第一篇力学第 5章刚体力学
(4课时 )
§ 5— 1 刚体的平动和转动
§ 5— 2 刚体的定轴转动
§ 5— 3 刚体转动的功和能
§ 5— 4 刚体的角动量和角动量守恒定律
§ 5— 5 刚体的平面运动
§ 5— 6 进动第 5 章 刚体力学基础形状和大小都不改变的物体刚体：
重点研 究：刚体的定轴转动
（理想模型）
0
§ 5— 1 刚体的平动和转动
1.平动 刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中，保持原方向不变。
1
动画动画
2.转动 刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动。 如果转轴固定不动，就称定轴转动。
3,质心运动定理注意各量物理意义例,将一哑铃抛出时，哑铃上每个质点的轨道都不是抛物线，但 质心然作抛物线运动。
一般刚体运动很复杂，但可以看成是平动和转动的合成。
可以证明，质心的运动遵循以下规律：
不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。
2
动画动画动画炮弹在飞行轨道上爆炸成碎片,质心仍在抛物线上 ……
dt
vdmFamF c
ici


gM?
质心,刚体的质量分布中心。通常以 质心（ c） 的运动来代表整个刚体的平动。 c
1.介绍几个物理量角位置? rad
角位移 (一般定逆时针为正 )
角速度 d tdttw 0l i m
角加速度
2
2
0
lim dtddtdt
t
w?
wb
矢量描述,
d 方向由右手螺旋确定
w?

d
dt
dw

方向与 相同?
d
2
2
dt
d
dt
dw?b? 反向与同向与
d
d
wb?w
wb?w


,0
,0
b
b
3
§ 5— 2 刚体的定轴转动
1-.srad
2-s,rad
标量描述,

w
2,线量与角量的关系 以圆运动为例
rvw?
Rrv ww? sin?
x y
z
R
r
b?
w?
0
dt
rdr
dt
d
dt
vdaww
vrwb?
a? na
Rvv
Rrr
2090s i n
s i n
w?ww
bbb


R
R
v
a
R
dt
dv
a
n
2
2
w
b
4
3,刚体的定轴转动
（ 1）特征,转轴上各点静止，其它各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
各质元的 相同 不同各质元的 相同 不同
w? v?
b? a?
1m?
im?
w
（ 2）匀加速定轴转动的公式,
2
00 2
1 tt b?w
tb?w?w 0
)(2 0202?-?b?w?w（ 3） 刚体的转动动能考虑刚体上第 i 个质元,质量为?mi,
速度为 vi = R i w，动能为 2
2
1
iiki vmE
整个刚体的动能为 kik EE 5
22
2
1
ii Rm w
w? 2221 ii Rm
动画
JE k 221 w?
mJ ~m：质点惯性的量度
J,刚体惯性的量度如果刚体连续分布 dmRJ 2
J 的大小与刚体总质量、质量分布、转轴位置有关,
kg,m2,标量。
质量分布离轴越远 J 越大,
20 同一刚体，转轴位置不同，转动惯量不一样。
10 在总质量一定的情况下，
刚体的转动动能为 2
2
1 mvE
k
6
Jw 2221 iikik RmEE
（刚体对给定转轴的 转动惯量 ）
M
M
J 小
J 大讨论几种常见刚体的转动惯量,L
m细棒
2
3
1 mLJ?
细棒 2121 mLJ?
薄圆环或薄圆筒
2mRJ?
圆盘或圆柱体薄球壳
2
2
1 mRJ?
R m
2
3
2 mRJ? 球体
2
5
2 mRJ?
7
m
L
R m R m
R m
* 平行轴定理以 m 表示刚体的质量,Jc 表示它通过其质心 c 的轴的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为 d,则此刚体对于后一轴的转动惯量为,2mdJJ c
m
L 2
12
1 mLJ
c?
L
m
*垂直轴定理例：
22 )
2()12
1( LmmLJ 2
3
1?
8
x y
z
yxz JJJ
c?
4,刚体定轴转动定律
（ 1）力矩（力 对转轴的力矩）F?
Fr
r?
Fo
s i nrF?
r?
F?
o

在垂直于转轴的平面内。F?
注意：
则将 分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量只有垂直于转轴的分量对转轴才有力矩。
F?
9
若不在
（ 2）刚体定轴转动第一定律
0 时 F?
类比有 00?b?w 恒量时?
绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保持原有的运动状态不变。
（ 3）刚体定轴转动第二定律
m
Fa 牛顿第二定律：由
J
b
类比有绕定轴转动的刚体获得的角加速度大小与合外力矩的量值成正比。方向与合外力矩的方向相同。
10
amdt vdmdt PdF?

由质点运动方程

b?w
JdtdJdtLd类比有刚体转动方程,
0 av 恒量由牛顿第一定律：
5,转动定律的应用
b?w )()()( ttt
J 用求导的方法积分加初始条件例 1,一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量为 m1 和 m2 的物体,m1 < m2,滑轮的质量为 m,半径为 R，所受的摩擦阻力矩为?r,绳与滑轮间无相对滑动。
试求：物体的加速度和绳的张力。
已知,m1,m2,m,R,?r
求,21,,T T a
.
1m 2m
m R
11
b?w

JdtdJdt Ld
动画
)()()( tttw?bJ
刚体定轴转动的两类问题：
解,研究对象 m1,m2,m
建立坐标，受力分析 如图
y
gm1
1T
gm2
2T
m'1T '
2T
0
.
1m 2m
m R
r?
对各隔离体写出运动方程：
对 m1,amgmT 111?-
对 m2,amTgm 222?-
对 m：
'
22
'
11
2,,
2
1,TTTTmRJRab?
b-- JRTRT r'1'2
12
mmm
R
gmm
a
r
2
1
)(
21
12

--
联立求得：
mmm
R
gmmm
T
r
2
1
])
2
1
2[(
21
21
1

-?
mmm
R
gmmm
T
r
2
1
])
2
1
2[(
21
12
2

-?
注意,当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：
0,0 r m
gmm mma
21
12 )(
-?
gmm mmTT
21
21
21
2

这便是中学所熟知的结果
13
问：如何求角加速度？
根据 可求得Ra b
§ 5— 3 刚体转动的功和能
1,力矩的功
r?
F?o?ds
rdd
合外力 对 刚体所作的微功：F?
c o sF d srdFdA
s i n)( rdF （?与?互余）
合外力矩而s i nFr
ddA
2,定轴转动的动能定理

0

dA
由质点系,
b
a
rdFAA内力外力类比：
kab Emvmv-?
22
2
1
2
1

0

dA 合外力矩 kEJJw-w? 202
2
1
2
1
合外力矩对定轴转动的刚体所作的功,等于刚体转动动能的增量。
A内力矩？
14
3,刚体的机械能守恒定律刚体的势能,设地面为零势面,刚体的质心离地面的高度为 hc 则 cP m g hE?
若刚体转动过程中只有重力矩作功，则 机械能守恒。
例 2,一质量为 m 长为 L 的均匀细棒
OA 可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时
（ 1）质心 C 和端点 A 的线速度
（ 2）质心 C 的线加速度解法一（ 1） 研究对象：细棒受力分析,gm? （ 不考虑）N?
力矩 s i n2 mgLFr
C
gm?
15
O A
零势面
C
A
r?
co s2 mgL
cmgh 常数?w?
2
2
1 J
用动能定理作：

0

dA 合外力矩 )(
2
1 2
0
2 w-w? J dmgL c o s
2
2
2
1
2 w? Jmg
L =
0
2)
3
1( mL
m g L
J
m g Lw
L
g3?
w? cc Rv 方向：向左
O A
C
gm?
零势面
C
A?w? AA Rv
ca?
b cRa 0 因竖直位置?=0 b=0
gLL gRa cn 23232w? 16（ 2）
co s2s i n2 mgLmgLFr
0
2?
gLL 3212?w
gLL 3?w
解法二 用机械能守恒作：（刚体只有重力矩作功）
mgL 221 wJ )31( 2mLJ?
LgJm g L 3w

解法三 用运动方程
（转动定律）求解：
b J
b 231s i n2 mLLmg
研究对象：细棒受力分析,mg （不考虑 N）
运动方程：
b c o s23 Lg
w co s23 Lgdtd
w co s23 Lgdtddd
O A
C
gm?
零势面
C
A
ww
w
2
00
c o s
2
3 d
L
gd
L
g
2
3
2
1 2?w
Lg3?w 17
2
Lmg?
回顾,刚体运动”中
R
R
v
a
R
dt
dv
a
n
2
2
w
b
匀加速定轴转动公式
2
00 2
1 tt b?w
tb?w?w 0
)(2 0202?-?b?w?w
线量和角量的关系定轴转动第二定律

b?w
JdtdJdtLd

0

dA 合外力矩
kEJJw-w?
2
0
2
2
1
2
1
定轴转动的动能定理若刚体转动过程中只有重力矩作功，则 机械能守恒。
常数?w? 221 Jmgh c
camF?合外力质心运动定理
18
§ 5— 4 刚体的角动量和角动量守恒定律
1,刚体的角动量 w JLvmP
2,角动量定理
Lddt微分形式积分形式 1212
2
1
w-w?-

JJLLdt
t
t
3,角动量守恒定律
0 合外力矩若?
恒矢量, L LL 12
恒量,?ww?w J JJ 12
10 对“刚体”,定轴”转动,J 是常数。“角动量守恒”
就 是角速度守恒。
20 若 变,仍成立 JJ 12 w?wJ
演示实验
30适用范围,惯性系,宏观、微观都适用。 19
讨论刚体定轴转动与质点一维运动的对比位移 x? 角位移
速度 dtdxv? 角速度 dt
dw
加速度
2
2
dt
xd
dt
dva 角加速度
2
2
dt
d
dt
dw?b
质点一维运动 刚体定轴转动质量 m 转动惯量 dmrJ 2
力 F? 力矩 Fr
运动定律 amF 转动定律 b J
动量 vmp 动量 质心vmp
角动量 prL 角动量 w JL i
动量定理 1221 mvmvF d ttt - 角动量定理 1221 w-w JJdttt
动量守恒定律 时 0 F
恒量 ii vm
角动量守恒定律 时 0
恒量 wJ 20
质点一维运动 刚体定轴转动力的功 rdFA 力矩的功 dA
动能 221 mvE k? 转动动能 221 w? JE k
（平动动能 ） 221 质心mvE k?
动能定理
2
1
2
2 2
1
2
1 mvmvA
外 2122 2
1
2
1 w-w? JJA
外转动动能定理重力势能 mgh 重力势能 质心m gh
机械能守恒定律时非保内外 0 AA
恒量 pk EE
时非保内外 0 AA
机械能守恒定律恒量 pk EE
21
wu
r R
例 3,如图，质量为 M 半径为 R 的转台初始角速度为 w0,
有一质量为 m 的人站在转台的中心,若他相对于转台以恒定的速度 u 沿半径向边缘走去,求人走了 t 时间后,转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）
解：
人与转台系统对轴 角动量守恒设 t 时刻人走到距转台中心
r = ut 处，转台的角速度为 w,
ww )2(2 22202 tmuRMRM
2
22
0
2
1
MR
tmu
w
w
dtdw?
dt
MR
tmu
dtd
tt
w
w
0
2
22
0
00 21
]
)
2
(
arc t an [
)
2
(
2
1
2
1
0
R
M
m
ut
M
m
u
R w

22
x
y z
M l
对小球,动量定理
0vmvmdtF
-
)1(0 mvmvF d t
对棒,角动量定理
w Jdt
00 w-w -
JJLLdt
0
w JdtlF )2( '
例 4,一根质量为 M,长为 l 的均匀细棒，可绕通过棒中心的垂直轴 Z,在 xy 平面内转动。开始时静止，今有质量为 m 的小球以速度 逆着轴的方向碰撞棒的端点，假设碰撞是弹性的，试求碰撞后小球的弹回速度 和棒的角速度
0v? v?
w?
)2(2w JFd tl
（ 1）、（ 2）联立：
)3()(2 0?w Jmvmvl
23
0v? mv?
w?
F?
'F?
受力分析：小球 棒F? 'F?
解法一 研究对象：小球，棒球、棒、地系统机械能守恒：
220 2121 mvmv )4(21 2wJ
03
3 v
mM
mMv
-?
（ 3）（ 4）联立将 代入，舍弃 的解2121 MlJ? 0vv?
0)3(
12 v
lmM
m
w
方向：沿 y 正向 方向：沿 z 正向解法二,应用角动量守恒和机械能守恒定律研究系统：小球、细棒
0 合外力矩?
（内力矩很大，小球重力忽略）
碰撞前后，角动量守恒：
24
)3()(2 0?w Jmvmvl
x
y z
M l0v? m
v?
w?
F?
'F?
0vmr
Z的负方向Z的正方向 Z的正方向
)5(22 0?w?-? J mvl mvl
（ 4）（ 5）联立可求 w v
25
弹性碰撞，球、棒、地系统机械能守恒：
)4(212121 2220w Jmvmv
vmr wJ
x
y z
M l0v? m
v?
w?
F?
'F?
例 5,一质量为 M、长 l 的均匀细杆，以 0点为轴，从静止在与竖直方向成?0 角处自由下摆，到竖直位置时，与光滑桌面上一质量为 m 的静止物体（质点）发生弹性碰撞
。求碰撞后 M 的角速度 wM和 m 的 线速度 v m 0
0?
l
m
动画解,杆自由下摆,机械能守恒,（设杆摆到竖直位置时角速度为 w0）
)co s1(2 0?-lMg
)1()c o s1(3 00-?w l g
杆与物弹性碰撞过程系统对轴的角动量守恒,机械能守恒,
w? 0J
)3(212121 2220?mM mvJJ?w?w 26
零势面2
02
1 w J
MJ w? )2(?mm l v?
2
3
1 Ml
)1()c o s1(3 00-?w l g
)2(3131 202?mM ml vMlMl?ww?
)3(2131213121 222202?mM mvMlMl?ww?
(1),(2),(3)式联立解得：
)c o s1(333 0?-?-?w l gmM mMM
)c o s1(33 2 0?- glMm Mv m
27
§ 5— 5 刚体的平面运动
1,纯滚动
S=2?R

A
c c c
R
A
A
0可看成质心平动刚体绕定轴转动合成 （或整个刚体绕瞬心 0 转动）
运动方程 质心平动

camF?合外力
cyy
cxx
maF
maF
定轴转动 bb JJ

合外力矩?注意：
10 角量是对质心而言的，可以证明,b?
w?
Ra
Rv
c
c
20 瞬心,0” 的速度 v0 = 0 ！
30 S = R? 因轴上各点静止 28
演示动画例 6,一个质量为 m半径为 R 的均匀圆柱体，从倾角为?
的斜面上由静止开始无滑动地滚下，求质心的加速度。
c
R
ca?
x
y
mg
N f
解法一：
研究对象：圆柱体建立坐标、受力分析：如图运动方程：
平动,)1(s i ncmafmg?-?
转动,)2(b? cJR f
)3(21,2mRJ Ra ccb
联立，求得：
s i n32 ga c
将 ac 代入（ 1）可得维持圆柱体滚动的最小静摩擦力 s i n
3
1 mgf
29
动画解法二：
研究对象：圆柱体、三角块、地球组成的系统。
圆柱体受力,N,f,m g
x
y
mg
N f
只有 m g 作功，机械能守恒。初态：顶部 末态：底部
22
2
1
2
1s i n w
cc Jmvmg l
c R
ca?
零势面
R
vc?w,mRJ? 2
2
1
s i n342 glv c
lavv cc 2202
0
s i n
3
2 ga
c 30
注意解法一可以求力
，
解法二则不能
，
说明运动定律的作用
。
N,f 都作用在 瞬心上，无滑动，不作功。
§ 5— 6 进动
w
mg0
Z
L?
1.进动,陀螺在绕本身的对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖直轴 OZ 转动,这种回转现象称为进动。
2.进动产生的原因：
重力对 0 点的力矩为,
Lddt
的方向： gmr
的方向与 一致Ld?
LLd LLd

使 改变方向Ld? L?
故陀螺的自转轴改变方向，绕一竖直轴 进动可以证明 w J
31
根据角动量定理：
动画回转效应 (进动 ) 的应用,
（ 1）子弹、炮弹、导弹在飞行时绕自身的轴旋转，遇到阻力，偏离轴向后，产生进动，总的运动仍保持原方向前进。
（ 2）飞机的自动驾驶，轮船的稳定器 ……
32
动画
（ 3）自旋电子在外磁场中的进动，抗磁性的微观机理。
END