg
dv mv
S
vccmg
vccmgd
cc
m
yx
yx
yx
2
2
)(
])([2
mg
N
2vcx f
2vcy
解得,mg
vccmg
cc
ms yx
yx?
2
0)(ln2
重力等于升力飞机刚着地前瞬间所受?
20vcmg y?
200 5,vmgkccvmgc yxy
代入 S表达式，得：
)(2215 1ln)51(2 5
2
0 m
g
vS?
40
S
vccmg
vccmgd
cc
m
yx
yx
yx
2
2
)(
])([2
例 8,如图，已知斜面的倾角是 300，弹簧一端固定在斜面上，处于自然长度时，其另一端位于 B点，一质量为 2 kg
的物体以初速度 3.0m.s -1从斜面 上 A点处滑下，物体到 B
点时，开始压缩弹簧 0,2m后停止，然后又被弹送回去。
AB间距离为 5.0m,设弹簧的质量不计，物体与斜面之间的的摩擦力为 6.2N。试求弹簧的倔强系数 k和物体被弹回后所能达到的最大高度 h 。 ( g 取 10 m.s -2 )
动画 A
B?0
解,研究‘系统’
选 0为重力势能零点,B为弹性势能零点（初态 A，末态 0）
坐标,如图 物体受力分析,Nfmg,,
x
mg
f
由功能原理, Afx )1()s i n21(21 22 AAB mg xmvkx
030
B
Av A
2.05
41
N
h
2
2 2s i n2
B
AAA
x
fxm g xmvk
13104.1 mN
最高点坐标为 x，由功能原理, fx
2
2
2.0
0.52.62210.510220.32
)s i n(2
2
fmg
kxx B
)2.621102(2
2.0104.1 23
m 728.1?
物体被弹回的最大高度 mxh 86.0s i n
42
x
s inm g x 221 Bkx?
A
B?0
x
mg
f
030
B
Av A
2.05
h
例 9,在光滑的水平桌面上，固定着如图所示的半圆形屏障质量为 m 的滑块以初速 V1 沿屏障一端的切线方向进入屏障内滑块与屏障间的摩擦系数为? 。
求,当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功
1v
v
f
N俯视图解,研究对象 滑块建立坐标：自然坐标运动方程：
法向切向
nmaN?
maf
联立：
R
vmf 2
R
v
dt
dv 2即分析：变力作功,用动能定理必须先找出末态的 V2
请思考：能否 在此分离变量,积分？
受力分析,Nf,
43
n
R
vm 2?
Ndtdvm
动画
v
f
N
设滑块进入屏障后，速度为 v时，已沿屏障转动了
,?,角，经过的时间为 t,则上式改为：
dt
dv
R
v 2
vddv 即
d
v
dvv
v 0
2
1
1
2ln
v
v
evv
12
因合外力的功只有摩擦力的功
N 不作功，根据动能定理：
A
)1(21 221emv
问题,A 与 R 无关吗？ 44
d
dv
R
v
dt
d
d
dv
2
1
2
2 2
1
2
1 mvmv?
例 10,地球可看作是半径 R= 6400 km 的球体，一颗人造地球卫星在 地面 上空 h=800km 的圆形轨道上，以
v1=7.5 km/s 的速度绕地球运动。
突然点燃 一 火箭，其冲力使卫星附加一个 向外的径向分速度 v2 =0.2 km/s使卫星的轨道变成椭圆形。
求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？
h1v?
2v?
卫星所受万有引力,
火箭反冲力均通过力心，
v?
r?
故卫星在火箭点燃前或后对地心的角动量始终不变，
是守恒的。
R
2h?1h 45
解,分析动画火箭点燃后瞬时，可认为卫星距地心的位矢不变仍为 速度为 21 vvv
根据角动量守恒定律：
r?
)( 21 vvmr
,,21 vr,v//r,vr )1(,,1?rmvrmv
卫星进入椭圆轨道后，设远地点（或近地点）的位矢为,该处的速度为,r?,v?
,r?
,v?
卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力 （
保守内力）作用，机械能守恒：
)2(21)(21,2,2221rMmGmvrMmGvvm46
,,21 vmrvmrvmr
h1v?
2v?v?
r?
R
,,vmr
对卫星原来的圆运动有 )3(21
2r
vm
r
MmG?
联立（ 1）（ 2）（ 3）式，消去 V’G M m 则有
02)( 221,212,2221 rvrrvrvv
0])][()[( 1,211,21 rvrvvrvrvv
kmvv rvr 7 3 9 72057 7 2 0 057
21
1,
1
kmvv rvr 7 0 1 32057 7 2 0 057
21
1,
2
47
)1(,,1rvrv?
)2(21)(21,2,2221rMGvrMGvv
,
1r
,2r?
1h 2h
远地点高度 kmRrh 9 9 7,11
近地点高度 kmRrh 6 1 3,22 48
(1)将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动。问小球将在槽内何处 发生碰撞？
(2)设压缩弹簧具有弹性势能 E0，问,小球射出后，经多少 时间 发生碰撞？
Mm MRmR 22
例 11.在一个较大无摩擦的平均半径为 R的 水平 圆槽内，
放有两个小球。质量分别为 m和 M。两球可在圆槽内自由滑动。现将一不计长度的压缩轻弹簧置于两球之间：
解,(1)设两小球被射出后的角速度分别为?m 和?M,
两小球系统在被射出的前后,角动量守恒：
49m
M
M
m?
M
m
M
m
t
t
R
m?
动画俯视图
0 mM LL
(2)由机械能守恒定律得：
t
2 Mm Mm
2)(21 mRm
)(
21 0
MmM
mE
RM
50
0
2)(
2
1 ERM M
02
)(2
mE
MmM
Mm
mR?
2 Mm mM
2Mm
M
M
R
m?
解得：
M
m
m
M
MM t
0
'0 0r
r 0?
A
例 12,将一个质点沿半径为 r 的 光滑半球形碗的内表面水平地投射，碗保持静止。设 v0 是质点恰好能达到碗口所需要的初速率。试求 v0 作为?0 的函数。0是用角度表示的质点的初位置。
解,小球受力 Nmg,与 o o’共面。
合外力矩 0 角动量守恒
)2(s i n 00 rr
)1(00?m v rrmv?
因全过程中仅重力作功，机械能守恒。
)3(co s2121 0220 mg rmvmv
（ 1）（ 2）（ 3）联立，得 00 c o s
2
grv
51
mg
N
零势面动画
END
